Экономная отделимость в свободных группах

Пусть $F_n$ – свободная группа ранга $n$ с базисом $X$. В [1, проблема 15.35] О. В. Богопольский выдвинул гипотезу, что любой элемент $w\in F_n$ длины $|w|\ge2$ относительно $X$ может быть отделен подгруппой $H\le F_n$ индекса $\le C\ln|w|$ с некоторой константой $C$. Доказывается истинность гипотезы при условии $w\not\in[F_n,F_n]$, где $[F_n,F_n]$ – коммутант группы $F_n$, и отделимость подгруппой индекса $\le\frac{|w|}2+2$ в общем случае.