Свойства $C^1$-гладких функций, множество значений градиента которых является нигде не плотным множеством

Одним из основных результатов настоящей статьи является
Теорема. {\it Пусть $v\colon\Omega\to\mathbb R$ – $C^1$-гладкая функция на области $\Omega\subset\mathbb R^2$. Предположим, что $\operatorname{Int}\nabla v(\Omega)=\varnothing$. Тогда для любой точки $z\in\Omega$ найдется прямая $L\ni z$ такая, что $\nabla v\equiv\mathrm{const}$ на компоненте связности множества $L\cap\Omega$, содержащей точку $z$}.
Доказано также, что при выполнении условий теоремы множество значений градиента $\nabla v(\Omega)$ локально представляет собой кривую, причем у этой кривой имеются касательные в слабом смысле и направление этих касательных есть функция ограниченной вариации.