| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Характеры классических групп, функции типа Шура и дискретные сплайны Г. И. Ольшанскийabc a Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва b Сколковский институт науки и технологий, г. Москва c Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9905e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеЭтот вводный параграф организован следующим образом. Мы начинаем с краткого описания задачи и ее истории (п. 1.1) и обсуждения сплайновых функций (пп. 1.2–1.4). Затем вводятся необходимые определения (пп. 1.5, 1.6), после чего (в пп. 1.7–1.9) дается формулировка основных результатов. Различные комментарии и библиографические указания собраны в п. 1.10. 1.1. Стохастические матрицы, связанные с неприводимыми характерамиПусть $G$ – конечная или компактная группа и $\{\chi_{\nu,G}\}$ – множество ее неприводимых характеров, где индексы $\nu$ суть подходящие метки. Будем рассматривать множество $\{\chi_{\nu,G}\}$ (или попросту соответствующее множество меток $\{\nu\}$) как своего рода дуальный объект $\widehat{G}$ к группе $G$. Хотелось бы тогда сопоставить произвольному морфизму $\phi\colon H\to G$ дуальный “морфизм” $\widehat\phi$ из $\widehat{G}$ в $\widehat{H}$; как это сделать? Разумное решение таково. Удобнее работать с нормализованными неприводимыми характерами
$$
\begin{equation*}
\widetilde\chi_{\nu,G}:=\frac{\chi_{\nu,G}}{\dim\nu}, \qquad \dim\nu:=\chi_{\nu,G}(e).
\end{equation*}
\notag
$$
Прообраз характера $\widetilde\chi_{\nu,G}$ относительно $\phi$ является нормализованной положительно определенной функцией на $H$, постоянной на классах сопряженных элементов, и тем самым может быть представлен в виде выпуклой комбинации нормализованных неприводимых характеров $\widetilde\chi_{\varkappa,H}$ группы $H$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde\chi_{\nu,G}\circ\phi=\sum_\varkappa\Lambda^G_H(\nu,\varkappa) \widetilde\chi_{\varkappa,H},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda^G_H(\nu,\varkappa)$ суть некоторые коэффициенты. Очевидно, что эти коэффициенты образуют стохастическую матрицу $\Lambda^G_H$ размера $\{\nu\}\times\{\varkappa\}$, и мы рассматриваем $\Lambda^G_H$ как желаемый дуальный “морфизм” $\widehat\phi$ из $\widehat G$ в $\widehat H$. Это оправдано тем обстоятельством, что стохастические матрицы (более общо, марковские ядра) можно рассматривать как естественное обобщение обычных отображений1. Пример 1.1. Возьмем $G=S(n)$ – симметрическую группу на множестве $\{1,\dots,n\}$; тогда соответствующее множество $\{\nu\}$ – это $\mathbb Y_n$, множество диаграмм Юнга с $n$ клетками. Далее, для $k<n$ пусть $H=S(k)$ – это подгруппа в $S(n)$, фиксирующая точки ${k+1,\dots, n}$; отвечающее ей множество $\{\varkappa\}$ есть $\mathbb Y_k$. Тогда где $\dim (\,\cdot\,)$ – число стандартных таблиц заданной (косой) формы. Для этой величины можно получить детерминантное выражение, которое можно преобразовать к следующему виду:
$$
\begin{equation}
\Lambda^{S(n)}_{S(k)}(\nu,\varkappa)=\frac{\dim\varkappa}{n^{\downarrow k}} s^*_\varkappa(\nu_1,\nu_2,\dots),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где и $s^*_\varkappa$ – сдвинутая функция Шура с индексом $\varkappa$; такие функции образуют базис в алгебре сдвинуто-симметрических функций; см. [29; теорема 8.1], [7; предложение 6.5]. Формула (1.2) позволяет найти асимптотику величины $\Lambda^{S(n)}_{S(k)}(\nu,\varkappa)$ при фиксированном $\varkappa$ и растущем $\nu$. Как приложение получается относительно простое доказательство теоремы Тома о характерах бесконечной симметрической группы (см. [22], [7]). Другой примечательный факт состоит в том, что выражение
$$
\begin{equation*}
\frac{n^{\downarrow k}}{\dim\varkappa}\Lambda^{S(n)}_{S(k)}(\nu,\varkappa),
\end{equation*}
\notag
$$
рассматриваемое как функция разбиения $\nu$, обладает сходством с функцией Шура (что не очевидно из исходного определения (1.1)). В [5] была поставлена задача изучения стохастических матриц $\Lambda^{U(N)}_{U(K)}$, связанных с характерами унитарных групп; здесь матричные элементы $\Lambda^{U(N)}_{U(K)}(\nu,\varkappa)$ индексируются наборами целых чисел
$$
\begin{equation*}
\nu=(\nu_1\geqslant\dots\geqslant\nu_N), \quad \varkappa=(\varkappa_1\geqslant\dots\geqslant\varkappa_K), \qquad K<N.
\end{equation*}
\notag
$$
В той работе мы исходили из замечательной аналогии2 между бесконечной симметрической группой $S(\infty)$ и бесконечномерной унитарной группой $U(\infty)$. Для матричных элементов $\Lambda^{U(N)}_{U(K)}(\nu,\varkappa)$ мы получили в [5] детерминантное выражение “типа Шура”, и оно было применено к новому выводу классификационной теоремы для характеров бесконечномерной унитарной группы $U(\infty)$. Цель настоящей статьи – распространить результаты работы [5] на другие серии компактных классических групп, т.е. на симплектические группы $Sp(2N)$ (серия $\mathcal C$) и ортогональные группы $SO(2N+1)$ и $SO(2N)$ (серии $\mathcal B$ и $\mathcal D$). Как это часто происходит в теории представлений, работать с сериями $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$ тяжелее, нежели с серией $\mathcal A$. В настоящей статье мы фокусируемся на комбинаторных аспектах задачи, а асимптотический анализ отложим до отдельной публикации. 1.2. $\mathrm{B}$-сплайнПо заданному набору $y_1>\dots>y_N$ из $N$ вещественных чисел мы определяем функцию переменной $x\in\mathbb R$:
$$
\begin{equation}
M_N(x;y_1,\dots,y_N):=(N-1)\sum_{i\colon y_i\geqslant x} \frac{(y_i-x)^{N-2}}{\prod_{r\colon r\ne i}(y_i-y_r)}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Отметим, что число слагаемых в правой части зависит от расположения переменной $x$ относительно параметров $y_1,\dots,y_N$. Функция $x\mapsto M_N(x;y_1,\dots,y_N)$ имеет следующие свойства:
Функция $x\mapsto M_N(x;y_1,\dots,y_N)$ называется $\mathrm{B}$-сплайном с узлами $y_1,\dots,y_N$ (буква B происходит от слова basic). Статья Х. Карри и И. Шёнберга [11] содержит замечательные результаты о $\mathrm{B}$-сплайне. Подробнее о сплайновых функциях см. монографию Л. Шумакера [46]. Следующее замечание (принадлежащее А. Ю. Окунькову) связывает $\mathrm{B}$-сплайн со случайными матрицами. Обозначим через $H(N)$ пространство эрмитовых матриц размера $N\times N$. Унитарная группа $U(N)$ действует на $H(N)$ сопряжениями. Обозначим через $\mathcal O(y_1,\dots,y_N)\subset H(N)$ множество матриц с собственными значениями $y_1,\dots,y_N$. Оно является $U(N)$-орбитой и несет на себе (единственную) $U(N)$-инвариантную вероятностную меру, которую мы обозначим через $P(y_1,\dots,y_N)$. Замечание 1.2. Рассмотрим проекцию $\mathcal O(y_1,\dots,y_N)\to\mathbb R$, сопоставляющую матрице $X\in \mathcal O(y_1,\dots,y_N)$ ее матричный элемент $X_{11}$. Образ меры $P(y_1,\dots,y_N)$ относительно этой проекции есть мера $M_N(x;y_1,\dots,y_N)\,dx$. Этот факт легко получить из [11; теорема 2]; см. [38; замечание 8.2]. 1.3. Дискретные $\mathrm{B}$-сплайныНа протяжении работы мы используем стандартное обозначение для символа Похгаммера (или, что то же самое, возрастающей факториальной степени)
$$
\begin{equation*}
(x)_m:=x(x+1)\dotsb(x+m-1)=\frac{\Gamma(x+m)}{\Gamma(x)}, \qquad m=0,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Под дискретным $\mathrm{B}$-сплайном с целочисленными узлами $y_1>\dots>y_N$ понимается функция на $\mathbb Z$, определенная следующим образом:
$$
\begin{equation}
M^{\mathrm{discr}}_N(x;y_1,\dots,y_N):=(N-1)\sum_{i\colon y_i\geqslant x}\frac{(y_i-x+1)_{N-2}}{\prod_{r\colon r\ne i}(y_i-y_r)}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Это согласуется с определением Л. Шумакера (см. [46; п. 8.5]) с точностью до небольших изменений. Отметим, что правая часть в (1.4) не изменится, если вместо условия $y_i\geqslant x$ мы наложим более слабое ограничение $y_i+N-2\geqslant x$: причина в том, что функция $x\mapsto (y-x+1)_{N-2}$ обращается в нуль в точках $y+1,\dots,y+N-2$. Формула (1.4) очень похожа на (1.3), только переменная $x$ теперь пробегает $\mathbb Z$ вместо $\mathbb R$, а обычные степени заменены возрастающими факториальными степенями. Дискретный $\mathrm{B}$-сплайн обладает свойствами, сходными с вышеуказанными свойствами (i)–(iv). В частности, он задает вероятностную меру на $\mathbb Z$ с конечным носителем (это интервал решетки $y_N+N-2\leqslant x\leqslant y_1$). 1.4. Связь с характерами группы $U(N)$Обозначим через $\operatorname{Sign}_N\subset \mathbb Z^N$ множество наборов $\nu=(\nu_1,\dots,\nu_N)$, составленных из $N$ целых чисел и подчиненных неравенствам $\nu_1\geqslant\dots\geqslant\nu_N$. Элементы $\nu\in\operatorname{Sign}_N$ называются сигнатурами длины $N$. Они параметризуют неприводимые характеры унитарной группы $U(N)$; эти характеры можно рассматривать как симметрические полиномы Лорана от $N$ переменных (именуемые также рациональными функциями Шура), и мы обозначаем их через $\chi_{\nu,N}(u_1,\dots,u_N)$. Мы вводим также нормализованные характеры
$$
\begin{equation}
\widetilde\chi_{\nu,N}(u_1,\dots,u_N) :=\frac{\chi_{\nu,N}(u_1,\dots,u_N)}{\chi_{\nu,N}(1,\dots,1)}, \qquad \nu\in\operatorname{Sign}_N.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Заметим, что $u\mapsto \widetilde\chi_{\nu,N}(u,1,\dots,1)$ является полиномом Лорана от одной переменной, и рассмотрим его разложение по мономам, которое запишем в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde\chi_{\nu,N}(u,1,\dots,1)=\sum_{k\in\mathbb Z}\Lambda^N_1(\nu,k) u^k.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Коэффициенты $\Lambda^N_1(\nu,k)$ суть неотрицательные вещественные числа, сумма которых равна $1$ при любой фиксированной сигнатуре $\nu\in\operatorname{Sign}_N$. Таким образом, мы можем рассматривать $\Lambda^N_1(\nu,\,\cdot\,)$ как вероятностное распределение на $\mathbb Z$ с конечным носителем. В комбинаторных терминах величина $\chi_{\nu,N}(1,\dots,1)$ (размерность характера $\chi_{\nu,N}$) равна числу треугольных схем Гельфанда–Цетлина с верхней строкой $\nu$, тогда как $\Lambda^N_1(\nu,k)$ есть доля схем, у которых самое нижнее число равно $k$. Предложение 1.3 (см. [5; формула (7.10)]). Для всякой сигнатуры $\nu\in\operatorname{Sign}_N$ распределение $\Lambda^N_1(\nu,\,\cdot\,)$ является дискретным $\mathrm{B}$-сплайном с узлами $y_i= \nu_i-i+1$: Формально в [5; формула (7.10)] предполагается, что $k\geqslant1$; однако вся картина инвариантна относительно одновременного сдвига всех координат на произвольное целое число, так что это ограничение можно снять. Другой вывод равенства (1.7) можно извлечь из доказательства теоремы 1.2 в статье Л. Петрова [39]. 1.5. Функции типа ШураОбозначим через $\operatorname{Sign}^+_N\subset\operatorname{Sign}_N$ множество положительных сигнатур длины $N$: это наборы целых чисел $\nu=(\nu_1,\dots,\nu_N)$ длины $N$, подчиненных условиям $\nu_1\geqslant\dots\geqslant \nu_N\geqslant0$. Пусть $\phi_0(x)\equiv1, \phi_1(x), \phi_2(x),\dots$ – бесконечная последовательность функций переменной $x$. По сигнатуре $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ мы определяем симметрическую функцию от $N$ переменных $x_1,\dots,x_N$:
$$
\begin{equation}
\phi_{\nu, N}(x_1,\dots,x_N) :=\frac{\det[\phi_{\nu_i+N-i}(x_j)]_{i,j=1}^N}{\det[\phi_{N-i}(x_j)]_{i,j=1}^N}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Отметим, что $\phi_{\varnothing, N}(x_1,\dots,x_N)\equiv1$, где $\varnothing:=(0,\dots,0)$. Определение (1.8) укладывается в формализм, предложенный в статье Дж. Накагавы, М. Ноуми, М. Ширакавы и Я. Ямады [28] в качестве альтернативного подхода к $9$-й вариации функций Шура из статьи И. Г. Макдональда [26]. Это название исторически оправдано, но несколько неудобно для использования. По этой причине мы предпочитаем называть функции (1.8) функциями типа Шура. Если $\phi_n$ – полином степени $n$ ($n=0,1,2,\dots$), то знаменатель в правой части пропорционален определителю Вандермонда
$$
\begin{equation*}
V(x_1,\dots,x_N):=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant N}(x_i-x_j),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что функции $\phi_{\nu,N}$ будут симметрическими полиномами. Такие функции типа Шура иногда называют обобщенными полиномами Шура; см., например, статью А. Н. Сергеева и А. П. Веселова [47]. Отметим, что эти полиномы образуют базис в алгебре симметрических полиномов от $N$ переменных. В частном случае, когда $\phi_n(x)=x^n$ ($n=0,1,2,\dots$), мы получаем обычные полиномы Шура. На протяжении настоящей работы будут возникать разнообразные функции типа Шура. Иногда полиномиальные, иногда нет. 1.6. Стохастические матрицы $\Lambda^N_K$, связанные с полиномами ЯкобиНас интересуют главным образом характеры компактных классических групп
$$
\begin{equation}
Sp(2N)\ (\text{серия }\mathcal C), \qquad SO(2N+1)\ (\text{серия }\mathcal B), \qquad SO(2N) \ (\text{серия }\mathcal D).
