Изометричность границ плоских областей и свойства кратчайших

В области $D$ на плоскости рассматривается внутреняя метрика $\rho$. Через $\widetilde{D}$ обозначим пополнение $D$ в этой метрике. Границу области $D$, множество $\widetilde{D}\setminus{D}$, обозначим через $\widetilde{\partial}D$. Ее назовем обобщенной границей, а сужение $\rho$ на $\widetilde{\partial}D$ – относительной метрикой границы.
Основная теорема. {\it Пусть $D\subset\mathbb{R}^2$ – ограниченная область, $D^*\subset\mathbb{R}^2$ – произвольная область, и существует сюръективное отображение $f\colon\widetilde{\partial}D\to\widetilde{\partial}D^*$, изометричное в относительных метриках обобщенных границ $\widetilde{\partial}D$ и $\widetilde{\partial}D^*$. Тогда области $D$ и $D^*$ изометричны в евклидовых метриках, следовательно, отображение продолжается до изометрии плоскостей.}
Библиогр. 7.