О комплексе соболевских пространств, ассоциированном с абстрактным гильбертовым комплексом

Рассматриваются комплексы гильбертовых пространств с плотно определенными замкнутыми операторами в качестве дифференциалов. Особенность таких комплексов состоит в том, что с помощью их дифференциалов можно построить в каждой размерности операторы Лапласа.
Оператор Лапласа в совокупности с достаточно “хорошей” измеримой функцией позволяет определить “обобщенное соболевское пространство”. Существуют пары измеримых функций, дающие возможность построить “канонические” отображения соответствующих им соболевских пространств. Найдены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти отображения были компактными.
В ряде случаев по данному гильбертову комплексу можно построить ассоциированный с ним соболевский комплекс. Показано, что дифференциалы исходного комплекса нормально разрешимы одновременно с дифференциалами ассоциированного с ним и редуцированные когомологии этих комплексов совпадают.