| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Замечание о 0-циклах как модулях над алгебрами конечных соответствий М. З. Ровинскийab a Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9907e 
Реферативные базы данных:
     Пусть $k$ – поле. Имеется несколько способов и их вариантов, которыми 0-циклы на $k$-схемах конечного типа можно рассматривать как функтор. В каждом из этих вариантов мы хотим, чтобы такой функтор был объектом некоторой абелевой категории, и изучаем его строение (“композиционный ряд”). Рассмотрим множество $S$ гладких проективных многообразий над некоторым фиксированным полем. Пусть $Z_0(S)$ – прямая сумма $\mathbb Q$-векторных пространств 0-циклов (т.е. формальных конечных линейных комбинаций замкнутых точек) на многообразиях из $S$ с рациональными коэффициентами. Мы рассматриваем $Z_0(S)$ как модуль над алгеброй конечных соответствий. Цель настоящей работы – показать, что рационально тривиальные 0-циклы образуют абсолютно простой подмодуль $Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$ модуля $Z_0(S)$, содержащийся в любом его ненулевом подмодуле. В какой-то мере это аналогично минимальности рациональной эквивалентности среди всех “адекватных” отношений эквивалентности на алгебраических циклах, см. [12; предложение 8]. Из гипотезы Бейлинсона–Блоха о мотивной фильтрации выводится, что радикальная фильтрация на $Z_0(S)/Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$ должна быть очевидной модификацией гипотетической мотивной фильтрации на группах Чжоу 0-циклов. В случае кривых это проверено безусловно. В заключение обсуждается точка зрения на 0-циклы на гладких, но не обязательно собственных многообразиях как на копучок в подходящей топологии. § 1. Алгебры категорий и невырожденные модулиКатегория $\mathcal C$ называется предаддитивной, если для каждой пары объектов $X,Y$ множество морфизмов $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ снабжено структурой абелевой группы, а для каждой тройки объектов $X,Y,Z$ отображение композиции морфизмов
$$
\begin{equation*}
\circ_{X,Y,Z}\colon \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\times\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(Y,Z)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Z) \quad\text{билинейно}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой малой предаддитивной категории $\mathcal C$ положим
$$
\begin{equation*}
A_{\mathcal C}:=\bigoplus_{X,Y\in\mathcal C}\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Спаривания композиции $\circ_{X,Y,Z}$ (и нулевые спаривания между $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(W,X)$ и $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(Y,Z)$ для всех четверок объектов $W,X,Y,Z$ с $X\neq Y$) индуцируют на абелевой группе $A_{\mathcal C}$ структуру ассоциативного кольца. Кольцо $A_{\mathcal C}$ содержит единицу тогда и только тогда, когда конечно количество объектов в $\mathcal C$. Однако даже если кольцо $A_{\mathcal C}$ не содержит единицу, оно является кольцом с идемпотентами (в смысле [2; определение 4]), т.е. для каждого конечного набора $B$ элементов $A_{\mathcal C}$ найдется такой идемпотент $e\in A_{\mathcal C}$, что $ea=a$ для всех $a\in B$. А именно, суммы тождественных морфизмов $\mathrm{id}_X\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,X)\subseteq A_{\mathcal C}$ для всех объектов $X$ любого конечного множества, содержащего носители элементов $B$. (По определению носитель элемента $a$ – это наименьшее множество $\mathrm{Supp}(a)$ такое, что $a\in\bigoplus_{X,Y\in\mathrm{Supp}(a)}\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\subseteq A_{\mathcal C}$.) Напомним, см. например [3; с. 113], что левый модуль $M$ над ассоциативным кольцом $A$ называется невырожденным, если $AM=M$. Очевидно, что $A_{\mathcal C}$ – невырожденный левый $A_{\mathcal C}$-модуль. Обозначим через $\mathrm{Mod}_{\mathcal C}$ категорию невырожденных левых $A_{\mathcal C}$-модулей. Обозначим через $\mathcal C^{\vee}$ категорию аддитивных функторов из категории $\mathcal C$ в категорию абелевых групп. Лемма 1 (эквивалентность Мориты). Если $\mathcal C$ – малая предаддитивная категория, то $\mathcal C^{\vee}$ и $\mathrm{Mod}_{\mathcal C}$ – эквивалентные абелевы категории. В частности, если две малые предаддитивные категории $\mathcal C$ и $\mathcal C'$ эквивалентны, то категории $\mathrm{Mod}_{\mathcal C}$ и $\mathrm{Mod}_{\mathcal C'}$ также эквивалентны. Доказательство. Каждому функтору $\mathcal F$ из категории $\mathcal C$ в категорию абелевых групп сопоставляется группа $\bigoplus_{X\in\mathcal C}\mathcal F(X)$, которая очевидным образом рассматривается как невырожденный $A_{\mathcal C}$-модуль.
