| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Круговой критерий и критерий Цыпкина для систем с несколькими нелинейностями без использования В. А. Каменецкий Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9913e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1.Задача абсолютной устойчивости была впервые сформулирована в [1] и является одной из основных задач теории автоматического управления. Полное решение этой задачи до сих пор не получено, несмотря на огромное количество публикаций (см. библиографию в [2]). Теория устойчивости систем с переключениями (см. [3]) и теория абсолютной устойчивости (см. [4]) являются основными инструментами для изучения устойчивости систем с неопределенностью (см. [5]). Важными результатами в этой области являются круговой критерий в непрерывном случае и критерий Цыпкина в дискретном случае1 (см. [4], [6]–[9]). Эти критерии являются достаточными условиями существования квадратичной функции Ляпунова (КФЛ) в случае систем Лурье с несколькими нелинейностями (см. [4]). 1.2.К достаточности приводит использование специального приема – $S$-процедуры (см. [10]). С другой стороны, существование КФЛ в случае нескольких нелинейностей определяется разрешимостью системы линейных матричных неравенств (ЛМН), что установлено в [11] для непрерывного случая и в [12] для дискретного случая. Для работы с системами матричных неравенств (МН) Пятницким была предложена теорема, которая первоначально появилась (с указанием авторства) в [13], а затем и в [11]. В полученной Пятницким теореме показывается, как получить одно МН, эквивалентное системе из двух МН. Основанная на этой теореме операция перехода от системы из двух МН к одному ей эквивалентному в [11] названа свертыванием. С помощью операции свертывания необходимые и достаточные условия существования КФЛ получены в случае двух (см. [13]) и нескольких (см. [11]) нелинейностей в непрерывном случае и нескольких нелинейностей в дискретном случае (см. [12]). В § 2 приводятся две формулировки теоремы Пятницкого из [13], [11] и важный частный случай этих теорем из [11]. В § 3 показано, как круговой критерий в случае нескольких нелинейностей можно получить с помощью операции свертывания и без использования $S$-процедуры. Аналогичный результат для критерия Цыпкина получен в § 4. В § 5 показывается, как с помощью операции свертывания можно существенно уменьшать количество МН в связных (см. [11], [14]) системах ЛМН, которые определяют существование КФЛ для линейных систем с переключениями с произвольным количеством подсистем. Таким образом, целью работы является как демонстрация возможностей теоремы Пятницкого при получении новых доказательств двух классических результатов, так и получение на ее основе новых более эффективных условий существования КФЛ для широкого класса систем Лурье и систем с переключениями. § 2. Теорема ПятницкогоДалее символ $\{\cdot \}^{\top}$ означает операцию транспонирования матриц. Неравенство $W < 0$ ($>0$) для матрицы $W=W^{\top}$ означает, что квадратичная форма $x^{\top}Wx$ является отрицательно (положительно) определенной, т.е. $x^{\top}Wx<0$ ($>0$) при $x\neq 0$. Аналогично, $W \leqslant 0$ ($\geqslant0$) означает, что квадратичная форма $x^{\top}Wx$ является отрицательно (положительно) полуопределенной, т.е. $x^{\top}Wx\leqslant0$ ($\geqslant0$). Неравенство $W_{1} \leqslant W_{2}$ для симметрических матриц $W_{1}$ и $W_{2}$ эквивалентно МН $W_{2}-W_{1} \geqslant 0$. Теорема 1 (см. [13]). Для выполнения системы двух МН необходимо и достаточно, чтобы существовало такое представление $I_{2}-I_{1}=Q=Q^{+}-Q^{-}$, $Q^{\pm} \geqslant 0$, при котором выполнено одно неравенство В [13] получено общее параметрическое представление для $Q^{\pm}=Q^{\pm}(\nu)$. Теорема 2 (см. [11]). Для выполнения системы двух МН необходимо и достаточно, чтобы существовал набор параметров $\widetilde{\nu}$, при котором выполнено одно неравенство Здесь будем использовать частный случай теорем 1 и 2 в следующей формулировке (см. [11], [14]). Теорема 3. Для выполнения системы двух МН необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число $\widetilde{\varepsilon}> 0$, при котором