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Однако существенная часть наших результатов имеет место в более широком контексте многомерных полиномов Якоби. Напомним, что классические полиномы Якоби $P^{(a,b}_n(x)$ – это ортогональные полиномы с весовой функцией $(1-x)^a(1+x)^b$ на $[-1,1]$ (Г. Сегё [50]). Соответствующие полиномы Якоби от $N$ переменных определяются так:
$$
\begin{equation*}
P^{(a,b)}_{\nu,N}(x_1,\dots,x_N):=\frac{\det[P^{(a,b)}_{\nu_i+N-i}(x_j)]_{i,j=1}^N} {V(x_1,\dots,x_N)}, \qquad \nu\in\operatorname{Sign}^+_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти полиномы являются примером обобщенных полиномов Шура (с точностью до постоянных множителей); они являются также частным случаем более общего трехпараметрического семейства ортогональных полиномов, ассоциированных с корневой системой $BC_N$ (см., например, статью М. Лассаля [24] или лекции Г. Хекмана в [21]). Три выделенных случая параметров Якоби
$$
\begin{equation}
(a,b)=\biggl(\frac12,\frac12\biggr), \biggl(\frac12,-\frac12\biggr),\biggl(-\frac12,-\frac12\biggr)
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
соответствуют характерам групп (1.9) (в том же самом порядке). Более точно, положим $x_i=\frac12(u_i+u^{-1}_i)$ и будем рассматривать $u_1^{\pm1},\dots,u^{\pm1}_N$ как собственные значения матриц. Тогда полиномы $P^{(a,b)}_{\nu,N}$ при подходящей нормализации превращаются в неприводимые характеры; нужно только иметь в виду, что в случае серии $\mathcal D$ и $\nu_N>0$ необходимо брать сумму двух “близнецовых” неприводимых характеров (см., например, А. Окуньков и Г. Ольшанский [30]). Постоянными множителями здесь можно пренебрегать, поскольку мы будем иметь дело с нормализованными характерами и нормализованными полиномами
$$
\begin{equation}
\widetilde P^{(a,b)}_{\nu, N}(x_1,\dots,x_N):=\frac{P^{(a,b)}_{\nu, N}(x_1,\dots,x_N)}{P^{(a,b)}_{\nu, N}(1,\dots,1)}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Определение 1.4. С каждой парой $(N,K)$ натуральных чисел $N>K\geqslant 1$ мы связываем матрицу $\Lambda^N_K$ размера $\operatorname{Sign}^+_N\times\operatorname{Sign}^+_K$: матричные элементы $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ суть коэффициенты в разложении Матрица зависит от параметров Якоби $(a,b)$, но для упрощения обозначений мы их опускаем. Наши предположения относительно параметров Якоби таковы: Здесь первые два неравенства обеспечивают интегрируемость весовой функции. Третье неравенство является дополнительным техническим требованием; оно очевидным образом выполняется для трех специальных значений (1.10). Наша цель – найти явные формулы для матричных элементов $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$, акцентируя внимание на трех выделенных случаях (1.10), отвечающих характерам серий $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$. О матричном элементе $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ можно думать как о функции переменной $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$, а $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$ считать индексом. Или, наоборот, $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ можно считать функцией от $\varkappa$ с индексом $\nu$. Первая точка зрения мотивирована асимптотической теорией представлений, где нас интересуют пределы при больших $N$ (см. [31], [32]). Вторая точка зрения происходит из спектральных задач классической теории представлений и приводит для трех выделенных случаев (1.10) к многомерным дискретным сплайнам. Из правила ветвления для многомерных полиномов Якоби (см. [32; предложение 7.5]) и условия $a+b\geqslant-1$ следует, что матричные элементы $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ неотрицательны (в трех специальных случаях (1.10) это также следует из классического правила ветвления для симплектических и ортогональных характеров; см. книгу Д. П. Желобенко [57]). Далее, суммы матричных элементов по строкам равны $1$ (чтобы это увидеть, нужно подставить $x_1=\dots=x_K=1$ в (1.12)). Это означает, что $\Lambda^N_K(\nu,\,\cdot\,)$ является вероятностным распределением на множестве $\operatorname{Sign}^+_K$ для каждой фиксированной сигнатуры $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$. Иными словами, $\Lambda^N_K$ является стохастической матрицей и ее элементы $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ можно рассматривать как вероятности перехода между множествами $\operatorname{Sign}^+_N$ и $\operatorname{Sign}^+_K$. Переходим к описанию основных результатов (теоремы A–D). 1.7. Тождество типа Коши с участием матриц $\Lambda^N_K$ (теорема A)На протяжении работы используются обозначения Вместо параметров $(a,b)$ часто используются параметры $(a,\varepsilon)$.Для положительного целого числа $N$ и сигнатуры $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ мы полагаем
$$
\begin{equation}
F_N(t;\nu;\varepsilon):=\prod_{i=1}^N\frac{t^2-(N-i+\varepsilon)^2}{t^2-(\nu_i+N-i+\varepsilon)^2}.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Это четная рациональная функция от $t$. Мы называем ее характеристической функцией для сигнатуры $\nu$. Мы полагаем также
$$
\begin{equation}
d_N(\nu;\varepsilon):=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant N}((\nu_i+N-i+\varepsilon)^2-(\nu_j+N-j+\varepsilon)^2).
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Нам нужно, чтобы $d_N(\nu,\varepsilon)$ было ненулевым. В силу этого (и по некоторым другим причинам) было наложено дополнительное ограничение $a+b\geqslant-1$, означающее, что $\varepsilon\geqslant0$. Это гарантирует, что $d_N(\nu,\varepsilon)\ne0$. В трех выделенных случаях (1.10) у нас будет $\varepsilon=1,1/2,0$. Далее, мы вводим последовательность функций
$$
\begin{equation}
g_k(t)=g_k(t;a,\varepsilon,L) :={}_4F_3\biggl[\begin{matrix} -k,\, k+2\varepsilon,\, L,\, L+a\\-t+L+\varepsilon,\, t+L+\varepsilon,\, a+1\end{matrix}\biggm|1\biggr], \qquad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Правая часть является сбалансированным (заальшютцевым) гипергеометрическим рядом (У. Н. Бейли [3; п. 2.5]). Поскольку $k$ – неотрицательное целое число, ряд обрывается и представляет собой рациональную функцию от переменной $t$. Ввиду симметрии $g_k(t)=g_k(-t)$ это в действительности рациональная функция от $t^2$. Отметим, что $g_0(t)\equiv1$. Отметим также, что в пределе $L\to\infty$, скомбинированном с некоторой заменой переменной $t$, функции $g_k(t)$ вырождаются в полиномы Якоби; см. п. 9.3. Из последовательности $\{g_k(t)\}$ мы образуем функции типа Шура согласно (1.8):
$$
\begin{equation}
G_{\varkappa,K}(t_1,\dots,t_K)=\frac{\det[g_{\varkappa_i+K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K} {\det[g_{K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K}, \qquad \varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K\,.
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Теорема A. Имеет место тождество Сумма в правой части конечна и величины $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ определяются из этой формулы однозначно. Доказательство теоремы приведено в § 4. Этот результат имеет вид тождества Коши, связывающего два семейства многомерных функций, каждое из которых индексируется элементами $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$. А именно, эти функции суть $\nu\mapsto \Lambda^N_K(\nu,\varkappa)/d_K(\varkappa;\varepsilon)$ и $G_{\varkappa,K}(t_1,\dots,t_K)$; здесь в первом семействе в качестве переменных берутся сдвинутые координаты $n_i:=\nu_i+N-i$, где $i=1,\dots,N$. Тогда в другой части тождества мы получаем двойное произведение по обоим множествам переменных
$$
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^K \frac{t_j^2-(N-i+\varepsilon)^2}{t_j^2-(n_i+\varepsilon)^2},
\end{equation*}
\notag
$$
которое раздельно симметрично по отношению к перестановкам переменных $n_1,\dots,n_N$ и $t_1,\dots,t_K$ – в точности так же, как в классическом тождестве Коши. 1.8. Детерминантная формула для матричных элементов $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ (теорема B)Для формулировки результата нам потребуется несколько определений. Для произвольного заданного целого числа $L\geqslant2$ мы рассматриваем бесконечную сетку
$$
\begin{equation}
\mathbb A(\varepsilon,L):=\{A_1,A_2,\dots\}\subset \mathbb R_{>0}, \qquad A_m:=L+\varepsilon+m-1, \quad m=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
и обозначаем через $\mathcal F(\varepsilon,L)$ векторное пространство, элементами которого являются четные рациональные функции $f(t)$ комплексного переменного $t$, регулярные в $t=\infty$ и обладающие тем свойством, что все их особенности – это простые полюса, содержащиеся в множестве $(-\mathbb A(\varepsilon,L))\cup \mathbb A(\varepsilon,L)$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal F(\varepsilon,2)\supset \mathcal F(\varepsilon,3)\supset\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
и все эти пространства имеют счетную размерность. Мы показываем, что функции $g_k(t)=g_k(t;a,\varepsilon,L)$ образуют базис в $\mathcal F(\varepsilon, L)$. Для заданной функции $\phi\in\mathcal F(\varepsilon,L)$ мы обозначаем через $(\phi:g_k)$ коэффициенты ее разложения по базисным функциям: Доказательство теоремы приведено в § 4. Отметим, что характеристическая функция (1.14) лежит в пространстве $\mathcal F(\varepsilon,N)$. Более общо, при нашем предложении, что $L=N-K+1$, функция $g_{K-j}F_N$ лежит в $\mathcal F(\varepsilon,L)$ для любого $j=1,\dots, K$. Отсюда следует, что величины $(g_{K-j}F_N: g_{\varkappa_i+K-i})$ корректно определены. Детерминантная формула (1.20) напоминает классическую формулу Якоби–Труди для функций Шура (или, скорее, ее версию для макдональдовской $9$-й версии функций Шура). Этот результат выводится из теоремы A подобно выводу классической формулы Якоби–Труди из тождества Коши. Теоремы A и B показывают, что если интерпретировать $\nu$ как переменную, а $\varkappa$ как индекс, то для функций
$$
\begin{equation*}
\nu\mapsto \frac{\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)}{d_K(\varkappa;\varepsilon)}
\end{equation*}
\notag
$$
выполняются два фундаментальных свойства функций типа Шура – тождества Коши и Якоби–Труди. 1.9. Вычисление матричных элементов $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ (теоремы C и D)Наши последующие действия продиктованы желанием найти явное выражение для элементов $K\times K$ матрицы в правой части формулы (1.20). Это приводит к задаче вычисления коэффициентов $(\phi:g_k)$ разложения (1.19) для заданной функции $\phi\in\mathcal F(\varepsilon,L)$. Ее решение позволит получить в явном виде матричные элементы $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ из детерминантной формулы (1.20), поскольку матричные элементы в правой части имеют вид $(\phi:g_k)$ с $\phi=g_{K-j}F_N\in\mathcal F(\varepsilon,L)$ и $k=\varkappa_i+K-i$. Наш подход к решению следующий. Для заданной функции $\phi\in \mathcal F(\varepsilon,L)$ мы обозначаем через $\operatorname*{Res}_{t=A_m}{\phi(t)}$ ее вычет в точке $t=A_m\in\mathbb A(\varepsilon,L)$. Поскольку $\phi(t)$ рациональна, число ее полюсов конечно. Нам понадобится самый естественный и простой базис в пространстве $\mathcal F(\varepsilon,L)$, он состоит из функций
$$
\begin{equation}
e_0(t)\equiv1, \qquad e_m(t):=\frac1{t-A_m}-\frac1{t+A_m}, \quad m\in\mathbb Z_{\geqslant1}.
