Векторная кривизна поверхности в гильбертовом пространстве и теорема Гаусса

Если $F^n$ – $C^2$-регулярная $n$-мерная поверхность в евклидовом пространстве $\mathbb E$ произвольной, в частности, бесконечной размерности, $X_0\in F^n$, $P_{X_0}^n$ – касательная плоскость в точке $X_0$, $\Lambda_{F^n, X_0}$ – множество всех прямых $l\subset P_{X_0}^n$, проходящих через $X_0$ и $l\in\Lambda_{F^n,X_0}$, то нормальная составляющая $\vec\varkappa_L^n(X_0)$ вектора кривизны $C^2$-регулярной кривой $L\subset F^n$, касающейся $l$ в точке $X_0$, имеет значение $\vec K_{F^n,X_0}(l)$, не зависящее, как установлено в § 3, от $L$. Так определенная функция $\vec K_{F^n,X_0}$ называется векторной кривизной $F^n$ в точке $X_0$. Если $\widetilde{F}^n$ – риманово пространство, соответствующее поверхности $F^n$, $W$ – 2-мерное направление $\widetilde{F}^n$ в точке $X_0$, $\vec K_{F^n,X_0}^W$ – сужение $\vec K_{F^n,X_0}$ на подмножество $\Lambda_{F^n,X_0}$, соответствующее $W$, то существует универсальная характеристика функции $K_{F^n,X_0}^W$, равная при $F^n\in C^3$ секционной кривизне $K_{\widetilde{F}^n,X_0}^W$ пространства $\widetilde{F}^n$ в точке $X_0$ в направлении $W$. Различные варианты такого обобщения теоремы Гаусса, получающейся при $n=2$, $\dim\mathbb=3$, доказываемые в § 4, соответствуют различным интерпретациям значений векторной кривизны, установленным в § 3.