| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Явная деформация орисферического многообразия типа А. Г. Кузнецов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9897e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $\mathbf{G}$ – простая алгебраическая группа дынкинского типа $\mathrm{G}_2$. Если $V_1$ и $V_2$ – фундаментальные представления группы $\mathbf{G}$ размерностей $7$ и $14$ соответственно, то орбиты векторов старшего веса в $\mathbb{P}(V_1)$ и $\mathbb{P}(V_2)$ – это
На самом деле $X_2$ может быть реализовано как подмногообразие в $\operatorname{Gr}(2,V_1)$ (детали можно найти ниже в лемме 2.1), и если $\mathcal{U}_{X_2}$ – ограничение на $X_2$ тавтологического подрасслоения ранга $2$ с грассманиана, то
$$
\begin{equation}
\widetilde X := \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2}) \stackrel{p_2}{\longrightarrow} X_2
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
– многообразие флагов группы $\mathbf{G}$; в частности, расслоение $\mathcal{U}_{X_2}$ и $\mathbb{P}^1$-расслоение $p_2$ являются $\mathbf{G}$-эквивариантными. Аналогично существует $\mathbf{G}$-эквивариантное векторное расслоение $\mathcal{C}_{X_1}$ ранга $2$ на квадрике $X_1$ такое, что проективизация
$$
\begin{equation}
\widetilde X \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{C}_{X_1}) \stackrel{p_1}{\longrightarrow} X_1
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
является $\mathbf{G}$-эквивариантным $\mathbb{P}^1$-расслоением; $\mathcal{C}_{X_1}$ известно как расслоение Кэли, см. [2; лемма 8.3] и [6]. Орисферическое многообразие $X$ типа $\mathrm{G}_2$ может быть построено с помощью этих данных несколькими способами. Ниже мы даем набросок трех взаимосвязанных конструкций, подробности можно найти в работах [7], [1]. Пусть $H_1$ и $H_2$ – классы гиперплоскостей в $\mathbb{P}(V_1)$ и $\mathbb{P}(V_2)$; в дальнейшем мы будем тем же способом обозначать их обратные образы на $X_1$ и $X_2$ соответственно, а также на $\widetilde X$. Рассмотрим проективные расслоения
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \oplus \mathcal{C}_{X_1}), \quad \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2} \oplus \mathcal{O}_{X_2}(-H_2)), \quad \mathbb{P}_{\widetilde X}(\mathcal{O}_{\widetilde X}(-H_1) \oplus \mathcal{O}_{\widetilde X}(-H_2))
\end{equation*}
\notag
$$
над $X_1$, $X_2$, $\widetilde X$ соответственно. Заметим, что слагаемые ранга $1$ индуцируют сечения первых двух проективных расслоений и пару сечений последнего. Несложно доказать, что относительный класс гиперплоскости каждого из этих проективных расслоений не имеет базисных точек и индуцирует $\mathbf{G}$-эквивариантный морфизм в $\mathbb{P}(V_1 \oplus V_2)$. Образ каждого из этих морфизмов – орисферическое многообразие $X \subset \mathbb{P}(V_1 \oplus V_2)$, образы сечений – непересекающиеся подмногообразия
$$
\begin{equation*}
X_1 = X \cap \mathbb{P}(V_1), \qquad X_2 = X \cap \mathbb{P}(V_2),
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, возникают изоморфизмы
$$
\begin{equation}
\operatorname{Bl}_{X_2}(X) \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \oplus \mathcal{C}_{X_1}),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Bl}_{X_1}(X) \cong \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2} \oplus \mathcal{O}_{X_2}(-H_2)),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Bl}_{X_1 \sqcup X_2}(X) \cong \mathbb{P}_{\widetilde X}\;(\mathcal{O}_{\widetilde X}(-H_1) \oplus \mathcal{O}_{\widetilde X}(-H_2)).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Все эти изоморфизмы $\mathbf{G}$-эквивариантны. Описанные выше конструкции являются достаточно общими и могут быть применены к орисферическим многообразиям с числом Пикара $1$ других типов (их классификация приведена в [7; теорема 0.1]). Специальным свойством орисферического многообразия типа $\mathrm{G}_2$ является его связь с другим гладким проективным $\mathbf{G}$-многообразием – ортогональным изотропным грассманианом т.