| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Следы пространств Соболева на нерегулярных подмножествах метрических пространств с мерой А. И. Тюленев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9893e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеТеория пространств Соболева на метрических пространствах с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – важная, быстро развивающаяся область современного геометрического анализа. Поскольку наличие какой-либо дополнительной регулярной структуры на $\operatorname{X}$ априори не предполагается, не удивительно, что большинство известных на настоящий момент исследований относится к пространствам Соболева первого порядка $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$, $p \in (1,\infty)$. Мы отсылаем читателя к недавней чудесной монографии [1] и запискам лекций [2], в которых содержится исчерпывающее изложение теории пространств $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$, $p \in (1,\infty)$, и связанных с ними задач. Однако некоторые вопросы, касающиеся пространств Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$, $p \in (1,\infty)$, остаются открытыми. Один из наиболее трудных и захватывающих среди них – это так называемая проблема следа, т.е. задача точного внутреннего описания пространства следов пространства $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$, $p \in (1,\infty)$, на различных замкнутых множествах $S \subset \operatorname{X}$. Во всех известных ранее исследованиях эта проблема рассматривалась при некоторых дополнительных предположениях относительно регулярности $S$. В настоящей статье мы вводим новый достаточно широкий класс замкнутых множеств и решаем соответствующую проблему следа для множеств из этого класса. Для того чтобы поставить проблему точно, напомним некоторые понятия из анализа на метрических пространствах с мерой. Прежде всего, под метрическим пространством с мерой (далее м.п.м. для краткости) мы всегда подразумеваем тройку $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$, где $(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – полное сепарабельное метрическое пространство, а $\mu$ – борелевски регулярная мера на $(\operatorname{X},\operatorname{d})$, принимающая конечные положительные значения на всех шарах $B_{r}(x)$ с центрами в $x \in \operatorname{X}$ и радиусами $r \in (0,\infty)$. Кроме того, мы будем работать с такими м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$, которые $q$-допустимы при некотором $q \in (1,\infty)$ (см. детали в п. 2.1); это означает, что выполнены следующие условия:
Для заданного м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ и параметра $p \in (1,\infty)$ существует по меньшей мере пять подходов к определению пространств Соболева первого порядка $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, которые обычно используются в современной литературе (см. [3]–[9]). Замечательно то, что в случае, когда пространство $\operatorname{X}$ является $p$-допустимым, все эти подходы эквивалентны в соответствующем смысле (см. детали в п. 2.2). В настоящей статье мы возьмем за основу подход, предложенный Д. Чигером в [7], но в эквивалентной современной трактовке, использованной в [3]. Этот подход оказывается более подходящим в контексте рассматриваемых нами вопросов. 1.1. Постановка задачиНапомним определение $p$-емкости $C_{p}$ (см. [10; гл. I, п. 1.5]). Хорошо известно (см. детали в п. 2.3), что для заданного $p \in (1,\infty)$ и $p$-допустимого м.п.м. $\operatorname{X}$ для каждого элемента $F \in W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ существует борелевский представитель $\overline{F}$, имеющий точки Лебега всюду, за исключением множества $p$-емкости нуль. Любой такой представитель будет называться $p$-точным представителем $F$. Для множества $S \subset \operatorname{X}$ положительной $p$-емкости определим $p$-точный след любого элемента $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на множестве $S$ как класс эквивалентности (по модулю $p$-емкости нуль), состоящий из поточечных ограничений на $S$ всех $p$-точных представителей элемента $F$, и обозначим его через $F|_{S}$. В дальнейшем, если не оговорено обратное, мы не будем делать различий между $F|_{S}$ и поточечным ограничением на $S$ любого $p$-точного представителя элемента $F$. Определим $p$-точное пространство следов $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ как линейное пространство $p$-точных следов $F|_{S}$ всех элементов $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Снабдим это пространство соответствующей нормой факторпространства, т.е. при $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ положим
$$
\begin{equation}
\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}}:=\inf\{\|F\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})}\colon f=F|_{S}\}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Нам также понадобится $p$-точный оператор следа, т.е. отображение $\operatorname{Tr}|_{S}$: $W_{p}^{1}(\operatorname{X}) \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$, определяемое равенством $\operatorname{Tr}|_{S}(F):=F|_{S}$ при $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Нетрудно показать, что отображение $\operatorname{Tr}|_{S}$ является линейным ограниченным оператором из $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ в $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$. Наконец, скажем, что $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ – $p$-точное продолжение заданной борелевской функции $f\colon S \to \mathbb{R}$ при условии, что $f= F|_{S}$. При этом равенство $f=F|_{S}$ следует понимать в том смысле, что соответствующий емкостный класс эквивалентности функции $f$ совпадает с $F|_{S}$. Первая проблема, которую мы рассматриваем в настоящей статье, может быть сформулирована следующим образом. Проблема 1 (проблема $p$-точного следа). Пусть $p \in (1,\infty)$, а $\operatorname{X}{=}\,(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – $p$-допустимое метрическое пространство с мерой. Пусть $S \subset \operatorname{X}$ – замкнутое непустое множество емкости $C_{p}(S) > 0$. (Q1) Для заданной борелевской функции $f\colon S \to \mathbb{R}$ найти необходимые и достаточные условия существования $p$-точного продолжения $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ функции $f$. (Q2) Используя только геометрию множества $S$ и значения функции $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$, вычислить норму $\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}}$ с точностью до некоторых универсальных констант. (Q3) Существует ли линейный ограниченный оператор $\operatorname{Ext}_{S}$ из $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ в $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, называемый $p$-точным оператором продолжения, такой, что $\operatorname{Tr}|_{S} \circ \operatorname{Ext}_{S} = \operatorname{Id}$ на $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$? Предупреждение об обозначенияхЗаметим, что формально операторы $\operatorname{Tr}|_{S}$ и $\operatorname{Ext}_{S}$ зависят от параметра $p$. Однако мы не усложняем обозначения, поскольку во всех основных результатах настоящей работы параметр $p$ будет фиксирован. Во многих частных случаях понятия $p$-точного следа и $p$-точного продолжения должны быть ослаблены в подходящем смысле. Например, если заданное множество $S \subset \operatorname{X}$ имеет “постоянную размерность Хаусдорфа”, то естественно использовать соответствующую меру Хаусдорфа вместо $C_{p}$-емкости для описания “пренебрежимых множеств”. Например, в [11]–[18] понятия следов соболевских функций были введены с помощью соответствующих мер типа Хаусдорфа, а не емкостей. Однако ситуация становится более замысловатой, если мы имеем дело со множеством $S$, составленным из бесконечного числа “кусков разных размерностей”. Ясно, что в таком случае использование отдельно взятой меры типа Хаусдорфа для определения следов пространств Соболева может привести к некорректно поставленной проблеме следа. В то же время использование $C_{p}$-емкости кажется неестественным. Вышеприведенные наблюдения мотивируют нас ввести более гибкое понятие следа соболевской функции. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой, и пусть $S \subset \operatorname{X}$ – замкнутое непустое множество. Для заданной борелевски регулярной локально конечной меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ через $L_{0}(\mathfrak{m})$ обозначим линейное пространство $\mathfrak{m}$-классов эквивалентности всех борелевских функций $f\colon \operatorname{supp}\mathfrak{m} \to \mathbb{R}$. Предположим, что $\operatorname{supp}\mathfrak{m}=S$, а мера $\mathfrak{m}$ абсолютно непрерывна относительно $C_{p}$, т.е. для каждого борелевского множества $E \subset S$ из равенства $C_{p}(E)=0$ следует равенство $\mathfrak{m}(E)=0$. Определим $\mathfrak{m}$-след $F|_{S}^{\mathfrak{m}}$ любого элемента $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на $S$ как $\mathfrak{m}$-класс эквивалентности $p$-точного следа $F|_{S}$. Через $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}$ обозначим линейное пространство $\mathfrak{m}$-следов всех $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, снабженное соответствующей нормой факторпространства, т.е. при $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}$ положим
$$
\begin{equation}
\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}} :=\inf\{\|F\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})}\colon f=F|^{\mathfrak{m}}_{S}\}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Мы также введем $\mathfrak{m}$-оператор следа как отображение $\operatorname{Tr}|_{S}^{\mathfrak{m}}\colon W_{p}^{1}(\operatorname{X}) \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}^{\mathfrak{m}}$, определяемое равенством $\operatorname{Tr}|_{S}^{\mathfrak{m}}(F):=F|_{S}^{\mathfrak{m}}$ при $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Нетрудно показать, что отображение $\operatorname{Tr}|^{\mathfrak{m}}_{S}$ является линейным ограниченным оператором из $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ в $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}$. Скажем, что $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ является $\mathfrak{m}$-продолжением заданного элемента $f \in L_{0}(\mathfrak{m})$ при условии, что $f=F|^{\mathfrak{m}}_{S}$. Вторая проблема, рассматриваемая в настоящей статье, может быть сформулирована следующим образом. Проблема 2 (проблема $\mathfrak{m}$-следа). Пусть $p \in (1,\infty)$, а $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – $p$-допустимое метрическое пространство с мерой. Пусть $\mathfrak{m}$ – положительная локально конечная борелевски регулярная мера на $\operatorname{X}$, абсолютно непрерывная относительно $C_{p}$, и пусть $S=\operatorname{supp}\mathfrak{m}$. (MQ1) При $f \in L_{0}(\mathfrak{m})$ найти необходимые и достаточные условия для существования $\mathfrak{m}$-продолжения $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ элемента $f$. (MQ2) Используя только геометрию множества $S$, свойства меры $\mathfrak{m}$ и значения $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}$, вычислить норму $\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}}$ с точностью до некоторых универсальных констант. (MQ3) Существует ли линейный ограниченный оператор $\operatorname{Ext}_{S,\mathfrak{m}}$ из $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}$ в $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, называемый $\mathfrak{m}$-оператором продолжения, такой, что $\operatorname{Tr}|^{\mathfrak{m}}_{S} \circ \operatorname{Ext}_{S,\mathfrak{m}} = \operatorname{Id}$ на $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}$? 1.2. Известные ранее результатыНасколько нам известно, проблема 1 рассматривалась только в случае $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2},\mathcal{L}^{n})$. Кроме того, эта проблема остается открытой в полной общности, т.е. во всем диапазоне $p \in (1,\infty)$. Ниже мы кратко напомним наиболее мощные частные результаты, доступные в литературе. (R.1.1) Результаты работ [19], [20] полностью покрывают случай $p > n$, т.е. проблема 1 решена без каких-либо дополнительных предположений относительно регулярности $S$. (R.1.2) В случае $p \in (1,n]$ при каждом $d \in (n-p,n]$ проблема 1 была решена для любого замкнутого $d$-регулярного снизу в смысле обхвата (или, что эквивалентно, $d$-толстого) множества $S \subset \mathbb{R}^{n}$ (см. [21]). (R.1.3) Совсем недавно ослабленная версия проблемы 1 была решена автором без каких-либо дополнительных предположений относительно регулярности $S$ (см. [22], [23]). Теперь мы кратко опишем известные результаты, касающиеся проблемы 2. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой. На протяжении статьи мы используем символ $B_{r}(x)$ для обозначения замкнутого шара с центром в $x \in \operatorname{X}$ радиуса $r \geqslant 0$, т.е.
$$
\begin{equation*}
B_{r}(x):=\{y \in \operatorname{X}\colon \operatorname{d}(x,y) \leqslant r\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в общих метрических пространствах с мерой поведение $\mu(B_{r}(x))$ не столь прозрачно, в [14], [15], [12], [11] было замечено, что коразмерностные обхваты по Хаусдорфу $\mathcal{H}_{\theta,\delta}$ (см. соответствующее точное определение в п. 2.1) являются более подходящими в этом случае. Следуя [14], [15], для заданного м.п.м. $\operatorname{X}$ и параметра $\theta \geqslant 0$ скажем, что замкнутое множество $S \subset \operatorname{X}$ является $\theta$-корегулярным по Альфорсу–Давиду при условии, что существуют константы $c_{S,1}(\theta), c_{S,2}(\theta) > 0$ такие, что
$$
\begin{equation}
c_{S,1}(\theta) \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}} \leqslant \mathcal{H}_{\theta}(B_{r}(x) \cap S) \leqslant c_{S,2}(\theta) \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}} \quad \text{при } \ (x,r) \in S \times (0,1].
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Через $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ будем обозначать класс всех $\theta$-корегулярных по Альфорсу–Давиду множеств. (R.2.1) В [18] рассматривались следы пространств Кальдерона–Соболева и пространств Хайлаша–Соболева на множествах $S \in \mathcal{ADR}_{0}(\operatorname{X})$. В [18] предполагалось, что мера $\mu$ глобально удовлетворяет свойству удвоения и, кроме того, удовлетворяет обратному свойству удвоения. (R.2.2) В [17] рассматривались следы пространств Бесова, Лизоркина–Трибеля и Хайлаша–Соболева на пористых регулярных по Альфорсу–Давиду подмножествах $\operatorname{X}$. Методы [17] позволяют добиться некоторого ослабления условия регулярности по Альфорсу–Давиду, заменяя его на $\theta$-корегулярность по Альфорсу–Давиду. (R.2.3) В [14] для заданных $\theta > 0$ и равномерной области $\Omega \subset \operatorname{X}$, граница $\partial\Omega$ которой удовлетворяет соответствующему условию $\theta$-корегулярности по Альфорсу–Давиду, при $p \in (\max\{1,\theta\},\infty)$ было получено точное описание следа пространства Ньютона–Соболева $N_{p}^{1}(\Omega)$ на $\partial \Omega$. Кроме того, совсем недавно аналогичная проблема рассматривалась для однородных пространств типа Соболева, или, как их еще называют, пространств Дирихле $D^{1}_{p}(\Omega)$, $p \in (1,\infty)$ (см. [12]). (R.2.4) Совсем недавно в [24] изучался аналог проблемы 2 для банаховозначных соболевских отображений в случае $S \in \mathcal{ADR}_{0}(\operatorname{X})$. 1.3. Цели статьиАнализ результатов, упомянутых в (R.2.1)–(R.2.4), показывает, что проблема 2 рассматривалась для множеств $S \subset \operatorname{X}$, удовлетворяющих условиям регулярности типа Альфорса–Давида. В частности, все известные на настоящий момент методы и инструменты оказываются неприменимы даже в случае, когда $S=S_{1} \cup S_{2}$, где $S_{i} \in \mathcal{ADR}_{\theta_{i}}(\operatorname{X})$, $i=1,2$, при $\theta_{1} \neq \theta_{2}$ такие, что $S_{1} \cap S_{2} \neq \varnothing$ и $\mathcal{H}_{\max\{\theta_{1},\theta_{2}\}}(S_{1} \cap S_{2}) = 0$. Это элементарное препятствие показывает, что классы $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$, $\theta \geqslant 0$, слишком узки для построения плодотворной теории следа. Следовательно, естественно ввести ослабление условия регулярности Альфорса–Давида (1.3), заменяя меру Хаусдорфа на соответствующий обхват по Хаусдорфу. Скажем, что множество $S \subset \operatorname{X}$ удовлетворяет условию регулярности $\theta$-коразмерностного обхвата снизу, если существует константа $\lambda_{S}(\theta) \in (0,1]$ такая, что
$$
\begin{equation}
\lambda_{S}(\theta) \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}} \leqslant \mathcal{H}_{\theta,r}(B_{r}(x) \cap S) \quad \text{при всех } \ (x,r) \in S \times (0,1].
