| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Асимптотика вероятности невырождения почти критических ветвящихся процессов в случайной среде В. В. Харламов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9923e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВетвящиеся процессы в случайной среде (ВПСС) являются обобщением известных ветвящихся процессов Гальтона–Ватсона. В отличие от последних в ВПСС распределение числа потомков в каждом поколении зависит от некоторого случайного фактора, называемого нами средой. Как и в ветвящихся процессах Гальтона–Ватсона, в ВПСС можно рассматривать докритический, критический и надкритический случаи. В случае, когда среда состоит из независимых и одинаково распределенных случайных элементов, известны результаты о вероятности невырождения для всех трех случаев ВПСС. В настоящей работе мы остановимся на рассмотрении критического случая ВПСС. Асимптотика вероятности невырождения процесса в случае, когда производящая функция распределения числа потомков одной частицы является дробно-линейной, получена в работе [1]. Без предположения о явном виде распределения числа потомков одной частицы результаты были получены в работе [2] и обобщены в работе [3]. Последовательность $\Xi=\{\xi_i,\,i \in \mathbb{N}\}$ независимых и одинаково распределенных случайных элементов со значениями в измеримом пространстве $(Y, \mathcal{G})$ будем называть случайной средой. Обозначим вероятностное пространство, на котором определяется случайная среда $\Xi$, через $(\Omega, \mathcal{F}, \mathsf{P}^{\Xi})$. Рассмотрим семейство производящих функций Зафиксируем $\omega \in \Omega$.
Процесс $\mathcal{Z}=\{Z_k,\,k \geqslant 0\}$ назовем ветвящимся процессом в случайной среде $\Xi$. При фиксированном $\omega \in \Omega$ введем вероятностную меру $\mathsf{P}_{\omega}$ на пространстве последовательностей $\mathbb{N}_0^{\infty}$, $\mathbb{N}_0 :=\{0\} \cup \mathbb{N}$. Для любых $G \subset \mathbb{N}_0^{\infty}$, $V \in \mathcal{F}$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}(\mathcal{Z} \in G, \Xi \in V) :=\int_{V}\mathsf{P}_{\omega}(\mathcal{Z} \in G)\, \mathsf{P}^{\Xi}(d \omega)
\end{equation*}
\notag
$$
и продолжим вероятностную меру $\mathsf{P}$ на $(\mathbb{N}_0^{\infty} \times \Omega, \sigma(2^{\mathbb{N}_0^{\infty}} \times \mathcal{F}))$. Отметим, что при любых $V \in \mathcal{F}$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}(\mathcal{Z} \in 2^{\mathbb{N}_0^{\infty}},\,\Xi \in V)=\mathsf{P}^{\Xi}(V).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
X_i :=\ln F_{i-1}'(1), \qquad S_0=0, \quad S_k :=X_1 + \dots + X_k, \quad i, k \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения случайной среды $\Xi$ случайные величины $X_i$, $i \geqslant 1$, являются независимыми и одинаково распределенными. Последовательность случайных величин $\{S_k,\,k \in \mathbb{N}\}$ называется сопровождающим случайным блужданием. На пространстве производящих функций введем оператор $T$, сопоставляющий производящей функции $f$ величину Теорема 1 (см. [4; теорема 5.1]). При условии выполнения предположений 1, 2 справедлива эквивалентность где $c_{-}=\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1} (\mathsf{P}(S_k<0)-1/2)$, $\Upsilon$ – некоторая положительная константа. Замечание 1. Теорема 1 следует из результатов работ [3] и [4], однако это требует отдельного обоснования, которое будет приведено в § 3. В настоящей работе мы рассмотрим схему серий ветвящихся процессов $\{Z_{k,n},\, k \leqslant n\}$ в случайной среде $\Xi$. Целью нашей работы является нахождение условий на $Z_{k,n}$, при которых вероятности $\mathsf{P}(Z_n>0)$ и $\mathsf{P}(Z_{n,n}>0)$ эквивалентны при $n \to \infty$. Работа организована следующим образом. В § 2 изложен основной результат работы. В § 3 приведено доказательство теоремы о вероятности невырождения ВПСС. В § 4 доказан ряд утверждений, используемых для обоснования основного результата. § 2. Основной результатРассмотрим семейство производящих функций Зафиксируем $\omega \in \Omega$.
Набор случайных величин $\{Z_{k,n},\,0 \leqslant k \leqslant n,\,Z_{0,n}=1\}$ назовем возмущенным ветвящимся процессом в случайной среде $\Xi$ (ВВПСС). Сформулируем следующее предположение о малости произведенного возмущения. Замечание 2. Из предположения 3 следует, что для любых $\omega \in \Omega$, $k \in \mathbb{N}$ и $G \subset \mathbb{N}_0^k$ верно Введем обозначения для отклонения логарифмов первых моментов производящих функций
$$
\begin{equation*}
a_{i,n}(\omega) :=\ln F_{i-1,n;\omega}'(1)-\ln F_{i-1;\omega}'(1), \qquad b_{k,n}(\omega) :=\sum_{i=1}^k a_{i,n}(\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположение 4. При некоторых $\delta_2 \in (0, 1/2)$, $C_2>0$ для последовательности событий где $\theta(k) :=C_2 k^{1/2-\delta_2}$, $k \in \mathbb{N}$, $\theta(0) :=0$, выполнено соотношение Основной результат настоящей работы состоит в следующем утверждении. § 3. Доказательство теоремы 1Здесь и ниже для положительных констант будем использовать обозначения $K,K_1,\dots$, причем в различных утверждениях значения этих констант, вообще говоря, различны. За основу мы возьмем доказательство теоремы 5.1 работы [4]. Для произвольной неотрицательной целочисленной случайной величины $\zeta$ и соответствующей ей производящей функции $f$ будем использовать обозначения
$$
\begin{equation*}
f[c] :=\mathsf{P}(\zeta=c), \quad \varkappa(f; c) :=\frac{\sum_{y=c}^{\infty} y^2 f[y]}{(f'(1))^2}, \qquad c \in \mathbb{N}_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположение 6 (см. [4; предложение C]). Существует такое значение параметра $c \in \mathbb{N}_0$, что Теорема 3 (см. [4; теорема 5.1]). При условии выполнения предположений 1 и 6 справедливо соотношение (1.1). При доказательстве теоремы 3 в работе [4] предположение C используется только при доказательстве леммы 5.5. Мы проведем доказательство этой леммы в случае, когда выполнены предположения 1 и 2. В формулировке леммы 5.5 участвует мера $\mathsf{P}^+$. Мы не будем останавливаться на деталях построения этой меры, об этом можно прочитать подробно в [4; § 5]. В силу определения меры $\mathsf{P}^+$ для $\sigma(S_1, \dots, S_n)$-измеримой неотрицательной случайной величины $Y_n$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\mathsf{E}^+ Y_n=\mathsf{E}\bigl(Y_n U(S_n);\,L_n \geqslant 0\bigr),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U(x) :=\mathsf{I}\{x \geqslant 0\} + \sum_{n=1}^{\infty} \mathsf{P}\bigl(S_n \geqslant -x,\,\max\{S_1, \dots, S_n\}<0\bigr), \\ L_n :=\min\{S_0, \dots, S_n\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $U(x)$ обладает рядом полезных свойств, описанных в [4; п. 4.4.3]. В частности, функция $U(x)$ является функцией восстановления, поэтому справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
U(x + y) \leqslant U(x) + U(y), \qquad x, y \geqslant 0.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В силу [4; лемма 4.3]
$$
\begin{equation}
U(x) \sim \frac{x \sqrt{2}}{\sigma}\, e^{c_{-}}, \qquad x \to \infty.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В силу соотношения (3.3) и предположения 1 конечна величина $\mathsf{E} U(X)^2$. Лемма 1 (см. [4; теорема 4.6]). Положим $L_{k,n} :=\min\{S_k, \dots, S_{n}\}\,{-}\,S_k$. При выполнении предположения 1 при любых $k \in \mathbb{N}_0$ имеет место эквивалентность Кроме того, существует такая константа $K$, что при всех $0 \leqslant k \leqslant n$ справедлива оценка Доказательство. При доказательстве леммы 5.5 работы [4] было получено, что в силу предположения 1 для любого $\delta \in (0, 1/2)$ существует такое множество $\Omega''=\Omega''(\delta)$, $\mathsf{P}^+(\Omega'')=1$, что для любого $\omega \in \Omega''$ неравенство выполнено при всех $j \in \mathbb{N}$ и некоторой положительной функции $D_1(\omega)$. Выберем $\delta :=\delta_1/2>0$ и зафиксируем $\omega \in \Omega''$.