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
По аналогии с (1.19) мы обозначим через $(e_m:g_k)$ коэффициенты перехода между базисами $\{e_m\}$ и $\{g_k\}$. Далее, нетрудно показать, что для любой $\phi\in \mathcal F(\varepsilon,L)$
$$
\begin{equation}
(\phi:g_k)=\begin{cases} \displaystyle \sum_{m\geqslant k}\operatorname*{Res}_{t=A_m}(\phi(t))(e_m:g_k), & k\geqslant1, \\ \displaystyle \phi(\infty)+\sum_{m\geqslant1}\operatorname*{Res}_{t=A_m}(\phi(t))(e_m: g_0), & k=0 \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
(см. предложение 5.1). Суммы в (1.22) в действительности конечны, поскольку число полюсов конечно. Теорема C. Коэффициенты перехода $(e_m:g_k)$ допускают явное выражение через обрывающийся гипергеометрический ряд типа ${}_4F_3$. Более подробная формулировка этого результата дана в теореме 5.2. Объединяя (1.22) с теоремой C, мы получаем выражение для матричных элементов в правой части формулы (1.20). Конечный результат выглядит громоздким, поскольку в него входят вычеты функций $\phi=g_{K-j}F_N$, которые даются обобщенными гипергеометрическими рядами типа ${}_4F_3$, а также коэффициенты перехода, которые даются некоторыми другими рядами того же типа ${}_4F_3$. Однако ситуация радикально упрощается для симплектических и ортогональных характеров. Теорема D. Рассмотрим три выделенных случая (1.10) параметров Якоби, которые отвечают характерам классических групп типов $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$. Тогда матричные элементы $(g_{K-j}F_N: g_{\varkappa_i+K-i})$ в правой части формулы (1.20) допускают элементарное выражение. Подробная формулировка результата дается в теореме 8.1. Оказывается, что в трех выделенных случаях оба семейства ${}_4F_3$-рядов (для функций $g_k(t)$ и для коэффициентов $(e_m:g_k)$) чудесным образом суммируются в явном виде. Это показано в теореме 6.1 и в теореме 7.1 соответственно. В частном случае $K=1$ мы получаем симплектическую и ортогональную версии дискретного $\mathrm{B}$-сплайна (п. 8.2). 1.10. Замечания1. Настоящая статья является продолжением работы А. Бородина и автора [5]. В [5] были получены аналогичные результаты для серии $\mathcal A$, т.е. для характеров унитарных групп $U(N)$. Однако случай симплектических и ортогональных характеров, а особенно многомерных полиномов Якоби, более труден. 2. Часть результатов работы [5] была передоказана и обобщена Л. Петровым (см. [39]). Его метод совсем иной; он позволяет вычислить корреляционное ядро для двумерного детерминантного точечного процесса, который порожден стохастическими матрицами $\Lambda^N_{N-1}$, связанными с характерами унитарных групп. Явное выражение для матричных элементов $\Lambda^N_K$ из [5] тогда получается как прямое следствие. Более того, Л. Петров нашел также $q$-версию этих результатов. С другой стороны, его подход не дает тождество типа Коши. 3. В некотором скейлинговом предельном режиме стохастические матрицы $\Lambda^N_K$ всех четырех типов $\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal C$, $\mathcal D$ вырождаются в непрерывные марковские ядра; последние связаны с “уголковыми” (corner) процессами из теории случайных матриц. Эти марковские ядра задаются детерминантными выражениями, содержащими непрерывные сплайновые функции; см. работы автора [33], Ж. Фаро [16] и Д. И. Зубова [58]. Результаты этих работ не опираются на [5]. С другой стороны, их можно вывести из более ранних результатов М. Дефоссё [12] о корреляционных функциях “уголковых” процессов. 4. Задача об ограничении характеров классических групп и многомерных полиномов Якоби рассматривалась также В. Гориным и Г. Пановой в [20], но с другой точки зрения. А именно, этих авторов интересовало нахождение явных формул для результирующих функций, а спектральным разложением они не занимались. Наш подход описывает дуальную картину – она связана с контекстом работы [20] аналогом преобразования Фурье. Такие аспекты задачи, как тождество типа Коши из теоремы A или связь с дискретными сплайнами, в контексте [20] не возникают. Мне кажется, оба подхода хорошо дополняют друг друга. В случае характеров унитарных групп не слишком трудно (по крайней мере для $K=1$) вывести формулы работы [5] из результатов [20], но для характеров серий $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$ такой путь представляется нелегким. 5. Настоящая работа, равно как и [5], возникла из задачи асимптотической теории представлений. Наши формулы для матричных элементов $\Lambda^N_K(\nu, \varkappa)$ для случая характеров серий $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$ хорошо приспособлены к предельному переходу $N\to\infty$ в духе [5; § 8], что дает еще один подход к классификации экстремальных характеров для бесконечномерных групп, симплектической и ортогональной3. Предшествующие работы на эту тему – это Р. Бойер [8], Д. Пикрел [40], А. Окуньков и И. Г. Ольшанский [31], В. Горин и Г. Панова [20]. 6. Связь настоящей работы с дискретными сплайнами, как мне кажется, представляет интерес. Вообще, связи с классическим анализом уже возникали в целом ряде вопросов, касающихся представлений бесконечномерных групп. Вот несколько примеров.
Связь с $\mathrm{B}$-сплайном и его дискретной версией добавляет еще один пункт к этому перечню связей с классическим анализом. Отметим, что предельный переход в $\mathrm{B}$-сплайне при $N\to\infty$, изучавшийся Х. Карри и И. Шёнбергом в [11], непосредственно связан с асимптотическим подходом к классификации сферических функций для $U(\infty)\ltimes H(\infty)$. Аналогично, сходная асимптотическая задача для дискретного $\mathrm{B}$-сплайна связана с классификацией характеров группы $U(\infty)$. Далее, не так давно специалисты по сплайнам обнаружили, что у $\mathrm{B}$-сплайна существует $q$-деформированная версия (П. Симеонов и Р. Голдман [48]); из последующих работ отметим статью Г. Будакчи и Х. Оруч [10]. Как отмечено автором [36], эта новая версия сплайна возникает также и в вопросах теории представлений, связанных с работами В. Горина [18], Л. Петрова [39], В. Горина и Г. Ольшанского [19]. 1.11. Структура работыКраткие § 2 и § 3 содержат предварительный материал. Затем мы переходим к доказательству теорем A и B (§ 4) и теоремы C (§ 5). В § 6 и § 7 упрощаются гипергеометрические ряды в трех выделенных случаях (1.10). В § 8 из этих результатов выводится теорема D. Как следствие получаем симплектическую и ортогональную версию дискретного $\mathrm{B}$-сплайна. В § 9 содержится несколько замечаний, в том числе пример биортогональной системы рациональных функций. § 2. Многопараметрические и дуальные функции ШураВ этом параграфе приведены формулировки нескольких результатов из [37; § 4], которые понадобятся в дальнейшем. (Как отмечается в [37], эти результаты можно также извлечь из более ранней работы А. И. Молева [27].) Определение 2.1 (многопараметрические полиномы Шура). Обозначим через $(c_0,c_1,c_2,\dots)$ бесконечную последовательность параметров и рассмотрим следующие полиномы со старшим коэффициентом $1$: Определение 2.2 (дуальные функции Шура). Применим определение функций типа Шура (п. 1.5), взяв (отметим сдвиг на $1$ в индексации параметров). Соответствующие функции от $N$ переменных обозначаются через $\sigma_{\mu, N}(y_1,\dots,y_N\mid c_1,c_2,\dots)$: Лемма 2.3. Дуальные функции Шура (2.1) обладают следующим свойством стабильности: См. [37; лемма 4.5]. См. [37; лемма 4.6]. Лемма 2.5. Дуальные функции Шура от $N$ переменных образуют топологический базис в подалгебре алгебры $\mathbb C[[y_1^{-1},\dots,y_N^{-1}]]$, состоящей из симметрических формальных степенных рядов. См. [37; лемма 4.7]. Предложение 2.6 (тождество типа Коши). Для $K\,{\leqslant}\, N$ имеет место тождество См. [37; предложение 4.8]. § 3. Свойство когерентности для специальных многопараметрических полиномов ШураВ следующем предложении мы используем нормализованные полиномы Якоби $\widetilde P^{(a,b)}_{\nu,N}$, определенные в (1.11), многопараметрические полиномы Шура (определение 2.1), отвечающие специальной последовательности параметров
$$
\begin{equation*}
(\varepsilon^2,(\varepsilon+1)^2, (\varepsilon+2)^2,\dots),
\end{equation*}
\notag
$$
и обычные полиномы Шура $S_{\mu,N}$. Напомним, что $\varepsilon=(a+b+1)/2$. Для $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ полагаем Предложение 3.1 (биномиальная формула для полиномов Якоби). Пусть $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$. Имеет место формула См. А. Окуньков и Г. Ольшанский [30; теорема 1.2] и [32; предложение 7.4]. Пусть $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ и $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$, где $N>K\geqslant1$. Напомним, что величины $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ суть коэффициенты в разложении
$$
\begin{equation}
\widetilde P^{(a,b)}_{\nu, N}(x_1,\dots,x_K,1,\dots,1) =\sum_{\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K}\Lambda^N_K(\nu,\varkappa) \widetilde P^{(a,b)}_{\varkappa, K}(x_1,\dots,x_K).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Далее, пусть $\mu\in\operatorname{Sign}^+_K$. Мы можем рассматривать $\mu$ и как сигнатуру длины $N$, дописав $N-K$ нулей (это происходит в левой части нижеследующего соотношения (3.5)). По аналогии с (3.1) мы полагаем также
$$
\begin{equation*}
k_i:=\varkappa_i+K-i, \qquad 1\leqslant i\leqslant K.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3.2 (свойство когерентности). С учетом введенных обозначений имеет место следующее соотношение: Комментарии. 1. Ряд в правой части обрывается, поскольку для любого $\nu$ есть только конечное число элементов $\varkappa$, для которых $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)\ne0$. В самом деле, для выполнения условия $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)\ne0$ необходимо ограничение $\varkappa_1\leqslant\nu_1$, что видно из правила ветвления для многомерных полиномов Якоби (см. [32; предложение 7.5]). 2. Аналогичное соотношение имеет место в случае серии $\mathcal A$ (см. [5; соотношение (5.6)] и [29; соотношение (10.30)]). 3. Пусть $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ фиксировано, а $\mu$ пробегает $\operatorname{Sign}^+_K$. Тогда $\Lambda^N_K(\nu,\,\cdot\,)$ является единственным решением с конечным носителем для системы линейных уравнений, задаваемой соотношениями когерентности (3.5). Это следует из того факта, что многопараметрические полиномы Шура в правой части равенства (3.5) образуют базис в алгебре симметрических полиномов от $K$ переменных, а эта алгебра разделяет $K$-точечные конфигурации вида отвечающие сигнатурам $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$. Доказательство теоремы 3.2. Применим биномиальную формулу (3.2) и определение (3.4). Сделаем замену $N\to K$ и $\nu\to \varkappa$; тогда равенство (3.2) превратится в
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde P^{(a,b)}_{\varkappa, K}(1+\alpha_1,\dots,1+\alpha_K) \\ &\qquad =\sum_{\mu\in\operatorname{Sign}^+_K}\frac{S_{\mu, K}((k_1+\varepsilon)^2,\dots,(k_K+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2,(\varepsilon+1)^2,\dots)} {C(K,\mu;a)}S_{\mu, K}(\alpha_1,\dots,\alpha_K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив это в (3.4) и изменив порядок суммирования, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widetilde P^{(a,b)}_{\nu, N}(1+\alpha_1,\dots,1+\alpha_K,1,\dots,1) \\ \notag &\quad =\sum_{\mu\in\operatorname{Sign}^+_K}\biggl(\sum_{\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K} \Lambda^N_K(\nu,\varkappa)\frac{S_{\mu, K}((k_1+\varepsilon)^2,\dots,(k_K+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)}{C(K,\mu;a)}\biggr) \\ &\quad\qquad \times S_{\mu, K}(\alpha_1,\dots,\alpha_K). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
С другой стороны, специализация $\alpha_{K+1}=\dots=\alpha_N=0$ в биномиальной формуле (3.2) дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widetilde P^{(a,b)}_{\nu, N}(1+\alpha_1,\dots,1+\alpha_K, 1,\dots,1) \\ &\qquad=\sum_{\mu\in\mathbb L_K}\frac{S_{\mu, N}((n_1+\varepsilon)^2,\dots,(n_N+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2,(\varepsilon+1)^2,\dots)} {C(N,\mu;a)}S_{\mu, K}(\alpha_1,\dots,\alpha_K). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Сравнивая (3.6) с (3.7) и приравнивая коэффициенты при полиномах Шура $S_{\mu, K}(\alpha_1,\dots,\alpha_K)$, мы приходим к желаемой формуле (3.5). Теорема 3.2 доказана. § 4. Тождество типа Коши и детерминантная формула для матричных элементов $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$: доказательство теорем A и BВ этом параграфе мы фиксируем параметры Якоби $(a,b)$, удовлетворяющие условиям $a>-1$, $b>-1$ и $a+b\geqslant-1$, так что параметр $\varepsilon$, который равен $\frac12(a+b+1)$, неотрицателен. Мы работаем с функциями $g_k(t)$, функциями типа Шура $G_\varkappa(t_1,\dots,t_K)$, характеристической функцией $F_N(t;\nu;\varepsilon)$ для сигнатуры $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ и пространством $\mathcal F(\varepsilon,L)$, связанным с сеткой $\mathbb A(\varepsilon,L)$, состоящей из точек $A_m:=L+\varepsilon+m-1$, где $m=1,2,\dots$ . Все эти объекты были определены в пп. 1.7, 1.8. Мы предполагаем, что $N>K$ и $L=N-K+1$, так что $L\geqslant2$. Лемма 4.1. Для всякого $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ функция $\prod_{j=1}^KF_N(t_j;\nu;\varepsilon)$ может быть представлена, причем единственным образом, как конечная линейная комбинация функций $G_\varkappa(t_1,\dots,t_K)$, где $\varkappa$ пробегает $\operatorname{Sign}^+_K$. Доказательство. Шаг 1. Из определения (1.16) функций $g_k(t)$ видно, что они четны, рациональны и регулярны в $t=\infty$. Функция $g_0(t)$ есть константа $1$. Если $k\geqslant1$, то особенности функции $g_k(t)$ – это простые полюса, содержащиеся в множестве $\{\pm A_1,\dots, \pm A_k\}$; более того, вычет в $\pm A_k$ не равен нулю. Отсюда следует, что функции $g_k(t)$ образуют базис в $\mathcal F(\varepsilon,L)$.
Шаг 2. Очевидно, что утверждение леммы эквивалентно следующему: существует единственное конечное разложение вида
$$
\begin{equation}
\det[g_{K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K\prod_{j=1}^KF_N(t_j;\nu;\varepsilon) =\sum_{k_1>\dots>k_K\geqslant0}(\cdots)\det[g_{k_i}(t_j)]_{i,j=1}^K,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где три точки обозначают некоторые коэффициенты.
Запишем левую часть как
$$
\begin{equation*}
\det[g_{K-i}(t_j)F_N(t_j;\nu;\varepsilon)]_{i,j=1}^K.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу шага 1 существование и единственность разложения (4.1) сводится к следующему утверждению для функций одной переменной $t$: для каждого $m=0,\dots, K-1$ функция $ g_m(t) F_N(t;\nu;\varepsilon)$ лежит в пространстве $\mathcal F(\varepsilon,L)$.
