| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Биллиард с проскальзыванием на любой рациональный угол В. Н. Завьяловab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9916e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеЗа последние годы были получены существенные продвижения в теории интегрируемых биллиардов. Так, в работах А. А. Глуцюка [1], А. Е. Миронова и М. Бялого [2], В. Ю. Калошина и А. Соррентино [3] было доказано несколько аналогов и частных случаев знаменитой гипотезы Биркгофа. Опуская некоторые детали, условие принадлежности гладких дуг границы стола семейству софокусных эллипсов и гипербол или его вырожденному аналогу (например, концентрическим окружностям и их радиусам) оказалось не только достаточным условием интегрируемости, но и необходимым. Иными словами, класс интегрируемых биллиардов (в отсутствие потенциала) в случае плоских столов оказался весьма “узким” и тесно связанным с семействами квадрик. В работах В. В. Ведюшкиной [4], [5] было построено интегрируемое обобщение плоских софокусных или круговых биллиардов – кусочно плоские столы-комплексы $X$ с коммутирующими перестановками. Такие столы называют биллиардными книжками: 2-клетки (листы книжки) изометричны столам плоских биллиардов, а склейка происходит по изометричной склейке гладких дуг их границ (по корешкам книжки). Каждый корешок оснащен некоторой циклической перестановкой $\sigma$ (действующей на инцидентных ему листах), которая задает переход шара с листа $i$ на лист $\sigma(i)$ после удара о данную дугу склейки или границу. Коммутирование перестановок в вершине обеспечивает непрерывность биллиардного потока. Важный подкласс таких систем образуют топологические биллиарды (см. [6], [7]): их столы являются кусочно плоскими двумерными многообразиями, и все циклические перестановки имеют длину либо 1, либо 2. Если при проекции склеенного стола на плоскость все корешки переходят в дуги квадрик с общими фокусами, то биллиард на столе-комплексе или многообразии сохраняет интегрируемость плоских биллиардов в областях, являющихся изометричными проекциями 2-клеток склеенного стола (причем у всех у них квадратичные дополнительные интегралы будут одинаковыми). То же верно для вырождений софокусного семейства, например, для концентрических окружностей и их радиусов (в последнем случае интеграл будет линейным). Простейшим примером интегрируемого биллиардного стола с линейным дополнительным интегралом служит гомеоморфный сфере стол, склеенный из двух одинаковых кругов по их общей граничной окружности. Одна из изучаемых в работе систем является модификацией другого топологического биллиарда, стол которого склеен из двух одинаковых круговых колец по их общей внутренней граничной окружности. Фазовое пространство интегрируемого биллиарда обладает структурой слоения на совместные уровни гамильтониана $H = |\vec{v}|^2$ и дополнительного интеграла, но, вообще говоря, является лишь топологическим многообразием, склеенным из частей, на которых заданы гладкая и симплектическая структуры. Для плоской области $\Omega \subset \mathbb{R}^2(x,y)$ с кусочно гладкой границей, все углы излома которой равны $\pi/2$, фазовое пространство $M^4$ задается законом упругого отражения с условием равенства углов падения и отражения:
$$
\begin{equation*}
M^4 = \{(P, \vec{v})\mid P \in \Omega,\, \vec{v}\in T_P\mathbb {R}^2,\, |\vec{v}|>0\}/\sim ,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
(P_1, v_1) \sim (P_2, v_2) \quad\Longleftrightarrow\quad P_1=P_2 \in \partial \Omega, \quad |v_1|=|v_2|, \quad v_1+v_2\in T_{P_1} \partial \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\Omega$ есть круг радиуса $R$ с центром в точке $O$, то интегралом является измеряемый в точке отражения шара ориентированный угол $\varphi = \varphi(P, \vec{v}) \in [0, \pi]$ между лучом касательной к окружности $\partial \Omega$ (направленной по часовой стрелке) и лучом $P + \alpha \vec{v}$, $\alpha > 0$. При $\varphi \notin \{0, \pi/2, \pi\}$ шар движется в кольце между окружностями (граница стола $\partial \Omega$ радиуса $R$ и каустика радиуса $r=R \cos \varphi$), а при $\varphi = 0$, $\varphi = \pi$ – по границе стола. При $0 \leqslant \varphi < \pi/2$ шар “обходит” центр круга по часовой стрелке, а при $\pi/2 < \varphi \leqslant \pi$ – против часовой стрелки. При $\varphi = \pi/2$ все траектории являются двухзвенными и каждое звено проходит через центр $O$. Зафиксируем $H = |\vec{v}|^2 = 1$, тогда в неособом изоэнергетическом многообразии $Q^3\colon H = 1$ каждая поверхность уровня интеграла $0 < \varphi < \pi$ связна и гомеоморфна двумерному тору, а каждому особому значению интеграла $\varphi=0$ и $\varphi=\pi$ соответствует слой, гомеоморфный окружности. Напомним, что для интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем, заданных на гладком симплектическом многообразии $M^4$, в работах А. Т. Фоменко и его научной школы была построена теория топологической классификации; см. [8]. Две системы называют лиувиллево эквивалентными в неособых зонах энергии, если существует диффеоморфизм между неособыми уровнями энергии двух систем, $Q_1^3\colon H_1 = h_1$ и $Q_2^3\colon H_2 = h_2$, сохраняющий слоение Лиувилля и направления некоторых критических окружностей. В основе этого подхода лежит теория бифуркаций торов Лиувилля, построенная А. Т. Фоменко (см. [9], [10]) и позволяющая классифицировать невырожденные (боттовские) особенности коранга 1, возможные в интегрируемых системах. Такие особенности называют 3-атомами. В изучаемых нами системах встречаются простейшие атомы типа $A$, $B$. Они имеют тип прямого произведения расслоенной двумерной базы (называемой 2-атомом $A$ и $B$ соответственно) на окружность. Слоение на базе содержит ровно одну критическую точку, невырожденную по Морсу: эллиптическую (минимальную или максимальную) или седловую. На рис. 1 изображены 2-атомы и 3-атомы $A$ и $B$, а также иллюстрация атома $A$ как максимума или минимума функции $z$ на поверхности. Инвариант Фоменко–Цишанга, классифицирующий системы с точностью до лиувиллевой эквивалентности (см. [11]), является конечным графом с оснащением, ребра которого соответствуют однопараметрическим семействам регулярных торов Лиувилля, а вершины – их бифуркациям. Каждой вершине графа приписан тип атома-бифуркации, каждому ребру – пара числовых меток $r$, $\varepsilon$, а некоторому связному подграфу-семье, не содержащему эллиптических атомов $A$, приписана целочисленная метка $n$. Инвариант Фоменко–Цишанга также называют меченой молекулой, а тот же инвариант без числовых меток $r$, $\varepsilon$, $n$ – молекулой или грубой молекулой. С помощью этих инвариантов удалось исследовать многие интегрируемые случаи динамики и математической физики, системы геодезических потоков на двумерных поверхностях и открыть нетривиальные эквивалентности между такими системами (см. [8; т. 2]). Числовые метки можно вычислить, выбрав на граничных торах 3-атомов допустимые базисы $\lambda_i$, $\mu_i$ и записав матрицы склейки, выражающие циклы допустимого базиса на граничном торе одного 3-атома через циклы допустимого базиса на граничном торе другого 3-атома. Матрица склейки $C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ состоит из целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$ и $\det C = -1$. Тогда метки $r$, $\varepsilon$ следующие:
$$
\begin{equation*}
b \ne 0 \quad \Longrightarrow \quad r = \frac ab, \quad \varepsilon =\operatorname{sgn}b; \qquad b = 0 \quad \Longrightarrow \quad r = \infty, \quad \varepsilon =\operatorname{sgn}a.