е. подмногообразием в $\operatorname{Gr}(2,V_1)$, которое параметризует двумерные подпространства, изотропные относительно квадратичного уравнения $X_1 \subset \mathbb{P}(V_1)$.Можно заметить, что $X$ и $Y$ имеют одинаковые численные инварианты; в частности, они имеют одинаковые ранги групп Гротендика (равные $12$), одинаковые индексы Фано (равные $4$), одинаковые размерности пространств глобальных сечений пучков $\mathcal{O}(1)$ (равные $21$) и т.д. Замечательное объяснение этим совпадениям было дано в [8; предложение 2.3], где было построено гладкое вырождение многообразия $Y$ к $X$, т.е. гладкое проективное многообразие над $\mathbb{A}^1$ с центральным слоем, изоморфным $X$, и всеми остальными слоями изоморфными $Y$. Это вырождение было построено в [8] как некоторое замыкание орбиты, что делает его несколько неявным и сложным в использовании. Цель настоящей работы – дать две геометрические конструкции такого семейства, которые более удобны для применений; эти конструкции работают над любой гладкой пунктированной кривой $(C,0)$. Теорема 1.1. Пусть $(C,0)$ – гладкая пунктированная кривая и $\mathcal{Y} := Y \times C$. Существует коммутативная диаграмма где В частности, $f_{\mathcal{X}}^{-1}(C \setminus \{0\}) \cong f_{\mathcal{Y}}^{-1}(C \setminus \{0\}) \cong Y \times (C \setminus \{0\})$, так что $X$ является гладким вырождением $Y$. Теорема 1.2. Существует векторное расслоение $\widetilde{\mathcal{W}}$ ранга $3$ на $X_1 \times C$ и коммутативная диаграмма над $C$, где $\mathcal{X}$ такое же, как в теореме 1.1, а $\rho$ – раздутие $X_2 \times C \subset \mathcal{X}$. Ключевое наблюдение (предложение 2.3), на которое опираются доказательства обеих теорем, состоит в том, что есть естественное вложение $X_2 \hookrightarrow Y$ и что раздутие $\operatorname{Bl}_{X_2}(Y)$ обладает структурой проективного расслоения над $X_1$, аналогичного расслоению (1.3). § 2. Ключевое наблюдениеНапомним, что через $V_1$ обозначается фундаментальное семимерное представление группы $\mathbf{G}$, а многообразие $Y$ определено равенством (1.6). Обозначим через $\mathcal{U} \subset V_1 \otimes \mathcal{O}$ и $\mathcal{U}^\perp \subset V_1^\vee \otimes \mathcal{O}$ тавтологические подрасслоения рангов $2$ и $5$ на $\operatorname{Gr}(2,V_1)$ соответственно, а через $\mathcal{O}(1)$ – линейное расслоение Плюккера. Также обозначим через $\mathcal{S}$ спинорное расслоение на $Y$, пользуясь противоположным по сравнению с [3; § 6] соглашением, так что $\wedge^2\mathcal{S} \cong \mathcal{O}(-1)$. Лемма 2.1. Имеется цепочка вложений Доказательство. Описание многообразия $X_2$ как схемы нулей в $\operatorname{Gr}(2,V_1)$ было обнаружено Мукаи (глобальное сечение расслоения $\mathcal{U}^\perp(1)$ задается 3-формой $\lambda \in \wedge^3V_1^\vee$, стабилизатором которой является группа $\mathbf{G}$). Ограничение расслоения $\mathcal{O}(1)$ на $X_2$ порождает группу $\operatorname{Pic}(X_2)$, линейная оболочка $X_2$ в $\mathbb{P}(\wedge^2V_1)$ – это пространство $\mathbb{P}(V_2)$, а соответствующее вложение $V_2 \hookrightarrow \wedge^2V_1$ продолжается до точной последовательности
$$
\begin{equation}
0 \longrightarrow V_2 \longrightarrow \wedge^2V_1 \stackrel{\lambda}{\longrightarrow} V_1^\vee \longrightarrow 0
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
представлений группы $\mathbf{G}$. Заметим, что действие $\mathbf{G}$ на $V_1$ сохраняет невырожденную квадратичную форму (уравнение квадрики $X_1 \subset \mathbb{P}(V_1)$), следовательно, имеется цепочка вложений групп Более того, вектор старшего веса в $V_2$ относительно $\mathbf{G}$ также является вектором старшего веса в $\wedge^2V_1$ относительно $\operatorname{SO}(V_1)$ и $\operatorname{GL}(V_1)$, поэтому имеется цепочка орбит векторов старшего веса относительно соответствующих групп.