Шаг 3. Докажем последнее утверждение. Ясно, что функция $ g_m(t) F_N(t;\nu;\varepsilon)$ четна, рациональна и регулярна в бесконечности. Остается выяснить ее особенности. Из определения (1.14) функции $F_N(t;\nu;\varepsilon)$ следует, что все ее особенности являются простыми полюсами, лежащими в множестве
$$
\begin{equation*}
\{\pm (N+\varepsilon), \pm(N+\varepsilon+1), \pm(N+\varepsilon+2), \dots\},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда как особенности функций $g_m(t)$ с $m\ne0$ суть простые полюса, содержащиеся в множестве
$$
\begin{equation*}
\{\pm (L+\varepsilon), \pm(L+\varepsilon+1),\dots, \pm(L+\varepsilon+m-1)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $m\leqslant K-1$ и $L=N-K+1$, эти множества дизъюнктны. Далее, они содержатся в $(-\mathbb A(\varepsilon,L))\cup\mathbb A(\varepsilon,L)$. Стало быть, произведение $ g_m(t) F_N(t;\nu;\varepsilon)$ имеет только простые полюса и все они содержатся в $(-\mathbb A(\varepsilon,L))\cup\mathbb A(\varepsilon,L)$. Это доказывает, что $ g_m(t) F_N(t;\nu;\varepsilon)$ лежит в пространстве $\mathcal F(\varepsilon,L)$.
Лемма 4.1 доказана. Для $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$ мы полагаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d_K(\varkappa;\varepsilon) &:=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant K}\frac{(k_i+\varepsilon)^2-(k_j+\varepsilon)^2}{(k^0_i+\varepsilon)^2-(k^0_j+\varepsilon)^2} \\ &=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant K}\frac{(\varkappa_i+K-i+\varepsilon)^2 -(\varkappa_j+K-j+\varepsilon)^2}{(K-i+\varepsilon)^2-(K-j+\varepsilon)^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Мы покажем, что точный вид разложения в лемме 4.1 таков:
$$
\begin{equation}
\prod_{j=1}^KF_N(t_j;\nu;\varepsilon)=\sum_{\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K}\frac{\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)}{d_K(\varkappa;\varepsilon)}\,G_\varkappa(t_1,\dots,t_K).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Прежде чем перейти к доказательству, нам понадобится некоторая подготовка. В нижеследующей лемме мы имеем дело с частным случаем многопараметрических полиномов Шура (определение 2.1) и дуальных функций Шура (определение 2.2). Мы предполагаем, что $\mu,\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$, и пишем $\mu\subseteq\varkappa$, если $\mu_i\leqslant\varkappa_i$ для всех $i=1,\dots,K$. Лемма 4.2. Для $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$ имеет место разложение В силу ограничения $\mu\subseteq\varkappa$ разложение (4.4) конечно. Вот немедленное следствие леммы. Следствие 4.3. Рациональная функция в левой части равенства (4.4), рассматриваемая как функция от переменных $t_1^{-1},\dots,t_K^{-1}$, регулярна в точке $(0,\dots,0)$, и ее значение в этой точке равно $1$. В самом деле, это следует из того факта, что коэффициент $A_{\varnothing,\varkappa}$, отвечающий сигнатуре $\varnothing=(0,\dots,0)$, равен $1$. Доказательство леммы 4.2. Шаг 1. Перепишем определение (1.16) функции $g_k(t)$ в виде где Идея тут в том, чтобы отделить члены, зависящие от $t$, от членов, зависящих от $k$. Формально бесконечный ряд обрывается благодаря множителю $(-k)_m$.
Из этого представления следует, что для $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\det[g_{k_i}(t_j)]_{i,j=1}^K=\sum_{m_1>\dots>m_r\geqslant0} \det[X(k_i,m_r)]_{i,r=1}^K\det[Y(t_j,m_r)]_{j,r=1}^K.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Пусть $\mu\in\operatorname{Sign}^+_K$ – сигнатура, отвечающая набору $(m_1,\dots,m_K)$; это означает, что $\mu_i=m_i-(K-i)$ для $i=1,\dots,K$. Заметим, что $\det[X(k_i,m_r)]_{i,r=1}^K=0$ всякий раз, когда не выполнено хотя бы одно из неравенств $m_i\leqslant k_i$, где $i=1,\dots,K$. В самом деле, предположим противное; тогда имеется индекс $s$, для которого $m_s>k_s$. Отсюда следует, что $m_i>k_r$, коль скоро $i\leqslant s\leqslant r$. Ввиду наличия множителя $(-k)_m$ в (4.6) для всякой такой пары $(i,r)$ происходит обнуление соответствующего матричного элемента $X(k_i,m_r)$. А это в свою очередь влечет обнуление определителя. Мы доказали, что суммирование в (4.8) фактически происходит по сигнатурам $\mu\subseteq\varkappa$. Шаг 2. В частности, в случае $\varkappa=\varnothing$ сумма (4.8) сводится к единственному слагаемому:
$$
\begin{equation}
\det[g_{K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K=\det[X(K-i,K-r)]_{i,r=1}^K\det[Y(t_j,K-r)]_{j,r=1}^K.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Из (4.8), (4.9) и определения (1.17) функции $G_\varkappa(t_1,\dots,t_K)$ мы получаем
$$
\begin{equation}
G_\varkappa(t_1,\dots,t_K)=\sum_{\mu\colon \mu\subseteq\varkappa}\frac{\det[X(k_i,m_r)]_{i,r=1}^K}{\det[X(K-i,K-r)]_{i,r=1}^K}\frac{\det[Y(t_j,m_r)]_{j,r=1}^K}{\det[Y(t_j,K-r)]_{j,r=1}^K}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Разделим обе части равенства (4.10) на $d_K(\varkappa;\varepsilon)$. Тогда в левой части появится то же, что в (4.4). Мы собираемся показать, что
$$
\begin{equation}
\frac1{d_K(\varkappa;\varepsilon)}\,\frac{\det[X(k_i,m_r)]_{i,r=1}^K}{\det[X(K-i,K-r)]_{i,r=1}^K} =(-1)^{|\mu|}A_{\mu,\varkappa},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\det[Y(t_j,m_r)]_{j,r=1}^K}{\det[Y(t_j,K-r)]_{j,r=1}^K}=(-1)^{|\mu|}\sigma_{\mu, K}(t_1^2,\dots,t_K^2\mid (L+\varepsilon)^2, (L+\varepsilon+1)^2,\dots).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Тогда это даст нам желаемое равенство (4.4).
Шаг 3. Докажем (4.11). Из определения выражения $X(k,m)$ (см. (4.6)) мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\det[X(k_i,m_r)]_{i,r=1}^K}{\det[X(K-i,K-r)]_{i,r=1}^K} &=(\text{произведение в (4.5)}) \\ &\qquad\times\frac{\det[(-k_i)_{m_r}(k_i+2\varepsilon)_{m_r}]} {\det[(-(K-i))_{K-r}(K-i+2\varepsilon)_{K-r}]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (-k)_m(k+2\varepsilon)_m &=\prod_{\ell=0}^{m-1}(-k+\ell)(k+2\varepsilon+\ell) =(-1)^m\prod_{l=0}^{m-1}((k+\varepsilon)^2-(\varepsilon+\ell)^2) \\ &=(-1)^m((k+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)^m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Отсюда следует
$$
\begin{equation}
\frac{\det[(-k_i)_{m_r}(k_i+2\varepsilon)_{m_r}]}{\det[(-(K-i))_{K-r}(K-i)_{K-r}]} =(-1)^{|\mu|}\frac{\det[((k_i+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)^{m_r}]}{\det[((K-i+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)^{K-r}]}.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Далее, заметим, что
$$
\begin{equation*}
\det[((K-i+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)^{K-r}]=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant K}((K-i)^2-(K-j)^2),
\end{equation*}
\notag
$$
и воспользуемся определением (4.2) для $d_K(\varkappa;\varepsilon)$. Это позволяет записать левую часть формулы (4.11) как
$$
\begin{equation*}
(\text{произведение в (4.5)}) \times (-1)^{|\mu|}\frac{\det[((k_i+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)^{m_r}]}{\prod_{1\leqslant i<j\leqslant K}((k_i+\varepsilon)^2-(k_j+\varepsilon)^2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения 2.1 многопараметрических полиномов Шура мы заключаем, что полученное выражение действительно равно $(-1)^{|\mu|} A_{\mu,\varkappa}$.
Шаг 4. Докажем (4.12). Имеет место равенство, сходное с (4.14):
$$
\begin{equation}
(-t+\varepsilon+L)_m(t+\varepsilon+L)_m=(-1)^m (t^2\mid (L+\varepsilon)^2,(L+\varepsilon+1)^2,\dots)^m.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Отсюда и из определения выражения $Y(t,m)$ (см. (4.7)) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\det[Y(t_j,m_r)]_{j,r=1}^K}{\det[Y(t_j,K-r)]_{j,r=1}^K} =(-1)^{|\mu|}\frac{\det\biggl[\dfrac1{(t_j^2\mid (\varepsilon+L)^2,(\varepsilon+L+1)^2,\dots)^{m_r}} \biggr]}{\det\biggl[\dfrac1{(t_j^2\mid (\varepsilon+L)^2,(\varepsilon+L+1)^2,\dots)^{K-r}}\biggr]}.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
В силу определения 2.2 дуальных функций Шура это равно правой части в (4.12).
Лемма 4.2 доказана. Доказательство теоремы A. Шаг 1. Начнем с соотношения когерентности (3.5), которое запишем в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S_{\mu, N}((n_1+\varepsilon)^2,\dots,(n_N+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2, \dots) \\ &\quad =\sum_{\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K} \Lambda^N_K(\nu,\varkappa)S_{\mu, K}((k_1+\varepsilon)^2,\dots,(k_K+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)\frac{C(N,\mu;a)}{C(K,\mu;a)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mu\in\operatorname{Sign}^+_K$ произвольно; напомним также, что сумма конечна, поскольку для любого фиксированного $\nu$ величина $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ отлична от нуля только для конечного числа элементов $\varkappa$.
Умножим обе части равенства на
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\mu, K}(t^2_1,\dots,t^2_K\mid (\varepsilon+N-K+1)^2,\,(\varepsilon+N-K+2)^2,\,\dots)
\end{equation*}
\notag
$$
и просуммируем по всем $\mu\in\operatorname{Sign}^+_K$, что имеет смысл в алгебре формальных степенных рядов по $t^{-2}_1,\dots,t^{-2}_K$ в силу леммы 2.5. Получившееся равенство имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{\mu\in\operatorname{Sign}^+_K}S_{\mu, N}((n_1+\varepsilon)^2,\dots,(n_N+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2,(\varepsilon+1)^2,\dots) \\ \notag &\qquad\qquad \times \sigma_{\mu, K}(t^2_1,\dots,t^2_K\mid (\varepsilon+N-K+1)^2,\,(\varepsilon+N-K+2)^2,\,\dots) \\ \notag &\qquad=\sum_{\mu\in\operatorname{Sign}^+_K}\sum_{\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K} \Lambda^N_K(\nu,\varkappa)S_{\mu, K}((k_1+\varepsilon)^2,\dots,(k_K+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2,(\varepsilon+1)^2,\dots) \\ &\qquad\qquad \times \frac{C(N,\mu;a)}{C(K,\mu;a)} \sigma_{\mu, K}(t^2_1,\dots,t^2_K\mid (\varepsilon+N-K+1)^2,\,(\varepsilon+N-K+2)^2,\,\dots). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Мы покажем, что это равенство можно преобразовать в (4.3). Шаг 2. Займемся левой частью в (4.18). Применим к ней тождество типа Коши (см. (2.4))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\mu\colon\ell(\mu)\leqslant K}S_{\mu, N}(x_1,\dots,x_N\mid c_0,c_1,\dots) \sigma_{\mu \mid K}(y_1,\dots,y_K\mid c_{N-K+1},c_{N-K+2},\dots) \\ &\qquad =\prod_{j=1}^K\frac{(y_j-c_0)\cdots(y_j-c_{N-1})}{(y_j-x_1)\cdots(y_j-x_N)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в котором мы специализируем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_1:=(n_1+\varepsilon)^2, \quad \dots, \quad x_N:=(n_N+\varepsilon)^2, \qquad y_1:=t_1^2, \quad \dots, \quad y_K:=t_K^2, \\ c_i:=(\varepsilon+i)^2, \qquad i=0,1,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получим левую часть в (4.3).
Шаг 3. Перейдем теперь к правой части равенства (4.18). Здесь мы можем поменять порядок суммирования, поскольку $\varkappa$ фактически пробегает конечное множество, зависящее лишь от $\nu$. Тогда мы получим двойную сумму
$$
\begin{equation*}
\sum_{\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K}\Lambda^N_K(\nu,\varkappa) \sum_{\mu\in\operatorname{Sign}^+_K}(\cdots),
\end{equation*}
\notag
$$
где внутренняя сумма по $\mu$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{\mu\in\operatorname{Sign}^+_K} S_{\mu, K}((k_1+\varepsilon)^2,\dots,(k_K+\varepsilon)^2\mid \varepsilon^2, (\varepsilon+1)^2,\dots)\frac{C(N,\mu;a)}{C(K,\mu;a)} \\ &\qquad\qquad \times \sigma_{\mu, K}(t^2_1,\dots,t^2_K\mid (\varepsilon+N-K+1)^2,\,(\varepsilon+N-K+2)^2,\,\dots). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Мы докажем, что эта сумма равна
$$
\begin{equation*}
\frac{G_\varkappa(t_1,\dots,t_K)}{d_K(\varkappa,\varepsilon)},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в свою очередь будет следовать, что правая часть в (4.18) совпадает с правой частью в (4.3).
Сопоставив (4.19) с результатом леммы 4.2, мы видим, что остается проверить равенство
$$
\begin{equation}
\frac{C(N,\mu;a)}{C(K,\mu;a)}=\prod_{i=1}^K \frac{(L)_{m_i}(L+a)_{m_i}(a+1)_{K-i}(K-i)!}{(a+1)_{m_i}m_i!\, (L)_{K-i}(L+a)_{K-i}}.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Величины в левой части были определены в (3.3); они даются формулами
$$
\begin{equation}
C(N,\mu;a)= 2^{|\mu|}\, \prod_{i=1}^N \frac{\Gamma(\mu_i+N-i+1)\Gamma(\mu_i+N-i+a+1)} {\Gamma(N-i+1)\Gamma(N-i+a+1)},
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
$$
\begin{equation}
C(K,\mu;a)= 2^{|\mu|}\, \prod_{i=1}^K \frac{\Gamma(\mu_i+K-i+1)\Gamma(\mu_i+K-i+a+1)} {\Gamma(K-i+1)\Gamma(K-i+a+1)}.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Поскольку $\ell(\mu)\leqslant K$, произведение (4.21) в действительности может быть сужено на $i=1,\dots,K$. После чего равенство (4.20) легко проверяется.
