Кликосочетания в $k$-значном $n$-мерном кубе

Кликосочетанием в $k$-значном $n$-мерном кубе (гиперкубе) называется набор непересекающихся одномерных граней. Кликосочетание называется совершенным, если оно покрывает все вершины гиперкуба. Показано, что число совершенных кликосочетаний в $k$-значном $n$-мерном кубе выражается как $k$-мерный перманент массива смежности некоторого гиперграфа. Вычислен порядок логарифма числа совершенных кликосочетаний в $k$-значном $n$-мерном кубе при любом натуральном $k$ и $n\to\infty$.
Совершенное кликосочетание называется точным, если в каждой двумерной грани гиперкуба лежит ровно одна одномерная грань из кликосочетания. Точные кликосочетания являются частным случаем дизайнов Ханани. Доказано, что для существования точного кликосочетания в $k$-значном $n$-мерном кубе необходимо, чтобы $k=2m$ и $n=4m$ для некоторого натурального $m$. Предложена конструкция точных кликосочетаний при $k=2^t$, $n=2^{t+1}$ для любого натурального $t$.