Равностепенно непрерывные классы кольцевых $Q$-гомеоморфизмов

Дано описание кольцевых $Q$-гомеоморфизмов в $\mathbb R^n$, $n\geqslant2$, и найден ряд условий нормальности семейств кольцевых $Q$-гомеоморфизмов. В частности, показано, что для нормальности семейства достаточно, чтобы мажоранта $Q(x)$ имела сингулярности логарифмического типа порядка не выше $n-1$. Другое достаточное условие нормальности состоит в том, что функция $Q(x)$ имеет конечное среднее колебание в каждой точке, к примеру, если $Q(x)$ имеет конечное среднее значение по инфинитезимальным шарам. Определение кольцевых $Q$-гомеоморфизмов мотивировано кольцевым определением квазиконформности по Герингу. В частности, отображения с конечным искажением длины удовлетворяют емкостному неравенству, которое положено в основу определения кольцевых $Q$-гомеоморфизмов. Поэтому в качестве следствий развитой теории получаются критерии нормальности семейств гомеоморфизмов $f$ конечного искажения длины и класса Соболева $W^{1,n}_\mathrm{loc}$ в терминах внутренней дилатации $K_I(x,f)$. Кроме того, в работе установлена замкнутость класса сильных кольцевых $Q$-гомеоморфизмов при локально суммируемой $Q$.