выполнено одно МН Очевидно, из выполнения МН (2.2) при некотором произвольном $\varepsilon >0$ следует выполнение системы (2.1). Строго говоря, операция свертывания, основанная на теореме 3, в [11] названа свертыванием ранга 2, или $r_{2}$-свертыванием. Теорему 3 далее будем называть теоремой о свертывании и использовать операцию свертывания, которая основана на теореме 3. Теорема 3 приводится в [11] в несколько другой формулировке со ссылкой на [13]. Заметим, что полученное в [13] общее параметрическое представление для матриц $Q^{\pm}=Q^{\pm}(\nu)$ весьма громоздко и получить из него общее представление (2.2) для частного случая (2.1) совсем не просто. В [14] приводится прямое доказательство теоремы 3, опирающееся на неущербность $S$-процедуры в случае одного ограничения. Здесь приведем простое прямое доказательство теоремы 3, не использующее свойства $S$-процедуры. Доказательство теоремы 3. Выше было отмечено, что достаточность очевидна. Покажем необходимость. Пусть выполнена система (2.1). Тогда существует невырожденное линейное преобразование с матрицей $T_{1}$ ($\det T_{1}\neq 0$) такое, что
$$
\begin{equation*}
I_{1} \to T_{1}^{\top}I_{1}T_{1}=- E_{n}, \qquad I_{2}\to T_{1}^{\top}I_{2}T_{1}=\widetilde{I}_{2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_{n}$ – единичная $(n \times n)$-матрица. Затем существует невырожденное ортогональное преобразование с матрицей $T_{2}$ ($T_{2}^{\top}=T_{2}^{-1}$) такое, что где диагональная матрица $\Lambda$ имеет вид
При $p \neq \lambda q$ ($\lambda \in \mathbb R$) матрица $pq^{\top}+qp^{\top}$ имеет ранг $2$ и сигнатуру $0$. Соответствующая квадратичная форма представляет собой произведение линейных форм $x^{\top}(pq^{\top}+qp^{\top})x= 2\langle p,x \rangle \langle q,x \rangle$ ($\langle \cdot, \cdot \rangle$ – скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n}$) и, следовательно, приводится к разности квадратов. Этим объясняется вид матрицы $\Lambda$. Из выполнения системы (2.1) следует $\Lambda< 0$ или $-1+\lambda_{2}<0$. Таким образом, из выполнения системы (2.1) следует, что с некоторыми $a,b \in \mathbb{R}^{n}$. Таким же образом доказывается теорема 1 для произвольной матрицы $Q$. Поскольку матрицы $T_{1}$ и $T_{2}$ неизвестны, то требуется получить общее представление для $a$ и $b$ из (2.3) через $p$ и $q$. Сопоставим выражения для $Q$ из (2.1) и (2.3):
$$
\begin{equation*}
Q=I_{2}-I_{1}=aa^{\top}-bb^{\top}=\frac{1}{2}(a+b)(a-b)^{\top}+ \frac{1}{2}(a-b)(a+b)^{\top}= pq^{\top}+qp^{\top}.
\end{equation*}
\notag
$$
Квадратичные формы, представляющие собой произведение линейных форм, совпадают в том и только в том случае, если определяющие их векторы пропорциональны, т.е. $(a+b)/\sqrt{2}=\varepsilon p$, $(a-b)/\sqrt{2}=q/\varepsilon$, где $\varepsilon \neq 0$ – коэффициент пропорциональности. В результате для векторов $a$ и $b$ получим общее представление
$$
\begin{equation*}
a=\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\, u^{+}(\varepsilon), \qquad b=\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\, u^{-}(\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
где векторы $u^{\pm}(\varepsilon)$ определены в (2.2).
Случай $p=\lambda q$ рассмотрим непосредственно. Пусть $\lambda > 0$, тогда $I_{1} \leqslant I_{2}=I_{1}+2\lambda q q^{\top}$. Следовательно, выполнение системы (2.1) эквивалентно МН $I_{1}+2\lambda q q^{\top} < 0$. Это МН совпадает с МН из (2.2), если в (2.2) положить $\varepsilon^{2} =1/\lambda$. В случае $\lambda < 0$ нужно взять $\varepsilon^{2}=-1/\lambda$. Пусть $\lambda=0$, тогда $I_{1}=I_{2}$. В этом случае из (2.2) следует $Q^{+}=(1/(2\varepsilon^{2}))q q^{\top}$. Поскольку МН $I_{1} < 0$ строгое, то найдется достаточно большое $\varepsilon$, при котором $I_{1}+(1/(2\varepsilon^{2}))q q^{\top} < 0$. Теорема 3 доказана. § 3. Круговой критерий для систем с несколькими нелинейностями3.1. Задача абсолютной устойчивостиСистема Лурье с несколькими нелинейностями имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot{x}=Ax+\sum^{m}_{j=1}b_{j}\varphi_{j}(t,\sigma_{j}), \qquad \sigma_{j}=\langle c_{j}, x \rangle, \quad A\in \mathbb R^{n\times n}, \quad b_{j},c_{j} \in \mathbb R^{n},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где нелинейности $\varphi_{j}(t,\sigma_{j})$ удовлетворяют условиям существования абсолютно непрерывного решения $x(t)$, $j =1,\dots,m$. Абсолютная устойчивость системы (3.1) в классе $N_{\varphi}$ нелинейностей $\varphi= \|\varphi_{j}\|^{m}_{j=1}$, удовлетворяющих секторным ограничениям