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае правила выбора циклов приведены в [8; т. 1, гл. 4]. Мы остановимся на случае атома $A$ и его граничного тора. Цикл $\lambda$ стягивается в точку внутри полнотория. Цикл $\mu$ дополняет цикл $\lambda$ до базиса и гомологичен критической окружности $3$-атома, ориентированной гамильтоновым полем функции $H$. Направление цикла $\lambda$ выбирается из условия на ориентацию многообразия $Q^3$ парой касательных векторов и вектором нормали к 3-атому. Отметим, что цикл $\mu$ выбирается неоднозначно: $\mu + k \lambda$ для $k \in \mathbb{Z}$ также может быть выбран в качестве цикла $\mu'$. Случай $r = \infty$ означает гомологичность в $Q^3$ однозначно определенных $\lambda$-циклов для двух смежных по ребру 3-атомов. Простейшим примером молекулы является молекула вида $A$–$A$. Тогда изоэнергетическое многообразие $Q^3$ склеено из двух полноторий. Предложение. Изоэнергетическая поверхность $Q^3$, на которой задано слоение Лиувилля интегрируемой системы с молекулой $A$–$A$, гомеоморфна: $\bullet$ трехмерной сфере $S^3$, если $r=0$; $\bullet$ трехмерному проективному пространству $\mathbb {R}P^3$, если $r=1/2$; $\bullet$ прямому произведению окружности и сферы $S^1\times S^2$, если $r=\infty$; $\bullet$ линзовому пространству $L(q, p)$, если $r=p/q$, где $0<p<q$. (Отметим, что $L(2,1)$ гомеоморфно $\mathbb {R}P^3$.) Для описанного выше биллиарда внутри круга молекула имеет вид $A$–$A$ ($Q^3$ склеено из двух полноторий), а метки есть $r = 0$, $\varepsilon = 1$. Действительно, разрежем $Q^3$ по прообразу $\pi^{-1}(S^1\colon \{r = R_0\})$ окружности c центром $O$ и радиусом $0 < R_0 < R$ (при отображении проекции $\pi\colon Q^3 \to \mathbb{R}^2$). Для той же проекции прообразами диска $r < R_0$ и кольца $R_0 < r \leqslant R$ являются два полнотория. Несложно видеть, что на торе $\pi^{-1}(S^1 : \{r = R_0\})$ цикл $\lambda$ допустимого базиса одного полнотория склеится с циклом $\mu$ допустимого базиса другого полнотория, и наоборот. Тем самым, $Q^3$ гомеоморфно сфере $S^3$ (известное расслоение Хопфа), т.е. метка есть $r = 0$. Хотя софокусные и круговые биллиарды не являются, вообще говоря, гладкими системами, по их слоениям оказалось возможным вычислять аналоги инвариантов Фоменко–Цишанга. Для некоторых плоских софокусных биллиардов эти инварианты были вычислены В. Драговичем и М. Раднович (см. [12]), а для произвольных плоских софокусных биллиардов (см. [13]) и произвольных топологических софокусных биллиардов (см. [6], [14]) были вычислены В. В. Ведюшкиной. В работах А. Т. Фоменко и В. В. Ведюшкиной были построены биллиарды, реализующие инварианты Фоменко–Цишанга различных систем механики и физики (см. [15], [16]), т.е. моделирующие механические системы (в том числе с интегралами степеней 3 и 4 по компонентам импульса) при помощи биллиардов с “каноническим” квадратичным интегралом (см. [17]). Кроме того, топологическими биллиардами и биллиардными книжками были промоделированы все геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях, имеющие линейный (с помощью круговых биллиардов) или квадратичный (с помощью софокусных биллиардов) по компонентам импульса дополнительный интеграл (см. [18]). Также были получены существенные продвижения в доказательстве общей гипотезы А. Т. Фоменко о биллиардах, сформулированной в работе [19]: В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой доказано, что биллиардными книжками реализуются произвольные боттовские 3-атомы (см. [4], [5]) и база слоения Лиувилля с такими особенностями (см. [20]), т.е. молекула без числовых меток. В работах А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкиной и В. А. Кибкало изучалась “локальная” версия общей гипотезы (см. [21]): было доказано, что реализуются произвольные значения числовых меток $r, \varepsilon$ на ребре молекулы (см. [22]) и целочисленной метки $n$ на подграфах-семьях (см. [23]), а также некоторые комбинации меток (см. [24]). Также было показано, что изоэнергетическая поверхность $Q^3$ биллиардной книжки гомеоморфна трехмерному многообразию (см. [25]) и построены биллиарды, для которых $Q^3$ гомеоморфно трехмерному тору, произвольному линзовому пространству $L(q,p)$ для взаимно простых $0 < p < q$ (см. [26]) и связным суммам произвольных линзовых пространств $L(q_i, p_i)$ и произведений $S^1 \times S^2$ (см. [27]). Как следствие $Q^3$ биллиарда может не быть многообразием Зейферта, как, например, связная сумма трех линз $L(2,1)$, гомеоморфных трехмерному проективному пространству. Другое новое обобщение классических плоских биллиардов – биллиарды с проскальзыванием – было недавно предложено А. Т. Фоменко (см. [28]). С их помощью удалось развить результаты работы [18], где биллиардами на столах-комплексах были промоделированы интегрируемые геодезические потоки на двумерных сфере $S^2$ и торе $T^2$, на случай неориентируемых двумерных конфигурационных многообразий. Напомним, что в аналитической категории, согласно знаменитому результату В. В. Козлова из [29], интегрируемые геодезические потоки на двумерном многообразии $M^2$ существуют, только если это многообразие есть сфера $S^2$, тор $T^2$, проективная плоскость $\mathbb{R}P^2$ или бутылка Клейна $\mathrm{Kl}^2$. Круговые биллиарды с проскальзыванием на угол $\pi$ интегрируемы и позволяют реализовать произвольный геодезический поток на проективной плоскости $\mathbb{R}P^2$ или бутылке Клейна $\mathrm{Kl}^2$, интегрируемый при помощи линейного интеграла (см. [30]). Аналогично было определено