Описание многообразия $Y \subset \operatorname{Gr}(2,V_1)$ как схемы нулей тавтологично (сечение соответствует квадратичной форме на $V_1$ сохраняемой группой $\operatorname{SO}(V_1)$), а описание многообразия $X_2 \subset Y$ как схемы нулей сечения расслоения $\mathcal{S}^\vee$ и изоморфизм $\mathcal{S}\vert_{X_2} \cong \mathcal{U}\vert_{X_2}$ установлены в [2; лемма 8.3]. $\Box$ Пересечение в правой части, конечно же, совсем не трансверсально. Доказательство. Пусть $\mathcal{I}_{X_2}$ – идеал подсхемы $X_2 \subset Y = \operatorname{OGr}(2,V_1)$. Согласно лемме 2.1 имеем точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0 \longrightarrow \mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{S}^\vee \longrightarrow \mathcal{I}_{X_2}(1) \longrightarrow 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство глобальных сечений расслоения $\mathcal{S}^\vee$ на $Y$ – это спинорное восьмимерное представление $\mathbb{S}$ группы $\operatorname{Spin}(V_1)$; после ограничения на $\mathbf{G}$ оно раскладывается в прямую сумму $V_1 \oplus \Bbbk$, причем второе слагаемое соответствует сечению расслоения $\mathcal{S}^\vee$, определяющему подсхему $X_2 \subset Y$. Поскольку, кроме того, расслоение $\mathcal{S}^\vee$ глобально порождено, приведенная выше точная последовательность индуцирует эпиморфизм $V_1 \otimes \mathcal{O}_Y \twoheadrightarrow \mathcal{I}_{X_2}(1)$. Это означает, что подсхема $X_2 \subset \operatorname{Gr}(2,V_1)$ теоретико-схемно высекается гиперплоскостями, соответствующими подпространству
$$
\begin{equation*}
V_1 \subset \mathrm{H}^0(Y, \mathcal{O}_Y(1)) = \wedge^2V_1^\vee.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное вложение, очевидно, $\mathbf{G}$-эквивариантно, значит оно задается отображением, двойственным ко второму отображению в (2.1), и, значит, выполнено равенство $X_2 = Y \cap \mathbb{P}(V_2)$. $\Box$ Следующее предложение дает аналог изоморфизма (1.3); оно является ключевым для доказательства теорем 1.1 и 1.2. Предложение 2.3. Существует $\mathbf{G}$-эквивариантный изоморфизм в котором $\mathcal{W}_{X_1}$ – $\mathbf{G}$-эквивариантное векторное расслоение на $X_1$ ранга $3$; оно включается в точную последовательность Доказательство. Рассмотрим многообразие частичных ортогональных изотропных флагов с его двумя проекциями Слои первой проекции – невырожденные коники; на самом деле эта проекция – $\mathbb{P}^1$-расслоение, а соответствующее векторное расслоение на $\operatorname{OGr}(2,V_1)$ – это в точности спинорное расслоение $\mathcal{S}$, и, следовательно, имеем изоморфизм Аналогично, вторая проекция – $\mathbb{P}^2$-расслоение. Обозначив соответствующее $\operatorname{SO}(V_1)$-эквивариантное расслоение ранга $3$ на $\operatorname{OGr}(3,V_1)$ через $\mathcal{W}$, получим изоморфизм
Заметим, что $\operatorname{OGr}(3,V_1)$ – гладкая шестимерная квадрика в проективизации восьмимерного спинорного представления $\mathbb{S}$ группы $\operatorname{Spin}(V_1)$ (универсальной накрывающей группы $\operatorname{SO}(V_1)$). Ограничение этого представления на группу $\mathbf{G}$ раскладывается как $\mathbb{S} = V_1 \oplus \Bbbk$, а гиперплоское сечения $\operatorname{OGr}(3,V_1) \subset \mathbb{P}(\mathbb{S})$ с помощью $\mathbb{P}(V_1)$ является квадрикой $X_1$. Его прообраз
$$
\begin{equation*}
\operatorname{OFl}(2,3;V_1) \times_{\operatorname{OGr}(3,V_1)} X_1 \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}\vert_{X_1})