$$
\begin{equation}
0 \leqslant \varphi_{j}\sigma_{j} \leqslant \sigma_{j}^{2}, \qquad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
означает, что эта система асимптотически устойчива в целом при любых таких нелинейностях. 3.2. Круговой критерий с использованием $S$-процедурыКоротко, в удобной для настоящего изложения форме напомним рассуждения, основанные на $S$-процедуре и приводящие к круговому критерию в случае системы (3.1) с произвольным конечным $m$ (см. [6], [7]). $S$-процедура – это специальный прием, позволяющий перейти от неравенства на квадратичную форму, которое должно выполняться не во всем пространстве, а только в некоторой области, выделяемой квадратичными ограничениями, к неравенству на квадратичную форму, которое должно выполняться во всем пространстве, т.е. к МН. $S$-процедура имеет различные формулировки. В формулировке, которая здесь используется, $S$-процедура устанавливает соотношение между следующими условиями:
$$
\begin{equation}
x^{\top}G_{0}x < 0 \quad\text{при }\ x^{\top}G_{1}x \geqslant 0, \dots, x^{\top}G_{m}x \geqslant 0, \qquad x \neq 0,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\exists\,\tau_{j} > 0 \quad (j=1,\dots,m)\colon \qquad x^{\top}G_{0}x+\sum_{j=1}^{m}\tau_{j}x^{\top}G_{j}x <0, \quad x\in \mathbb R^{n}, \quad x \neq 0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $G_{j}\in \mathbb R^{n\times n}$, $G_{j}^{\top}=G_{j}$, $j=0,\dots,m$. Очевидно, из выполнения (3.4) следует выполнение (3.3). В случае $m=1$ доказывается (см. [15; гл. I, § 1.7, п. 1.7.2]), что условие (3.4) является не только достаточным, но и необходимым для выполнения условия (3.3) ($S$-процедура неущербна). Различные формулировки $S$-процедуры, историю появления этого приема и самого термина, и другие сведения можно найти в [4], [5], [10], [15]. Секторные ограничения (3.2) эквивалентны квадратичным ограничениям
$$
\begin{equation}
F_{j}(x,\varphi_{j})=\varphi_{j}(\langle c_{j}, x \rangle- \varphi_{j}) \geqslant 0, \qquad j= 1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
На производную $\dot{v}(x)$ функции Ляпунова $v(x)=x^{\top}L x$ ($L \in \mathbb{R}^{n\times n}$, $L^{\top}=L$) в силу системы (3.1) имеем неравенство
$$
\begin{equation}
x^{\top}(A^{\top}L+LA)x+2\sum_{j=1}^{m}\varphi_{j}\langle Lb_{j},x \rangle < 0, \qquad (x,\varphi) \neq 0,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
которое должно выполняться при всех $(x,\varphi)$, удовлетворяющих (3.5). В соответствии с приемом $S$-процедуры составим квадратичную форму
$$
\begin{equation}
x^{\top}(A^{\top}L+LA)x+2\sum_{j=1}^{m}\varphi_{j}\langle Lb_{j},x \rangle+\sum_{j=1}^{m}\tau_{j}\varphi_{j} (\langle c_{j},x \rangle-\varphi_{j}),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\tau_{j} > 0$ – неопределенные параметры, $j=1,\dots,m$. Неравенство (3.6) в матричной форме имеет вид
$$
\begin{equation*}
(Ax+B\varphi)^{\top}Lx+x^{\top}L(Ax+B\varphi) < 0, \qquad (x,\varphi) \neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B=(b_{1}\,b_{2}\,\dots\,b_{m})$, а функция ограничений $F(x,\varphi,\mathcal T)$ представима в виде
$$
\begin{equation}
F(x,\varphi,\mathcal T)=\sum_{j=1}^{m}\tau_{j}\varphi_{j} ( \langle c_{j},x \rangle-\varphi_{j})= \begin{pmatrix} x \\ \varphi \end{pmatrix}^{\top} \begin{pmatrix} 0 & \dfrac12 C\mathcal T \\ \dfrac12\mathcal T C^{\top} & -\Gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \varphi \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
C= \begin{pmatrix} c_{1} & c_{2}& \dots & c_{m} \end{pmatrix}, \qquad \Gamma=\mathcal T =\operatorname{diag}\{ \tau_{1}, \dots , \tau_{m}\}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Во вновь принятых обозначениях отрицательная определенность формы (3.7) эквивалентна МН
