| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Пространства орбит В. М. Бухштаберab, С. Терзичc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва c Faculty of Science and Mathematics, University of Montenegro, Podgorica, Montenegro
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9964e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВопросы, связанные с каноническим действием алгебраического тора $(\mathbb{C}^{\ast})^n$ (а также индуцированного действия компактного тора $T^n$) на комплексных многообразиях Грассмана $G_{n,k}$ естественно возникают во многих областях математики, см. [14]–[17], [19]. В настоящей работе речь идет о задачах на стыке торической геометрии (раздела алгебраической геометрии) и торической топологии (раздела алгебраической топологии). Центральным объектом торической геометрии являются алгебраические многообразия с действием алгебраического тора. Торическое многообразие определяется как замыкание орбиты такого действия. Эквивариантная структура неособого торического многообразия эффективно описывается в терминах комбинаторной структуры многогранника, образа отображения моментов. Важным примером торичеcкого многообразия является комплексное проективное пространство $\mathbb{C} P^n=G_{n+1,1}$. Естественно возникла задача описания эквивариантной структуры алгебраического многообразия с таким действием алгебраического тора, что семейства орбит образуют хорошую в определенном смысле стратификацию этого многообразия. Первым нетривиальным примером в этом направлении явились комплексные многообразия Грассмана $G_{n,2}$, которые можно рассматривать как многообразия всех проективных прямых в $\mathbb{C} P^{n-1}$. Используя результаты работы И. М. Гельфанда и В. В. Сергановой (см. [15]), в случае многообразий $G_{n,2}$ можно описать в явном виде условия примыкания стратов, образованных семействами орбит действия алгебраического тора. Но как показывает пример из работы [15], см. также [3], в случае многообразий $G_{n,k}$, где $n\geqslant 7$, $k\geqslant 3$, такое описание уже не работает. Отметим, что в работе [3] на основе условий примыкания стратов в случае многообразий $G_{n,2}$ мы ввели понятие комплекса допустимых многогранников. В настоящей работе мы установили связь между хорошо известной конструкцией из алгебраической геометрии, основанной на понятии замечательной компактификации, с результатами об эквивариантной алгебраической топологии многообразий $G_{n,2}$. Эта связь была открыта при решении задачи описания универсального пространства параметров $\mathcal{F}_n$ канонического $T^n$-действия на многообразии $G_{n,2}$. Общее понятие универсального пространства параметров было введено в нашей теории $(2m, k)$-многообразий, см. [3]. В этой теории рассматриваются гладкие $2m$-мерные многообразия с гладкими эффективными действиями $k$-мерных компактных торов, удовлетворяющими некоторому множеству аксиом. Важный класс $(2m,k)$-многообразий дают многообразия, на которых действие тора $T^k$ индуцировано действием алгебраического тора $(\mathbb{C}^{\ast})^{k}$. Среди таких многообразий замечательную роль играют многообразия $G_{n,2}$, которые являются $(2m,k)$-многообразиями с $m=2(n-2)$ и $k=n-1$. Универсальное пространство параметров $\mathcal{F}$ некоторого $(2m,k)$-многообразия $M^{2m}$ с эффективным действием компактного тора $T^k$, $k\leqslant m$, является специальной компактификацией пространства параметров $F$ главного страта. Детальное определение универсального пространства параметров дано в [3]. В случае многообразия $G_{5,2}$ с каноническим действием тора $T^5$ это пространство описано явно в работе [2]. А именно, доказано, что в этом случае универсальное пространство параметров получается в результате сигма-процесса в точке, лежащей на кубической поверхности $c_1c_2'c_3=c_1'c_2c_{3}'$ в $(\mathbb{C} P^{1})^{3}$, или, эквивалентно, в результате сигма-процесса в четырех точках, лежащих в общем положении на $\mathbb{C} P^{2}$. Таким образом, в случае многообразия $G_{5,2}$ универсальное пространство параметров оказалось хорошо известной в алгебраической геометрии поверхностью дель-Пеццо степени 5 (см. также [30]). В работе Н. Клемятина [25] дана конструкция компактификации пространства параметров $F_n$, которая использует, с одной стороны, соответствие Гельфанда–Макферсона (см. [14]) между пространством $F_n$ и пространством всех конфигураций из $n$ попарно различных точек в $(\mathbb{C} P^1)^n$ с точностью до действия группы $\mathrm{GL}(2,\mathbb{C})$ на $\mathbb{C} P^1$, а с другой стороны, следуя работе Макдафф–Саломона [29], описание компактификации Гротендика–Кнудсена пространства модулей $\mathcal{M}(0, n)$ в терминах двойного отношения точек (ангармонического отношения). К сожалению, в доказательстве того, что эта конструкция дает универсальное пространство параметров $\mathcal{F}_n$, содержится пробел, см. замечание 22. В работе [19] М. М. Капранов ввел фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^n$ и доказал, что это многообразие можно отождествить с компактификацией Гротендика–Кнудсена пространства модулей $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$. Многообразие $\overline{\mathcal{M}}(0,5)$ оказалось поверхностью дель-Пеццо степени 5. Кольца когомологий многообразий $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ описаны в [22] (см. также [21]). Классы комплексных кобордизмов многообразий $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ играют важную роль в приложениях характера Черна в теории комплексных кобордизмов, см. [6] и [4]. В настоящей работе дана явная конструкция универсального пространства параметров $\mathcal{F}_n$ для $G_{n,2}$. Используя только эквивариантную топологию многообразия $G_{n,2}$, мы построили компактное гладкое многообразие $\mathcal{F}_n$ и доказали, что оно диффеоморфно многообразию $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ и, тем самым, фактору Чжоу $G_{n,2}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^n$. Мы предложили следующую постановку задачи компактификации алгебраического многообразия: пусть дано некоторое алгебраическое подмногообразие $X\subset(\mathbb{C} P^1)^{N}$, которое является открытым в его замыкании $\overline{X}\subset(\mathbb{C} P^{1})^{N}$, где $\overline{X}$ – гладкое компактное подмногообразие в $(\mathbb{C} P^1)^{N}$. И пусть дана некоторая подгруппа $\mathcal{A}(X)$ группы автоморфизмов многообразия $X$. Задача 1. Найти компактификацию $\mathcal{X}$ многообразия $X$, для которой существует проекция $p\colon \mathcal{X}\to \overline{X}$, ограничение которой на $X$ является тождественным отображением, и любой автоморфизм $f\in \mathcal{A}(X)$ продолжается до автоморфизма многообразия $\mathcal{X}$. В нашем случае роль многообразия $X$ играет пространство параметров $F_n$ главного страта $W_n$, записанное в координатах фиксированной стандартной карты многообразия $G_{n,2}$, которая явно определена в терминах координат Плюккера. Напомним, что пространство $W_n$ лежит в пересечении всех стандартных карт многообразия $G_{n,2}$. В качестве группы $\mathcal{A}(X)$ мы берем группу автоморфизмов многообразия $X$, которые явно определены переходами из выбранной карты во все остальные. Наша конструкция требуемой компактификации $\mathcal{X}$ многообразия $F_n$ использует известную в алгебраической геометрии конструкцию замечательной компактификации (wonderful compactification). Свойства этой конструкции позволили проверить, что описанные выше автоморфизмы пространства $F_n$ продолжаются до автоморфизмов пространства $\mathcal{X}$. В результате мы доказали, что пространство $\mathcal{X}$ совпадает с нашим пространством $\mathcal{F}_n$, которое диффеоморфно фактору Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ и, следовательно, компактификации Гротендика–Кнудсена $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ пространства $\mathcal{M}(0,n)$. Замечательной компактификацией комплексного многообразия $M$ называется комплексное гладкое многообразие $\widetilde{X}$ такое, что $D=\widetilde{X}\setminus M$ является дивизором с нормальными пересечениями в $\widetilde{X}$, неприводимые компоненты которых являются гладкими многообразиями, и любой набор связных компонент дивизора $D$ пересекается трансверсально. Такие сильные условия на компактификацию оказываются существенно важными во многих алгебраических и геометрических задачах, например, в задачах перечислительной алгебраической геометрии, в шубертовских перечислительных задачах, в описании рационального гомотопического типа многообразия $M$, в описании смешанной структуры Ходжа и кольца Чжоу многообразия $M$ и т.д. Понятие замечательной компактификации впервые появилось в работе де Кончини–Прочези [8] в контексте эквивариантной компактификации симметрических пространств $G/H$, см. также обстоятельные обзоры на эту тему [28] и [31]. Идея замечательной компактификации получила дальнейшее развитие и приложения во многих направлениях, таких как компактификация Фултона–Макферсона в [13], замечательные модели де Кончини–Прочези (см. [8], [9]), замечательная компактификация Ли (см. [27]) и совсем недавно в проективных замечательных моделях торических конфигураций де Кончини–Гайфи и в других работах, см. [10]–[12]. В настоящей работе мы показываем достоинства понятия замечательной компактификации в задаче об эквивариантной топологии многообразий Грассмана $G_{n,2}$ с каноническим $T^n$-действием. А именно, показываем, что замечательная компактификация из [27], связанная с конфигурацией подмногообразий, позволяет успешно решить задачу о правильной компактификации пространства параметров $F_n$ главного страта $W_n\subset G_{n,2}$. На этом пути мы получили гладкое многообразие $\mathcal{F}_n$ и построили модель $U_n=\mathcal{F}_n\times \Delta_{n,2}$ пространства орбит $G_{n,2}/T^n$, которая описывает структуру пространства $G_{n,2}/T^n$ в терминах непрерывной проекции $p_n\colon U_n \to G_{n,2}/T^n$, см. [5]. Фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ является компактификацией пространства орбит $W_n/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ главного страта $W_n\subset G_{n,2}$ и описывается в терминах многообразия Чжоу многообразия $G_{n,2}$, см. [19], [16]. Фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ можно отождествить с компактификацией Гротендика–Кнудсена $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ пространства $\mathcal{M}(0,n)$ рациональных кривых с $n$ отмеченными точками. Пространство $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ имеет ряд важных реализаций: 1) оно является пространством модулей стабильных рациональных кривых с $n$ различными отмеченными точками; 2) является log-канонической компактификацией, см. [24]; 3) является каноническим описанием пределов однопараметрических компактификаций, см. [20]. В [23] первые две реализации распространены на случай комплексных многообразий Грассмана $G_{n,k}$ для $k\geqslant 2$. В то же время показано, что третья реализация, которая верна для $G_{n,2}$, не верна для $k>2$ за гипотетическим исключением в некоторых специальных случаях. Отметим также, что согласно Капранову фактор Чжоу $X/\!/\,G$ доминирует все факторы геометрической теории инвариантов (GIT). В работе [18] для фактора Чжоу $X/\!/\,G$ проективного многообразия $X$ по редуктивной алгебраической группе $G$ приведены различные интерпретации с точки зрения алгебраической геометрии, симплектической геометрии и топологии. Приведем топологическую интерпретацию фактора Чжоу $X/\!/\,G$, следуя работе [18]. Рассмотрим полярное разложение $G=K\cdot A$ связной группы $G$, где $K\subset G$ – максимальная компактная подгруппа и $A\subset G$ – вполне разрешимая подгруппа. Например, группа $(\mathbb{C}^{\ast})^n$ имеет однозначное полярное разложение вида $(\mathbb{C}^{\ast})^n=T^n\cdot \mathbb{R}^n_{>0}$. Замыкания $A$-орбит точек многообразия $X$ называются многообразиями действия, и отображение моментов $\mu \colon X \to \mathbb{R}^{\dim K}$ задает взаимно однозначное соответствие между замыканиями $\overline{A\cdot x}$ и их образами $\mu (\overline{A\cdot x})$; многообразия действия для точек общего положения называются общими многообразиями действия. Вводится пространство модулей общих многообразий действия относительно действия группы $K$. Доказано, что компактификацию этого пространства модулей можно отождествить с фактором Чжоу $X/\!/\,G$. Точки нароста этой компактификации названы стабильными многообразиями действий. Стабильные многообразия действий задаются как объединения замыканий $A$-орбит максимальной размерности. Объединение многогранников моментов для орбит, соответствующих стабильным многообразиям действий, задает многогранник моментов многообразия $X$. Фактически описанная конструкция является обобщением результата Капранова (см. [19]) построения алгебраических циклов, дающих наросты при компактификации пространства параметров $W/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ в факторе Чжоу $G_{n,k}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ для главного страта $W\subset G_{n,k}$. Как уже упомянуто выше, в центре внимания настоящей статьи находится универсальное пространство параметров $\mathcal{F}_n$ канонического $T^n$-действия на $G_{n,2}$. Мы даем явное описание этого пространства и доказываем, что его можно отождествить с фактором Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$. Таким образом, мы получаем описание фактора Чжоу в терминах комбинаторных и топологических понятий, которые мы ввели ранее для описания пространства орбит $G_{n,2}/T^n$. В конструкции Капранова (см. [19]) точки нароста при компактификации в терминах фактора Чжоу задаются максимальными алгебраическими циклами в $G_{n,2}$. В нашей статье мы идем дальше и показываем, что компоненты нароста в $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ можно явно описать в терминах нашего комплекса допустимых многогранников и пространств параметров над ними. В нашем подходе ключевую роль играют кортежи $(n-1)$-мерных допустимых многогранников, которые задают полиэдральное разложение гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$. В случае фактора Чжоу $G_{5,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{5}$ мы детально сопоставляем наше описание пространства $\mathcal{F}_5$ с описанием Капранова наростов в факторе Чжоу. Центральным результатом нашей статьи является теорема 30, которая описывает компоненты нароста в факторе Чжоу в терминах камер в гиперсимплексе $\Delta_{n,2}$ и пространств параметров над ними. § 2. Пространство параметров $F_n$ главного страта многообразия $G_{n,2}$2.1. Вложение пространства $F_n$ в $(\mathbb{C} P^{1})^{N}$Напомним понятия главного страта $W_n$ в $G_{n,2}$ и его пространства параметров $F_n$ из [2] и [3], которые понадобятся нам для дальнейшего изложения. Главный страт $W_n\subset G_{n,2}$ характеризуется тем, что все его точки имеют ненулевые координаты Плюккера, из чего следует, что $W_n$ принадлежит любой стандартной карте $M_{ij}=\{ L\in G_{n,2} \mid P^{ij}(L)\neq 0\}$, $1\leqslant i<j\leqslant n$, многообразия Грассмана $G_{n,2}$. Главный страт $W_n$ инвариантен относительно канонического действия алгебраического тора $(\mathbb{C}^{\ast})^n$ и пространство орбит $F_n=W_n/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ называется пространством параметров страта $W_n$. Без ограничения общности рассмотрим $W_n$ как подпространство в $M_{12}$. Любую точку $L\in M_{12}$ можно представить в виде $(n\times 2)$-матрицы
$$
\begin{equation*}
A_{L}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ z_3 & w_3\\ \vdots & \vdots \\ z_n & w_n \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_3,\dots,z_n,w_3,\dots,w_n$ – локальные координаты точки $L$ в карте $M_{12}$. Точки $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-орбиты точки $L^{0}=(z_3^{0},\dots,z_n^{0},w_{3}^{0},\dots,w_n^{0})\in W_n$ удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
c_{ij}'z_iw_{j}=c_{ij}z_jw_{i}, \qquad 3\leqslant i<j\leqslant n,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $c_{ij}=z_{j}^{0}w_{i}^{0}$, $c_{ij}'=z_{i}^{0}w_{j}^{0}$. Заметим, что $(c_{ij}: c_{ij}')\in \mathbb{C} P^1$, причем $c_{ij}, c_{ij}'\neq 0$ и $c_{ij}\neq c_{ij}'$ для всех $3\leqslant i<j\leqslant n$. Следовательно, главный страт $W_n$ в карте $M_{12}$ описывается системой уравнений (1) с параметрами $(c_{ij}:c_{ij}')\in \mathbb{C} P^1$, где $c_{ij},c_{ij}'\neq 0$ и $c_{ij}\neq c_{ij}'$ для всех $3\leqslant i<j\leqslant n$. Число параметров $(c_{ij} : c_{ij}')$ равно $N=\dbinom{n-2}{2}$, и из (1) следует, что эти параметры удовлетворяют $\dbinom{n-2}{3}$ уравнениям
$$
\begin{equation}
c_{ij}'c_{ik}c_{jk}'=c_{ij}c_{ik}'c_{jk}, \qquad 3\leqslant i<j<k\leqslant n.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из (2) очевидно, что параметры $(c_{ij}: c_{ij}')$ удовлетворяют $M=\dbinom{n-3}{2}$ соотношениям
$$
\begin{equation}
(c_{ij}:c_{ij}')=(c_{3i}'c_{3j}: c_{3i}c_{3j}'), \qquad 4\leqslant i<j\leqslant n.