\end{equation*}
\notag
$$
является относительным (над $Y = \operatorname{OGr}(2,V_1)$) гиперплоским сечением $\mathbb{P}_Y(\mathcal{S})$; следовательно, он изоморфен раздутию $Y$ вдоль схемы нулей соответствующего сечения $\mathcal{S}^\vee$. Согласно лемме 2.1 эта схема нулей равна $X_2 \subset Y$, откуда получаем требуемый изоморфизм (2.2), в котором $\mathcal{W}_{X_1} := \mathcal{W}\vert_{X_1}$.
Чтобы построить точную последовательность (2.3), заметим, что в силу леммы 2.1 нормальное расслоение подсхемы $X_2 \subset Y$ изоморфно
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}_{X_2/Y} \cong \mathcal{S}\vert_{X_2}^\vee \cong \mathcal{U}_{X_2}^\vee,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, пользуясь изоморфизмами (1.1) и (1.2), заключаем, что исключительный дивизор раздутия изоморфен
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{N}_{X_2/Y}) \cong \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}^\vee_{X_2}) \cong \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2}) = \widetilde X = \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{C}_{X_1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, индуцированное вложение $\mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{C}_{X_1}) \hookrightarrow \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}_{X_1})$ согласовано с проекцией на $X_1$, а также с классами относительных гиперплоскостей, и, значит, оно индуцирует вложение векторных расслоений $\mathcal{C}_{X_1} \hookrightarrow \mathcal{W}_{X_1}$. Фактор является линейным расслоением, поэтому его можно отождествить с $\mathcal{O}_{X_1}(-H_1)$ вычисляя детерминанты и пользуясь изоморфизмами
$$
\begin{equation*}
\det(\mathcal{C}_{X_1}) \cong \mathcal{O}_{X_1}(-3H_1)\quad\text{и}\quad \det(\mathcal{W}_{X_1}) \cong \mathcal{O}_{X_1}(-4H_1),
\end{equation*}
\notag
$$
которые следуют из (1.2) и (2.4) с помощью вычисления канонического класса. $\Box$ Замечание 2.4. Основным отличием формулы (2.2) от (1.3) является то, что расширение (2.3), определяющее векторное расслоение $\mathcal{W}_{X_1}$, нетривиально. Это можно увидеть так: если бы последовательность (2.3) расщеплялась, то вложение $\mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \hookrightarrow \mathcal{W}_{X_1}$ индуцировало бы вложение $X_1 \hookrightarrow Y$ пятимерной квадрики $X_1$, однако хорошо известно, что $Y = \operatorname{OGr}(2,V_1)$ (и даже объемлющий грассманиан $\operatorname{Gr}(2,V_1)$) не содержит квадрик размерности большей $4$. § 3. Доказательство теоремы 1.1Напомним, что $\mathcal{Y} = Y \times C$ и что отображение $f_\mathcal{Y} \colon \mathcal{Y} \to C$ является проекцией. Рассмотрим подмногообразие
$$
\begin{equation*}
X_2 \hookrightarrow Y = \mathcal{Y}_0 \hookrightarrow \mathcal{Y}
\end{equation*}
\notag
$$
(при этом напомним, что $\mathcal{Y}_0 \subset \mathcal{Y}$ обозначает центральный слой), а также его раздутие $\pi_\mathcal{Y} \colon \operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}$. Тем самым мы построили правую половину диаграммы (1.7). Чтобы построить левую половину, нам понадобятся две леммы. Лемма 3.1. Схемный центральный слой морфизма $\operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \xrightarrow{\pi_\mathcal{Y}} \mathcal{Y} \xrightarrow{f_\mathcal{Y}} C$ является дивизором с нормальными пересечениями где первая компонента является исключительным