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} A^{\top}L+LA & LB+\dfrac12C\mathcal T \\ B^{\top}L+\dfrac12\mathcal TC^{\top} & -\Gamma \end{pmatrix} <0.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Условия разрешимости МН (3.10) следуют из частотной теоремы (KYP лемма) (см. [10], [15]). Наиболее удобная для настоящего изложения версия частотной теоремы приведена в [15; гл. I, § 1.2, п. 1.2.2, следствие 1]. Там утверждается, что при гурвицевой $A$ и $\Gamma > 0$ разрешимость неравенства (3.10) эквивалентна выполнению частотного неравенства
$$
\begin{equation}
\Gamma+\operatorname{Re}\mathcal T W(i\omega) > 0 , \qquad W(i\omega)= C^{\top}( A-i\omega E_{n})^{-1}B, \quad \omega \in [-\infty,\infty ],
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $\operatorname{Re}W=(W+W^{*})/2$, $W^{*}=\overline{W}^{\top}$ – эрмитово сопряженная к $W$. Таким образом, круговой критерий для системы (3.1) с несколькими нелинейностями состоит в проверке частотного условия (3.11), которое является достаточным (при $m>1$) условием существования КФЛ для таких систем. 3.3. Круговой критерий без использования $S$-процедурыВ [14] показывается, как с помощью теоремы 3 получить достаточные условия существования КФЛ для системы (3.1), так чтобы эти условия совпадали с круговым критерием абсолютной устойчивости систем управления с двумя нелинейностями. Здесь получим аналогичный результат для систем управления с произвольным конечным числом нелинейностей. Наличие КФЛ $v(x)=x^{\top}L x$ для системы Лурье (3.1) определяется (см. [11]) разрешимостью системы ЛМН
$$
\begin{equation}
I_{s}=A^{\top}_{s}L+LA_{s}< 0, \qquad s=1,\dots,N, \quad N=2^{m},
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
с матрицами $A_{s}$ следующего вида (см. [11]):
$$
\begin{equation}
A_{s}=A+\sum^{m}_{j=1}h_{sj}b_{j}c_{j}^{\top}, \quad h_{s}=\|h_{sj}\|^{m}_{j=1}, \qquad s=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где $h_{sj}$ независимо принимают одно из двух значений – $0$ или $1$. Будем считать, что $h_{1}=(0, \dots, 0)$, т.е. $A_{1}=A$. Из представления (3.13) следует
$$
\begin{equation*}
I_{s}=A^{\top}L+LA+\sum^{m}_{j=1}h_{sj}(Lb_{j}c_{j}^{\top}+ c_{j}b_{j}^{\top}L)=A^{\top}L+LA+\sum^{m}_{j=1}h_{sj}Q_{j},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
Q_{j}=p_{j}q_{j}^{\top}+q_{j}p_{j}^{\top}, \quad p_{j} \triangleq Lb_{j}, \quad q_{j} \triangleq c_{j}, \qquad j=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Для матриц $Q_{j}$ используем представление в виде разности $Q_{j}=Q_{j}^{+}-Q_{j}^{-}$, как это делается в теореме 3. Тогда МН
$$
\begin{equation}
Q_{j} \leqslant Q_{j}^{+}(\varepsilon_{j})= \frac{\varepsilon_{j}^{2}}{2}u_{j}^{+}(\varepsilon_{j})u_{j}^{+}(\varepsilon_{j})^{\top}, \qquad u_{j}^{+}(\varepsilon_{j}) \triangleq p_{j}+ \frac{1}{\varepsilon_{j}^{2}}q_{j}, \qquad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
выполняются при любых $\varepsilon_{j} > 0$. Рассмотрим следующее МН:
$$
\begin{equation}
I_{\mathrm {cir}} \triangleq A^{\top}L+LA+\sum^{m}_{j=1}Q^{+}_{j}(\varepsilon_{j}) < 0.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Так как $h_{sj}=0$ или $h_{sj}=1$, то
$$
\begin{equation}
I_{s} \leqslant I_{\mathrm{cir}}, \qquad s=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Из (3.17) следует, что выполнение МН (3.16) гарантирует выполнение системы (3.12). Подставляя в $Q_{j}^{+}(\varepsilon_{j})$ выражения для $p_{j}$ и $q_{j}$ из (3.14) и переобозначая в (3.15) дополнительные переменные $ \tau_{j} \triangleq 2/ \varepsilon_{j}^{2}$, из леммы Шура получим, что МН (3.16) эквивалентно МН (3.10). Таким образом, круговой критерий получен без использования $S$-процедуры. Собственно, необходимость из теоремы 3 нужна только при $m=1$, чтобы показать, что в этом случае система (3.12) и МН $ I_{\mathrm{cir}} < 0$ эквивалентны. МН (3.10) так же, как эквивалентное ему МН (3.16), далее будем называть МН кругового критерия. § 4. Критерий Цыпкина для систем с несколькими нелинейностями4.1. Задача абсолютной устойчивостиДискретная система Лурье с несколькими нелинейностями имеет вид
$$
\begin{equation}