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
(c_{3i}:c_{3i}')\neq (c_{3j}:c_{3j}'), \qquad 4\leqslant i<j\leqslant n.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Таким образом, мы получаем, что пространство $F_n$ гомеоморфно пространству
$$
\begin{equation}
F_n\cong (\mathbb{C} P^{1}_{A})^{n-3}\setminus \Delta,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $A=\{(0:1), (1:1), (1:0)\}$, $\mathbb{C} P_A^{1}=\mathbb{C} P^{1}\setminus A$ и $\Delta=\bigcup_{3\leqslant i<j\leqslant n}\Delta_{ij}$ – объединение диагоналей $\Delta_{ij}\,{=}\,\{((c_{34}:c_{34}'), \dots, (c_{n-1,n}: c_{n-1,n}'))\,{\in}\, (\mathbb{C} P^{1}_{A})^{n-3} \mid (c_{3i}: c_{3i}')= (c_{3j}:c_{3j}')\}$. Уравнения (2) задают вложение пространства $F_n$ в $(\mathbb{C} P^{1})^{N}$, $N=\dbinom{n-2}{2}$. Таким образом, получаем следующую лемму. Лемма 2. Пространство параметров $F_n$ главного страта $W_n$ задается уравнениями (2) как подпространство в $(\mathbb{C} P^{1})^{N}$, $N=\dbinom{n-2}{2}$. Более того, мы получаем, что $F_n$ является открытым алгебраическим многообразием в $\overline{F}_n\subset (\mathbb{C} P^{1})^{N}$ и является пересечением кубических гиперповерхностей (2) при условии, что $(c_{ij}':c_{ij})\in \mathbb{C} P_A^{1}$. Заметим, что размерность многообразия $F_n$ равна $2(n-3)$, т.е. равна в точности $2(N-M)$. Предложение 3. Компактификация $\overline{F}_n$ многообразия $F_n$ в $(\mathbb{C} P^{1})^{N}$ является гладким алгебраическим многообразием, заданным уравнениями Доказательство. Рассмотрим градиенты функций $f_{ijk}{=}\,c_{ij}c_{ik}'c_{jk} - c_{ij}'c_{ik}c_{jk}'$, которые задают многообразие $\overline{F}_n$. Можно непосредственно проверить, что в каждой точке этого многообразия существует $M=\dbinom{n-3}{2}$ линейно независимых векторов во множестве значений градиентов функций $f_{ijk}$. Отсюда следует, что $\overline{F}_n$ является гладким алгебраическим многообразием вещественной размерности $2(N-M)$, где $N=\dbinom{n-2}{2}$ и $M=\dbinom{n-3}{2}$. Предложение доказано. 2.2. Проблема компактификации пространства $F_n$Наш подход к построению правильной компактификации пространства параметров $F_n$ главного страта $W_n\subset G_{n,2}$ опирается на результаты наших работ [2] и [3], в которых получено описание топологии пространства орбит $G_{n,2}/T^n$. Используя координаты Плюккера, введем стратификацию многообразия Грассмана $G_{n,2}$ такую, что $G_{n,2}=\bigcup_{\sigma}W_{\sigma}$, где $\sigma \subset \{\{i,j\}\subset \{1, \dots,n\},\ i\neq j\}$ и
$$
\begin{equation*}
W_{\sigma}=\{ L\in G_{n,2} \mid P^{ij}(L)\neq 0 \ \text{только для } \{i,j\} \in \sigma\}\neq\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Страты $W_{\sigma}$ попарно не пересекаются, каждый из них $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-инвариантен и, следовательно, $T^n$-инвариантен. Таким образом, определена индуцированная стратификация пространства орбит Главный страт $W_n$ является открытым всюду плотным множеством в $G_{n,2}$ и тор $T^{n-1}=T^n/S^1$ действует свободно на нем. В [2] мы доказали, что где $\Delta_{n,2}$ – гиперсимплекс. Определение 4. Многогранник $P_{\sigma}\subset \Delta_{n,2}$, где называется допустимым многогранником страта $W_{\sigma}$. Для каждого страта $W_{\sigma}$ определен гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
W_{\sigma}/T^n\cong \mathring{P}_{\sigma}\times F_{\sigma},
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_{\sigma}=W_{\sigma}/(\mathbb{C}^{\ast})^n$, см. [2]. Так как главный страт $W_n$ является открытым всюду плотным в $G_{n,2}$, то, используя задающие его уравнения (1), получаем, что любому страту $W_{\sigma}$ можно сопоставить подпространство $\widetilde{F}_{\sigma}\subset \mathcal{F}_n$ для любой компактификации $\mathcal{F}_n$ пространства $F_n$. Наша конструкция пространства орбит $G_{n,2}/T^n$ требует найти компактификацию $\widehat{\mathcal{F}}_n$ для пространства $F_n$ такую, что $\widehat{\mathcal{F}}_n=\bigcup_{\sigma}\widetilde{F}_{\sigma}$, где пространства $\widetilde{F}_{\sigma}$ обладают проекциями $p_{\sigma} \colon \widetilde{F}_{\sigma}\to F_{\sigma}$ для каждого страта $W_{\sigma}$. Для этого была использована следующая идея. Пусть страт $W_{\sigma}$ лежит в карте $M_{ij}$, тогда для данной компактификации $\widehat{\mathcal{F}}_n$ ему можно сопоставить пространство $\widetilde{F}_{\sigma, ij}\subset \widehat{\mathcal{F}}_n$, используя тот факт, что $W_{\sigma}/T^n$ лежит на границе пространства обит $W_n/T^n$. Компактификация $\widehat{\mathcal{F}}_n$ является искомой, если пространство $\widetilde{F}_{\sigma, ij}$ не зависит от выбора карты $M_{ij}$ такой, что $W_{\sigma}\subset M_{ij}$. В результате мы начали с рассмотрения описанного выше компактного гладкого многообразия $\overline{F}_n\subset (\mathbb{C} P^{1})^{N}$, получили все соответствующие ему подпространства $\widetilde{F}_{\sigma, ij}\subset \overline{F}_n$ и нашли модификации $\widetilde{F}_{\sigma}$ этих пространств $\widetilde{F}_{\sigma, ij}$, не зависящие от выбора карты $M_{ij}$. 2.3. Автоморфизмы пространства $F_n$, индуцированные заменами координатГлавный страт $W_n$ лежит в пересечении стандартных карт и в каждой карте получает описание в терминах координат Плюккера. Уравнения (1) и (2) дают это описание в координатах карты $M_{12}$. Отождествляя пространство $W_n$ с его описаниями в картах $M_{ij}$, $i<j$, мы получаем, что отображения перехода из одной карты в другую индуцируют автоморфизмы пространства параметров $F_n$ главного страта $W_n$. Приведем явное описание автоморфизмов пространства $F_n$, индуцированных отображениями перехода из карты $M_{12}$ в карту $M_{ij}$, $i<j$, $\{1,2\}\neq \{i,j\}$. Обозначим локальные координаты точки в карте $M_{12}$ через и через
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, z_{1}', \dots, z_{i-1}', z_{i+1}', \dots, z_{j-1}', z_{j+1}', \dots, z_n', \\ w_{1}', \dots, w_{i-1}',w_{i+1}', \dots, w_{j-1}', w_{j+1}', \dots, w_n' \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
локальные координаты точки в карте $M_{ij}$. Далее, пусть $(c_{pq}: c_{pq}')$, $3\leqslant p<q\leqslant n$, – координаты точки пространства $F_n$ в карте $M_{12}$ и $(d_{kl}: d_{kl}')$, $1\leqslant k<l\leqslant n$, $k,l\neq i,j$, – координаты этой же точки в карте $M_{ij}$. Рассмотрим следующие случаи. 1) $i=1$ и $3\leqslant j\leqslant n$, т.е. рассмотрим карту $M_{1j}$. Тогда мы имеем
$$
\begin{equation}
z_{2}'=-\frac{z_j}{w_j}, \qquad z_{k}'=\frac{z_{k}w_{j}-z_{j}w_{k}}{w_j}, \quad k\geqslant 3,
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation*}
w_{2}'=\frac{1}{w_{j}}, \qquad w_{k}'=\frac{w_{k}}{w_{j}}, \quad k\geqslant 3.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5. Координаты $(c_{pq}: c_{pq}')$ и $(d_{kl}:d_{kl}')$ точки пространства параметров $F_n$ в картах $M_{12}$ и $M_{1j}$, $ 3\leqslant j\leqslant n$, соответственно связаны соотношениями Втрое соотношение можно переписать в виде Доказательство. В карте $M_{1j}$ главный страт записывается уравнениями
Подставляя соотношения (6) в эти уравнения, получаем
$$
\begin{equation*}
- d_{2l}'\frac{z_j}{w_j}\,\frac{w_{l}}{w_{j}}=d_{2l}\frac{z_lw_j-z_jw_l}{w_j}\, \frac{1}{w_j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
d_{2l}'=-d_{2l} \biggl(\frac{z_lw_j}{z_jw_l}-1\biggr) =d_{2l}\biggl(1-\frac{c_{jl}'}{c_{jl}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, Для $k\geqslant 3$ аналогичным образом получаем
$$
\begin{equation*}
d_{kl}'w_{l}(z_kw_j-z_jw_k)=d_{kl}w_{k}(z_lw_j - z_jw_l).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Таким образом, Лемма доказана. 2) $i=2$ и $3\leqslant j\leqslant n$, т.е. рассмотрим карту $M_{2j}$. Тогда мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, z_{1}'=-\frac{w_j}{z_j}, \qquad z_{k}'=\frac{z_{j}w_{k}-z_{k}w_{j}}{z_j}, \quad k\geqslant 3, \\ w_{1}'=\frac{1}{z_{j}}, \qquad w_{k}'=\frac{z_{k}}{z_{j}}, \quad k\geqslant 3. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти уравнения в уравнения главного страта в координатах карты $M_{2j}$, мы получаем следующую лемму. Лемма 6. Координаты $(c_{pq}: c_{pq}')$ и $(d_{kl}:d_{kl}')$ точки пространства параметров $F_n$ в картах $M_{12}$ и $M_{2j}$, $ 3\leqslant j\leqslant n$, соответственно связаны соотношениями Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 5. 3) $3\leqslant i<j\leqslant n$, т.е. рассмотрим карту $M_{ij}$. Тогда мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, z_{1}'=\frac{w_{j}}{z_{i}w_{j}-z_{j}w_{i}}, \qquad z_{2}'= -\frac{z_{j}}{z_{i}w_{j}-z_{j}w_{i}}, \qquad z_{k}'=\frac{z_{k}w_{j}-z_{j}w_{k}}{z_{i}w_{j}-z_{j}w_{i}}, \quad k\geqslant 3. \\ w_{1}'=\frac{w_{i}}{z_{j}w_{i}-z_{i}w_{j}}, \qquad w_{2}'= -\frac{z_{i}}{z_{j}w_{i}-z_{i}w_{j}}, \qquad w_{k}'= \frac{z_{k}w_{i}-z_{i}w_{k}}{z_{j}w_{i}-z_{i}w_{j}}, \quad k\geqslant 3. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для координат точек пространства параметров $F_n$ в этой карте мы получаем следующее утверждение. Лемма 7. Координаты $(c_{kl}: c_{kl}')$ и $(d_{kl}:d_{kl}')$ точки пространства параметров $F_n$ в картах $M_{12}$ и $M_{ij}$, $3\leqslant i<j\leqslant n$, соответственно связаны соотношениями Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 5. Замечание 8. Таким образом, мы получили семейство $\{f_{12,ij}\}$, где $i=1$, $j\geqslant 3$ или $2\leqslant i<j\leqslant n$, гомеоморфизмов пространства $F_n$, заданных переходом из карты $M_{12}$ в карту $M_{ij}$. Любой гомеоморфизм $f_{kl, pq}$ пространства $F_n$, индуцированный отображением перехода из карты $M_{kl}$ в карту $M_{pq}$, можно представить в виде $f_{kl, pq}=f_{12, pq} \circ f^{-1}_{12, kl}$. § 3. Конструкция пространства $\widehat{\mathcal{F}}_n$ методом замечательной компактификацииМы хотим найти компактификацию $\widehat{\mathcal{F}}_n$ пространства $F_n$ такую, чтобы гомеоморфизмы $\{f_{12, ij}\}$ пространства $F_n$, индуцированные отображениями перехода из карты $M_{12}$ в карты $M_{ij}$, продолжались до гомеоморфизмов пространства $\widehat{\mathcal{F}}_n$. Согласно замечанию 8 достаточно рассмотреть только семейство $\{f_{12, ij}\}$, так как тогда любой гомеоморфизм $f_{kl, pq}$ пространства $F_n$, индуцированный отображением перехода из карты $M_{kl}$ в карту $M_{pq}$, может быть канонически продолжен до гомеоморфизма пространства $\widehat{\mathcal{F}}_n$. 3.1. Компактификация $\overline{F}_n$ пространства $F_n$ в $(\mathbb{C} P^{1})^{N}$Рассмотрим пространство $\overline{F}_n\subset (\mathbb{C} P^{1})^{N}$, $N=\dbinom{n-2}{2}$, заданное уравнениями