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Через $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ обозначим класс всех множеств $S \subset \operatorname{X}$, удовлетворяющих условию регулярности $\theta$-коразмерностного обхвата снизу. Этот класс является естественным обобщением класса всех $d$-толстых подмножеств $\mathbb{R}^{n}$, введенного В. Рычковым (см. [16]), на случай общих метрических пространств с мерой. Действительно, в случае, когда $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2},\mathcal{L}^{n})$ и $d \in [0,n]$, множество $S \subset \mathbb{R}^{n}$ является $d$-толстым в смысле В. Рычкова в том и только том случае, если $S \in \mathcal{LCR}_{n-d}(\mathbb{R}^{n})$. Совсем недавно некоторые интересные геометрические свойства $d$-толстых подмножеств $\mathbb{R}^{n}$ активно изучались в работах [25]–[27]. Можно показать, что если мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения, то $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X}) \subset \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при каждом $\theta \geqslant 0$, но включение, вообще говоря, строгое (см. детали в § 4). Класс $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ очень широк. Например, в случае, если $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2},\mathcal{L}^{n})$, то любое линейно связное множество $\Gamma \subset \mathbb{R}^{n}$, содержащее по меньшей мере две различные точки, принадлежит классу $\mathcal{LCR}_{n-1}(\mathbb{R}^{n})$. Кроме того, если м.п.м. $\operatorname{X}$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q > 0$, то для любого $\theta \geqslant Q$ каждое непустое множество $S \subset \operatorname{X}$ принадлежит $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Цель настоящей статьи – решить проблемы 1 и 2 для замкнутых множеств $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при всех $\theta \in [0,p)$ (при $\theta \geqslant p$ данные проблемы, вообще говоря, являются некорректно поставленными). Мы покажем, что наши результаты покрывают все известные ранее результаты (см. [18], [19], [17], [21]). Кроме того, мы приведем иллюстративный пример 8, в котором проблема 2 решена для множества, составленного из двух регулярных по Альфорсу–Давиду множеств различных коразмерностей, имеющих непустое пересечение. Отметим, что даже такой элементарный пример не мог быть охвачен известными ранее методами. Наконец, в качестве частного случая наших основных результатов для заданных параметра $Q \geqslant 1$ и $Q$-регулярного по Альфорсу м.п.м. $\operatorname{X}$ для каждого $p \in (Q,\infty)$ мы приведем в примере 9 решение проблемы 1 для произвольного замкнутого непустого множества $S \subset \operatorname{X}$. Этот пример дает естественное обобщение одного из основных результатов статьи [19]. 1.4. Формулировки основных результатовДля того чтобы сформулировать основные результаты настоящей статьи, мы введем некоторые ключевые инструменты. Для заданных м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ и параметра $\theta \geqslant 0$ скажем, что последовательность локально конечных борелевски регулярных мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ является $\theta$-регулярной, если существует число $\epsilon=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \in (0,1)$ такое, что выполнены следующие условия: (M1) существует такое непустое замкнутое множество $S \subset \operatorname{X}$, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}=S \quad \text{при всех } \ k \in \mathbb{N}_{0};
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
(M2) существует константа $C_{1} > 0$ такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}(B_{r}(x)) \leqslant C_{1} \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}}\quad \text{при всех }\ x \in \operatorname{X} \text{ и всех }\ r \in (0,\epsilon^{k}];
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
(M3) существует константа $C_{2} > 0$ такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}(B_{r}(x)) \geqslant C_{2}\frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}} \quad \text{при всех }\ x \in S \text{ и всех }\ r \in [\epsilon^{k},1];
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
(M4) для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ существует $w_{k} \in L_{\infty}(\mathfrak{m}_{0})$ такая, что $\mathfrak{m}_{k}=w_{k}\mathfrak{m}_{0}$, и, кроме того, существует константа $C_{3} > 0$ такая, что для любых $k,j \in \mathbb{N}_{0}$
$$
\begin{equation}
\frac{\epsilon^{\theta j}}{C_{3}} \leqslant \frac{w_{k}(x)}{w_{k+j}(x)} \leqslant C_{3} \quad \text{при } \mathfrak{m}_{0}\text{-п.в. } x \in S.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Класс всех $\theta$-регулярных последовательностей мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}$, удовлетворяющих условию (1.5), будет обозначаться через $\mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Кроме того, скажем, что последовательность $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ является сильно $\theta$-регулярной, если (M5) для любого борелевского множества $E \subset S$
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{k \to \infty}\frac{\mathfrak{m}_{k} (B_{\epsilon^{k}}(\underline{x}) \cap E)}{\mathfrak{m}_{k}(B_{\epsilon^{k}}(\underline{x}))} > 0 \quad \text{при } \ \mathfrak{m}_{0}\text{-п.в. } \underline{x} \in E.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Класс всех сильно $\theta$-регулярных последовательностей мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}$, удовлетворяющих условию (1.5), будет обозначаться через $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Условие (M5) может рассматриваться как мультивесовое обобщение известного $A_{\infty}$-условия Макенхаупта (см. [28; гл. V, п. 5.7]). Ясно, что при заданном $\theta \geqslant 0$ имеем включение $\mathfrak{M}_{\theta}^{\mathrm{str}}(S) \subset \mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Вопрос о совпадении $\mathfrak{M}_{\theta}^{\mathrm{str}}(S)$ и $\mathfrak{M}_{\theta}(S)$ достаточно тонкий и будет обсуждаться в п. 5.2. Первый основной результат настоящей статьи выглядит как вспомогательное утверждение. Тем не менее он является новым и, как мы полагаем, может представлять самостоятельный интерес. Этот результат можно рассматривать как естественное обобщение простой характеризации регулярных по Альфорсу–Давиду множеств в $\mathbb{R}^{n}$ (см. определение 1.1 и теорему 1 в гл. 1 монографии [13]). Теорема 1. Пусть $p \in (1,\infty)$, а $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – $p$-допустимое метрическое пространство с мерой. Пусть $\theta \geqslant 0$, и пусть $S \subset \operatorname{X}$ – непустое замкнутое множество. Если $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, то $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S) \neq \varnothing$. Если $\mathfrak{M}_{\theta}(S) \neq \varnothing$, то $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Для изложения последующих результатов нам будет удобно зафиксировать до конца параграфа следующие данные: (D1) параметр $p \in (1,\infty)$ и $p$-допустимое метрическое пространство с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$; (D2) параметр $\theta \in [0,p)$ и замкнутое множество $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$; (D3) последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ и параметр $\epsilon=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \in (0,1/10]$. При $r > 0$ мы введем важное обозначение, полагая
$$
\begin{equation*}
k(r):= \max\{k \in \mathbb{Z}\colon r \leqslant \epsilon^{k}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы введем несколько ключевых функционалов, которые будут основными инструментами при получении различных характеризаций следов пространств $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. При $p \in [0,+\infty)$ будем использовать следующие обозначения. Положим
$$
\begin{equation*}
L_{p}(\{\mathfrak{m}_{k}\}):=\bigcap_{k=0}^{\infty} L_{p}(\mathfrak{m}_{k}), \qquad L^{\mathrm{loc}}_{p}(\{\mathfrak{m}_{k}\}):=\bigcap_{k=0}^{\infty} L^{\mathrm{loc}}_{p}(\mathfrak{m}_{k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для заданной ненулевой локально конечной борелевски регулярной меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$, элемента $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathfrak{m})$ и каждого борелевского множества $G$ с мерой $\mathfrak{m}(G) \in (0,+\infty)$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}}(f,G):=\inf_{c \in \mathbb{R}}\frac{1}{\mathfrak{m}(G)}\int_{G}|f(x)-c|\,d\mathfrak{m}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
При каждом $r > 0$ положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}}(f,B_{r}(x)):= \begin{cases} \mathcal{E}_{\mathfrak{m}}(f,B_{2r}(x)), &\text{если } B_{r}(x) \cap \operatorname{supp}\mathfrak{m} \neq \varnothing, \\ 0, &\text{если }B_{r}(x) \cap \operatorname{supp}\mathfrak{m} = \varnothing. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Теперь при $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ определим $\{\mathfrak{m}_{k}\}$-максимальную функцию Кальдерона как отображение $f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}\colon \operatorname{X} \to [0,+\infty]$, определяемое по формуле
$$
\begin{equation*}
f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(x):=\sup_{r \in (0,1]}\frac{1}{r}\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(r)}}(f,B_{r}(x)), \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, при $p \in (1,\infty)$ мы рассмотрим функционал Кальдерона на пространстве $L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ (со значениями в $[0,+\infty]$), полагая при каждом $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$
$$
\begin{equation}
\mathcal{C}\mathcal{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) :=\|f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}\|_{L_{p}(\mu)}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Отметим, что если $\operatorname{X}=S=\mathbb{R}^{n}$ и $\mathfrak{m}_{k}:=\mathcal{L}^{n}$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$, то $\{\mathfrak{m}_{k}\}$-максимальная функция Кальдерона совпадает с классической максимальной функцией $f^{\sharp}$, введенной А. Кальдероном в [29]. Кроме того, в своей работе [29] Кальдерон показал, что при $p \in (1,\infty]$ элемент $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^{n})$ принадлежит $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ в том и только том случае, если $f$ и $f^{\sharp}$ обе принадлежат $L_{p}(\mathbb{R}^{n})$. Этот факт оправдывает название нашего функционала $\mathcal{C}\mathcal{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}$. При $p \in (1,\infty)$ и $c > 1$ мы также введем функционал Брудного–Шварцмана на $L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ (со значениями в $[0,+\infty]$), полагая для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$
$$
\begin{equation}
\mathcal{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f):= \sup\biggl(\sum_{i=1}^{N} \frac{\mu(B_{r_{i}}(x_{i}))}{r^{p}_{i}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(r_{i})}}(f,B_{cr_{i}}(x_{i}))\bigr)^{p} \biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где супремум взят по всем конечным семействам замкнутых шаров $\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{N}$ таких, что: (F1) $B_{r_{i}}(x_{i}) \cap B_{r_{j}}(x_{j}) = \varnothing$, если $i \neq j$; (F2) $0 < \min\{r_{i}\colon i=1,\dots,N\} \leqslant \max\{r_{i}\colon i=1,\dots,N\} \leqslant 1$; (F3) $B_{cr_{i}}(x_{i}) \cap S \neq \varnothing$ при всех $i \in \{1,\dots ,N\}$. Отметим, что если $\operatorname{X}=S=\mathbb{R}^{n}$ и $\mathfrak{m}_{k}: =\mathcal{L}^{n}$ при $k \in \mathbb{N}_{0}$, то функционал $\mathcal{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}$ очень близок по духу функционалу, использованному Брудным в [30] для характеризации пространств типа Соболева на $\mathbb{R}^{n}$. В случае, когда $\operatorname{X}=\mathbb{R}^{n}$, $p > n$, а $S \subset \mathbb{R}^{n}$ – произвольное непустое замкнутое множество, наш функционал также очень близок соответствующим функционалам, использованным Шварцманом в [19], [20]. Эти наблюдения оправдывают название функционала $\mathcal{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}$. Для заданного параметра $\sigma \in (0,1]$ скажем, что шар $B_{r}(x)$ является $(S,\sigma)$-пористым, если существует шар $B_{r'}(x') \subset B_{r}(x) \setminus S$ такой, что $r' \geqslant \sigma r$. Кроме того, при $r \in (0,1]$ положим
$$
\begin{equation}
S_{r}(\sigma):=\{x \in S\colon B_{r}(x) \text{ является } (S,\sigma)\text{-пористым}\}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Скажем, что $S$ является $\sigma$-пористым, если $S=S_{r}(\sigma)$ при всех $r \in (0,1]$. Пористые множества возникают естественным образом во многих разделах современного геометрического анализа (см., например, обзор [31]). В контексте евклидовых пространств свойства пористости множеств, удовлетворяющих условию регулярности обхвата снизу, изучались в [27]. Мы определим естественный аналог полунормы Бесова. Более точно, при $p \in (1,\infty)$ и $\sigma \in (0,1]$ введем функционал Бесова на $L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, полагая при каждом $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f) &:=\|f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}} \|_{L_{p}(S,\mu)} \nonumber \\ &\qquad+\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}\epsilon^{k(\theta-p)}\int_{S_{\epsilon^{k}}(\sigma)} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{\epsilon^{k}}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Если пространство $\operatorname{X}$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q > 0$, $S \subset \operatorname{X}$ – замкнутое $\theta$-регулярное по Альфорсу–Давиду множество при некотором $\theta \in (0,Q)$, а $\mathfrak{m}_{k}=\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, то функционал $\mathcal{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}$ совпадает с соответствующей полунормой Бесова, использованной в [17]. Это оправдывает название нашего функционала. Второй основной результат настоящей статьи дает ответы на вопросы (MQ1) и (MQ2), поставленные в проблеме 2. А именно, мы приводим несколько эквивалентных характеризаций соответствующего пространства следов. Важно, что из условия (1.8) следует равенство $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}=W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{k}}_{S}$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$. Теорема 2. Если $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(\operatorname{X})$, $c \geqslant {3}/{\epsilon}$ и $\sigma \in (0,\epsilon^{2}/(4c))$, то при $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ следующие условия эквивалентны: (i) $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}$; (ii) $\operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f):=\|f\|_{L_{p} (\mathfrak{m}_{0})}+\mathcal{C}\mathcal{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) < +\infty$; (iii) $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f):=\|f\|_{L_{p} (\mathfrak{m}_{0})}+\mathcal{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$; (iv) $\operatorname{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f):=\|f\|_{L_{p} (\mathfrak{m}_{0})}+\mathcal{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f) < +\infty$. Кроме того, при любых $c \geqslant {3}/{\epsilon}$ и $\sigma \in (0,\epsilon^{2}/(4c))$ для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ где соответствующие константы эквивалентности не зависят от $f$.В § 11 мы покажем, что эквивалентность между (i) и (iv) в теореме 2 включает в себя теорему 1.5 из [17] как частный случай. Кроме того, в евклидовом случае эквивалентность между (i) и (iv) усиливает результат из совместной работы автора [21]. Третий основной результат настоящей работы дает ответы на вопросы (Q1) и (Q2), поставленные в проблеме 1. Теорема 3. Емкостный класс эквивалентности борелевской функции $f$: $S \to \mathbb{R}$ принадлежит пространству $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ в том и только том случае, если выполнены следующие условия: (A) $\mathfrak{m}_{0}$-класс эквивалентности $[f]_{\mathfrak{m}_{0}}$ функции $f$ принадлежит пространству $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$; (B) существует множество $\underline{S}_{f} \subset S$ такое, что $C_{p}(S \setminus \underline{S}_{f})=0$ и
$$
\begin{equation}
\lim_{k \to \infty} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{\epsilon^{k}}(x)} |f(\underline{x})-f(y)|\,d\mathfrak{m}_{k}(y)=0 \quad \textit{при всех } \ \underline{x} \in \underline{S}_{f}.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Кроме того, при любых $c \geqslant {3}/{\epsilon}$ и $\sigma \in (0,\epsilon^{2}/(4c))$ для любого $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$
$$
\begin{equation}
\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}} \approx \operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) \approx \operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) \approx \operatorname{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f),
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
где соответствующие константы эквивалентности не зависят от $f$. Отметим, что в отличие от теоремы 2 условие (B) в теореме 3 является деликатным и важным. Грубо говоря, для заданного элемента $f \in L_{p}(\mathfrak{m}_{0})$ конечности функционалов (1.11), (1.12) и (1.14) не достаточно для существования $p$-точного продолжения $f$. С другой стороны, дополнительное условие (B) позволяет ослабить ограничения на последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}$. В самом деле, мы не требуем условия $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(\operatorname{X})$ в теореме 3. В примере 9 мы покажем, что если $\operatorname{X}$ является геодезическим и $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q \geqslant 1$, то теорема 3 позволяет получить точное внутреннее описание $p$-точного пространства следов $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ на произвольном непустом замкнутом множестве $S \subset \operatorname{X}$. Четвертый основной результат настоящей статьи дает ответы на вопросы (Q3) и (MQ3) в проблемах 1 и 2 соответственно. Кроме того, он проясняет глубокие связи между этими проблемами. Такие связи выражаются в существовании канонического изоморфизма между априори разными пространствами $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ и $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$. Этот факт проливает свет на основную причину, почему понятие $p$-точного пространства следов не было использовано в предыдущих работах. Как обычно, для заданных линейный нормированных пространств $E_{1}=(E_{1},\|\cdot\|_{1})$ и $E_{2}=(E_{2},\|\cdot\|_{2})$ через $\mathcal{L}(E_{1},E_{2})$ обозначим линейное пространство всех линейных ограниченных отображений из $E_{1}$ в $E_{2}$. Теорема 4. Пусть $\{\mathfrak{m}_{k}\} \,{\in}\, \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Тогда справедливы следующие утверждения. (1) Существует $\mathfrak{m}_{0}$-оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}} \in \mathcal{L}(W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}, W_{p}^{1}(\operatorname{X}))$. (2) Существует $p$-точный оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S} \in \mathcal{L}(W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}, W_{p}^{1}(\operatorname{X}))$. (3) Каноническое вложение $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}\colon W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S} \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$, которое каждому $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ ставит в соответствие $\mathfrak{m}_{0}$-класс эквивалентности $[f]_{\mathfrak{m}_{0}}$ функции $f$, является изометрическим изоморфизмом. (4) Имеем следующую коммутативную диаграмму (положим $\overline{\operatorname{Ext}}:=\operatorname{Ext}_{S}$ и $\operatorname{Ext}:=\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}$):
1.5. Ключевые нововведенияОтметим, что даже в частном случае, когда $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2},\mathcal{L}^{n})$, наши результаты являются новыми. Действительно, характеризации в духе функционалов типа Брудного–Шварцмана никогда не рассматривались в литературе при $p \in (1,n]$ (случай $p > n$ был рассмотрен в [19]). Краеугольные нововведения настоящей работы следующие. $\bullet$ В отличие от классического метода продолжения Уитни, использованного в предшествующих исследованиях, мы определяем новый оператор продолжения путем построения для заданного элемента $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ специальной аппроксимирующей последовательности $\{f^{j}\} \subset L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ и получаем итоговое продолжение как слабый предел этой последовательности. $\bullet$ Мы вводим функционал типа Брудного–Шварцмана для функций, определенных на метрических пространствах с мерой. $\bullet$ В отличие от известных ранее исследований, относящихся к проблеме 2, мы используем так называемый “вертикальный подход” к пространствам Соболева на метрических пространствах с мерой, впервые изученный Д. Чигером (см. [7]). Это дает естественный симбиоз с нашим новым оператором продолжения и приводит к характеризации пространства следов в стиле Брудного–Шварцмана. $\bullet$ Мы вводим новую концепцию $\mathfrak{m}$-следа пространств Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ и исследуем ее связь с понятием $p$-точного следа пространства $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$. $\bullet$ Мы вводим новый класс множеств $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, который является естественным обобщением класса $d$-толстых множеств из [16] со случая конечномерного евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$ на случай допустимых метрических пространств с мерой. $\bullet$ Мы вводим новый класс последовательностей мер $\mathfrak{M}_{\theta}^{\mathrm{str}}(\operatorname{X})$. Это позволяет получить различные характеризации $\mathfrak{m}_{0}$-пространства следов пространства Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$, используя лишь конечность соответствующих функционалов. 1.6. Структура статьиРабота организована следующим образом. В § 2 собраны некоторые классические результаты о метрических пространствах с мерой и соболевских функциях, определенных на таких пространствах. Эти результаты являются фундаментом для дальнейшего изложения. В § 3 мы вводим слабо неколлапсирующие меры и показываем, что они обладают своего рода асимптотическими свойствами удвоения, которые будут очень важны при доказательстве существования сильно $\theta$-регулярных последовательностей мер в § 5. Некоторым элементарным свойствам множеств $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, $\theta \geqslant 0$, посвящен § 4. Также мы приведем некоторые простые примеры. “Техническим базисом” статьи является § 5. Мы доказываем теорему 1 и детально изучаем различные свойства $\theta$-регулярных последовательностей мер. Кроме того, мы приводим элементарные примеры множеств $S$, для которых можно легко построить явные примеры сильно $\theta$-регулярных последовательностей мер. В § 6 исследуются некоторые деликатные поточечные свойства функций. Этот параграф будет играть решающую роль при доказательстве того, что новый оператор продолжения является правым обратным для соответствующего оператора следа. В § 7 мы строим наш новый оператор продолжения. В § 8 и § 9 содержится технический фундамент для доказательств так называемых прямой и обратной теорем о следах соответственно. В § 10 мы доказываем основные результаты статьи, т.е. теоремы 2, 3 и 4. Статью заключает § 11, в котором мы показываем, что большая часть доступных результатов является лишь частными случаями наших основных результатов. С другой стороны, мы приведем простые примеры, которые не охватываются известными ранее исследованиями. БлагодарностиЯ признателен Нагесвари Шанмугалингам за дискуссии, которые мотивировали меня написать эту статью. Я благодарю Игоря Вербицкого за полезные замечания, касающиеся теорем о следах для потенциалов Рисса и неравенств типа Вольфа. Хочу выразить особую благодарность Павлу Шварцману за плодотворные обсуждения и полезные замечания, которые позволили мне улучшить первоначальный вариант статьи. Наконец, я бы хотел поблагодарить своего студента, Романа Олейника, который нашел опечатки и некоторые неточности в первой версии настоящей работы. § 2. Предварительные сведенияЦель данного предварительного параграфа – напомнить некоторые базовые сведения из современного анализа и зафиксировать терминологию, которая будет принята в настоящей статье. 2.1. Сведения из геометрического анализаДля заданного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ и множества $E \subset \operatorname{X}$ через $\operatorname{int}E$, $\operatorname{cl}E$ и $\partial E$ будем обозначать внутренность $E$, замыкание $E$ и границу $E$ в метрической топологии $\operatorname{X}$ соответственно. Если не оговорено обратное, все шары в $\operatorname{X}$ предполагаются замкнутыми. Более точно, мы полагаем
$$
\begin{equation*}
B_{r}(x):=\{y \in \operatorname{X}\colon \operatorname{d}(x,y) \leqslant r\} \quad \text{при } \ (x,r) \in \operatorname{X} \times [0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, если рассмотреть заданный шар $B$ просто как подмножество $\operatorname{X}$, то может случиться так, что его центр и радиус не определены однозначно. Следовательно, в дальнейшем мы всегда рассматриваем шар $B$ вместе с некоторым фиксированным центром $x_{B}$ и фиксированным радиусом $r_{B}$. Для шара $B = B_{r}(x)$ и константы $\lambda \geqslant 0$ положим $\lambda B := B_{\lambda r}(x)$. Для заданного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ и борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ через $\mathfrak{B}(E)$ обозначим множество всех борелевских функций $f\colon E \to [-\infty,+\infty]$. Через $C(\operatorname{X})$ и $C_{\mathrm{c}}(\operatorname{X})$ обозначим линейное пространство всех непрерывных и всех непрерывных с компактным носителем вещественнозначных функций соответственно. Снабдим эти пространства привычными $\sup$-нормами. Наконец, символ $\operatorname{LIP}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ ($\operatorname{LIP}(\operatorname{X})$) обозначает множество всех вещественнозначных локально липшицевых (липшицевых) на $\operatorname{X}$ функций, т.е. $f \in \operatorname{LIP}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ ($f \in \operatorname{LIP}(\operatorname{X})$) в том и только том случае, если для любого $R \in (0,+\infty)$ (для любого $R \in (0,+\infty]$)
$$
\begin{equation*}
L_{f}(R):=\sup_{0 < \operatorname{d}(x,y) < R}\frac{|f(x)-f(y)|}{\operatorname{d}(x,y)} < +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой функции $f\colon \operatorname{X} \to \mathbb{R}$ определим ее локальную константу Липшица $\operatorname{lip}f\colon \operatorname{X} \to [0,+\infty]$ (называемую также склоном $f$ и обозначаемую $|\nabla f|$) равенством
$$
\begin{equation}
\operatorname{lip}f(x):=|\nabla f|(x):= \begin{cases} {\displaystyle\varlimsup_{y \to x}\dfrac{|f(y)-f(x)|}{\operatorname{d}(x,y)}}, &x - \text{предельная точка}, \\ 0, &x-\text{изолированная точка}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Ясно, что для любой функции $f \in \operatorname{LIP}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ локальная константа Липшица $\operatorname{lip}f$ конечна всюду на $\operatorname{X}$ и принадлежит $\mathfrak{B}(\operatorname{X})$. Ниже мы соберем элементарные свойства локальных констант Липшица локально липшицевых функций. Предложение 1. Для заданного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ справедливы следующие свойства: (1) если $f \equiv c$ на $\operatorname{X}$ для некоторого числа $c \in \mathbb{R}$, то $\operatorname{lip}f \equiv 0$ на $\operatorname{X}$; (2) если $f_{1},f_{2} \in \operatorname{LIP}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{lip}(f_{1}+f_{2})(x) \leqslant \operatorname{lip}f_{1}(x)+\operatorname{lip}f_{2}(x) \quad \textit{при } \ x \in \operatorname{X};
\end{equation*}
\notag
$$
(3) $\operatorname{lip}(f\,{+}\,c) \equiv \operatorname{lip}f$ для каждой функции $f \in \operatorname{LIP}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ и любого числа $c \in \mathbb{R}$. Следующий факт хорошо известен (см., например, [2; следствие 1.6]). Предложение 2. Если $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – компактное метрическое пространство, то пространство $C(\operatorname{X})$ сепарабельно. Для заданного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ и числа $\epsilon \in (0,1)$ при каждом $k \in \mathbb{Z}$ через $Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ обозначим произвольное максимальное $\epsilon^{k}$-разделенное подмножество $\operatorname{X}$. Кроме того, символ $\mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ обозначает соответствующее индексное множество, т.е.