проскальзывание на угол $\pi$ вдоль эллиптических границ софокусных биллиардов в [28]. В той же работе такими биллиардами были промоделированы примеры геодезических потоков на $\mathbb{R}P^2$ и $\mathrm{Kl}^2$, имеющих квадратичный интеграл. Данные результаты естественно развивают результаты работы [18] на случай неориентируемых многообразий. Пусть угол $\alpha \in[0,2\pi]$ соизмерим с $\pi$. Пусть граница стола $\Omega$ состоит из окружностей с общим центром $O$. Введем на одной из них проскальзывание: после удара о границу с углом падения $\phi$ в точке $P \in \partial \Omega$ частица продолжает движение с тем же углом отражения и модулем вектора скорости, но не из точки $P$, а из ее образа при повороте вдоль окружности на угол $\alpha$ в том же направлении, как ориентировались касательные (в настоящей работе – по часовой стрелке). Такие биллиарды интегрируемы. Рассмотрим касательную к каустике. Вследствие симметрии круга при любом повороте относительно своего центра каустика перейдет в себя, а касательная перейдет в другую касательную к каустике. Все отрезки траектории при повороте будут также касаться каустики, одной для всех отрезков, следовательно, полученный биллиард интегрируем (рис. 2). Замечание 1. Соизмеримость с $\pi$ угла проскальзывания является обоснованным ограничением. Связано это с тем, что при угле $\alpha$, несоизмеримом с $\pi$, на особом слое, соответствующем минимуму или максимуму интеграла ($\varphi = 0$ и $\varphi = \pi$ соответственно), будут отождествлены точки $\varphi_0 + k \alpha$, $k \in \mathbb{Z}$, различающиеся одним или несколькими поворотами на угол $\alpha$. Множество отождествленных точек будет всюду плотным на особой окружности, но при этом существуют точки окружности, которые в данном множестве не лежат. Например, фиксируем любую точку на окружности. Отождествим ее со всеми образами поворота данной точки на угол $\alpha$ относительно центра круга. Совершим поворот данной точки на угол $\pi$. Образ этого поворота не будет лежать в множестве точек, отождествленных с данной. Допустим, что это не так. Тогда угол $\pi$ можно представить в виде $p\alpha-2\pi q$, следовательно, угол $\alpha$ рационально выражается через $\pi$. Получаем противоречие. Любая окрестность множества точек, отождествленных с данной, содержит в себе все точки окружности. Следовательно, комплекс, получаемый после факторизации по действию группы, порожденной поворотом на угол $\alpha$, является нехаусдорфовым топологическим пространством. Отсюда, в частности, следует, что данный слой и уровень постоянной энергии не гомеоморфны гладким многообразиям. § 2. Биллиард в круге с проскальзыванием на любой рациональный уголСформулируем и докажем основное утверждение настоящей статьи. Теорема 1. Пусть $m$ и $k$ – два взаимно простых числа таких, что $m< 2k$. Пусть $l$ – такое целое число, что для решения $l$, $i$ диофантова уравнения $2ki-lm=(m,2k)$, где $(m,2k)$ – НОД чисел $m$ и $2k$, вектор $\begin{pmatrix} l \\ i \end{pmatrix}$ имеет наименьшую длину среди всех решений данного диофантова уравнения. Рассмотрим биллиард в круге с проскальзыванием на угол ${m\pi}/{k}$ вдоль граничной окружности. Инвариант Фоменко–Цишанга такого биллиарда имеет вид $A$–$A$ с метками метка $r$ равна $(1+2kl)/{k^2}$ в случае четного $m$ и равна $(1+2kl)/{(4k^2)}$ в случае нечетного $m$.Из вида молекулы следует, что изоэнергетическое многообразие $Q^3$ гомеоморфно линзовому пространству $L(4k^2,(m,2k)[(m,2k)+2kl])$. Сделаем замену
$$
\begin{equation*}
\alpha=\frac{2k}{(m,2k)}, \qquad \beta=\frac{m}{(m,2k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда наше диофантово уравнение преобразуется в $\alpha i-\beta l=1$, а $r$-метка примет вид $r=(1+\alpha l)/{\alpha^2}$. Заметим, что числа $\alpha$ и $l$ не могут иметь общих делителей из-за существования решения диофантова уравнения. Обозначим $q=4k^2$, $p=(m,2k)[(m,2k)+2kl]$. Следствие. Пусть $q\ne s^2$ для $s\in\mathbb{N}$, $0<p<q$ и числа $p,q \in \mathbb{N}$ взаимно просты. Тогда $L(q, p)$ не может быть изоэнергетическим многообразием биллиарда в диске с проскальзыванием на соизмеримый с $\pi$ угол. Рассмотрим теперь биллиард с проскальзыванием на соизмеримый с $\pi$ угол $\psi={m\pi}/{k}$ вдоль границы односвязной области $\Phi(D^2) \subset \mathbb{R}^2$ плоскости, полученной из диска $D^2$ при диффеоморфизме $\Phi$. Параметризуем граничную окружность: $\gamma(t) = \partial D^2$, $t \in [0, 2\pi)$. Внутри области $\Phi(D^2)$ частица движется по геодезическим плоской метрики. Пусть отражение упругое, т.е. модуль вектора скорости $H = \vec{v}^2$ сохраняется при отражении. Тем самым, изоэнергетическая поверхность $Q^3$ инвариантна. После удара о границу $\partial \Phi(D^2)$ в точке $P = \Phi(\gamma(t_0))$ частица продолжит движение из точки $P'=\Phi(\gamma(t_0+\psi))$ с условием, что угол падения в точке $P$ равен углу отражения в точке $P'$. Теорема 2. Изоэнергетическое многообразие $Q^3$ биллиарда с проскальзыванием на соизмеримый с $\pi$ угол $\psi = {m\pi}/{k}$ вдоль границы односвязной области, являющейся диффеоморфным образом окружности, гомеоморфно линзовому пространству $L(q,p)$, где $q$, $p$ вычисляются по $k$, $m$ согласно теореме 1. Замечание 2. При диффеоморфизме $\Phi$ топологический тип $Q^3$ не меняется, т.е. истинность более общей теоремы 2 (не требующей интегрируемость системы биллиарда) удается доказать на основе теории топологических инвариантов слоений интегрируемых систем, примененной к доказательству теоремы 1. Доказательство теоремы 1. Зафиксируем значение дополнительного интеграла. В каждой точке, лежащей внутри кольца, образованного каустикой и границей биллиарда, можно провести ровно две касательных к каустике. Вектор скорости материальной точки в фиксированный момент времени направлен вдоль одной из этих касательных. Каждой касательной параллельны по два вектора, один из которых направлен к каустике, другой от нее. Также два вектора соответствуют движению по часовой стрелке и два вектора – движению против часовой стрелки. Движению по часовой стрелке соответствуют значения дополнительного интеграла $<{\pi}/{2}$, а движению против часовой стрелки соответственно значения $>{\pi}/{2}$. Каждая пара точка–вектор (точка стола и вектор скорости частицы, находящейся в ней) соответствует точке фазового пространства.
