Об аппроксимации некоторых статистик критериев согласия для случая дискретных трехмерных данных

Исследуется скорость слабой сходимости распределений статистик $\{t_\lambda(\boldsymbol Y),\lambda\in\mathbb R\}$ критериев согласия со степенными мерами расхождения к хи-квадрат распределению. Статистики построены по $n$ наблюдениям случайной величины с тремя возможными исходами. Доказано, что
$$ \operatorname{Pr}(t_\lambda(\boldsymbol Y)<c)=G_2(c)+O(n^{-50/73}(\log n)^{315/146}), $$
где $G_2(c)$ – функция распределения хи-квадрат случайной величины с двумя степенями свободы. В доказательстве используется теорема М. Н. Хаксли (1993 г.) о приближении числа точек с целочисленными координатами, содержащихся в выпуклом множестве с гладкой границей на плоскости, его площадью.