$$
\begin{equation}
Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon)=\{z_{k,\alpha}\colon \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Ясно, что если $\operatorname{X}$ сепарабельно, то $\mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ – не более чем счетное множество. При каждом $k \in \mathbb{Z}$ введем специальное семейство шаров $\mathcal{B}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$, полагая
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_{k}(\operatorname{X},\epsilon):=\{B_{\epsilon^{k}}(z_{k,\alpha})\colon \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Наконец, положим
$$
\begin{equation}
Z(\operatorname{X},\epsilon):=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon), \qquad Z^{\underline{k}}(\operatorname{X},\epsilon):=\bigcup_{k \geqslant \underline{k}}Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon), \quad \underline{k} \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Для заданного полного сепарабельного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ скажем, что $\mathfrak{m}$ – мера на $\operatorname{X}$, если $\mathfrak{m}$ является борелевски регулярной внешней мерой на $\operatorname{X}$. Мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ называется локально конечной, если $\mathfrak{m}(B_{r}(x)) < +\infty$ для всех пар $(x,r) \in \operatorname{X} \times [0,+\infty)$. Для заданного борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ и меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ определим ограничение $\mathfrak{m}\lfloor_{E}$ меры $\mathfrak{m}$ на множество $E$, как обычно, по формуле
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}\lfloor_{E}(F):=\mathfrak{m}(F \cap E) \quad \text{для любого борелевского множества } \ F \subset \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Иногда будет удобно работать с так называемыми весовыми мерами. Более точно, если $\mathfrak{m}$ – мера на $\operatorname{X}$, то скажем, что $\gamma \in \mathfrak{B}(\operatorname{X})$ – $\mathfrak{m}$-вес, если $\gamma(x) > 0$ при $\mathfrak{m}$-п.в. $x \in \operatorname{X}$. В этом случае $\gamma \mathfrak{m}$ следует интерпретировать как меру на $\operatorname{X}$, определяемую по формуле
$$
\begin{equation}
\gamma \mathfrak{m}(E):=\int_{E}\gamma(x)\,d\mathfrak{m}(x) \quad \text{для каждого борелевского множества } \ E \subset \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Для заданного локально компактного сепарабельного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$, следуя [32], скажем, что последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ на $\operatorname{X}$ локально $\ast$-слабо сходится к мере $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ и пишем $\mathfrak{m}_{k} \rightharpoonup \mathfrak{m}$, $k \to \infty$, если
$$
\begin{equation*}
\lim_{k \to \infty}\int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}_{k}(x)=\int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}(x) \quad \text{для любой функции } \ \varphi \in C_{c}(\operatorname{X}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следующий факт хорошо известен (подробное доказательство, см., например, в [32; следствие 1.60]). Лемма 1. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – локально компактное сепарабельное метрическое пространство, и пусть $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ – последовательность мер на $\operatorname{X}$ такая, что Тогда существует локально $\ast$-слабо сходящаяся подпоследовательность $\{\mathfrak{m}_{k_{l}}\}$ последовательности $\{\mathfrak{m}_{k}\}$. Напомним также некоторые стандартные свойства локально $\ast$-слабо сходящихся последовательностей мер. Предложение 3. Пусть $(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – локально компактное сепарабельное метрическое пространство. Если последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ на $\operatorname{X}$ локально $\ast$-слабо сходится к мере $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$, то для каждого открытого множества $G \subset \operatorname{X}$ и для каждого компактного множества $F \subset \operatorname{X}$ На протяжении статьи под метрическим пространством с мерой (всюду далее м.п.м. для краткости) мы всегда понимаем тройку $(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$, где $(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – полное сепарабельное метрическое пространство, а $\mu$ – локально конечная ненулевая мера на $\operatorname{X}$ такая, что $\operatorname{supp}\mu = \operatorname{X}$. Замечание 1. В дальнейшем для заданного м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ под мерой на $\operatorname{X}$ мы всегда понимаем меру на метрическом пространстве $(\operatorname{X},\operatorname{d})$. Для заданного полного сепарабельного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ и меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ будем предполагать, что семейство всех $\mathfrak{m}$-измеримых множеств является пополнением борелевской $\sigma$-алгебры относительно $\mathfrak{m}$. Кроме того, для борелевского множества $E \subset \operatorname{supp}\mathfrak{m}$ и функции $f \in \mathfrak{B}(E)$ положим
$$
\begin{equation}
[f]_{\mathfrak{m}}:=\{\widetilde{f}\colon E \to [-\infty,+\infty]\colon \widetilde{f}(x)=f(x) \text{ при $\mathfrak{m}$-п.в. } x \in E\}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Положим $L_{0}(E,\mathfrak{m}):=\{[f]_{\mathfrak{m}}\colon f \in \mathfrak{B}(E)\}$ и $L_{0}(\mathfrak{m}):=L_{0}(\operatorname{supp}\mathfrak{m},\mathfrak{m})$. При $p \in (0,\infty)$ для борелевского множества $E \subset \operatorname{supp}\mathfrak{m}$ через $L_{p}(E,\mathfrak{m})$ ($L^{\mathrm{loc}}_{p}(E,\mathfrak{m})$) обозначим линейное пространство $\mathfrak{m}$-классов эквивалентности $[f]_{\mathfrak{m}}$ всех (локально) $p$-интегрируемых на $E$ по мере $\mathfrak{m}$ функций $f \in \mathfrak{B}(E)$. Через $L_{\infty}(E,\mathfrak{m})$ ($L^{\mathrm{loc}}_{\infty}(E,\mathfrak{m})$) обозначим линейное пространство $\mathfrak{m}$-классов эквивалентности всех (локально) ограниченных на $E$ борелевских функций. При $p \in [0,\infty]$ положим $L_{p}(\mathfrak{m}):=L_{p}(\operatorname{supp}\mathfrak{m},\mathfrak{m})$ и $L^{\mathrm{loc}}_{p}(\mathfrak{m}):=L^{\mathrm{loc}}_{p}(\operatorname{supp}\mathfrak{m}, \mathfrak{m})$. При $p \in [0,\infty]$ для последовательности мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ на $\operatorname{X}$ и борелевского множества $E \subset \bigcap_{k=1}^{\infty}\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}$ положим
$$
\begin{equation*}
L_{p}(\{\mathfrak{m}_{k}\}):=\bigcap_{k=0}^{\infty}L_{p}(\mathfrak{m}_{k}), \qquad L^{\mathrm{loc}}_{p}(\{\mathfrak{m}_{k}\}):=\bigcap_{k=0}^{\infty}L^{\mathrm{loc}}_{p} (\mathfrak{m}_{k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для заданных м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$, параметра $p \in [0,\infty]$ и борелевского множества $S \subset \operatorname{X}$ будем использовать обозначение $L_{p}(S):=L_{p}(\mu\lfloor_{S})$. Введем следующее важное определение. Определение 1. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – полное сепарабельное метрическое пространство. Для меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ и борелевского множества $E \subset \operatorname{supp}\mathfrak{m}$ определим $\mathfrak{m}$-огрубляющее отображение $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}}\colon \mathfrak{B}(E) \to L_{0}(E,\mathfrak{m})$, полагая $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}}(f):=[f]_{\mathfrak{m}}$ при $f \in \mathfrak{B}(E)$. Замечание 2. Обычно для заданного полного метрического пространства с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$, меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ и параметра $p \in [0,\infty]$ нам будет удобно для любого $[f]_{\mathfrak{m}} \in L_{p}(\mathfrak{m})$ не различать между собой функции $\widetilde{f} \in [f]_{\mathfrak{m}}$. Мы следуем такому подходу в случае, когда формулировки наших утверждений будут зависеть только от классов эквивалентности при условии, что это ясно из контекста. В этом случае мы используем символ $f$ вместо $[f]_{\mathfrak{m}}$, а слова “функция $f \in L_{p}(\mathfrak{m})$” следует интерпретировать как $[f]_{\mathfrak{m}} \in L_{p}(\mathfrak{m})$. Мы не будем отождествлять функции, совпадающие $\mathfrak{m}$-п.в., в тех случаях, когда нас интересуют тонкие поточечные свойства отдельно взятой функции. Для заданного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ и семейства множеств $\mathcal{G} \subset 2^{\operatorname{X}}$ через $\mathcal{M}(\mathcal{G})$ обозначим его кратность покрытия, т.е. наименьшее среди $M' \in \mathbb{N}_{0} \cup \{+\infty\}$, для которых каждая точка $x \in \operatorname{X}$ принадлежит не более чем $M'$ множествам из $\mathcal{G}$. Будем говорить, что семейство $\mathcal{G}$ дизъюнктно, если $\mathcal{M}(\mathcal{G}) \leqslant 1$. Следующее предложение элементарно, мы опускаем его доказательство. Предложение 4. Пусть $\mathfrak{m}$ – мера на полном сепарабельном метрическом пространстве $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$. Пусть $\mathcal{G} \subset 2^{\operatorname{X}}$ – не более чем счетное семейство множеств с кратностью $\mathcal{M}(\mathcal{G}) < +\infty$. Тогда где $\operatorname{G}=\bigcup\{G\colon G \in \mathcal{G}\}$. Для заданного полного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ и меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ для каждой функции $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathfrak{m})$ и любого борелевского множества $G \subset \operatorname{X}$ меры $\mathfrak{m}(G) < +\infty$ положим
$$
\begin{equation}
f_{G,\mathfrak{m}}:= \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{G}f(x)\,d\mathfrak{m}(x):= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\mathfrak{m}(G)}\int_{G}f(x)\,d\mathfrak{m}(x),&\mathfrak{m}(G) > 0, \\ 0, &\mathfrak{m}(G) = 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Кроме того, положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}}(f,G):=\inf_{c \in \mathbb{R}} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{G}|f(x)-c|\,d\mathfrak{m}(x).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Чтобы построить плодотворную теорию, нам следует работать с мерами, удовлетворяющими некоторым ограничениям. Определение 2. Для заданного полного сепарабельного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ скажем, что мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ обладает равномерно локальным свойством удвоения, если для каждого $R > 0$ Замечание 3. Очевидно, имеем следующую цепочку неравенств: Иногда мы будем использовать следующую грубую оценку сверху величины $\mathcal{E}_{\mathfrak{m}}(f,G)$, которая является следствием замечания 3, неравенства Гёльдера для сумм и неравенства Гёльдера для интегралов. Для м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ хорошо известно, что глобальное свойство удвоения меры $\mu$ влечет глобальное свойство метрического удвоения у пространства $(\operatorname{X},\operatorname{d})$ (см., например, [1; с. 102]). Аналогично, имеем следующий результат (мы полагаем $[c]:=\max\{k \in \mathbb{Z}\colon k \leqslant c\}$). Предложение 6. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой. Если мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения, то для любых $R > 0$ и $c \geqslant 1$ каждый замкнутый шар $B=B_{cR}(x)$ содержит не более $N_{\mu}(R,c):=[(C_{\mu}((c+1)R))^{\log_{2}(2c)+1}]+1$ непересекающихся замкнутых шаров радиуса $R$. Доказательство. Если $B'=B_{R}(x') \subset B$, то $B \subset B_{2cR}(x')$. Применяя условие (2.13) $[\log_{2}(2c)]+1$ раз, имеем Если $\mathcal{B}$ – дизъюнктное семейство замкнутых шаров, лежащих в $B$, с радиусами $R$, то $\sum\{\mu(B')\colon B' \in \mathcal{B}\} \leqslant \mu(B)$. Отсюда получаем В итоге имеем $\#\mathcal{B} \leqslant N_{\mu}(R,c)$. Для числа $\epsilon \in (0,1)$ и семейства замкнутых шаров $\mathcal{B} \subset 2^{\operatorname{X}}$ при каждом $k \in \mathbb{Z}$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}(k,\epsilon):=\{B \in \mathcal{B}\colon r_{B} \in (\epsilon^{k+1},\epsilon^{k}]\}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Предложение 7. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой. Если мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения, то для любых $c \geqslant 1$, $\epsilon \in (0,1)$ и всякого дизъюнктного семейства $\mathcal{B}$ замкнутых шаров Доказательство. Фиксируем $c \geqslant 1$, $\epsilon \in (0,1)$, дизъюнктное семейство замкнутых шаров $\mathcal{B}$ и число $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим семейство $\widetilde{\mathcal{B}}(k,\epsilon)$, состоящее из всех замкнутых шаров, центры которых в точности те же, что и центры шаров в семействе $\mathcal{B}(k,\epsilon)$, а радиусы равны $\epsilon^{k+1}$. Для заданной точки $x \in \operatorname{X}$, если $x \in cB$ для некоторого $B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)$, получаем $B \subset B_{2c\epsilon^{k}}(x)$. Поскольку семейство $\widetilde{\mathcal{B}}(k,\epsilon)$ дизъюнктно, из предложения 6 заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathcal{M}(\{cB\colon B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)\}) \leqslant \sup_{x \in \operatorname{X}}\sum_{B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)}\chi_{cB}(x) \\ &\qquad \leqslant \sup_{x \in \operatorname{X}}\#\{B \in \widetilde{\mathcal{B}}(k,\epsilon)\colon B \subset B_{2c\epsilon^{k}}(x)\} \leqslant N_{\mu}\biggl(\epsilon^{k+1},\frac{2c}{\epsilon}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Предложение доказано. Следующее предложение, которое является простым следствие предложения 6, также хорошо известно. Предложение 8. Пусть $(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой. Пусть мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения. Тогда каждый замкнутый шар $B=B_{r}(x)$ является компактным подмножеством $\operatorname{X}$. Напомним обозначения (2.2) и (2.4). Определение 3. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – полное сепарабельное метрическое пространство и $\epsilon \in (0,1)$. Скажем, что частичный порядок $\preceq$ на множестве $Z(\operatorname{X},\epsilon)$ является допустимым, если выполнены следующие свойства: (PO1) если $z_{k,\alpha} \preceq z_{l,\beta}$ при некоторых $k,l \in \mathbb{Z}$, то $k \geqslant l$; (PO2) для любых $l \leqslant k$ и $z_{k,\alpha} \in Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ существует единственная точка $z_{l,\beta} \in Z_{l}(\operatorname{X},\epsilon)$, для которой $z_{k,\alpha} \preceq z_{l,\beta}$; (PO3) если $k \in \mathbb{Z}$ и $z_{k,\alpha} \preceq z_{k-1,\beta}$, то $\operatorname{d}(z_{k,\alpha},z_{k-1,\beta}) < \epsilon^{k-1}$; (PO4) если $k \in \mathbb{Z}$ и $\operatorname{d}(z_{k,\alpha},z_{k-1,\beta}) < {\epsilon^{k-1}}/{2}$, то $z_{k,\alpha} \preceq z_{k-1,\beta}$. Следующее предложение было доказано в [33]. Предложение 9. Для всякого полного сепарабельного метрического пространства $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ и любого параметра $\epsilon \in (0,1)$ существует по крайней мере один допустимый частичный порядок на множестве $Z(\operatorname{X},\epsilon)$. Согласно одному замечательному результату Криста из [33] для заданного метрического пространства с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$, если мера $\mu$ обладает глобальным свойством удвоения, то существует естественный аналог двоичных кубов в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}$. Однако анализ рассуждений, использованных в [33], показывает, что в действительности свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$ достаточно для того, чтобы доказать следующий результат. Предложение 10. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – полное сепарабельное метрическое пространство. Пусть $\epsilon \in (0,1/10]$, и пусть $\preceq$ – допустимый частичный порядок на множестве $Z(\operatorname{X},\epsilon)$. При $a \in (0,1/8]$ для любого $k \in \mathbb{Z}$ и любого $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ определим обобщенный двоичный куб $Q_{k,\alpha}$ в пространстве $\operatorname{X}$ равенством Тогда семейство $\{Q_{k,\alpha}\}:=\{Q_{k,\alpha}\colon k \in \mathbb{Z}, \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\}$ не более чем счетно и обладает следующими свойствами: (DQ1) при каждом $k \in \mathbb{Z}$ справедливо равенство $\operatorname{X} = \bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)}\operatorname{cl}Q_{k,\alpha}$; (DQ2) если $j \geqslant k$, то либо $Q_{j,\beta} \subset Q_{k,\alpha}$, либо $Q_{j,\beta} \cap Q_{k,\alpha} = \varnothing$; (DQ3) если $l < k$ и $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$, то существует единственный индекс $\beta \in \mathcal{A}_{l}(\operatorname{X},\epsilon)$ такой, что $Q_{k,\alpha} \subset Q_{l,\beta}$; (DQ4) $B_{{\epsilon^{k}}/{4}}(z_{k,\alpha}) \subset Q_{k,\alpha} \subset B_{2\epsilon^{k}}(z_{k,\alpha})$ для каждого $k \in \mathbb{Z}$ и любого $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$. Если вдобавок мера $\mu$ на $\operatorname{X}$ обладает равномерно локальным свойством удвоения и $\operatorname{supp}\mu = \operatorname{X}$, то (DQ5) $\mu(\partial Q_{k,\alpha}) = 0$ для любого $k \in \mathbb{Z}$ и любого $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$. Для заданных $\epsilon \in (0,1)$ и $r > 0$ будем использовать следующее важное обозначение:
$$
\begin{equation}
k(r):=k_{\epsilon}(r):=\max\{k \in \mathbb{Z}\colon r \leqslant \epsilon^{k}\}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Предложение 11. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой $\mu$, обладающей равномерно локальным свойством удвоения. Пусть $\epsilon \in (0,1)$, $\underline{k} \in \mathbb{Z}$, а $\{Q_{k,\alpha}\}$ – семейство обобщенных двоичных кубов в $\operatorname{X}$. Для каждого $c \geqslant 1$ существует константа $C_{D}(c,\underline{k}) > 0$, зависящая только от $C_{\mu}((c+1+{4}/{\epsilon})\epsilon^{\underline{k}})$, $\epsilon$, $c$ и $\underline{k}$, такая, что для каждого $x \in \operatorname{X}$ и любого $r \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$ справедливо неравенство Доказательство. Заметим, что если $\operatorname{cl}Q_{k(r),\alpha} \cap B_{cr}(x)$, то в силу свойства (DQ4) предложения 10 имеем включения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}Q_{k(r),\alpha} \subset \biggl(c+\frac{4\epsilon^{k(r)}}{r}\biggr)B_{r}(x) \subset \biggl(c+\frac{4}{\epsilon}\biggr)B_{r}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, замкнутые шары $\frac{1}{2}B_{\epsilon^{k(r)}}(z_{k(r),\alpha})$, $\alpha \in \mathcal{A}_{k(r)}(\operatorname{X},\epsilon)$, не пересекаются. В итоге применение предложения 6 завершает доказательство. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой. В случае, когда мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения, при $q \in (1,\infty)$, $\alpha \geqslant 0$ и $R > 0$ определим локальную дробную максимальную функцию $M^{R}_{q,\alpha}(f)$ для $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ равенством
$$
\begin{equation}
M^{R}_{q,\alpha}(f)(x):=\sup_{r \in (0,R]}r^{\alpha}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{r}(x)}|f(y)|^{q}\,d\mu(y)\biggr)^{1/q}, \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Хорошо известно, что условие удвоения вкупе с 5$B$-леммой Витали о покрытии (см. [1; п. 3.3]) позволяет доказать следующее предложение. Предложение 12. Пусть $(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой $\mu$, удовлетворяющей равномерно локальному свойству удвоения. Пусть $p \in (1,\infty)$, а $q \in (1,p)$. Тогда для любого $R > 0$ существует константа $C > 0$, зависящая лишь от $p$, $q$ и $C_{\mu}(R)$, такая, что При $q \in [1,\infty)$ метрическое пространство с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ называется допускающим слабое локальное $(1,q)$-неравенство Пуанкаре, если для любого $R > 0$ существуют такие константы $C=C(R) > 0$, $\lambda=\lambda(R) \geqslant 1$, что для любой функции $f \in \operatorname{LIP}(\operatorname{X})$ (мы используем обозначение (2.12))
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mu}(f,B_{r}(x)) \leqslant C r \biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{\lambda r}(x)}(\operatorname{lip}f(y))^{q}\,d\mu(y)\biggr)^{1/q} \quad \text{при всех } \ (x,r) \,{\in}\, \operatorname{X} \times (0,R].