Для оценки суммы (3.6) нам понадобится оценка вероятности
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}^+\bigl(T(F_j)>x\bigr), \qquad x \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу независимости $(S_j, L_j)$ и $(T(F_j), X_{j+1})$ с учетом соотношений (3.1) и (3.2) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{P}^+(T(F_j)>x) =\mathsf{E}\bigl(\mathsf{I}\{T(F_j)>x\}\, U(S_{j+1}) \, \mathsf{I}\{L_{j+1} \geqslant 0\}\bigr) \\ \notag &\qquad\leqslant \mathsf{E}\bigl((U(S_j) + U(X_{j+1}))\, \mathsf{I}\{T(F_j)>x\} \, \mathsf{I}\{L_j \geqslant 0\}\bigr) \\ \notag &\qquad=\mathsf{E}\bigl(U(S_j)\, \mathsf{I}\{L_j \geqslant 0\}\bigr)\, \mathsf{P}\big(T(F_j)>x\bigr) + \mathsf{E}\bigl(U(X_{j+1}) \, \mathsf{I}\{T(F_j)>x\}\bigr)\mathsf{P}(L_j \geqslant 0) \\ &\qquad=\mathsf{P}\bigl(T(F_j)>x\bigr)+ \mathsf{E}\bigl(U(X_{j+1}) \, \mathsf{I}\{T(F_j)>x\}\bigr)\mathsf{P}(L_j \geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Используя неравенство Коши–Буняковского, предположение 1 и соотношение (3.3), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathsf{E}\bigl(U(X_{j+1}) \mathsf{I}\{T(F_j)>x\}\bigr) &\leqslant \sqrt{\mathsf{E} U(X_{j+1})^2\, \mathsf{E}\, \mathsf{I}^2\{T(F_j)>x\}} \\ &=\sqrt{\mathsf{E} U(X_{j+1})^2\, \mathsf{P}\bigl(T(F_j)>x\bigr)} \leqslant K_1 \sqrt{\mathsf{P}\bigl(T(F_j)>x\bigr)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Собирая оценки (3.8), (3.9) и используя лемму 1, при $x=x_j=\exp\{j^{1/2-\delta_1}\}$ получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{\infty} \mathsf{P}^+(T(F_j)>x_j) \leqslant \sum_{j=1}^{\infty} h_j^0 + K_2 \sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{\frac{h_j^0}{j}}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Второе слагаемое в правой части (3.10) конечно в силу предположения 2. Докажем конечность первого слагаемого в правой части (3.10).
Отметим, что справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{\infty} h_j^0 =\sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{j h_j^0}\, \sqrt{\frac{h_j^0}{j}} \leqslant \sup\Bigl\{\sqrt{j h_j^0}\Bigm| j \in \mathbb{N}\Bigr\} \sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{\frac{h_j^0}{j}}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Если первый множитель правой части (3.11) конечен, то первое слагаемое в правой части (3.10) конечно. Предположим противное. Тогда существует возрастающая последовательность $\{n_k \in \mathbb{N} \mid k \in \mathbb{N}\}$ такая, что $h_{n_k}^0>1/n_k$. Последовательность $h_j^0$ не возрастает, откуда получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{j=[n_k/2]}^{n_k} \sqrt{\frac{h_j^0}{j}} \geqslant \sum_{j=[n_k/2]}^{n_k} \sqrt{\frac{2 h_{n_k}^0}{n_k}} \geqslant \sum_{j=[n_k/2]}^{n_k} \frac{\sqrt{2}}{n_k} \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Так как $n_k \geqslant k$ при любом $k \in \mathbb{N}$, то соотношение (3.12) в силу критерия Коши противоречит предположению 2.
В силу сходимости двух рядов в правой части соотношения (3.10) и леммы Бореля–Кантелли существует такое множество $\Omega'''$, $\mathsf{P}^+(\Omega''')=1$, что для любого $\omega \in \Omega'''$ существует такая положительная функция $D_2(\omega)$, что
$$
\begin{equation}
T(F_j) \leqslant D_2(\omega) \exp\{j^{1/2-\delta_1}\}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Используя оценку (3.13), при $\omega \in \Omega' :=\Omega'' \cap \Omega'''$ имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{\infty} T(F_j) \exp\{-S_{j-1}\} \leqslant D_2(\omega) \sum_{j=1}^{\infty} \exp\{j^{1/2-\delta_1} - D_1(\omega) (j-1)^{1/2-\delta_1/2}\} < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2 доказана. Доказательство теоремы 1. В силу леммы 2 и [4; следствие 5.7] существует такое множество $\Omega' \subset \Omega$, $\mathsf{P}^+(\Omega')=1$, что при $\omega \in \Omega'$ справедливо соотношение Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}^+\biggl(\bigcap_{n=1}^{\infty} \{Z_n>0\}\biggr)>0.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Это соотношение заменяет используемую при доказательстве теоремы 5.1 работы [4] лемму 5.8. Остальные утверждения, использованные при доказательстве теоремы 5.1, а именно леммы 5.2, 5.9 и теорема 4.6 работы [4], использовали только предположение 1.
Теорема 1 доказана. § 4. Вспомогательные утверждения и доказательство основного результата Лемма 3. Положим Доказательство. Докажем только первую часть соотношения (4.1). Вторая часть является частным случаем первой при $F_{i,n} \equiv F_i$.
Пусть
$$
\begin{equation*}
\tau_n :=\min\bigl\{\arg \min\{S_k \mid k \in \{0, \dots, n\}\}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– первый момент достижения случайным блужданием минимума на множестве $\{0, \dots, n\}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}(Z_{n,n}>0) =\sum_{k=0}^n \sum_{l=1}^{+\infty} \mathsf{P}(Z_{n,n}>0,\, Z_{k,n}=l,\, \tau_n=k).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Событие $\{\tau_n=k\}$ совпадает с событием
$$
\begin{equation*}
\{S_i>S_k \ \forall\, i \in \{0, \dots, k-1\},\,L_{k,n} \geqslant 0\} =J_k \cap \{L_{k,n} \geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу независимости величин $(S_1, \dots, S_k)$ и $(L_{k,n}, Z_{n,n})$ при условии $Z_{k,n}=l$ для произвольных натуральных $k$ и $l$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{P}(Z_{n,n}>0,\, Z_{k,n}=l,\, \tau_n=k) \\ &\qquad =\mathsf{P}(\{Z_{k,n}=l\} \cap J_k)\, \mathsf{P}(Z_{n,n}>0, \, L_{k,n} \geqslant 0 \mid Z_{k,n}=l). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Используя соотношения (4.2) и (4.3), получаем искомое равенство (4.1).
