| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Плотные слабо лакунарные подсистемы ортогональных систем и оператор мажоранты частных сумм И. В. Лимоноваab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9929e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ статье уточнены и доказаны утверждения, анонсированные в [15] (см. также [16; гл. 2]). Рассматривается задача о нахождении подсистем со свойством лакунарности в ортогональных системах. Исследование различных классов лакунарных ортонормированных систем началось в работах С. Банаха в 30-е годы прошлого века (см. [4], [9]). Этой тематикой в разное время занимались такие математики, как С. Банах, Ю. Марцинкевич, П. Эрдёш, И. А. Агаев, С. В. Асташкин, Т. О. Балыкбаев, Ж. Бургейн, Н. Я. Виленкин, В. Ф. Гапошкин (см. обзор [7]), Б. С. Кашин, Г. А. Карагулян, Ж. Пизье, У. Рудин, С. Сидон, А. Сепп, С. Б. Стечкин, М. Талагран и др. Пусть $2<p<\infty$. Напомним, что ортонормированная система функций (О.Н.С.) $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^{\infty}$ называется $p$-лакунарной или $S_p$-системой, если для некоторой постоянной $K$ и любого полинома $P=\sum_{k=1}^N a_k\varphi_k$ по системе $\Phi$ справедливо неравенство (см. подробнее [9]). Чтобы отметить зависимость от $K$, будем также говорить, что $\Phi$ является $S_p(K)$-системой. В книге [9] со ссылкой на работу С. Банаха [4] приведен следующий результат.Теорема A. Пусть $p>2$ и О.Н.С. $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^{\infty}$ такова, что Тогда существует бесконечное подмножество натурального ряда $\Lambda$ такое, что $\{ \varphi_k\}_{k\in\Lambda}$ – $S_p$-система. Пусть $(X,\mu)$ – вероятностное пространство. Ниже рассматривается шкала пространств Орлича $L_{\psi_{\alpha}}(X)$, где
$$
\begin{equation}
\psi_{\alpha}(t)=t^2\frac{\ln^{\alpha}(e+|t|)}{\ln^{\alpha}(e+1/|t|)}\equiv t^2u_{\alpha}(t), \qquad \alpha>0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
а норма Люксембурга функции $f\in L_{\psi_{\alpha}}(X)$ определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\psi_{\alpha}}=\inf \biggl\{\lambda>0\colon \int_{X}\psi_{\alpha}\biggl(\frac{f(x)}{\lambda}\biggr)\,d\mu\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
О.Н.С. $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^{\infty}$ называется $\psi_{\alpha}$-лакунарной, если для некоторой постоянной $K$ и любого полинома $P=\sum_{k=1}^N a_k\varphi_k$ по системе $\Phi$ справедливо неравенство $\| P\|_{L_{\psi_{\alpha}}}\leqslant K \| P\|_{L_2}$. Аналоги теоремы A для О.Н.С., элементы которых равномерно ограничены по норме пространства Орлича $L_{\psi_{\alpha}}$ (и более общего вида), были получены Т. О. Балыкбаевым в [2], [3]. Г. А. Карагулян в [10] показал, что для любого $\lambda>1$ и $2<q<p$ в условиях теоремы A существует $S_q$-подсистема $\{\varphi_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ с $n_k<\lambda^k$ при $k>k_0(\lambda)$. Естественный вопрос о максимальной плотности последовательности $\Lambda$ в теореме A оказался весьма сложным. Для произвольных $p>2$ он оставался открытым даже в случае тригонометрической системы до появления прорывной работы [5] Ж. Бургейна, в которой была установлена Теорема B. Пусть $p>2$ и О.Н.С. $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ такова, что Здесь и ниже мы обозначаем через $\langle N\rangle$ набор $\{1, 2,\dots, N \}$, а через $|\Lambda|$ – число элементов в конечном множестве $\Lambda$; далее под $\log$ понимается $\log_2$. Для $\Lambda\subset \langle N\rangle$ обозначим через $S_{\Lambda}$ оператор, действующий по правилу
$$
\begin{equation*}
S_{\Lambda}(\{a_k\}_{k\in\Lambda})=\sum_{k\in\Lambda}a_k\varphi_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что для четных значений $p>2$ при условии ограниченности норм функций в $L_{p+\delta}$, $0<\delta\leqslant p-2$, неулучшаемый результат был получен И. А. Агаевым (см. [1; теорема 1]). Позднее в [17] М. Талагран, используя другие методы, обобщил результат Ж. Бургейна на случай $L_{p,1}$-пространств и получил количественные результаты для $\theta$-гладких пространств, $1< \theta\leqslant 2$. Отметим также работу [8], где искались подсистемы $\Phi_{\Lambda}$ с контролируемой нормой оператора $S_{\Lambda}\colon l_2(\Lambda)\to L_p$ в случае, когда $|\Lambda|$ имеет порядок $N^{2/p}\log^{\beta} N$, $\beta>0$. Ясно, что для множества $\Lambda$, существование которого установлено в теореме B,
$$
\begin{equation}
\|S_{\Lambda}\colon l_{\infty}(\Lambda) \to L_p(X) \|\leqslant |\Lambda|^{1/2}\cdot K(M, p).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Под слабо лакунарными мы понимаем системы, для которых имеют место оценки, присущие “разреженным” системам, но более слабые, чем (1.1), например, $\psi_{\alpha}$-лакунарные системы. В [13; теорема 1] (см. также [12]) с помощью модификации метода из [5] установлена теорема C – аналог оценки (1.3) для пространств Орлича $L_{\psi_{\alpha}}$ (см. (1.2)) для произвольных ортогональных систем с равномерно ограниченными элементами. Естественно, что в этом случае можно гарантировать большую, чем в теореме B, плотность множества $\Lambda$. Теорема C. Пусть $\alpha>0$ и $\rho>0$ фиксированы. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством с вероятностью, большей $1-C(\rho)N^{-9}$, для случайного множества $\Lambda=\Lambda(\omega)$, $\Lambda(\omega)=\{i\in\langle N\rangle\colon \xi_i(\omega)=1\}$, порожденного набором независимых случайных величин $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$, принимающих значение $0$ или $1$, с $\mathbb{E}\xi_i=\log^{-\rho}(N+3)$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство В работе И. А. Агаева (см. [1; теорема 5]) приведен пример В. Ф. Гапошкина, показывающий, что замена условия равномерной ограниченности функций на ограниченность норм в $L_p$, $p>2$, существенно меняет ситуацию в смысле числа функций в $S_p$-подсистеме. Теорема D. Для $p\geqslant 2$, $\delta\geqslant 0$ найдется такое $M(\delta, p)>0$, что для любого $N\geqslant 1$ существует О.Н.С. $\Phi=\{\varphi_k(x)\}_{k=1}^N$ на $[0,1]$, удовлетворяющая следующим свойствам: 1) $\|\varphi_k\|_{p+\delta}\leqslant M(\delta, p)$, $k=1,2,\dots, N$; 2) любая $S_p(C)$-подсистема $\Phi$ содержит не более $[2C^2N^{\alpha}]$ функций, где В частности, при условии равномерной ограниченности норм функций в $L_p$ (без дополнительных ограничений) нельзя гарантировать наличие $S_p$-подсистемы с числом элементов, растущим при $N\to\infty$. Что касается плотности слабо лакунарных подсистем в $L_{\psi_{\alpha}}$, то здесь требование ограниченности норм в $L_{\infty}$ числом $1$ можно заменить на выполнение при некотором $p>2$ условия
$$
\begin{equation}
\|\varphi_k\|_{L_{p}}\leqslant 1, \qquad k=1, 2,\dots, N,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
и результат теоремы C сохранится (см. замечание 5). Теорема 2 ниже является обобщением теоремы C на случай, когда $S_{\Lambda}$ действует из $l_2(\Lambda)$ в $L_{\psi_{\alpha}}(X)$, а на функции накладывается более слабое условие (1.5) при $p>2$. Отметим, что в [15] теорема 2 была анонсирована для систем функций, удовлетворяющих условию (1.5) при $p>4$. Рассмотрим оператор мажоранты частных сумм $S_{\Phi}^*$, который вектору $\{a_k\}_{k=1}^N$ из $\mathbb{R}^N$ ставит в соответствие функцию
$$
\begin{equation*}
S_{\Phi}^*(\{a_k\}_{k=1}^N)(x)=\sup_{1\leqslant M\leqslant N}\biggl |\sum_{k=1}^M a_k\varphi_k(x)\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно (см. [14]), что свойство лакунарности позволяет улучшать оценки для нормы оператора $S_{\Phi}^*$. Так, обобщая результат П. Эрдёша для тригонометрической системы, С. Б. Стечкин установил (см. [14; теорема 9.8]), что если $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^{\infty}$ является $S_p(K)$-системой, то $\|S_{\Phi}^*\colon l_2\to L_p(X)\|\leqslant C(K)$. Из работы [3] Т. О. Балыкбаева следует, что $S_{\Phi}^*$ является ограниченным оператором из $l_2$ в $L_{\psi_{\alpha}}(X)$ (а значит, и в $L_2(X)$) для $\psi_{\alpha}$-лакунарной при $\alpha>4$ О.Н.С. $\Phi$. В [13] доказано, что при $\rho>4$ в любой ортогональной системе $\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (1.4) найдется подсистема $\Phi_{\Lambda}$, состоящая из $N/\log^{\rho}(N+3)$ функций, такая, что $\|S_{\Phi_{\Lambda}}^{*}\colon l_{\infty}(\Lambda) \to L_{2}(X)\|\leqslant C(\rho)\sqrt{|\Lambda|}$. Теорема 3 ниже утверждает, что для подсистемы, найденной в теореме 2, норму оператора мажоранты частных сумм, действующего из $l_2(\Lambda)$ в $L_2(X)$, можно оценить лучше, чем гарантирует классическая теорема Меньшова–Радемахера (см., например, [14; теорема 9.1]) для общих ортогональных систем. Отметим также глубокий результат Ж. Бургейна из [6], показывающий, что в условиях теоремы B систему $\Phi$ можно так переставить, что норма из $l_2$ в $L_{2}$ оператора мажоранты частных сумм по получившейся системе ограничена величиной $C(M)\log\log N$. Основные результаты работы – теорема 2 и теорема 3 – сформулированы и доказаны в § 4. § 2. Вспомогательные результаты2.1. Оценки, связанные с нормой пространства $L_{\psi_{\alpha}}$В этом пункте мы установим леммы 1 и 2, которые потребуются для доказательства основной леммы – леммы 8. Следствие 1 понадобится при доказательстве теоремы 1. Напомним, что функция $u_{\alpha}$ определена в (1.2). Доказательство. Пусть $g\in L_p(X)$, $\|g\|_{L_2(X)}\leqslant 1$, $\|g\|_{L_p(X)}\leqslant K$. Обозначим $C_0=K^{p/(p-2)}>e$. Представим $X$ в виде объединения: $X=X_1\cup X_2$, где $X_1=\{x\in X\colon |g(x)|<C_0\}$, $X_2=\{x\in X\colon |g(x)|\geqslant C_0\}$. Пусть $g_1=gI_{X_1}$, $g_2=gI_{X_2}$, где через $I_S$ обозначена индикаторная функция множества $S$. Имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|gu_{\alpha}\biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr)\biggr\|_{L_2(X)} \leqslant \biggl\|g_1u_{\alpha}\biggl(\frac{g_1}{\lambda}\biggr)\biggr\|_{L_2(X)} +\biggl\|g_2u_{\alpha}\biggl(\frac{g_2}{\lambda}\biggr)\biggr\|_{L_2(X)}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Поскольку $\|g\|_{L_2(X)}\leqslant 1$, то $\|g_1\|_{L_2(X)}\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation}
\biggl\|g_1u_{\alpha}\biggl(\frac{g_1}{\lambda}\biggr)\biggr\|_{L_2(X)}\leqslant \|g_1\|_{L_2(X)}\biggl\|u_{\alpha}\biggl(\frac{g_1}\lambda\biggr)\biggr\|_{L_{\infty}(X)}\leqslant 1\cdot \ln^{\alpha}(e+C_0)\leqslant C_1(\alpha, p)\ln^{\alpha}K.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Так как $\|g\|_{L_p(X)}\leqslant K$, следовательно, $\|g_2\|_{L_p(X)}\leqslant K$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \!\!\biggl\|g_2u_{\alpha}\biggr(\frac{g_2}{\lambda}\biggr)\biggr\|_{L_2(X)}^2 &\leqslant\sum_{k=0}^{\infty}2^{2k+2}C_0^2\mu\{x\colon2^k C_0\,{\leqslant}\, |g_2(x)|\,{\leqslant}\, 2^{k+1}C_0\}\ln^{2\alpha}(e\,{+}\,2^{k+1}C_0) \nonumber \\ &\leqslant\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{2k+2}C_0^2K^p\ln^{2\alpha}(e^{2(k+1)}C_0)}{2^{kp}C_0^p} \nonumber \\ &\leqslant\sum_{k=0}^{\infty}2^{2k-kp+2}C_0^{2-p}2^{2\alpha}(k+1)^{2\alpha}K^p\ln^{2\alpha} (eC_0) \nonumber \\ &=C_2(\alpha, p)K^{-p}K^p\ln^{2\alpha}(eK^{p/(p-2)})\leqslant C_3(\alpha,p)\ln^{2\alpha}K. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Из (2.1)–(2.3) получаем утверждение леммы 1.