дивизором раздутия $\pi_\mathcal{Y}$, а вторая – собственным прообразом $\mathcal{Y}_0 \cong Y$. Доказательство. Поскольку $\mathcal{Y}$ является произведением $Y \times C$, пользуясь леммой 2.1, вычисляем нормальное расслоение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}_{X_2/\mathcal{Y}} \cong \mathcal{N}_{X_2/Y} \oplus \mathcal{O}_{X_2} \cong \mathcal{U}_{X_2}^\vee \oplus \mathcal{O}_{X_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно является подкруткой расслоения $\mathcal{U}_{X_2} \oplus \mathcal{O}_{X_2}(-H_2)$, откуда мы получаем описание первой компоненты центрального слоя раздутия $\operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y})$. Вторая компонента изоморфна раздутию $\operatorname{Bl}_{X_2}(Y)$, поэтому здесь применимо предложение 2.3. Наконец, пересечение компонент есть проективизация расслоения $\mathcal{N}_{X_2/Y} \cong \mathcal{U}_{X_2}^\vee$, и формула (1.1) показывает, что оно изоморфно $\widetilde X$. $\Box$ Теперь рассмотрим тривиальное векторное расслоение $\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C$ и фильтрацию (2.1) его центрального слоя. В результате возникает векторное расслоение $\mathcal{V}$ на $C$ и морфизм $\alpha \colon \wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C \to \mathcal{V}$, достраивающийся до точной последовательности
$$
\begin{equation*}
0 \longrightarrow \wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \mathcal{V} \longrightarrow V_2 \otimes \mathcal{O}_{\{0\}} \longrightarrow 0,
\end{equation*}
\notag
$$
в которой $\mathcal{O}_{\{0\}}$ – структурный пучок точки $\{0\} \in C$, центральный слой расслоения $\mathcal{V}$ канонически является расширением
$$
\begin{equation}
0 \longrightarrow V_1^\vee \longrightarrow \mathcal{V}_{\{0\}} \longrightarrow V_2 \longrightarrow 0
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
(противоположным к (2.1)), а морфизм $\alpha_{\{0\}}$ раскладывается в композицию как $\wedge^2V_1 \stackrel{\lambda}{\longrightarrow} V_1^\vee \longrightarrow \mathcal{V}_{\{0\}}$. Заметим, что $\alpha$ является изоморфизмом над $C \setminus \{0\}$ и поэтому индуцирует бирациональное отображение $\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C) \dashrightarrow \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})$ проективных расслоений над $C$. Лемма 3.2. Рассмотрим вложения в центральные слои проективных расслоений. Бирациональное отображение $\alpha$ индуцирует изоморфизм раздутий над $C$, так что исключительный дивизор каждой из сторон совпадает с собственным прообразом центрального слоя проективного расслоения другой стороны. Это элементарное преобразование проективных расслоений, поэтому доказательство утверждения является стандартным. Теперь построим левую половину диаграммы (1.7). Рассмотрим естественное вложение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Y} = Y \times C = \operatorname{OGr}(2,V_1) \times C \hookrightarrow \mathbb{P}(\wedge^2V_1) \times C = \mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно следствию 2.2 собственный прообраз многообразия $\mathcal{Y}$ относительно морфизма раздутия $\operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_2)}(\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)) \to \mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)$ из леммы 3.2 изоморфен $\operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y})$. Рассмотрим композицию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \hookrightarrow \operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_2)}(\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)) \cong \operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_1^\vee)}(\mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})) \to \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})
