О действии группового кольца группы автоморфизмов поля

Пусть $F$ – бесконечное поле характеристики $p$. Пусть $G$ – конечная группа автоморфизмов $F$, а $K=F^G$ – поле инвариантов. Возведение элементов мультипликативной группы поля $F^*$ в целые степени и действие на них группы $G$ определяют действие на $F^*$ группового кольца $\mathbf{Z}G$. В работе установлен следующий факт.
Теорема. Пусть $F$ – бесконечное поле характеристики $p$, $G$ – конечная группа автоморфизмов поля $F$, а $K+F^G$ – поле инвариантов. Пусть $f\in\mathbf{Z}G$ и $f\ne0$, а $n$ – такое натуральное число, что $f\in p^n\mathbf{Z}G\backslash p^{n+1}\mathbf{Z}G$. Пусть $S$ – такое поле в $F$, что для любого элемента $x$ из поля $F$ образ $x^f$ принадлежит полю $S$. Тогда поле $S$ содержит поле $K^{p^n}$.
Приведенное утверждение дает положительный ответ на вопрос 11.79 из последнего издания Коуровской тетради.
Библиогр. 6.