Обратно, для каждого $A_{\mathcal C}$-модуля $M$ и объекта $X$ положим $\mathcal F(X):=\mathrm{id}_X(M)$. Любой морфизм $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,X')\subseteq A_{\mathcal C}$ индуцирует отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal F(X)=\mathrm{id}_X(M)\xrightarrow{f}f\circ\mathrm{id}_X(M)= \mathrm{id}_{X'}\circ f\circ\mathrm{id}_X(M)\subseteq\mathrm{id}_{X'}(M)=\mathcal F(X').
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что эти два функтора – квазиобратные эквивалентности. В частности, получается цепочка эквивалентностей: $\mathrm{Mod}_{\mathcal C}\simeq\mathcal C^{\vee} \simeq(\mathcal C')^{\vee}\simeq\mathrm{Mod}_{\mathcal C'}$. Лемма доказана. Вложение Йонеды $\mathcal C\to\mathcal C^{\vee}\simeq\mathrm{Mod}_{\mathcal C}$, $X\mapsto h_X:=\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)$ является вполне строгим функтором. Нас интересует структура $A_{\mathcal C}$-модуля $h_X$ для “единичного” объекта $X$. § 2. Алгебры конечных соответствий и модули над нимиЗафиксируем поле $k$. Для каждой пары гладких многообразий $X$ и $Y$ над $k$ определим $\mathrm{Cor}(X,Y)_{\mathbb Q}$ как $\mathbb Q$-векторное пространство, базис которого задан неприводимыми замкнутыми подмножествами в $X\times_kY$, ассоциированные целые подсхемы которых конечны, плоски и сюръективны над одной из связных компонент $X$. Для каждой тройки гладких многообразий $(X,Y,Z)$ над $k$ определим билинейное спаривание $\mathrm{Cor}(X,Y)_{\mathbb Q}\times\mathrm{Cor}(Y,Z)_{\mathbb Q}\xrightarrow{\circ_{X,Y,Z}} \mathrm{Cor}(X,Z)_{\mathbb Q}$ стандартным образом: $(\alpha,\beta)\mapsto\mathrm{pr}_{XZ*}(\alpha\times Z\cap X\times\beta)$, см. [5; гл. 1]. Эти спаривания в качестве композиций превращают категорию гладких многообразий над $k$ с морфизмами $\mathrm{Cor}(-,-)_{\mathbb Q}$ в аддитивную категорию, обозначаемую $\mathrm{SmCor}_k$. Обозначим через $\mathrm{SmCor}_k^{\mathrm{proj}}$ полную подкатегорию проективных многообразий над $k$. Каждое множество $S$ гладких многообразий над $k$ можно рассматривать как полную подкатегорию категории $\mathrm{SmCor}_k$. Поскольку категория $S$ предаддитивна, прямая сумма $A_S:=\bigoplus_{X,Y\in S}\mathrm{Cor}(X,Y)_{\mathbb Q}$ обладает структурой кольца. 2.1. Цоколь модуля $Z_0(S)$Для каждого гладкого многообразия $Y$ над $k$ пусть $Z_0(Y):=\mathrm{Cor}(\mathrm{Spec}(k),Y)_{\mathbb Q}$ – $\mathbb Q$-векторное пространство 0-циклов на $Y$. Лемма 2. Пусть $X$ – гладкое квазипроективное многообразие над $k$, $F$ – поле нулевой характеристики, а $\xi\in Z_0(Y)\otimes F$ – ненулевой 0-цикл. Тогда найдется такое соответствие $\alpha\in\mathrm{Cor}(X,\mathbb P^1_k)\otimes F$, что $\vartheta\xi=[0]-[\infty]\in Z_0(\mathbb P^1_k)$. Доказательство. Пусть $\xi=\sum_{i=1}^Nm_i[p_i]$ для ненулевых коэффициентов $m_i\in F$ и замкнутых точек $p_i\in X$.