$$
\begin{equation*}
\overline{F}_n=\{ ((c_{ij}:c_{ij}')),\ 3\leqslant i<j\leqslant n,\ c_{ik}c_{il}'c_{kl}=c_{ik}'c_{il}c_{kl}',\ 3\leqslant i<k<l\leqslant n\},
\end{equation*}
\notag
$$
которое согласно утверждению 3 является гладким алгебраическим многообразием и представляет собой компактификацию пространства $F_n$ в $(\mathbb{C} P^{1})^{N}$. Компактификация $\overline{F}_n$ не удовлетворяет нашим требованиям, так как очевидно, что гомеоморфизмы пространства $F_n$, описанные в предыдущих леммах, для $n>4$ не могут быть непрерывно продолжены на пространство $\overline{F}_n$. Заметим, что для $n=4$ эти гомеоморфизмы продолжаются до гомеоморфизмов пространства $\overline{F}_{4}=\mathbb{C} P^{1}$. Более детально, границей пространства $F_n$ в $\overline{F}_n$ является пространство $\overline{F}_n\,{\setminus}\, F_n$, которое состоит из точек $(c_{ij}:c_{ij}')\in \overline{F}_n$ таких, что либо $c_{ij}=0$, либо $c_{ij}'=0$, либо $c_{ij}=c_{ij}'$ для некоторых $ 3\leqslant i<j\leqslant n$. Гомеоморфизмы, описанные в предыдущих леммах, нельзя непрерывно продолжить на граничные точки пространства $F_n$ такие, что $c_{jk}=c_{jk}'$ и $c_{jl}=c_{jl}'$ для некоторых $3\leqslant j<k<l\leqslant n$. Более того, даже в том случае, когда эти гомеоморфизмы можно продолжить на некоторое подмножество границы $\overline{F}_n\setminus F_n$, то эти продолжения не являются гомеоморфизмами. Например, подмногообразие в $\overline{F}_n\setminus F_n$, заданное уравнениями $c_{34}'= c_{35}'=0$, отображается при непрерывном продолжении гомеоморфизма $f_{12,13}$, описанного в лемме 5 для $j=3$, в подмногообразие, заданное уравнениями $d_{24}=d_{24}'$, $d_{25}=d_{25}'$ и $d_{45}=d_{45}'$. В частности, при $n=5$ это означает, что подмногообразие $((1:0), (1:0), (c_{45}:c_{45}'))$ отображается в точку $((1:1), (1:1), (1:1))$, см. также [2]. Таким образом, это расширение не является гомеоморфизмом. Подмногообразие в $\overline{F}_n$, состоящее из всех точек, на которые не продолжаются гомеоморфизмами отображения $\{f_{12, ij}\}$, назовем особым для $\{f_{12, ij}\}$. Наш подход для преодоления описанных выше трудностей заключается в применении раздутия (сигма-процесса) гладкого компактного многообразия $\overline{F}_n$ вдоль подмногообразия, особого для $\{f_{12, ij}\}$. Мы реализуем этот подход, используя технику, известную в алгебраической геометрии как замечательная компактификация вдоль конфигурации подмногообразий. 3.2. Основные факты о замечательной компактификацииПусть дано гладкое комплексное многообразие $X$ и его подмногообразие, которое в определенном смысле считается особым. Замечательной компактификацией многообразия $X$ называется гладкое компактное многообразие $\widetilde X$, которое разрешает особенности многообразия $X$ вдоль этого особого подмногообразия. Более точно, гладкая компактификация $\widetilde{X}$ комплексного многообразия $X$ называется замечательной, когда $D=\widetilde{X}\setminus X$ является дивизором с нормальными пересечениями в $\widetilde{X}$, неприводимые компоненты которого гладкие, и любое число неприводимых компонент связности дивизора $D$ пересекаются трансверсально. В литературе встречается несколько примеров замечательных компактификаций. Прежде всего упомянем компактификацию симметрических пространств, данную де Кончини и Прочези в [7], в которой $X$ – симметрическое пространство $G/H$ присоединенной полупростой группы Ли, а $\widetilde{X}$ – гладкое компактное многообразие с $G$-действием такое, что $\widetilde{X}$ имеет открытую орбиту, изоморфную пространству $G/H$, имеет всего конечное число $G$-орбит, при этом все замыкания орбит гладкие и в любом наборе замыкания орбит пересекаются трансверсально. Другим примером является компактификация конфигурационных пространств, данная Фултоном и Макферсоном в [13], в которой $X$ – открытое подмножество декартова произведения $M^n$ данного неособого многообразия $M$ (т.е. $X$ определяется как дополнение к множеству всех диагоналей), а $\widetilde{X}$ определяется последовательностью раздутий произведения $M^n$ вдоль неособых подмногообразий, представляющих все диагонали. Примером замечательной компактификации является также компактификация конфигурации дополнений линейных подпространств, полученная также де Кончини и Прочези в [8], в которой $X$ – конечномерное векторное пространство, а $\widetilde{X}$ получается заменой любого данного семейства его подпространств дивизором с нормальными пересечениями. В недавней статье Ли [27] описана замечательная компактификация, определенная для данной конфигурации подмногообразий, и в этом случае $X$ является неособым многообразием, а $\widetilde{X}$ получается заменой конфигурации любого набора из данных подмногообразий на дивизор с нормальными пересечениями. Доказано, что любая из перечисленных выше компактификаций может быть построена последовательным применением операций раздутия вдоль соответствующих подмногообразий и преобразованиями результатов этих раздутий. Напомним основные факты о замечательной компактификации, необходимые для изложения наших результатов, следуя статье Ли [27]. Пусть $Y$ – неособое многообразие. Говорят, что подмногообразия $S_1,\dots,S_k$ в $Y$ пересекаются трансверсально, если $k=1$, а в случае $k>1$ для любой точки $p\in \bigcap_{i=1}^{k}S_i$ выполняется равенство В этом случае
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}\biggl(\bigcap_{i=1}^{k} T(S_i), T(Y)\biggr) =\sum_{i=1}^{k}\operatorname{codim}(S_i, Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 9. Конфигурацией подмногообразий в $Y$ называется конечное множество $\mathcal{S}=\{S_{i}\}$ неособых собственных замкнутых подмногообразий $S_i\subset Y$, удовлетворяющих следующим условиям. (1) Пересечение $S_{i}\cap S_{j}$ либо равно некоторому $S_k$, либо пусто. (2) Каждое непустое пересечение многообразий $S_i$ и $S_j$ является чистым, т.е. неособым, и для касательных расслоений выполняется соотношение Определение 10. Пусть $\mathcal{S}$ – некоторая конфигурация подмногообразий в $Y$. Подмножество $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{S}$ называется производящим множеством для $\mathcal{S}$, если для любого $S\in \mathcal{S}$ множество минимальных элементов в $\{G\in \mathcal{G}\colon S\subseteq G\}$ пересекаются трансверсально, и их пересечением является $S$. Такие минимальные элементы называются $\mathcal{G}$-факторами множества $S$. Конечное множество $\mathcal{G}$ неособых подмногообразий в $Y$ называется производящим множеством, если множество всех возможных пересечений наборов подмногообразий из $\mathcal{G}$ образует конфигурацию $\mathcal{S}$ и если $\mathcal{G}$ является производящим множеством для $\mathcal{S}$. Такая конфигурация $\mathcal{S}$ называется индуцированной множеством $\mathcal{G}$. Определение 11. Подмножество $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{G}$ называется $\mathcal{G}$-гнездом ($\mathcal{G}$-nest), если существует флаг элементов в конфигурации $\mathcal{S}\colon S_1\subseteq S_2\subseteq \dots\subseteq S_\ell$ такой, что выполняется одно из следующих эквивалентных условий. (1) Выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}=\bigcup_{i=1}^\ell \{ A\colon \text{$A$ пробегает $\mathcal{G}$-факторы множества $S_i$} \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Такое множество $\mathcal{T}$ называется индуцированным флагом $S_1\subseteq S_2\subseteq \dots\subseteq S_\ell$. (2) Пусть $A_1,\dots,A_k$ – элементы, минимальные в $\mathcal{T}$, тогда все они являются $\mathcal{G}$-факторами некоторого элемента из $\mathcal{S}$. Для любого $1 \leqslant i \leqslant k$ множество $\{ A\in \mathcal{T}\colon A\supsetneq A_i \}$ также является $\mathcal{G}$-гнездом, которое определяется по индукции. Отметим, что условие (2) требует, чтобы каждое множество $\mathcal{T}\setminus A_i$ было $\mathcal{G}$-гнездом, согласно последовательному применению данного определения. Определение 12. Пусть $Y$ – неособое многообразие, $\mathcal{G}$ – непустое производящее множество и $Y^{\circ}=Y\setminus \bigcup_{G\in \mathcal{G}}G$. Замыкание образа замкнутого диагонального вложения называется замечательной компактификацией с производящим множеством $\mathcal{G}$ и обозначается $Y_{\mathcal{G}}$. Сформулируем две ключевые теоремы из [27]: первая утверждает, что замечательная компактификация $Y_{\mathcal{G}}$ является неособым многообразием, а вторая описывает компактификацию $Y_{\mathcal{G}}$ как результат серии раздутий, определенных производящим множеством $\mathcal{G}$. Теорема 13. Пусть $Y$ – неособое многообразие, а $\mathcal{G}$ – непустое производящее множество подмногообразий в $Y$. Тогда замечательная компактификация $Y_{\mathcal{G}}$ является неособым многообразием. Более того, для любого $G\in \mathcal{G}$ существует неособый дивизор $D_{G}\subset Y_{\mathcal{G}}$ такой, что: (1) объединением дивизоров $D_{G}$ является $Y_{\mathcal{G}}\setminus Y^{\circ}$; (2) любой набор дивизоров $D_{G}$ пересекается трансверсально; пересечение дивизоров $D_{G_1}\cap \dotsb \cap D_{G_r}$ непусто тогда и только тогда, когда $\{G_1,\dots,G_r\}$ образуют $\mathcal{G}$-гнездо. Напомним понятие, связанное с операцией раздутия, необходимое для формулировки следующей теоремы. Определение 14. Пусть $Z$ – неособое подмногообразие неособого многообразия $Y$ и $\operatorname{Bl}_{Z}Y$ – раздутие многообразия $Y$ вдоль $Z$. Обозначим через $\pi\colon \operatorname{Bl}_{Z}Y \to Y$ каноническую проекцию. Для любого неприводимого подмногообразия $V\subset Y$ его доминантное преобразование $\widetilde{V}$ описывается следующим образом: – пусть $V\not\subseteq Z$, тогда $\widetilde{V}$ определяется как замыкание множества $\pi^{-1}(V\setminus (V\cap Z))$ в $\operatorname{Bl}_{Z}Y$ и называется строгим преобразованием многообразия $V$; – пусть $V\subseteq Z$, тогда $\widetilde{V}$ определяется как $\pi^{-1}(V)$ в смысле теории схем. Основанием для введения данного понятия доминантного преобразования послужил тот факт, что собственный прообраз подмногообразия, содержащегося в центре раздутия, пуст. В наших приложениях всегда будет выполняться условие $V\not\subset Z$, поэтому $\widetilde{V}$ всегда будет строгим преобразованием. Теорема 15. Пусть $Y$ – неособое многообразие и $\mathcal{G}$ – непустое производящее множество подмногообразий в $Y$. Пусть производящее множество $\mathcal{G}=\{G_1,\dots,G_{Q}\}$ упорядочено так, что множества подмногообразий $\{G_1,\dots,G_i\}$ образуют производящее множество для любого $1\leqslant i\leqslant Q$. Тогда последовательное применение раздутий дает гладкое многообразие где $\widetilde{G}_{i}$ – неособое многообразие, полученное в результате итерации доминантных преобразований многообразия $G_{i}$ в $\operatorname{Bl}_{\widetilde{G}_{i-1}}\dotsb \operatorname{Bl}_{\widetilde {G}_{2}}\operatorname{Bl}_{G_1}Y$, $2\leqslant i\leqslant Q$. Гладкое многообразие $X_{\mathcal{G}}$ совпадает с замечательной компактификацией $Y_{\mathcal{G} }$. Обратим внимание на следующий факт, который понадобится нам в дальнейшем. Лемма 16. Пусть конечное множество неособых подмногообразий $\mathcal{G}$ неособого многообразия $Y$ удовлетворяет следующим условиям: $\bullet$ $\mathcal{G}$ содержит все пересечения своих элементов; $\bullet$ любые два элемента из $\mathcal{G}$ пересекаются чисто. Тогда $\mathcal{G}$ является производящим множеством. Доказательство. В условиях леммы множество $\mathcal{G}$ является конфигурацией с производящим множеством $\mathcal{G}$, так как любое множество $S\in \mathcal{G}$ является наименьшим элементом множества $\{G\in \mathcal{G} \mid S\subseteq G\}$. Лемма доказана. Дадим теперь краткий комментарий к доказательству теоремы 15, см. [27], которое существенно опирается на следующий результат, доказанный также в [27]. Пусть $Y$ – неособое многообразие и $F$ – минимальный элемент в производящем множестве $\mathcal{G}=\{G_1,\dots,G_N\}$, индуцированном конфигурацией $\mathcal{S}$, и $E$ – исключительный дивизор в раздутии $\operatorname{Bl}_{F}Y$. Тогда набор подмногообразий $\widetilde{\mathcal{S}}$ в $\operatorname{Bl}_{F}Y$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{S}}=\{\widetilde{S}\}_{S\in \mathcal{S}} \cup \{\widetilde{S}\cap E\}_{\varnothing \neq S\cap F\varsubsetneq S},
\end{equation*}
\notag
$$
является конфидурацией подмногообразий в $\operatorname{Bl}_{F}Y$ и $\widetilde{\mathcal{G}}= \{\widetilde{G}\}_{G\in \mathcal{G}}$ является производящим множеством в $\widetilde{\mathcal{S}}$. Приведем план доказательства теоремы 15. Используя частичный порядок по вложению подмногообразий из множества $\mathcal{G}$, найдем минимальное подмногообразие $F\subset Y$ и проведем раздутие многообразия $Y$ вдоль $F$. Затем, опираясь на сформулированный выше результат, последовательно повторим процедуру раздутия с доминантным преобразованием $\widetilde{\mathcal{G}}$ множества $\mathcal{G}$ в $\operatorname{Bl}_{F}Y$. 3.3. Пространство $\widehat{\mathcal{F}}_n$ как замечательная компактификация, основанная на $\overline{F}_n$Рассмотрим многообразие $\overline{F}_n\subset(\mathbb{C} P^{1})^{N}$, описанное в предложении 3. Положим
$$
\begin{equation}
\widehat{F}_{I}=\overline{F}_n\cap \{(c_{ik}:c_{ik}')=(c_{il}:c_{il}')= (c_{kl}:c_{kl}')=(1:1)\}
\end{equation}
\tag{7}
$$
для $I=\{i,k,l\}\in \{I\subset \{1, \dots, n\},\ |I|=3\}$ и $n\geqslant 5$. Возьмем $Y=\overline{F}_n$ и рассмотрим множества $\mathcal{G}_n$: $\bullet$ $\mathcal{G}_n=\varnothing$ для $n=4$; $\bullet$ $\mathcal{G}_n=\{G=\bigcap_{I}\widehat{F}_{I}\subset \overline{F}_n\}$ содержит все возможные непустые пересечения многообразий $\widehat{F}_{I}$. Обозначим через $\widehat{F}_{I_1,\dots,I_k}$ элемент $G\in \mathcal{G}_n$ вида $G= \widehat{F}_{I_1}\cap \dotsb \cap \widehat{F}_{I_k}$. Доказательство. Любое пересечение элементов из $\mathcal{G}_n$ принадлежит множеству $\mathcal{G}_n$. Множество $\mathcal{G}_n$ является конфигурацией, так как очевидно, что пересечение двух элементов множества $\mathcal{G}_n$ либо пусто, либо принадлежит множеству $\mathcal{G}_n$, и любые два элемента пересекаются чисто. Это вытекает из описания подмногообразий ${F}_{I_1,\dots,I_k}\subset (\mathbb{C} P^{1})^{N}$, заданных уравнениями (2), и из того факта, что для $S_1=\widehat{F}_{I_{i_1},\dots I_{i_k}}$, $S_2=\widehat{F}_{I_{j_1},\dots I_{j_l}}\in \mathcal{S}$ верно равенство
Используя теперь лемму 16, получаем, что $\mathcal{G}_n$ является производящим множеством. Лемма доказана. Далее докажем, что производящие множества $\mathcal{G}_n$ удовлетворяют условию теоремы 15. Лемма 18. Каждое введенное выше производящее множество $\mathcal{G}_n$ может быть упорядочено в виде $\mathcal{G}_n=\{G_1,\dots,G_{Q}\}$ таким образом, что наборы подмногообразий $\{G_1,\dots,G_i\}$ образуют производящие множества для любого $1\leqslant i\leqslant Q$. Доказательство. Элементу $G=\widehat{F}_{I_1,\dots,I_k}\in \mathcal{G}_n$ поставим в соответствие число $\mathfrak{o}(G)$, равное количеству координат точек многообразия $\overline{F}_n\subset (\mathbb{C} P^1)^{N}$, которые определяются множеством $I_1\cup \dotsb \cup I_k$. Другими словами, $\mathfrak{o}(G)$ – это число координат вида $(1:1)$, общих для всех точек из $G$.
Используя уравнения (2) и формулу (7), получаем, например, что если $k=2$ и $I_1=\{3,4,5\}$, $I_2=\{3,4,6\}$, то $\mathfrak{o}(G)=6$, а для $I_1=\{3,4,5\}$, $I_2=\{3,6,7\}$ мы имеем, что $\mathfrak{o}(G)=10$. Отметим, что в случае $I_1\cap I_2=\varnothing$ всегда имеем $\mathfrak{o}(G)=6$. Определим отношение эквивалентности на $\mathcal{G}_n$ следующим образом: $G_1$ и $G_2$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $\mathfrak{o}(G_1)=\mathfrak{o}(G_2)$. Обозначим через $\widetilde{\mathcal{G}}_{1}, \dots, \widetilde{\mathcal{G}}_{m}$ соответствующие классы эквивалентности. Упорядочим эти классы эквивалентности в обратном порядке относительно значений чисел $\mathfrak{o}(\widetilde{\mathcal{G}}_{i})$, т.е. $\widetilde{\mathcal{G}}_{i}<\widetilde{\mathcal{G}}_{j}$ тогда и только тогда, когда $\mathfrak{0}(\widetilde{\mathcal{G}}_{i})>\mathfrak{o}(\widetilde{\mathcal{G}}_{j})$. Отсюда вытекает, что класс $\widetilde{\mathcal{G}}_{1}$ содержит только точку $(1:1)^{N}$, тогда как $\widetilde{\mathcal{G}}_{m}$ состоит из всех множеств $\widehat{F}_{I}$. Далее упорядочим элементы исходного множества $\mathcal{G}_n$ следующим образом: сначала ставим $G_1=(1:1)^{N}$, затем ставим элементы из $\widetilde{\mathcal{G}}_{2}$ в произвольном порядке, после этого ставим элементы из $\widetilde{\mathcal{G}}_{3}$ в произвольном порядке и т.д., в конце ставим элементы из $\widetilde{\mathcal{G}}_{m}$, т.е. множества $\widehat{F}_{I}$ в произвольном порядке. Таким образом, мы получаем упорядоченное множество $\mathcal{G}_n=\{G_1,\dots,G_{Q}\}$. Элементы этого множества пересекаются чисто, поэтому множества $\{G_1,\dots,G_{i}\}$ являются производящими для любого $1\leqslant i\leqslant Q$. Лемма доказана. Обозначим через $\widehat{\mathcal{F}}_n$ гладкое компактное многообразие $Y_{\mathcal{G}}$, которое является замечательной компактификацией с производящим множеством $\mathcal{G}=\mathcal{G}_n$ и $Y= \overline{F}_n$. Замечание 19. При $n=5$ производящее множество $\mathcal{G}_{5}$ состоит из одной точки $P=((1:1),(1:1),(1:1))$, и, следовательно, $\widehat{\mathcal{F}}_{5}=\operatorname{Bl}_{P}\overline{F}_{5}$, ср. с описанием в [3]. При $n=6$ описание многообразия $\widehat{\mathcal{F}}_{6}$ более сложное и его получение позволило нам продемонстрировать общий подход, см. пример 4.18 из [5] и п. 4.2 настоящей работы. Итак, для каждого $n$ мы построили гладкое многообразие $F_n\subset (\mathbb{C} P^{1})^{N}$, которое является открытым подмножеством в $\overline{F}_n\subset(\mathbb{C} P^{1})^{N}$, и выбрали группу автоморфизмов $\mathcal{A}=\{f_{ij,kl}\}$ пространства параметров $F_n$ главного страта $W_n$, которые индуцированы отображениями перехода из карт $M_{ij}$ в карты $M_{kl}$ многообразия $G_{n,2}$. Покажем, что эта компактификация $\widehat{\mathcal{F}}_n$ многообразия $F_n$ обладает требуемым свойством, о котором написано во введении. Теорема 20. Гомеоморфизмы многообразия $F_n$ из множества $\mathcal{A}$ продолжаются до гомеоморфизмов многообразия $\widehat{\mathcal{F}}_n$. Доказательство. Так как $f_{ij,kl}=f_{12, kl} \circ f^{-1}_{12,ij}$, то достаточно доказать теорему только для гомеоморфизмов $f_{12,ij}$. Проведем доказательство для гомеоморфизмов $f_{12, 1j}$, описанных в лемме 5. В остальных случаях доказательство аналогично.