Лемма доказана. Следствие 1. Пусть $\alpha>0$, $p>2$. Для функции $g$ с $\|g\|_{L_p(X)}\leqslant K$, $K>e$, $\|g\|_{L_2(X)}\leqslant 1$ имеет место неравенство Доказательство. Можно считать, что $\|g\|_{\psi_{\alpha}}\geqslant 1$, иначе (2.4), очевидно, выполнено. Из определения функции $u_{\alpha}$ следует, что $u_{\alpha}=u_{\alpha/2}^2$, поэтому по лемме 1 при $\lambda\geqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{X} \biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr)^2 u_{\alpha}\biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr) d\mu= \frac{1}{\lambda^2}\int_{X} g^2 u_{\alpha/2}^2\biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr) d\mu\leqslant \frac{1}{\lambda^2} G_{\alpha/2}^2(\lambda, K)\leqslant C^2\biggl(\frac{\alpha}{2}, p\biggr)\frac{\ln^{\alpha}K}{\lambda^2},
\end{equation*}
\notag
$$
что равно $1$ при $\lambda= C(\alpha/2, p)\ln^{\alpha/2}K$, откуда вытекает неравенство (2.4).
Следствие доказано. Лемма 2 является простым следствием леммы A (см. [13; емма 4]). Доказательство. Пусть $f\in L_2(X)$ и $\|f\|_{L_2(X)}=1$. Из определения $u_{\alpha}$ (см. (1.2)) и леммы A имеем
Лемма доказана. 2.2. Оценка метрической энтропииЦель этого пункта – установить лемму 7. Отметим, что в [5] (см. также [13; лемма $8$])) лемма 7 доказана для равномерно ограниченных ортогональных систем, но в [6] сказано (без пояснений), что она имеет место и для ортогональных систем функций с равномерно ограниченными нормами в $L_p$, $p>2$. Доказательство повторяет то, которое было в [5], однако переход от (2.10) к (2.12) потребовал дополнительных обоснований. Определение. Для $S\subset L_q(X)$ метрическая энтропия $N_{q}(S, t)$ – это минимальное число шаров с центрами в $S$ радиуса $t$ пространства $L_q(X)$ таких, что их объединение покрывает множество $S$. Приведем с доказательством модификацию классического утверждения об оценке мощности $\varepsilon$-сети единичного шара $m$-мерного пространства. Лемма 3. Пусть $B$ – единичный шар в $m$-мерном нормированном пространстве $X$, $M\subset B$ – некоторое подмножество. Тогда для любого $\varepsilon\leqslant 1$ существует $\varepsilon$-сеть $\mathbb{G}$ множества $M$ мощности не больше $(3/\varepsilon)^m$ такая, что $\mathbb{G}\subset M$. Доказательство. Проведем стандартное в этих вопросах рассуждение с оценкой объемов. Без ограничения общности считаем, что $B$ имеет центр в нуле. Пусть $r\colon X\to \mathbb{R}^m$ – естественный изоморфизм. Пусть $G$ – максимальное $\varepsilon$-различимое множество векторов в $M$, тогда $G$ образует $\varepsilon$-сеть множества $M$. Оценим $|G|$. Через $\operatorname{Vol}$ будем обозначать объем множества в $\mathbb{R}^m$. Пусть $B_1, \dots, B_{|G|}$ – открытые шары в $X$ радиуса $\varepsilon/2$ с центрами в $G$. Ясно, что $B_j\subset (1+\varepsilon/2)B$, $\operatorname{Vol}(r(B_j))=(\varepsilon/2)^m\operatorname{Vol}(r(B))$, $j=1,\dots, |G|$, и множества $r(B_j)$ с разными $j$ не пересекаются. Поэтому откуда получаем $|G|\leqslant (2/\varepsilon+1)^m\leqslant (3/\varepsilon)^m$, и $G$ – исходная сеть.
Лемма доказана. Дальше мы часто будем использовать следующую известную оценку для числа сочетаний: для некоторой абсолютной постоянной $C>0$ при $1\leqslant m\leqslant n$ Следующее простое утверждение часто используется ниже при оценке энтропии. Лемма 4. Пусть $\Phi=\{\varphi_{i}\}_{i=1}^{n}$ – ортогональная система функций из $L_q(X)$, $q\geqslant 2$, $I\subset\{1,\dots, n\}$, $|I|=m_0$, $b_1, b_2\in\mathbb{R}$, $0<b_1<b_2$. Тогда Доказательство. Обозначим $\mathcal{P}_I\,{=}\,\bigl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i \colon \|\overline{a}\|_2\leqslant 1\bigr\}$, $N_{b_2}\,{=}\,N_q(\mathcal{P}_I, b_2)$. Пусть шары $B_1, \dots,B_{N_{b_2}}$ в $m_0$-мерном пространстве $\bigl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i \colon a_i\,{\in}\,\mathbb{R}\bigr\}$ с центрами в $f_1, \dots, f_{N_{b_2}}\in \mathcal{P}_I$ радиуса $b_2$ покрывают $\mathcal{P}_I$. Пользуясь леммой 3, для каждого множества $B_j\cap \mathcal{P}_I$, $j=1,\dots, N_{b_2}$, найдем покрытие, состоящее из не более чем $(3b_2/b_1)^{m_0}$ шаров радиуса $b_1$ с центрами в $\mathcal{P}_I$. Объединение покрытий множеств $B_1\cap \mathcal{P}_I,\dots, B_{N_{b_2}}\cap \mathcal{P}_I$ дает $b_1$-покрытие множества $\mathcal{P}_I$, в нем не больше $N_{b_2}\cdot(3b_2/b_1)^{m_0}$ элементов, поэтому
$$
\begin{equation*}
N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i \colon \|\overline{a}\|_2\leqslant 1\biggr\}, b_1\biggr) \leqslant N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i \colon \|\overline{a}\|_2\leqslant 1\biggr\}, b_2\biggr)\cdot \biggl(\frac{3b_2}{b_1}\biggr)^{m_0},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает лемма 4. Следствие 2. Пусть выполнены условия леммы 4, причем $\|\varphi_i\|_q\leqslant K$, $i= 1,\dots, n$. При $0<b_1<b_2=\sqrt{m_0}K$ имеет место оценка Доказательство. Достаточно заметить, что при $\|\overline{a}\|_2\leqslant 1$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\biggr\|_q \leqslant \sum_{i\in I}\|a_i\varphi_i\|_q \leqslant \sum_{i\in I}|a_i|K \leqslant \sqrt{m_0}K,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i \colon \|\overline{a}\|_2\leqslant 1\biggr\}, \sqrt{m_0}K\biggr)=1,
\end{equation*}
\notag
$$
и применить лемму 4.