Согласно уточнению проективного варианта леммы Нётер о нормализации, доказанному в [9; теорема 1], $X$ допускает морфизм $\varphi\colon X\to\mathbb P^n_k$, где $n:=\dim X$, который отображает точки $p_2,\dots,p_N$ в некоторую гиперплоскость $H\subset\mathbb P^n_k$, а точку $p_1$ отображает в дополнение к этой гиперплоскости $H$. Положим $p_i':=\varphi(p_i)$ для всех $i$, так что $p_2',\dots,p_N'\in H$, $p_1'\in\mathbb P^n_k\smallsetminus H$. Это значит, что $\varphi_*\xi=\sum_{i=1}^Nm_i[p_i']\neq 0$. Индукцией по $N\,{\geqslant}\, 2$ докажем, что найдется конечный эндоморфизм $\psi\colon \mathbb P^n_k\to\mathbb P^n_k$, посылающий точки $p_2',\dots,p_N'$ в некоторую $k$-рациональную точку $p\in\mathbb P^n_k$ и посылающий точку $p_1'$ в $k$-рациональную точку $q\in\mathbb P^n_k$, отличную от $p$. Пусть $W_0,\dots,W_n$ – такие однородные координаты на $\mathbb P^n_k$, что $H$ задается уравнением $W_0=0$, а точки $p_2'$ и $p_3'$ не лежат на гиперплоскости, заданной уравнением $W_1=0$. Для каждого $2\leqslant i\leqslant n$ положим $w_i:=W_i/W_1$, и пусть $P_{ij}$ – минимальный многочлен элемента $w_i(p_j')$ над $k$. Положим $d:=\max_{2\leqslant i\leqslant n}\deg(P_{i2}P_{i3})$ и $P_i:=P_{i2}(w_i)P_{i3}(w_i)w_i^{d-\deg(P_{i2}P_{i3})}W_1^d$. Тогда отображение
$$
\begin{equation*}
g\colon (W_0:\cdots:W_N)\mapsto(W_0^d:W_1^d:P_1:P_2:\cdots:P_N)
\end{equation*}
\notag
$$
– корректно определенный эндоморфизм пространства $\mathbb P^n_k$, $g$ сохраняет гиперплоскость $H$, точка $g(p_2')=g(p_3')$ $k$-рациональна, и $g$ преобразует $\varphi_*\xi$ в $m_1[p_1'']+ (m_2+m_3)[p_3'']+\sum_{i=4}^Nm_i[p_i'']$, где $p_3'',\dots,p_N''\in H$ и $p_1''\notin H$.
Тогда $\psi_*\varphi_*\xi$ – ненулевая кратность 0-цикла $[p]-[q]$. Пусть $\Upsilon$ – $n$-мерное многообразие, допускающее непостоянный морфизм $h\colon \Upsilon\to\mathbb P^1_k$ (например, $\Upsilon=\mathbb P^{n-1}\times\mathbb P^1_k$ и $h\colon \Upsilon\to\mathbb P^1_k$ – проекция). Зафиксируем слой $D$ отображения $h$ и гиперплоскость $H'\subset\mathbb P^n_k$, содержащую $p$, но не $q$. Согласно той же [9; теорема 1] найдется такой конечный морфизм $\pi\colon \Upsilon\to\mathbb P^n_k$, что $\pi(D)=H'$. Поэтому $D$ пересекает $\pi^{-1}(p)$, но не $\pi^{-1}(q)$, а значит, $h_*\pi^*\psi_*\varphi_*\xi\neq 0$. Тогда $h_*({}^t\Gamma_{\pi})_*\psi_*\varphi_*\xi=h_*\pi^*\psi_*\varphi_*\xi$ – ненулевой дивизор $E=\sum_{i=0}^na_i[q_i]$ на $\mathbb P^1_k$ для некоторых $a_i\neq 0$ и попарно различных точек $q_i$. Выберем такой морфизм $f\colon \mathbb P^1_k\to\mathbb P^1_k$, что $f(q_0)=0$, $f(q_i)=\infty$ для всех $1\leqslant i\leqslant n$, так что $f_*h_*({}^t\Gamma_{\pi})_*\psi_*\varphi_*\xi=a_0([0]-[\infty])$. Лемма доказана. Для каждого множества $S$ гладких многообразий над $k$ рассмотрим прямую сумму $Z_0(S):=\bigoplus_{X\in S}Z_0(X)$. Тогда вышеупомянутые спаривания
$$
\begin{equation*}
\circ_{\mathrm{Spec}(k),Y,Z}\colon Z_0(Y)\times\mathrm{Cor}(Y,Z)_{\mathbb Q}\to Z_0(Z),
\end{equation*}
\notag
$$
заданные как $(\alpha,\beta)\mapsto\mathrm{pr}_{Z*}((\alpha\times Z)\cap\beta)$, индуцируют на $Z_0(S)$ структуру $A_S$-модуля. Определим степень 0-цикла $\alpha\,{=}\sum_im_iP_i$ на $X$ как $\deg(\alpha)\,{:=}\sum_im_i[\varkappa(P_i)\,{:}\,k]$, где $\varkappa(P_i)$ – поле вычетов точки $P_i$. Для каждого гладкого многообразия $Y$ над $k$ пусть $Z_0^{\circ}(Y)$ – подпространство 0-циклов степени 0 на каждой связной компоненте многообразия $Y$. Очевидно, что $Z_0^{\circ}(S):=\bigoplus_{X\in S}Z_0^{\circ}(X)$ – $A_S$-подмодуль модуля $Z_0(S)$. Напомним (см. [12; § 2], [5; гл. 1]), что цикл называется рационально эквивалентным нулю, если он является суммой дивизоров рациональных функций на подмногообразиях. Теорема 1. Пусть $S$ – некоторое множество гладких многообразий над $k$ и $F$ – поле нулевой характеристики. Тогда 1) любой собственный $(A_S\otimes F)$-подмодуль модуля $Z_0(S)\otimes F$ содержится в подмодуле $Z_0^{\circ}(S)\otimes F$; 2) если $S$ состоит из проективных многообразий, то любой ненулевой $(A_S\otimes F)$-подмодуль модуля $Z_0(S)\otimes F$ содержит $A_S$-подмодуль 0-циклов рационально эквивалентных нулю на всех $X\in S$. Доказательство. Ясно, что если $S'$ – множество связных компонент многообразий из $S$, то $A_{S'}$ и $A_S$ естественно изоморфны, в то время как $Z_0(S')$ и $Z_0(S)$ совпадают как $A_S$-модули. Поэтому все многообразия в $S$ можно считать связными. Для любого поля $F$ нулевой характеристики и любого ненулевого элемента $\xi=(\xi_X)_{X\in S}\in Z_0(S)\otimes F$ найдется $X\in S$ такое, что $\xi_X\neq 0$, а значит, $\xi':=\mathrm{id}_X\xi\neq 0$.