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Замечание 4. Напомним, что функция $g \in \mathfrak{B}(\operatorname{X})$ называется верхним градиентом функции $f \in \mathfrak{B}(\operatorname{X})$, если для любой абсолютно непрерывной кривой $\gamma\colon [0,1] \to \operatorname{X}$ справедливо неравенство где $|\dot{\gamma}_{s}|$ – так называемая метрическая скорость кривой $\gamma$ в точке $s \in [0,1]$, т.е. Отметим, что в литературе выполнение неравенства (2.22) обычно требуется для функций $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ и их верхних градиентов $g$. Однако, пользуясь результатами работы [3], нетрудно установить эквивалентность этих подходов. Иными словами, неравенство (2.22) выполнено для всех функций $f \in \operatorname{LIP}(\operatorname{X})$ в том и только том случае, когда для любой функции $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ и любого ее верхнего градиента $g$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mu}(f,B_{r}(x)) \leqslant C r \biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{\lambda r}(x)}(g(y))^{q}\,d\mu(y)\biggr)^{1/q} \quad \text{при всех } \ (x,r) \,{\in}\, \operatorname{X} \times (0,R].
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Здесь константа $C > 0$ та же, что и в (2.22). Очень близкий по смыслу результат установлен в теореме 8.4.2 из [1]. В настоящей статье мы всегда далее будем работать со специальным классом метрических пространств с мерой, который получил широкое распространение в современном геометрическом анализе. Определение 4. Для заданного $q \in [1,\infty)$ скажем, что метрическое пространство с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ является $q$-допустимым, и пишем $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{q}$, если мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения и $\operatorname{X}$ допускает слабое локальное $(1,q)$-неравенство Пуанкаре. Нам будет полезен следующий мощный результат Кейта и Зонга (детальное доказательство и историческую справку см. в [1; гл. 12]). Предложение 13. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Тогда существует такой параметр $q \in [1,p)$, что $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{q}$. Наши предположения относительно пространства $\operatorname{X}$ достаточно типичны в современном геометрическом анализе и влекут некоторые хорошие свойства $\operatorname{X}$. Читатель может найти в замечательной монографии [1] подробное изложение теории метрических пространств с мерой, удовлетворяющих предположениям, принятым в настоящей статье. Имеем следующий результат. Предложение 14. Пусть $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$ при некотором $p \in [1,\infty)$. Тогда пространство $\operatorname{X}$ обладает следующими свойствами: (1) метрическое пространство $(\operatorname{X},\operatorname{d})$ локально квазивыпукло, т.е. для любого $R > 0$ существует такая константа $L(R) \geqslant 1$, что любые две точки $x,y \in \operatorname{X}$, расстояние между которыми $\operatorname{d}(x,y) \leqslant R$, могут быть соединены кривой $\gamma_{x,y}$ длины $l(\gamma_{x,y}) \leqslant L(R) \operatorname{d}(x,y)$; (2) для любого $R > 0$ существует такое число $Q > 0$, что мера $\mu$ имеет свойство относительного убывания объема порядка $Q$, т.е. существует такая константа $\overline{C}(R,Q) > 0$, что для любых шаров $\underline{B} \subset \overline{B}$ с радиусами $0< r_{\underline{B}} \leqslant r_{\overline{B}} \leqslant R$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{r(\underline{B})}{r(\overline{B})}\biggr)^{Q} \leqslant \overline{C}(R,Q) \frac{\mu(\underline{B})}{\mu(\overline{B})};
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
(3) для любого $R > 0$ существует такое число $q > 0$, что мера $\mu$ имеет свойство обратного относительного убывания объема порядка $q$, т.е. существует такая константа $\underline{C}(R,q) > 0$, что для любых шаров $\underline{B} \subset \overline{B}$ с радиусами $0< r_{\underline{B}} \leqslant r_{\overline{B}} \leqslant R$ справедливо неравенство Для доказательства (1) достаточно повторить с соответствующими техническими модификациями рассуждения из доказательства теоремы 8.3.2 в [1] с учетом замечания 4. Чтобы установить (2), нужно повторить с незначительными модификациями рассуждения из доказательства леммы 8.1.13 в [1]. Для доказательства (3) достаточно воспользоваться рассуждениями замечания 8.1.15 из [1]. Имея в нашем распоряжении предложение 14, дадим следующее определение. Определение 5. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой, а мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения. При $R > 0$ через $\operatorname{Q}_{\mu}(R)$ обозначим множество всех $Q > 0$, для которых справедливо (2.24). Кроме того, положим $\underline{Q}_{\mu}(R):=\inf\{Q\colon Q \in \operatorname{Q}_{\mu}(R)\}$. Аналогично, через $\operatorname{q}_{\mu}(R)$ обозначим множество всех $q > 0$, для которых справедливо (2.25). Положим $\overline{q}_{\mu}(R):=\sup\{q\colon q \in \operatorname{q}_{\mu}(R)\}$. Замечание 5. Ясно, что $\overline{q}_{\mu}(R) \leqslant \underline{Q}_{\mu}(R)$ при любом $R > 0$. К сожалению, при заданном $R > 0$ во многих случаях существует “зазор” между этими параметрами, т.е. $\overline{q}_{\mu}(R)$ может быть гораздо меньше, чем $\underline{Q}_{\mu}(R)$. Читатель может найти интересные примеры, иллюстрирующие этот феномен, в [34]. Хорошо известно, что в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}$, $n \in \mathbb{N}$, $d$-мера Хаусдорфа является полезным инструментом для измерения некоторых $\mathcal{L}^{n}$-пренебрежимых множеств. Из замечания 5, очевидно, следует, что зависимость $\mu(B_{r}(x))$ от $r$ не является, вообще говоря, степенью $r$. По этой причине естественным шагом является построение коразмерностных замен для привычных мер и обхватов по Хаусдорфу. Более точно, следуя [12], [11], [14], [15], [17], для заданного м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ с мерой $\mu$, обладающей равномерно локальным свойством удвоения, и параметра $\theta \geqslant 0$ при $\delta \in (0,\infty]$ для любого множества $E \subset \operatorname{X}$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_{\theta,\delta}(E):=\inf\biggl\{\sum \frac{\mu(B_{r_{i}}(x_{i}))}{(r_{i})^{\theta}}\colon E \subset \bigcup B_{r_{i}}(x_{i}) \text{ и } r_{i} < \delta\biggr\},
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
где инфимум взят по всем не более чем счетным покрытиям $E$ замкнутыми шарами $\{B_{r_{i}}(x_{i})\}$ с радиусами $r_{i} \in (0,\delta)$. При фиксированном $\delta > 0$ отображение $\mathcal{H}_{\theta,\delta}\colon 2^{\operatorname{X}} \to [0,+\infty]$ называется $\theta$-коразмерностным обхватом по Хаусдорфу на масштабе $\delta$. Определим $\theta$-коразмерностную меру Хаусдорфа равенством
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_{\theta}(E):=\lim_{\delta \to 0}\mathcal{H}_{\theta,\delta}(E).
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Замечание 6. Ясно, что при $\theta \in [0,\underline{Q}_{\mu})$ равенство $\mathcal{H}_{\theta}(\varnothing)=0$ следует из существования последовательности (замкнутых) шаров $\{B_{i}\}:=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{\infty}$ с радиусами $r_{i} \to 0$, $i \to \infty$, такой, что $\mu(B_{i})/(r_{i})^{\theta} \to 0$, $i \to \infty$. В итоге по теореме 4.2 из [35] в этом случае $\mathcal{H}_{\theta}\colon 2^{\operatorname{X}} \to [0,+\infty]$ является борелевски регулярной внешней мерой на $\operatorname{X}$. Очевидно, неравенство $0 \leqslant \theta < \overline{q}_{\mu}$ достаточно для этого. К сожалению, это условие далеко от необходимого. Проблема нахождения подходящего диапазона параметров, для которого $\mathcal{H}_{\theta}$ является нетривиальной внешней мерой (т.е. существуют нетривиальные подмножества конечной положительной меры), является достаточно тонкой и зависит от конкретной структуры данного метрического пространства с мерой. Ситуация полностью прозрачна для так называемых $Q$-регулярных по Альфорсу пространств, т.е. когда $\mu(B_{r}(x)) \approx r^{Q}$, $r > 0$, $x \in \operatorname{X}$ для некоторого $Q \geqslant 0$ (не зависящего от $r$ и $x$). В этом случае $\mathcal{H}_{\theta}$ может рассматриваться как нетривиальная внешняя мера в диапазоне $\theta \in [0,Q)$. В случае $\theta=Q$ мера $\mathcal{H}_{Q}$ – считающая мера и $\mathcal{H}_{Q}(E)=+\infty$ для любого бесконечного множества $E$. Далее мы будем использовать следующий результат из [11] (см. лемму 3.10 и обсуждение после этой леммы). Предложение 15. Пусть $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$. При $t > 0$ положим Тогда $\mathcal{H}_{t}(\Lambda_{t})=0$. Существует специальный класс м.п.м., для которых поведение $\mu(B_{r}(x))$ в зависимости от $r$ есть, грубо говоря, $r^{Q}$ при некотором $Q > 0$. Детальное обсуждение таких пространств выходит за рамки настоящей статьи, поэтому мы упомянем лишь работы [7], [17], [36], [37], в которых читатель может найти интересные результаты, касающихся такого сорта пространств. Определение 6. При $Q > 0$ скажем, что метрическое пространство с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ является $Q$-регулярным по Альфорсу, если существуют такие константы $c_{\mu,1}$, $c_{\mu,2} > 0$, что 2.2. Соболевское исчисление на метрических пространствах с меройКак отмечено в § 1, для заданных м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ и параметра ${p\in(1,\infty)}$ существует по меньшей мере пять различных подходов к определению пространств типа Соболева на $\operatorname{X}$. В литературе соответствующие пространства известны как: пространство Кореваара–Шоена–Соболева $KS^{1}_{p}(\operatorname{X})$ (см. [5], [9]), пространство Хайлаша–Соболева $M^{1}_{p}(\operatorname{X})$ (см. [6]), пространство Чигера–Соболева $Ch_{p}^{1}(\operatorname{X})$ (см. [7]), пространство Ньютона–Соболева $N^{1}_{p}(\operatorname{X})$ (см. [8]) и просто пространство Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ (см. [4], [3], [38]). Читатель также может найти некоторую полезную информацию, связанную с указанными выше пространствами, в гл. 10 монографии [1], в записках лекций [2], а также в работе [39]. Замечание 7. Для заданного м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ и параметра $p \in (1,\infty)$ существуют канонические изометрические изоморфизмы между $Ch_{p}^{1}(\operatorname{X})$, $N_{p}^{1}(\operatorname{X})$ и $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ (см. [3]). Кроме того, если $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$ при некотором $p \in (1,\infty)$, то из результатов работ [3] и [9] следует, что $KS_{p}^{1}(\operatorname{X})=M_{p}^{1}(\operatorname{X}) =Ch_{p}^{1}(\operatorname{X})=N_{p}^{1}(\operatorname{X})=W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, где равенства нужно интерпретировать в смысле наличия канонических изоморфизмов (вообще говоря, не обязательно изометрических!), а соответствующие нормы эквивалентны. Во всех основных результатах настоящей статьи мы всегда предполагаем, что $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Поэтому, говоря о пространстве Соболева, можно без ограничения общности отождествить (в надлежащем смысле) различные пространства Соболева и использовать символ $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ для каждого из них. Нам, однако, будет удобен подход Дж. Чигера, впервые разработанный в [7] и модифицированный в [3]. Имея в виду замечание 7, напомним подход Дж. Чигера к пространствам Соболева в липшицевой интерпретации, данной в [3]. Определение 7. При $p \in (1,\infty)$ пространство Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ – это линейное пространство, состоящее из всех тех элементов $F \in L_{p}(\operatorname{X})$, для которых $\operatorname{Ch}_{p}(F) < +\infty$, где $\operatorname{Ch}_{p}(F)$ – $p$-энергия Чигера $F$, определяемая равенством Норма в пространстве $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ определяется как Замечание 8. Хорошо известно, что при $p \in (1,\infty)$ для любого $F \in W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ существует корректно определенная неотрицательная функция $|\nabla F|_{\ast,p} \in L_{p}(\operatorname{X})$ (точнее, $\mu$-класс эквивалентности), называемая минимальным $p$-ослабленным склоном $F$, которая, если $\operatorname{X}$ – гладкое многообразие, совпадает $\mu$-п.в. с модулем обобщенного градиента $F$. Кроме того, $\operatorname{Ch}_{p}(F)=\||\nabla F|_{\ast,p}|\|_{L_{p}(\operatorname{X})}$ (см. [3]). Однако из результатов работ [3] и [40] следует, что, в отличие от классического случая, минимальный $p$-ослабленный склон может зависеть от $p$. Следующее утверждение будет важно при доказательстве некоторых оценок в § 10. Предложение 16. Пусть $R > 0$, $q \in (1,\infty)$, $p \geqslant q$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{q}$. Тогда для каждого $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ справедливо неравенство Доказательство. Согласно основным результатам из [3] для заданного элемента $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ существует такая последовательность $\{F_{n}\} \subset \operatorname{LIP}(\operatorname{X})$, что $F_{n} \to F$, $n \to \infty$, в смысле $L_{p}(\operatorname{X})$ и $\operatorname{lip}F_{n} \to |DF|_{p}$, $n \to \infty$, в смысле $L_{p}(\operatorname{X})$. Следовательно, учитывая, что $L_{p}^{1}(\operatorname{X}) \subset L_{t}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ при $t \in [1,p]$, используем (2.22) и перейдем к пределу при $n \to \infty$. Это дает (2.28) и завершает доказательство. В [38] показано, что при некоторых не слишком ограничительных предположениях относительно м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ пространство Соболева $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ рефлексивно при каждом $p \in (1,\infty)$. В частности, имеем следующий результат. Предложение 17. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Тогда пространство Соблева $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ рефлексивно. Замечание 9. В [38] предполагалось, что метрическое пространство $(\operatorname{X},\operatorname{d})$ обладает глобальным метрическим свойством удвоения. Однако тщательный анализ соответствующего доказательства показывает, что достаточно предполагать лишь наличие свойства равномерно локального удвоения у меры $\mu$. 2.3. Следы пространств СоболеваМы предполагаем, что читатель знаком с понятием так называемой соболевской $p$-емкости $C_{p}$, $p \in (1,\infty)$, и ее основными свойствами (см. детали в [1; пп. 7.2, 9.2], а также в [10; п. 1.4]). Основные свойства соболевских $p$-емкостей, которые достаточны для наших целей, содержатся в следующем предложении. Предложение 18. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Тогда справедливы следующие свойства: (1) для каждого $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ существует такое множество $E_{F}$ емкости $C_{p}(E_{F})=0$, что
$$
\begin{equation}
\overline{F}(x):=\varlimsup_{r \to 0} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{r}(x)}F(y)\,d\mu(y) \in \mathbb{R} \quad \textit{при всех } \ x \in \operatorname{X} \setminus E_{F},
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
и, кроме того, каждая точка $x \in \operatorname{X} \setminus E_{F}$ является $\mu$-точкой Лебега $\overline{F}$; (2) если $\theta \in [0,p)$, то для любого борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ из равенства $C_{p}(E)=0$ следует $\mathcal{H}_{\theta}(E)=0$. Доказательство. Для доказательства (1) следует повторить почти дословно рассуждения из доказательства теоремы 9.2.8 в [1] и заметить, что дополнительное требование $Q \geqslant 1$ было использовано лишь в конце доказательства, чтобы установить интегрируемость в более высокой степени.