Следствие доказано. Для системы $\Phi=\{\varphi_{i}\}_{i=1}^{n}$ и числа $m\leqslant n$ определим множество $\mathcal{P}_{m}$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_{m}=\biggl\{\sum_{i \in A} a_{i} \varphi_{i}\colon \| \overline{a} \|_2 \leqslant 1 \text { и } |A| \leqslant m\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Лемма 5. В условиях леммы 4 выполнено неравенство Доказательство. Для $I\subset\langle n\rangle$ обозначим $\mathcal{P}_I=\{\sum_{i\in I} a_i\varphi_i\colon \|\overline{a}\|_2\leqslant 1\}$. Каждому элементу $f\in\mathcal{P}_m$ можно поставить в соответствие какое-то множество $I(f)\subset\langle n\rangle$ мощности $|I(f)|=m$ такое, что $f\in\mathcal{P}_{I(f)}$. Будем считать, что такое соответствие задано. Пусть шары $B_1,\dots, B_{N_q(\mathcal{P}_m, b_2)}$ радиуса $b_2$ с центрами в $f_1, \dots, f_{N_q(\mathcal{P}_m, b_2)}\in \mathcal{P}_m$ покрывают $\mathcal{P}_m$. Построим $\Omega$ – покрытие множества $\mathcal{P}_m$ шарами радиуса $2b_2$ с числом элементов не больше $C_n^mN_q(\mathcal{P}_m, b_2)$, обладающее следующим свойством: для любого $f\in\mathcal{P}_m$ найдется шар из $\Omega$ с центром $\widetilde f$ в $\mathcal{P}_{I(f)}$, покрывающий $f$, причем $I(\widetilde f)=I(f)$. Будем строить $Z$ – множество центров шаров из $\Omega$. Для начала добавим в $Z$ точки $f_1, \dots, f_{N_q(\mathcal{P}_m, b_2)}$. Пусть $k\in\{1,\dots, N_q(\mathcal{P}_m, b_2)\}$, $J\subset \langle n\rangle$, $|J|=m$, причем $J\neq I(f_k)$. Обозначим $M_{J, k}=\{f\in\mathcal{P}_J\colon \|f-f_k\|_q\leqslant b_2, \ I(f)=J\}$. Если $M_{J, k}$ непусто, то добавим в $Z$ один элемент из $M_{J, k}$ (любой). Проделав так для всех $k=1,\dots, N_q(\mathcal{P}_m, b_2)$ и $J\subset \langle n\rangle$, $|J|=m$, $J\neq I(f_k)$, получим требуемое покрытие. Пусть $f\in Z$ и $B$ – шар из $\Omega$ с центром в $f$. По лемме 3 для множества $B\cap\mathcal{P}_{I(f)}$, являющегося подмножеством шара радиуса $2b_2$ $m$-мерного пространства $\bigl\{\sum_{i\in I(f)}a_i\varphi_i \colon a_i\in\mathbb{R}\bigr\}$, существует покрытие из не более чем $(6b_2/b_1)^m$ шаров радиуса $b_1$ с центрами в $B\cap\mathcal{P}_{I(f)}$. Объединение таких шаров по всем $f\in Z$ дает $b_1$-покрытие множества $\mathcal{P}_m$ с числом элементов не больше $C_n^mN_q(\mathcal{P}_m, b_2)(6b_2/b_1)^m$, значит,
$$
\begin{equation*}
N_q(\mathcal{P}_m, b_1)\leqslant C_n^mN_q(\mathcal{P}_m, b_2)\biggl(\frac{6b_2}{b_1}\biggr)^m,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда (с учетом (2.6)) следует лемма 5. Лемма 6. Пусть $\Phi=\{\varphi_{i}\}_{i=1}^{n}$ – ортогональная система функций с условием $\|\varphi_{i}\|_{q_0}\leqslant 1$, $i=1,\dots, n$, при некотором $q_0>2$. Тогда при $2< q\leqslant q_0$ существует такое $c(q)>1$, что для $t>c(q)$ выполняется неравенство Доказательство. Для любых $\overline{a}$ и $A\in\langle n\rangle$ с $\|\overline{a}\|_2\leqslant 1$, $|A|\leqslant m$
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i\in A}a_i\varphi_i\biggr\|_q \leqslant \sum_{i\in A}\|a_i\varphi_i\|_q \leqslant \sum_{i\in A}|a_i| \leqslant \sqrt{m},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому при $t\geqslant\sqrt{m}$ неравенство (2.8), очевидно, выполнено. Пусть $t<\sqrt{m}$.
Пусть $2^{(k-2)/2}\leqslant t<2^{(k-1)/2}$, $k\geqslant 4$. Возьмем функцию $f=\sum_{i \in A} a_{i} \varphi_{i}$ с $\|\overline{a}\|_2\leqslant 1$, $|A|\leqslant m$ и запишем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i\in A} a_{i} \varphi_{i}(u) =\sum_{i\in A} a_{i} \varepsilon_{i}^{1} \varphi_{i}(u)+\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \varphi_{i}(u) \nonumber \\ &\qquad =\sum_{i\in A} a_{i} \varepsilon_{i}^{1} \varphi_{i}(u)+\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \varepsilon_{i}^{2} \varphi_{i}(u)+\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1})(1-\varepsilon_{i}^{2}) \varphi_{i}(u)=\cdots \nonumber \\ \nonumber &\qquad=\sum_{i\in A} a_{i} \varepsilon_{i}^{1} \varphi_{i}(u)+\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \varepsilon_{i}^{2} \varphi_{i}(u)+\dotsb \\ \nonumber &\qquad\qquad +\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \dotsb(1-\varepsilon_{i}^{k-1}) \varepsilon_{i}^{k} \varphi_{i}(u) +\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \dotsb(1-\varepsilon_{i}^{k}) \varphi_{i}(u) \\ &\qquad\equiv \Phi(\varepsilon, u)+\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \dotsb(1-\varepsilon_{i}^{k}) \varphi_{i}(u), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $(\varepsilon_i^j)_{1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant k}$ принимают любые значения $\pm{1}$.
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int\|\Phi(\varepsilon, u)\|_{L_{q}(d u)} \,d \varepsilon \leqslant \biggl\|\biggl\|\sum_{i\in A} a_{i} \varepsilon_{i}^{1} \varphi_{i}(u)\biggr\|_{L_q(du)}+\biggl\|\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \varepsilon_{i}^{2} \varphi_{i}(u)\biggr\|_{L_q(du)} \\ &\qquad\qquad+\dots+\biggl\|\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \dotsb (1-\varepsilon_{i}^{k-1}) \varepsilon_{i}^{k} \varphi_{i}(u)\biggr\|_{L_q(du)}\biggr\|_{L_1(d\varepsilon)} \\ &\qquad\leqslant \biggl\|\sum_{i\in A} a_{i} \varepsilon_{i}^{1} \varphi_{i}(u)\biggr\|_{L_q(du \otimes d\varepsilon^1)} \\ &\qquad\qquad +\sum_{l=2}^k \int\biggl\|\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \dotsb(1-\varepsilon_{i}^{l-1}) \varepsilon_{i}^{l} \varphi_{i}(u)\biggr\|_{L_{q}(d u \otimes d {\varepsilon}^{l})}\,d \varepsilon^{1} \dotsb d \varepsilon^{l-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по неравенству Хинчина
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int\|\Phi(\varepsilon, u)\|_{L_{q}(d u)} \,d \varepsilon \leqslant \biggl(\int\biggl(\biggl(\int \biggl|\sum_{i\in A} a_{i} \varepsilon_{i}^{1} \varphi_{i}(u)\biggr|^q d\varepsilon^1\biggr)^{1/q}\biggr)^q \,du\biggr)^{1/q} \\ \notag &\ {+}\sum_{l=2}^k \int\biggl( \int\biggl(\int\biggl|\sum_{i\in A} a_{i}(1-\varepsilon_{i}^{1}) \dotsb(1-\varepsilon_{i}^{l-1}) \varepsilon_{i}^{l} \varphi_{i}(u)\biggr|^q \,d\varepsilon^l\biggr)^{{1}/{q}\cdot q} \,du\biggr)^{1/q}\, d \varepsilon^{1} \dotsb d \varepsilon^{l-1} \\ \notag &\leqslant C(q)\biggl(\int\biggl(\sum_{i\in A} a_i^2\varphi_i^2(u)\biggr)^{q/2}\, du\biggr)^{1/q} \\ &\ + C(q) \sum_{l=2}^k \int\biggl(\int\biggl(\sum_{i\in A}a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2\dotsb(1-\varepsilon_i^{l-1})^2 \varphi_i^2(u)\biggr)^{q/2}\,du\biggr)^{1/q}\,d\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Оценим первое слагаемое в (2.10), учитывая, что $\|\varphi_i\|_q\leqslant \|\varphi_i\|_{q_0}\leqslant 1$, $i\in\langle n\rangle$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int\biggl(\sum_{i\in A} a_i^2\varphi_i^2(u)\biggr)^{q/2} \,du\biggr)^{1/q} {=}\,\biggl\|\sum_{i\in A} a_i^2\varphi_i^2(u)\biggr\|_{L_{q/2}(du)}^{1/2} {\leqslant}\, \biggl(\sum_{i\in A} \|a_i^2\varphi_i^2(u)\|_{L_{q/2}(du)}\biggr)^{1/2} \\ &\qquad =\biggl(\sum_{i\in A} a_i^2\biggl(\int |\varphi_i(u)|^q \,du\biggr)^{2/q}\biggr)^{1/2}\leqslant \biggl(\sum_{i\in A} a_i^2\biggr)^{1/2}\leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом получим оценку второго слагаемого в (2.10): имеем при $1\leqslant l\leqslant k$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int\biggl(\int\biggl(\sum_{i\in A}{a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2 \dotsb(1-\varepsilon_i^l)^2}\varphi_i^2(u)\biggr)^{q/2}\,du\biggr)^{1/q}\,d\varepsilon \\ \nonumber &\ =\biggl\|\biggl(\biggl\|\sum_{i\in A}{a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2\cdots(1-\varepsilon_i^l)^2}\varphi_i^2(u) \biggr\|_{L_{q/2}(d u)}\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_1(d\varepsilon)} \\ \nonumber &\ \leqslant\biggl\|\biggl(\sum_{i\in A}\|{a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2 \dotsb(1-\varepsilon_i^l)^2}\varphi_i^2(u)\|_{L_{q/2}(d u)}\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_1(d\varepsilon)} \\ \nonumber &\ =\biggl\|\biggl(\sum_{i\in A}a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2 \dotsb(1-\varepsilon_i^l)^2\|\varphi_i^2(u) \|_{L_{q/2}(d u)}\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_1(d\varepsilon)} \\ \nonumber &\ \leqslant\int\biggl(\sum_{i\in A}{a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2 \dotsb(1-\varepsilon_i^l)^2}\biggr)^{1/2}\,d\varepsilon\,{\leqslant}\,\biggl(\int\sum_{i\in A} a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2 \dotsb(1-\varepsilon_i^l)^2\,d\varepsilon\biggr)^{1/2} \\ &\ =\biggl(\sum_{i\in A} a_i^2\int(1-\varepsilon_i^1)^2 \dotsb(1-\varepsilon_i^l)^2\,d\varepsilon\biggr)^{1/2} =\biggl(\sum_{i\in A} \frac{a_i^2 2^{2l}}{2^l}\biggr)^{1/2}\leqslant 2^{l/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Продолжая неравенство (2.10), имеем
$$
\begin{equation}
\int\|\Phi(\varepsilon, u)\|_{L_{q}(d u)}\, d \varepsilon \leqslant C(q) \biggl(1+\sum_{l=1}^{k-1} 2^{l/2}\biggr)<C_1(q) 2^{k/2}<c_1 t
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
(в этой лемме $c_1=c_1(q)$).