1. Для любого $Y\in S$ и любой замкнутой точки $y\in Y$ конечное соответствие $[X\times_ky]\in\mathrm{Cor}(X,Y)_{\mathbb Q}$ отображает $\xi_X$ в $\deg(\xi_X)\cdot[y]\in Z_0(Y)\otimes F$. Это означает, что если $\deg(\xi_X)\neq 0$, то $\xi'$ (а потому и $\xi$) порождает весь $(A_S\otimes F)$-модуль $Z_0(S)\otimes F$, что эквивалентно утверждению 1). 2. Согласно п. 1) мы можем далее считать, что $\deg(\xi_X)=0$ и, поскольку $\xi_X\neq 0$, что $\dim X>0$. Согласно лемме 2 найдется такое соответствие $\vartheta\in\mathrm{Cor}(X,\mathbb P^1_k)\otimes F$, что $\vartheta\xi_X=[0]-[\infty]\in Z_0(\mathbb P^1_k)$. Наконец, для каждого $Y\,{\in}\, S$, любой рационально эквивалентный нулю 0-цикл на $Y$ является линейной комбинацией образов цикла $[0]-[\infty]$ относительно конечных соответствий $\gamma$ из $\mathbb P^1_k$ в $Y$, т.е. элементов вида $(\gamma\circ\vartheta)_*\xi_X$ для подходящих соответствий $\gamma$. Теорема доказана. Замечание 1. Модуль $M$ над $\mathbb Q$-алгеброй $A$ называется абсолютно простым, если $M\otimes F$ – простой $(A_S\otimes F)$-модуль для любого поля $F$ нулевой характеристики. Эквивалентно, $A$-модуль $M$ прост и $\mathrm{End}_A(M)=\mathbb Q$. В частности, в условиях теоремы 1 $A_S$-модули $Z_0(S)/Z_0^{\circ}(S)$ и $Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$ абсолютно просты, если $S$ непусто. 2.2. Мотивные $A_S$-модулиПо определению (см. [12]) отношение эквивалентности $\sim$ на алгебраических циклах адекватно, если удовлетворяет следующим условиям: – оно совместимо со сложением циклов, т.е. для каждого многообразия $X$ задана подгруппа $Z^{\sim}(X)$ циклов на нем и два цикла на $X$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность лежит в $Z^{\sim}(X)$; – для любого многообразия $X$, любого цикла $\alpha$ на $X$ и любого подмногообразия $W$ в $X$ найдется цикл $\alpha'\sim\alpha$, пересекающий $W$ собственно; – если $X$ и $Y$ – гладкие проективные многообразия, $\beta\sim 0$ – цикл на $X$ и $\alpha$ – цикл на $X\times Y$, собственно пересекающий цикл $\beta\times Y$, то $\alpha(\beta):=\mathrm{pr}_Y((\beta\times Y)\bigcap\alpha)\sim 0$ на $Y$. Пример 1 (см. [12; § 2]). Помимо упоминавшейся ранее рациональной эквивалентности, адекватны следующие отношения эквивалентности. – Цикл $\alpha$ на гладком проективном многообразии $X$ называется алгебраически эквивалентным нулю, если найдутся такие кривая $C$, точки $c,d\in C$ и цикл $\beta$ на $X\times C$, плоский над $C$, что $\alpha=[\beta\cap(X\times\{c\})]-[\beta\cap(X\times\{d\})]$. – Цикл на гладком проективном многообразии называется гомологически эквивалентным нулю (относительно некоторой фиксированной теории когомологий Вейля), если его зануляет отображение класса цикла. – Цикл $\alpha$ на гладком проективном многообразии называется численно эквивалентным нулю, если $\deg(\alpha\cap W)=0$ для любого подмногообразия $W$ дополнительной размерности, собственно пересекающего цикл $\alpha$. Напомним (см., например, [11]), что (гомологическим) эффективным мотивом Гротендика над $k$ по модулю “адекватного” отношения эквивалентности $\sim$ называется пара $(X,\pi)$, состоящая из гладкого проективного многообразия $X$ над $k$ и проектора $\pi$ в алгебре (всех) соответствий из $X$ в себя размерности $\dim X$ с коэффициентами в $\mathbb Q$ по модулю отношения $\sim$. Морфизмы между парами $(X,\pi)$ и $(X',\pi')$ задаются алгебраическими циклами $\alpha$ на $X\times_kX'$ размерности $\dim X$, также по модулю $\sim$, удовлетворяющими условию $\alpha=\pi'\,{\circ}\,\alpha\,{\circ}\,\pi$. Мотивы над $k$ по модулю отношения эквивалентности $\sim$ образуют псевдоабелеву категорию, обозначаемую $\mathcal{M}_{k,\mathrm{eff}}^{\sim}$. Категория $\mathcal{M}_{k,\mathrm{eff}}^{\sim}$ обладает тензорной структурой: $(X,\pi)\otimes(X',\pi'):=(X\times_kX',\pi\times\pi')$. Обозначим через $\mathbb M^{\sim}\colon \mathrm{SmCor}_k^{\mathrm{proj}}{\kern1pt}{\to}\,\mathcal{M}_{k,\mathrm{eff}}^{\sim}$ аддитивный функтор $X{\kern1pt}{\mapsto}\,(X,\Delta_X)$, где $\Delta_X$ – класс диагонали в $X\times_kX$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\mathbb M^{\sim}(\mathbb P^1_k)\cong\mathbb M^{\sim}(\mathrm{Spec}(k))\oplus\mathbb L, \quad\text{где }\ \mathbb L=(\mathbb P^1_k,[\{q\}\times\mathbb P^1_k])
\end{equation*}
\notag
$$
для любой точки $q\in\mathbb P^1(k)$. Легко видеть, что естественное отображение
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{k,\mathrm{eff}}^{\sim}}(U,V)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{k,\mathrm{eff}}^{\sim}}(U\otimes\mathbb L,V\otimes\mathbb L)
\end{equation*}
\notag
$$
биективно для всех эффективных мотивов $U$ и $V$. Обозначим через $\mathcal{M}_k^{\sim}$ категорию троек $(X,\pi,n)$, где $X$, $\pi$ – те же, что и выше, а $n$ – целое число, в то время как $\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_k^{\sim}}((X,\pi,n),(X',\pi',n')) :=\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{k,\mathrm{eff}}^{\sim}} ((X,\pi)\otimes\mathbb L^{\otimes(m+n-n')},(X',\pi')\otimes\mathbb L^{\otimes m})$ для любого целого $m>|n'-n|$. Мы рассматриваем $\mathcal{M}_{k,\mathrm{eff}}^{\sim}$ как полную подкатегорию категории $\mathcal{M}_k^{\sim}$ относительно вложения $(X,\pi)\mapsto(X,\pi,0)$. Для каждых многообразия $Y$ и целого $q$ обозначим через $\operatorname{CH}_q(Y)$ группу циклов на $Y$ размерности $q$ по модулю рациональной эквивалентности. Теорема 2. Функтор $\mathbb M^{\sim}$ полон. Другими словами, естественный гомоморфизм колец $A_S\to\bigoplus_{X,Y\in S}\operatorname{CH}_{\dim X}(X\times_kY)_{\mathbb Q}$ сюръективен для любого множества $S$ гладких проективных многообразий над $k$. Это частный случай [4; теорема 7.1]. Для каждого множества $S$ гладких проективных многообразий над $k$ с каждым мотивом Гротендика $N\in\mathcal{M}_k^{\sim}$ связан $A_S$-модуль
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{M}^{\sim}_N(S):=\bigoplus_{X\in S}\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_k^{\sim}}(N,\mathbb M^{\sim}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем опускать символ $\sim$ из обозначений в случае, когда $\sim\,{=}\,\sim_{\mathrm{num}}$ – численная эквивалентность. Доказательство. Действие алгебры $A_S$ на $\mathfrak{M}_N(S)$ пропускается через действие алгебры $A_S/\sim_{\mathrm{num}}$. С другой стороны, $A_S/\sim_{\mathrm{rat}}\cong\bigoplus_{X,Y\in S}\operatorname{CH}_{\dim X}(X\times_kY)_{\mathbb Q}$, так что $A_S/\sim_{\mathrm{num}}\cong\bigoplus_{X,Y\in S}\operatorname{CH}_{\dim X}(X\times_kY)_{\mathbb Q}/\sim_{\mathrm{num}}$. Согласно [7] $\mathcal{M}_k$ – абелева полупростая категория, а значит, любой невырожденный модуль над $A_S/\sim_{\mathrm{num}}$ полупрост. В частности, полупрост и $\mathfrak{M}_N(S)$.