Из точки стола, лежащей на каустике, может быть проведена ровно одна касательная прямая к ней. Следовательно, на ней два вектора скорости, направленных по часовой стрелке, склеиваются друг с другом. Аналогичное верно для направленных против часовой стрелки двух векторов. На границе происходит склейка пары точка–вектор, вектор скорости которой направлен от каустики, со следующей парой точка–вектор: точка получается поворотом радиус-вектора на угол ${m\pi}/{k}$, а вектор скорости в ней направлен к каустике. Точки внутри кольца, образованного двумя окружностями (каустикой и границей биллиардного стола), снабдим векторами скорости, направленными по часовой стрелке. Получим на фазовом многообразии два кольца, одно из которых соответствует парам точек с векторами скорости, направленными к каустике, а другое – парам точек с векторами скорости, направленными от каустики. Ввиду склейки пар точка–вектор на границе биллиардного стола и каустике получаем, что регулярная поверхность уровней интегралов $H$, $\varphi$ является тором, при значениях дополнительного интеграла $0<\varphi<{\pi}/{2}$. Аналогичное верно при значениях дополнительного интеграла ${\pi}/{2}<\varphi<\pi$. Вследствие такой склейки двух колец в тор возникает естественная проекция тора на биллиардный стол. Будем называть кольцо, состоящее из пар точка–вектор, вектор которых направлен от каустики, “нижней” половиной тора, а второе кольцо – “верхним”. Кривые на торе могут быть изображены на этих двух кольцах (рис. 3). Рассмотрим значение дополнительного интеграла $\varphi={\pi}/{2}$. В пределе каустика сжимается в точку (центр окружности) и все траектории проходят через центр окружности. Отступим от центра на малое значение радиуса $\varepsilon$, тогда каждую точку получаемой окружности можно снабдить векторами скорости, направленными к центру или от центра. Получим на фазовом многообразии две окружности, одна из которых состоит из точек окружности радиуса $\varepsilon$ с векторами скорости, направленными к центру, а другая – из точек с векторами скорости, направленными от центра. Тогда при $\varepsilon=0$ эти две окружности склеиваются между собой следующим образом: точка с вектором скорости, направленным к центру, склеивается с точкой, диаметрально противоположной ей относительно центра окружности, с вектором скорости, направленным от центра (рис. 4). Следовательно, при значении дополнительного интеграла $\varphi={\pi}/{2}$ регулярный слой гомеоморфен тору. При значении дополнительного интеграла $\varphi=0$ или $\varphi=\pi$ в каждой точке возможно существование только одного вектора скорости, поэтому поверхность уровня является окружностью. Получаем, что молекула имеет вид $A$–$A$, т.е. изоэнергетическая поверхность является склейкой двух полноторий. Для полного описания топологии слоения необходимо понять, как атомы склеиваются друг с другом. На граничных торах атома $A$ вводятся допустимые системы координат, базисные циклы которых обозначаются $\lambda$ и $\mu$. Цикл $\lambda$ выбирается однозначно и стягивается в точку внутри полнотория. В качестве цикла $\mu$ выбирается любой цикл, дополняющий цикл $\lambda$ до базиса. При стремлении к особому слою цикл $\mu$ переходит в критическую окружность. Это позволяет однозначно определить на нем ориентацию (она должна совпасть с ориентацией критической окружности). Выбранные циклы изобразим в проекции на стол биллиарда. Меридианом тора в проекции на биллиардный стол назовем прообраз каустики, или точки при $\varphi={\pi}/{2}$, ориентация которого совпадает с ориентацией границы, где граница ориентирована по часовой стрелке. У системы есть $S^1$-симметрия, порождаемая поворотом вокруг центра окружностей. Относительно нее все торы являются поверхностями вращения, и под параллелью на произвольном торе Лиувилля системы будем понимать цикл, получаемый при действии группы симметрией на произвольную точку. В случае биллиарда без проскальзывания проекцией параллели тора на биллиардный стол является радиальный отрезок, соединяющий каустику и граничную окружность стола и оснащенный векторами скорости, направленными как к каустике, так и от каустики (оба вектора направлены по часовой стрелке для $0< \varphi < \pi/2$ и против для $\pi/2 < \varphi < \pi$). Как уже было замечено, в биллиарде с проскальзыванием “нижняя” половина тора (которая соответствует точкам с векторами скорости, направленными от каустики) совершает поворот при проецировании на биллиард, так что при проецировании на биллиардный стол параллель будет состоять из отрезка от границы до каустики с векторами скорости, направленными к каустике, и отрезка, полученного обратным поворотом отрезка от границы до каустики с векторами скорости, направленными от