\end{equation*}
\notag
$$
индуцированного вложения с изоморфизмом из леммы 3.2 и очевидным стягиванием. Обозначим через $\mathcal{X} \subset \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})$ ее образ и рассмотрим полученные морфизмы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y}) \stackrel{\pi_\mathcal{X}}{\longrightarrow} \mathcal{X} \stackrel{f_\mathcal{X}}{\longrightarrow} C.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается показать, что отображение $f_\mathcal{X}$ гладко, его центральный слой изоморфен $X$, а $\pi_\mathcal{X}$ – раздутие с центром в $X_1 \subset \mathcal{X}$. Согласно лемме 3.2 морфизм $\operatorname{Bl}_{\mathbb{P}(V_2)}(\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)) \to \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V})$ стягивает собственный прообраз центрального слоя $\mathbb{P}_{C}(\wedge^2V_1 \otimes \mathcal{O}_C)$, а на его дополнении является изоморфизмом. Отсюда следует, что $\pi_\mathcal{X}$ стягивает собственный прообраз центрального слоя $\mathcal{Y}$, а на его дополнении также является изоморфизмом. Заметим далее, что ограничение морфизма $\pi_\mathcal{X}$ на исключительный дивизор $\mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2} \oplus \mathcal{O}_{X_2}(-H_2))$ раздутия $\pi_\mathcal{Y}$ (см. лемму 3.1) – это морфизм, заданный классом относительной гиперплоскости, поэтому ввиду изоморфизма (1.4) его образ является орисферическим многообразием $X$. Оно является центральным слоем морфизма $f_\mathcal{X}$, поэтому из гладкости $X$ следует гладкость $f_\mathcal{X}$. Ограничение морфизма $\pi_\mathcal{X}$ на собственный прообраз $\operatorname{Bl}_{X_2}(Y) \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{W}_{X_1})$ центрального слоя $\mathcal{Y}$ над $C$ совпадает по построению с морфизмом из предложения 2.3, следовательно, $\pi_\mathcal{X}(\operatorname{Bl}_{X_2}(Y)) = X_1 \subset X$. Наконец, тот факт, что $\pi_\mathcal{X}$ есть раздутие $X_1 \subset X = \mathcal{X}_0 \subset \mathcal{X}$, следует из [5; лемма 2.5]. § 4. Доказательство теоремы 1.2Напомним точную последовательность (2.3). Пусть
$$
\begin{equation*}
\epsilon \in \operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1), \mathcal{C}_{X_1})
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает класс этого расширения; заметим, что $\epsilon \ne 0$ в силу замечания 2.4. Пусть $\mathcal{L}$ – линейное расслоение степени $1$ на кривой $C$, соответствующее точке $\{0\} \in C$, и пусть $s_0 \in \mathrm{H}^0(C,\mathcal{L})$ – соответствующее глобальное сечение. Определим векторное расслоение $\widetilde{\mathcal{W}}$ на $X_1 \times C$ как расширение
$$
\begin{equation}
0 \longrightarrow \mathcal{C}_{X_1} \boxtimes \mathcal{L} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{W}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \boxtimes \mathcal{O}_{C} \longrightarrow 0,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
класс которого равен
$$
\begin{equation*}