Обсудим сначала задачу продолжения гомеоморфизмов $f_{12,ij}$ на границу $\overline{F}_n\setminus F_n$. Эта граница задается условиями или $(c_{kl}:c_{kl}')=(1:0)$, или $(0:1)$, или $(1:1)$ для некоторых $3\leqslant k<l\leqslant n$. Проведем анализ каждого из этих случаев, используя уравнения $c_{kl}c_{kp}'c_{lp}=c_{kl}'c_{kp}c_{lp}'$, определяющие многообразия $\overline{F}_n$, и выражения для гомеоморфизмов $f_{12,1j}$, полученные в лемме 5. $\bullet$ Пусть $k\neq j$. Для $c_{kl}'=0$ мы имеем, что либо $c_{kp}'=0$, либо $c_{lp}=0$, откуда следует, что $d_{kl}'=0$ и либо $d_{kp}'=0$, либо $d_{lp}=0$. Для $c_{kl}=0$ мы имеем, что либо $c_{kp}=0$, либо $c_{lp}'=0$, и, следовательно, $d_{kl}=0$ и либо $d_{kp}=0$, либо $d_{lp}'=0$. Для $c_{kl}=c_{kl}'$ мы имеем $(c_{lp}:c_{lp}')=(c_{kp}:c_{kp}')$, откуда следует, что $d_{kl}=d_{kl}'$ и$(d_{lp}:d_{lp}')=(d_{kp}:d_{kp}')$. $\bullet$ Пусть $k=j$. Если $c_{jl}=c_{jp}=0$, то $d_{2l}=d_{2p}=0$, а если $c_{jl}=c_{lp}'=0$, то $d_{2l}=d_{lp}'=0$. Если $c_{jl}'=c_{jp}'=0$, то в качестве точки $(c_{lp}:c_{lp}')$ можно взять произвольную точку многообразия $\mathbb{C} P^1$, так как мы имеем, что $(d_{2l}:d_{2l}')=(d_{2p}:d_{2p}')=(d_{lp}:d_{lp}')=(1:1)$. Заметим, что в этом случае гомеоморфизм $f_{12, 1j}$ продолжается на такие точки границы, но это продолжение уже не будет гомеоморфизмом. Если $c_{jl}'=c_{lp}=0$, то $d_{2l}=d_{2l}'$ и $d_{lp}=0$. В случае $c_{jl}=c_{jl}'$ мы имеем, что $(c_{lp}:c_{lp}')=(c_{jp}: c_{jp}')$, откуда следует, что $d_{2l}'=0$ и $(d_{lp}:d_{lp}')=(d_{jp}:d_{jp}')$. Суммируя вышесказанное, мы приходим к выводу, что гомеоморфизм $f_{12,1j}$ нельзя непрерывно продолжить на подмногообразия $\widehat{F}_{I} \subset \overline{F}_n\setminus F_n$, $I=\{j,l,p\}$, заданные уравнениями $(c_{jl}:c_{jl}')=(c_{jp}:c_{jp}')=(c_{lp}:c_{lp}')=(1:1)$, и что гомеоморфизм $f_{12,1j}$ может быть непрерывно, но не в качестве гомеоморфизма, продолжен на подмногообразия $\breve{F}_{I}\subset \overline{F}_n\setminus F_n$, $I=\{j,l,p\}$, т.е. на семейство подмногообразий, состоящее из всех возможных непустых пересечений подмногообразий, заданных уравнениями $(c_{jl};c_{jl}')=(c_{jp}:c_{jp}')=(1:0)$. Обозначим через $\mathcal{G}(j)$ семейство подмногообразий, состоящее из всех возможных непустых пересечений подмногообразий $\widehat{F}_{I}$, и через $\mathcal{H}(j)$ семейство подмногообразий, состоящее из всех возможных непустых пересечений подмногообразий $\breve{F}_{I}$. Из предыдущего описания мы видим, что отображение $f_{12, 1j}$ непрерывно гомеоморфно продолжается на дополнение в $\overline{F}_n$ объединения подмногообразий из семейств $\mathcal{G}(j)$ и $\mathcal{H}(j)$, т.е. на $\overline{F}_n\setminus (\mathcal{G}(j)\cup \mathcal{H}(j))$. Более того, заметим, что прообразом каждого подмногообразия $\widehat{F}_{I}$ при этих продолжениях гомеоморфизма $f_{12,1j}$ является подмногообразие $\breve{F}_{I}$. Продолжим теперь гомеоморфизм $f_{12, 1j}$ до гомеоморфизма $\widetilde{f}_{12, 1j}\colon \widehat{\mathcal{F}}_n\to \widehat{\mathcal{F}}_n$ следующим образом. $\bullet$ На дополнении к объединению подмногообразий из $\mathcal{G}(j)$ и $\mathcal{H}(j)$ отображение $\widetilde{f}_{12, 1j}$ задается описанным выше гомеоморфным расширением гомеоморфизма $f_{12, 1j}$. $\bullet$ Пусть $\widetilde{S}\in \mathcal{H}(j)$, тогда $\widetilde{S}=\widetilde{F}_{I_1}\cap\dotsb \cap \widetilde{F}_{I_k}$ для некоторых $I_1, \dots, I_{k}\subset \{I\subset \{1,\dots, n\}, \ |I|=3, \ j\in I\}$. Пусть $\widehat{S}\in \mathcal{G}(j)$ имеет вид $\widehat{S}=\widehat{F}_{I_1}\cap\dots\cap \widehat{F}_{I_k}$. Тогда определим $\widetilde{f}_{12, 1j}$ как отображение, которое гомеоморфно переводит $\widetilde{S}$ в исключительный дивизор $E(\widehat{S})\subset\widehat{\mathcal{F}}_n$ для $\widehat{S}$. Ясно, как построить это отображение, используя предыдущее описание продолжения отображения $f_{12, 1j}$ на подмногообразия $\breve{F}_{(j,l,p)}$. $\bullet$ Пусть $E(\widehat{S})\subset \widehat{\mathcal{F}}_n$ – исключительный дивизор для $\widehat{S}\in \mathcal{G}(j)$, где $\widehat{S}=\widehat{F}_{I_1}\cap\dots\cap \widehat{F}_{I_k}$, $I_1,\dots,I_{k}\in \{I\subset \{1,\dots,n\},\ |I|=3,\ j\in I\}$. Определим $\widetilde{f}_{12, 1j}$ как гомеоморфизм из $E(\widehat{S})$ в $\widetilde{S}=\widetilde{F}_{I_1}\cap\dotsb \cap \widetilde{F}_{I_k}$, обратный к построенному выше гомеоморфизму $\widetilde{f}_{12, 1j} : \widetilde{S}\to E(\widehat{S})$. Теорема доказана. 3.4. Пространство $\widehat{\mathcal{F}}_n$ как универсальное пространство параметров $\mathcal{F}_n$Универсальное пространство параметров $\mathcal{F}$ для $(2n,k)$-многообразия с эффективным $T^k$-действием введено и аксиоматизировано в [3]. Детальное изложение аксиом и комментарии к ним см. в [3]. Приведем краткую формулировку аксиомы, определяющей пространство $\mathcal{F}$. 1. Пространство $\mathcal{F}$ является гладким многообразием и компактифицирует пространство параметров $F$ главного страта $W$. 2. Пространство $\mathcal{F}$ совпадает с объединением виртуальных пространств параметров $\widetilde{F}_\sigma$ всех страт $W_\sigma$. 3. Существуют непрерывные проекции $p_{\sigma}\colon \widetilde{F}_{\sigma}\to F_{\sigma}$. 4. Существует непрерывная проекция $G \colon \bigcup_{\sigma} \mathring{P}_{\sigma} \times \widetilde{F}_{\sigma} \to M^{2n}/T^k$, где топология на несвязном объединении $\bigcup_{\sigma} \mathring{P}_{\sigma} \times \widetilde{F}_{\sigma}$ определяется вложением
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{\sigma} \mathring{P}_{\sigma} \times \widetilde{F}_{\sigma}\to \operatorname{CQ}(M^{2n}, P^k)\times \mathcal{F}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\operatorname{CQ}(M^{2n},P^k)$ – комплекс допустимых многогранников с соответствующей топологией, введенной в [3]. Теорема 21. Пространство $\widehat{\mathcal{F}}_n$ является универсальным пространством параметров $T^n$-действия на $G_{n,2}$, т.е. удовлетворяет условиям 1–4. Явное построение виртуальных пространств параметров для всех $n$ согласно нашему описанию пространства $\widehat{\mathcal{F}}_n$ дано в [5]. Наиболее трудным в доказательстве этой теоремы является построение непрерывной проекции $G_n\colon \bigcup_{\sigma} \mathring{P}_{\sigma} \times \widetilde{F}_{\sigma} \to G_{n,2}/T^n$ для $n>4$. В работе [2] дано детальное доказательство существования такой проекции в случае $n=5$. В [5] отмечено, что построение непрерывной проекции $G_n$ в общем случае полностью аналогично построению в случае $n=5$. Замечание 22. Во введении мы отметили работу Н. Клемятина [25], в которой дано построение пространства, удовлетворяющего условиям 1–3. Но эта работа не содержит доказательства того, что выполняется условие 4. Поэтому основная теорема работы [25] не доказана. В работе [5], используя специфику многообразия $G_{n,2}$, мы показали, что условие 4 в нашем случае можно заменить следующим условием. $4^*$. Существует непрерывная проекция $H_n\colon \Delta_{n,2}\times \mathcal{F}_n \to G_{n,2}/T^n$ такая, что композиция $\widehat{\mu}\circ H_n=\mathrm{pr}_{1}$ является проекцией на первый сомножитель. Конструкция пространства $\widehat{\mathcal{F}}_n$ методом замечательной компактификации позволила в явном виде предъявить требуемое отображение $H_n$. При этом мы существенно использовали, что допустимые многогранники $P_\sigma$ определяют камерное несвязное разложение гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$, и доказали в [5], что для каждой камеры $C_{\omega} \subset \mathring{\Delta}_{n,2}$ определено разложение пространства $\widehat{\mathcal{F}}_n$ в несвязное объединение виртуальных пространств параметров допустимых многогранников, которые образуют данную камеру $C_{\omega}$. § 4. Пространство параметров $\mathcal{F}_n$ и пространство модулей $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$4.1. Главный результатМы обозначаем через $\mathcal{M}(0,n)$, как обычно, пространство модулей рациональных кривых с $n$ отмеченными различными точками. Пространство $\mathcal{M}(0,n)$ параметризует наборы из $n$ различных точек на римановой сфере $\mathbb{C} P^1$, рассматриваемых с точностью до биголоморфизмов сферы, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}(0,n)=((\mathbb{C} P^{1})^n\setminus \Delta)/PGL_{2}(\mathbb{C}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta=\bigcup_{i\neq j}\{(x_1, \dots, x_n)\in (\mathbb{C} P^{1})^n \mid x_i=x_j\}$. Любые три точки пространства $\mathbb{C} P^{1}$ можно перевести в множество $A=\{(0:1),(1:1),(1:0)\}$ единственным проективным преобразованием. Следовательно, пространство $\mathcal{M}(0,n)$ можно отождествить с пространством
$$
\begin{equation}
(\mathbb{C} P^{1}_{A})^{n-3}\setminus \Delta=\{ (x_1,\dots,x_{n-3})\in \mathbb{C}^{n-3}\mid x_i\neq 0,1;\, x_i\neq x_j,\, \text{если } i\neq j \},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\mathbb{C} P^{1}_{A}=\mathbb{C} P^{1}\setminus A=\{ x\in\mathbb{C}\mid x\neq 0,1 \}$. Например, $\mathcal{M}(0,3)$ – это точка, а $\mathcal{M}(0,4)=\mathbb{C} P^{1}_A$. Таким образом, пространство модулей $\mathcal{M}(0,n)$ совпадает с нашим пространством параметров $F_n$ главного страта $W_n$, ср. с (5). Мы обозначаем через $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$, как обычно, пространство классов биголоморфизма стабильных рациональных кривых с $n$ пронумерованными отмеченными различными точками. Пространство $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ является компактным комплексным гладким многообразием размерности $n-3$, в котором $\mathcal{M}(0, n)$ лежит как открытое по Зарисскому подмногообразие. Пространство $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ известно как компактификация Гротендика–Кнудсена многообразия $\mathcal{M}(0,n)$. Напомним, что компактификация Делиня–Мамфорда $\overline{\mathcal{M}}(g,n)$ пространства модулей $\mathcal{M}(g,n)$ в случае $g=0$ совпадает с компактификацией Гротендика–Кнудсена. В работе [22] Киль дал конструкцию гладкого многообразия $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$, отличную от конструкции Гротендика–Кнудсена. В работе Ли [27] было показано, что если применить теорему 15 к конструкции Киля, то непосредственно получится, что многообразие $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ является замечательной компактификацией $Y_{\mathcal{G}}$, где $Y=(\mathbb{C} P^1)^{n-3}$, а производящее множество $\mathcal{G}$ состоит из множества всех диагоналей и множества аугментированных диагоналей. Более детально, $\mathcal{G}$ состоит из