каустики (рис. 5). Данные отрезки действительно образуют цикл на торе. Напомним, что тор склеен из двух колец, которые получены из пар точка–вектор. Одно из этих колец образовано из пар точек с векторами скорости, направленными к каустике, причем внутренность кольца остается неподвижной. Второе кольцо образовано из пар точек с векторами скорости, направленными от каустики, и к кольцу применен поворот для склейки в тор. Отрезок с векторами скорости, направленными к каустике, на торе остается неподвижным, а отрезок с векторами скорости, направленными от каустики, был получен применением обратного поворота, значит, на торе он перейдет в отрезок, подобный отрезку с векторами скорости, направленными к каустике, и склеится с ним по точкам, образы которых на биллиардном столе при проекции тора лежат на границе и каустике соответственно. Сначала предположим, что атом $A$ соответствует движению по часовой стрелке. Рассмотрим вертикальный отрезок от границы до каустики, выходящий из точки $(0,R)$. Совершим поворот данного отрезка на угол $m\pi/k$ относительно центра круга. Так как точки на границе отождествлены также с поворотом радиус-вектора на угол $m\pi/k$, то у данного вертикального отрезка и результата его поворота отождествлены точки, лежащие на границе. Следовательно, их объединение также является отрезком. Продолжим данную операцию поворота вертикального отрезка на углы, кратные $m\pi/k$, и объединим результаты поворота с предыдущими отрезками. Так как $2m\pi$ также кратен $m\pi/k$, то поворот вертикального отрезка переведет его в себя. Снабдим точки полученных отрезков векторами скорости, направленными по часовой стрелке. Каждый отрезок с векторами скорости, направленными по часовой стрелке, соответствует двум отрезкам на фазовом многообразии (один отрезок с векторами скорости, направленными от каустики, и один отрезок с векторами скорости, направленными к каустике). Точка, лежащая на границе, с вектором скорости, направленным от каустики, отождествлена на фазовом многообразии с точкой, лежащей на границе и полученной поворотом данной на угол $m\pi/k$ относительно центра круга, с вектором скорости, направленным к каустике. То есть точки, лежащие на границе, отождествлены между собой поворотом на угол $m\pi/k$, тогда как на фазовом многообразии отождествлены две пары точка–вектор. Также в замечании 1 уже было сказано, что векторы скорости, направленные от каустики и к каустике, в точках, лежащих на каустике, склеены. Соответственно на фазовом многообразии прообразы отрезков склеены по прообразам своих концевых точек с прообразами концевых точек какого-то другого отрезка, причем с разными для прообраза каждой концевой точки. Получим окружность на фазовом многообразии, лежащую на торе, который является совместной поверхностью уровня интеграла энергии и интеграла $\varphi$. Это искомый цикл $\lambda$, так как при уменьшении значения интеграла $\varphi$ радиус каустики будет увеличиваться до значения радиуса граничной окружности биллиарда. При этом отрезки будут уменьшаться, пока не превратятся в точку. Следовательно, полученный цикл стягивается в точку внутри полнотория (рис. 6). Предполагаем, что $(m,k)=1$. Следовательно, $(m,2k)$ принимает значения либо 1, либо 2. За один отрезок в проекции цикла на стол цикл совершает сдвиг вдоль меридиана тора на угол $m\pi/k$ и один оборот вдоль параллели. Необходим оборот цикла по меридиану, чтобы вернуться в исходное положение. Для случая $(m,2k)=1$ получаем, что количество отрезков равно $2k$, а для $(m,2k)=2$ число отрезков равно $k$. То есть количество отрезков равно ${2k}/{(m,2k)}$. Количество оборотов по меридиану равно
$$
\begin{equation*}
\frac{m\pi}{k}\cdot\frac{2k}{(m,2k)}\colon 2\pi=\frac{m}{(m,2k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, цикл $\lambda$ имеет разложение по параллели и меридиану тора
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \dfrac{2k}{(m,2k)} \\ \dfrac{m}{(m,2k)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим цикл $\mu$. Он должен пересекать цикл $\lambda$ в одной точке. Цикл $\lambda$ делит отрезками область внутри кольца на секторы. Цикл $\mu$ строим следующим образом: мы выбираем две точки на границе, лежащие в соседних секторах, соединяем их кривой, пересекая при этом один раз цикл $\lambda$. Далее отрезками, подобным тем, которые были в составе цикла $\lambda$, соединяем эти две точки, используя проскальзывание. Количество секторов совпадает с количеством отрезков в составе цикла $\lambda$ и равно ${2k}/{(m,2k)}$. Совершим поворот цикла $\lambda$ на угол относительно центра круга вдоль часовой стрелки, цикл перейдет в себя. При этом повороте каждый сектор перейдет в соседний с ним сектор. Заметим, что поворот на угол ${(m,2k)\pi}/{k}$ является поворотом на угол, кратный $m\pi/k$ по модулю $2\pi$. Это следует из того, что число $(m,2k)$ можно представить в виде линейной комбинации чисел $m$ и $2k$, т.е. существуют такие целые $u$ и $v$, что $(m,2k)=um-2kv$.Как известно, наибольший общий делитель двух чисел является минимальным по модулю числом, отличным от нуля, который представляется в виде линейной комбинации двух чисел с целыми коэффициентами. Подставим в угол поворота вместо $(m,2k)$ данную комбинацию и получим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(m,2k)\pi}{k}=\frac{(um-2kv)\pi}{k}=u\frac{m\pi}{k}-2\pi v.
\end{equation*}
\notag
$$
Поворот на угол $2\pi$ не меняет положение точек, поэтому данное выражение можно сократить на число, кратное $2\pi$, и получим $u{m\pi}/{k}$.
