О $\langle2,1\rangle$-компактных операторах

Рассматривается класс $L_{2,1}$ линейных непрерывных операторов в $L_2$, являющихся суммами операторов умножения на ограниченные измеримые функции и операторов, отображающих единичный шар $L_2$ в множества, компактные в $L_1$. Доказывается, что функциональное уравнение с оператором из $L_{2,1}$ эквивалентно интегральному уравнению с ядром, удовлетворяющим условию Карлемана. Доказывается также, что если $T\in L_{2,1}$ и для любого унитарного оператора $V$ в $L_2$ оператор $VTV^{-1}$ принадлежит $L_{2,1}$, то $T=\alpha1+C$, где $\alpha$ – число, 1 – тождественный оператор в $L_2$, $C$ – компактный оператор в $L_2$.