Колмогоровские $(n,\delta)$-поперечники пространств гладких функций

Рассматриваются колмогоровские $(n,\delta)$-поперечники пространств Соболева $W_2^r$, наделенных вероятностной мерой Гаусса $\mu$, в метрике $L_q$
$$ d_{n,\delta}(W_2^r,\mu,L_q)=\inf_{G\subset W_2^r}d_n(W_2^r\setminus G,L_q), $$
где $d_n(K,L_q)$ есть $n$-поперечник по Колмогорову множества $K$ в пространстве $L_q$, а нижняя грань берется по всевозможным подмножествам $G\subset W_2^r$ с мерой $\mu(G)\leqslant \delta$, $0\leqslant\delta\leqslant 1$. Получено асимптотическое по $n$ и $\delta$ равенство
$$ d_{n,\delta}(W_2^r,\mu,L_q)\asymp n^{-r-\varepsilon}\sqrt{1+\frac1n\,\ln\frac1\delta}\,, $$
где $1\leqslant q\leqslant\infty$ есть любое, а $\varepsilon>0$ – произвольное, зависящее только от меры $\mu$, числа.
Библиография: 20 названий.