Ультрафильтры и топологии на группах

Рассматривается множество $\overline{\tau}$ всех ультрафильтров на топологической группе $(G,\tau)$, сходящихся к единице. Множество $\overline{\tau}$ с чех-стоуновой топологией и операцией умножения ультрафильтров по Глазеру оказывается компактным пространством и полугруппой, причем операция умножения непрерывна по второму аргументу. Полугруппа $\overline{\tau}$ используется как инструмент исследования топологической группы $(G,\tau)$. На основе описания минимальных правых идеалов полугруппы $\overline{\tau}$ доказана следующая
Теорема. {\it Если окрестность $W$ единицы топологической группы разбить на конечное число подмножеств $W=A_1\cup\dots\cup A_k$, то найдутся такие номер $i$ и конечное подмножество $K\subseteq G$, что $A_i^{-1}A_iK$ – окрестность единицы.}
Показано, что коммутативность подгруппы $\bar{\tau}$ влечет экстремальную несвязность группы $(G,\tau)$. Для любой групповой топологии $\tau$ построена максимальная вполне ограниченная относительно $\tau$ топология (обобщение конструкции Вейля и Бора). Введены новые кардинальные инварианты групп (ультраранг и индекс некомпактности), предложены способы их вычисления.
Библиогр. 17.