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta_{I}=\{(c_4,\dots, c_n)\in (\mathbb{C} P^{1})^{n-3} \mid c_i=c_j \text{ для всех }i,j\in I\}, \\ \Delta_{I,a}=\{(c_4,\dots, c_n)\in (\mathbb{C} P^{1})^{n-3} \mid c_i=a\text{ для всех } i\in I\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $I\subseteq \{4, \dots, n\}$, $|I|\geqslant 2$ и $a\in A=\{(0:1),(1:1),(1:0)\}$. Соответствующая конфигурация образована множеством всех пересечений элементов из $\mathcal{G}$. Используя эти результаты, мы доказываем, что наша компактификация $\mathcal{F}_n$ пространства $F_n$, которая получена в виде замечательной компактификации с производящим множеством $\mathcal{G}_n$, состоящим из всех неособых собственных подмногообразий многообразия $\overline{F}_n$ (см. п. 3.3), совпадает с компактификацией Гротендика–Кнудсена многообразия $\mathcal{M}(0,n)=F_n$. Теорема 23. Многообразие $\mathcal{F}_n$ диффеоморфно многообразию $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$, $n\,{\geqslant}\, 4$. Замечание 24. Напомним, что при $n=4$ уже было известно, что $\mathcal{F}_{4}=\mathbb{C} P^1= \overline{\mathcal{M}}(0,4)$. В случае $n=5$ диффеоморфизм многообразий $\mathcal{F}_{5}$ и $\overline{\mathcal{M}}(0,5)$ уже был отмечен в [2], замечание 7.13. Замечание 25. Разложение пространства $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$, $n\geqslant 4$, в несвязное объединение подпространств, задаваемое данной камерой, получило важное приложение в задаче об алгебраической топологии пространства $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$, см. [21] и [22]. Этот вопрос будет рассмотрен в нашей следующей статье. 4.2. Пространства $\mathcal{F}_{6}$ и $\overline{\mathcal{M}}(0,6)$Приведем детальное доказательство теоремы 20 и докажем теорему 23 в случае комплексного многообразия $G_{6,2}$. Отметим, что это многообразие представляет особый интерес с точки зрения алгебраической геометрии как одно из четырех многообразий Севери, см. [32] и [26]. Начнем с рассмотрения многообразия
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{F}_{6} &=\{((c_{34}:c_{34}'), (c_{35}:c_{35}'), (c_{36}:c_{36}'), (c_{45}:c_{45}'), (c_{46}:c_{46}'), (c_{56}:c_{56}'))\in (\mathbb{C} P^{1})^{6}, \\ &\qquad c_{34}'c_{35}c_{45}'=c_{34}c_{35}'c_{45}, \ c_{34}'c_{36}c_{46}'=c_{34}c_{36}'c_{46}, \\ &\qquad c_{35}'c_{36}c_{56}'=c_{35}c_{36}'c_{56}, \ c_{45}'c_{46}c_{56}'=c_{45}c_{46}'c_{56}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Будем использовать производящее множество, состоящее из следующих подмногообразий в $\overline{F}_{6}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{F}_{345} &=\{((1:1), (1:1), (c_{36}:c_{36}'), (1:1), (c_{46}: c_{46}'), (c_{56}:c_{56}')), \\ &\qquad c_{36}c_{46}'=c_{36}'c_{46},\ c_{36}c_{56}'=c_{36}'c_{56},\ c_{46}c_{56}'=c_{46}'c_{56}\} \\ \widehat{F}_{346} &=\{((1:1), (c_{35}:c_{35}'), (1:1), (c_{45}:c_{45}'), (1: 1), (c_{56}:c_{56}')), \\ &\qquad c_{35}c_{45}'=c_{35}'c_{45},\ c_{35}c_{56}'=c_{35}'c_{56}, \ c_{45}c_{56}'=c_{45}'c_{56}\} \\ \widehat{F}_{356} &=\{((c_{34}:c_{34}'), (1:1), (1:1), (c_{45}:c_{45}'), (c_{46}: c_{46}'), (1:1)), \\ &\qquad c_{34}c_{45}'=c_{34}'c_{45},\ c_{34}c_{46}'=c_{34}'c_{46},\ c_{45}c_{46}'=c_{45}'c_{46}\} \\ \widehat{F}_{456} &=\{((c_{34}:c_{34}'), (c_{35}:c_{35}'), (c_{36}:c_{36}'), (1:1), (1:1), (1:1))\}, \\ &\qquad c_{34}c_{35}'=c_{34}'c_{35},\ c_{34}c_{36}'=c_{34}'c_{36},\ c_{35}'c_{36}=c_{35}c_{36}'\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вместе с точкой $S=(1:1)^{6}$. В этой точке пересекается каждая пара из описанных выше многообразий $\widehat{F}_{ijk}$. Гладкое компактное многообразие $\mathcal{F}_{6}$ является замечательной компактификацией с производящим множеством $\mathcal{G}_{6}=\{ S, \widehat{F}_{345}, \widehat{F}_{346}, \widehat{F}_{356},\widehat{F}_{456}\}$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{6}= \operatorname{Bl}_{\widetilde{F}_{456}}\operatorname{Bl}_{\widetilde{F}_{356}} \operatorname{Bl}_{\widetilde{F}_{346}}\operatorname{Bl}_{\widetilde{F}_{345}} \operatorname{Bl}_{S}\overline{F}_{6}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Заметим, что доминантное преобразование $\widetilde{F}_{ijk}$ в $\operatorname{Bl}_{S}\overline{F}_{6}$ любого из подмногообразий $\widehat{F}_{ijk}$, $3\leqslant i<j<k\leqslant 6$, пересекает исключительный дивизор $\mathbb{C} P^2$ в одной точке. Более того, полученные таким образом четыре точки различны. Следовательно, замечательная компактификация вида (9) не зависит от порядка раздутий вдоль подмногообразий $\widetilde{F}_{ijk}$. Покажем теперь, что многообразие $\mathcal{F}_{6}$ совпадает с пространством модулей $\overline{\mathcal{M}}(0,6)$. Как уже отмечено выше, конструкция из работы [22] описывает многообразие $\overline{\mathcal{M}}(0,6)$ в виде последовательности раздутий. А работа Ли [27], использующая этот результат Киля, позволяет описать многообразие $\overline{\mathcal{M}}(0,6)$ в виде замечательной компактификации $Y_{\mathcal{G}}$, где $Y=(\mathbb{C} P^1)^{3}$ и производящее множество $\mathcal{G}$ состоит из множества всех диагоналей
$$
\begin{equation*}
\Delta_{I}=\{ (p_1,p_2, p_{3})\in (\mathbb{C} P^{1})^{3} \mid p_i=p_j\text{ для } i,j\in I\}
\end{equation*}
\notag
$$
и аугментированных диагоналей
$$
\begin{equation*}
\Delta_{I, a}=\{ (p_1, p_2, p_{3})\in (\mathbb{C} P^{1})^{3} \mid p_i=a\text{ для всех }i\in I\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $I\subset \{1,2,3\}$, $|I|\geqslant 2$ и $a\in A=\{(0:1),(1:1),(1:0)\}$. Заметим, что $\Delta_{I}$ является комплексным двумерным подмногообразием в $(\mathbb{C} P^{1})^3$ для $|I|=2$. Следовательно, раздутие многообразия $(\mathbb{C} P^{1})^3$ вдоль диагоналей $\Delta_{I}$, $|I|=2$, не меняет $(\mathbb{C} P^{1})^3$. Таким образом, для получения замечательной компактификации, которая описывает многообразие $\overline{\mathcal{M}}(0,6)$, достаточно в качестве производящего множества взять полную диагональ $\Delta_{\{1,2,3\}}$ и все аугментированные диагонали $\Delta_{I,a}$. Доказательство. Рассмотрим гладкое отображение $f\colon (\mathbb{C} P^{1})^{3} \to (\mathbb{C} P^{1})^{6}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f((c_{34}:c_{34}'), (c_{35}: c_{35}'), (c_{36}:c_{36}'))=((c_{34}:c_{34}'), (c_{35}: c_{35}'), (c_{36}:c_{36}'), \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (c_{34}'c_{35} : c_{34}c_{35}'), (c_{34}'c_{36}:c_{34}c_{36}'), (c_{35}'c_{36}:c_{35}c_{36}')). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначения: $0=(0:1)$ и $\infty=(1:0)$. Отображение $f$ не определено в точках следующих подмногообразий многообразия $(\mathbb{C} P^{1})^{3}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta_{\{1,2\}, \infty}=\{((1:0), (1:0), (c_{36}:c_{36}'))\}, \quad \Delta_{\{1,2\}, 0}=\{((0:1), (0:1), (c_{36}:c_{36}'))\}, \\ \Delta_{\{1,3\}, \infty}=\{((1:0), (c_{35}:c_{35}'), (1:0))\}, \quad \Delta_{\{1,3\}, 0}=\{((0:1), (c_{35}:c_{35}'), (0: 1))\}, \\ \Delta_{\{2,3\}, \infty}=\{((c_{34}:c_{34}'), (1:0), (1:0))\}, \quad \Delta_{\{2,3\}, 0}= \{((c_{34}:c_{34}'), (0:1), (0:1))\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $P=((1:0), (1:0), (1:0))$ и $Q=((0:1), (0:1), (0:1))$ множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{G}'=\{\Delta_{\{i,j\}, a}, a=0, \infty\} \cup \{P, Q\}
\end{equation*}
\notag
$$
является производящим множеством в $(\mathbb{C} P^{1})^{3}$. Рассмотрим замечательную компактификацию $Z=(\mathbb{C} P^{1})^{3}_{\mathcal{G}'}$. Отображение $f$ продолжается до диффеоморфизма $\overline{f}\colon Z\to \overline{F}_6$. Например, для точек исключительного дивизора $\mathbb{C} P^1$ вдоль подмногообразия $\Delta_{\{1, 2\},0}$ отображение $\overline{f}$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{f}( (1:0), (1:0), (c_{36}:c_{36}'), (x_1:x_2)) \\ &\qquad=((1:0), (1:0), (c_{36}:c_{36}'), (x_1:x_2), (0:1), (0:1)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а для точек $(x_1:x_2:x_3)$ дивизора $\mathbb{C} P^2$ раздутия в точке $P$ отображение $\overline{f}$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\overline{f}(P, (x_1:x_2:x_3))=((1:0), (1:0), (1:0), (x_1:x_2), (x_1:x_3), (x_2:x_3)).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в окрестности $((1 : c_{34}'), (1 : c_{35}'), (1 : c_{36}'))$ точки $P=((1:0), (1:0), (1: 0))$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
c_{34}'x_2=c_{35}'x_1, \qquad c_{34}'x_3=c_{36}'x_1, \qquad c_{35}'x_3=c_{36}'x_2,
\end{equation*}
\notag
$$
то точки $((1:0), (1:0), (1:0), (x_1:x_2), (x_1:x_3), (x_2:x_3))$ принадлежат многообразию $\overline{F}_6$.
Для завершения доказательства осталось заметить, что замечательная компактификация для $\overline{F}_6$ с производящим множеством, состоящим из $\overline{F}_{ijk}$ и $S$, соответствует замечательной компактификации для $Z$ с производящим множеством где $1=(1:1)$ и $R=((1:1), (1:1), (1:1))$. Следовательно, многообразия $\mathcal{F}_{6}$ и $\overline{\mathcal{M}}(0,6)$ диффеоморфны. Теорема доказана.4.3. Доказательство главного результата Доказательство теоремы 23. Приведем доказательство, аналогичное доказательству для $n=6$. Согласно формулам (3), (4) и замечанию (5), начнем с гладкого отображения $f : (\mathbb{C} P^{1})^{n-3} \to (\mathbb{C} P^{1})^{N}$, $N= \dbinom{n-2}{2}$, заданного формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f((c_{34}:c_{34}'),\dots, (c_{3n}:c_{3n}')) \\ &\qquad =((c_{34}:c_{34}'), \dots, (c_{3n}:c_{3n}'), (c_{34}'c_{35} : c_{34}c_{35}'),\dots, (c_{3n-1}'c_{3n}:c_{3n-1}c_{3n}')). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $f$ не определено в точках подмногообразий $G_{pq}, G_{pg}'\subset (\mathbb{C} P^{1})^{n-3}$, $4\leqslant p<q\leqslant n$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_{pq} &=\{((c_{3i}:c_{3j}))\in (\mathbb{C} P^{1})^{n-3} \mid (c_{3p}:c_{3p}')=(c_{3q}:c_{3q}')=(1:0)\}, \\ G_{pq}' &=\{((c_{3i}:c_{3j}))\in (\mathbb{C} P^{1})^{n-3} \mid (c_{3p}:c_{3p}')=(c_{3q}:c_{3q}')=(0:1)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (3) и (4) непосредственно следует, что отображение $f$ задает диффеоморфизм $f \colon (\mathbb{C} P^{1}_{A})^{n-3}\setminus \Delta \to F_n$.