\epsilon \otimes s_0 \in \operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1), \mathcal{C}_{X_1}) \otimes \mathrm{H}^0(C, \mathcal{L}) \cong \operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \boxtimes \mathcal{O}_{C}, \mathcal{C}_{X_1} \boxtimes \mathcal{L}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда над точкой $\{0\}$ расширение расщепляется, так что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{W}}\vert_{X_1 \times \{0\}} \cong \mathcal{O}_{X_1}(-H_1) \oplus \mathcal{C}_{X_1},\\
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
в то время как для каждого $0 \ne t \in C$ расширение изоморфно (2.3), и поэтому
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{W}}\vert_{X_1 \times (C \setminus \{0\})} \cong \mathcal{W}_{X_1} \boxtimes \mathcal{O}_{C \setminus \{0\}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Рассмотрим теперь проективное расслоение $\mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}})$ и его относительный класс гиперплоскости $H$. Поскольку оба векторных расслоения $\mathcal{C}_{X_1}^\vee$ и $\mathcal{O}_{X_1}(H_1)$ глобально порождены, линейная система $|H|$ не имеет базисных точек на каждом слое над $C$, и, следовательно, задает морфизм
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}}) \to \mathbb{P}_{C}(\mathcal{V}')
\end{equation*}
\notag
$$
в некоторое проективное расслоение над $C$ (на самом деле это расслоение можно отождествить с расслоением $\mathbb{P}_C(\mathcal{V})$, построенным в доказательстве теоремы 1.1). Обозначим его образ через $\mathcal{X}$ и покажем, что он гладок над $C$ и имеет слои $X$ и $Y$ над $\{0\} \in C$ и $C \setminus \{0\}$ соответственно и что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}}) \cong \operatorname{Bl}_{X_2 \times C}(\mathcal{X}).
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, слой $\mathcal{X}_t$ многообразия $\mathcal{X}$ над точкой $t \in C$ является образом $\mathbb{P}_{X_1}(\widetilde{\mathcal{W}}_t)$ при морфизме, заданном относительным классом гиперплоскости. При $t = 0$ в силу (4.2) это согласуется с определением (1.3) орисферического многообразия, поэтому С другой стороны, при $t \ne 0$, применяя (4.3) и предложение 2.3, получаем, что Наконец, исключительное множество морфизма $\rho \colon \mathbb{P}_{X_1 \times C}(\widetilde{\mathcal{W}}) \to \mathcal{X}$ является проективным подрасслоением
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{X_1 \times C}(\mathcal{C}_{X_1} \boxtimes \mathcal{L}) \cong \mathbb{P}_{X_1}(\mathcal{C}_{X_1}) \times C \cong \widetilde X \times C \cong \mathbb{P}_{X_2}(\mathcal{U}_{X_2}) \times C,
\end{equation*}
\notag
$$
и оно стягивается морфизмом $\rho$ на подмногообразие $X_2 \times C \subset \mathcal{X}$. Замечание 4.1. Можно получить векторное расслоение $\widetilde{\mathcal{W}}$ на $X_1 \times C$ из (тривиального над $C$) векторного расслоения $\mathcal{W}_{X_1} \boxtimes \mathcal{O}_{C}$ и фильтрации (2.3) его центрального слоя с помощью элементарного преобразования, аналогичного использованному в лемме 3.2. Пользуясь этим, можно объединить конструкции теорем 1.1 и 1.2. § 5. Производные категорииКонструкции теорем 1.1 и 1.2 можно применять разными способами. Например, можно с их помощью установить связь между производными категориями $X$ и $Y$. Напомним, что обе эти категории обладают полными исключительными наборами: в случае $X$ это было доказано в [1; теорема 8.20], а в случае $Y$ – в [3; теорема 7.1]. Более того, [1; замечание 8.22] указывает на то, что наборы имеют одинаковую структуру. Оказывается, эти два набора можно “склеить”. Точнее говоря, можно построить относительный исключительный набор на $\mathcal{X}$ над $C$, который совпадает с набором из [3; теорема 7.1] над $C \setminus \{0\}$ и с набором из [1; теорема 8.20] в центральном слое. Напомним обозначения диаграммы (1.7) и обозначим дополнительно