Теперь построим цикл $\mu$. Рассмотрим две точки на границе биллиарда, которые различаются поворотом на угол ${(m,2k)\pi}/{k}$ (т.е. лежащие в соседних секторах) относительно центра круга, но не лежащие на отрезках цикла $\lambda$. Соединим две отмеченные точки на границе кривой так, чтобы кривая проходила через точку, лежащую на пересечении каустики и отрезка цикла $\lambda$, который лежит между двумя отмеченными точками на границе. Кривая не должна иметь других пересечений с циклом $\lambda$. Из двух отмеченных точек выберем ту, которая перейдет в другую поворотом на угол ${(m,2k)\pi}/{k}$ относительно центра круга по часовой стрелке, и назовем ее изначальной для будущего цикла. Совершим поворот другой точки на угол $m\pi/k$ относительно центра круга по часовой стрелке. Из полученной точки отложим радиальный отрезок между каустикой и границей, оснащенный векторами скорости (из таких отрезков состоит цикл $\lambda$). Будем совершать поворот этого отрезка на углы, кратные $m\pi/k$, относительно центра круга вдоль часовой стрелки, пока на отрезке не будет лежать изначальная точка цикла. Наш цикл будет состоять из объединения всех полученных при вышеуказанных поворотах отрезков и ранее выбранной кривой, соединяющей точки из двух соседних секторов. Снабдим точки отрезков векторами скорости, направленными по часовой стрелке к каустике и от каустики. Кривую снабдим векторами скорости, направленными к каустике до пересечения с ней, и векторами скорости, направленными от каустики после пересечения с ней. Покажем, что, ориентировав этот цикл вдоль векторов в каждой точке, мы получим искомый цикл $\mu$. Во-первых, цикл пересекает $\lambda$ только в одной точке, так как кривая пересекает его в одной точке, лежащей также на каустике, а отрезки не имеют пересечения, так как они лежат внутри секторов, образованных циклом $\lambda$. Во-вторых, прообраз кривой на фазовом многообразии является отрезком. Границы кривой и отрезков, снабженных векторами скорости, направленными по часовой стрелке, склеиваются попарно на фазовом многообразии в окружность. Следовательно, цикл $\mu$ есть цикл на торе изоэнергетического многообразия. При стремлении радиуса каустики к радиусу граничной окружности отрезки цикла $\mu$ стянутся в точку, а кривая стянется в дугу граничной окружности длины ${(m,2k)R}/(2k)$. Так как на граничной окружности склеиваются точки, различающиеся поворотом на угол $m\pi/k$, но (как уже было показано) это и есть склейка точек с поворотом на угол ${(m,2k)\pi}/{k}$, следовательно, любая дуга длины ${(m,2k)R}/(2k)$ содержит в себе все точки граничной окружности. Получаем, что цикл $\mu$ в пределе становится критической окружностью, причем ориентация у критической окружности и цикла $\mu$ будет совпадать. Следовательно, цикл $\mu$ удовлетворяет всем необходимым условиям дополняющего цикла базиса системы координат. Пусть количество отрезков, входящих в состав цикла $\mu$, равно $l-1$. За один отрезок в проекции цикла на стол цикл совершает сдвиг вдоль меридиана тора на угол $m\pi/k$ и один оборот вдоль параллели. Кривая в проекции цикла на стол совершает один оборот вокруг параллели и сдвиг вдоль меридиана на угол ${(m+(m,2k))\pi}/{k}$, так как кривую можно представить в виде объединения отрезка и части каустики. Сдвиг от отрезка по часовой стрелке равен ${m\pi}/{k}$, а часть каустики соответствует сдвигу ${(m, 2k)\pi}/{k}$. Следовательно, количество оборотов вдоль параллели равно $l$, а количество оборотов вдоль меридиана равно Поскольку последнее число – это количество оборотов цикла вдоль меридиана, то полученное число кратно $2\pi$. Тогда имеем соотношение Умножим это соотношение на $k$ и разделим на $\pi$, получим $lm+(m,2k)=2ki$. Следовательно, $2ki-lm=(m,2k)$ – диофантово уравнение на $l$ и $i$, причем $l$ и $i$ должны быть минимальными по модулю решениями данного диофантова уравнения, иначе получаем неоднократный обход по циклу $\mu$, что соответствует неоднократному пересечению $\lambda$. Получаем, что разложение по меридиану и параллели тора цикла $\mu$ равно $\begin{pmatrix} l \\ i \end{pmatrix}$.Теперь рассмотрим два вертикальных отрезка, идущих от граничной окружности стола до каустики, один из которых будет выходить из точки $(0,R)$, а другой – из точки $(0,-R)$. Снабдим “вышележащий” отрезок (т.е. отрезок, исходящий из точки $(0,R)$) векторами скорости, направленными по часовой стрелке к каустике, а “нижележащий” отрезок – векторами скорости, направленными по часовой стрелке от каустики. Рассмотрим точки этих отрезков на каустике. Как уже было замечено, в точках каустики векторы скорости, направленные от каустики и направленные к каустике, будут склеиваться. Соединим эти две точки, которые являются диаметрально противоположными, половиной каустики так, чтобы путь от “вышележащей” точки на каустике до “нижележащей” был направлен по часовой стрелке. При этом снабдим эту половину каустики векторами скорости, направленными по часовой стрелке. Получим комплекс, гомеоморфный отрезку (рис. 7). Будем совершать операцию поворота данного комплекса на углы, кратные $m\pi/k$, с последующим объединением образа поворота с комплексом, пока комплекс не перейдет в себя при очередном повороте. На торе комплекс (снабженный векторами так, как было указано ранее) будет гомеоморфен отрезку. Объединение комплекса с результатами его поворотов породит склейку на торе концевых точек прообразов комплексов попарно между собой в окружность. Это будет вспомогательный цикл $\eta$. Замечание 3. Построенный нами цикл $\eta$ на торе является кривой с самопересечениями. Чтобы этого избежать, точки отрезков, входящих в состав комплекса, будем при очередном повороте сдвигать по каустике на довольно малое значение так, чтобы угол между радиус-векторами этих точек и горизонтальной осью координат увеличивался. Рассмотрим малую окрестность каустики. Половину каустики, входящую в состав комплекса, изменим как кривую в малой окрестности каустики так, чтобы она пересекала каустику только в точках, которые принадлежат отрезкам, входящим в состав комплекса. Полученная кривая уже не является частью каустики, так как не пересекает ее. Каждый образ комплекса цикл $\eta$ делает один оборот вдоль параллели, а вдоль меридиана совершает поворот на угол Если число $m$ четное, то поворот отрезка цикла $\lambda$ на угол $\pi$ как комбинации поворотов на угол $m\pi/k$ оказывается невозможен. Отсюда получаем, что в цикле $\eta$ будет вдвое больше радиальных отрезков, нежели в цикле $\lambda$. Следовательно, у цикла $\eta$ оборотов вдоль параллели тора будет в два раза больше, чем в цикле $\lambda$. Если число $m$ нечетное, то ситуация оказывается обратной, сдвигов вдоль параллели циклов $\lambda$ и $\eta$ будет одинаковое количество. Соответственно количество сдвигов можно описать числом $2k$. Количество оборотов вдоль меридиана при этом равно Следовательно, разложение цикла $\eta$ имеет вид $\begin{pmatrix} 2k \\ k+m \end{pmatrix}$.