Теорема A доказана. Замечание 4.4. Основными компонентами доказательства теоремы A являются две формулы с участием функций типа Шура: тождество типа Коши (2.4) и соотношение когерентности (3.5). Аналогичный механизм работает и в случае унитарных групп (см. [5]). Замечание 4.5. В утверждении теоремы A предполагалось, что $N>K$. Здесь мы разберем, что происходит при $N=K$. Из доказательства видно, что оно работает и для $N=K$ с учетом того факта, что $\Lambda^K_K(\nu,\varkappa)=\delta_{\nu,\varkappa}$. Тогда результат сводится к равенству где мы используем более подробное обозначение $G_\varkappa(t_1,\dots,t_K;a,\varepsilon,L)$ вместо $G_\varkappa(t_1,\dots,t_K)$, a затем специализируем $L$ в $1$, поскольку $N=K$ означает, что $L=1$. Перепишем это равенство как
$$
\begin{equation*}
G_\varkappa(t_1,\dots,t_K;a,\varepsilon,1)=d_K(\varkappa;\varepsilon) \prod_{j=1}^KF_K(t_j;\varkappa;\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
или в еще более подробном виде (мы используем определение (1.14))
$$
\begin{equation}
G_\varkappa(t_1,\dots,t_K;a,\varepsilon,1)=\prod_{j=1}^K\prod_{i=1}^K \frac{t_j^2-(k^0_i+\varepsilon)^2}{t_j^2-(\varkappa_i+\varepsilon)^2}\cdot \prod_{1\leqslant i<j\leqslant K}\frac{(k_i+\varepsilon)^2-(k_j+\varepsilon)^2}{(k_i^0+\varepsilon)^2-(k_j^0+\varepsilon)^2},
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где $k_i:=\varkappa_i+K-i$ и $k^0_i:=K-i$. Формулу (4.23) можно также проверить и напрямую следующим образом. Для $L=1$ определение (1.16) радикально упрощается и принимает вид
$$
\begin{equation}
g_k(t;a,\varepsilon,1):={}_3F_2 \biggl[\begin{matrix} -k,\, k+2\varepsilon,\, 1 \\ -t+1+\varepsilon,\, t+1+\varepsilon \end{matrix} \biggm|1\biggr] =\frac{t^2-\varepsilon^2}{t^2-(k+\varepsilon)^2},
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
где второе равенство следует из хорошо известной сумматорной формулы Заальшютца (У. Н. Бейли [3; п. 2.2, формула (1)]). Полученное выражение (4.24) есть в точности частный случай равенства (4.23), отвечающий $K=1$. Далее, используя (4.24), мы получаем для $K\geqslant2$
$$
\begin{equation*}
\det[g_{k_i}(t_j;a,\varepsilon,1)]_{i,j=1}^K =\prod_{j=1}^K(t_j^2-\varepsilon^2)\cdot\det\biggl[\frac1{t_j^2-(k_i+\varepsilon)^2}\biggr]_{i,j=1}^K.
\end{equation*}
\notag
$$
Определитель справа есть определитель Коши. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\det[g_{k_i}(t_j;a,\varepsilon,1)]_{i,j=1}^K=(\cdots) \prod_{i,j=1}^K\frac1{t_j^2-(k_i+\varepsilon)^2}\cdot\prod_{1\leqslant i<j\leqslant K}((k_i+\varepsilon)^2-(k_j+\varepsilon)^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточие обозначает некоторое выражение, зависящее только от переменных $t_j$, но не от параметров $k_i$. Поделив на аналогичное выражение с $k_i=k_i^0$, мы в итоге получим (4.23). Напомним, что функции $g_k(t)$ образуют базис пространства $\mathcal F(\varepsilon,L)$ (шаг 1 доказательства леммы 4.1). Для заданной функции $\phi\in \mathcal F(\varepsilon,L)$ мы обозначаем через $(\phi: g_k)$ коэффициент с номером $k$ ($k=0,1,2,\dots$) в ее разложении по базису $\{g_0,g_1,\dots\}$. Доказательство теоремы B. Нам нужно доказать, что справедлива следующая детерминантная формула:
Напомним, что согласно формуле (4.3)
$$
\begin{equation}
\prod_{j=1}^KF_N(t_j;\nu;\varepsilon) =\sum_{\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K}\frac{\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)} {d_K(\varkappa;\varepsilon)}\,G_\varkappa(t_1,\dots,t_K), \qquad t_1,\dots,t_k\in\mathbb C,
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
и (определение (1.17))
$$
\begin{equation}
G_{\varkappa,K}(t_1,\dots,t_K)=\frac{\det[g_{\varkappa_i+K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K} {\det[g_{K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K}.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Подставив (4.27) в (4.26) и умножив обе части на $\det[g_{K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K$, мы получим
$$
\begin{equation}
\det[g_{K-i}(t_j)F_N(t_j;\nu;\varepsilon)]_{i,j=1}^K=\sum_{k_1>\dots>k_K\geqslant0} \frac{\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)}{d_K(\varkappa;\varepsilon)}\, \det[g_{k_i}(t_j)]_{i,j=1}^K.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Далее, напомним, что функции $g_{K-i}(t)F_N(t;\nu;\varepsilon)$ лежат в пространстве $\mathcal F(\varepsilon,L)$ (см. доказательство леммы 4.1, шаг 3).
Теперь введем упрощенное обозначение Из вышесказанного следует, что существует единственное разложение
$$
\begin{equation*}
\det[h_{K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K=\sum_{k_1>\dots>k_K\geqslant0} c(k_1,\dots,k_K) \det[g_{K-i}(t_j)]_{i,j=1}^K,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливое при всех $t_1,\dots,t_K$. Далее, коэффициенты в этом разложении даются формулами
$$
\begin{equation*}
c(k_1,\dots,k_K)=\det[(h_{K-j}\colon g_{k_i})]_{i,j=1}^K.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видно, что (4.25) получается из (4.28).
Теорема B доказана. Детерминантная формула, аналогичная формуле (4.25), справедлива для унитарных групп; см. [5; предложение 6.2]. Отметим, что (4.25) напоминает классическую формулу Якоби–Труди для симметрических полиномов Шура, а приведенное рассуждение сходно с выводом этой формулы из тождества Коши. § 5. Разложение по базису $\{g_k(t)\}$ в общем случае: доказательство теоремы CНапомним, что мы работаем с функциями, определенными в (1.16):
$$
\begin{equation*}
g_k(t;a,\varepsilon,L):={}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k,\, k+2\varepsilon,\, L,\, L+a\\-t+L+\varepsilon,\, t+L+\varepsilon,\, a+1\end{matrix}\biggm|1\biggr], \qquad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $L\geqslant2$ – положительное число, $a>-1$ и $\varepsilon\geqslant0$ – вещественные параметры. Мы предполагаем эти параметры фиксированными и используем сокращенное обозначение $g_k(t):=g_k(t;a,\varepsilon,L)$. Мы используем обозначения, введенные в п. 1.8 и п. 1.9. В частности, $\{e_m$: $m\in\mathbb Z_{\geqslant0}\}$ – это базис в $\mathcal F(\varepsilon,L)$, определенный в (1.21), а $\operatorname*{Res}_{t=A_m}(\phi(t))$ обозначает вычет функции $\phi(t)$ в точке $t=A_m$. Формула типа Якоби–Труди из теоремы B сводит вычисление матричных элементов $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ к следующей одномерной задаче (она была уже сформулирована в п. 1.9). Задача. Как вычислить коэффициенты $(\phi:g_k)$ разложения (1.19) для заданной функции $\phi\in\mathcal F(\varepsilon,L)$? Конкретно, нам это нужно для функций $\phi=g_{K-j}F_N$. В этом параграфе мы изучаем эту задачу в случае общих параметров Якоби (как и прежде, единственные ограничения – это те, которые были введены в (1.13)). Доказательство. Запишем разложение функции $\phi$ в базисе $\{e_m\}$ в виде Отсюда получаем
С другой стороны, из определения функций $e_m(t)$ следует, что
$$
\begin{equation}
(\phi: e_0)=\phi(\infty), \qquad (\phi: e_m)=\operatorname*{Res}_{t=A_m}(\phi(t)), \quad m\geqslant1.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Напомним, что $g_0=1$ и что единственные полюса функции $g_k$ с индексом $k\geqslant1$ суть точки $\pm A_\ell$ с $1\leqslant \ell\leqslant k$. Следовательно, для каждого $k\geqslant0$ коэффициенты $(g_k:e_\ell)$ обращаются в нуль, если не выполнено условие $\ell\leqslant k$. Из этого свойства треугольности в свою очередь следует, что коэффициенты $(e_m,g_k)$ обращаются в нуль при нарушении условия $m\geqslant k$. Таким образом, мы можем переписать (5.2) так:
$$
\begin{equation*}
(\phi: g_k)=\sum_{m\geqslant k}(\phi: e_m)(e_m:g_k), \qquad k\in\mathbb Z_{\geqslant0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (5.3) это дает (5.1).
Предложение доказано. Для применения предложения 5.1 нам нужно знать коэффициенты перехода $(e_m:g_k)$ с $m\geqslant k\geqslant0$ и $m\geqslant1$. Они вычислены в следующей теореме. Теорема 5.2. (i) Для $m\geqslant1$ и $k\geqslant1$ имеет место формула (ii) Для $m\geqslant1$ и $k=0$ имеет место формула Эта теорема (вместе с предложением 5.1) является детальной версией теоремы C из п. 1.9. Доказательство основано на трех леммах. Для их формулировки нам нужно ввести вспомогательные рациональные функции
$$
\begin{equation*}
f_\ell(t):=\frac1{(-t+L+\varepsilon)_\ell(t+L+\varepsilon)_\ell}, \qquad \ell\in\mathbb Z_{\geqslant0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из доказательства предложения 5.1 мы знаем, что матрица перехода между базисами $\{e_m\}$ и $\{g_k\}$ имеет треугольный вид относительно естественного порядка на множестве индексов $\mathbb Z_{\geqslant0}$. Лемма 5.3. (i) Функции $f_\ell$ образуют базис в $\mathcal F(\varepsilon,L)$. (ii) Матрицы перехода между всеми тремя базисами $\{e_m\}$, $\{g_k\}$ и $\{f_\ell\}$ треугольны. Доказательство. Отметим, что $f_0=1$. Далее, если $\ell\geqslant1$, то функция $f_\ell(t)$ обращается в нуль в бесконечности, а ее особенности суть в точности простые полюса в точках $\pm A_m$ с $m=1,\dots,\ell$. Отсюда следует, что функции $f_\ell$ лежат в $\mathcal F(\varepsilon,L)$. Из тех же свойств следует, что коэффициенты перехода $(f_\ell:e_m)$ обращаются в нуль при нарушении условия $m\leqslant\ell$. Более того, при $m=\ell$ выполняется неравенство $(f_\ell:e_m)\ne0$. Это означает, что $\{f_\ell\}$ является базисом, а матрица перехода между $\{f_\ell\}$ и $\{e_m\}$ является треугольной. Отсюда в свою очередь следует, что все матрицы перехода, о которых идет речь, также треугольны.
Лемма доказана. Обозначим через $(\phi:f_\ell)$ коэффициенты разложения функции $\phi\in\mathcal F(\varepsilon,L)$ в базисе $\{f_\ell\}$. В силу леммы 5.3
$$
\begin{equation}
(e_m:g_k)=\sum_{\ell=k}^m(e_m:f_\ell)(f_\ell:g_k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Цель следующих двух лемм – вычисление коэффициентов $(e_m:f_\ell)$ и $(f_\ell:g_k)$. Лемма 5.4. Пусть $m\in\mathbb Z_{\geqslant1}$. (i) Имеет место равенство (ii) Для $\ell\geqslant1$ имеет место равенство Отметим, что свойство треугольности выполняется благодаря наличию произведения $\prod_{j=1}^{\ell-1}(m-j)$. Доказательство леммы 5.4. (i) Функции $e_m(t)$ и $f_\ell(t)$ с ненулевыми индексами обращаются в нуль при $t=\infty$. Отсюда следует (i).
(ii) Пусть $z$ и $a_1,a_2,\dots$ – формальные переменные. Следующее тождество легко устанавливается индукцией по $m$:
$$
\begin{equation*}
\frac1{z-a_m}=\frac1{z-a_1}+\frac{a_m-a_1}{(z-a_1)(z-a_2)} +\dots+\frac{(a_m-a_1)\dotsb(a_m-a_{m-1})}{(z-a_1)\dotsb(z-a_m)},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. коэффициенты разложения имеют вид
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac1{z-a_m}:\frac1{(z-a_1)\dotsb(z-a_\ell)}\biggr)=\prod_{j=1}^{\ell-1}(a_m-a_j), \qquad m=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Заметим теперь, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e_m(t)=\frac{2(L+\varepsilon+m-1)}{t^2-(L+\varepsilon+m-1)^2}, \qquad m=1,2,\dots, \\ f_\ell(t)=\frac{(-1)^\ell}{(t^2-(L+\varepsilon)^2)\dotsb(t^2-(L+\varepsilon+\ell-1)^2)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так что мы полагаем и применяем (5.6). Это доказывает (ii).