Лемма доказана. Для доказательства теоремы 2 мы разобьем двойную сумму из представления, полученного в лемме 3, на две части, отвечающие подмножествам индексов $k \leqslant m$ и $k>m$ соответственно. Покажем, что при больших $m$ вторая часть будет пренебрежимо малой по сравнению с первой. Для этого нам понадобится следующая оценка. Лемма 4. Обозначим $\min\{S_i + \theta(i) \mid 0 \leqslant i \leqslant k\}$ через $\widehat{L}_k$. При условии выполнения предположения 1 для любого $\delta \in (0, 1/2)$ существует такая константа $K$, что при всех $k \in \mathbb{N}$ справедлива оценка Доказательство. Имеем При этом
Оценим величину $p_2$. Определим индуктивно случайную величину $\nu_i$. Положим $\nu_0=0$. Пусть определено значение $\nu_i$ при $i \geqslant 0$, тогда
$$
\begin{equation}
\nu_{i+1} :=\min\{j>\nu_i\mid S_j-S_{\nu_i} + \theta(j-\nu_i)<0\} \in \mathbb{N} \cup \{+\infty\}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Положим $\rho_k :=\max\{r \geqslant 0 \mid \nu_r \leqslant k\}$.
Справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
p_2 \leqslant \mathsf{P}\bigl(\widehat{L}_k >-\ln k\bigr) \leqslant \mathsf{P}\bigl(\rho_k \leqslant k^{\delta/2}-1\bigr)+ \mathsf{P}\bigl(\widehat{L}_k >-\ln k,\, \rho_k>k^{\delta/2}-1\bigr).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Оценим первое слагаемое правой части соотношения (4.8). Положим $\Delta_0 \,{:=}\, 0$, $\Delta_i :=\nu_i-\nu_{i-1}$ при $i>0$ и отметим, что $\Delta_i$ – независимые и одинаково распределенные случайные величины при $i>0$. Из совпадения событий $\{\rho_k \leqslant r\}$ и $\{\nu_{r+1}>k\}$ для произвольного $r$, неравенства Маркова и субаддитивности функции $g(x) :=x^{1/2-\delta/2}$, $x \geqslant 0$, следует соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathsf{P}(\rho_k \leqslant r)=\mathsf{P}(\nu_{r+1}>k) &=\mathsf{P}\biggl(\biggl(\sum_{i=1}^{r+1} \Delta_i\biggr)^{1/2-\delta/2} > k^{1/2-\delta/2}\biggr) \\ &\leqslant \frac{\mathsf{E} \bigl(\sum_{i=1}^{r+1} \Delta_i\bigr)^{1/2-\delta/2} }{k^{1/2-\delta/2}} \leqslant \frac{(r+1) \, \mathsf{E} \Delta_1^{1/2-\delta/2}}{k^{1/2-\delta/2}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Из предположения 1 следует, что $g(i)=o(\mathsf{D} S_i)$ при $i \to \infty$. В силу [5; теорема 1] при $i \geqslant 1$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}(\Delta_1 \geqslant i) \leqslant \frac{K_1}{i^{1/2-\delta/4}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathsf{E} \Delta_1^{1/2-\delta/2} &=\sum_{i=1}^{\infty} (i^{1/2-\delta/2}-(i-1)^{1/2-\delta/2}) \, \mathsf{P}(\Delta_1 \geqslant i) \\ &\leqslant K_1 + \sum_{i=1}^{\infty} \frac{K_2}{i^{1+\delta/4}} =: K_3<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
В силу оценок (4.9) и (4.10) имеем
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}(\rho_k \leqslant k^{\delta/2}-1) \leqslant \frac{K_3 k^{\delta/2}}{k^{1/2-\delta/2}} =\frac{K_3}{k^{1/2-\delta}}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Оценим второе слагаемое правой части соотношения (4.8). При любом $i>0$ в силу субаддитивности $\theta(i)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S_{\nu_i} + \theta(\nu_i)- (S_{\nu_{i-1}} + \theta(\nu_{i-1})) &=S_{\nu_i}-S_{\nu_{i-1}} + \theta(\nu_i)-\theta(\nu_{i-1}) \\ &\leqslant S_{\nu_i}-S_{\nu_{i-1}} + \theta(\nu_i-\nu_{i-1})=: \eta_i. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Отметим, что случайные величины $\eta_i$, $i>0$, являются независимыми и одинаково распределенными отрицательными случайными величинами. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{L}_k &=\min\{S_{\nu_i} + \theta(\nu_i)\mid 0 \leqslant i \leqslant \rho_k\} =S_{\nu_{\rho_k}} + \theta(\nu_{\rho_k}) \\ &=\sum_{i=1}^{\rho_k} \bigl(S_{\nu_i} + \theta(\nu_i) - (S_{\nu_{i-1}} + \theta(\nu_{i-1}))\bigr) \leqslant \sum_{i=1}^{\rho_k} \eta_i. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
В силу соотношения (4.13), неравенства Маркова и отрицательности $\eta_i$ имеем следующую оценку для второго слагаемого правой части соотношения (4.8):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{P}(\widehat{L}_k >-\ln k,\, \rho_k>k^{\delta/2}-1) \\ &\qquad\leqslant \mathsf{P}\biggl(\sum_{i=1}^{\rho_k} \eta_i >-\ln k,\, \rho_k>k^{\delta/2}-1\biggr) \leqslant \mathsf{P}\biggl(\sum_{i=1}^{[k^{\delta/2}-1]} \eta_i >-\ln k\biggr) \notag \\ &\qquad=\mathsf{P}\biggl(\exp\biggl\{\sum_{i=1}^{[k^{\delta/2}-1]} \eta_i\biggr\} > \frac{1}{k}\biggr) \leqslant k (\mathsf{E} e^{\eta_1})^{[k^{\delta/2}-1]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Отметим, что $\mathsf{E} e^{\eta_1}<1$, откуда получаем
$$
\begin{equation}
k (\mathsf{E} e^{\eta_1})^{[k^{\delta/2}-1]} \leqslant \frac{K_4}{k}, \qquad k \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Из оценок (4.5), (4.6), (4.8), (4.11), (4.14), (4.15) вытекает требуемое неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathsf{E} \exp\{\widehat{L}_k\} \leqslant \frac{1}{k} + \frac{K_3}{k^{1/2-\delta}} + \frac{K_4}{k} \leqslant \frac{K}{k^{1/2-\delta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 доказана. Лемма 5. Положим при $k, n \in \mathbb{N}$, $k \leqslant n$ Доказательство. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_1 &:=\mathsf{P}\bigl(\{Z_{k,n}>0,\,S_k \leqslant -k^{1/2-\delta_2/2}\} \cap Q_{k,n} \cap J_k\bigr), \\ \notag q_2 &:=\mathsf{P}\bigl(\{Z_{k,n}>0,\,S_k>-k^{1/2-\delta_2/2}\} \cap Q_{k,n} \cap J_k\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Для первой величины в силу определения события $Q_{k,n}$ имеется оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag q_1 &\leqslant \mathsf{E}\bigl(Z_{k,n};\, \{S_k \leqslant -k^{1/2-\delta_2/2}\} \cap Q_{k,n} \cap J_k\bigr) \\ \notag &\leqslant \mathsf{E}\bigl(\exp\{S_k + \theta(k)\};\, S_k \leqslant -k^{1/2-\delta_2/2}\bigr) \\ &\leqslant \exp\{k^{1/2-\delta_2}(-k^{\delta_2/2} + k^{\delta_2-1/2} \theta(k))\} =\exp\{k^{1/2-\delta_2} (-k^{\delta_2/2} + C_2)\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Введем величину