Свойство (2) было доказано в недавней статье [11] (см. предложение 3.11 там). Для заданного метрического пространства с мерой $(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ и параметра ${p \in (1,\infty)}$ мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ называется абсолютно непрерывной относительно соболевской $p$-емкости $C_{p}$, если для любого борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ из $C_{p}(E)=0$ следует $\mathfrak{m}(E)=0$. Определение 8. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Пусть $S \subset \operatorname{X}$ – борелевское множество емкости $C_{p}(S) > 0$. Для элемента $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ определим его $p$-точный след $F|_{S}$ на множестве $S$ равенством Как мы уже упоминали в § 1, иногда полезно работать с ослабленной версией $p$-точного пространства следов пространства Соболева $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Это мотивирует нас ввести следующее понятие. Определение 9. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Пусть $S \subset \operatorname{X}$ – борелевское множество емкости $C_{p}(S) > 0$. Пусть $\mathfrak{m}$ – ненулевая абсолютно непрерывная относительно $C_{p}$ мера на $\operatorname{X}$ такая, что $S \subset \operatorname{supp}\mathfrak{m}$. Для заданного элемента $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ определим его $\mathfrak{m}$-след $F|^{\mathfrak{m}}_{S}$ на множестве $S$ как $\mathfrak{m}$-класс эквивалентности его $p$-точного следа. Более точно, Имея в нашем распоряжении различные понятия пространств следов, естественно определить соответствующие операторы следа и продолжения. Определение 10. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Пусть $S \subset \operatorname{X}$ – борелевское множество емкости $C_{p}(S) > 0$. Пусть $\mathfrak{m}$ – ненулевая абсолютно непрерывная относительно $C_{p}$ мера на $\operatorname{X}$ такая, что $S \subset \operatorname{supp}\mathfrak{m}$. Определим $p$-точный оператор следа по формуле Кроме того, определим $\mathfrak{m}$-оператор следа равенством Замечание 10. Сопоставим (2.32) и (2.33). Отождествляя между собой функции, различающиеся на множестве $p$-емкости нуль, можно записать $\operatorname{Tr}|^{\mathfrak{m}}_{S}:= \operatorname{I}_{\mathfrak{m}} \circ \operatorname{Tr}|_{S}$. Эта формула корректна, потому что согласно нашим предположениям $\mathfrak{m}$ абсолютно непрерывна относительно $C_{p}$, а значит, если $f_{1},f_{2} \in \mathfrak{B}(S) \cap F|_{S}$ при некотором $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, то $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}}(f_{1})=\operatorname{I}_{\mathfrak{m}}(f_{2})=F|^{\mathfrak{m}}_{S}$. Определение 11. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Пусть $S \subset \operatorname{X}$ – борелевское множество емкости $C_{p}(S) > 0$. Будем говорить, что отображение $\operatorname{Ext}_{S}:=\operatorname{Ext}_{S,p}\colon W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S} \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ – $p$-точный оператор продолжения, если оно является правым обратным для $\operatorname{Tr}|_{S}$, и мы скажем, что отображение $\operatorname{Ext}_{S,\mathfrak{m}}$: $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S} \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ – $\mathfrak{m}$-оператор продолжения, если оно является правым обратным для $\operatorname{Tr}|^{\mathfrak{m}}_{S}$. Замечание 11. Как правило, индекс $p$ будет фиксирован в основных теоремах настоящей статьи, поэтому мы опускаем его из обозначений $p$-точного оператора следа и $p$-точного оператора продолжения. В противоположность этому мы сохраняем символ $\mathfrak{m}$ в обозначениях $\mathfrak{m}$-оператора следа и $\mathfrak{m}$-оператора продолжения. Действительно, для заданного замкнутого множества $S \subset \operatorname{X}$ существует, вообще говоря, бесконечное семейство мер, для которых это множество является носителем. Таким образом, варьируя меры, мы добиваемся различной точности описания следа на тех или иных “кусках множества” $S$. Замечание 12. Из определений 8–10 следует, что $p$-точный оператор следа и $\mathfrak{m}$-оператор следа линейны и ограничены. § 3. Ослабление свойства удвоенияДля заданного метрического пространства с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ в последующих параграфах мы будем часто работать с мерами $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$, которые не удовлетворяют свойству равномерно локального удвоения (2.13). Однако в некоторых случаях для заданной меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ нам будет достаточно иметь своего рода свойство равномерно локального удвоения лишь для некоторого выделенного семейства шаров. Это мотивирует нас ввести следующее понятие. Определение 12. Скажем, что локально конечная мера $\mathfrak{m}$ на метрическом пространстве с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ удовлетворяет равномерно слабо асимптотическому свойству удвоения, если для каждой константы $c > 0$ выполнено Замечание 13. Слово “слабо” в определении 12 было использовано потому, что в [1] можно найти понятие равномерно асимптотически удваивающего свойства, которое означает, что Как правило, в настоящей статье мы будем иметь дело с мерами, которые не могут вырождаться слишком быстро. Определение 13. Скажем, что локально конечная мера $\mathfrak{m}$ на метрическом пространстве с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ является слабо неколлапсирующей, если Хорошо известно, что для меры $\mathfrak{m}$ на евклидовом пространстве $(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2})$ существует много “удваивающих шаров”. Этот факт был упомянут в [41] без доказательства. Мы благодарны Д. М. Столярову, который любезно поделился с нами ключевой идеей доказательства. Используя аналогичную идею, мы докажем следующий простой результат, который будет весьма важен в последующем. Напомним свойство (2) предложения 14 и определение 5. Лемма 2. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой $\mu$, обладающей равномерно локальным свойством удвоения. Если мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ слабо неколлапсирующая, то она удовлетворяет равномерно слабо асимптотическому свойству удвоения. Кроме того, для любых $c > 1$ и $Q \in \operatorname{Q}_{\mu}(1)$ справедливо неравенство Доказательство. Зафиксируем $c > 1$ и предположим от противного, что $\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}}(c) > 2^{([\log_2c]+1)Q}.$ Зафиксируем произвольные числа $\underline{k} \geqslant [\log_2c]+1$ и $M \in (2^{\underline{k}Q},\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}}(c)).$ Ясно, что существуют точка $\underline{x} \in \operatorname{supp}\mathfrak{m}$ и число $\overline{r}=\overline{r}(M,c) \in (0,1)$ такие, что
$$
\begin{equation}
\frac{\mathfrak{m}(B_{cr}(\underline{x}))}{\mathfrak{m}(B_{r}(\underline{x}))} > M \quad \text{при всех } \ r \in (0,\overline{r}].
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
По определению 13, очевидно, имеем
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{r \to 0}\frac{\mu(B_{r}(\underline{x}))}{\mathfrak{m}(B_{r}(\underline{x}))} \leqslant \frac{1}{C^{\mathfrak{m}}_{\mu}}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Следовательно, комбинируя (2.24) с (3.4) и (3.5), для всех достаточно больших $i \in \mathbb{N}$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2^{-Q\underline{k}i} &\leqslant \overline C(Q,1) \frac{\mu(B_{\overline r/2^{i\underline k}}(\underline{x}))} {\mu(B_{\overline{r}}(\underline{x}))} = \overline C(Q,1) \frac{\mu(B_{\overline r/2^{i\underline k}}(\underline{x}))} {\mathfrak{m}(B_{\overline r/2^{i\underline k}}(\underline{x}))}\, \frac{\mathfrak{m}(B_{\overline{r}}(\underline{x}))}{\mu(B_{\overline{r}}(\underline{x}))}\, \frac{\mathfrak{m}(B_{\overline r/2^{i\underline k}}(\underline{x}))} {\mathfrak{m}(B_{\overline{r}}(\underline{x}))} \\ &\leqslant \frac{2 \overline C(Q,1)}{C^{\mathfrak{m}}_{\mu}}\, \frac{\mathfrak{m}(B_{\overline{r}}(\underline{x}))}{\mu(B_{\overline{r}}(\underline{x}))} \biggl(\frac{1}{M}\biggr)^{i}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Однако при больших $i \in \mathbb{N}$ полученная цепочка неравенств приводит к противоречию с выбором $M$. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой. Напомним обозначение (2.18). Для заданной последовательности мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ на $\operatorname{X}$, параметра $\epsilon \in (0,1)$ и борелевского множества $E \subset \bigcap_{k=0}^{\infty} \operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}$ для каждого $x \in E$ введем нижнюю и верхнюю $(\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon)$-плотности $E$ в $x$, полагая
$$
\begin{equation}
\underline{D}^{\{\mathfrak{m}_{k}\}}_{E}(x,\epsilon):=\varliminf_{r \to 0}\frac{\mathfrak{m}_{k_{\epsilon}(r)}(B_{r}(x)\cap E)}{\mathfrak{m}_{k_{\epsilon}(r)}(B_{r}(x))}, \qquad \overline{D}^{\{\mathfrak{m}_{k}\}}_{E}(x,\epsilon):=\varlimsup_{r \to 0}\frac{\mathfrak{m}_{k_{\epsilon}(r)}(B_{r}(x)\cap E)}{\mathfrak{m}_{k_{\epsilon}(r)}(B_{r}(x))}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Скажем, что $x \in E$ является $(\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon)$-точкой плотности $E$, если
$$
\begin{equation*}
\underline{D}^{\{\mathfrak{m}_{k}\}}_{E}(x,\epsilon) =\overline{D}^{\{\mathfrak{m}_{k}\}}_{E}(x,\epsilon)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что если существует мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$, для которой $\mathfrak{m}_{k}=\mathfrak{m}$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$, то мы получаем стандартные нижнюю и верхнюю $\mathfrak{m}$-плотности $E$ в $x$, которые будут обозначаться через $\underline{D}^{\mathfrak{m}}_{E}(x)$ и $\overline{D}^{\mathfrak{m}}_{E}(x)$ соответственно (в этом случае параметр $\epsilon$ не важен, и мы опускаем его в наших обозначениях). Хорошо известно, что если мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ обладает равномерно локальным свойством удвоения, то $\mathfrak{m}$-почти каждая точка $x \in E$ является $\mathfrak{m}$-точкой плотности $E$. К сожалению, это, вообще говоря, не так, если $\mathfrak{m}$ не обладает равномерно локальным свойством удвоения. Однако справедлив следующий результат. Лемма 3. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой $\mu$, обладающей равномерно локальным свойством удвоения. Пусть $\mathfrak{m}$ – слабо неколлапсирующая локально конечная мера на $\operatorname{X}$. Тогда для любого борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$, любого параметра $c \geqslant 1$ и $\mathfrak{m}$-почти каждой точки $x \in E$ существует такая убывающая к нулю последовательность $\{r_{l}(x)\}$, что где $N=\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}}(5\max\{c,5\})$. В частности, $\overline{D}^{\mathfrak{m}}_{E}(x) > 0$ для $\mathfrak{m}$-п.в. $x \in E$. Доказательство. В силу леммы 2 для каждой точки $x \in E$ существует последовательность $r_{l}(x) \downarrow 0$, для которой
$$
\begin{equation}
\frac{\mathfrak{m}(B_{\max\{c,5\} r_{l}(x)}(x))}{\mathfrak{m}(B_{r_l(x)/5}(x))} \leqslant \underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}}(5\max\{c,5\})=N \quad \text{при всех } \ l \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
При $n \in \mathbb{N}$ рассмотрим множество
$$
\begin{equation}
G_{n}:=\biggl\{x \in E\colon \varliminf_{l \to \infty} \frac{\mathfrak{m}(B_{r_{l}(x)}(x) \cap E)}{\mathfrak{m}(B_{r_{l}(x)}(x))} < \frac{1}{n}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Покажем, что $\mathfrak{m}(G_{n})=0$ при всех $n \in \mathbb{N} \,{\cap}\, (2N,+\infty)$. Без ограничения общности мы можем предположить, что все множества $G_{n}$, $n \in \mathbb{N}$, ограничены. Следовательно, так как $\mathfrak{m}$ локально конечна, то в оставшейся части доказательства мы можем считать, что $\mathfrak{m}(G_{n}) < +\infty$ при всех $n \in \mathbb{N}$. Применяя $5B$-лемму Витали о покрытии (см. [1; с. 60]) и принимая во внимание борелевскую регулярность меры $\mathfrak{m}$, для каждого $n \in \mathbb{N}$ получим семейство замкнутых шаров $\mathcal{B}_{n}=\{B_{r_{l_{i}}(x_{i})}(x_{i})\}$, для которого:
(1) семейство $\widetilde{\mathcal{B}}_{n}:=\{\frac{1}{5}B\colon B \in \mathcal{B}_{n}\}$ дизъюнктно; (2) $G_{n} \subset \bigcup \{B\colon B \in \mathcal{B}_{n}\} \subset U_{\varepsilon_{n}}(G_{n})$ для некоторого $\varepsilon_{n} > 0$; (3) $|\mathfrak{m}(U_{\varepsilon_{n}}(G_{n}))-\mathfrak{m}(G_{n})| < \frac{1}{2n}$; (4) $\mathfrak{m}(B) \leqslant \frac{3}{2}N \mathfrak{m}(\frac{1}{5}B)$ при всех $B \in \mathcal{B}_{n}$; (5) $\mathfrak{m}(B \cap E) < \frac{1}{n}\mathfrak{m}(B)$ при всех $B \in \mathcal{B}_{n}$. Зафиксируем произвольное $n > 2N$ и предположим, что $\mathfrak{m}(G_{n}) > 0$ (заметим, что если $G_{n}$ не является $\mathfrak{m}$-измеримым, то мы рассматриваем $\mathfrak{m}$ как внешнюю меру). Следовательно, взяв достаточно малое $\varepsilon > 0$, мы выводим из вышеприведенных свойств (1)–(5)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{m}(G_{n}) &\leqslant \sum\{\mathfrak{m}(B \cap G_{n})\colon B \in \mathcal{B}_{n}\} \leqslant \sum\{\mathfrak{m}(B \cap E)\colon B \in \mathcal{B}_{n}\} \\ &\leqslant \frac{3N}{2n}\sum\biggl\{\mathfrak{m}\biggl(\frac{1}{5}B\biggr)\colon B \in \mathcal{B}_{n}\biggr\} \leqslant \frac{3N}{2n}\mathfrak{m}(U_{\varepsilon_{n}}(G_{n})) \leqslant \frac{2N}{n}\mathfrak{m}(G_{n}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит предположению, что $\mathfrak{m}(G_{n}) > 0$.