Обозначим
$$
\begin{equation*}
A_{\varepsilon}=\{i\in A\colon\varepsilon_i^1= \dots=\varepsilon_i^k=-1\},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда $|A_{\varepsilon}|=2^{-k}\sum_{i\in A}(1-\varepsilon_i^1)\dotsb(1-\varepsilon_i^k)$ и поэтому
$$
\begin{equation}
\int|A_{\varepsilon}|\,d\varepsilon=2^{-k}\sum_{i\in A}\int(1-\varepsilon_i^1)\dotsb(1-\varepsilon_i^k)\,d\varepsilon\leqslant 2^{-k}m<\frac{m}{2t^2}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Более того, из (2.11) для $l=k$ имеем
$$
\begin{equation}
\int\biggl(\sum_{i\in A}{a_i^2(1-\varepsilon_i^1)^2\dotsb(1-\varepsilon_i^k)^2}\biggr)^{1/2}\,d\varepsilon\leqslant 2^{k/2}<c_2t.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Учитывая (2.9) и неравенства (2.12)–(2.14), мы можем найти достаточно большое $\widetilde{c}(c_1, c_2)\equiv \widetilde{c}>3$ и выбрать знаки $\varepsilon_i^j$ так, что функция
$$
\begin{equation*}
\varphi\equiv\sum_{i\in A} a_i(1-\varepsilon_i^1)\dotsb(1-\varepsilon_i^k)\varphi_i
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\biggl\| \sum_{i\in A} a_i\varphi_i-\varphi\biggr\|_q\leqslant \frac{\widetilde{c}}{2}t, \qquad \varphi\in \frac{\widetilde{c}}{2}t\mathcal{P}_{[{m}/{t^2}]}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Пусть $\widetilde{N}_q(\mathcal{P}_m, r)$ – минимальное число шаров радиуса $r$ пространства $L_q(X)$ (не обязательно с центрами в $\mathcal{P}_m$) таких, что их объединение покрывает $\mathcal{P}_m$. Из (2.15) следует, что любая $\widetilde{c}t/2$-сеть $\frac{\widetilde{c}}{2}t\mathcal{P}_{[{m}/{t^2}]}$ является $\widetilde{c}t$-сетью $\mathcal{P}_m$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \log \widetilde{N}_q(\mathcal{P}_m, \widetilde{c}t) &\leqslant \log C_n^{[{m}/{t^2}]}+\sup_{|I|=[{m}/{t^2}]} \log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant \frac{\widetilde{c}}{2}t \biggr\}, \frac{\widetilde{c}}{2}t \biggr) \\ &\leqslant C\frac{m}{t^2}\log\frac{nt^2}{m}+\sup_{|I|=[{m}/{t^2}]} \log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant 1\biggr\}, 1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $c=2\widetilde{c}$. Ясно, что $N_q(\mathcal{P}_m, ct)\leqslant \widetilde{N}_q(\mathcal{P}_m, \widetilde{c}t)$, значит,
$$
\begin{equation}
\log {N}_q(\mathcal{P}_m, ct)\leqslant C\frac{m}{t^2}\log\frac{nt^2}{m}+\sup_{|I|=[{m}/{t^2}]} \log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant 1\biggr\}, 1\biggr).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Если $m/t^4\leqslant 1$, то применим следствие 2 и получим следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\sup_{|I|=[{m}/{t^2}]}\log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant 1\biggr\}, 1\biggr) \leqslant \frac{m}{t^2}\log\biggl(3\sqrt\frac{m}{t^2}\biggr) \leqslant \frac{m}{t^2}\log (3t).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь ${m}/{t^{2r+2}}\leqslant 1<{m}/{t^{2r}}$, $r\in\mathbb{N}$, $r>1$. Второе слагаемое в (2.16) оценим тем же методом уменьшения носителя, каким получили оценку (2.16), при этом важно, что константы $c_1$, $c_2$, $c$ зависят только от $q$. Те же рассуждения, что и выше, показывают, что для $t>2$ и любого $I\subset\langle n\rangle$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant 1\biggr\}, ct\biggr) \leqslant \log \widetilde{N}_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant 1\biggr\}, \widetilde{c}t\biggr) \\ \nonumber &\qquad \leqslant\log C_{|I|}^{[|I|/t^2]} +\sup_{J\subset I\colon |J|=[|I|/t^2]}\log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in J}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant\frac{\widetilde{c}t}2\biggr\}, \frac{\widetilde{c}t}2\biggr) \\ &\qquad \leqslant C\frac{|I|}{t^2}\log t^2+\sup_{J\subset I\colon |J|=[|I|/t^2]} \log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in J}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant 1\biggr\}, 1\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
(если $|I|/t^2<1$, то последнее неравенство, очевидно, выполнено; в случае $|I|/t^2\geqslant 1$ мы воспользовались (2.6) и тем, что $|I|/[|I|/t^2]\leqslant 2t^2\leqslant t^3$). Отметим, что в (2.17) вместо $[|I|/t^2]$ можно брать верхнюю целую часть. Применяя лемму 4 и неравенство (2.17) последовательно $r-1$ раз, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{|I|=[{m}/{t^2}]} \log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \| \overline{a} \|_2\leqslant 1\biggr\}, 1\biggr) \\ &\ \ \leqslant \frac{m}{t^2}\log(3ct)+ \sup_{|I|=[{m}/{t^2}]} \log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon\|\overline{a}\|_2\leqslant 1\biggr\}, ct\biggr) \\ &\ \ \leqslant \frac{m}{t^2}\log(3ct)+ C\frac{m}{t^4}\log {t^2} +\sup_{|I|=[{m}/{t^4}]}\log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \|\overline{a}\|_2\leqslant 1\biggr\}, 1\biggr)\leqslant\dotsb \\ &\ \ \leqslant \biggl(\frac{m}{t^2}+\frac{m}{t^4} +\dots+\frac{m}{t^{2{r-2}}}\biggr)\log(3ct) + C\biggl(\frac{m}{t^4}+\frac{m}{t^6} +\dots+\frac{m}{t^{2r}}\biggr)\log t^2 \\ &\ \ \qquad +\sup_{|I|=[{m}/{t^{2r}}]}\log N_q\biggl(\biggl\{\sum_{i\in I}a_i\varphi_i\colon \|\overline{a}\|_2\leqslant 1\biggr\}, 1\biggr) \\ &\ \ \leqslant\biggl(\frac{m}{t^2}+\frac{m}{t^4}+\frac{m}{t^6} +\dotsb\biggr)\log(3ct) + C\biggl(\frac{m}{t^4}+\frac{m}{t^6} +\dotsb\biggr)\log t^2+ \frac{m}{t^{2r}}\log\biggl(3\sqrt\frac{m}{t^{2r}}\biggr) \\ &\ \ <C_1\frac{m}{t^2}\log t; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь в предпоследнем неравенстве мы воспользовались следствием 2, а последнее неравенство следует из того, что $t>2$. Любое $t_1>2c$ можно представить в виде $t_1=ct$, $t>2$, тогда, собирая полученные оценки, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\log N_q(\mathcal{P}_m, t_1)=\log N_q(\mathcal{P}_m, ct)\leqslant C\frac{m}{t^2}\log\frac{nt^2}{m}+C_2\frac{m}{t^2}\log t \\ &\qquad \leqslant C_3 m\biggl(\log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)+\log{t}\biggr) t^{-2}\leqslant C(q) m\log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)\cdot t_1^{-2}\log{t_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6 доказана. Лемма 7. Пусть $\Phi=\{\varphi_{i}\}_{i=1}^{n}$ – ортогональная система функций с условием $\|\varphi_{i}\|_{q_0}\leqslant 1$, $i=1,\dots, n$, при некотором $q_0>2$. Тогда при $2< q< q_0$ существуют такие $C(q_0, q)>0$ и $\eta=\eta(q_0,q)>2$, что Доказательство. Сначала докажем первое неравенство в (2.18) при $t$, больших некоторого $c(q_0,q)>1$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{q}=\frac{1-\theta}{2}+\frac{\theta}{q_0}, \qquad 0<\theta<1, \quad \theta=\theta(q_0,q),
\end{equation*}
\notag
$$
$c(q_0)$ – постоянная из леммы 6. Для любых $f, g \in \mathcal{P}_{m}$ выполнено $\|f\|_2\leqslant 1$, $\|g\|_2\leqslant 1$, значит, по неравенству Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\|f-g\|_{q} \leqslant\|f-g\|_{2}^{1-\theta}\|f-g\|_{q_0}^{\theta} \leqslant 2\|f-g\|_{q_0}^{\theta},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому для $t>2c(q_0)^{\theta}$ из леммы 6 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \log N_{q}(\mathcal{P}_{m}, t) &\leqslant \log N_{q_0}\biggl(\mathcal{P}_{m},\biggl(\frac{t}{2}\biggr)^{1 / \theta}\biggr) \\ &\leqslant C(q_0) m\log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)\cdot \biggl(\frac{t}{2}\biggr)^{-2 / \theta} \log \biggl(\frac{t}{2}\biggr)^{1 / \theta}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $t^{-2 / \theta} \log ({t}/{2})^{1 / \theta}<t^{-\eta}$ (при $t>c(q_0,q)$) для некоторого $\eta=\eta(\theta)>2$.
Для $1/2<t \leqslant c(q_0,q)$ из леммы 5 и неравенства (2.18) для $2c(q_0,q)t$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\log N_{q}(\mathcal{P}_{m}, t) \leqslant Cm\log\biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)+C m \log (2c(q_0,q))+\log N_{q} (\mathcal{P}_{m}, 2c(q_0,q)t) \\ &\qquad \leqslant Cm\log\biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)+ C_1(q_0,q)m+ C(q_0,q) m\log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)\cdot (2c(q_0,q)t)^{-\eta} \\ &\qquad \leqslant \widetilde{C}(q_0,q) m\log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)\cdot t^{-\eta} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(выполнения последнего неравенства добьемся за счет увеличения $\widetilde{C}(q_0,q)$). Итак, первое неравенство в (2.18) получено.
Воспользуемся леммой 4 для доказательства второго неравенства в (2.18):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\log N_{q}(\mathcal{P}_{m}, t) \leqslant \log C_n^m+\sup _{|A| \leqslant m} \log N_{q}\biggl(\biggl\{\sum_{i \in A} a_{i} \varphi_{i}\colon \| \overline{a} \|_2 \leqslant 1\biggr\}, t\biggr) \\ &\qquad\leqslant C m \log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)+ m \log \frac{3}{t}+\sup _{|A| \leqslant m} \log N_{q}\biggl(\biggl\{\sum_{i \in A} a_{i} \varphi_{i}\colon \| \overline{a} \|_2 \leqslant 1\biggr\}, 1\biggr) \\ &\qquad\leqslant C(q_0,q)\biggl(\log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)+\log \frac{1}{t}\biggr) m \leqslant 2C(q_0,q) m\log \biggl(\frac{n}{m}+1\biggr)\cdot \log \frac{1}{t} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(во втором неравенстве помимо леммы 4 мы также применили оценку (2.6), в предпоследнем неравенстве – лемму 7 с $n=m$, $t=1$).