Лемма доказана. Отметим, что свойство треугольности обеспечивается множителем $(-\ell)_k$. Доказательство леммы 5.5. Функции $g_k(t)$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
g_k(t):=\sum_{\ell=0}^k\frac{(-k)_\ell(k+2\varepsilon)_\ell}{(a+1)_\ell \ell!}\,\widetilde f_\ell(t), \qquad k\in\mathbb Z_{\geqslant0},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где Сравним (5.7) с хорошо известной формулой для полиномов Якоби (А. Эрдейи [15; п. 10.8])
$$
\begin{equation*}
\widetilde P^{(a,b)}_k(x):=\frac{\Gamma(a+1)k!}{\Gamma(k+a+1)}\,P^{(a,b)}_k(x) =\sum_{\ell=0}^k\frac{(-k)_\ell(k+2\varepsilon)_\ell}{(a+1)_\ell \ell!}\biggl(\frac{1-x}2\biggr)^\ell.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты в этих двух разложениях одни и те же, поэтому нужные нам коэффициенты $(\widetilde f_\ell:g_k)$ совпадают с коэффициентами разложения функции $(\frac12(1-x))^\ell$ по полиномам $\widetilde P^{(a,b)}_k(x)$. А это разложение легко получить из формулы Родрига для полиномов Якоби:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\frac{1-x}2\biggr)^\ell &=\sum_{k=0}^\ell\frac{2(k+\varepsilon) \Gamma(a+\ell+1)\Gamma(k+2\varepsilon)(-\ell)_k}{\Gamma(k+a+1) \Gamma(k+\ell+2\varepsilon+1)}\,P^{(a,b)}_k(x) \notag \\ &=\sum_{k=0}^\ell\frac{2(k+\varepsilon)\Gamma(a+\ell+1)\Gamma(k+2\varepsilon) (-\ell)_k}{\Gamma(a+1)\Gamma(k+\ell+2\varepsilon+1)k!}\, \biggl(\frac{\Gamma(a+1)k!}{\Gamma(k+a+1)}\,P^{(a,b)}_k(x)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Первое равенство в (5.8) можно найти в учебниках; см. [9; п. 5.12.2.1] (в русском издании 2006 г. это п. 5.11.2.5) и [15; 10.20 (3)] (но отметим, что выражение, приведенное в последней ссылке, содержит опечатку, а именно, множитель $\Gamma(2n+\alpha+\beta+1)$ надо заменить на $2n+\alpha+\beta+1$).
Из второго равенства в (5.8) получаем
$$
\begin{equation*}
(f_\ell:g_k)=\frac{(\widetilde f_\ell:g_k)}{(L)_\ell(L+a)_\ell}=\frac{2(k+\varepsilon)\Gamma(a+\ell+1) \Gamma(k+2\varepsilon)(-\ell)_k}{(L)_\ell(L+a)_\ell\Gamma(a+1) \Gamma(k+\ell+2\varepsilon+1)k!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Доказательство теоремы 5.2. Наша цель – осуществить суммирование в (5.4) в явном виде, используя формулы из лемм 5.4 и 5.5.
(i) Рассмотрим случай, когда $m\geqslant1$ и $k\geqslant 1$, и положим $\ell=k+n$. Перепишем формулы из лемм 5.4 и 5.5:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (e_m:f_\ell) &=2(-1)^{\ell}(L+\varepsilon+m-1)\prod_{j=1}^{\ell-1}(2L+2\varepsilon+m+j-2)(m-j) \\ &=2(-1)^{k}(L+\varepsilon+m-1)(2L+2\varepsilon+m-1)_{k-1}\frac{(m-1)!}{(m-k)!} \\ &\qquad\times(2L+2\varepsilon+m+k-2)_n(k-m)_n, \\ (f_\ell:g_k) &=\frac{2(k+\varepsilon)\Gamma(a+\ell+1) \Gamma(k+2\varepsilon)(-\ell)_k}{(L)_\ell(L+a)_\ell\Gamma(k+a+1) \Gamma(k+2\varepsilon+\ell+1)} \\ &=\frac{\Gamma(k+2\varepsilon)(-1)^k(a+1)_k}{(L)_k(L+a)_k\Gamma(2k+2\varepsilon)} \frac{(a+k+1)_n(k+1)_n}{(L+k)_n(L+a+k)_n(2k+2\varepsilon+1)_nn!}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, отделим в сторону множители, которые не зависят от $n$, и затем просуммируем оставшееся выражение по $n=0,\dots,m-k$, что равносильно суммированию по $\ell=k,\dots,m$ в (5.4). Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{n=0}^{m-k}\frac{(a+k+1)_n(k+1)_n(2L+2\varepsilon+m+k-2)_n(k-m)_n} {(L+k)_n(L+a+k)_n(2k+2\varepsilon+1)_nn!} \\ &\qquad={}_4F_3\biggl[\begin{matrix} k-m,\; k+1,\; k+a+1,\; 2L+2\varepsilon+m+k-2 \\ L+k,\; L+a+k,\; 2k+2\varepsilon+1\end{matrix}\biggm|1\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом оставшихся множителей это дает желаемое выражение.
(ii) Рассмотрим теперь случай, когда $m\geqslant1$ и $k=0$. Вычисление аналогично предыдущему. Поскольку $(e_m:f_0)=0$, формула (5.4) сводится к Удобно положить $n:=\ell-1$, так что $n$ будет меняться от $0$ до $m-1$. Леммы дают нам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (e_m:f_{n+1})=-2(L+m-1)(2L+2\varepsilon)_n(1-m)_n, \\ \begin{split} (f_{n+1}:g_0) &=\frac{2\varepsilon\Gamma(2\varepsilon)\Gamma(a+n+2)}{(L)_{n+1}(L+a)_{n+1}) \Gamma(a+1)\Gamma(2\varepsilon+n+2)} \\ &=\frac{a+1}{L(L+a)(2\varepsilon+1)}\,\frac{(a+2)_n}{(L+1)_n(L+a+1)_n(2\varepsilon+2)_n}. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует
$$
\begin{equation*}
(e_m:g_0)=-\frac{2(L+\varepsilon+m-1)(a+1)}{L(L+a)(2\varepsilon+1)} \sum_{n=0}^{m-1}\frac{(1-m)_n(2L+2\varepsilon+m-1)_n(a+2)_n} {(L+1)_n(L+a+1)_n(2\varepsilon+2)_n},
\end{equation*}
\notag
$$
что является желаемым выражением.
Теорема 5.2 доказана. § 6. Элементарное выражение для функций $g_k$ в случае симплектических и ортогональных характеровНапомним, что мы работаем с функциями, определенными в (1.16):
$$
\begin{equation*}
g_k(t;a,\varepsilon,L):={}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k,\, k+2\varepsilon,\, L,\, L+a\\-t+L+\varepsilon,\, t+L+\varepsilon,\, a+1\end{matrix}\biggm|1\biggr], \qquad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом параграфе мы рассматриваем три специальных случая
$$
\begin{equation*}
(a,\varepsilon)= \biggl(\frac12,1\biggr), \biggl(\frac12, \frac12\biggr), \biggl(-\frac12,0\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которые соответствуют сериям $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$, и вводим альтернативные обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_k^{(\mathcal C)}(t;L):=g_k\biggl(t; \frac12, 1,L\biggr) ={}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k,\, k+2,\, L,\, L+\frac12 \\ -t+L+1,\, t+L+1,\, \frac32\end{matrix}\biggm|1\biggr], \\ g_k^{(\mathcal B)}(t;L):=g_k\biggl(t; \frac12, \frac12,L\biggr) ={}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k,\, k+1,\, L,\, L+\frac12 \\ -t+L+\frac12,\, t+L+\frac12,\, \frac32\end{matrix}\biggm|1\biggr], \\ g_k^{(\mathcal D)}(t;L):=g_k\biggl(t; -\frac12, 0,L\biggr) ={}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k,\, k,\, L,\, L-\frac12 \\ -t+L,\,t+L,\, \frac12\end{matrix}\biggm|1\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6.1. Для этих трех гипергеометрических рядов существуют замкнутые элементарные выражения Замечание 6.2. В самом начале своей работы я предполагал, что для рядов $g^{(\mathcal C)}_k(t;L)$, $g^{(\mathcal B)}_k(t;L)$ и $g^{(\mathcal D)}_k(t;L)$ должны быть сумматорные формулы, и поначалу я попытался найти их в литературе. В результате розыска мне удалось обнаружить первую формулу в справочнике [41] (с. 556 русского оригинала, формула 7.5.1 (42)). К сожалению, справочник не давал ни доказательства, ни подходящей ссылки. Тогда я спросил Эрика Райнса, и он с поразительной быстротой прислал мне единообразный вывод всех трех формул (см. [42]). Я чрезвычайно благодарен ему за эту помощь. Ниже воспроизводится его рассуждение в более подробном виде, но с другим доказательством для следующей леммы. Лемма 6.3. (i) Пусть $A$ – четное неположительное число. Тогда (ii) Пусть $A$ – нечетное отрицательное число. Тогда
$$
\begin{equation}
{}_3F_2\biggl[\begin{matrix}A,\, B,\, D\\ \frac12(A+B+1), \, E \end{matrix}\biggm|1\biggr]= \frac{E-2D}E\,{}_4F_3\biggl[\begin{matrix}\frac12(A+1),\, \frac12(B+1),\, E-D, \, D\\ \frac12(A+B+1), \, \frac12(E+1), \frac12 E +1 \end{matrix}\biggm|1\biggr].
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Доказательство. (i) Это формула (3.6) из статьи К. Краттенталера и К. С. Рао [23]. Как объяснено там, (6.4) получается из формулы Гаусса для квадратичного преобразования (см. [15; п. 2.11, формула (2)]) следующей простой процедурой: 1) записываем гипергеометрические ряды в обеих частях как (конечные) суммы; 2) умножаем обе части уравнения на $z^{D-1}(1-z)^{E-D-1}$; 3) интегрируем почленно по $z$ в промежутке $0\leqslant z\leqslant 1$; 4) меняем местами интегрирование и суммирование; 5) используем бета-интеграл для вычисления интегралов внутри сумм; 6) переписываем суммы обратно в гипергеометрические ряды.
(ii) Вместо (6.6) берем другое квадратичное преобразование (см. [15; п. 2.11, формула (19)]):
$$
\begin{equation}
{}_2F_1\biggl[\begin{matrix}A,\, B\\ \frac12(A+B+1) \end{matrix}\biggm|z\biggr] =(1-2z)\,{}_2F_1\biggl[\begin{matrix}\frac12(A+1),\, \frac12(B+1)\\ \frac12(A+B+1) \end{matrix}\biggm|4z(1-z)\biggr],
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
записываем $1-2z$ как $(1-z)-z$ и применяем ту же процедуру.
Отметим также, что (6.7) можно легко получить из (6.6) дифференцированием по $z$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 6.1. Мы применяем хорошо известное преобразование
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k, \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\\\beta_1,\beta_2,\beta_3 \end{matrix}\biggm|1\biggr] =\frac{(-1)^k(\alpha_1)_k(\alpha_2)_k(\alpha_3)_k}{(\beta_1)_k(\beta_2)_k(\beta_3)_k} \\ &\qquad\qquad \times {}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k, \; -\beta_1-k+1,\; -\beta_2-k+1,\; -\beta_3-k+1 \\ -\alpha_1-k+1,\; -\alpha_2-k+1,\; -\alpha_3-k+1 \end{matrix}\biggm|1\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое получается суммированием обрывающегося ряда в обратном порядке. Это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_k(t;a,\varepsilon,L)&=\frac{(-1)^k(k+2\varepsilon)_k(L)_k(L+a)_k} {(-t+L+\varepsilon)_k(t+L+\varepsilon)_k(a+1)_k} \notag \\ &\times {}_4F_3\biggl[\begin{matrix}-k,\; -k-a,\; t-L-\varepsilon-k+1,\; -t-L-\varepsilon-k+1\\ -2k-2\varepsilon+1,\; -L-k+1,\; -L-k-a+1\end{matrix}\biggm|1\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
В рассматриваемых трех специальных случаях правая часть имеет тот же вид, что в (6.4) или (6.5). Однако применение этих формул требует осторожности, как вскоре станет ясно. Рассмотрим три случая по отдельности.
Случай ($\mathcal C$): $a=1/2$, $\varepsilon=1$. Ряд ${}_4 F_3$ в (6.8) имеет тот же вид, что и в правой части формулы (6.5) с параметрами
$$
\begin{equation*}
A=-2k-1, \qquad B=-2k-2, \qquad D=-t-L-k, \qquad E=-2L-2k,
\end{equation*}
\notag
$$
а тогда соответствующий ряд ${}_3 F_2$ в левой части будет иметь вид
$$
\begin{equation}
{}_3F_2\biggl[\begin{matrix}-2k-1,\, -2k-2,\, -t-L-k\\ -2k-1, \, -2L-2k \end{matrix}\biggm|1\biggr].
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Но как интерпретировать это выражение? Возникает соблазн непосредственно свести его к ряду ${}_2 F_1$, убрав параметр $-2k-1$ из верхней и нижней строчек, но это даст неверный результат. Правильное рассуждение вот какое.
Вернемся к исходному ряду ${}_4F_3$ в (6.5), оставим $a$ как параметр, но исключим $\varepsilon$ наложением линейного соотношения
$$
\begin{equation*}
-2k-2\varepsilon+1=(-k)+(-k-a)-\frac12, \quad \text{т.е. } \ 2\varepsilon=a+\frac32.
\end{equation*}
\notag
$$
Смысл в том, что получающийся ряд ${}_4F_3$ по-прежнему имеет вид (6.5). Далее, он является рациональной функцией от параметра $a$ и не имеет особенности в $a=1/2$ для $L$ в общем положении. Стало быть, мы вправе применить тождество (6.5), а затем перейти к пределу, устремив $a$ к $1/2$. Это ведет к заключению, что (6.9) следует интерпретировать как
$$
\begin{equation}
{}_2F_1\biggl[\begin{matrix}-2k-2,\, -t-L-k\\ -2L-2k \end{matrix}\biggm|1\biggr] - (\text{последний член разложения в ряд}).
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Применив к ряду ${}_2F_1$ тождество Чу–Вандермонда (см. [2; следствие 2.2.3])
$$
\begin{equation}
{}_2F_1\biggl[\begin{matrix}-N,\, \alpha\\ \beta \end{matrix}\biggm|1\biggr]=\frac{(\beta-\alpha)_N}{(\beta)_N}, \qquad N=0,1, 2,\dots, \quad \beta\ne0,-1,\dots, -N,
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
мы видим, что (6.10) равно
$$
\begin{equation*}
\frac{(t-L-k)_{2k+2}-(-t-L-k)_{2k+2}}{(-2L-2k)_{2k+2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, мы должны это умножить на
$$
\begin{equation*}
\frac{(-1)^k(k+2)_k(L)_k(L+1/2)_k}{(-t+L+1)_k(t+L+1)_k(3/2)_k}\cdot \frac{-2L-2k}{2t},
\end{equation*}
\notag
$$
где первая дробь происходит из (6.8), а вторая – из $E/(E-2D)$ (см. (6.5)). После упрощения это в конечном итоге дает желаемое выражение (6.1).