§ 3. Фильтрации Лёви на $Z_0(S)$Слегка модифицируя стандартное определение (см., например, [6]), фильтрацию модуля $M$ подмодулями будем называть фильтрацией Лёви, если она конечна, ее присоединенные факторы полупросты, а ее длина минимальна при этих условиях. Пусть $S$ – некоторое множество гладких неприводимых проективных многообразий над полем $k$. Нас интересуют фильтрации Лёви на $A_S$-модуле $Z_0(S)$. Согласно теореме 1 цоколь (т.е. максимальный полупростой подмодуль) $A_S$-модуля $Z_0(S)$ совпадает с $Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$, в то время как радикал (т.е. пересечение всех максимальных подмодулей) $A_S$-модуля $Z_0(S)$ совпадает с $Z_0^{\circ}(S)$, и $Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$ – существенный подмодуль в $Z_0(S)$. Действие алгебры $A_S$ на факторе $\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}:=Z_0(S)/Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$ пропускается через действие факторалгебры $A_S/\sim_{\mathrm{rat}}$ алгебры $A_S$ по модулю рациональной эквивалентности. 3.1. Случай кривыхПредложение 1. Пусть $S$ – множество гладких проективных кривых над $k$. Тогда $Z_0^{\mathrm{rat}}(S)\subset Z_0^{\circ}(S)\subset Z_0(S)$ – единственная фильтрация Лёви на $A_S$-модуле $Z_0(S)$. Доказательство. По теореме 1 цоколь $A_S$-модуля $Z_0(S)$ прост и совпадает с $Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$. С другой стороны, $Z_0^{\circ}(S)$ – единственный максимальный подмодуль $A_S$-модуля $Z_0(S)$. Остается только проверить полупростоту модуля $Z_0^{\circ}(S)/Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$.
Имеется отождествление $A_S/\sim_{\mathrm{rat}}=\bigoplus_{X,Y\in S}\mathrm{Pic}(X\times_kY)_{\mathbb Q}$. Тогда подгруппа $I:=\bigoplus_{X,Y\in S}\mathrm{Pic}^{\circ}(X\times_kY)_{\mathbb Q}$ является идеалом в $A_S/\sim_{\mathrm{rat}}$ с $I^2=0$, а факторалгебра $(A_S/\sim_{\mathrm{rat}})/I=\bigoplus_{X,Y\in S}\mathrm{NS}(X\times_kY)_{\mathbb Q}$ полупроста. Здесь $\mathrm{Pic}$ обозначает группу Пикара, $\mathrm{Pic}^{\circ}$ – ее подгруппу алгебраически тривиальных элементов, $\mathrm{NS}:=\mathrm{Pic}/\mathrm{Pic}^{\circ}$ – группу Нерона–Севери. Тогда для любого $(A_S/\sim_{\mathrm{rat}})$-модуля $M$ подмодуль $IM$ и фактормодуль $M/IM$ можно рассматривать как $(A_S/\sim_{\mathrm{rat}})/I$-модули, а значит, они полупросты. Применяя это к модулю $M=Z_0(S)/Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$, получаем, что $A_S$-модуль $IM=Z_0^{\circ}(S)/Z_0^{\mathrm{rat}}(S)$ полупрост. Предложение доказано. 3.2. Следствия из гипотезы о мотивной фильтрацииСогласно гипотезе Бейлинсона–Блоха о мотивной фильтрации (например, [8; гипотеза 2.3], [10; гипотеза 33]) должна существовать нейтральная таннакиева $\mathbb Q$-линейная категория $\mathcal{MM}_k$ (смешанных мотивов над $k$), содержащая категорию $\mathcal{M}_k$ в качестве полной подкатегории всех полупростых объектов, ковариантные функторы $H_i(-,\mathbb Q(j))$ (гомологии; $i,j\in\mathbb Z$) из категории многообразий над $k$ в $\mathcal{MM}_k$, и такая функториальная убывающая фильтрация $\mathcal F^{\bullet}$ на группах Чжоу $\operatorname{CH}_q(X)_{\mathbb Q}$ для гладких проективных многообразий $X$ над $k$, что $\mathcal F^0\operatorname{CH}_q(X)_{\mathbb Q}=\operatorname{CH}_q(X)_{\mathbb Q}$ и
$$
\begin{equation*}
gr^i_{\mathcal F}\operatorname{CH}_q(X)_{\mathbb Q}=\mathrm{Ext}^i_{\mathcal{MM}_k}\bigl(\mathbb Q(0),H_{2q+i}(X,\mathbb Q(-q))\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Гипотезу Гротендика о совпадении гомологической $\otimes\mathbb Q$ и численной эквивалентностей (известную также как “гипотеза о полупростоте”) естественно воспринимать как часть гипотезы о мотивной фильтрации. Поэтому мотив $H_{2q+i}(X,\mathbb Q(-q))$ должен быть полупростым по теореме У. Яннзена (см. [7]). Простой эффективный мотив $P\,{\in}\,\mathcal{M}_k$ называется примитивным веса $-i\,{\leqslant}\,0$, если (i) $P\cong(X,\pi)$ для некоторых $X,\pi$ с $\dim X=i$, и (ii) $\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_k}(P,\mathbb M(Y\times\mathbb P^1))=0$ для всех гладких проективных многообразий $Y$ размерности $<i$. В частности, при $q=0$ формулу А. Бейлинсона можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{gr}^i_{\mathcal F}\operatorname{CH}_0(X)_{\mathbb Q} &=\mathrm{Ext}^i_{\mathcal{MM}_k}(\mathbb Q(0),H_i(X,\mathbb Q)) \\ &=\bigoplus_P\mathrm{Ext}^i_{\mathcal{MM}_k}(\mathbb Q(0),P)\otimes_{\mathrm{End}_{\mathcal{M}_k}(P)} \mathrm{Hom}_{\mathcal{MM}_k}(P,H_i(X,\mathbb Q)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $P$ пробегает классы изоморфизма простых примитивных мотивов веса $-i$, и мы видим, что пространства $\mathcal F^i\operatorname{CH}_0(X)_{\mathbb Q}$ ковариантно функториальны. Для каждого множества $S$ гладких неприводимых проективных многообразий над полем $k$ и каждого целого $i\geqslant 0$ рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\mathcal F^i\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}:=\bigoplus_{X\in S}\mathcal F^i\operatorname{CH}_0(X)_{\mathbb Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из функториальности $\mathcal F^{\bullet}$ следует, что это $A_S$-подмодуль в $\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}$. Алгебра $A_S$ действует на $\operatorname{gr}^i_{\mathcal F}\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}$ посредством своего действия на мотивах $H_i(X,\mathbb Q)$, так что действие $A_S$ на $gr^i_{\mathcal F}\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}$ пропускается через действие факторалгебры $A_S/\sim_{\mathrm{num}}$ алгебры $A_S$, т.е. через действие алгебры $B_S:=\bigoplus_{X,Y\in S}\operatorname{CH}_{\dim X}(X\times_kY)_{\mathbb Q}/\sim_{\mathrm{num}}$. Поскольку алгебра $B_S$ полупроста, $A_S$-модуль $\operatorname{gr}^i_{\mathcal F}\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}$ также полупрост. В частности, если размерности всех многообразий в $S$ не превосходят $d$, то длина $\ell(S)$ любой фильтрации Лёви на $\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}$ не превосходит $d+1$. (Точнее, $\ell(S)-1$ не превосходит количества таких целых чисел $0\leqslant i\leqslant d$, для которых $H_i(X,\mathbb Q)$ не является подкруткой Тейта эффективного мотива веса $>-i$ для хотя бы одного $X\in S$.) По всей видимости, радикальная фильтрация на $\operatorname{CH}_0(S)_{\mathbb Q}$ (т.е. строго убывающая последовательность итерированных радикалов) совпадает с мотивной фильтрацией, но без повторяющихся членов. Замечание 2. Обычно (например, [1] или [8; гипотеза 2.3], [10; § 5.3]) мотивные гипотезы формулируются в контравариантной версии, т.е. вместо категории $\mathcal{M}_k$ рассматривается двойственная к ней (которая, впрочем, ей эквивалентна), а вместо функторов гомологий рассматриваются функторы когомологий. Тогда гомологический объект двойственнен по Пуанкаре когомологическому объекту $H^i(X,\mathbb Q)$, а формулу А. Бейлинсона для групп Чжоу коразмерности $q$ гладких проективных многообразий $X$ над $k$ можно переписать в виде § 4. Соответствия на несобственных многообразиях?Можно попытаться распространить часть 2) теоремы 1 на наборы $S$, состоящие из гладких, но не обязательно собственных многообразий над $k$. Однако поскольку все морфизмы из проективных многообразий в аффинные постоянны, структура $A_S$-модуля $Z_0(S)$ может оказаться весьма сложной. С другой стороны, если набор $S$ рассматривать как предаддитивную категорию, то модули над $A_S$ становятся предкопучками с трансферами (по аналогии с терминологией В. Воеводского). Чтобы “уменьшить” категорию предкопучков, можно перейти к категории копучков в какой-либо нетривиальной топологии Гротендика, в которой $Y\mapsto Z_0(Y)$ является копучком. В работе [14] определена некоторая топология Гротендика на категориях схем конечного типа над нётеровыми базами, названная $h$-топологией, см. также [13; § 10]. Эта топология порождена предтопологией, в которой покрытиями являются такие конечные семейства $(p_i\colon U_i\to X)_i$ морфизмов конечного типа, что $\amalg p_i\colon \amalg U_i\to X$ – универсальный топологический эпиморфизм (т.е. множество точек в $X$ открыто тогда и только тогда, когда открыт его прообраз, и любая замена базы обладает тем же свойством). Предкопучок $\mathcal F$ абелевых групп на категории схем конечного типа над $k$ будет $h$-копучком, если последовательность