Лемма доказана. § 3. Основная леммаПусть $U_2(\Lambda)\subset\mathbb{R}^N$ – множество векторов единичной евклидовой нормы с носителем в $\Lambda\subset\langle N\rangle$ таких, что все ненулевые координаты равны по модулю:
$$
\begin{equation}
U_2(\Lambda)=\biggl\{\overline{a}=\{a_i\}_{i=1}^N\colon \operatorname{supp}(\overline{a})\subset \Lambda, \text{ для } i\in\operatorname{supp}(\overline{a})\ \ |a_i|=\frac{1}{\sqrt{|\operatorname{supp}(\overline{a})|}}\biggr\},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\operatorname{supp}(\overline{a})=\{i\in\langle N\rangle\colon a_i\neq 0\}$. Для $m_0\leqslant |\Lambda|$ будем обозначать $U_2(\Lambda, m_0) =\{\overline{a}\in U_2(\Lambda)\colon |{\operatorname{supp}(\overline{a})}|=m_0\}$. Для $m\in\langle N\rangle$ обозначим через $H_{m}$ семейство подмножеств $A\subset\langle N\rangle$ с $|A|\leqslant m$. Пусть $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ – набор независимых случайных величин (селекторов), заданных на вероятностном пространстве $(\Omega, \nu)$ и таких, что
$$
\begin{equation}
\xi_i(\omega)=0 \quad\text{или}\quad \xi_i(\omega)=1, \qquad \mathbb{E}\xi_i=\delta, \quad 1\leqslant i\leqslant N.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для $\omega\in\Omega$ положим
$$
\begin{equation}
\Lambda_{\omega}=\{i\in\langle N\rangle\colon \xi_i(\omega)=1\}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Пусть также (считаем $\alpha$ фиксированным) при $m_0\leqslant m$
$$
\begin{equation}
J_{m, m_0, \rho}(\omega)= \sup_{\substack{A\in H_{m} \\ \overline{a}\in U_2(A, m_0)}} \biggl\|\sum_{i\in A}{a_i\xi_i(\omega)\varphi_i(x)}\biggr\|_{\psi_{\alpha}}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
(всюду ниже $\delta=\log^{-\rho}(N+3)$, поэтому мы пишем $J_{m, m_0, \rho}$). Действуя, как в работе [13], дадим оценку сверху величины $\|J_{m, m_0, \rho}(\omega)\|_{q_0}$ для $q_0=\log N$. Преимущество использования такого значения $q_0$ связано со следующим фактом: если $\|f\|_{q_0}=1$, $q_0=\log N$, то для некоторой абсолютной постоянной $K$ Лемма 8 (основная лемма). Пусть ортогональная система $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ при некотором $p>2$ обладает следующим свойством: Замечание 1. Из оценки (3.18) следует, что в условиях леммы 8, если $m_0$ такое, что при некотором $b>0$ имеем $m_0>N/\log^b (N+3)>\log^4(N+3)$, то Для доказательства леммы 8 введем некоторые обозначения и установим лемму 9. Для $A\in H_{m}$, $\overline{a}\in U_2(A, m_0)$, $m_0\leqslant|A|$ положим
$$
\begin{equation}
f_{m, A, \overline{a}}(\omega, x)=\sum_{i\in A}a_i\xi_i(\omega)\varphi_i(x),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
и пусть для $\lambda>0$
$$
\begin{equation}
F_{m,m_0,\lambda}(\omega)\equiv F_{\lambda}(\omega)=\sup_{\substack{A\in H_{m}\\ \overline{a}\in U_2(A, m_0)}}\int_X{ \psi_{\alpha}\biggl(\frac{f_{m, A,\overline{a}}(\omega, x)}{\lambda}\biggr) d\mu}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
(считаем $m>0$, $m_0\leqslant m$ и $\rho>0$ фиксированными). Лемма 9. Пусть для некоторых $\lambda\geqslant 1$, $q_0 \geqslant 1$, $m\in\langle N\rangle$ и $m_0\leqslant m$ имеет место $\|F_{\lambda}(\omega)\|_{q_0}\leqslant 1$. Тогда $\|J_{m, m_0, \rho}(\omega)\|_{q_0}\leqslant 2\lambda$. Доказательство. Представим $\Omega$ в виде $\Omega=B\cup C$, где
$$
\begin{equation*}
B\equiv \{\omega\in\Omega\colon J_{m,m_0,\rho}(\omega)<\lambda\}, \qquad C\equiv\{\omega\in\Omega\colon J_{m,m_0,\rho}(\omega) \geqslant \lambda\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\omega\in C$. Обозначим через $\widetilde{A}, \widetilde{\overline{a}}$ пару, на которой достигается $\sup$ в (3.4) для данного $\omega$. Поскольку $\psi_{\alpha}$ выпуклая (см. [3]) и $\psi_{\alpha}(0)=0$, то для $t\geqslant 1$, $z>0$ $\psi_{\alpha}(tz)\geqslant t\psi_{\alpha}(z)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_{\lambda}(\omega) &=\sup_{\substack{A\in H_{m}\\ \overline{a}\in U_2(A, m_0)}} \int_X \psi_{\alpha}\biggl(\frac{f_{m, A,\overline{a}}(\omega, x)}{\lambda}\biggr)d\mu \geqslant \int_X\psi_{\alpha} \biggl(\frac{f_{m, \widetilde{A},\widetilde{\overline{a}}}(\omega, x)}{\lambda}\biggr)d\mu \\ &\geqslant\frac{\| f_{m, \widetilde{A},\widetilde{\overline{a}}}(\omega, x)\|_{\psi_{\alpha}}}{\lambda} \int_X\psi_{\alpha}\biggl(\frac{f_{m, \widetilde{A},\widetilde{\overline{a}}}(\omega, x)} {\| f_{m, \widetilde{A},\widetilde{\overline{a}}}(\omega, x)\|_{\psi_{\alpha}}}\biggr)d\mu \\ &=\frac{\| f_{m, \widetilde{A},\widetilde{\overline{a}}}(\omega, x)\|_{\psi_{\alpha}}}{\lambda}=\frac{J_{m,m_0,\rho}(\omega)}{\lambda}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем (здесь через $\chi_C$ обозначена характеристическая функция множества $C$). Имеем
Лемма доказана. Замечание 3. Из доказательства видно, что утверждение леммы 9 останется верным, если в определении величин $F_{\lambda}$ и $J_{m,m_0,\rho}$ супремум по $A\in H_{m}$, $\overline{a}\in U_2(A, m_0)$ заменить на супремум по $A$ и $\overline{a}$ из произвольных конечных множеств. От функции $\psi_{\alpha}$ нужна только выпуклость и свойство $\psi_{\alpha}(0)=0$. Нам понадобятся лемма B (лемма 1 из работы [5]; подробное доказательство см. в [13; лемма 5]) и лемма C (лемма 3 из [13]). Лемма B. Пусть $\mathcal E\subset \mathbb{R}^N_+$, $B=\sup_{x\in \mathcal E}\|x\|_2$. Пусть $0<\delta<1$ и $\{\xi_i\}_{i=1}^N$ – независимые случайные величины (см. (3.2)), $1\leqslant m\leqslant N$, $q_0\geqslant 1$. Тогда Лемма C. Существует такое $C(\alpha)>0$, что для функции $u_{\alpha}(t)$, определенной в (1.2), для любых $s, s'\in\mathbb{R}$ имеет место неравенство Доказательство леммы 8. Используем модификацию метода Бургейна: фиксируем $\lambda\geqslant 1$, $A\in H_{m}$, $\overline{a}\in U_2(A, m_0)$ и положим (см. (1.2))
$$
\begin{equation}
L(A, \overline{a}, \lambda, \omega)=\int_X \psi_{\alpha} \biggl(\frac{f_{m, A, \overline{a}}(\omega, x)}{\lambda}\biggr)d\mu =\int_X \frac{f^2_{m, A, \overline{a}}(\omega, x)}{\lambda^2}u_{\alpha} \biggl(\frac{f_{m, A, \overline{a}}(\omega, x)}{\lambda}\biggr)d\mu.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Из определения $f_{m, A,\overline{a}}$ (см. (3.8)) и (3.10) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber 0 &\leqslant L(A, \overline{a}, \lambda, \omega) =\frac{1}{\lambda^2}\biggl\langle\sum_{i\in A}a_i\xi_i(\omega)\varphi_i, \sum_{i\in A}{a_i\xi_i(\omega)\varphi_i}\cdot u_{\alpha} \biggl(\frac{\sum_{i\in A}a_i\xi_i(\omega)\varphi_i}{\lambda} \biggr)\biggr\rangle \\ \nonumber &=\frac{1}{\lambda^2} \sum_{i\in A}a_i\xi_i(\omega) \biggl\langle\varphi_i, \sum_{j\in A}{a_j\xi_j(\omega)\varphi_j}\cdot u_{\alpha} \biggl(\frac{\sum_{j\in A}a_j\xi_j(\omega)\varphi_j}{\lambda} \biggr)\biggr\rangle \\ \nonumber &\leqslant\frac{1}{\lambda^2}\sup_{g\in \widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}} \sum_{i\in A}|a_i| \xi_i(\omega) \biggl|\biggl\langle\varphi_i, gu_{\alpha}\biggl(\frac g\lambda\biggr)\biggr\rangle\biggr| \\ &=\frac{1}{\lambda^2}\sup_{g\in \widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}} \sum_{i\in A\cap \operatorname{supp}{\overline{a}}}\frac{1}{\sqrt{m_0}}\, \xi_i(\omega) \biggl|\biggl\langle\varphi_i, gu_{\alpha}\biggl(\frac g\lambda\biggr)\biggr\rangle\biggr|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – скалярное произведение в $L_2(X)$, а
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}=\biggl\{ g\colon g=\sum_{i\in B} b_i\varphi_i,\ \sum_{i=1}^N b_i^2\leqslant 1, \ |B|\leqslant m_0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для получения (3.11) мы также воспользовались тем, что при фиксированных $\omega$, $A$ и $\overline{a}\in U_2(A, m_0)$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\sum_{j\in A}{a_j\xi_j(\omega)\varphi_j}=\sum_{j\in A\cap \operatorname{supp}{\overline{a}}}{a_j\xi_j(\omega)\varphi_j}\in \widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что для функций $g$ вида $g=\sum_{i\in B} b_i\varphi_i$, $\sum_{i=1}^N b_i^2\leqslant 1$, $|B|\leqslant m_0$, имеют место оценки