В итоге мы получаем $\mathfrak{m}(G_{n})=0$ для каждого $n > 2N$ и завершаем доказательство. Теперь введем новое понятие, которое может рассматриваться как естественное обобщение понятия точки Лебега локально интегрируемой функции. Это понятие будет чрезвычайно полезно при анализе локального поведения следов соболевских функций. Напомним обозначение (2.18). Определение 14. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с мерой. Пусть $\{\mathfrak{m}_{k}\}=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ – последовательность мер на $\operatorname{X}$ и $\epsilon \in (0,1)$. При $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ скажем, что $\underline{x} \in \bigcap_{k=0}^{\infty}\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}$ является $(\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon)$-точкой Лебега $f$, если Через $\mathfrak{R}_{\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon}(f)$ обозначим множество всех $(\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon)$-точек Лебега $f$. Если существует мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$, для которой $\mathfrak{m}_{k}=\mathfrak{m}$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$, то $(\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon)$-точка Лебега $f$ будет называться $\mathfrak{m}$-точкой Лебега $f$ (в этом случае параметр $\epsilon$ не важен, и мы опускаем его в наших обозначениях). § 4. Множества, регулярные снизу в смысле $\theta$-коразмерностного обхватаНа протяжении всего параграфа мы считаем фиксированным м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ такое, что мера $\mu$ обладает равномерно локальным свойством удвоения. Напомним, что все шары предполагаются замкнутыми. Следующее понятие активно использовалось в [12], [14], [15], где изучались задачи, аналогичные проблеме 2. Напомним равенство (2.27). Определение 15. При $\theta \geqslant 0$ замкнутое множество $S \subset \operatorname{X}$ называется $\theta$-коразмерностно регулярным по Альфорсу–Давиду, если существуют такие константы $c_{\theta,1}(S), c_{\theta,2}(S) > 0$, что для любых $(x,r) \in S \times (0,1]$ Класс всех замкнутых $\theta$-коразмерностно регулярных по Альфорсу–Давиду множеств обозначается символом $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Следующее предложение показывает, что масштаб $1$ в (4.1) не критичен. Доказательство весьма просто и следует из предложения 6. Детали оставляются читателю. Предложение 19. Пусть $\theta \geqslant 0$ и $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Тогда для каждого $R \geqslant 1$ существуют такие константы $c_{\theta,1}(S,R) > 0$ и $c_{\theta,2}(S,R) > 0$, что для любых $(x,r) \in S \times (0,R]$ Замечание 14. В случае $\theta=0$ множества $S \in \mathcal{ADR}_{0}(\operatorname{X})$ были названы в [18] регулярными множествами. Теперь мы введем естественное обобщение класса $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Напомним равенство (2.26). Определение 16. При $\theta \geqslant 0$ скажем, что множество $S \subset \operatorname{X}$ является регулярным в смысле $\theta$-коразмерностного обхвата снизу, если существует такая константа $\lambda_{\theta}(S) > 0$, что для любых $(x,r) \in S \times (0,1]$ Класс всех регулярных в смысле $\theta$-коразмерностного обхвата снизу множеств будет обозначаться через $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Замечание 15. Пусть $n \in \mathbb{N}$ и $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|,\mathcal{L}^{n})$. Легко видеть, что при $\theta \in [0,n]$ множество $S$ лежит в $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ в том и только том случае, если Следующая лемма была доказана в [21] в частном случае $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2},\mathcal{L}^{n})$. В общем случае доказательство аналогично. Мы даем подробное доказательство для полноты изложения. Лемма 4. При $\theta \geqslant 0$ справедливо включение $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X}) \subset \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Доказательство. Фиксируем $\theta \geqslant 0$ и $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Предположим, что $S \neq \varnothing$. Рассмотрим произвольный замкнутый шар $B_{r}(x)$ при $x \in S$ и $r \in (0,1]$. Пусть $\mathcal{B}$ – не более чем счетное семейство замкнутых шаров, для которого $B_{r}(x) \cap S \subset \bigcup\{B\colon B \in \mathcal{B}\}$, $r_{B} \in (0,r)$ при всех $B \in \mathcal{B}$ и
$$
\begin{equation}
\sum\biggl\{\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{\theta}}\colon B \in \mathcal{B}\biggr\} \leqslant 2\mathcal{H}_{\theta,r}(B_{r}(x) \cap S).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Без ограничения общности мы можем предположить, что $B \cap S \neq \varnothing$ для каждого шара $B \in \mathcal{B}$. Для каждого $B \in \mathcal{B}$ выберем произвольную точку $\widetilde{x}_{B} \in {B \cap S}$ и рассмотрим шар $\widetilde{B}$ с центром в $\widetilde{x}_{B}$ радиуса $2r_{B}$. Очевидно, $B \cap S \subset \widetilde{B} \cap S$ и $\widetilde{B} \subset 4B$ для всех $B \in \mathcal{B}$. Следовательно, используя (4.5), свойство субаддитивности $\mathcal{H}_{\theta}$ и предложение 19, получаем требуемую оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\mathcal{H}_{\theta,r}(B_{r}(x) \cap S)\geqslant \frac{1}{(C_{\mu}(2))^{2}}\sum\biggl\{\frac{\mu(\widetilde{B})}{(r_{\widetilde{B}})^{\theta}}\colon B \in \mathcal{B}\biggr\} \\ &\qquad\geqslant \frac{1}{c_{\theta,2}(S,2)(C_{\mu}(2))^{2}}\sum\{\mathcal{H}_{\theta}(\widetilde{B} \cap S)\colon B \in \mathcal{B}\} \\ &\qquad\geqslant \frac{1}{c_{\theta,2}(S,2)(C_{\mu}(2))^{2}}\mathcal{H}_{\theta}(B_{r}(x) \cap S) \geqslant \frac{c_{\theta,1}(S,1)}{c_{\theta,2}(S,2)(C_{\mu}(2))^{2}}\,\frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Следующий пример демонстрирует, что, если $\operatorname{X}$ достаточно регулярно, то классы $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, $\theta \geqslant 0$, достаточно богаты. Напомним определение 6. Пример 1. Предположим, что пространство $\operatorname{X}$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q > 0$. Зафиксируем $\theta \in [\max\{0,Q-1\},Q)$ и покажем, что любое линейно-связное множество $S \subset \operatorname{X}$ принадлежит классу $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Действительно, фиксируем $x \in S$, $r \in (0,1]$ и рассмотрим два случая. В первом случае $S \subset B_{r}(x)$. Следовательно, Замечание 16. Даже в случае $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|,\mathcal{L}^{2})$ ясно, что произвольные линейно связные множества $S \subset \operatorname{X}$ могут не быть $1$-коразмерностно регулярными по Альфорсу–Давиду. Кроме того, в [42] было показано, что соответствующие примеры могут быть получены как графики локально липшицевых функций. Вкупе с леммой 4 это показывает, что при заданном $\theta > 0$ семейство $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ может быть, вообще говоря, весьма бедным подсемейством $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Пример 2. Предположим, что $\operatorname{X}$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q > 0$. Тогда каждое непустое множество $S \subset \operatorname{X}$ принадлежит $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при каждом $\theta \geqslant Q$. Действительно, зафиксируем $x \in S$, $r \in (0,1]$ и не более чем счетное семейство шаров $\{B_{i}\}$ с радиусами $r_{i} < r$, которые покрывают $B_{r}(x) \cap S$. Тогда имеем Взяв инфимум по всем таким покрытиям, получаем требуемое. § 5. $\theta$-регулярные последовательности мерНа протяжении всего параграфа считаем фиксированными параметр $p \in (1,\infty)$ и м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{p}$. Напомним определения классов $\mathfrak{M}_{\theta}(S)$ и $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$, данные в § 1. Напомним также обозначение $B_{r}(x)$, данное в § 2. Ясно, что существуют наименьшие константы, для которых выполнены условия (M2) и (M4). Обозначим их через $C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},1}$ и $C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},3}$ соответственно. Аналогично, существует наибольшая константа, для которой выполнено условие (M3). Обозначим ее через $C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},2}$. Мы будем использовать символ $\mathcal{C}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}$ для обозначения семейства этих констант, т.е. $\mathcal{C}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}:=\{C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},1}, C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},2},C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},3}\}$. 5.1. Элементарные свойстваНапомним обозначение (3.6). Следующий факт является следствием условия (M2) и определения функций множества $\mathcal{H}_{\theta}$, $\theta \geqslant 0$. Мы опускаем элементарное доказательство. Предложение 20. Пусть $\theta \geqslant 0$ и $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ для некоторого замкнутого множества $S \subset \operatorname{X}$. Тогда для каждого $k \in \mathbb{N}_{0}$ мера $\mathfrak{m}_{k}$ абсолютно непрерывна относительно $\mathcal{H}_{\theta}$. Кроме того, для любого борелевского множества $E \subset S$ при каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$ имеем $\mathfrak{m}_{k}(E) \leqslant C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},1}\mathcal{H}_{\theta}(E)$. Для заданной последовательности $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ естественно спросить, обладают ли меры $\mathfrak{m}_{k}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, свойствами удвоения? К сожалению, вообще говоря, это не так. Тем не менее мы имеем в нашем распоряжении следующий важный результат (мы полагаем $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$ при всех $x \in \operatorname{X}$ и $k \in \mathbb{Z}$). Теорема 5. Пусть $\theta \,{\geqslant}\, 0$, замкнутое множество $S$ принадлежит $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ и $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Тогда для каждого $c \geqslant 1$ существует константа $C > 0$, зависящая от $c$, $\mathcal{C}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}$ и $C_{\mu}(c)$, такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ и любого $y \in S$ Доказательство. Положим $\underline{k}:=\min\{k \in \mathbb{Z}\colon \epsilon^{k} < 1/c\}$ и рассмотрим отдельно верхние и нижние оценки в (5.1).
Чтобы установить оценку сверху, рассмотрим два случая. В случае $k \in \{0,\dots ,\underline{k}\}$ комбинация (1.6), (1.8) и свойства равномерно локального удвоения меры $\mu$ дает существование такой константы $C > 0$, что (напомним (2.3) и учтем предложение 7)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{m}_{k}(cB_{k}(y)) &\leqslant C \mathfrak{m}_{0}(cB_{k}(y)) \leqslant C \sum_{B \in \mathcal{B}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)}\mathfrak{m}_{0}(B \cap cB_{k}(y))\\ &\leqslant C\sum_{\substack{B \in \mathcal{B}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\\ B \cap cB_{k}(y) \neq \varnothing}}\mu(B) \leqslant C \mu((c+2)B_{k}(y)) \leqslant C \mu(B_{k}(y)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
В случае $k > \underline{k}$, используя (1.6)–(1.8) и свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{m}_{k}(cB_{k}(y)) &\leqslant C\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(cB_{k}(y)) \leqslant C\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(B_{k-\underline{k}}(y))\\ &\leqslant C\frac{\mu(B_{k-\underline{k}}(y))}{\epsilon^{k-\underline{k}}} \leqslant C \frac{\mu(B_{k}(y))}{\epsilon^{k}} \leqslant C \mathfrak{m}_{k}(B_{k}(y)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Комбинируя (5.2) и (5.3), выводим требуемую оценку сверху в (5.1). Фиксируем теперь $k \in \mathbb{N}_{0}$. Для доказательства оценки снизу в (5.1) применение (1.6)–(1.8) и свойства равномерно локального удвоения меры $\mu$ дает требуемую оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{m}_{k}\biggl(\frac{1}{c}B_{k}(y)\biggr) &\geqslant C \mathfrak{m}_{k+\underline{k}}\biggl(\frac{1}{c}B_{k}(y)\biggr) \geqslant C \mathfrak{m}_{k+\underline{k}}(B_{k+\underline{k}}(y))\\ &\geqslant C \frac{\mu(B_{k+\underline{k}}(y))}{\epsilon^{k+\underline{k}}} \geqslant C \frac{\mu(B_{k}(y))}{\epsilon^{k}} \geqslant C \mathfrak{m}_{k}(B_{k}(y)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Теорема доказана. Теорема 5 приводит к следующему полезному следствию (мы полагаем $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$). Предложение 21. Пусть $\theta \geqslant 0$, замкнутое множество $S$ принадлежит $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ и $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Тогда для каждого $c \geqslant 1$ существует такая константа $C > 0$, что при каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$ справедливо неравенство Доказательство. Фиксируем $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $z \in S$. Заметим, что $2cB_{k}(y) \supset cB_{k}(z)$ при всех $y \in cB_{k}(z)$. Следовательно, в силу теоремы 5 имеем Следовательно,
Предложение доказано. 5.2. Сравнение различных классов мерТеперь мы сформулируем для заданного замкнутого множества $S \subset \operatorname{X}$ простое условие, которое достаточно для равенства классов $\mathfrak{M}_{\theta}^{\mathrm{str}}(S)$ и $\mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Напомним определение 5 и замечание 6. Напомним также обозначение (2.18) и положим $k(r):=k_{\epsilon}(r)$. Теорема 6. Пусть $\theta \in [0,\underline{Q}_{\mu}(1))$, и пусть замкнутое множество $S \subset \operatorname{X}$ таково, что $\mathcal{H}_{\theta}(S) \in (0,+\infty)$. Тогда Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что $\mathfrak{M}_{\theta}(S) \subset \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Предположим, что $\mathfrak{M}_{\theta}(S) \neq \varnothing$, и фиксируем произвольную последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Фиксируем также борелевское множество $E \subset S$ и проверим (1.9). Положим $N:=\{x \in E\colon \overline{D}^{\{\mathfrak{m}_{k}\}}_{E}(x,\epsilon) = 0\}.$ Поскольку $\theta \in [0,\underline{Q}_{\mu}(1))$, то в силу замечания 6 функция множества $\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}$ является конечной мерой на $\operatorname{X}$. Кроме того, в силу предложения 20 $\mathfrak{m}_{0}(S) < +\infty$. Если $\mathfrak{m}_{0}(N) > 0$, то, используя теорему Егорова, для любого $\varepsilon > 0$ найдем компактное множество $K_{\varepsilon} \subset N$ и число $\delta(\varepsilon) > 0$, для которых $\mathfrak{m}_{0}(N \setminus K_{\varepsilon}) < \varepsilon$ и
$$
\begin{equation}
\sup_{x \in K_{\varepsilon}}\sup_{r < \delta(\varepsilon)}\frac{\mathfrak{m}_{k(r)}(E \cap B_{r}(x))}{\mathfrak{m}_{k(r)}(B_{r}(x))} < \varepsilon.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
В силу предположений теоремы имеем $\mathcal{H}_{\theta}(S) < +\infty$. Следовательно, найдем произвольное не более чем счетное покрытие $K_{\varepsilon}$ шарами $\{B_{j}\}_{j=1}^{N}$, $N \in \mathbb{N} \,{\cup}\, \{\infty\}$, с радиусами $r_{j}:=r(B_{j}) \leqslant {\delta(\varepsilon)}/{4}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\sum_{j} \frac{\mu(B_{j})}{(r_{j})^{\theta}} \leqslant 2\mathcal{H}_{\theta,\delta(\varepsilon)}(K_{\varepsilon}).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Без ограничения общности мы можем предположить, что $K_{\varepsilon} \cap B_{j} \neq \varnothing$ при каждом $B_{j}$. Для любого $j$ зафиксируем точку $x_{j} \in B_{j} \cap K_{\varepsilon}$. Очевидно, имеем $B_{j} \subset B_{2r_{j}}(x_{j}) \subset 3B_{j}$. Следовательно, комбинируя (1.6), (1.8) с (5.7), (5.8) и учитывая свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{m}_{0}(K_{\varepsilon}) \,{\leqslant} \sum_{j} \mathfrak{m}_{0}(E \cap B_{j}) \,{\leqslant}\, C\sum_{j} \mathfrak{m}_{k(r_{j})}(E \cap B_{2r_{j}}(x_{j})) \,{<}\, \varepsilon C \sum_{j} \mathfrak{m}_{k(r_{j})}(B_{2r_{j}}(x_{j})) \\ &\qquad< \varepsilon C \sum_{j} \frac{\mu(B_{2r_{j}}(x_{j}))}{(r_{j})^{\theta}} < \varepsilon C \sum_{j} \frac{\mu(3B_{j})}{(r_{j})^{\theta}}\leqslant \varepsilon C \mathcal{H}_{\theta,\delta(\varepsilon)}(K_{\varepsilon}) \leqslant \varepsilon C \mathcal{H}_{\theta}(S). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Таким образом, при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$ имеем $\mathfrak{m}_{0}(K_{\varepsilon})=0$. Поскольку $\mathfrak{m}_{0}(N \setminus K_{\varepsilon}) < \varepsilon$ и $\varepsilon > 0$ могут быть выбраны произвольно, получаем равенство $\mathfrak{m}_{0}(N)=0$.
Теорема доказана. В доказательстве следующей теоремы мы строим простой пример, проясняющий тонкое различие между классами $\mathfrak{M}_{\theta}^{\mathrm{str}}(S)$ и $\mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Несмотря на свою простоту, соответствующие конструкции типичны и отражают существо дела. Можно построить аналогичные примеры в высших размерностях, и даже для некоторых хороших классов метрических пространств с мерой. Однако соответствующая техника будет гораздо менее прозрачной. Теорема 7. Пусть $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2},\mathcal{L}^{2})$ и $S:=\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}\colon x_{1} \in [0,1], x_{2}= 0\}$. Тогда для любого $\theta \in (1,2)$ существует последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S) \setminus \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Доказательство. Фиксируем произвольное $\theta \in (1,2)$ и положим Нам будет удобно разбить доказательство на несколько шагов.
Шаг 1. Пусть $E$ обозначает замкнутое множество канторовского типа, индуктивно построенное следующим образом. На первом шаге положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_{1}:=[0,1] \setminus \biggl(\frac{1}{2}-(2c_{1}(\theta))^{-1},\,\frac{1}{2}+(2c_{1}(\theta))^{-1}\biggr), \\ U_{1}:=\biggl(\frac{1}{2}-(2c_{1}(\theta))^{-1},\,\frac{1}{2}+(2c_{1}(\theta))^{-1}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что при некотором $k \in \mathbb{N}$ мы уже построили замкнутые множества $E_{1} \supset \dots \supset E_{k}$ и открытые множества $U_{1},\dots ,U_{k}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
E_{i} \cup \biggl(\bigcup_{j=1}^{i}U_{j}\biggr) = [0,1],\quad \mathcal{L}^{1}(U_{i}) = \frac{1}{c_{1}(\theta)i^{\theta}} \quad\text{при всех }\ i \in \{1,\dots ,k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, при каждом $i \in \{1,\dots ,k\}$ множество $E_{i}$ является дизъюнктным объединением $2^{i}$ отрезков $I_{i,l}$ и каждое $U_{i}$ является дизъюнктным объединением $2^{i-1}$ открытых интервалов $J_{i,l}$. Удалим из середины каждого отрезка $I_{k,l}$ открытый интервал длины $1/(c_{1}(\theta)2^{k}k^{\theta})$ и рассмотрим объединение оставшихся замкнутых множеств. Получим множество $E_{k+1}$ и положим $U_{k+1}:=E_{k} \setminus E_{k+1}$. В итоге мы построим последовательность $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ замкнутых множеств и последовательность $\{U_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ открытых множеств. Кроме того, при каждом $k \in \mathbb{N}$ обозначим через $\mathcal{I}_{k}$ и $\mathcal{J}_{k}$ соответствующие семейства отрезков и открытых интервалов соответственно. Более точно, $E_{k}=\bigcup\{I\colon I \in \mathcal{I}_{k}\}$ и $U_{k}=\bigcup\{J\colon J \in \mathcal{J}_{k}\}$ для всех $k \in \mathbb{N}$. Положим теперь $E:=\bigcap_{n=0}^{\infty}E_{n}$ и определим весовые функции $\omega_{k} \in L_{1}([0,1])$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, формулами (мы полагаем $U_{0}:=\varnothing$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \omega_{k}(x) &:=\chi_{E}(x)+\sum_{i=0}^{k}2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}\chi_{U_{i}}(x) \\ &\qquad+2^{(\theta-1)k}(k+1)^{\theta-1}\sum_{i=k+1}^{\infty}\chi_{U_{i}}(x), \qquad x \in [0,1]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Наконец, напомним формулу (2.6) и положим $\mathfrak{m}_{k}:=\omega_{k}\mathcal{H}^{1}\lfloor_{S}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$ (здесь $\mathcal{H}^{1}$ – привычная одномерная мера Хаусдорфа). Положим $\epsilon = 1/2$ и покажем, что $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k \in \mathbb{N}_{0}} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S) \setminus \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Это будет показано в последующих шагах.
Шаг 2. Заметим, что $\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}=S$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$. Этим проверено условие (M1). Шаг 3. Из (5.10) следует, что для любых $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $j \in \mathbb{N}_{0}$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{c_{2}(\theta)}{2^{\theta j}} \leqslant \frac{1}{2^{(\theta-1)j}(1+j)^{\theta-1}} \leqslant \frac{(k+1)^{\theta-1}}{2^{(\theta-1)j}(k+1+j)^{\theta-1}} \leqslant \frac{w_{k}(x)}{w_{k+j}(x)} \leqslant 1, \qquad x \in [0,1].
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Этим доказано, что условие (M4) удовлетворено при $C_{3}=\max\{1,(c_{2}(\theta))^{-1}\}$.