$$
\begin{equation*}
\widehat{\tau}_k=\min\biggl\{\arg \min\biggl\{S_i + \theta(i)\biggm| i \leqslant \biggl[\frac k3\biggr]\biggr\}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\omega \in Q_{k,n}$. В силу вложенности события $\{Z_{k,n}>0\}$ в $\{Z_{\widehat{\tau}_k,n}>0\}$ и целочисленности $Z_{\widehat{\tau}_k,n}$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}_{\omega}(Z_{k,n}>0) \leqslant \mathsf{P}_{\omega}(Z_{\widehat{\tau}_k,n}>0) \leqslant \mathsf{E}_{\omega} Z_{\widehat{\tau}_k,n}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
В силу свойств ветвящегося процесса и выбора $\omega$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\mathsf{E}_{\omega} Z_{\widehat{\tau}_k,n} =\exp\{S_{\widehat{\tau}_k}(\omega) \,{+}\, b_{\widehat{\tau}_k,n}(\omega)\} \leqslant \exp\{S_{\widehat{\tau}_k}(\omega) \,{+}\, \theta(\widehat{\tau}_k)\} =\exp\{\widehat{L}_{[k/3]}(\omega)\}.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
В силу соотношений (4.18) и (4.19)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag q_2 &\leqslant \mathsf{E}\bigl(\exp\{\widehat{L}_{[k/3]}\};\, \{S_k>-k^{1/2-\delta_2/2}\} \cap J_k\bigr) \\ \notag &\leqslant \mathsf{E}\biggl(\exp\{\widehat{L}_{[k/3]}\};\, S_i>S_k \ \forall\, i \in \biggl\{\biggl[\frac{2k}{3}\biggr], \dots, k-1\biggr\},\, S_k \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0)\biggr) \\ &=\mathsf{E} Y \, \mathsf{I}\{S_k \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0)\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где
Рассмотрим сигма-алгебру
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_k :=\sigma(X_1, \dots, X_{[k/3]}, X_{[2 k/3] + 1}, \dots, X_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как случайная величина $Y$ является $\mathcal{H}_k$-измеримой, справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathsf{E} Y \, \mathsf{I}\{S_k \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0)\} &=\mathsf{E} \bigl(\mathsf{E}(Y \mathsf{I}\{S_k \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0)\} \mid \mathcal{H}_k)\bigr) \\ &=\mathsf{E}(Y\, \mathsf{P}\bigl(S_k \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0) \mid \mathcal{H}_k)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{P}\bigl(S_k \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0)\bigm| \mathcal{H}_k\bigr) \\ \notag &\qquad =\mathsf{P}\bigl(S_{[2 k/3]}-S_{[k/3]} + (S_{[k/3]} + S_k-S_{[2 k/3]}) \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0) \bigm| \mathcal{H}_k\bigr) \\ &\qquad \leqslant \sup_{x \in \mathbb{R}} \mathsf{P}\bigl(S_{[2 k/3]}-S_{[k/3]} + x \in (0, k^{1/2-\delta_2/2}) \bigm| \mathcal{H}_k\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Так как случайная величина $S_{[2 k/3]}-S_{[k/3]}$ не зависит от $\mathcal{H}_k$, то $\mathsf{P}$-п.н. справедливо тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{x \in \mathbb{R}} \mathsf{P}\bigl(S_{[2 k/3]}-S_{[k/3]} + x \in (0, k^{1/2-\delta_2/2})\bigm| \mathcal{H}_k\bigr) \\ &\qquad =\sup_{x \in \mathbb{R}}\mathsf{P}\bigl(S_{[2 k/3]-[k/3]} + x\in (0, k^{1/2-\delta_2/2})\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
В силу соотношений (4.21)–(4.23) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{E} Y \, \mathsf{I}\{S_k \in (-k^{1/2-\delta_2/2}, 0)\} \\ &\qquad \leqslant \mathsf{E} Y\sup_{x \in \mathbb{R}}\mathsf{P}\bigl(S_{[2 k/3]-[k/3]} + x\in (0, k^{1/2-\delta_2/2})\bigr)\leqslant q_{2,1} q_{2,2} q_{2,3}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{2,1} & :=\mathsf{E} \exp\{\widehat{L}_k\}, \\ q_{2,2} & :=\sup_{x \in \mathbb{R}}\mathsf{P}\bigl(S_{[2k/3]}-S_{[k/3]}\in (-x-k^{1/2-\delta_2/2}, -x)\bigr), \\ q_{2,3} & :=\mathsf{P}\biggl(S_i>S_k \ \forall\, i \in \biggl\{\biggl[\frac{2k}3\biggr], \dots, k-1\biggr\}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получим для каждого множителя правой части (4.24) оценки сверху. В силу леммы 4 при $\delta=3 \delta_2/8$ имеется оценка
$$
\begin{equation}
q_{2,1} \leqslant \frac{K_1}{k^{1/2-3 \delta_2/8}}.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Из неравенства концентрации (см. [6; гл. III, теорема 9]) следует, что существует такая положительная константа $K_2$, что
$$
\begin{equation}
q_{2,2} \leqslant \frac{K_2 k^{1/2-\delta_2/2}}{\sqrt{k}} =\frac{K_2}{k^{\delta_2/2}}.
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
В силу леммы 1 справедлива оценка Из неравенств (4.20), (4.24)–(4.27) получаем оценку
$$
\begin{equation}
q_2 \leqslant q_{2,1} q_{2,2} q_{2,3} \leqslant \frac{K_4}{k^{1+\delta_2/8}}.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
В итоге из оценок (4.17) и (4.28) для величин $q_1$ и $q_2$ вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathsf{P}(\{Z_{k,n}>0\} \cap Q_{k,n} \cap J_k) &=q_1 + q_2 \\ &\leqslant \exp\{k^{1/2-\delta_2} (-k^{\delta_2/2} + C_2)\} + \frac{K_4}{k^{1+\delta_2/8}}\leqslant \frac{K}{k^{1+\delta_2/8}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Лемма 6. При выполнении предположений 1 и 4 при $m<n$ справедлива оценка где $\alpha_m \to 0$ при $m \to \infty$. Доказательство. В силу доказательства леммы 3
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=m+1}^n \sum_{l=1}^{\infty} A_{k,l,n} B_{n-k,l,n} =\mathsf{P}(Z_{n,n}>0,\,\tau_n>m) \\ &\qquad =\mathsf{P}(\{Z_{n,n}>0,\, \tau_n>m\} \cap Q_n) + \mathsf{P}(\{Z_{n,n}>0,\,\tau_n>m\} \cap \overline{Q}_n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Заметим, что в силу предположения 4 справедливо соотношение где $\{\widetilde{\alpha}_n,\,n \in \mathbb{N}\}$ – убывающая к нулю последовательность положительных чисел.