x(t+1)=Ax(t)+\sum^{m}_{j=1}b_{j}\varphi_{j}(t,\sigma_{j}), \qquad \sigma_{j}=\langle c_{j}, x \rangle,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $\varphi_{j}(t,\sigma_{j})$ при всех $\sigma_{j}=\langle c_{j},x \rangle $ и $t>0$ удовлетворяют секторным ограничениям (3.2). Абсолютная устойчивость системы (4.1) означает, что эта система асимптотически устойчива в целом при любых таких нелинейностях. Под критерием Цыпкина абсолютной устойчивости систем (4.1) здесь понимается частотное условие существования для таких систем КФЛ, которое получено с использованием $S$-процедуры и обобщенной леммы Калмана–Сеге–Попова (см. [8], [9]). 4.2. Критерий Цыпкина с использованием $S$-процедурыКоротко напомним рассуждения, основанные на $S$-процедуре и приводящие к критерию Цыпкина в случае системы (4.1) с произвольным конечным $m$. В матричной форме система (4.1) имеет вид где $B=(b_{1}\,b_{2}\,\dots\,b_{m})$ и $\varphi^{\top}=(\varphi_{1}\,\varphi_{2}\,\dots\, \varphi_{m})$. Неравенство на первую разность $\triangle v(x(t))=x^{\top}(t+1)Lx(t+1)-x^{\top}(t)Lx(t)$ функции Ляпунова $v(x)=x^{\top}L x$ вдоль решений системы (4.2) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\triangle v(x,\varphi)=(Ax+B\varphi)^{\top}L(Ax+B\varphi)-x^{\top}Lx < 0
\end{equation*}
\notag
$$
и должно выполняться при всех $(x,\varphi)\neq 0 $, удовлетворяющих ограничениям (3.2) (которым эквивалентны ограничения (3.5)). В соответствии с $S$-процедурой составим квадратичную форму
$$
\begin{equation}
(Ax+B\varphi)^{\top}L(Ax+B\varphi)-x^{\top}Lx +\sum_{j=1}^{m}\tau_{j}\varphi_{j} ( \langle c_{j},x \rangle -\varphi_{j}),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\tau_{j} > 0$ – неизвестные параметры, $s=1,\dots,m$. В дискретном случае для функции ограничений справедливы те же выражения (3.8) и (3.9), что и в непрерывном случае. Таким образом, отрицательная определенность формы (4.3) эквивалентна МН
$$
\begin{equation}
{I}_{Ts}^{m}= \begin{pmatrix} A^{\top}LA-L & A^{\top}LB+\dfrac12C\mathcal T \\ B^{\top}LA+\dfrac12\mathcal T C^{\top} & B^{\top}LB -\Gamma \end{pmatrix} <0,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $C=( c_{1}\, c_{2}\,\dots\,c_{m})$, $\Gamma=\mathcal T=\operatorname{diag}\{ \tau_{1}, \dots ,\tau_{m}\}$. Далее неравенство (4.4) будем называть МН Цыпкина. Разрешимость (4.4) следует из обобщенной леммы Калмана–Сеге–Попова (см. [8], [9]) (к данному случаю более подходит формулировка этой леммы из [16; ч. VI, приложение H]) в виде частотного неравенства которое должно выполняться при всех $\lambda \in \mathbb C$ таких, что $|\lambda|=1$, а передаточная матрица $W(\cdot)$ определяется выражением (3.11). Критерий Цыпкина для системы (4.1) с несколькими нелинейностями состоит в проверке частотного условия (4.5), которое является достаточным (при $m>1$) условием существования КФЛ для таких систем.4.3. Критерий Цыпкина без использования $S$-процедурыНаличие КФЛ $v(x)=x^{\top}L x$ для системы Лурье (4.1) при (3.2) определяется (см. [12]) разрешимостью следующей системы ЛМН:
$$
\begin{equation}
I_{s}=A^{\top}_{s}LA_{s}-L< 0, \qquad s=1, \dots ,N, \quad N=2^{m},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где матрицы $A_{s}$ определяются соотношением (3.13). Заметим, что дискретный случай гораздо сложнее непрерывного, поскольку матричные неравенства в (4.6) зависят от $A_{s}$ квадратично, а в непрерывном случае эта зависимость линейна. Теорема 4. Из разрешимости МН Цыпкина (4.4) при некоторых дополнительных параметрах $\mathcal T=\operatorname{diag}\{\tau_{1},\dots ,\tau_{m}\}$, $\tau_{j} > 0$, следует разрешимость системы (4.6). Доказательство. Смысл приводимого ниже доказательства состоит в том, чтобы получить утверждение теоремы 4 с помощью теоремы 3 без использования $S$-процедуры и результатов предыдущего пункта. В случае $m=1$ такой результат получен в [17], в случае $m=2$ – в [18].
По предположению индукции будем считать, что достаточным условием разрешимости системы (4.6) является разрешимость МН Цыпкина (4.4). При увеличении количества нелинейностей в системе на единицу, количество неравенств в системе (4.6) увеличится в два раза, т.е. при $N=2^{m+1}$ систему (4.6) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
