Медленно меняющиеся векторы и асимптотическая конечномерность полугруппы операторов

Пусть $X$ – банахово пространство, $T\colon X\to X$ – линейный оператор, ограниченный со степенями. Положим $X_0=\{x\in X\mid T^nx\to0\}$. Доказывается, что если $X_0\ne X$, то существует $\lambda\in\mathrm{Sp}(T)$ такое, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $x$ такой, что $\|Tx-\lambda x\|<\varepsilon$, но $\|T^nx\|>1-\varepsilon$ для всех $n$. Развитая техника позволяет установить, что если $X$ рефлексивно и существует компакт $K\subset X$ такой, что $\lim\inf_{n\to\infty}\rho\{T^nx,K\}<\alpha(T)<1$ для любого единичного $x\in X$, то $\operatorname{codim}X_0<\infty$. Результаты справедливы и для однопараметрической полугруппы.