С другой стороны, в силу соотношения
$$
\begin{equation*}
\{\tau_n>m\}=\bigcup_{k=m+1}^n \{\tau_n=k\} =\bigcup_{k=m+1}^n J_k \cap \{L_{k,n} \geqslant 0\}
\end{equation*}
\notag
$$
для первого слагаемого правой части соотношения (4.30) имеем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{P}(\{Z_{n,n}>0,\,\tau_n>m\} \cap Q_n) \\ \notag &\qquad \leqslant \sum_{k=m+1}^n \mathsf{P}(\{Z_{k,n}>0,\,L_{k,n} \geqslant 0\} \cap J_k \cap Q_{k,n}) \\ &\qquad =\sum_{k=m+1}^n \mathsf{P}(\{Z_{k,n}>0\}\cap J_k \cap Q_{k,n})\, \mathsf{P}(L_{k,n} \geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Используя соотношения (4.30)–(4.32) и леммы 1, 5, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=m+1}^n \sum_{l=1}^{\infty} A_{k,l,n} B_{n-k,l,n} \\ \notag &\qquad\leqslant \mathsf{P}(\overline{Q}_n) + K_1 \sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k^{1 + \delta_2/8}} \frac{K_2}{\max\{\sqrt{n-k}, K_2\}} \\ \notag &\qquad \leqslant \frac{\widetilde{\alpha}_n}{\sqrt{n}} + \sum_{k=m+1}^{n-[n/2]-1} \frac{K_3}{k^{1 + \delta_2/8} \sqrt{n-k}} + \sum_{k=n-[n/2]}^{n-1} \frac{K_3}{k^{1 + \delta_2/8} \sqrt{n-k}} + \frac{K_3}{n^{1 + \delta_2/8}} \\ &\qquad \leqslant \frac{\widetilde{\alpha}_m}{\sqrt{n}} + \frac{K_4}{\sqrt{n} m^{\delta_2/8}} + \frac{K_4}{n^{1/2 + \delta_2/8}} \int_{1/2}^1 \frac{d x}{x^{1 + \delta_2/8} \sqrt{1-x}} + \frac{K_4}{\sqrt{n} m^{\delta_2/8}} \leqslant \frac{\alpha_m}{\sqrt{n}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha_m=K_5 \biggl(\widetilde{\alpha}_m+ \frac{3}{m^{\delta_2/8}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6 доказана. Благодаря лемме 6 мы свели задачу исследования асимптотики последовательности $\sum_{k=0}^n \sum_{l=1}^{\infty} A_{k,n,l} B_{n-k,l,n}$ к исследованию $\sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^{\infty} A_{k,n,l} B_{n-k,l,n}$. Теперь мы ограничим значения $l$. Лемма 7. При условии выполнения предположений 1 и 3 при фиксированном $m$ существует такая последовательность положительных чисел $\{\beta_M= \beta_M(m),\,M \in \mathbb{N}\}$, что $\beta_M \to 0$ при $M \to \infty$ и Доказательство. Докажем, что для любого $k \in \mathbb{N}$ существует такая последовательность положительных чисел $\{\beta_M^{(k)},\,M \in \mathbb{N}\}$, стремящаяся к нулю при $M \to \infty$, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n\colon n \geqslant k} \mathsf{P}(Z_{k,n}>M)\leqslant \beta_M^{(k)}.
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
Пусть при каком-то $k$ левая часть соотношения (4.35) не стремится к нулю. Тогда существуют положительное $\varepsilon$ и такая возрастающая последовательность натуральных чисел $\{M_r,\,r \in \mathbb{N}\}$, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n\colon n \geqslant k} \mathsf{P}(Z_{k,n}>M_r)> \varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
В силу неравенства (4.36) при каждом $r \in \mathbb{N}$ существует $n_r$ такой, что
Если $\sup\{n_r \mid r \in \mathbb{N}\}<\infty$, то существует натуральное число, повторяющееся в последовательности $\{n_r,\,r \in \mathbb{N}\}$ бесконечное количество раз. Обозначим это число через $n$. В силу определения числа $n$ существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел $\widetilde{M}_r$, что
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}(Z_{k,n}>\widetilde{M}_r) \geqslant \varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
Однако соотношение (4.37) противоречит непрерывности вероятностной меры.
Если $\sup\{n_r \mid r \in \mathbb{N}\}=\infty$, то существуют такие возрастающие последовательности натуральных чисел $\{\widetilde{n}_r,\,r \in \mathbb{N}\}$ и $\{\widetilde{M}_r,\,r \in \mathbb{N}\}$, что
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}(Z_{k,\widetilde{n}_r}>\widetilde{M}_r) \geqslant \varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
Выберем $M>0$ таким, что Выберем $R>0$ таким, что $\widetilde{M}_r>M$ при $r>R$. Тогда в силу неравенства (4.38) при всех $r>R$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\mathsf{P}(Z_{k,\widetilde{n}_r}>M) \geqslant \mathsf{P}(Z_{k,\widetilde{n}_r}>\widetilde{M}_r) \geqslant \varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
В силу предположения 3 и замечания 2 левая часть (4.40) стремится к величине $\mathsf{P}(Z_k>M)$ при $r \to \infty$, откуда получаем $\mathsf{P}(Z_k>M) \geqslant \varepsilon$. Однако это противоречит неравенству (4.39).
Во всех разобранных случаях мы пришли к противоречию, поэтому соотношение (4.35) выполнено. В силу неравенства $B_{n-k,l,n} \leqslant \mathsf{P}(L_{k,n} \geqslant 0)$, леммы 1 и соотношения (4.35) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{k=0}^m \sum_{l=M+1}^{\infty} A_{k,l,n} B_{n-k,l,n} &\leqslant \sum_{k=0}^m \mathsf{P}(Z_{k,n}>M) \frac{K_1}{\max\{\sqrt{n-k}, K_1\}} \\ &\leqslant \sum_{k=0}^m \beta_M^{(k)} \min\biggl\{1, \frac{K_1}{\sqrt{n-k}}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
Соотношение (4.41) позволяет получить искомую оценку (4.34).
Лемма 7 доказана. Используя леммы 6 и 7, можно свести задачу к рассмотрению конечного числа комбинаций $(k, l)$. В таком случае можно будет воспользоваться предположением 3 для перехода от $F_{i-1,n}$ к $F_{i-1}$ при $i \leqslant k$. Лемма 8. При условии выполнения предположений 1 и 3 при фиксированном $m$ для любого $\varepsilon>0$ существуют такие $M=M(\varepsilon)$ и $N=N(\varepsilon)$, что для любого $n>N$ Доказательство. Зафиксируем $\varepsilon>0$. В силу леммы 7 существуют такие числа $M, N_1>0$, что для любого $n>N_1 \geqslant 2 m$
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^m \sum_{l=M+1}^{+\infty} A_{k,l,n} B_{n-k,l,n} \leqslant \frac{\varepsilon}{2 \sqrt{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^{+\infty} A_{k,l,n} B_{n-k,l,n} - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l,n}\biggr| \\ &\qquad \leqslant \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M |A_{k,l,n}-A_{k,l}| B_{n-k,l,n} + \frac{\varepsilon}{2 \sqrt{n}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
Применяя лемму 1, при $n>N_1$ получаем оценку
Из предположения 3 и замечания 2 следует, что $Z_{k,n}$ сходится по распределению к $Z_k$ при $n \to \infty$ и $k \leqslant m$ при всех значениях $(\xi_1, \dots, \xi_k)$. В силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости при $n \to \infty$
$$
\begin{equation*}
A_{k,l,n}=\mathsf{E}\bigl(\mathsf{I}_{J_k} \mathsf{P}(Z_{k,n}=l \mid \xi_1, \dots, \xi_k)\bigr) \to \mathsf{E}\bigl(\mathsf{I}_{J_k} \mathsf{P}(Z_k=l \mid \xi_1, \dots, \xi_k)\bigr)=A_{k,l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, существует такой номер $N \geqslant N_1$, что для любых $n>N$, $k \leqslant m$, $l \leqslant M$ верно
$$
\begin{equation}
|A_{k,l,n}-A_{k,l}| \leqslant \frac{\varepsilon}{4 K_1 M (m+1)}.