Легко проверить, что множество $\mathcal{G}'$ всех возможных пересечений подмногообразий $G_{pq}$, $G_{pq}'$ образует производящее множество. Введем гладкое многообразие $Z$ как замечательную компактификацию для многообразия $(\mathbb{C} P^{1})^{n-3}$ с производящим множеством $\mathcal{G}'$, т.е. положим $Z=(\mathbb{C} P^{1})^{n-3}_{\mathcal{G}'}$. Тогда, как и в случае $n=6$, можно показать, что отображение $f$ продолжается до диффеоморфизма $\overline{f}\colon Z\to\overline{F}_n$. Далее рассмотрим многообразие
$$
\begin{equation*}
H_{pq}=\{((c_{3i}:c_{3j}))\in (\mathbb{C} P^{1})^{n-3} \mid (c_{3p}:c_{3p}')=(c_{3q}:c_{3q}')=(1:1)\}
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим через $\widetilde{H}_{pq}$ строгое преобразование многообразия $H_{pq}$ в $Z$. Множество $\mathcal{G}''$ всех возможных пересечений подмногообразий $\widetilde{H}_{pq}$ является производящим. Теперь можно использовать результат работы Ли (см. [27; п. 4.4]), согласно которому многообразие $\overline{\mathcal{M}}(0, n)$ совпадает с замечательной компактификацией $Z_{\mathcal{G}''}$. Остается заметить, что диффеоморфизм $\overline{f}$ продолжается до диффеоморфизма замечательных компактификаций $Z_{\mathcal{G}''}\to(\overline{F}_n)_{\mathcal{G}}$, где производящее множество $\mathcal{G}$ задается всеми возможными пересечениями подмногообразий (7). Следовательно, гладкие многообразия $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ и $\mathcal{F}_n$ диффеоморфны. Теорема доказана. § 5. Многообразие $\mathcal{F}_n$ и факторы Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$5.1. Основные факты о многообразиях Чжоу и факторе ЧжоуВ изложении основных фактов о многообразии Чжоу мы следуем монографии [16; п. 4], а понятие фактора Чжоу $G_{n,k}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ описываем согласно статье Капранова [19]. В определении фактора Чжоу используется конструкция из алгебраической геометрии, известная как многообразие Чжоу, а именно, используется компактное многообразие, точки которого для данного многообразия параметризуют алгебраические циклы одинаковой размерности и степени. Многообразие Чжоу для $G_{n,k}$, которое используется для построения фактора Чжоу $G_{n,k}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$, можно описать следующим образом. Пусть $\delta \in H_{2(n-1)}(G_{n,k}, \mathbb{Z})$ – класс гомологий замыкания общей $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-орбиты в $G_{n,k}$. Обозначим через $C_{2(n-1)}(G_{n,k}, \delta)$ множество всех алгебраических циклов в $G_{n,k}$ размерности $2(n-1)$, реализующих класс гомологий $\delta$. Координаты Плюккера задают вложение многообразия $G_{n,k}$ в $\mathbb{C} P^{N}$, $N=\dbinom{n}{k}-1$. Пусть $d\in H_{2(n-1)}(\mathbb{C} P^{N}, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ – образ класса гомологий $\delta$ при этом вложении. Рассмотрим множество $G(N,d,2(n-1))$ всех алгебраических циклов в $\mathbb{C} P^{N}$ размерности $2(n-1)$ и степени $d$. Другими словами, рассмотрим множество всех алгебраических циклов в $\mathbb{C} P^{N}$ кратности $d$ относительно канонического образующего группы $H_{2(n-1)}(\mathbb{C} P^{N}, \mathbb{Z})$. Обозначим через $\mathcal{B}$ координатное кольцо многообразия $G_{n,k}$ относительно вложения Плюккера. Таким образом, $\mathcal{B}$ является фактором кольца полиномов $\mathbb{C}[z_{1},\dots z_{N+1}]$ по идеалу, порожденному соотношениями Плюккера. Получаем $\mathcal{B}=\bigoplus_{k\geqslant 0}\mathcal{B}_k$, где $\mathcal{B}_k$ – комплексное линейное пространство, натянутое на однородные полиномы степени $k$. По теореме Чжоу и Ван дер Вардена множество $G(N, d, 2(n-1))$ получает структуру замкнутого проективного алгебраического многообразия, в частности компактного, при вложении Чжоу $G(N, d, 2(n-1))\to P(\mathcal{B}_{d})$. Таким образом, множество $C_{2(n-1)}(G_{n,k},\delta)$ со структурой алгебраического многообразия, индуцированного вложением $C_{2(n-1)}(G_{n,k}, \delta)\subset G(N, d, 2(n-1))$, становится искомым многообразием Чжоу для $G_{n,k}$. Опишем вложение Чжоу более детально, см. [16]. Для любого неприводимого алгебраического цикла $X\in G(N, d, 2(n-1))$ можно ввести множество $\mathcal{Z}(X)$ всех $(N-2(n-1)-1)$-мерных проективных подпространств $L$ в $\mathbb{C} P^{N}$, которые нетривиально пересекают цикл $X$. Множество $\mathcal{Z}(X)$ является подмногообразием в многообразии Грассмана $G(N, N-2(n-1)+1)$. Можно доказать, что $\mathcal{Z}(X)$ определяется некоторым элементом $R_{X}\in \mathcal{B}_{d}$, который определен однозначно с точностью до постоянного множителя и называется формой Чжоу цикла $X$. Если цикл $X$ является приводимым, то $X=\sum a_iX_i$, где $X_i$ – $2(n-1)$-мерные замкнутые неприводимые многообразия и коэффициенты $a_i$ – неотрицательные целые числа. В этом случае форма Чжоу цикла $X$ определяется по формуле $R_X=\prod R_{X_i}^{a_i}\in \mathcal{B}_{d}$. Отображение $X\to R_{X}$ задает вложение многообразия $G(N, d, 2(n-1))$ в проективное пространство $P(\mathcal{B}_{d})$ и называется вложением Чжоу. Чтобы определить фактор Чжоу, рассмотрим естественное отображение
$$
\begin{equation*}
W/(\mathbb{C}^{\ast})^n \to C_{2(n-1)}(G_{n,k}, \delta), \qquad x \to \overline{(\mathbb{C}^{\ast})^n\cdot x},
\end{equation*}
\notag
$$
где $W$ – главный страт в $G_{n,k}$, состоящий из всех точек, у которых все координаты Плюккера ненулевые. По определению фактором Чжоу $G_{n,k}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ называется замыкание образа этого отображения. Напомним следующие результаты из [19], утверждения (1.2.11) и (1.2.15), которые дают описание множества компонентов нароста пространства $W/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ в $G_{n,k}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$. Предложение 27. Алгебраические циклы в факторе Чжоу $G_{n,k}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^n$ имеют вид $Z=\sum_{i}Z_{i}$, где $Z_i$ – замыкания $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-орбит в $G_{n,k}$ таких, что матроидные многогранники $\mu (Z_i)$ образуют полиэдральное разложение гиперсимплекса $\Delta_{n,k}$. Отметим, что матроидные многогранники, определенные в [19], в случае $G_{n,2}$ совпадают с нашими допустимыми многогранниками, см. [5]. Таким образом, в нашей терминологии фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^n$ задает специальную компактификацию пространства параметров $F_n$ главного страта $W \subset G_{n,2}$. Обратим внимание, что фактор Чжоу $X/\!/H$ можно определить для любого комплексного проективного многообразия $X\subset \mathbb{C} P^{N}$ с действием алгебраической группы $H$, см. [19]. А именно, замыкание орбиты $\overline{H\cdot x}$ является компактным подмногообразием в $X$ для любой точки $x\in X$. Для некоторого малого открытого по Зарисскому $H$-инвариантного подмножества $U\subset X$, состоящего из точек с общими орбитами, все многообразия $\overline{H \cdot x}$ для $x\in U$ имеют одинаковую размерность $m$ и представляют один и тот же класс гомологий $\delta \in H_{2m}(X, \mathbb{Z})$. Таким образом, можно ввести многообразия Чжоу $C_{2m}(X, \delta)\subset G(N, d, 2m)$, где $d$ – образ класса $\delta$ при отображении $X\to \mathbb{C} P^{N}$, и ввести фактор Чжоу $X/\!/H$ как замыкание образа отображения $U/H \to C_{2m}(X, \delta)$, индуцированного соответствием $x\to \overline{x\cdot H}$. Используя конструкцию Гельфанда и Макферсона, Капранов в [19] доказал, что фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ изоморфен фактору Чжоу $(\mathbb{C} P^{1})^n/\!/GL(2)$. Опираясь на этот результат, Капранов построил изоморфизм между фактором Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ и компактификацией Гротендика–Кнудсена $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$. С другой стороны, из (8) следует, что пространство $\mathbb{C} P^{n-3}$, компактифицирующее пространство $\mathbb{C}^{n-3}$, является компактификацией пространства $\mathcal{M}(0,n)$. Капранов в [19] доказал, что $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ – более тонкая комапктификация, которая отображается в $\mathbb{C} P^{n-3}$ с помощью регулярного бирационального отображения. Кроме того, он доказал, что для любых $n-1$ общих точек $q_1,\dots,q_{n-1}$ в $\mathbb{C} P^{n-3}$ многообразие $\overline{\mathcal{M }}(0,n)$ получается из $\mathbb{C} P^{n-3}$ серией раздутий всех проективных пространств, натянутых на $q_i$. Более того, используя полученный изоморфизм, Капранов в [19] дал описание фактора Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ как результат последовательности раздутий некоторых специальных подмногообразий в $\mathbb{C} P^{n-3}$. В заключение подчеркнем, что согласно теореме 23 наша конструкция универсального пространства параметров $\mathcal{F}_n$ дает чисто топологическое описание фактора Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$, тесно связанное с нашим описанием пространства орбит $G_{n,2}/T^n$. 5.2. Структуры пространств $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ и $G_{n,2}/T^n$В работе [5] мы описали пространство орбит $G_{n,2}/T^n$ в терминах комплекса допустимых многогранников и универсального пространства параметров $\mathcal{F}_n$. В этом описании ключевую роль играет камерное разложение гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$, индуцированное допустимыми многогранниками. Используя результаты работы [19], мы сначала описываем фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ в терминах кортежей допустимых многогранников, задающих полиэдральное разложение гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$, и пространств параметров многогранников, входящих в эти кортежи. Затем мы описываем пространства $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ в терминах виртуальных пространств параметров для допустимых многогранников, которые образуют $(n-1)$-мерную камеру в $\Delta_{n,2}$. Обозначим через $\mathcal{P}$ семейство всех допустимых $(n-1)$-мерных многогранников для стандартного $T^n$-действия на $G_{n,2}$. Введем множество $\{ \mathcal{P}_{1}, \dots, \mathcal{P}_{l}\}$, состоящее из всех подсемейств $\mathcal{P}_{i}=\{P_{i_1}, \dots, P_{i_s}\} \subset \mathcal{P}$ таких, что многогранники $P_{i_1}, \dots, P_{i_s}$ дают полиэдральное разложение гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$, т.е. $\bigcup_{j=1}^{s}P_{i_j}=\Delta_{n,2}$ и $\mathring{P}_{i_j}\cap \mathring{P}_{i_k}=\varnothing$ для всех $1\leqslant j<k\leqslant s$. Сопоставим семейству $\mathcal{P}_{i}=\{P_{i_1}, \dots, P_{i_s}\}$ множество $\mathcal{W}_{i}=\{W_{i_1},\dots, W_{i_s}\}$, где $W_{i_j}$ – страт в $G_{n,2}$, соответствующий допустимому многограннику $P_{i_j}$, т.е. $\mu (W_{i_j})=\mathring{P}_{i_j}$. Факторизуя страты из множества $\mathcal{W}_{i}$ по $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-действию, мы получаем для любого семейства $\mathcal{P}_{i}$ множество пространств параметров $\{ F_{i_1}, \dots, F_{i_s}\}$. Далее, введем пространство $\mathcal{F}_{i}$ параметров семейства $\mathcal{P}_{i}$ как топологическое пространство, гомеоморфное прямому произведению $\mathcal{F}_{i}=F_{i_1} \times \dotsb \times F_{i_s}$. Согласно предложению 27 фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ является объединением непересекающихся связных множеств $\mathcal{C}_{i}$, каждое из которых состоит из алгебраически циклов, определенных семейством $\mathcal{P}_{i}$, $1\leqslant i\leqslant l$. В частности, дополнение главного страта $F_n$ в $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ является объединением непересекающихся связных множеств $\mathcal{C}_{i}$, для которых $\mathcal{P}_{i} \neq \{\Delta_{n,2}\}$. Предложение 28. Существует взаимно однозначное соответствие между пространствами $\mathcal{F}_{i}$ и $\mathcal{C}_{i}$ для всех $1\leqslant i\leqslant l$. Доказательство. Требуемое взаимно однозначное соответствие $g_i : \mathcal{F}_{i}\to \mathcal{C}_{i}$ задается формулой где $Z_{i_j}(c_{i_j})$ является $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-орбитой в страте $W_{i_j}$, которая определяется параметром $c_{i_j}$. Предложение доказано. Фактор Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ и дополнение к $F_n$ в $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ имеют также и другую интерпретацию. Пусть $P_{\sigma}$ – некоторый допустимый многогранник. Рассмотрим множество $\mathcal{P}_{\sigma}=\{\mathcal{P}_{\sigma, 1}, \dots, \mathcal{P}_{\sigma, s}\}\subset \mathcal{P}$, состоящее из всех разложений $\mathcal{P}_{\sigma, i}$ гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$, которые содержат $P_{\sigma}$, т.е. $\mathcal{P}_{\sigma, i}\in \mathcal{P}_\sigma$, если и только если $P_{\sigma} \in \mathcal{P}_{\sigma, i}$. Обозначим через $\widetilde{Z}_{\sigma, i}\subset G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ семейство алгебраических циклов, определенное разложением $\mathcal{P}_{\sigma, i}=\{P_{\sigma_{i_1}}, \dots, P_{\sigma_{i_q}}\}$. Согласно предложению 28 эти циклы имеют вид
