Свойства $C^1$-гладких функций, множество значений градиента которых одномерно

Найдены необходимые и достаточные условия на кривую в $\mathbb R^{m\times n}$, чтобы она была множеством значений градиента $C^1$-гладкой функции $v\colon\Omega\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m$. Показано, что у этой кривой имеются касательные в слабом смысле, эти касательные являются rank-1-матрицами и направление этих касательных есть функция ограниченной вариации. Также доказано, что в этом случае для функции $v$ справедлив аналог теоремы Сарда, а множества уровня градиентного отображения $\nabla v\colon\Omega\to\mathbb R^{m\times n}$ суть гиперплоскости.