Препятствия к равномерной устойчивости $C_0$-полугруппы

Пусть $T_t\colon X\to X$ – $C_0$-полугруппа с генератором $A$. Доказано, что если абсцисса равномерной ограниченности резольвенты $s_0(A)$ неотрицательна, то для каждой неубывающей функции $h(s)\colon\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ найдутся $x'\in X'$ и $x\in X$ такие, что $\int_0^\infty h(|\langle x',T_tx\rangle|)\,dt=\infty$. Если $i\mathbb R\cap\operatorname{Sp}(A)\ne\varnothing$, то соответствующий $x$ можно выбрать в $D(A^\infty)$.