Шаг 4. Чтобы проверить условие (M2), рассуждаем следующим образом. Фиксируем произвольно $k \in \mathbb{N}_{0}$, $j \geqslant k$ и $Q \in \mathcal{D}_{j}$ (через $\mathcal{D}_{j}$ здесь и до конца доказательства мы обозначаем семейство всех двоичных отрезков длины $2^{-j}$). При каждом $i \in \mathbb{N}$ следует рассмотреть два случая. В первом случае $(c_{1}(\theta))^{-1}2^{-i}i^{-\theta}< 2^{-j}$. Поскольку $\theta > 1$, очевидно, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{2^{i}i^{\theta}} =\frac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{2^{(\theta-1+2-\theta)i}i^{\theta(\theta-1+2-\theta)}} \leqslant \frac{1}{2^{(2-\theta)i}}\,\frac{1}{i^{\theta(2-\theta)}} \leqslant \frac{(c_{1}(\theta))^{2-\theta}}{2^{(2-\theta)j}}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Следовательно, при $J \in \mathcal{J}_{i}$ из (5.10), (5.12) получаем (так как $(c_{1}(\theta))^{1-\theta} \leqslant 1$)
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\mathfrak{m}_{k}(Q \cap J) \leqslant \frac{1}{2}\mathfrak{m}_{k}(J) \leqslant \begin{cases} \dfrac{2^{(\theta-1)k}(k+1)^{\theta-1}}{c_{1}(\theta)2^{i}i^{\theta}} \leqslant \dfrac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{c_{1}(\theta)2^{i}i^{\theta}} \leqslant \dfrac{1}{2^{(2-\theta)j}}, & i > k, \\ \dfrac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{c_{1}(\theta)2^{i}i^{\theta}} \leqslant \dfrac{1}{2^{(2-\theta)j}}, &i \leqslant k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Во втором случае $(c_{1}(\theta))^{-1}2^{-i}i^{-\theta} \geqslant 2^{-j}$. Поскольку $\theta >1$, очевидно, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{2^{j}} \leqslant \frac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{2^{(2-\theta)j}2^{(\theta-1) j}} \leqslant \frac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{(c_{1}(\theta))^{\theta-1} 2^{(2-\theta)j}2^{(\theta-1)i}i^{\theta(\theta-1)}} \leqslant \frac{(c_{1}(\theta))^{1-\theta}}{2^{(2-\theta)j}}.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Следовательно, при $J \in \mathcal{J}_{i}$ из (5.10), (5.14) получаем (поскольку $(c_{1}(\theta))^{1-\theta} \leqslant 1$)
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\mathfrak{m}_{k}(Q \cap J) \leqslant \begin{cases} \dfrac{2^{(\theta-1)k}(k+1)^{\theta-1}}{2^{j}} \leqslant \dfrac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{2^{j}} \leqslant \dfrac{1}{2^{(2-\theta)j}}, & i > k, \\ \dfrac{2^{(\theta-1)i}i^{\theta-1}}{2^{j}} \leqslant \dfrac{1}{2^{(2-\theta)j}}, & i \leqslant k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
В итоге, комбинируя (5.13) и (5.15), имеем
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}(Q \cap J) \leqslant \frac{1}{2^{(2-\theta)j}} \quad\text{при каждом }\ i \in \mathbb{N}\ \text{ для всех }\ Q \in \mathcal{D}_{j} \ \text{ и всех }\ J \in \mathcal{J}_{i}.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Фиксируем отрезок $I \in \mathcal{I}_{j}$ и заметим, что $I \cap U_{i} = \varnothing$ при всех $i \in \{1,\dots ,j\}$. Следовательно, учитывая, что при каждом ${i \geqslant j+1}$ множество $U_{i} \cap I$ составлено не более чем из $2^{i-j}$ открытых интервалов длины $(c_{1}(\theta))^{-1}2^{-i}i^{-\theta}$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
c_{1}(\theta)\sum_{i=j+1}^{\infty}\mathcal{L}^{1}(U_{i} \cap I) \leqslant 2^{-j}\sum_{i=j+1}^{\infty}i^{-\theta} \leqslant \frac{2}{\theta-1}2^{-j}j^{1-\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя это наблюдение, а также помня о том, что $\theta \in (1,2)$ и $c_{1}(\theta) \geqslant 2$, в силу (5.10) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{m}_{k}(Q \cap I) \leqslant \mathfrak{m}_{k}(I) \leqslant 2^{-j}+2^{(\theta-1)k}(k+1)^{\theta-1}\sum_{i=j+1}^{\infty}\mathcal{L}^{1}(U_{i} \cap I) \\ \notag &\leqslant \frac{1}{2^{(2-\theta)j}}+ 2\frac{(c_{1}(\theta))^{-1}}{\theta-1}\,\frac{2^{(\theta-1)k}(k+1)^{\theta-1}}{2^{j}j^{\theta-1}} \leqslant \frac{1}{2^{(2-\theta)j}}+\frac{1}{\theta-1}\,\frac{(j+1)^{\theta-1}}{j^{\theta-1}}\, \frac{1}{2^{(2-\theta)j}} \\ &\leqslant \frac{2^{\theta}}{\theta-1}\,\frac{1}{2^{(2-\theta)j}} \quad \text{при каждом } \ Q \in \mathcal{D}_{j}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
По построению $U_{i}$ имеем $\sum_{i=1}^{l}\mathcal{L}^{1}(U_{i}) < 1/2$ при всех $l \in \mathbb{N}$. Следовательно, легко видеть, что каждый отрезок $I \in \mathcal{I}_{j}$ имеет длину более $2^{-j-1}$. Поэтому $Q$ может пересекать не более трех различных отрезков из семейства $\mathcal{I}_{j}$ и не более двух различных открытых интервалов из семейства $\bigcup_{i=1}^{j}\mathcal{J}_{i}$. Таким образом, при $x \in \mathbb{R}^{2}$ и $r \in (2^{-j-1},2^{-j}]$, комбинируя вышеприведенные наблюдения с (5.16), (5.17), получим
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}(B_{r}(x)) \leqslant \sum_{\substack{Q \in \mathcal{D}_{j}}}\mathfrak{m}_{k}(Q \cap B_{r}(x)) \leqslant \frac{2^{\theta}}{\theta-1}\,\frac{15}{2^{(2-\theta)j}}.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Следовательно, заключаем, что $\{\mathfrak{m}_{k}\}$ удовлетворяет условию (M2).
Шаг 5. Фиксируем $\underline{x} \in E$ и $k \in \mathbb{N}_{0}$. По построению множества $E$ существует интервал $I_{k}(\underline{x}) \in \mathcal{I}_{k}$ такой, что $\underline{x} \in I_{k}(\underline{x})$. Следовательно, учитывая, что для любого $i \geqslant k+1$ множество $U_{i} \cap I_{k}(\underline{x})$ состоит из $2^{i-k}$ дизъюнктных интервалов длины $(c_{1}(\theta))^{-1}2^{-i}i^{-\theta}$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{m}_{k}(B_{2^{-k}}(\underline{x})) &\geqslant \mathfrak{m}_{k}(I_{k}(\underline{x})) \geqslant 2^{(\theta-1)k}(k+1)^{\theta-1}\sum_{i=k+1}^{\infty}\mathcal{L}^{1}(U_{i} \cap I_{k}(\underline{x}))\\ &\geqslant \frac{2^{(\theta-1)k}(k+1)^{\theta-1}}{c_{1}(\theta)2^{k}}\sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{1}{i^{\theta}} \geqslant \frac{1}{c_{1}(\theta)(\theta-1)}\,\frac{1}{2^{k(2-\theta)}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Это наблюдение в комбинации с (5.11) приводит к (M3).
Шаг 6. Из (5.10) легко видеть, что $\mathfrak{m}_{k}(E \cap B_{2^{-k}}(x)) \leqslant 2^{-k+1}$ при всех $x \in E$ и всех $k \in \mathbb{N}_{0}$. Поскольку $\theta > 1$, вышеприведенное наблюдение в комбинации с (5.19) дает при всех $x \in E$
$$
\begin{equation}
\frac{\mathfrak{m}_{k}(B_{2^{-k}}(x) \cap E)}{\mathfrak{m}_{k}(B_{2^{-k}}(x))} \leqslant \frac{2c_{1}(\theta)(\theta-1)}{2^{k(\theta-1)}} \to 0, \qquad k \to \infty.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Этим доказано, что $\{\mathfrak{m}_{k}\} \notin \mathfrak{M}_{\theta}^{\mathrm{str}}(S)$.
Теорема 7 доказана. 5.3. Доказательство теоремы 1Мы начнем с необходимого условия существования $\theta$-регулярной последовательности мер. Теорема 8. Пусть $S \subset \operatorname{X}$ – непустое замкнутое множество. Если $\theta \geqslant 0$ таково, что $\mathfrak{M}_{\theta}(S) \neq \varnothing$, то $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Доказательство. Пусть $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ и $\epsilon=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \in (0,1)$. При $r \in (0,1]$ и $x \in S$ пусть $\mathcal{B}=\{B_{j}\}_{j \in \mathbb{N}}=\{B_{r_{j}}(x_{j})\}_{j \in \mathbb{N}}$ – такая последовательность замкнутых шаров, что $r_{j} \in (0,r)$ при всех $j \in \mathbb{N}$, $B_{j} \cap S \neq \varnothing$ при всех $j \in \mathbb{N}$, $B_{r}(x) \cap S \subset \bigcup_{j \in \mathbb{N}}B_{j}$ и
$$
\begin{equation}
\sum_{j}\frac{\mu(B_{j})}{(r_{j})^{\theta}} \leqslant 2\mathcal{H}_{\theta,r}(B_{r}(x) \cap S).
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Напомним обозначение (2.18), положим $k_{j}:=k(r_{j})$, $j \in \mathbb{N}$, и фиксируем для каждого $j \in \mathbb{N}$ шар $\widetilde{B}_{j}$ с центром в некоторой точке $x_{j} \in S \cap B_{j}$ с радиусом $r_{\widetilde{B}_{j}}=2r_{j}$. Ясно, что $B_{j} \subset \widetilde{B}_{j} \subset 4B_{j}$ при всех $j \in \mathbb{N}$. Следовательно, используя свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, применяя (1.6), а затем, учитывая теорему 5, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{j}\frac{\mu(B_{j})}{(r_{j})^{\theta}} &\geqslant C\sum_{j}\frac{\mu(4B_{j})}{(4r_{j})^{\theta}} \geqslant C \sum_{j}\frac{\mu(\widetilde{B}_{j}/2)}{(r_j/2)^{\theta}} \\ &\geqslant C\sum_{j}\mathfrak{m}_{k_{j}}\biggl(\frac{1}{2}\widetilde{B}_{j}\biggr) \geqslant C\sum_{j}\mathfrak{m}_{k_{j}}(\widetilde{B}_{j}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Теперь комбинируем (5.21) и (5.22), учитываем, что $k(r) \leqslant k_{j}$ при всех $j \in \mathbb{N}$, и используем условие (1.8). Это дает цепочку неравенств
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_{\theta,r}(B_{r}(x) \cap S) \geqslant C\sum_{j}\mathfrak{m}_{k(r)}(\widetilde{B}_{j}) \geqslant C \mathfrak{m}_{k(r)}(B_{r}(x) \cap S).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $r \in (\epsilon^{k(r)+1},\epsilon^{k(r)}]$, то, используя теорему 5 и условие (1.7), продолжим предыдущую оценку и получим
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_{\theta,r}(B_{r}(x) \cap S) \geqslant C \mathfrak{m}_{k(r)}(B_{\epsilon^{k(r)}}(x) \cap S) \geqslant C\frac{\mu(B_{\epsilon^{k(r)}}(x))}{\epsilon^{k(r)\theta}} \geqslant C \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}}.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Так как $x \in S$ и $r \in (0,1]$ были выбраны произвольно, утверждение теоремы теперь следует из определения 16.
Теорема 8 доказана. Следующий результат дает условия на множество $S \subset \operatorname{X}$, достаточные для существования сильно $\theta$-регулярной последовательности мер, носители которых совпадают с $S$. Теорема 9. Пусть $\theta \geqslant 0$. Если замкнутое множество $S$ принадлежит $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, то $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S) \neq \varnothing$. Доказательство. Фиксируем произвольный параметр $\epsilon \in (0,1/10]$ и напомним обозначения (2.2)–(2.4). Поскольку $S$ – замкнутое подмножество полного сепарабельного метрического пространства $(\operatorname{X},\operatorname{d})$, пространство $\operatorname{S}:=(S,\operatorname{d}|_{S})$ является полным сепарабельным метрическим пространством (здесь $\operatorname{d}|_{S}$ – ограничение метрики $\operatorname{d}$ на множество $S$).
Шаг 1. Напомним определение 3, предложение 9 и фиксируем допустимый частичный порядок на $Z(\operatorname{S},\epsilon)$. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ для любой точки $z_{k,\alpha} \in Z_{k}(\operatorname{S},\epsilon)$ положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{Q}_{k,\alpha}:=\bigcup \{\operatorname{int}B_{\epsilon^j/8}(z_{j,\beta})\colon z_{j,\beta} \preceq z_{k,\alpha}\}.
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Отметим, что $\widetilde{Q}_{k,\alpha}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{S},\epsilon)$, являются открытыми подмножествами $\operatorname{X}$. Однако они не являются ни обобщенными двоичными кубами в $\operatorname{X}$, ни обобщенными двоичными кубами в $\operatorname{S}$. В то же время в силу (2.17) заключаем, что $\widetilde{Q}_{k,\alpha} \cap S$ – обобщенный двоичный куб в пространстве $\operatorname{S}$ при каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$ и любом $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{S},\epsilon)$. Единственная причина для введения таких специфических множеств $\widetilde{Q}_{k,\alpha}$ – это то, что “центры” таких “квазикубов” принадлежат множеству $S$. Этот факт будет иметь решающее значение на шаге 8 ниже.
Поскольку $\epsilon \in (0,1/10]$, то из свойства (PO3) определения 3 и (5.24) легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{Q}_{k,\alpha} \subset B_{2\epsilon^{k}}(z_{k,\alpha}) \quad \text{при каждом } \ k \in \mathbb{N}_{0} \ \text{ для любых } \ \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{S},\epsilon).
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Повторяя почти дословно рассуждения из доказательства леммы 15 статьи [33], получаем, что
$$
\begin{equation}
\text{если } \ l \geqslant k, \quad \text{то либо } \ \widetilde{Q}_{l,\beta} \subset \widetilde{Q}_{k,\alpha}, \ \text{ либо } \ \widetilde{Q}_{l,\beta} \cap \widetilde{Q}_{k,\alpha} = \varnothing.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Кроме того, в силу (5.24) и (5.26), очевидно, имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{z_{k+1,\beta} \preceq z_{k,\alpha}}\mu(\widetilde{Q}_{k+1,\beta}) \leqslant \mu(\widetilde{Q}_{k,\alpha}) \quad\text{при каждом }\ k \in \mathbb{N}_{0} \ \text{ для любого }\ \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{S},\epsilon).
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Наконец, пусть $B=B_{r}(x)$ – произвольный замкнутый шар с центром в $x \in \operatorname{X}$ радиуса $r \in (0,1]$. Пусть $c \geqslant 1$ таково, что $B_{cr}(x) \cap S \neq \varnothing$. Те же рассуждения, что и в доказательстве предложения 11, дают оценку
$$
\begin{equation}
\#\{\alpha \in \mathcal{A}_{k(r)}(\operatorname{S},\epsilon)\colon \operatorname{cl}(\widetilde{Q}_{k(r),\alpha} \cap S) \cap cB \neq \varnothing\} \leqslant C_{D}(c,0).
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Шаг 2. Для каждого $j \in \mathbb{N}_{0}$ и любого $\beta \in \mathcal{A}_{j}(\operatorname{S},\epsilon)$ мы положим $h_{j,\beta}:={\mu(\widetilde{Q}_{j,\beta})}/{\epsilon^{j\theta}}$. Теперь при каждом $j \in \mathbb{N}_{0}$ определим меру $\mathfrak{m}^{j,j}$ на $S$ по формуле (через $\delta_{x}$ мы обозначаем меру Дирака, сконцентрированную в $x \in S$)
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}^{j,j}:=\sum_{z_{j,\beta} \in Z_{j}(\operatorname{S},\epsilon)}h_{j,\beta}\delta_{z_{j,\beta}}.
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
При фиксированном $j \in \mathbb{N}$ модифицируем меру $\mathfrak{m}^{j,j}$ следующим образом. Если индекс $\alpha \in \mathcal{A}_{j-1}(\operatorname{S},\epsilon)$ таков, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{m}^{j,j}(\widetilde{Q}_{j-1,\alpha} \cap S)=\mathfrak{m}^{j,j}(\{z_{j,\beta}\colon z_{j,\beta} \preceq z_{j-1,\alpha}\}) > h_{j-1,\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
то мы уменьшим массу $\mathfrak{m}^{j,j}$ равномерно на множестве $\{z_{j,\beta}\colon z_{j,\beta} \preceq z_{j-1,\alpha}\}$ до значения $h_{j-1,\alpha}$. С другой стороны, если индекс $\alpha \in \mathcal{A}_{j-1}(\operatorname{S},\epsilon)$ таков, что $\mathfrak{m}^{j,j}(\widetilde{Q}_{j-1,\alpha} \cap S) \leqslant h_{j-1,\alpha}$, то мы оставим $\mathfrak{m}^{j,j}$ неизменной на множестве $\{z_{j,\beta}\colon z_{j,\beta} \preceq z_{j-1,\alpha}\}$. Таким образом, мы, очевидно, получим новую меру $\mathfrak{m}^{j,j-1}$. Повторим эту процедуру для $\mathfrak{m}^{j,j-1}$, получая $\mathfrak{m}^{j,j-2}$, и после $j$ шагов мы получим меру $\mathfrak{m}^{j,0}$. При $j \in \mathbb{N}_{0}$ и $k \leqslant j$ из построения следует, что
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}^{j,k}(\widetilde{Q}_{i,\beta} \cap S) \leqslant h_{i,\beta} \quad \text{при каждом } \ i \in \{k,\dots ,j\} \ \text{ для всех } \ \beta \in \mathcal{A}_{i}(\operatorname{S},\epsilon).
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Из (5.27) ясно, что
$$
\begin{equation}
\underline{M}:=\inf_{k \in \mathbb{N}_{0}}\inf_{z_{k,\alpha} \in Z_{k}(\operatorname{S},\epsilon)} \biggl(\sum_{z_{k+1,\beta} \preceq z_{k,\alpha}}h_{k+1,\beta}\biggr)^{-1} h_{k,\alpha} \geqslant \epsilon^{\theta}.
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Отметим, что по построению при каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$ и любых $j \geqslant k$ существует семейство положительных констант $\{c_{j,k}(\widetilde{Q}_{j,\beta})\colon \beta \in \mathcal{A}_{j}(\operatorname{S},\epsilon)\}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}^{j,k}(\widetilde{Q}_{j,\beta} \cap S)=c_{j,k}(\widetilde{Q}_{j,\beta})\mathfrak{m}^{j,j}(\widetilde{Q}_{j,\beta} \cap S) \quad \text{при всех } \ \beta \in \mathcal{A}_{j}(\operatorname{S},\epsilon).
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Кроме того, в силу (5.31) при каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$, $i \in \{0,\dots ,k\}$ и любых $j \geqslant k$ имеем
$$
\begin{equation}
\epsilon^{i}c_{j,k}(\widetilde{Q}_{j,\beta}) \leqslant c_{j,k-i}(\widetilde{Q}_{j,\beta}) \leqslant c_{j,k}(\widetilde{Q}_{j,\beta}) \quad \text{при всех }\ \beta \in \mathcal{A}_{j}(\operatorname{S},\epsilon).