A^{\top}_{s}LA_{s}-L< 0, \qquad s=2^{m}+1, \dots ,2^{m+1}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Будем считать, что система (4.7) в точности совпадает с (4.6), а матрицы $A_{s}$ в системе (4.8) пронумерованы таким образом, что $A_{s+2^{m}}=A_{s}+ b_{m+1}c_{m+1}^{\top}$, $s=1, \dots ,2^{m}$. Таким образом, система (4.8) совпадает с (4.7), если в системе (4.7) в выражениях для матриц $A_{s}$ матрицу $A$ заменить на $A_{1+2^{m}}=A+b_{m+1}c_{m+1}^{\top}$. Для удобства обозначим $1+2^{m} \triangleq \xi$, т.е. $A_{\xi}= A_{1+2^{m}}$. Следовательно, по предположению индукции достаточным условием разрешимости системы (4.8) является разрешимость МН
$$
\begin{equation}
\widehat{I}_{Ts}^{m}= \begin{pmatrix} A_{\xi}^{\top}LA_{\xi}-L & A_{\xi}^{\top}LB+\dfrac12C\mathcal T \\ B^{\top}LA_{\xi}+\dfrac12\mathcal T C^{\top} & B^{\top}LB -\Gamma \end{pmatrix} <0,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $B$ и $C$ те же, что и в (4.4). Рассмотрим разницу $\widehat{I}_{Ts}^{m}-I_{Ts}^{m}$, считая значения дополнительных параметров $\mathcal T$ одинаковыми в обеих матрицах:
$$
\begin{equation*}
\widehat{I}_{Ts}^{m} -{I}_{Ts}^{m}= \begin{pmatrix} A_{\xi}^{\top}LA_{\xi}-A^{\top}LA & c_{m+1}b_{m+1}^{\top}LB \\ B^{\top}Lb_{m+1}c_{m+1}^{\top} & 0_{m\times m} \ \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $0_{n\times m}$ – это матрица размера $n\times m$, все элементы которой равны $0$. Поскольку $A_{\xi}^{\top}LA_{\xi}-A^{\top}LA= p_{m+1}c_{m+1}^{\top}+c_{m+1}p_{m+1}^{\top}$, где $p_{m+1}= A^{\top}Lb_{m+1}+(b_{m+1}^{\top}Lb_{m+1}/2)c_{m+1}$, то проверяется непосредственно, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{I}_{Ts}^{m} -{I}_{Ts}^{m} =\widetilde{p}\,\widetilde{q}^{\top}+\widetilde{q}\,\widetilde{p}^{\top}, \qquad \widetilde{p}= \begin{pmatrix} p_{m+1} \\ B^{\top}Lb_{m+1} \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{q}=\begin{pmatrix} c_{m+1} \\ 0_{m \times 1} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. к системе из двух МН (4.4) и (4.9) применима теорема 3, на основании которой получим, что разрешимость этой системы эквивалентна существованию такого $\varepsilon_{m+1} >0$, что разрешимо одно МН
$$
\begin{equation}
{I}_{Ts}^{m+1} ={I}_{Ts}^{m}+\frac{\varepsilon_{m+1}^{2}}{2} \biggl(\widetilde{p}+\frac{1}{\varepsilon_{m+1}^{2}}\, \widetilde{q} \biggr) \biggl(\widetilde{p}+\frac{1}{\varepsilon_{m+1}^{2}}\, \widetilde{q}\biggr)^{\top} <0.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Определим $\tau_{m+1} \triangleq b_{m+1}^{\top}Lb_{m+1}+ (2/\varepsilon_{m+1}^{2})$, тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{p}+\biggl(\frac{1}{\varepsilon_{m+1}^{2}}\biggr)\widetilde{q} = \begin{pmatrix} p_{m+1}+\dfrac{1}{\varepsilon_{m+1}^{2}}\, c_{m+1} \\ B^{\top}Lb_{m+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A^{\top}Lb_{m+1}+\dfrac{\tau_{m+1}}{2}c_{m+1} \\ B^{\top}Lb_{m+1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме Шура МН (4.10) эквивалентно следующему неравенству в расширенном пространстве:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {I}_{Ts}^{m+1} &\cong \widetilde{I}_{Ts}^{m+1} =\begin{pmatrix} {I}_{Ts}^{m} & \widetilde{p}+\dfrac{1}{\varepsilon_{m+1}^{2}}\, \widetilde{q} \\ (\bullet)^{\top} & -\dfrac{2}{\varepsilon_{m+1}^{2}} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} A^{\top}LA-L & A^{\top}LB+\dfrac12C\mathcal T & A^{\top}Lb_{m+1}+ \dfrac{\tau_{m+1}}{2}c_{m+1} \\ (\bullet)^{\top} & B^{\top}LB -\Gamma & B^{\top}Lb_{m+1} \\ (\bullet)^{\top} & (\bullet)^{\top} & b_{m+1}^{\top}Lb_{m+1} -\tau_{m+1} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} A^{\top}LA-L & A^{\top}LB_{m+1}+\dfrac12C_{m+1}\tau_{m+1} \\ (\bullet)^{\top} & B_{m+1}^{\top}LB_{m+1} -\Gamma_{m+1} \end{pmatrix} < 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_{m+1}=( b_{1} \, b_{2} \, \dots \, b_{m} \, b_{m+1})$, $C_{m+1}=( c_{1} \, c_{2} \, \dots \, c_{m} \,c_{m+1})$, $\Gamma_{m+1}=\mathcal T_{m+1}=\operatorname{diag}\{ \tau_{1}, \dots, \tau_{m}, \tau_{m+1} \}$. Здесь и далее символы “$\bullet$” обозначают элементы под главной диагональю симметрической матрицы, которые совпадают с соответствующими элементами над главной диагональю.