Случай ($\mathcal B$): $a=1/2$, $\varepsilon=1/2$. Теперь ряд ${}_4 F_3$ в (6.8) имеет тот же вид, что в правой части равенства (6.4) с параметрами
$$
\begin{equation*}
A=-2k, \qquad B=-2k-1, \qquad D=-t-L-k+\frac12, \qquad E=-2L-2k+1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что соответствующий ряд ${}_3 F_2$ в левой части будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
{}_3F_2\biggl[\begin{matrix}-2k,\, -2k-1,\, -t-L-k+\frac12\\ -2k, \, -2L-2k+1 \end{matrix}\biggm|1\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
То же рассуждение, что и выше, говорит, что корректное устранение параметра $-2k$ приводит к
$$
\begin{equation*}
{}_2F_1\biggl[\begin{matrix}-2k-1,\, -t-L-k+\frac12\\ -2L-2k+1 \end{matrix}\biggm|1\biggr] - (\text{последний член разложения в ряд}).
\end{equation*}
\notag
$$
Применив тождество Чу–Вандермонда (6.11) к этому ряду ${}_2F_1$, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{(t-L-k+1/2)_{2k+1}+(-t-L-k+1/2)_{2k+1}}{(-2L-2k+1)_{2k+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, умножаем это на
$$
\begin{equation*}
\frac{(-1)^k(k+1)_k(L)_k(L+1/2)_k}{(-t+L+1/2)_k(t+L+1/2)_k(3/2)_k},
\end{equation*}
\notag
$$
и после упрощения получаем в конечном итоге выражение (6.2).
Случай ($\mathcal D$): $a=-1/2$, $\varepsilon=0$. Ряд ${}_4 F_3$ в (6.8) снова имеет тот же вид, что в правой части формулы (6.4), но теперь с параметрами
$$
\begin{equation*}
A=-2k, \qquad B=-2k+1, \qquad D=-t-L-k+1, \qquad E=-2L-2k+2.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно формуле (6.4) это приводит к следующему ряду ${}_3 F_2$:
$$
\begin{equation*}
{}_3F_2\biggl[\begin{matrix}-2k,\, -2k+1,\, -t-L-k+1\\ -2k+1, \, -2L-2k+2 \end{matrix}\biggm|1\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь корректное устранение параметра $-2k+1$ достигается предельным переходом
$$
\begin{equation}
\lim_{a\to-1/2}{}_3F_2\biggl[\begin{matrix}-2k,\, -2k-2a,\, -t-L-k+\frac34-\frac12 a\\ -2k-a+\frac12, \, -2L-2k+2 \end{matrix}\biggm|1\biggr].
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Предел в (6.12) можно брать почленно. Результат отличается от разложения ряда
$$
\begin{equation}
{}_2F_1\biggl[\begin{matrix}-2k,\, -t-L-k+1\\ -2L-2k+2 \end{matrix}\biggm|1\biggr]
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
лишь в последнем члене. А именно, в (6.12) последний член равен
$$
\begin{equation*}
\lim_{a\to-1/2}\frac{(-2k)_{2k}(-2k-2a)_{2k}(-t-L-k+3/4-a/2)} {(-2k-a+1/2)_{2k}(-2L-2k+1)_{2k}(2k)!} =2\, \frac{(-t-L-k+1)_{2k}}{(-2L-2k+2)_{2k}},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда как последний член в (6.13) равен Мы заключаем, что предел в (6.12) есть сумма выражений (6.13) и (6.14):
$$
\begin{equation}
{}_2F_1\biggl[\begin{matrix}-2k,\, -t-L-k+1\\ -2L-2k+2 \end{matrix}\biggm|1\biggr] +\frac{(-t-L-k+1)_{2k}}{(-2L-2k+2)_{2k}}.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Применив тождество Чу–Вандермонда (6.11), мы получим, что (6.15) равно
$$
\begin{equation*}
\frac{(t-L-k+1)_{2k}+(-t-L-k+1)_{2k}}{(-2L-2k+2)_{2k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Затем умножаем это на
$$
\begin{equation*}
\frac{(-1)^k(k)_k(L)_k(L-1/2)_k}{(-t+L)_k(t+L)_k(1/2)_k}
\end{equation*}
\notag
$$
и после упрощения получаем выражение (6.3).
Теорема 6.1 доказана. § 7. Элементарное выражение для коэффициентов перехода $(e_m:g_k)$ в случае симплектических и ортогональных характеровНам будет удобно ввести альтернативное обозначение для коэффициентов перехода $(e_m:g_k)$.Как и в § 6, мы рассматриваем три выделенных случая, когда параметры $(a,\varepsilon)$ отвечают характерам серий $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$. Мы показываем, что тогда формулы, полученные в теореме 5.2, упрощаются: гипергеометрические ряды ${}_4F_3$ допускают явное элементарное выражение. Для различения трех вариантов $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$ мы вводим дополнительный верхний индекс $(\mathcal C)$, $(\mathcal B)$ или $(\mathcal D)$ соответственно. Теорема 7.1. (i) Если $m\geqslant k\geqslant1$, то (ii) Если $m\geqslant1$ и $k=0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E^{(\mathcal C)}(m,0) &:=E\biggl(m,0;\frac12,1,L\biggr)=-\frac{2(m+4L-3)(L+m)}{(2L+m)(2L+m-1)(2L+m-2)}, \\ E^{(\mathcal B)}(m,0) &:=E\biggl(m,0;\frac12,\frac12,L\biggr)=-\frac{2m+6L-5}{(2L+m-1)(2L+m-2)}, \\ E^{(\mathcal D)}(m,0) &:=E\biggl(m,0;-\frac12,0,L\biggr)=-\frac{2}{2L+m-2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $E(m,k)=0$ при $k>m$, так что теорема покрывает все возможные случаи. Доказательство основано на следующей лемме. Лемма 7.2. Пусть $n=0,1,2,\dots$ . Имеют место следующие две формулы: Доказательство. Относительно первой формулы см. Л. Слейтер [49; с. 65, (2.4.2.2) и (III.20)]. Вторая формула выводится из первой посредством преобразования из [49; (2.4.1.7)], которое пригодно для любого сбалансированного обрывающегося ряда ${}_4F_3(1)$. В слегка измененных обозначениях оно выглядит так: где Мы специализируем его для
Относительно других способов см. [17; (3.20) и (3.21)] и указанные там дальнейшие ссылки. Лемма доказана. Доказательство теоремы 7.1. (i) Покажем, что лемма 7.2 применима к ряду ${}_4F_3$, выписанному в утверждении (i) теоремы 5.2.
В самом деле, ряд, о котором идет речь, это
$$
\begin{equation*}
{}_4F_3\biggl[\begin{matrix} k-m,\; k+1,\; k+a+1,\; 2L+2\varepsilon+m+k-2 \\ L+k,\; L+a+k,\; 2k+2\varepsilon+1\end{matrix}\biggm|1\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Посмотрим на тройку $(k+1, k+a+1, 2k+2\varepsilon+1)$. Она имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
(k+1, k+a+1, 2k+2\varepsilon+1)= \begin{cases} \bigl(k+1, k+\frac32, 2k+3\bigr), & \text{случай } (\mathcal C), \\ \bigl(k+1, k+\frac32, 2k+2\bigr), & \text{случай }(\mathcal B), \\ \bigl(k+1, k+\frac12, 2k+1\bigr), & \text{случай }(\mathcal D). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что формула (7.1) применима в случаях $(\mathcal C)$ и $(\mathcal D)$, тогда как формула (7.2) применима в случае $(\mathcal B)$. Это приводит к желаемым выражениям.
(ii) Обратимся теперь к рядам ${}_4F_3$ из п. (ii) теоремы 5.2, где нас снова интересуют три специальных случая. К этим рядам формулы (7.1) и (7.2) уже не применимы. Быть может, подходящие сумматорные формулы и можно извлечь из существующей литературы, но автору это не удалось. Вот другое решение. Заметим, что $e_m(\infty)=0$ при любом $m\geqslant1$, тогда как $g_k(\infty)=1$ для всех $k$. Отсюда следует, что Стало быть, формулы в утверждении (ii) эквивалентны следующим трем тождествам:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=1}^m \frac{(2k+2)(m-1)!\,(2L-2)(2L-1)(L+m)(2L+m-k-3)!} {(m-k)!\,(2L+m)!} \\ &\qquad=\frac{2(m+4L-3)(L+m)}{(2L+m)(2L+m-1)(2L+m-2)}, \\ &\sum_{k=1}^m\frac{(2k+1)(m-1)!\,(2L-2)(2L-1)(2L+m-k-3)!}{(m-k)!\,(2L+m-1)!} \\ &\qquad=\frac{2m+6L-5}{(2L+m-1)(2L+m-2)}, \\ &\sum_{k=1}^m \frac{2(m-1)!\,(2L-2)(2L+m-k-3)!}{(m-k)!\,(2L+m-2)!}=\frac{2}{2L+m-2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $M:=2L-2$; после упрощения эти тождества можно переписать так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^{(\mathcal C)}(m,M) &:=M\sum_{k=1}^m \frac{(M+m-k-1)!\,(k+1)}{(m-k)!}=\frac{(M+m-1)!\,(m+2M+1)}{(m-1)!\,(M+1)}, \\ S^{(\mathcal B)}(m,M) &:=M\sum_{k=1}^m \frac{(M+m-k-1)!\,(2k+1)}{(m-k)!}=\frac{(M+m-1)!\,(2m+3M+1)}{(l-1)!\,(M+1)}, \\ S^{(\mathcal D)}(m,M) &:=M\sum_{k=1}^m \frac{(M+m-k-1)!\,}{(m-k)!}=\frac{(M+m-1)!}{(m-1)!}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тождество для $S^{(\mathcal D)}(m,M)$ проверяется индукцией по $m$ с применением соотношения
$$
\begin{equation*}
S^{(\mathcal D)}(m+1,M)=S^{(\mathcal D)}(m,M)+\frac{M(M+m-1)!}{m!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, другие две суммы, $S^{(\mathcal B)}(m,M)$ и $S^{(\mathcal C)}(m,M)$, сводятся к $S^{(\mathcal D)}(m,M)$ применением соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(2m+1)S^{(\mathcal D)}(m,M)-S^{(\mathcal B)}(m,M) \\ &\qquad=2M\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(M+m-k-1)!}{(m-k-1)!}=\frac{2M}{M+1}S^{(\mathcal D)}(m-1,M+1), \\ &(m+1)S^{(\mathcal D)}(m,M)-S^{(\mathcal C)}(m,M) \\ &\qquad=M\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(M+m-k-1)!}{(m-k-1)!}=\frac{M}{M+1}S^{(\mathcal D)}(m-1,M+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство.
Теорема 7.1 доказана. § 8. Доказательство теоремы D и приложение к дискретным сплайнам8.1. Доказательство теоремы DРезультаты вычислений, произведенных в § 6 и § 7, подытожены ниже в теореме 8.1 (это детальная версия теоремы D из п. 1.9). Для ее формулировки напомним нужные определения и обозначения. $\bullet$ Мы работаем с матричными элементами $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ стохастической матрицы $\Lambda^N_K$, где $\nu$ пробегает $\operatorname{Sign}^+_N$, $\varkappa$ пробегает $\operatorname{Sign}^+_K$ и $N>K\geqslant1$; см. определение 1.4. Изначально матрица зависит от пары $(a,b)$ параметров Якоби, но нам удобно заменить второй параметр $b$ на $\varepsilon:=\frac12(a+b+1)$. $\bullet$ Нас особо интересуют три выделенных случая, которые связаны с характерами серий $\mathcal C$, $\mathcal B$ и $\mathcal D$. В терминах параметров Якоби это означает, что
$$
\begin{equation}
(a,\varepsilon) =\begin{cases} \bigl(\frac12,1\bigr), \\ \bigl(\frac12,\frac12\bigr), \\ \bigl(-\frac12,0\bigr) \end{cases}
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
соответственно. $\bullet$ Мы полагаем $L:=N-K+1$, так что $L$ является целым числом $\geqslant2$. В (1.18) была введена сетка $\mathbb A(\varepsilon,L)$ на $\mathbb R_{>0}$, зависящая от $\varepsilon$ и $L$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb A(\varepsilon,L):=\{A_1,A_2,\dots\}, \qquad A_m:=L+\varepsilon+m-1, \quad m=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ В п. 1.8 было введено пространство $\mathcal F(\varepsilon,L)$, образованное четными рациональными функциями с простыми полюсами, сосредоточенными на $(-\mathbb A(\varepsilon,L))\cup \mathbb A(\varepsilon,L)$. Для рациональной функции $\phi\,{\in}\, \mathcal F(\varepsilon,L)$ через $\operatorname*{Res}_{t=A_m}(\phi(t))$ обозначается ее вычет в точке $t=A_m$ сетки $\mathbb A(\varepsilon,L)$. $\bullet$ В (1.16) были введены четные рациональные функции $g_k(t)=g_k(t;a,\varepsilon,L)$ с индексом $k=0,1,2,\dots$ и параметрами $(a,\varepsilon)$. В общем случае $g_k(t)$ задается обрывающимся гипергеометрическим рядом ${}_4F_3$. Для специальных значений параметров (8.1) для этих функций есть явное элементарное выражение (теорема 6.1). $\bullet$ В теореме 5.2 вычислены коэффициенты перехода $(e_m:g_k)$, затем в начале § 7 они были переименованы в $E(m,k)$. Для специальных значений параметров (8.1) у этих коэффициентов есть явное элементарное выражение (теорема 7.1). $\bullet$ В (1.14) каждой сигнатуре $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ была сопоставлена ее характеристическая функция
$$
\begin{equation}
F_N(t)=F_N(t;\nu;\varepsilon):=\prod_{i=1}^N\frac{t^2-(N-i+\varepsilon)^2}{t^2-(\nu_i+N-i+\varepsilon)^2}.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
$\bullet$ Для $\varkappa\in\operatorname{Sign}^+_K$ вводится сокращенное обозначение $k_i:=\varkappa_i+K-i$, где $i=1,\dots,K$, и далее полагаем
$$
\begin{equation*}
d_K(\varkappa;\varepsilon):=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant K}((k_i+\varepsilon)^2-(k_j+\varepsilon)^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Это согласуется с определением (1.15). Теорема 8.1. В трех выделенных случаях (8.1) имеет место формула где $[M(i,j)]$ – матрица размера $K\times K$, элементы которой задаются следующими элементарными выражениями, являющимися в действительности конечными суммами: $\bullet$ если $i<K$ или $i=K$, но $\varkappa_K>0$, то
$$
\begin{equation}
M(i,j)=\sum_{m\geqslant k_i}\operatorname*{Res}_{t=A_m}\bigl(g_{K-j}(t)F_N(t)\bigr) E(m,k_i);
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
$\bullet$ если $i=K$ и $\varkappa_K=0$, то Доказательство. В силу теоремы B
$$
\begin{equation*}
\frac{\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)}{d_K(\varkappa;\varepsilon)}=\det[(g_{k-j}F_N: g_{k_i})]_{i,j=1}^K.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, напомним, что предложение 5.1 доставляет сумматорную формулу для коэффициентов перехода $(\phi:g_k)$ (см. (5.1)). Положим $\phi=g_{k-j}F_N$ и $k=k_i$. Тогда (5.1) примет вид, указанный в (8.4) и (8.5). Благодаря теореме 6.1 и теореме 7.1 мы располагаем элементарными выражениями для функций $g_{K-j}(t)$ и коэффициентов $E(m,k_i)$. Функции $F_N(t)$ также даются элементарным выражением (см. (8.2)).