Напомним, что согласно лемме 3.1 морфизмы $E_1 \to X_1$ и $E_2 \to X_2$ являются $\mathbb{P}^2$-расслоениями, а пересечение трансверсально. Обозначим $\mathcal{U}_\mathcal{Y} := \mathcal{U} \boxtimes \mathcal{O}_C$ и $\mathcal{S}_\mathcal{Y} := \mathcal{S} \boxtimes \mathcal{O}_C$. Тогда можно проверить, что на многообразии $\operatorname{Bl}_{X_1}(\mathcal{X}) \cong \operatorname{Bl}_{X_2}(\mathcal{Y})$ имеются выделенные треугольники
$$
\begin{equation}
\pi_\mathcal{X}^*\mathcal{S}_\mathcal{X} \to \pi_\mathcal{Y}^*\mathcal{S}_\mathcal{Y} \to i_{1*}\mathcal{O}_{E_1}(-E), \qquad \pi_\mathcal{Y}^*\mathcal{U}_\mathcal{Y} \to \pi_\mathcal{X}^*\mathcal{U}_\mathcal{X} \to i_{2*}\mathcal{O}_{E_2}(-H_2 - 2E),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
определяющие объекты $\mathcal{S}_\mathcal{X}$ и $\mathcal{U}_\mathcal{X}$ в $\mathbf{D}^{\mathrm{b}}(\mathcal{X})$. Заметим, что оба дивизора $E_1$ и $E_2$ сосредоточены над точкой $\{0\} \in C$, следовательно, над $C \setminus \{0\}$ эти треугольники превращаются в изоморфизмы между ограничениями $\mathcal{S}_\mathcal{X}$ и $\mathcal{S}_\mathcal{Y}$, а также $\mathcal{U}_\mathcal{X}$ и $\mathcal{U}_\mathcal{Y}$ соответственно. С другой стороны, ограничения на центральный слой $\mathcal{X}_0 \cong X$ могут быть отождествлены следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}_\mathcal{X}\vert_X \cong \mathbb{U}, \qquad \mathcal{U}_\mathcal{X}\vert_X \cong \widehat{\mathbb{S}},
\end{equation*}
\notag
$$
где правые части равенств определяются в [1; предложения 8.4, 8.7 и лемма 8.12]. Можно также доказать, что имеется $C$-линейное полуортогональное разложение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{D}^{\mathrm{b}}(\mathcal{X}) = \langle \mathcal{A}, \mathcal{A}(H), \mathcal{A}(2H), \mathcal{A}(3H) \rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H$ – относительный класс гиперплоскости для $\mathcal{X}$ над $C$, а
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A} = \langle \mathcal{S}_\mathcal{X} \otimes \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(C), \mathcal{U}_\mathcal{X} \otimes \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(C), \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes \mathbf{D}^{\mathrm{b}}(C) \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, можно проверить, что после замены базы на $\{0\}$ и $C \setminus \{0\}$ (в смысле статьи [4]) эти разложения совпадают с соответствующими разложениями категорий $\mathbf{D}^{\mathrm{b}}(X)$ и $\mathbf{D}^{\mathrm{b}}(Y \times (C \setminus \{0\}))$. БлагодарностиАвтор благодарит Сашу Самохина за обсуждение, в ходе которого была обнаружена теорема 1.1, а Джунмука Хванга и Николя Перрена за полезные замечания касательно предварительной версии этой заметки. Автор также благодарен анонимному рецензенту за внимательное прочтение статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuz23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|