Таким образом, МН $\widetilde{I}_{Ts}^{m+1} < 0$ приведено к виду МН Цыпкина для системы с $m+1$ нелинейностью. Теорема 4 доказана. § 5. Уменьшение размерности систем ЛМН5.1. Системы из двух и из трех ЛМНДаже если МН в системе (2.1) являются ЛМН, то эквивалентное им МН (2.2) ЛМН не является. Следующее утверждение, объединяющее теорему 3 и лемму Шура, позволяет перейти от системы из двух ЛМН к эквивалентному им МН, которое является ЛМН. Теорема 5. Пусть в системе (2.1) неравенства являются ЛМН относительно переменной $\nu$, т.е. $I_{1}=I_{1}(\nu)$ и $I_{2}= I_{2}(\nu)$, и $Q=Q(\nu)=I_{2}(\nu)-I_{1}(\nu)= p(\nu)q^{\top}+qp^{\top}(\nu)$, где $p=p(\nu)$ зависит от $\nu$ линейно, а $q$ от $\nu$ не зависит. Тогда система (2.1) эквивалентна одному МН которое является ЛМН относительно $(\nu,\tau)$. Похожий результат справедлив и для связной (см. [14]) системы из трех ЛМН
$$
\begin{equation}
I_{2}=I_{1}+Q_{1} < 0, \qquad I_{1} < 0, \qquad I_{3}=I_{1}+Q_{2} < 0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Теорема 6. Пусть в системе (5.1) неравенства являются ЛМН относительно неизвестной переменной $\nu$, т.е. $I_{s}=I_{s}(\nu)$, $s=1,2,3$, и $Q_{j}(\nu)= p_{j}(\nu)q_{j}^{\top}+q_{j}p_{j}^{\top}(\nu)$, где $p_{j}=p_{j}(\nu)$ зависит от $\nu$ линейно, а $q_{j}$ от $\nu$ не зависит, $j=1,2$. Тогда система (5.1) эквивалентна одному МН Доказательство. Применяя теорему 5 сначала к двум первым, а затем к двум последним неравенствам из (5.1), получим, что система (5.1) эквивалентна системе из двух ЛМН
$$
\begin{equation}
\widetilde{I}_{1}= \begin{pmatrix} I_{1}(\nu) & p_{1}(\nu)+\dfrac{\tau_{1}}{2}q_{1} \\ (\bullet)^{\top} & -\tau_{1} \end{pmatrix} <0, \qquad \widetilde{I}_{2} = \begin{pmatrix} I_{1}(\nu) & p_{2}(\nu)+\dfrac{\tau_{2}}{2}q_{2} \\ (\bullet)^{\top} & -\tau_{2} \end{pmatrix} < 0.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Матрица разности имеет вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{I}_{2}-\widetilde{I}_{1}= \begin{pmatrix} 0_{n\times n} & \widehat{p} \\ (\bullet)^{\top} & 2\gamma \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $\widehat{p} \triangleq p_{2}(\nu)-p_{1}(\nu)+({\tau_{2}}/{2})q_{2} - ({\tau_{1}}/{2})q_{1}$ и $\gamma \triangleq (\tau_{1}-\tau_{2})/2$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{I}_{2}-\widetilde{I}_{1}=\widetilde{p}\,\widetilde{q}^{\top} + \widetilde{q}\,\widetilde{p}^{\top}, \qquad \widetilde{p}=\begin{pmatrix} \widehat{p} \\ \gamma\end{pmatrix}, \qquad \widetilde{q}=\begin{pmatrix} 0_{n\times 1} \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, к системе (5.3) применима теорема 5. В результате получим, что система (5.3), а следовательно, и система (5.1) эквивалентны МН
$$
\begin{equation}
\widehat{\widetilde{I}}= \begin{pmatrix} \widetilde{I}_{1} & \widetilde{p}+\dfrac{\tau_{3}}{2}\widetilde{q} \\ (\bullet)^{\top} & -\tau_{3} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} I_{1} & p_{1}(\nu)+\dfrac{\tau_{1}}{2}q_{1} & \widehat{p} \\ (\bullet)^{\top} & -\tau_{1} & \gamma+\dfrac{\tau_{3}}{2} \\ (\bullet)^{\top} & \bullet&-\tau_{3} \end{pmatrix} < 0.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Подставив в (5.5) выражения для $\widehat{p}$ и $\gamma$ из (5.4), получим в точности МН (5.2). Теорема доказана. 5.2.В этом пункте покажем, как теорему 5 применить для уменьшения размерности системы (3.12) при решении вопроса о существовании КФЛ для системы Лурье (3.1) с произвольным конечным $m$ в непрерывном случае. От системы (3.12) относительно $n(n+1)/2$ неизвестных, имеющей в этом случае общую размерность $2^{m}n$, можно перейти к эквивалентной системе размерности $2^{m-1}(n+1)$ относительно $n(n+1)/2+2^{m-1}$ неизвестных. Теорема 7. При $N=2^m$ система МН (3.12) эквивалентна системе ЛМН с $2^{m-1}$ дополнительным параметрами $\tau_{s} > 0$. Доказательство. Пусть при $N=2^m$ в системе (3.12) МН занумерованы таким образом, что первые $2^{m-1}$ МН $I_{s} < 0$, $s=1,\dots,2^{m-1}$, совпадают с неравенствами системы (3.12) при $N=2^{m-1}$, а остальные $2^{m-1}$ МН $I_{s} < 0$, $s=2^{m-1}+1,\dots,2^{m}$, занумерованы следующим образом:
$$
\begin{equation*}
I_{s+2^{m-1}}= I_{s}+(Lb_{m}c_{m}^{\top}+ c_{m}b_{m}^{\top}L) < 0, \qquad s=1,\dots,2^{m-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда к парам МН