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
Из оценок (4.43)–(4.45) заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^{+\infty} A_{k,l,n} B_{n-k,l,n} - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l,n}^0 B_{n-k,l,n}\biggr| \\ &\qquad \leqslant \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M \frac{\varepsilon}{2 M (m+1) \sqrt{n}} + \frac{\varepsilon}{2 \sqrt{n}} =\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.46}
$$
Лемма 8 доказана. Из лемм 6–8 следует, что основной вклад в асимптотику вероятности невырождения ВВПСС вносит сумма $\sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l,n}$. Остается получить результат относительно асимптотики $B_{n-k,l,n}$, причем в силу конечности слагаемых исследуемой суммы снимается вопрос о равномерности асимптотики по $k$ и $l$. В дальнейшем нам потребуется выражение для вероятности невырождения в случае фиксированной среды. Лемма 9 (см. [4; предложения 1.3, 1.4]). Для вероятности невырождения ВВПСС $Z_{k,n}$ справедливо соотношение Для доказательства следующего утверждения нам понадобится совершать предельные переходы при условии неотрицательности части траектории последовательности $S_i$, $i \geqslant 0$. Инструментом, с помощью которого мы сможем совершать эти переходы, является мера $\mathsf{P}^+$. Свойства этой меры приведены в § 3. Лемма 10. При условии выполнения предположений 1, 5 для любого $k \in \mathbb{N}_0$ существует такое множество $\Omega'$, $\mathsf{P}^+(\Omega')=1$, что для любого $\omega \in \Omega'$ и любого $\varepsilon>0$ существует такой параметр $R=R(\omega, \varepsilon)$, что для любых $r>R$ и $n>k + r$ Доказательство. Будем рассуждать, как при доказательстве леммы 2.
В силу предположения 1 при $\delta :=\min\{\delta_2, \delta_3\}/2$ справедливо соотношение (3.7) для некоторого $\Omega''=\Omega''(\delta)$, $\mathsf{P}^+(\Omega'')=1$. Чтобы оценить сумму (4.49), нам понадобится оценка вероятности
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}^+(\widehat{F}_j>x) =\mathsf{P}^+\Bigl(\sup_{n\colon n>j} T(F_{j,n})> x\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу независимости $(S_j, L_j)$ и $(\widehat{F}_j, X_{j+1})$ с учетом соотношений (3.1) и (3.2) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathsf{P}^+(\widehat{F}_j>x)&=\mathsf{E}\bigl(\mathsf{I}\{\widehat{F}_j>x\}\, U(S_{j+1}) \, \mathsf{I}\{L_{j+1} \geqslant 0\}\bigr) \\ \notag &\leqslant \mathsf{E}\bigl((U(S_j) + U(X_{j+1}))\, \mathsf{I}\{\widehat{F}_j>x\} \, \mathsf{I}\{L_j \geqslant 0\}\bigr) \\ \notag &=\mathsf{E}\bigl(U(S_j) \, \mathsf{I}\{L_j \geqslant 0\}\bigr)\, \mathsf{P}(\widehat{F}_j>x) + \mathsf{E}\bigl(U(X_{j+1})\, \mathsf{I}\{\widehat{F}_j>x\}\bigr)\, \mathsf{P}(L_j \geqslant 0) \\ &=\mathsf{P}(\widehat{F}_j>x)+ \mathsf{E}\bigl(U(X_{j+1})\, \mathsf{I}\{\widehat{F}_j>x\}\bigr)\, \mathsf{P}(L_j \geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
Используя неравенство Коши–Буняковского, предположение 1 и соотношение (3.3), при $x \geqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathsf{E}(U(X_{j+1}) \mathsf{I}\{\widehat{F}_j>x\}) &\leqslant \sqrt{\mathsf{E} U(X_{j+1})^2\, \mathsf{E}\, \mathsf{I}^2\{\widehat{F}_j>x\}} \\ &=\sqrt{\mathsf{E} U(X_{j+1})^2\, \mathsf{P}(\widehat{F}_j>x)} \leqslant K_1 \sqrt{\mathsf{P}(\widehat{F}_j>x)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.51}
$$
В силу оценок (4.50), (4.51), леммы 1 и предположения 5 при $x=x_j=\exp\{j^{1/2-\delta_3}\}$ получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{\infty}\mathsf{P}^+(\widehat{F}_j>x_j)\leqslant 1 + \sum_{j=1}^{\infty} h_j + K_2 \sum_{j=1}^{\infty}\sqrt{\frac{h_j}{j}}<\infty.
\end{equation}
\tag{4.52}
$$
Из сходимости ряда (4.52) и леммы Бореля–Кантелли вытекает существование такого множества $\Omega'''$, $\mathsf{P}^+(\Omega''')=1$, что для каждого $\omega \in \Omega'''$ найдется положительная функция $D_3(\omega)$ такая, что
$$
\begin{equation}
T(F_{j,n;\omega}) \leqslant T(\widehat{F}_{j;\omega}) \leqslant D_3(\omega) \exp\{j^{1/2-\delta_3}\}.
\end{equation}
\tag{4.53}
$$
Используя оценку (4.53), при $\omega \in \Omega' :=\Omega'' \cap \Omega'''$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{I}_{Q_n}(\omega) \sum_{i=r}^{n-k}T(F_{i+k,n;\omega}) \exp\biggl\{- \sum_{j=k+1}^{i+k}(X_j(\omega) + a_{j,n}(\omega))\biggr\} \\ \notag &\qquad \leqslant \mathsf{I}_{Q_n}(\omega) \exp\{S_k(\omega) + b_{k,n}(\omega)\} \sum_{i=r}^{n-k} T(F_{i+k,n;\omega}) \exp\{-S_{i+k}(\omega)-b_{i+k,n}(\omega)\} \\ \notag &\qquad \leqslant D_3(\omega) \exp\{S_k(\omega) + C_2 k^{1/2-\delta_2}\} \sum_{i=r}^{n-k} \exp\{(i+k)^{1/2-\delta_3}\} \\ &\qquad\qquad \times \exp\{- D_1(\omega) (i+k)^{1/2-\delta} + C_2 (i+k)^{1/2-\delta_2}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.54}
$$
Так как $\delta<\delta_2$ и $\delta<\delta_3$, слагаемые ряда в правой части соотношения (4.54) экспоненциально малы. Отсюда следует, что для любого $\omega \in \Omega'$ и для любого $\varepsilon>0$ существует число такое $R=R(\omega, \varepsilon)$, что для любого $r>R$ и для любого $n>k+r$ левая часть неравенства (4.49) не больше чем $\varepsilon$.