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{i\in B}b_i\varphi_i(x)\biggr\|_2 =\sqrt{\sum_{i\in B} b_i^2\|\varphi_i\|_2^2}\leqslant 1, \qquad \biggl\|\sum_{i\in B}b_i\varphi_i(x)\biggr\|_p \leqslant \sum_{i\in B}|b_i|\,\|\varphi_i\|_p\leqslant \sqrt{m_0}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Из определения $F_{\lambda}$ (см. (3.9) и (3.11)) ясно, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|F_{\lambda}(\omega)\|_{q_0} &=\Bigl \|\sup_{\substack{A\in H_{m} \\ \overline{a}\in U_2(A, m_0)}}L(A, \overline{a}, \lambda, \omega)\Bigr\|_{q_0} \\ &\leqslant\frac{1}{\lambda^2\sqrt{m_0}}\biggl\|\sup_{B\colon |B|=m_0}\sup_{g\in\widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}} \sum_{i\in B}\xi_i(\omega) \biggl|\biggl\langle\varphi_i, gu_{\alpha}\biggl(\frac g\lambda\biggr)\biggr\rangle\biggr|\biggr\|_{q_0} \nonumber \\ &\equiv \frac{1}{\lambda^2\sqrt{m_0}} R_{\lambda, \delta, m_0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Оценим сверху величину $R_{\lambda, \delta, m_0}$. Рассмотрим в $\mathbb{R}^N$ множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal E=\mathcal E_{m_0}=\biggl\{ \biggl\{ \biggl|\biggl\langle \varphi_i, gu_{\alpha}\biggl(\frac g\lambda\biggr)\biggr\rangle \biggr| \biggr\}_{i=1}^N,\ g\in\widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы B вытекает, что
$$
\begin{equation}
R_{\lambda, \delta, m_0}\,{\leqslant}\, C\biggl(\delta m_0+\frac{q_0}{\log(1/\delta)} \biggr)^{1/2}B +C\biggl( \log\frac{1}{\delta}\biggr)^{-1/2}\int_0^B (\log N_2(\mathcal E, t))^{1/2}\,dt,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где $B=\sup_{z\in \mathcal E}\|z\|_2$. Величину $B$ оценим с помощью неравенства Бесселя и леммы 1, имея в виду (3.12):
$$
\begin{equation}
\biggl( \sum_{i=1}^N\biggl|\biggl\langle\varphi_i, gu_{\alpha}\biggl(\frac g\lambda\biggr)\biggr\rangle\biggr|^2\biggr)^{1/2} \leqslant \biggl\|gu_{\alpha}\biggl(\frac g\lambda\biggr) \biggr\|_2\leqslant C(\alpha, p)\ln^{\alpha}m_0.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Обозначим $p_0=(p+2)/2$, $2<p_0<p$. Из леммы C, леммы 2 и неравенства Гёльдера вытекает, что для любых $h$, $g\in L_p(X)$ с $\|h\|_2\leqslant 1$, $\|g\|_2\leqslant 1$ и $\lambda\geqslant 1$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl\|hu_{\alpha}\biggl(\frac{h}{\lambda}\biggr) -gu_{\alpha}\biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr)\biggr\|_2 \leqslant C_{\alpha}\biggl(\int_X|h-g|^2\biggl(u_{\alpha}\biggl(\frac{h}{\lambda}\biggr) +u_{\alpha}\biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr)\biggr)^2 \,d \mu\biggr)^{1/2} \\ &\qquad \leqslant C_{\alpha}\|h-g\|_{p_0} \biggl\|u_{\alpha}\biggl(\frac{h}{\lambda}\biggr)+u_{\alpha} \biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr)\biggr\|_{2(p+2)/(p-2)} \leqslant \|h-g\|_{p_0} \frac{2C(\alpha, p)}{\ln^{\alpha}(\lambda+1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Для оценки энтропийных чисел, снова используя неравенство Бесселя, (3.16) и (2.5), получим для $g,h\in \widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\sum_{i=1}^N \biggl( \biggl| \biggl\langle\varphi_i, gu_{\alpha}\biggl(\frac g\lambda\biggr)\biggr\rangle\biggr| -\biggl|\biggl\langle\varphi_i, hu_{\alpha} \biggl(\frac h\lambda \biggr) \biggr\rangle \biggr| \biggr)^2 \biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \biggl\|gu_{\alpha}\biggl(\frac{g}{\lambda}\biggr)-hu_{\alpha} \biggl(\frac h\lambda \biggr) \biggr\|_2 \leqslant 2C(\alpha,p)\|h-g\|_{p_0}Q_{\alpha}(\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
N_2(\mathcal E, t)\leqslant N_{p_0} \biggl(\widetilde{P}_{m_0}, \frac{Q^{-1}_{\alpha}(\lambda)}{2C({\alpha},p)}\cdot t \biggr).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
По лемме 7 находим
$$
\begin{equation*}
\log N_{p_0}(\widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}, t)\leqslant \begin{cases} C(p)m_0\log\biggl(\dfrac{N}{m_0}+1\biggr)\cdot t^{-\eta}, &t>\dfrac{1}{2}, \\ C(p)m_0\log\biggl(\dfrac{N}{m_0}+1\biggr)\cdot \log \dfrac{1}{t}, &t\leqslant \dfrac{1}{2}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta=\eta(p)>2$. Из (3.14), (3.17), (3.15) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &R_{\lambda, \delta, m_0} \leqslant C_1(\alpha,p)\biggl(\delta m_0+\frac{q_0}{\log(1/\delta)}\biggr)^{1/2}\ln^{\alpha}m_0 \\ &\qquad\qquad\quad +C\biggl(\log\frac{1}{\delta}\biggr)^{-1/2}\int_0^B \biggl(\log N_{p_0}\biggl(\widetilde{\mathcal{P}}_{m_0}, \frac{Q_{\alpha}^{-1}(\lambda)}{2C(\alpha,p)}t\biggr)\biggr)^{1/2}\,dt \\ &\qquad \leqslant C_1(\alpha,p)\biggl((\delta m_0)^{1/2}\ln^{\alpha}m_0 +\frac{q_0^{1/2}}{\log^{1/2}(1/\delta)} \ln^{\alpha}m_0\biggr) \\ &\qquad\qquad +C_1(p)\frac{\sqrt{m_0}\log^{1/2}(1+N/m_0)}{\log^{1/2}(1/\delta)} \biggl( \int_0^{C(\alpha,p)Q_{\alpha}(\lambda)} \biggl(\log\frac{2C(\alpha,p)}{tQ_{\alpha}^{-1}(\lambda)}\biggr)^{1/2}\,dt \\ &\qquad\qquad +(2C(\alpha,p))^{\eta/2}\int_{C(\alpha,p)Q_{\alpha}(\lambda)}^\infty (Q_{\alpha}(\lambda))^{\eta/2}t^{-\eta/2}\,dt\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\int_0^{C(\alpha,p)Q_{\alpha}(\lambda)} \biggl(\log\frac{2C({\alpha},p)}{tQ_{\alpha}^{-1}(\lambda)}\biggr)^{1/2}\,dt \\ &\qquad=C({\alpha},p)Q_{\alpha}(\lambda)\int_0^1\biggl(\log\frac{2}{x}\biggr)^{1/2}\,dx =C_2({\alpha},p)Q_{\alpha}(\lambda), \end{aligned} \\ (2C({\alpha},p))^{\eta/2}\int_{C({\alpha,p})Q_{\alpha}(\lambda)}^\infty (Q_{\alpha}(\lambda))^{\eta/2}t^{-\eta/2}\,dt =C_3({\alpha},p)Q_{\alpha}(\lambda). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем (см. (3.13), (2.5))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|F_{\lambda}(\omega)\|_{q_0} &\leqslant C(\alpha, p) \biggl(\delta^{1/2}\lambda^{-2}\ln^{\alpha}m_0 +\frac{q_0^{1/2}}{\log^{1/2}(1/\delta)}\, \frac{\ln^{\alpha}m_0}{\lambda^2\sqrt{m_0}} \\ &\qquad +\frac{\log^{1/2}(1+N/m_0)}{\log^{1/2}(1/\delta)\lambda^2\ln^{\alpha}(\lambda+1)} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Отсюда вытекает, что при $m_0\geqslant \log^4 (N+3)$, $q_0=\log N$ и $\lambda$ таком, что выполняются три условия:
Но тогда из леммы 9 получаем
$$
\begin{equation*}
\| J_{m, m_0, \rho}(\omega)\|_{q_0}\leqslant \widetilde{C}(\alpha,\rho,p)D(\rho, \alpha, N).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8 доказана. § 4. Основные результатыПусть $W(\Lambda)$ – нормированное пространство (дискретное пространство Лоренца), единичный шар в котором является выпуклой оболочкой векторов из $U_2(\Lambda)$ (см. (3.1)). Напомним, что $S_{\Lambda}(\{a_k\}_{k\in\Lambda})=\sum_{k\in\Lambda}a_k\varphi_k$. Мы рассматриваем ортогональные (не обязательно нормированные) системы функций $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3.6) при $p>2$. Делением функций системы на $M>0$ мы получим, что приведенные ниже теоремы 1–4 имеют место и для О.Н.С. $\Phi$ функций с условием $\|\varphi_k\|_{L_{p}}\leqslant M$, $k=1, 2,\dots, N$, при этом правые части неравенств (4.1), (4.2), (4.7) нужно умножить на $M$. Теорема 1. Пусть $\alpha>1/2$, $\rho>0$, $p>2$. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3.6) с вероятностью, большей $1-C(\rho)N^{-9}$, для случайного множества $\Lambda=\Lambda_{\omega}$, порожденного набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ (см. (3.2)) с $\mathbb{E}\xi_i=\log^{-\rho}(N+3)$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство Замечание 4. Из доказательства теоремы 1 и замечания 2 следует, что величина $\log^{\beta}(N+3)$ в (4.1) может быть заменена на максимум из чисел Замечание 5. Из доказательства теоремы 1 и замечания 1 следует, что утверждение теоремы C сохраняется при замене условия (1.4) на (3.6) при $p>2$ и замене $K(\alpha, \rho)$ на $K(\alpha, \rho,p)$. Из комментария к лемме $3$ в работе [11] следует, что для любого $\overline{a}\in\mathbb{R}^N$ с $\operatorname{supp}(\overline{a})\subset\Lambda$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\|\overline{a}\|_{W(\Lambda)}^2\leqslant C \|\overline{a}\|_2^2\cdot \ln(|\Lambda|+3).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из теоремы 1 вытекает следующий результат. Теорема 2. Пусть $\alpha>3/2$, $\rho>2$, $p>2$. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3.6) с вероятностью, большей $1-C(\rho)N^{-9}$, для случайного множества $\Lambda=\Lambda_{\omega}$, порожденного набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ (см. (3.2)) с $\mathbb{E}\xi_i=\log^{-\rho}(N+3)$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство Замечание 6. Из оценки (3.12) и следствия 1 получаем: для любой системы $\Phi$ со свойством (3.6), любого множества $\Lambda\subset\langle N\rangle$ и вектора $\overline{a}$ с $\|\overline{a}\|_2\leqslant 1$ имеет место неравенство Замечание 7. В [13] отмечено, что для пространства Орлича, порожденного функцией $\psi_{\alpha}$ (см. (1.2)), нельзя ожидать, что случайная подсистема мощности $N/\log^{\beta}N$ ($\beta$ – сколь угодно большая постоянная) окажется $\psi_{\alpha}$-лакунарной. Поясним, почему это так. Для произвольной постоянной $C>0$ и большого $N=N(C)$ рассмотрим ортогональную систему $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^m$, которая состоит из $m=\sqrt{\log N}$ удовлетворяющих свойству (3.6) функций на $[0,1]$ и не является $\psi_{\alpha}(C)$-лакунарной. Можно считать, что Вывод теоремы 1 из леммы 8. Поскольку единичный шар пространства $W(\Lambda)$ – выпуклая оболочка векторов из $U_2(\Lambda)$, то для доказательства теоремы 1 достаточно рассмотреть векторы из $U_2(\Lambda)$. Для $\overline{a}\in U_2(\Lambda, m_0)$, $\Lambda\subset \langle N\rangle$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\|\sum_{j\in\Lambda}a_j\varphi_j(x)\biggr\|_2 =\sqrt{\sum_{j\in\Lambda} a_j^2\|\varphi_j\|_2^2}\leqslant 1, \\ \biggl\|\sum_{j\in\Lambda}a_j\varphi_j(x)\biggr\|_p\leqslant \sum_{j\in\Lambda}|a_j|\, \|\varphi_j\|_p\leqslant \sqrt{m_0}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому для $m_0\leqslant \log^4(N+3)$, пользуясь следствием 1, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{j\in\Lambda}a_j\varphi_j(x)\biggr\|_{\psi_{\alpha}} &\leqslant C(\alpha, p)\log^{\alpha/2}{\sqrt{e^2m_0}}\leqslant C_1(\alpha, p)\log^{\alpha/2}\log (N+3) \\ &\leqslant \widetilde{C}(\alpha, p)\log^{1/4}(N+3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Имея оценку $\|J_{N, m_0, \rho}(\omega)\|_{q_0}$ при $q_0=\log N$, $m_0>\log^{4}(N+3)$ (см. лемму 8) и учитывая (3.5), мы можем утверждать, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \mathbb{P}(E) &\equiv \mathbb{P}\bigl\{ \omega\colon\forall\, m_0\in [\log^{4}(N+3), N] \ \ J_{N, m_0, \rho}(\omega)\leqslant C(\alpha, \rho, p)D(\rho, \alpha, N) \bigr\} \\ &\geqslant 1-\frac{1}{N^{9}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Напомним неравенство Хёфдинга: если $\{X_i\}_{i=1}^m$ – набор независимых случайных величин на некотором вероятностном пространстве, причем $a_i\leqslant X_i\leqslant b_i$ при $i\in\langle m\rangle$, то для $S=\sum_{i=1}^m(X_i-EX_i)$ и $t>0$ имеет место оценка вероятности
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}\{|S|\geqslant t\}\leqslant 2\exp -\frac{2t^2}{\sum_{i=1}^m(b_i-a_i)^2}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Зафиксируем числа $\rho>0$ и $\delta=\log^{-\rho}(N+3)$. Возьмем в качестве $\{X_i\}_{i=1}^m$ набор функций $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$, тогда
$$
\begin{equation*}
m=N, \qquad \sum_{i=1}^m X_i(\omega)=\sum_{i=1}^N \xi_i(\omega)= |\Lambda_{\omega}|
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (3.3)). Подставив в (4.4) $t=\delta \cdot N/3$, получим, что для всех точек $\omega \in\Omega$, за исключением множества меры $\leqslant \exp (-C(\rho)N^{1/2})$, выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
\bigl||\Lambda_{\omega}|-\delta N\bigr|\leqslant \delta \frac{N}{3}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Обозначим через $W$ множество тех $\omega\in\Omega$, для которых имеет место (4.5). Пусть $\widetilde{E}=E\cap W$, где $E$ определено в (4.3); тогда $1-\nu\widetilde{E}<C(\rho)N^{-9}$. Проверим, что для любого $\omega\in\widetilde{E}$ подсистема функций $\Phi_{\Lambda}=\{\varphi_i(x)\}_{i\in\Lambda}$, где $\Lambda=\Lambda_{\omega}$, удовлетворяет (4.1). При этом из (4.5) следует, что для любого $\omega\in W$ число $s(\omega)=s$ (количество функций в системе $\Phi_{\Lambda}$) имеет порядок $N\log^{-\rho}(N+3)$, а именно
$$
\begin{equation*}
\frac{2}{3}N\log^{-\rho}(N+3)\leqslant s\leqslant \frac{4}{3}N\log^{-\rho}(N+3).
\end{equation*}
\notag
$$
Из определений $\Lambda_{\omega}$ и $\widetilde E$ вытекает, что для любого вектора $\overline{a}\in U_2(\Lambda_{\omega})$ с $|\operatorname{supp}\overline{a}|>\log^{4}(N+3)$
$$
\begin{equation}
\biggl\| \sum_{i\in \Lambda_{\omega}}a_i\varphi_i(x)\biggr\|_{\psi_{\alpha}} =\biggl\| \sum_{i\in \Lambda_{\omega}}a_i\xi_i(\omega)\varphi_i(x)\biggr\|_{\psi_{\alpha}} \leqslant C(\alpha, \rho, p)D(\rho, \alpha, N).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Теорема 1 доказана. Теорема 3. При $\rho>2$ для любой ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3.6) при $p>2$ найдется $\Lambda\subset\langle N\rangle$, $|\Lambda|\geqslant N\log^{-\rho}(N+3)$, такое, что Замечание 8. При $\rho>7$ для О.Н.С. теорема 3 может быть получена как следствие теоремы 2 выше, теоремы 3 и утверждения 3 из [3], показывающих, что при $\alpha>4$ для $\psi_{\alpha}$-лакунарной системы оператор мажоранты частных сумм ограничен как оператор из $l_2$ в $L_2(X)$. Для доказательства теоремы 3 нам потребуется следующая известная в рассматриваемых вопросах лемма D (см., например, [14; лемма 9.1]). Лемма D. Пусть задан вектор $\overline{a}=\{a_n\}_{n=1}^M\in\mathbb{R}^M$. Найдутся число $l$, $1\leqslant l\leqslant M$, и два вектора $\overline{a}'$ и $\overline{a}''$ вида такие, что выполнены соотношения: 1) $\overline{a}'+\overline{a}''=\overline{a}$; 2) $\|\overline{a}'\|_2^2\leqslant \frac{1}{2}\|\overline{a}\|_2^2$, $\|\overline{a}''\|_2^2\leqslant \frac{1}{2}\|\overline{a}\|_2^2$; 3) $|a_l'|\leqslant |a_l|$, $|a_l''|\leqslant |a_l|$. Доказательство теоремы 3. При $\rho>3$ возьмем $\alpha=1/2+\rho/2$ (тогда $2<\alpha$ и $\alpha/2-\rho/4+1/2= 3/4$), обозначим $\gamma=3/4$; при $2<\rho\leqslant 3$, $\varepsilon> 0$ возьмем $\alpha= 2+2\varepsilon$ (тогда $2<\alpha$, $\alpha/2-\rho/4+1/2> 3/4$), обозначим
Пусть подсистема $\Phi_{\Lambda}$ построена при доказательстве теоремы 1 с указанным параметром $\alpha$ (т.е. $\Lambda=\Lambda_{\omega}$, $\omega\in\widetilde{E}$), тогда она удовлетворяет неравенству (4.2) с $\beta+ 1/2= \gamma$ и можно считать, что $M\equiv |\Lambda|>N/\log^{\rho}(N+3)$ (из доказательства теоремы 1 следует, что $|\Lambda|>2N/(3\log^{\rho}(N+3))$, а для того, чтобы показать, что найдется нужная подсистема мощности больше $N/\log^{\rho}(N+3)$, выберем аналогичным образом подсистему среди оставшихся функций $\varphi_k$, $k\in \langle N\rangle\setminus \Lambda$). Переобозначим функции системы $\Phi_{\Lambda}$: пусть $\Phi_{\Lambda}=\{u_j(x)\}_{j=1}^M$. Мы используем стандартную процедуру двоичного разложения (см., например, [14; теорема 9.8]). Пусть задан произвольный вектор $\overline{a}=\{a_n\}_{n=1}^M$ с $\|\overline{a}\|_2=1$. При $\rho>3$ мы хотим показать, что
$$
\begin{equation}
\|S_{\Phi_{\Lambda}}^*(\overline{a})\|_{L_2(X)}\leqslant C(\rho, p)\log^{\gamma}(N+3).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
В случае $2<\rho\leqslant 3$ нужно доказать (4.9) с $C(\rho, \varepsilon, p)$ вместо $C(\rho,p)$. Будем считать, что $\varepsilon>0$ фиксировано, и не будем указывать зависимость от него. Также, поскольку $\alpha$ строится по $\rho$ и $\varepsilon$, зависимость от $\alpha$ будем в дальнейшем писать как от $\rho$.
Из непрерывности оператора $S_{\Phi_{\Lambda}}^*$ следует, что можно считать все координаты $a_n$, $n=1,\dots, M$, ненулевыми. Для каждого числа $s=0,\dots, s_0$ ($s_0$ подберем позже) представим вектор $\overline{a}$ в виде суммы $2^s$ векторов: здесь $r_0^0=\overline{a}$, а векторы $r_{\nu}^s$ строятся последовательно: если вектор $r_{\nu}^{s-1}$ уже построен, то, применяя лемму D с $\overline{a}=r_{\nu}^{s-1}$, представим его в виде $r_{\nu}^{s-1}=r_{2\nu}^s+r_{2\nu+1}^s$, где векторы $r_{2\nu}^s$ и $r_{2\nu+1}^s$ имеют вид (4.8) и удовлетворяют условиям 1)–3) леммы D, причем $a_l''\neq 0$. Тогда векторы $r_{\nu}^s$, $\nu=0, 1,\dots, 2^s-1$, будут иметь вид
$$
\begin{equation}
r_{\nu}^s=(0,\dots, 0, a'_{l_{\nu}^s}, a_{l_{\nu}^s+1},\dots, a_{l_{\nu+1}^s-1}, a''_{l_{\nu+1}^s}, 0,\dots, 0), \qquad a'_{l_{\nu}^s}\neq 0,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где $1=l_0^s\leqslant l_1^s\,{\leqslant}\,{\cdots}\,{\leqslant}\, l_{2^s}^s=M$. Из леммы D следует, что при $\nu=0,1,\dots, 2^{s-1}- 1$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \max\{\|r_{2\nu}^s\|_{2}^2, \|r_{2\nu+1}^s\|_{2}^2\}\leqslant \frac{1}{2}\|r_{\nu}^{s-1}\|_{2}^2, \\ \max\{\|r_{2\nu}^s\|_{{\infty}}, \|r_{2\nu+1}^s\|_{{\infty}}\}\leqslant \|r_{\nu}^{s-1}\|_{{\infty}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
В силу (4.12) можно подобрать $s_0$ так, чтобы число ненулевых координат каждого вектора $r_{\nu}^{s_0}$, $\nu=0,1,\dots, 2^{s_0}-1$, не превосходило двух. Поскольку координаты вектора $\overline{a}$ ненулевые и $a'_{l_{\nu}^s}\neq 0$, то $l_{\nu+1}^{s_0}\leqslant l_{\nu}^{s_0}+2$, $\nu=0,1,\dots,2^s-1$, $s=1,\dots,s_0$. Положим $r_{2^s}^s=\overline{0}$, $s=1,2,\dots, s_0$.
