Квазиконформные зеркала

Альфорс ввел понятие квазиконформного отражения относительно (замкнутой) жордановой кривой $L$ как меняющего ориентацию квазиконформного отображения римановой сферы $\widehat{\mathbb{C}}$ на себя, которое оставляет неподвижными все точки $L$. Он нашел геометрическую характеризацию кривых, допускающих такие отражения.
В 1988 г. Кюнау поставил вопрос: какие множества $E\subset \widehat{\mathbb{C}}$ допускают квазиконформные отражения? Он высказал гипотезу, что ответ должен быть похожим на результат в известных случаях замкнутых жордановых кривых и их дуг, а именно: всякое такое множество $E$ должно быть подмножеством некоторой квазиокружности.
Наш главный результат утверждает, что любое множество $E$ с коэффициентом квазиотражения $q_E<1$ лежит на некоторой квазиокружности $L$, имеющей квазиконформную дилатацию $Q_L\leqslant Q^4_E$. Другими словами, коэффициенты отражения $L$ и $E$ связаны соотношением
$$ q_L\leqslant\frac{(1+q_E)^4-(1-q_E)^4}{(1+q_E)^4+(1-q_E)^4}=4q_E\frac{1+q^2_E}{1+6q^2_E+q^4_E}\,, $$
которое дает положительный ответ на гипотезу Кюнау, а также имеет различные количественные следствия.
Доказательства результатов используют униформизацию и свойства голоморфных движений.
Библиогр. 18.