$$
\begin{equation}
I_{s} < 0, \quad I_{s+2^{m-1}} < 0, \qquad s=1,\dots,2^{m-1},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
применима теорема 5. Применяя теорему 5 к каждой системе (5.7) из двух МН, получим, что система МН (3.12) эквивалентна системе МН (5.6) с $2^{m-1}$ дополнительным параметрами $\tau_{s} > 0$. Теорема 7 доказана. 5.3.Здесь покажем, как теорему 5 применить для уменьшения размерности системы (4.6) при решении вопроса о существовании КФЛ для системы Лурье (4.1) в дискретном случае. Теорема 8. При $N=2^m$ система МН (4.6) эквивалентна системе ЛМН с $2^{m-1}$ дополнительными параметрами $\tau_{s} > 0$. Доказательство. Пусть при $N=2^m$ в системе (4.6) матрицы $A_{s}$ занумерованы таким образом, что первые $2^{m-1}$ матриц $A_{s}$, $s=1,\dots,2^{m-1}$, совпадают с матрицами $A_{s}$ системы (4.6) при $N=2^{m-1}$, а остальные $2^{m-1}$ матрицы $A_{s}$, $s=2^{m-1}+1,\dots,2^{m}$, занумерованы следующим образом:
Теорема 5 применима к парам МН из системы (4.6)
$$
\begin{equation}
I_{s} < 0, \quad I_{s+2^{m-1}} < 0, \qquad s=1,\dots,2^{m-1},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
так как $I_{s+2^{m-1}}-I_{s}=A_{s+2^{m-1}}^{\top}LA_{s+2^{m-1}}-A_{s}^{\top}LA_{s}= p_{s}c_{m}^{\top}+c_{m}p_{s}^{\top}$, где $p_{s}= A_{s}^{\top}Lb_{m}+(b_{m}^{\top}Lb_{m}/2)c_{m}$. Применяя теорему 5 к каждой системе (5.9) из двух МН получим, что система МН (4.6) эквивалентна системе ЛМН (5.8) с $2^{m-1}$ дополнительным параметрами $\tau_{s} > 0$. Теорема 8 доказана. 5.4. Практические рекомендацииКруговой критерий и критерий Цыпкина получаются как условия разрешимости МН кругового критерия (3.10) и МН Цыпкина (4.4), которые являются ЛМН относительно входящих в них неизвестных $L$ и $\tau_{j}$, $j=1,\dots,m$, и численно решаются стандартными программными средствами. Таким образом, вместо системы (3.12) или системы (4.6), имеющих размерность $2^{m}n$, можно рассматривать одно МН (3.10) или МН (4.4) размерности $n+m$ с $m$ дополнительными параметрами. При этом возможны потери в области существования КФЛ, связанные с ущербностью $S$-процедуры. Тем не менее в задачах большой размерности решение этих МН имеет смысл, так как может привести к приемлемым с практической точки зрения результатам. Тот факт, что полученное в результате $S$-процедуры МН (3.4) является ЛМН относительно параметров $\zeta, \tau_{1},\dots,\tau_{m}$, если $G_{0}=G_{0}(\zeta)$ зависит от $\zeta$ линейно, а $G_{1},\dots,G_{m}$ не зависят, отмечался ранее (например, см. [19; § 2.6.3]). Каждое применение теоремы 5, с одной стороны, уменьшает количество МН в системе на единицу, с другой стороны, увеличивает на единицу количество неизвестных. Использование теоремы 5 позволяет без потерь в области существования КФЛ перейти от систем (3.12) и (4.6) относительно $n(n+1)/2$ неизвестных к системам (5.6) и (5.8) размерности $2^{m-1}(n+1)$ относительно $n(n+1)/2+2^{m-1}$ неизвестных. При решении задачи об устойчивости линейных систем с переключениями при произвольных переключениях вопрос о существовании КФЛ эквивалентен (см. [3], [19]) вопросу о разрешимости систем (3.12) и (4.6) в случае непрерывного и дискретного времени. При этом матрицы $A_{s}$ могут быть произвольного вида (не обязательно вида (3.13)). Если эти матрицы определяют связные системы с переключениями (см. [14], [17]), то для соответствующих систем (3.12) и (4.6) справедливы аналоги теорем 7 и 8, позволяющие перейти к эквивалентным системам ЛМН меньшей размерности. Вид этих систем ЛМН, их размерность и количество дополнительных параметров определяются спецификой матриц $A_{s}$. Например, при четном $N$ и использовании теоремы 5 эквивалентная система меньшей размерности будет иметь размерность $nN/2$ и $N/2$ дополнительных параметров. В случае комбинированного использования теорем 5 и 6 возможны различные варианты. Теоремы 5 и 6 можно использовать для уменьшения размерности произвольных систем ЛМН, которые содержат подходящие пары или тройки ЛМН. Эффективность использования предлагаемых подходов, связанных с уменьшением размерности систем ЛМН, определяется эффективностью работы используемых программ-решателей систем ЛМН в задачах различной сложности. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kam24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|