О весовых оценках одного класса интегральных операторов

Рассматриваются весовые оценки вида
\begin{equation} \biggl(\int_0^\infty|T_\varphi f(x)u(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q}\le C\biggl(\int_0^\infty|f(x)v(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p}, \tag{1} \end{equation}
где $T_\varphi f(x)=\int_0^x\varphi(t/x)f(t)\,dt$ и на измеримую функцию $\varphi$ наложены следующие условия:
а) $\varphi(t)\geqslant0$, $\varphi(t)$ не возрастает при $t\in[0,1]$,
б) $\varphi(t_1,t_2)\leqslant D(\varphi(t_1)+\varphi(t_2))$, $0<t_1$, $t_2<1$, $D$ не зависит от $t_1$, $t_2$.
Получены необходимые и/или достаточные условия для выполнения (1) при $1<p$, $q<\infty$ или $0<q<1<p<\infty$.
Библиогр. 16.