$$
\begin{equation*}
Z_{\sigma_{i_1}}(c_{\sigma_{i_1}})+\dots + Z_{\sigma,_{i_q}}(c_{\sigma_{i_q}})
\end{equation*}
\notag
$$
для $(c_{\sigma_{i_1}}, \dots, c_{\sigma_{i_q}}) \in F_{\sigma_{i_1}}\times \dotsb \times F_{\sigma_{i_q}}$, где $Z_{\sigma_{i_j}}(c_{\sigma_{i_j}})$ является замыканием орбиты алгебраического тора в $W_{\sigma_{i_j}}$. Каждая такая орбита определяется параметром $c_{\sigma_{i_j}}\in F_{\sigma_{i_j}}=W_{\sigma_{i,j}}/(\mathbb{C}^{\ast})^n$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Z}_{\sigma}=\bigcup_{i=1}^{s}\widetilde{Z}_{\sigma, i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 29. Для каждого допустимого множества $\sigma$ существует проекция $p_{\sigma}\colon \widetilde{Z}_{\sigma} \to F_{\sigma}$, где $F_{\sigma}=W_{\sigma}/(\mathbb{C}^{\ast})^n$. Доказательство. Для каждого алгебраического цикла $Z\in \widetilde{Z}_{\sigma}$ существует $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-орбита $Z_{\sigma}$ в страте $W_{\sigma}$, соответствующем допустимому многограннику $P_{\sigma}$, и орбита $Z_{\sigma}$ является неприводимой компонентой цикла $Z$. Так как $F_{\sigma}=W_{\sigma}/(\mathbb{C}^{\ast})^n$, то существует каноническая $(\mathbb{C}^{\ast})^n$-инвариантная проекция $q_{\sigma}\colon W_{\sigma}\to F_{\sigma}$. Определим требуемую проекцию $p_{\sigma}$ по формуле $p_{\sigma}(Z)=q_{\sigma}(Z_{\sigma})$. Предложение доказано. Напомним, см. [17], [5], что допустимые многогранники, см. определение 4, задают камерное разложение гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$: камерой $C_{\omega}$ для некоторого подмножества $\omega$ в множестве всех допустимых множеств называется многогранник
$$
\begin{equation*}
C_{\omega}=\bigcap_{\sigma \in \omega} \mathring{P}_{\sigma}, \qquad C_{\omega} \cap \mathring{P}_{\sigma}=\varnothing, \qquad \sigma\notin \omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя диффеоморфизм между $\mathcal{F}_n$ и $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$, см. теорему 23, получаем следующую теорему. Теорема 30. Пусть $C_{\omega}\subset \Delta_{n,2}$ – некоторая камера размерности $n-1$. Тогда $C_{\omega}$ определяет разложение фактора Чжоу $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ в объединение непересекающихся подмножеств и существуют гомеоморфизмы где топология объединения множеств $\bigcup_{\sigma \in \omega} \widetilde{Z}_{\sigma}$ определяется первым взаимно однозначным отображением. Доказательство. Каждый цикл $Z\in G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ определяется некоторым полиэдральным разложением $\mathcal{P}_{i}=\{P_{\sigma_{i_1}},\dots,P_{\sigma_{i_l}}\}$ гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$. Заметим, что для каждого допустимого многогранника $P_{\sigma}$ либо $C_{\omega}\subset \mathring{P}_{\sigma}$, либо $C_{\omega}\cap \mathring{P}_{\sigma}=\varnothing$. Таким образом, существует многогранник $P_{\sigma_{i_{j}}}\in \mathcal{P}_{i}$ такой, что $C_{\omega}\subset \mathring{P}_{\sigma_{i_{j}}}$, а это означает, что $\sigma_{i_{j}}\in \omega$. Следовательно, $Z\in \widetilde{Z}_{\sigma_{i_{j}}}$, и поэтому $Z\in \bigcup_{\sigma \in \omega} \widetilde{Z}_{\sigma}$.
Для доказательства того, что объединение (10) состоит из непересекающихся множеств, заметим, что из условия $\sigma_1, \sigma_2\in \omega$, вытекает, что $C_{\omega}\subset \mathring{P}_{\sigma_1}, \mathring{P}_{\sigma_2}$, т.е. $\mathring{P}_{\sigma_1}\cap \mathring{P}_{\sigma_2}\neq \varnothing$. Таким образом, не существует разложения гиперсимплекса $\Delta_{n,2}$, которое одновременно содержит $P_{\sigma_1}$ и $P_{\sigma_2}$. Следовательно, не существует алгебраического цикла, который одновременно принадлежит $\widetilde{Z}_{\sigma_1}$ и $\widetilde{Z}_{\sigma_2}$. Теорема доказана. Заметим, что $\widetilde{Z}_{\sigma}=F_n$ для $P_{\sigma}=\Delta_{n,2}$, откуда следует, что гомеоморфизм (10) описывает не только фактор Чжоу, но и компоненты нароста пространства $F_n$ в $ G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$, которые в общем случае имеют непустое пересечение. Замечание 31. В наших статьях [2] и [3] для описания пространства орбит $G_{n,2}/T^n$ введено понятие виртуального пространства $\widetilde{F}_{\sigma}$ параметров страта $W_{\sigma}$. Свойства пространств $\widetilde{Z}_{\sigma}$, описанные в предложении 29 и в теореме 30, означают, что пространства $\widetilde{Z}_{\sigma}$ соответствуют пространствам $\widetilde{F}_{\sigma}$, когда $\dim P_{\sigma}=n-1$. Таким образом, теорема 7 из [5] является аналогом теоремы 30. Из теоремы 23 и результата статьи [19] о том, что многообразия $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$ и $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ диффеоморфны, вытекает, что универсальное пространство параметров $\mathcal{F}_n$ описывает топологию склейки компонентов нароста пространства $F_n$ в $G_{n,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^n$. В заключительных пунктах этой статьи мы используем представление пространства $\mathcal{F}_n$ в виде замечательной компактификации для $\overline{F}_n$, чтобы явно продемонстрировать обсуждаемые соответствия в случаях $n=4$ и $n=5$. 5.3. Пространства $G_{4,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{4}$ и $G_{4,2}/T^4$При $n=4$ компоненты множества наростов в $G_{4,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{4}$ состоят из трех точек, приклеивая которые к $F_{4}\cong \mathbb{C} P^{1}_{A}$ в $G_{4,2}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^{4}$, мы получаем $\mathbb{C} P^{1}$. Это было отмечено в [19], независимое доказательство следует из [1] и теоремы 23. В обозначениях настоящей статьи опишем, как происходит эта склейка. Существует в точности три разложения октаэдра $\Delta_{4,2}$, т.е. $\mathcal{P}=\{\mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2}, \mathcal{P}_{3}\}$, и они образованы тремя парами четырехгранных взаимно дополняющих пирамид. Пространством параметров для стратов каждой из этих пирамид является точка. Поэтому согласно предложению 28 пространство $(G_{4,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{4})\setminus F_{4}$ состоит из трех точек, т.е. $G_{4,2}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^{4}\cong \mathbb{C} P^1$. Более точно, каждая из этих трех точек соответствует алгебраическому циклу, образованному $(\mathbb{C}^{\ast})^{4}$-орбитами, допустимые многогранники которых являются взаимно дополняющими пирамидами в октаэдре $\Delta_{4,2}$. Остается только заметить, что для каждой пирамиды $P_{\sigma}$ цикл $\widetilde{Z}_{\sigma}$ задается одним алгебраическим циклом, и, следовательно, $F_{\sigma}=\widetilde{Z}_{\sigma}$. 5.4. Пространства $G_{5,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{5}$ и $G_{5,2}/T^5$Используя результаты работы [2], дадим явное описание соответствия структур пространства $\mathcal{F}_{5}$ и фактора Чжоу $G_{5,2}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^{5}$. Напомним, что гиперсимплекс $\Delta_{5,2}$ имеет 10 вершин $\{\Lambda_{ij}, 1\leqslant i<j\leqslant 5 \}$. Согласно работе [2] имеем следующий результат. Лемма 32. Существует $25$ разложений гиперсимплекса $\Delta_{5,2}$, образованных допустимыми многогранниками для $T^5$-действия на $G_{5,2}$. Они задаются парами $\{K_{ij}, P_{ij}\}$, $1\leqslant i<j\leqslant 5$, и тройками $\{P_{ij}, K_{ij, kl}, P_{kl}\}$, $1\leqslant i<j\leqslant 5$, $1\leqslant k<l\leqslant 5$, $\{i,j\}\cap \{k,l\}=\varnothing$. Здесь $K_{ij}$ – многогранник с девятью вершинами, выпуклая оболочка девяти вершин гиперсимплекса $\Delta_{5,2}$, среди которых нет вершины $\Lambda_{ij}$, $P_{ij}$ – семисторонняя пирамида с верхней точкой $\Lambda_{ij}$, и $K_{ij, kl}$ – многогранник с восемью вершинами, среди которых нет вершин $\Lambda_{ij}$ и $\Lambda_{kl}$. Пространством параметров для допустимых многогранников $K_{ij}$ является пространство $\mathbb{C} P^{1}_{A}$, а пространством параметров для допустимых многогранников $P_{ij}$ и $K_{ij, kl}$ является точка. В этом случае из утверждения 28 получаем Следствие 33. Множество непересекающихся компонентов нароста пространства $F_5$ в $G_{5,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{5}$ состоит из пространства $\mathcal{C}_{ij} \cong \mathbb{C} P^{1}_{A}$ и точек $\mathcal{C}_{ij, kl}$ для $1\leqslant i<j\leqslant 5$, $1\leqslant k<l\leqslant 5$. Компонента $\mathcal{C}_{ij}$ состоит из циклов вида $Z_{ij,9}(c)+Z_{ij,7}$, а компонента $\mathcal{C}_{ij,kl}$ состоит из циклов $Z_{ij,7}+Z_{ij, kl} + Z_{kl,7}$, где $c\in \mathbb{C} P^{1}_{A}$. Здесь неприводимыми алгебраическими циклами являются: $\bullet$ $Z_{ij,9}(c)$ – замыкание орбиты в страте с допустимым многогранником $K_{ij}$; $\bullet$ $Z_{ij, kl}$ – замыкание орбиты в страте с допустимым многогранником $K_{ij, kl}$; $\bullet$ $Z_{ij,7}$ – замыкание орбиты в страте с допустимым многогранником $P_{ij}$. В работе [2] мы доказали, что универсальное пространство параметров $\mathcal{F}_{5}$ является раздутием поверхности $\overline{F}_{5}=\{((c_1:c_1'), (c_2:c_2'), (c_3:c_3'))\in (\mathbb{C} P^{1})^{3}, c_1c_{2}'c_3=c_{1}'c_2c_{3}'\}$ в точке $((1:1), (1:1), (1:1))$. Отождествление многообразия $\mathcal{F}_{5}$ с фактором Чжоу $G_{5,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{5}$ позволяет описать склеивание компонентов наростов в $G_{5,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{5}$ следующим образом. Следствие 34. Склеивание компонентов наростов в $G_{5,2}/\!/(\mathbb{C}^{\ast})^{5}$ соответствует следующей компактификации пространства $F_5\subset \mathcal{F}_{5}$ следующим образом. $\bullet$ Циклы $Z_{ij}(c)=Z_{ij,9}(c) + Z_{ij,7}\in \mathcal{C}_{ij}$ соответствуют подмногообразиям в $\mathcal{F}_{5}$ следующим образом:
$\bullet$ Циклы $Z_{ij, kl}=Z_{ij,7} + Z_{ij,kl}+Z_{kl,7}=\mathcal{C}_{ij,kl}$ соответствуют точкам следующим образом:
Опишем также в явном виде соответствие между подпространствами $\widetilde{Z}_{ij,9}$, $\widetilde{Z}_{ij, 7}$, $\widetilde{Z}_{ij,kl}$ и подпространствами в $\mathcal{F}_{5}$. Следствие 35. Пространства $\widetilde{Z}_{ij,9}$, $\widetilde{Z}_{ij, 7}, \widetilde{Z}_{ij,kl} \subset G_{5,2}/\!/ (\mathbb{C}^{\ast})^{5}$ гомеоморфны пространствам $\mathbb{C} P^{1}_{A}$, $\mathbb{C} P^{1}$ и точке соответственно. Соответствующие подпространства в $\mathcal{F}_{5}$ имеют вид Заметим, что пространства $\widetilde{Z}_{ij,9}$, $\widetilde{Z}_{ij, 7}$ и $\widetilde{Z}_{ij, k}$ совпадают с виртуальными пространствами $\widetilde{F}_{ij, 9}$, $\widetilde{F}_{ij, 7}$ и $\widetilde{F}_{ij, kl}$ для соответствующих страт в $G_{5,2}$, см. [5]. Авторы выражают благодарность А. А. Гайфуллину за полезное обсуждение результатов работы.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BucTer23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|