Критический случай теоремы Крамера–Лундберга об асимптотике распределения максимума случайного блуждания с отрицательным сносом

Изучается асимптотическое поведение распределения максимума $M=\max\{0,S_n,n\geqslant1\}$ частичных сумм $S_n=\xi_1+\dots+\xi_n$ независимых одинаково распределенных случайных величин $\xi_1,\xi_2,\dots$ с отрицательным средним значением. Рассматривается так называемая крамеровская ситуация, когда найдется такое $\beta>0$, что $\mathbf Ee^{\beta\xi_1}=1$. В классической теореме, восходящей к Лундбергу и Крамеру, доказывается экспоненциальное убывание вероятностей больших уклонений $M$ в предположении конечности среднего $\mathbf E\xi_1e^{\beta\xi_1}$. В настоящей заметке основное внимание уделено критическому случаю, когда $\mathbf E\xi_1e^{\beta\xi_1}=\infty$.