Замечание 4. Отдельно рассмотрим случай, когда $m$ и $k$ нечетные. В данном случае в разложении цикла $\eta$ будет совершаться двойной обход по циклу, т.е. разложение цикла $\eta$ можно уменьшить вдвое, но для остальных случаев это неверно. Данное удвоение не повлияет на результат, так как циклы $\eta$, которые соответствуют атомам $A$ движения по часовой стрелке и движения против часовой стрелки, будут переходить друг в друга, и их разложения по циклам $\lambda$ и $\mu$, необходимые нам для подсчета меток, увеличатся также вдвое; но ввиду увеличения вдвое обеих частей равенства результат не изменится. Рассмотрим еще один цикл $\nu$, который является каустикой с векторами скорости, направленными по часовой стрелке (рис. 8). Очевидно, что его разложение имеет вид $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, так как совершается всего один оборот вдоль меридиана. Подсчитаем разложение циклов $\eta$ и $\nu$ по циклам $\lambda$ и $\mu$. Для начала подсчитаем разложение цикла $\eta$:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \dfrac{2k}{(m,2k)} & l \\ \dfrac{m}{(m,2k)} & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_\eta \\ y_\eta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2k \\ k+m \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определитель левой матрицы равен $(2ki-lm)/(m,2k)=1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x_\eta \\ y_\eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & -l \\ -\dfrac{m}{(m,2k)} & \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2k \\ k+m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (m,2k)-lk \\ \dfrac{2k^2}{(m,2k)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом получаем, что разложение цикла $\nu$ равно
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x_\nu \\ y_\nu \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -l \\ \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти разложения образуют матрицу
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \eta^+ \\ \nu^+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (m,2k)-lk & \dfrac{2k^2}{(m,2k)} \\ -l & \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^+ \\ \mu^+ \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda^+$ и $\mu^+$ суть циклы $\lambda$ и $\mu$ атома $A$, соответствующего движению по часовой стрелке. Циклы $\eta$ и $\nu$ мы будем обозначать $\eta^+$ и $\nu^+$.
Теперь рассмотрим атом $A$, соответствующий движению против часовой стрелки. В цикле $\lambda^+$ изменим векторы скорости, направленные по часовой стрелке, на векторы скорости, направленные против часовой стрелки, и получаемый цикл обозначим $\lambda^-$. Следовательно, цикл $\lambda^-$ имеет такое же разложение по меридиану и параллели тора, как и цикл $\lambda^+$. Проделаем ту же операцию с циклом $\mu^+$; полученный цикл стягивается на окружность на атоме $A$. Данный цикл будет ориентирован по часовой стрелке, а ориентация критической окружности атома $A$ направлена против часовой стрелки. Изменим ориентацию цикла на противоположную и получим цикл $\mu^-$. Цикл $\mu^-$ имеет такое же разложение, как и цикл $\mu^+$, но знаки компонент разложения будут противоположными (рис. 9). При задании цикла $\eta^+$ был использован комплекс, склеенный из двух отрезков и половины каустики. Для построения цикла $\eta^-$ построим аналогичный комплекс, который будет состоять из тех же двух отрезков, но уже из другой половины каустики. Заметим, что другая половина каустики также соединяет концевые точки отрезков, которые лежат на каустике. Снабдим векторами полученный комплекс так же, как и в комплексе для цикла $\eta^+$. А именно, “вышележащий” отрезок снабдим векторами скорости, направленными против часовой стрелки к каустике. “Нижележащий” отрезок снабдим векторами скорости, направленными по часовой стрелке от каустики. Также снабдим половину каустики векторами скорости, направленными против часовой стрелки. Совершим операцию поворота на кратные $m\pi/k$ углы относительно центра круга с последующим объединением всех образов. Это будет вспомогательный цикл $\eta^-$. Цикл $\eta^-$ имеет столько же оборотов вдоль параллели, что и цикл $\eta^+$, а именно $2k$. При этом за один оборот вдоль параллели происходит сдвиг вдоль меридиана на угол Соответственно количество оборотов вдоль меридиана равно $m-k$. Также в силу своего направления цикл $\nu^-$ имеет разложение $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$. Теперь подсчитаем разложение циклов $\eta^-$ и $\nu^-$ по циклам $\lambda^-$ и $\mu^-$:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \dfrac{2k}{(m,2k)} & -l \\ \dfrac{m}{(m,2k)} & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2k \\ m-k \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определитель левой матрицы равен $-1$, так как эта матрица отличается знаком одной строчки от аналогичной матрицы, записанной для движения по часовой стрелке. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} -i & l \\ -\dfrac{m}{(m,2k)} & \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2k \\ m-k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (m,2k)+lk \\ \dfrac{2k^2}{(m,2k)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \eta^- \\ \nu^- \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (m,2k)+lk & \dfrac{2k^2}{(m,2k)} \\ l & \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим образы вспомогательных циклов при значении интеграла $\varphi= {\pi}/{2}$. Комплексы, образующие циклы $\eta^+$ и $\eta^-$, превратятся в отрезки, соединяющие две диаметрально противоположные точки. Векторы скорости в точках этого отрезка будут направлены как к центру, так и от него. Следовательно, цикл $\eta^+$ переходит в цикл $\eta^-$. Циклы $\nu^+$ и $\nu^-$ при данном значении интеграла перейдут в центр, в котором будет целая окружность векторов скорости. Ориентации этих окружностей будут различными, так как циклы $\nu^+$ и $\nu^-$ были противоположно ориентированы. Следовательно, цикл $\nu^+$ переходит в $-\nu^-$. Выразив соотношения циклов $\eta^+$, $\nu^+$ и $\eta^-$, $\nu^-$, можем описать соотношения между $\lambda^+$, $\mu^+$ и $\lambda^-$, $\mu^-$, используя выражения циклов $\eta^+$, $\nu^+$ и $\eta^-$, $\nu^-$ через них:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} (m,2k)-lk & \dfrac{2k^2}{(m,2k)} \\ -l & \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^+ \\ \mu^+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (m,2k)+lk & \dfrac{2k^2}{(m,2k)} \\ -l & -\dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определитель левой матрицы равен Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} \lambda^+ \\ \mu^+ \end{pmatrix} &=\dfrac{1}{2k}\begin{pmatrix} \dfrac{2k}{(m,2k)} & \dfrac{-2k^2}{(m,2k)} \\ l & (m,2k)-lk \end{pmatrix}\begin{pmatrix} (m,2k)+lk & \dfrac{2k^2}{(m,2k)} \\ -l & -\dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2k}\begin{pmatrix} \dfrac{2k(m,2k)+4k^2l}{(m,2k)} & \dfrac{8k^3}{(m,2k)^2} \\ 2kl^2 & \dfrac{4k^2l-2k(m,2k)}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{(m,2k)+2kl}{(m,2k)} & \dfrac{4k^2}{(m,2k)^2} \\ l^2 & \dfrac{2kl-(m,2k)}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix} . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
r=\frac{(m,2k)[(m,2k)+2kl]}{4k^2},\qquad \varepsilon = 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. Проскальзывания на соизмеримый с $\pi$ угол можно вводить на свободных границах – окружностях круговых топологических биллиардов и биллиардных книжек. При этом в слоении Лиувилля могут появляться седловые атомы, т.е. можно ставить вопрос о реализации подграфов-семей и целочисленной метки $n$ на них. Далее разберем пример такого биллиарда. § 3. Биллиард в двух склеенных кольцах с проскальзыванием на любой рациональный уголТеорема 3. Рассмотрим кольцо, полученное путем вырезания из кругового диска внутренности диска, ограниченного окружностью того же концентрического семейства. Склеим два экземпляра такого кольца по внутренней окружности, а на внешних окружностях введем проскальзывание на углы ${m_1\pi}/{k_1}$ и ${m_2\pi}/{k_2}$ соответственно. Тогда инвариант Фоменко–Цишанга полученного биллиарда совпадает в инвариантом, показанным на рис. 10. Доказательство. В этой теореме мы также будем обозначать циклы, соответствующие движению по часовой стрелке, знаком “$+$”, а соответствующие движению против часовой стрелки – знаком “$-$”. Циклы $\lambda$ и $\mu$ для атома $A$ были показаны в теореме 2. Циклы атома $B$ показаны на рис. 11.
Цикл $\lambda$ также совпадает с циклом $\nu$ из теоремы 2. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\nu^+= \begin{pmatrix} -l & \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^+ \\ \mu^+ \end{pmatrix}, \qquad \nu^-=\begin{pmatrix} l & \dfrac{2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложения циклов $\mu^+$ и $\mu^-$ по меридиану и параллели тора, соответствующие данному значению интеграла, равны $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Выразим их также через циклы атомов $A$:
$$
\begin{equation*}
\mu^+=\begin{pmatrix} i-l & \dfrac{2k-m}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^+ \\ \mu^+ \end{pmatrix}, \qquad \mu^-=\begin{pmatrix} i-l & \dfrac{m-2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^- \\ \mu^- \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем матрицы склейки
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} -l & \dfrac{2k}{(m,2k)} \\ i-l & \dfrac{2k-m}{(m,2k)} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для движения по часовой стрелке и
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} l & \dfrac{2k}{(m,2k)} \\ i-l & \dfrac{m-2k}{(m,2k)} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для движения против часовой стрелки. Следовательно, метки $r$ равны ${-l(m,2k)}/(2k)$ и ${l(m,2k)}/(2k)$ для движения по часовой стрелке и против соответственно, а метка есть $\varepsilon=1$. Для описания последнего ребра заметим, что при переходе через значение интеграла $\varphi=\pi/2$ циклы $\lambda_A$ переходят друг в друга, а циклы $\lambda_B$ переходят друг в друга при смене ориентации одного из них. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\lambda^+_A=\frac{m-2k}{(m,2k)}\lambda^+_B+\frac{2k}{(m,2k)}\mu^+_B, \qquad \lambda^-_A=\frac{-m+2k}{(m,2k)}\lambda^-_B+\frac{2k}{(m,2k)}\mu^-_B.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{m-2k}{(m,2k)}\lambda^+_B+\frac{2k}{(m,2k)}\mu^+_B = \frac{-m+2k}{(m,2k)}\lambda^-_B+\frac{2k}{(m,2k)}\mu^-_B.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\lambda^+_B=-\lambda^-_B$, то $\mu^+_B=\mu^-_B$. Следовательно, матрица склейки имеет вид $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Вклад в метку $n$ с ребер при движении по часовой стрелке равен $\theta^+=[-1+{m}/(2k)]$, а против часовой стрелки – равен $\theta^+=[1-{m}/(2k)]$, центральное ребро вклада в метку $n$ не дает. Из постановки задачи следует, что $m<2k$, так как мы берем угол по модулю $2\pi$. Получается, что вклад с ребер при движении по часовой стрелке равен $-1$, а при движении против часовой стрелки равен 0. Получаем метку $n=-2$. Теорема 3 доказана. Сделаем замену, аналогичную той, которую мы делали в теореме 1. А именно, обозначим $\alpha={2k}/{(m,2k)}$. Тогда $r$-метка на ребрах между атомами $A$ и $B$ примет вид $r={l}/{\alpha}$. Как уже было замечено, $\alpha$ и $l$ не могут иметь общих делителей. Поэтому, задав ${l}/{\alpha}$ как произвольное рациональное число от 0 до 1, мы можем решить диофантово уравнение $\alpha i -\beta l=1$ уже относительно неизвестных $\beta$ и $i$. Числа $\alpha$ и $\beta$ определяют угол нашего проскальзывания, который вычисляется по значению рациональной метки $r$. Следовательно, существует соответствие между $r$-метками и углами, на которые мы можем вводить проскальзывание. Это означает, что мы можем получить любую $r$-метку. БлагодарностиАвтор выражает благодарность А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкиной, В. А. Кибкало и И. Г. Рочеву за ценные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zav23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|