Об индексных множествах $\Sigma$-подмножеств вещественных чисел

Вычислены уровни сложности в арифметической и аналитической иерархиях для множеств $\Sigma$-формул, определяющих в наследственно конечной надстройке над упорядоченным полем вещественных чисел классы открытых, замкнутых, открыто-замкнутых нигде не плотных, плотных подмножеств в $\mathbb R^n$, подмножеств первой категории в $\mathbb R^n$, а также множеств пар $\Sigma$-формул, соответствующих отношению равенства и включения на определяемых ими подмножествах $\mathbb R^n$. Показано, что сложность множества $\Sigma$-формул, определяющих связные множества, не ниже $\Pi^1_1$.