Теорема доказана. 8.2. Симплектическая и ортогональная версии дискретного $\mathrm{B}$-сплайнаВыпишем в более явном виде формулы теоремы 8.1 для частного случая $K=1$. Следствие 8.2. Пусть $\nu\in\operatorname{Sign}^+_N$ и $k\in\operatorname{Sign}^+_1=\{0,1,2,\dots\}$. (i) Для $(a,\varepsilon)=(1/2,1)$ (серия $\mathcal C$)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\Lambda^N_1(\nu,k) =2(k+1)(N-1)(2N-1) \\ &\times\sum_{i\colon \nu_i-i+1\geqslant k}\frac{(\nu_i-i+2-k)_{2N-3}}{(\nu_i+N-i+1)\prod_{r\colon r\ne i}((\nu_i+N-i+1)^2-(\nu_r+N-r+1)^2)}, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad k\geqslant1, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \Lambda^N_1(\nu,0) &=1-\sum_{i\colon \nu_i-i\geqslant0}\frac{2(\nu_i+4N-i-2)(\nu_i+N-i+1)}{(\nu_i+2N-i+1)(\nu_i+2N-i)(\nu_i+2N-i-1)} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times\operatorname*{Res}_{t=\nu_i+N-i+1} F_N(t). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Для $(a,\varepsilon)=(1/2,1/2)$ (серия $\mathcal B$)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\Lambda^N_1(\nu,k)=2\biggl(k+\frac12\biggr)(N-1)(2N-1) \\ &\times\sum_{i\colon \nu_i-i+1\geqslant k}\frac{(\nu_i-i+2-k)_{2N-3}}{(\nu_i\,{+}\,N\,{-}\,i\,{+}\,1/2)\prod_{r\colon r\ne i}((\nu_i\,{+}\,N\,{-}\,i\,{+}\,1/2)^2{-}\,(\nu_r\,{+}\,N\,{-}\,r\,{+}\,1/2)^2)}, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad k\geqslant1, \end{aligned} \\ \Lambda^N_1(\nu,0)=1-\sum_{i\colon \nu_i-i\geqslant0}\frac{2(\nu_i-i+1)+6N-5)}{(\nu_i+2N-i)(\nu_i+2N-i-1)} \operatorname*{Res}_{t=\nu_i+N-i+1/2} F_N(t). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) Для $(a,\varepsilon)=(-1/2,0)$ (серия $\mathcal D$)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda^N_1(\nu,k)=2(N-1)\,\sum_{i\colon \nu_i-i+1\geqslant k}\frac{(\nu_i-i+2-k)_{2N-3}}{\prod_{r\colon r\ne i}((\nu_i\,{+}\,N\,{-}\,i)^2{-}\,(\nu_r\,{+}\,N\,{-}\,r)^2)}, \qquad k\geqslant1, \\ \Lambda^N_1(\nu,0)=1-2\sum_{i\colon \nu_i-i\geqslant0}\frac1{\nu_i+2N-i-1} \operatorname*{Res}_{t=\nu_i+N-i} F_N(t). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. В случае $K=1$ формулы теоремы 8.1 слегка упрощаются. А именно, множитель $d_K(\varkappa;\varepsilon)$ в левой части равенства (8.3) исчезает (поскольку он становится произведением по пустому множеству и тем самым равен $1$); множитель $g_{K-j}(t)$ в правой части равенств (8.4) и (8.5) также исчезает (поскольку он превращается в $g_0(t)\equiv1$). С учетом этого получаем
Далее, у нас теперь $A_m=N+\varepsilon+m-1$, поскольку из $K=1$ следует $L=N$. Затем мы подставляем значения коэффициентов $E(m,k)$ из теоремы 7.1 и вычисляем вычеты функции $F_N(t)$ из (8.2), что легко делается. Это приводит к выписанным выше выражениям. Следствие доказано. Отбросив концевую точку $k=0$, мы видим, что выражение для $\Lambda^N_1(\nu,k)$ с фиксированным $\nu$ является кусочно полиномиальной функцией по $k$, степень которой не зависит от $\nu$ (степень эта равна $2N-2$ для серий $\mathcal C$ и $\mathcal B$ и равна $2N-3$ для серии $\mathcal D$). Отметим, что структура приведенных выше формул сходна со структурой формулы для дискретного $\mathrm{B}$-сплайна; см. (1.7) и (1.4). Аналогично, в случае $K\geqslant2$ коэффициенты $\Lambda^N_K(\nu,\varkappa)$ (где $K=2,\dots, N-1$) могут быть записаны как определители $K\times K$ матриц, элементы которых суть одномерные кусочно полиномиальные функции. Появление кусочно полиномиальных выражений не слишком удивительно. Сходные эффекты возникают и в других спектральных задачах теории представлений таких, как кратности весов или разложение тензорных представлений (см., например, С. Билли, В. Гийемин и Э. Рассар [4], Э. Рассар [43]). Специфика нашей задачи, однако, в том, что описание многомерной картины получается выразить в терминах одномерных функций сплайнового типа и, более того, мы приходим в итоге к элементарным формулам, структура которых много проще, нежели, скажем, в случае функции разбиений Костанта для кратности веса. § 9. Заключительные замечания9.1. Представление контурным интеграломУпомянутый в п. 1.10, 5 предельный переход при $N\to\infty$ основан на возможности преобразовать суммы (8.4) и (8.5) в контурные интегралы. Это контурно-интегральное представление выводится из следующего утверждения, представляющего и некоторый самостоятельный интерес. Предложение 9.1. Мы придерживаемся предположений и обозначений из п. 8.1. Пусть $E(m,k)$ – коэффициенты перехода, заданные формулами теоремы 7.1. Мы предполагаем, что $L\in\{2,3,\dots\}$ фиксировано. (i) Существует функция $R(t,k)$ от переменных $t\in\mathbb C$ и $k\in\{0,1,2,\dots\}$ такая, что $R_k(t):=R(t,k)$ является рациональной функцией от $t$ для каждого фиксированного значения величины $k$ и (ii) Эти свойства определяют $R(t,k)$ однозначно. (iii) При любом $k=1,2,\dots$ функция $R_k(t)$ не имеет полюсов в правой полуплоскости Напомним, что
$$
\begin{equation}
A_m=L+\varepsilon+m-1, \quad \text{где }\ \varepsilon=1,\frac12,0.
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Доказательство предложения 9.1. (i) Чтобы определить $R(t,k)$, мы используем (9.1) в качестве подсказки и попросту заменяем $m$ на ${t-L-\varepsilon+1}$ в формулах теоремы 7.1. Для $k=0$ мы, очевидно, получаем рациональную функцию от $t$. Для $k\geqslant1$ мы выписываем результат, используя гамма-функцию вместо факториалов (как и прежде, с целью различения серий $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$ добавляется соответствующий верхний индекс):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R^{(\mathcal C)}(t,k) &=2(k+1)(2L-2)(2L-1)\,\frac{t\,\Gamma(t-L)\Gamma(t+L-k-2)} {\Gamma(t-L-k+1)\Gamma(t+L+1)}, \\ R^{(\mathcal B)}(t,k) &=2\biggl(k+\frac12\biggr)(2L-2)(2L-1)\,\frac{\Gamma(t-L+1/2)\Gamma(t+L-k-3/2)} {\Gamma(t-L-k+3/2)\Gamma(t+L+1/2)}, \\ R^{(\mathcal D)}(t,k) &=2(2L-2)\,\frac{\Gamma(t-L+1)\Gamma(t+L-k-1)} {\Gamma(t-L-k+2)\Gamma(t+L)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Свойство рациональности очевидно из этих выражений: мы используем тот факт, что если $\alpha$ и $\beta$ – две константы с $\alpha-\beta\in\mathbb Z$, то отношение $\Gamma(t+\alpha)/\Gamma(t+\beta)$ является рациональной функцией от $t$.
(ii) Утверждение о единственности очевидно. (iii) В каждом из трех вариантов есть различные способы расщепить выражение, содержащее четыре гамма-функции, в произведение двух дробей вида
$$
\begin{equation*}
\frac{\Gamma(t+\alpha_1)}{\Gamma(t+\beta_1)}\cdot \frac{\Gamma(t+\alpha_2)}{\Gamma(t+\beta_2)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_1-\beta_1$ и $\alpha_2-\beta_2$ – целые числа. Для нашей цели удобно образовать первую дробь, взяв второй $\Gamma$-множитель в числителе и первый $\Gamma$-множитель в знаменателе. Тогда первая дробь будет полиномом от $t$. Что касается второй дроби, то она будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
\frac{\Gamma(t-L-\varepsilon+1)}{\Gamma(t+L+\varepsilon)}=\prod_{j=1}^{2L+2\varepsilon}\frac1{t-(L+\varepsilon-j)}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, будет регулярна в $\mathcal H(\varepsilon,L)$.
Предложение доказано. 9.2. Биортогональная система рациональных функцийОбозначим через $\mathcal F^0(\varepsilon,L)$ подпространство в $\mathcal F(\varepsilon,L)$ коразмерности $1$, состоящее из функций, обращающихся на бесконечности в нуль. Как и в п. 9.1, мы фиксируем $L\geqslant2$ и предполагаем, что $\varepsilon$ принимает одно из трех значений $1$, $1/2$, $0$. Поскольку $g_k(\infty)=1$, функции $g^0_k(t):=g_k(t)-1$ с индексами $k=1,2,\dots$ образуют базис в $\mathcal F^0(\varepsilon,L)$. Функции $R_k(t)$ с индексами $k=1,2,\dots$ и полуплоскость $\mathcal H(\varepsilon,L)$ были определены в предложении 9.1. Предложение 9.2. Две системы рациональных функций $\{g_k^0(t)\}$ и $\{R_k(t)\}$ биортогональны в том смысле, что где в качестве $C$ можно взять произвольный простой контур в $\mathcal H(\varepsilon,L)$, который ориентирован в положительном направлении и охватывает все полюса функции $g_\ell(t)$. Доказательство. Левая часть равна сумме вычетов подынтегрального выражения. Поскольку $R_k(t)$ регулярна в $\mathcal H(\varepsilon,L)$, мы можем заменить $g^0_\ell(t)$ на $g_\ell(t)$ и записать эту сумму как
где равенство имеет место ввиду того, что $R_k(A_m)=E(m,k)$ (см. предложение 9.1, п. (i)). С другой стороны, по определению коэффициентов $E(m,k)=(e_m:g_k)$ для любой функции $f\in\mathcal F(\varepsilon,L)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
(f:g_k)=\sum_{m=1}^\infty \Bigl(\,\operatorname*{Res}_{t=A_m}f(t)\Bigr) E(m,k), \qquad k=1,2,3, \dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя его к $f=g_\ell$, мы заключаем, что (9.2) равно $(g_\ell:g_k)=\delta_{k\ell}$, что и требовалось. Предложение доказано. 9.3. Вырождение $g_k(t) \to \widetilde P^{(a,b)}_k(x)$Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\widetilde P^{(a,b)}_k(x)=\frac{P^{(a,b)}_k(x)}{P^{(a,b)}_k(1)}, \qquad k=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
полиномы Якоби с параметрами $(a,b)$, нормализованные в точке $x=1$. Далее, рассмотрим рациональные функции $g_k(t;a,\varepsilon,L)$, задаваемые обрывающимися гипергеометрическими рядами (1.16). Напомним, что ${\varepsilon=\frac12(a+b+1)}$. Изменим масштаб, положив $t=sL$, где $s$ – новая переменная, связанная с $x$ соотношением
$$
\begin{equation*}
x=\frac{s^2+1}{s^2-1}=\frac12\biggl(\frac{s+1}{s-1}+\frac{s-1}{s+1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
При этих предположениях имеет место следующее предельное соотношение:
$$
\begin{equation*}
\lim_{L\to\infty}g_k(sL; a,\varepsilon,L)=\widetilde P^{(a,b)}_k(x), \qquad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно легко проверяется исходя из (1.16) и выражения полиномов Якоби через гауссову гипергеометрическую функцию. 9.4. Трехчленные соотношения для функций $g_k(t)$Диссертация Дж. Уилсона [55] содержит список трехчленных рекуррентных соотношений, которым удовлетворяет всякий обрывающийся сбалансированный гипергеометрический ряд
$$
\begin{equation*}
F={}_4F_3\biggl[\begin{matrix}a,\, b,\, c,\, d \\e,\, f,\, g\end{matrix}\biggm|1\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Одно из них (формула (4.9) в [55]) выглядит так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{a(e-b)(f-b)(g-b)}{a-b+1}(F(a^+,b^-)-F) \\ &\qquad-\frac{b(e-a)(f-a)(g-a)}{b-a+1}(F(a^-,b^+)-F)+cd(a-b)F=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта формула применима к гипергеометрическим рядам ${}_4F_3$, задающим рациональные функции $g_k(t)$ (см. (1.16)). Из нее следует, что функции $g_k(t)$ удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению, имеющему тот же вид, что и соотношения, рассматривавшиеся А. Жедановым в [56].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ols23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|