Лемма 10 доказана. Лемма 11. При условии выполнения предположений 1, 3–5 для любых натуральных $k, l$ справедливо соотношение Доказательство. Заметим, что
$$
\begin{equation}
B_{n-k,l,n}=\mathsf{E}\bigl(f_l(\widetilde{\pi}_{k,n}) \bigm| L_{k,n} \geqslant 0\bigr)\, \mathsf{P}(L_{k,n} \geqslant 0),
\end{equation}
\tag{4.56}
$$
где Аналогично имеем
Докажем, что разность первых множителей правых частей соотношений (4.56) и (4.57) стремится к нулю. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{|B_{n-k,l,n}-B_{n-k,l}|}{\mathsf{P}(L_{k,n} \geqslant 0)} &\leqslant \mathsf{E}\bigl(|f_l(\widetilde{\pi}_{k,n}) - f_l(\widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0})| \bigm| L_{k,n} \geqslant 0\bigr) \\ \notag &\leqslant l\, \mathsf{E}\bigl(|\widetilde{\pi}_{k,n} - \widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}| \bigm| L_{k,n} \geqslant 0\bigr) \\ &\leqslant l\, \mathsf{E}\bigl(\mathsf{I}_{Q_n} |\widetilde{\pi}_{k,n} - \widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}| \bigm| L_{k,n} \geqslant 0\bigr) + l \, \mathsf{P}(\overline{Q}_n \mid L_{k,n} \geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.58}
$$
В силу леммы 1 и предположения 4 для второго слагаемого правой части (4.58) справедлива оценка
$$
\begin{equation}
l \, \mathsf{P}(\overline{Q}_n \mid L_{k,n} \geqslant 0) \leqslant l \frac{\mathsf{P}(\overline{Q}_n)}{\mathsf{P}(L_{k,n} \geqslant 0)}\to 0, \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{4.59}
$$
Оценим первое слагаемое правой части (4.58). Зафиксируем $\varepsilon>0$. В силу лемм 9 и 10 существует такое множество $\Omega' \in \Omega, \mathsf{P}^+(\Omega')=1$, что для любого $\omega \in \Omega'$ существует $R=R(\omega, \varepsilon)$, для которого неравенство
$$
\begin{equation}
\mathsf{I}_{Q_n}(\omega) \sum_{i=r+1}^{n-k} d_{i+k,k+r,n}(\omega) \exp\biggl\{-\sum_{j=k+1}^{i+k}(X_j(\omega) + a_{j,n}(\omega))\biggr\} \leqslant \frac{\varepsilon}{3}
\end{equation}
\tag{4.60}
$$
справедливо для всех $r>R$, $n>k + r$.
Зафиксируем $\omega \in \Omega'$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\pi}_{k,n} =\mathsf{P}_{\omega}(Z_{n,n}>0 \mid Z_{k,n}=1) \leqslant \mathsf{P}_{\omega}(Z_{k+r,n}>0 \mid Z_{k,n}=1).
\end{equation}
\tag{4.61}
$$
В силу леммы 9 и соотношения (4.60) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathsf{I}_{Q_n}(\omega) \widetilde{\pi}_{k,n}(\omega) &=\mathsf{I}_{Q_n}(\omega)\, \mathsf{P}_{\omega}(Z_{n,n}>0 \mid Z_{k,n}=1) \\ \notag &=\frac{\mathsf{I}_{Q_n}(\omega)}{\sum_{i=0}^{n-k} d_{i+k,k+r,n}(\omega) \exp\bigl\{-\sum_{j=k+1}^{i+k} (X_j(\omega) + a_{j,n}(\omega))\bigr\}} \\ &\geqslant \frac{\mathsf{I}_{Q_n}(\omega)}{\sum_{i=0}^r d_{i+k,k+r,n}(\omega) \exp\bigl\{-\sum_{j=k+1}^{i+k} (X_j(\omega) + a_{j,n}(\omega))\bigr\} + \varepsilon/3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.62}
$$
Если $\omega \notin Q_n$, то последнее выражение в соотношении (4.62) равно нулю. Иначе знаменатель не меньше $1$, откуда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\mathsf{I}_{Q_n}(\omega)}{\sum_{i=0}^r d_{i+k,k+r,n}(\omega) \exp\bigl\{-\sum_{j=k+1}^{i+k} (X_j(\omega) + a_{j,n}(\omega))\bigr\} + \varepsilon/3} \\ \notag &\qquad \geqslant \biggl(1-\frac{\varepsilon}{3}\biggr) \frac{\mathsf{I}_{Q_n}(\omega)}{\sum_{i=0}^r d_{i+k,k+r,n}(\omega) \exp\bigl\{-\sum_{j=k+1}^{i+k} (X_j(\omega) + a_{j,n}(\omega))\bigr\}} \\ &\qquad =\biggl(1-\frac{\varepsilon}{3}\biggr)\, \mathsf{I}_{Q_n}(\omega) \, \mathsf{P}_{\omega}(Z_{k+r,n}>0 \mid Z_{k,n}=1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.63}
$$
Из соотношений (4.61)–(4.63) получаем
$$
\begin{equation}
\mathsf{I}_{Q_n}(\omega) \bigl|\widetilde{\pi}_{k,n}(\omega) - \mathsf{P}_{\omega}(Z_{k+r,n}>0 \mid Z_{k,n}=1)\bigr| \leqslant \frac{\varepsilon}{3}.
\end{equation}
\tag{4.64}
$$
В силу сходимости последовательности $\widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}(\omega)$ при $n \to \infty$ найдется такое значение параметра $r>R$, что для любого $n>k+r$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
|\widetilde{\pi}_{k,k+r}^{\,0}(\omega) - \widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}(\omega)| \leqslant \frac{\varepsilon}{3}.
\end{equation}
\tag{4.65}
$$
Из предположения 3 и замечания 2 следует, что найдется такое значение параметра $N>k + r$, при котором для любого $n>N$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\bigl|\mathsf{P}_{\omega}(Z_{k+r,n}>0 \mid Z_{k,n}=1) - \widetilde{\pi}_{k,k+r}^{\,0}(\omega)\bigr| \leqslant \frac{\varepsilon}{3}.
\end{equation}
\tag{4.66}
$$
Из соотношений (4.64)–(4.66) следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{I}_{Q_n}(\omega) |\widetilde{\pi}_{k,n}(\omega)- \widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}(\omega)| \\ \notag &\quad\leqslant \mathsf{I}_{Q_n}(\omega)\bigl|\widetilde{\pi}_{k,n}(\omega)- \mathsf{P}_{\omega}(Z_{k+r,n}>0 \mid Z_{k,n}=1)\bigr| \\ &\quad\qquad + \bigl|\mathsf{P}_{\omega}(Z_{k+r,n}>0 \mid Z_{k,n}=1) - \widetilde{\pi}_{k,k+r}^{\,0}(\omega)\bigr| + |\widetilde{\pi}_{k,k+r}^{\,0}(\omega)-\widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}(\omega)| \leqslant \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.67}
$$
В силу произвольности $\varepsilon$ заключаем, что последовательность случайных величин $\mathsf{I}_{Q_n} |\widetilde{\pi}_{k,n}-\widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}|$ сходится к $0$ при $n \to \infty$ $\mathsf{P}^+$-п.н. В силу равномерной ограниченности этой последовательности из [4; лемма 5.2] следует
$$
\begin{equation}
\mathsf{E}\bigl(\mathsf{I}_{Q_n} |\widetilde{\pi}_{k,n}-\widetilde{\pi}_{k,n}^{\,0}| \bigm| L_{k,n} \geqslant 0\bigr) \to 0, \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{4.68}
$$
Из леммы 1 и соотношений (4.58), (4.59), (4.68) вытекает требуемое утверждение (4.55).
