Свободная ассоциативная алгебра как свободный модуль над подалгеброй Шпехта

Пусть $k$ – поле характеристики нуль, $k\langle X\rangle$ – свободная ассоциативная алгебра с конечным базисом $X$. Пусть $R=R(k,X)$ универсальная обертывающая квадрата $\operatorname{Lie}(X)$, рассматриваемая как подалгебра в $k\langle X\rangle$; она названа подалгеброй Шпехта свободной алгебры. Показано, что $k\langle X\rangle$ является свободным (левым) $R$-модулем; найдены достаточные условия того, что некоторая система элементов $k\langle X\rangle$ является базисом этого модуля. Получена явная формула, позволяющая вычислять $R$-коэффициенты элементов свободной алгебры над специальным базисом из “симметризованных мономов”.