Из (4.10)–(4.12), а также из пп. 1) и 3) леммы D вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{\nu=0}^{j-1}r_{\nu}^s=(a_1,\dots, a_{l_j^s-1}, \widetilde{a_{l_j^s}}, 0,\dots, 0), \qquad |\widetilde{a_{l_j^s}}|\leqslant |a_{l_j^s}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $M_0=1,2,\dots, M-1$ выберем число $j\equiv j(M_0)$, $j\in\{1,\dots, 2^{s_0}\}$, так, что $l_{j-1}^{s_0}\leqslant M_0<l_j^{s_0}$, для $M_0=M$ положим $j(M_0)=2^{s_0}$. Тогда для $\overline{a}(M_0):=(a_1,\dots, a_{M_0},0,\dots,0)$, $M_0=1,2,\dots, M$, получим разложение
$$
\begin{equation*}
\overline{a}(M_0)=\sum_{\nu=0}^{j-1}r_{\nu}^{s_0}+\overline{b}, \qquad \overline{b}=\{b_n\}_{n=1}^M, \quad |b_n|\leqslant |a_n|, \quad 1\leqslant n\leqslant M,
\end{equation*}
\notag
$$
где число ненулевых координат вектора $\overline{b}$ не превосходит двух. Учитывая, что $r_{2\nu}^s+r_{2\nu+1}^s=r_{\nu}^{s-1}$, получаем для $M_0=1,2,\dots, M$
$$
\begin{equation*}
\overline{a}(M_0)=\sum_{s=1}^{s_0}r_{\nu(s, M_0)}^s+\overline{b}, \qquad 0\leqslant \nu(s, M_0)\leqslant 2^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для любых чисел $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ сумму $\sum_{n=1}^{M_0} a_ny_n$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{n=1}^{M_0} a_ny_n=\sum_{n=1}^M(\overline{a}(M_0))_ny_n =\sum_{s=1}^{s_0}\sum_{n=1}^{M}(r_{\nu(s, M_0)}^s)_ny_n+\Delta, \\ |\Delta|\leqslant 2\max_{1\leqslant n\leqslant M}|a_ny_n|. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя последнее разложение в случае, когда $y_n=u_n(x)$, а $M_0=M_0(x)$ таково, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{n=1}^{M_0}a_nu_n(x)\biggr|=\delta(x) :=S_{\Phi_{\Lambda}}^*(\overline{a})(x)=\max_{1\leqslant N'\leqslant M}\biggl|\sum_{n=1}^{N'}a_nu_n(x)\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
мы находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta(x) &\leqslant \sum_{s=1}^{s_0} \biggl|\sum_{n=1}^{M}\bigl(r_{\nu(s, M_0(x))}^s\bigr)_n u_n(x)\biggr|+2\max_{1\leqslant n\leqslant M}|a_nu_n(x)| \\ &\leqslant\sum_{s=1}^{s_0}\sum_{\nu=0}^{2^s}\chi_{Z(s, \nu)}(x)\biggl|\sum_{n=1}^{M}(r_{\nu}^s)_nu_n(x)\biggr| +2\sqrt{\sum_{n=1}^M(a_nu_n(x))^2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z(s, \nu):=\{x\in X \colon \nu(s, M_0(x))=\nu\}$, $\|\overline{a}\|_2=1$, поэтому
$$
\begin{equation}
\|\delta(x)\|_2\leqslant \sum_{s=1}^{s_0}\biggl\|\sum_{\nu=0}^{2^s}\chi_{Z(s, \nu)}(x)\biggl|\sum_{n=1}^{M}(r_{\nu}^s)_nu_n(x)\biggr|\biggr\|_2+2.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Поскольку $\|r_{\nu}^s\|_2\leqslant 2^{-s/2}$, а для $\Phi_{\Lambda}$ имеет место (4.2), то выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\|\sum_{n=1}^{M}(r_{\nu}^s)_nu_n(x)\biggr\|_{\psi_{\alpha}}\leqslant 2^{-s/2} \widetilde{D}(\rho, p, N), \\ \widetilde{D}(\rho, p, N)=K'(\alpha, \rho, p)\log^{\gamma}(N+3). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобятся следующие леммы E и F (леммы 9 и 10 из [13]). Лемма E. Пусть $f\in L_2(X)$, $\mu (\operatorname{supp} f)=a\leqslant 1$ и $\|f\|_{\psi_{\alpha}}=1$. Тогда Лемма F. Пусть $\gamma>0$, $a_{\eta}\geqslant 0$, $\eta=1, \dots, N$, $\sum_{\eta=1}^N a_{\eta}\leqslant 1$. Тогда Из леммы E получаем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\chi_{Z(s, \nu)}(x)\sum_{n=1}^{M}(r_{\nu}^s)_nu_n(x)\biggr\|_{2}\leqslant 2^{-s/2} C(\rho)\widetilde{D}(\rho, p, N) \ln^{-\alpha/2}\biggl(e+\frac{1}{\mu(Z(s, \nu))}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
При фиксированном $s$, $s=1,\dots, s_0$, и различных $\nu$ множества $Z(s, \nu)$ не пересекаются, поэтому $\sum_{\nu=0}^{2^s}\mu(Z(s, \nu))\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{\nu=0}^{2^s}\chi_{Z(s, \nu)}(x)\biggl|\sum_{n=1}^{M}(r_{\nu}^s)_nu_n(x)\biggr|\biggr\|_2^2 =\sum_{\nu=0}^{2^s}\biggl\|\chi_{Z(s, \nu)}(x)\biggl|\sum_{n=1}^{M}(r_{\nu}^s)_nu_n(x)\biggr|\biggr\|_2^2.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Значит, из (4.13)–(4.15), леммы F и того, что $\alpha>2$, следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|S_{\Phi_{\Lambda}}^*(\overline{a})\|_{L_2(X)} &\leqslant \sum_{s=1}^{s_0}C(\rho)\widetilde{D}(\rho, p, N)\sqrt{\sum_{\nu=0}^{2^s}2^{-s}\ln^{-\alpha}\biggl(e+\frac{1}{\mu(Z(s, \nu))}\biggr)} +2 \\ &\leqslant \sum_{s=1}^{s_0} C_1(\rho)\widetilde{D}(\rho, p, N)\ln^{-\alpha/2}(e+2^s)+2\leqslant \widetilde{C}(\rho)\widetilde{D}(\rho, p, N). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (4.9) выполнено. Теорема 3 доказана. Замечание 9. Теорему $2$ из работы [13] можно распространить на системы функций, удовлетворяющие условию (3.6) при $p>2$ вместо требования равномерной ограниченности. Имеет место следующее утверждение: при $\rho>4$ для любой ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3.6) при $p>2$ найдется $\Lambda\subset\langle N\rangle$, $|\Lambda|\geqslant N\log^{-\rho}(N+3)$, такое, что Разбиение системы на несколько подсистемТеоремы 1–3 утверждают, что из ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ функций со свойством (3.6) при $p>2$ можно выделить подсистему $\Phi_{\Lambda}$ достаточно большой плотности с хорошей оценкой нормы операторов $S_{\Lambda}$ и $S_{\Phi_{\Lambda}}^{*}$. При этом оценки (4.1), (4.2), (4.7) имеют место для случайного множества $\Lambda=\Lambda_{\omega}$, порожденного набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ (см. (3.2)) с $\delta=\log^{-\rho}(N+3)$, с большой вероятностью. Из доказательств видно, что достаточно взять $\omega$ из некоторого $\widetilde{E}$ с $1-\nu\widetilde{E}<C(\rho)N^{-9}$, причем для $\omega\in \widetilde{E}$ мощность $\Lambda_{\omega}$ оценивается как $2N\delta\leqslant3|\Lambda_{\omega}|\leqslant 4N\delta$ (см. (4.5)). Ясно, что вместо $\delta=\log^{-\rho}(N+3)$ можно взять $\delta_0=1/M$, $M=[\log^{\rho}(N+3)]$. Рассмотрим на вероятностном пространстве $(\Omega, \nu)$ множество независимых случайных величин $\zeta_i$, $i=1,\dots, N$, принимающих значения $1,2,\dots, M$ с равной вероятностью. Тогда для любого $j\in\langle M\rangle$ величины $\xi_i^j(\omega)=\chi_{\{\zeta_i=j\}}(\omega)$, $i=1,\dots, N$, являются независимыми селекторами с $\mathbb{E}\xi_i^j=\delta_0$. Значит, для $j\in\langle M\rangle$ существует $\widetilde{E_j}$ такое, что $1-\nu\widetilde{E_j}<C(\rho)N^{-9}$ и при $\omega\in \widetilde{E_j}$ для множества $\Lambda_{\omega}^j\equiv \{i\in\langle N\rangle\colon \xi_i^j(\omega)=1\}=\{i\in\langle N\rangle\colon \zeta_i(\omega)=j\}$ выполнены оценки (4.2), (4.7). Тогда для $\omega\in E_0\equiv\bigcap_{j=1}^M\widetilde{E_j}$ оценки выполняются при любом $j\in\langle M\rangle$, при этом $\nu{E_0}>1-C(\rho)N^{-8}$, $\langle N\rangle=\bigsqcup_{j=1}^M\Lambda_{\omega}^j$. Имеет место Теорема 4. При $\rho>2$ для любой ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3.6) при $p>2$ существует разбиение на $M\equiv [\log^{\rho}(N+3)]$ подсистем $\Phi_{\Lambda_j}$ такое, что для $\Lambda_j$, $j=1,\dots,M$, выполнены оценки (4.2) с $\alpha> 3/2$ и (4.7), причем $2N/M\leqslant3|\Lambda_j|\leqslant 4N/M$. БлагодарностьАвтор благодарит Б. С. Кашина за полезные обсуждения и указание на работу [11].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lim23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|