Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества

В работе доказан следующий результат. Пусть для компакта $G$ пространства $L(\Bbb R^n,\Bbb R^m)$ линейных отображений из $\Bbb R^n$ в $\Bbb R^m$ имеет место представление
$$ G=\bigcap\limits_{\alpha\in A}\bigcup\limits_{i=1}^{k_\alpha}G_i^\alpha, $$
где $G^\alpha_i$ – квазивыпуклые компактные множества, причем $G^\alpha_i\cap G\cap G^\alpha_j=\emptyset$ для всех $\alpha\in A$ и любой пары индексов $i\ne j$. Тогда класс всевозможных локально липшицевых отображений $g:\Delta\to\Bbb R^m$ областей $\Delta\subset\Bbb R^n$, для каждого из которых при любом $\alpha\in A$ найдется номер $i\in\{1,\hdots,k_\alpha\}$ такой, что
$$ g'(x)\in G_i^\alpha\text{ для почти всех }x\in{\operatorname{dom}}g, $$
является $\omega$-устойчивым по А. П. Копылову. Отсюда, в частности, вытекает, что $\omega$-устойчивыми являются класс $I_n$ изометрических отображений (как сохраняющих, так и меняющих ориентацию), а также класс аффинных отображений, производные которых лежат в объединении $G=SO(n)a_1\cup\hdots\cup SO(n)a_k$, ${operatorname{det}}a_i\ne 0$, $SO(n)a_i\cap SO(n)a_j=\emptyset$ при $i\ne j$. С целью геометрического описания найденных $\omega$-устойчивых классов отображений в статье введено понятие $qc$-связности множеств в пространстве линейных отображений. Это понятие находит также важное применение в классическом дифференциальном исчислении. А именно установлено, что если дифференцируемое отображение $f:\Delta\to\Bbb R^m$ области $\Delta\subset\Bbb R^n$ локально удовлетворяет условию Липшица, то образ ${\operatorname{Im}}f'$ производной $f$ является $qc$-связным множеством. Библиогр. 20.