$$
\begin{equation*}
\mathcal F(U\times_XU)\xrightarrow{f_*\circ\mathrm{pr}_{1*}-f_*\circ\mathrm{pr}_{2*}} \mathcal F(U)\xrightarrow{f_*}\mathcal F(X)\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
точна для любого $h$-покрытия $f\colon U\to X$. Под $h$-копучками на категории гладких многообразий над $k$ будем понимать ограничения $h$-копучков с категории схем конечного типа над $k$. Следующая лемма связана с [15; предложение 3.1.3], где $f$ – покрытие Нисневича. Лемма 3. Если квазикомпактный морфизм схем $Y\xrightarrow{f}X$ сюръективен $($на множестве точек$)$, то – он сюръективен на множестве замкнутых точек; – последовательность точна. В частности, $X\mapsto Z_0(X)$ является $h$-копучком. Доказательство. Пусть $p$ – замкнутая точка $X$. Тогда $Y_p:=f^{-1}(p)$ – непустое замкнутое подмножество в $Y$, так что достаточно проверить наличие замкнутой точки в $Y_p$. Предположим от противного, что в $Y_p$ нет замкнутых точек. Поскольку схема $Y_p$ квазикомпактна, ее можно покрыть конечным набором $S$ открытых аффинных подмножеств: $Y_p=\bigcup_{U\in S}U$. Построим рекурсивно последовательность точек $q_i\in X$ и последовательность $U_1,U_2,\dots$ элементов набора $S$ следующим образом: пусть $U_1$ – произвольный элемент множества $S$, $q_1$ – произвольная замкнутая точка множества $U_1$; для $i>1$, если замыкание $\overline{\{q_{i-1}\}}$ точки $q_{i-1}$ не содержится в $U_1\cup\dots\cup U_{i-1}$, пусть (i) $q_i'$ – точка замыкания $\overline{\{q_{i-1}\}}$ в дополнении к объединению $\bigcup_{j=1}^{i-1}U_j$, (ii) $U_i$ – элемент набора $S$, содержащий $q_i'$, (iii) $q_i$ – замкнутая точка замыкания $\overline{\{q_i'\}}\cap U_i$: $\overline{\{q_i\}}\cap U_i=\{q_i\}$.
Тогда $\overline{\{q_i\}}\cap(U_1\cup\dots\cup U_j)$ – подмножество множества $\{q_1,\dots,q_j\}$ для всех $j\leqslant i$. Поскольку $S$ конечно, найдется такой индекс $1\leqslant n\leqslant\#S$, что $\overline{\{q_n\}}$ содержится в $U_1\cup\dots\cup U_n$. Поскольку дополнение объединения $\bigcup_{j=1}^{n-1}U_j$ замкнуто, множество $\{q_n\}=\overline{\{q_n\}}\cap(X\smallsetminus (\bigcup_{j=1}^{n-1}U_j))\subseteq U_n$ также замкнуто. Ядро отображения $f_*$ порождено элементами $q-q'$ для всех замкнутых точек $q$, $q'$ многообразия $Y$ таких, что $f(q)=f(q')$. Но $q-q'$ – образ любой замкнутой точки схемы $q\times_Xq'\subseteq Y\times_XY$. Лемма доказана. Замечание 3. Модифицировав доказательство леммы 3 очевидным образом, можно показать, что линейные комбинации $k$-рациональных точек на $k$-схемах конечного типа ($X\mapsto\mathbb Q[X(k)]$) образуют подкопучок Нисневича без трансферов (т.е. функториальный только относительно морфизмов схем, а не всех конечных соответствий) $h$-копучка с трансферами $Z_0\colon X\mapsto Z_0(X)$. Лемма 3 подсказывает, что в несобственном случае чрезвычайно большую категорию $A_S$-модулей разумнее заменить меньшей категорией $h$-копучков. Тогда естественно предположить, что цоколь $\mathrm{Soc}(Z_0)$ $h$-копучка $Z_0$ прост и образован теми 0-циклами, которые становятся рационально тривиальными на некоторых гладких компактификациях, в то время как радикальная фильтрация на $Z_0/\mathrm{Soc}(Z_0)$ отделима и совпадает с мотивной фильтрацией. Автор благодарен за чрезвычайно полезные беседы Вадиму Вологодскому, Сергею Горчинскому, Дмитрию Каледину и особенно Ивану Панину.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rov23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|