Лемма 11 доказана. Доказательство. Зафиксируем $\omega \in \Omega$, $j \in \mathbb{N}_0$. В силу предположения 3 и [7; теорема 3.1.1] существуют такое вероятностное пространство $(\widehat{\Omega}_{\omega}, \widehat{\mathcal{F}}_{\omega}, \widehat{\mathsf{P}}_{\omega})$ и такие случайные величины на нем $\widehat{Y}_{\omega, n}$, $j<n$, и $\widehat{Y}_{\omega}$, что $F_{j;\omega}$ является производящей функцией для $\widehat{Y}_{\omega}$, $F_{j,n;\omega}$ является производящей функцией для $\widehat{Y}_{\omega,n}$, $\widehat{Y}_{\omega,n} \to \widehat{Y}_{\omega}$ при $n \to \infty$ $\widehat{\mathsf{P}}_{\omega}$-п.н. Обозначим математическое ожидание на этом пространстве через $\widehat{\mathsf{E}}_{\omega}$. Тогда в силу леммы Фату справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag F_{j;\omega}''(1) &=\widehat{\mathsf{E}}_{\omega}\bigl(\widehat{Y}_{\omega}(\widehat{Y}_{\omega}-1)\bigr) \\ &\leqslant \liminf_{n \to \infty} \widehat{\mathsf{E}}_{\omega} \bigl(\widehat{Y}_{\omega,n} (\widehat{Y}_{\omega,n}-1)\bigr) =\liminf_{n \to \infty} F_{j,n;\omega}''(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.69}
$$
Рассмотрим $\omega \in Q_n$, $n \in \mathbb{N}$. Для произвольного $j<n$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |a_{j+1,n}(\omega)| &=|b_{j+1,n}(\omega)-b_{j,n}(\omega)| \\ &\leqslant |b_{j+1,n}(\omega)| + |b_{j,n}(\omega)| \leqslant 2 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.70}
$$
В силу определения величины $a_{j+1,n}$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{F_{j,n;\omega}'(1)}{F_{j;\omega}'(1)} =\exp\{a_{j+1,n}(\omega)\} \leqslant \exp\{2 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2}\}.
\end{equation}
\tag{4.71}
$$
Из неравенств (4.70) и (4.71) следует, что для произвольных $\omega \in \Omega$, $n \in \mathbb{N}$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\frac{\mathsf{I}_{Q_n}(\omega)}{(F_{j;\omega}'(1))^2} \leqslant \exp\{4 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2}\} \frac{\mathsf{I}_{Q_n}(\omega)}{(F_{j,n;\omega}'(1))^2}.
\end{equation}
\tag{4.72}
$$
Заметим, что в силу предположения 4 последовательность $\mathsf{I}_{Q_n}$ сходится по вероятности к $1$ при $n \to \infty$. В силу теоремы Рисса существует подпоследовательность $\mathsf{I}_{Q_{n_k}}$, сходящаяся $\mathsf{P}$-п.н. к $1$ при $k \to \infty$. Отсюда следует, что $\mathsf{P}$-п.н.
$$
\begin{equation}
\limsup_{n \to \infty} \mathsf{I}_{Q_n} \geqslant \limsup_{k \to \infty} \mathsf{I}_{Q_{n_k}} =1.
\end{equation}
\tag{4.73}
$$
Используя неравенства (4.69), (4.72), (4.73), получаем $\mathsf{P}$-п.н.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag T(F_j) &\leqslant \limsup_{n \to \infty} \mathsf{I}_{Q_n} \frac{F_j''(1)}{(F_j'(1))^2} \\ \notag &\leqslant \limsup_{n \to \infty} \exp\{4 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2}\} \frac{\mathsf{I}_{Q_n}}{(F_{j,n}'(1))^2} \liminf_{n \to \infty} F_{j,n}''(1) \\ \notag &\leqslant \exp\{4 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2}\} \limsup_{n \to \infty} \frac{\mathsf{I}_{Q_n} F_{j,n}''(1)}{(F_{j,n}'(1))^2} \\ & \leqslant \exp\{4 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2}\} \limsup_{n \to \infty} T(F_{j,n}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.74}
$$
В силу соотношения (4.74) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathsf{P}\bigl(T(F_j) > \exp\{4 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2} + j^{1/2-\delta_3}\}\bigr) \\ &\qquad\leqslant \mathsf{P}\Bigl(\limsup_{n \to \infty} T(F_{j,n}) > \exp\{j^{1/2-\delta_3}\}\Bigr) \leqslant \mathsf{P}\bigl(\widehat{F}_j > \exp\{j^{1/2-\delta_3}\}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.75}
$$
При некотором $N \in \mathbb{N}$ для всех $j>N$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
j^{1/2-\delta_1} \geqslant 4 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2} + j^{1/2-\delta_3}, \qquad \delta_1 :=\frac{\min\{\delta_2, \delta_3\}}{2} \in \biggl(0, \frac12\biggr).
\end{equation}
\tag{4.76}
$$
В силу предположения 5 и соотношений (4.75) и (4.76) заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{\frac{h_j^0}{j}} &=\sum_{j=1}^{\infty}\sqrt{\frac{\mathsf{P}(T(F_j)> \exp\{j^{1/2-\delta_1}\})}{j}} \\ \notag &\leqslant N + \sum_{j=N+1}^{\infty}\sqrt{\frac{\mathsf{P}(T(F_j) > \exp\{4 C_2 (j+1)^{1/2-\delta_2}+ j^{1/2-\delta_3}\})}{j}} \\ &\leqslant N + \sum_{j=N+1}^{\infty}\sqrt{\frac{\mathsf{P}(\widehat{F}_j > \exp\{j^{1/2-\delta_3}\})}{j}}< \infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.77}
$$
Лемма 12 доказана. Все необходимые результаты получены, и мы можем переходить к доказательству основного результата. Доказательство теоремы 2. Заметим, что леммы 6, 8 применимы для $F_{i,n} \equiv F_i$.
Зафиксируем $\varepsilon>0$. В силу леммы 6 найдется такое значение параметра $m$, что при всех $n>m$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\, \biggl|\mathsf{P}(Z_{n,n}>0) - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^{\infty} A_{k,l,n} B_{n-k,l,n}\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon}{6},
\end{equation}
\tag{4.78}
$$
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\, \biggl|\mathsf{P}(Z_n>0) - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^{\infty} A_{k,l} B_{n-k,l}\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon}{4}.
\end{equation}
\tag{4.79}
$$
В силу леммы 8 и соотношений (4.78), (4.79) существуют такие $M, N_1>m$, что для любого $n>N_1$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\, \biggl|\mathsf{P}(Z_{n,n}>0) - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l,n}\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon}{3},
\end{equation}
\tag{4.80}
$$
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\, \biggl|\mathsf{P}(Z_n>0) - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l}\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}.
\end{equation}
\tag{4.81}
$$
В силу леммы 11 существует такое $N>N_1$, что для любого $n>N$
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\, \biggl|\sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l,n} - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l}\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon}{6}.
\end{equation}
\tag{4.82}
$$
Из соотношений (4.80)–(4.82) для $n>N$ следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sqrt{n}\, |\mathsf{P}(Z_{n,n}>0)-\mathsf{P}(Z_n>0)| \nonumber \\ &\qquad \leqslant \sqrt{n}\, \biggl|\mathsf{P}(Z_{n,n}>0) - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l,n}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\qquad + \sqrt{n}\, \biggl|\sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l,n} - \sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\qquad + \sqrt{n}\, \biggl|\sum_{k=0}^m \sum_{l=1}^M A_{k,l} B_{n-k,l} - \mathsf{P}(Z_n>0)\biggr| \leqslant \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.83}
$$
В силу произвольности выбора $\varepsilon>0$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\, |\mathsf{P}(Z_{n,n}>0)-\mathsf{P}(Z_n>0)| \to 0, \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{4.84}
$$
Из леммы 12 следует справедливость предположения 2. В силу предположений 1 и 2 выполнена теорема 1 для ВПСС $\{Z_n,\,n \geqslant 0\}$, откуда получаем
$$
\begin{equation}
\sqrt{n}\, \mathsf{P}(Z_n>0) \to \Upsilon \frac{e^{c_{-}}}{\sqrt{\pi}}, \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{4.85}
$$
Из соотношений (4.84) и (4.85) следует искомая асимптотика (2.1).
Теорема 2 доказана. БлагодарностиАвтор глубоко признателен А. В. Шкляеву за постоянную поддержку работы. Автор благодарит анонимных рецензентов за замечания, позволившие значительно улучшить текст. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|