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
Шаг 3. Используя оценки (5.30) и (5.28), получаем $\sup_{j \geqslant k}\mathfrak{m}^{j,k}(B) < \infty$ для любого замкнутого шара $B \subset \operatorname{X}$. Следовательно, в силу предложения 8 и леммы 1 для каждого $k \in \mathbb{N}_{0}$ существует подпоследовательность $\{\mathfrak{m}^{j_{s},k}\}$ и (борелевски регулярная) мера $\mathfrak{m}_{k}$ на $\operatorname{X}$ такая, что $\mathfrak{m}^{j_{s},k} \rightharpoonup \mathfrak{m}_{k}$, $s \to \infty$. С помощью стандартных диагональных аргументов заключаем, что существует такая строго возрастающая последовательность $\{j_{l}\}_{l=1}^{\infty} \subset \mathbb{N}$, что $\mathfrak{m}^{j_{l},k} \rightharpoonup \mathfrak{m}_{k}$, $l \to \infty$, при любом $k \in \mathbb{N}_{0}$ (в случае $j_{l} < k$ мы формально полагаем $\mathfrak{m}^{j_{l},k}:=\mathfrak{m}^{k,k}$). В течение следующих шагов мы покажем, что последовательность $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ удовлетворяет условиям (M1)–(M5). Шаг 4. При фиксированном $k \in \mathbb{N}_{0}$ из (5.29) следует, что $\operatorname{supp}\mathfrak{m}^{j_{l},k}$ является $\epsilon^{j_{l}}$-разделенным подмножеством $S$ для всех достаточно больших $l \in \mathbb{N}$. Следовательно, из построения $\mathfrak{m}_{k}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, заключаем, что $\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}=S$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$. Отсюда следует, что условие (M1) удовлетворено. Шаг 5. Зафиксируем произвольные $k,i \in \mathbb{N}_{0}$. Из (5.32) и (5.33) для любой функции $\varphi \in C_{c}(\operatorname{X})$ и всех достаточно больших $l \in \mathbb{N}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\epsilon^{i \theta }\int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}^{j_{l},k+i}(x) \leqslant \int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}^{j_{l},k}(x) \leqslant \int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}^{j_{l},k+i}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, переходя к пределу при $l \to \infty$, получим
$$
\begin{equation*}
\epsilon^{i \theta}\int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}_{k+i}(x) \leqslant \int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \leqslant \int_{\operatorname{X}}\varphi(x)\,d\mathfrak{m}_{k+i}(x) \quad \text{при всех } \ \varphi \in C_{c}(\operatorname{X}).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, используя борелевскую регулярность мер $\mathfrak{m}_{k}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, и теорему Радона–Никодима, находим, что условие (M4) удовлетворено с константой $C_{3}=1$.
Шаг 6. При заданном $k \in \mathbb{N}_{0}$ фиксируем произвольный замкнутый шар $B_{r}(x)$ с центром в $x \in \operatorname{X}$ радиуса $r \in (0,\epsilon^{k}]$. Если $\widetilde{Q}_{k(r),\alpha} \cap B_{2r}(x) \neq \varnothing$ для некоторого $\alpha \in \mathcal{A}_{k(r)}(\operatorname{S},\epsilon)$, то из (5.25) имеем $\widetilde{Q}_{k(r),\alpha} \subset B_{cr}(x)$ при $c=4\epsilon^{k(r)}/r+2$. Кроме того, поскольку $k(r) \geqslant k$, то из (5.30) получаем $\mathfrak{m}^{j_{l},k}(\widetilde{Q}_{k(r),\alpha}) \leqslant h_{k(r),\alpha}$ для каждого $\alpha \in \mathcal{A}_{k(r)}(\operatorname{S},\epsilon)$ и всех достаточно больших $l \in \mathbb{N}$. Наконец, по построению имеем $\mathfrak{m}^{j_{l},k}(\partial\widetilde{Q}_{k(r),\alpha})=0$ для любого $\alpha \in \mathcal{A}_{k(r)}(\operatorname{S},\epsilon)$ и всех достаточно больших $l \in \mathbb{N}$. В итоге применим предложение 3 при $G=\operatorname{int}B_{2r}(x)$, затем учтем вышеприведенные наблюдения и, наконец, воспользуемся свойством равномерно локального удвоения меры $\mu$. Это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{m}_{k}(B_{r}(x)) \leqslant \mathfrak{m}_{k}(\operatorname{int}B_{2r}(x)) \leqslant \varliminf_{l \to \infty}\mathfrak{m}^{j_{l},k}(\operatorname{int}B_{2r}(x)) \\ &\leqslant \varliminf_{l \to \infty}\sum\{\mathfrak{m}^{j_{l},k}(\widetilde{Q}_{k(r),\alpha})\colon \widetilde{Q}_{k(r),\alpha} \cap B_{2r}(x) \neq \varnothing\} \leqslant C \frac{\mu(B_{cr}(x))}{r^{\theta}} \leqslant C \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Следовательно, условие (M2) удовлетворено.
Шаг 7. Чтобы проверить условие (M3), достаточно показать, что существует такая константа $C > 0$, что (мы полагаем $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$ для краткости)
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}(B_{k}(x)) \geqslant C \frac{\mu(B_{k}(x))}{\epsilon^{k\theta}} \quad \text{при всех } \ k \in \mathbb{N}_{0} \ \text{ и всех } \ x \in S.
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Действительно, предположим, что мы уже доказали (5.35). Тогда при $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $r \in [\epsilon^{k},1]$ заметим, что $k(r) \leqslant k$ согласно нашим обозначениям (2.18). Поэтому, используя (M4) и учитывая свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, получим для каждой точки $x \in S$ требуемую оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{m}_{k}(B_{r}(x)) &\geqslant \mathfrak{m}_{k(r)}(B_{k(r)+1}(x)) \geqslant \epsilon\,\mathfrak{m}_{k(r)+1}(B_{k(r)+1}(x)) \\ &\geqslant C \frac{\mu(B_{k(r)+1}(x))}{\epsilon^{(k(r)+1)\theta}} \geqslant C \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства (5.35) зафиксируем произвольные $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $x \in S$. Используя свойство субаддитивности функции множества $\mathcal{H}_{\theta,\epsilon^{k}}$ и (5.28), найдем такой куб $\widetilde{Q}_{k,\alpha}$, $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{S},\epsilon)$, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_{\theta,\epsilon^{k}}(\widetilde{Q}_{k,\alpha} \cap S) \geqslant \frac{1}{C_{D}(1,0)}\mathcal{H}_{\theta,\epsilon^{k}}(B_{\epsilon^{k}}(x) \cap S).
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Заметим, что для каждого $j \geqslant k$ и любой точки $z_{j,\beta} \preceq z_{k,\alpha}$ при $\beta \in \mathcal{A}_{j}(\operatorname{S},\epsilon)$ существует максимальный среди всех номеров $s \in \{k,\dots ,j\}$, для которого найдется индекс $\gamma \,{\in}\, \mathcal{A}_{s}(\operatorname{S},\epsilon)$ такой, что $z_{j,\beta} \preceq z_{s,\gamma} \preceq z_{k,\alpha}$ и ${\mathfrak{m}^{j,k}(\widetilde{Q}_{s,\gamma} \cap S)}\,{=}\,h_{s,\gamma}$. Поэтому существует дизъюнктное конечное семейство $\{\widetilde{Q}_{s_{i},\gamma_{i}}\}_{i=1}^{N}$ при $k \leqslant s_{i} \leqslant j$, $i \in \{1,\dots,N\}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{m}^{j,k}(\widetilde{Q}_{k,\alpha} \cap S) \geqslant \sum_{i=1}^{N}\mathfrak{m}^{j,k}(\widetilde{Q}_{s_{i},\gamma_{i}} \cap S)=\sum_{i=1}^{N} h_{s_{i},\gamma_{i}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время из (5.24), (5.25) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Q}_{k,\alpha} \cap S \subset \bigcup_{i=1}^{N} \operatorname{cl}\widetilde{Q}_{s_{i},\gamma_{i}} \subset \bigcup_{i=1}^{N} B_{2\epsilon^{s_{i}}}(z_{s_{i},\gamma_{i}}), \qquad \frac{1}{8}B_{\epsilon^{s_{i}}}(z_{s_{i},\gamma_{i}}) \subset \widetilde{Q}_{s_{i},\gamma_{i}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i \in \{1,\dots ,N\}$. Следовательно, используя свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$ в комбинации с предложением 7, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{m}^{j,k}(\widetilde{Q}_{k,\alpha} \cap S) \geqslant \sum_{i=1}^{N} \frac{\mu(\frac{1}{8}B_{\epsilon^{s_{i}}}(z_{s_{i},\gamma_{i}}))}{\epsilon^{s_{i}\theta}} \geqslant C\sum_{i=1}^{N} \frac{\mu(4B_{\epsilon^{s_{i}}}(z_{s_{i},\gamma_{i}}))}{\epsilon^{s_{i}\theta}} \\ &\quad\geqslant C\sum_{i=1}^{N}\epsilon^{-s_{i}\theta}\sum_{B \in \mathcal{B}_{s_{i}}(\operatorname{X},\epsilon)}\{\mu(B)\colon B \cap B_{2\epsilon^{s_{i}}}(z_{s_{i},\gamma_{i}}) \neq \varnothing\}\geqslant C\mathcal{H}_{\theta,\epsilon^{k}}(\widetilde{Q}_{k,\alpha} \cap S). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
Так как замкнутый шар $B_{5\epsilon^{k}}(x)$ является компактным множеством и $\widetilde{Q}_{k,\alpha} \subset B_{5\epsilon^{k}}(x)$, применим предложение 3 при $F=B_{5\epsilon^{k}}(x)$, затем скомбинируем (5.36), (5.37) и, наконец, учтем определение 16. Это позволяет установить ключевую оценку
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}(B_{5\epsilon^{k}}(x)) \geqslant \varlimsup_{l \to \infty}\mathfrak{m}^{j_{l},k}(B_{5\epsilon^{k}}(x)) \geqslant \varlimsup_{l \to \infty}\mathfrak{m}^{j_{l},k}(\widetilde{Q}_{k,\alpha}) \geqslant C\frac{\mu(B_{\epsilon^{k}}(x))}{\epsilon^{k\theta}}.
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
В результате, используя (5.38) и теорему 5, мы приходим к неравенству (5.35), завершая доказательство (M3).
Шаг 8. Из (M4) и (M3), которые были проверены на шагах 5 и 7 соответственно, имеем $\mathfrak{m}_{0}(B_{k}(x)) \geqslant \epsilon^{k\theta}\mathfrak{m}_{k}(B_{k}(x)) \geqslant C\mu(B_{k}(x))$ при всех $x \in S$. По определению 13 это означает, что мера $\mathfrak{m}_{0}$ слабо неколлапсирующая. Фиксируем произвольное борелевское множество $E \subset S$ и напомним обозначение (3.6). На протяжении этого шага положим $c=4/\epsilon\,{+}\,2$ и применим лемму 3. Это дает существование такого множества $E' \subset E$ с мерой $\mathfrak{m}_{0}(E \setminus E')=0$, что для каждой точки $x \in E'$ можно найти строго убывающую к нулю последовательность $\{r_{l}(x)\}$ такую, что (напомним (3.1))
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{D}^{\mathfrak{m}_{0}}_{E}(x) \geqslant \overline{\operatorname{D}}(x):=\varliminf_{l \to \infty}\frac{\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}(x)}(x)\cap E)}{\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}(x)}(x))} \geqslant \frac{1}{2\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}_{0}}(5c)}, \\ \varlimsup_{l \to \infty}\frac{\mathfrak{m}_{0}(B_{cr_{l}(x)}(x))}{\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}(x)}(x))} \leqslant \underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}_{0}}(5c). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, фиксируем $\underline{x} \in E'$ и $\varepsilon \in (0,1)$. Напомним обозначение (2.18) и положим $r_{l}:=r_{l}(\underline{x})$, $k_{l}:=k_{\epsilon}(r_{l})$ при всех $l \in \mathbb{N}_{0}$. Очевидно, существует $L=L(\underline{x},\varepsilon) \in \mathbb{N}$ такое, что для всех $l \geqslant L$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}}(\underline{x})\cap E)}{\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}}(\underline{x}))} > \biggl(1-\frac{\varepsilon}{8}\biggr) \overline{\operatorname{D}}(\underline{x}), \qquad \frac{\mathfrak{m}_{0}(B_{cr_{l}}(\underline{x}))}{\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}}(\underline{x}))} \leqslant 2\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}_{0}}(5c).
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
Используя борелевскую регулярность меры $\mathfrak{m}_{0}$, для заданного $l \in \mathbb{N}$ найдем открытое множество $\Omega_{l} \subset B_{2r_{l}}(\underline{x})$, содержащее $B_{r_{l}}(\underline{x})\cap E$, и компактное множество $K_{l} \subset B_{r_{l}}(\underline{x})\cap E$, для которых
$$
\begin{equation}
|\mathfrak{m}_{0}(\Omega_{l})-\mathfrak{m}_{0}(K_{l})| \leqslant \frac{\varepsilon}{8}\overline{\operatorname{D}}(\underline{x})\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}}(\underline{x})).
\end{equation}
\tag{5.40}
$$
Поскольку $\sigma_{l}:=\operatorname{dist}(K_{l},\operatorname{X} \setminus \Omega_{l}) > 0$, для $\sigma_l/2$-окрестности $U_{\sigma_l/2}(K_{l})$ множества $K_{l}$ получим
$$
\begin{equation}
K_{l} \subset U_{\sigma_l/2}(K_{l}) \subset \operatorname{cl}U_{\sigma_l/2}(K_{l}) \subset \Omega_{l} \subset B_{2r_{l}}(\underline{x}).
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
Поскольку индекс $l$ уже занят для обозначения последовательности $\{r_{l}\}$, а также в целях упрощения обозначений, мы будем считать на этом шаге, что $\mathfrak{m}^{j,k} \to \mathfrak{m}_{k}$, $j \to \infty$. Для проверки условия (M5) достаточно установить существование такой константы $C(\underline{x}) > 0$, не зависящей от $\varepsilon$ и $l$, что при каждом $l \geqslant L$ найдется $N=N(\underline{x},l,\varepsilon) \geqslant k_{l}$, для которого при любом $j \geqslant N$ справедливо
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)} \cap U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \geqslant C(\underline{x})\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)}) \quad \text{при некотором } \ \beta(j) \in \mathcal{A}_{k_{l}}(\operatorname{S},\epsilon).
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
В самом деле, предположим, что мы уже доказали (5.42). Тогда для заданного $l \geqslant L$ используем (5.24), (5.41) и применим предложение 3 при $F = \operatorname{cl}(U_{\sigma/2}(K_{l}))$, $G=\operatorname{int}B_{r_l/8}(z_{k_{l},\beta})$. Это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{m}_{k_{l}}(\Omega_{l})\geqslant \mathfrak{m}_{k_{l}}(\operatorname{cl} U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \geqslant \varlimsup_{j \to \infty}\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\operatorname{cl} U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \geqslant \varliminf_{j \to \infty} \mathfrak{m}^{j,k_{l}}(U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \\ \notag &\geqslant \varliminf_{j \to \infty}\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)} \cap U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \geqslant C(\underline{x})\varliminf_{j \to \infty}\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)}) \\ &\geqslant C(\underline{x})\varliminf_{j \to \infty}\mathfrak{m}^{j,k_{l}} \biggl(\operatorname{int}\frac{1}{8}B_{k_{l}}(z_{k_{l},\beta(j)})\biggr) \geqslant C(\underline{x})\mathfrak{m}_{k_{l}} \biggl(\operatorname{int}\frac{1}{8}B_{k_{l}}(z_{k_{l},\beta(j)})\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
Поскольку $\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)} \cap B_{2r_{l}}(\underline{x}) \neq \varnothing$, из (5.25) получаем $B_{r_{l}}(\underline{x}) \subset 6B_{k_{l}}(z_{k_{l},\beta(j)})$. Ключевой факт состоит в том, что $z_{k_{l},\beta(j)} \in S$, и мы можем применить теорему 5 при $c=6$ и $y=z_{k_{l},\beta(j)}$. В итоге имеем
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k_{l}}(\Omega_{l}) \geqslant C(\underline{x})\mathfrak{m}_{k_{l}}(\operatorname{int}B_{r_l/8}(z_{k_{l},\beta(j)})) \geqslant C \mathfrak{m}_{k_{l}}(6B_{k_{l}}(z_{k_{l},\beta(j)})) \geqslant C\mathfrak{m}_{k_{l}}(B_{r_{l}}(\underline{x})).
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
Константа $C > 0$ в правой части (5.44) не зависит от $l$ и $\varepsilon$. Наконец, поскольку $\Omega_{l} \supset E \cap B_{r_{l}}(\underline{x})$ было выбрано произвольно, а мера $\mathfrak{m}_{k_{l}}$ является борелевски регулярной, получаем требуемую оценку $\mathfrak{m}_{k_{l}}(E \cap B_{r_{l}}(\underline{x})) \geqslant C\mathfrak{m}_{k_{l}}(B_{r_{l}}(\underline{x}))$ с константой $C > 0$, не зависящей от $l \in \mathbb{N}$. Так как $l \geqslant L$ было выбрано произвольно, этим завершается проверка (M5).
Чтобы доказать (5.42), будем рассуждать следующим образом. Фиксируем $l \geqslant L$, применим предложение 3 при $G=U_{\sigma/2}(K_{l})$, $F=B_{2r_{l}}(\underline{x})$ и используем (5.39)–(5.41). Это дает (напомним, что $\varepsilon \in (0,1)$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varliminf_{j \to \infty}\mathfrak{m}^{j,0}(U_{\sigma/2}(K_{l})) &\geqslant \mathfrak{m}_{0}(U_{\sigma/2}(K_{l})) \geqslant \biggl(1-\frac{\varepsilon}{2}\biggr) \overline{\operatorname{D}}(\underline{x})\mathfrak{m}_{0}(B_{r_{l}}(\underline{x})) \\ & \geqslant C\mathfrak{m}_{0}(B_{cr_{l}}(\underline{x})) \geqslant C\varlimsup_{j \to \infty}\mathfrak{m}^{j,0}(B_{cr_{l}}(\underline{x})), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C=\overline{\operatorname{D}}(\underline{x})/ (4\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}_{0}}(5c))$. Следовательно, существует такое $N=N(\underline{x},l,\varepsilon) \geqslant k_{l}$, что при всех $j \geqslant N$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}^{j,0}(U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \geqslant \frac{\overline{\operatorname{D}} (\underline{x})}{5\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}_{0}}(5c)} \mathfrak{m}^{j,0}(B_{cr_{l}}(\underline{x})).
\end{equation}
\tag{5.45}
$$
Из (5.28) и (5.41) следует, что существует не более $C_{D}(2,0)$ обобщенных двоичных кубов $\widetilde{Q}_{k_{l},\beta} \cap S$ в $\operatorname{S}$, замыкания которых имеют непустые пересечения с $U_{\sigma_l/2}(K_{l})$. Кроме того, любой такой куб содержится вместе со своим замыканием в $B_{cr_{l}}(\underline{x})$. Следовательно, используя (5.45), заключаем, что для каждого $j \geqslant N$ существует $\beta(j) \in \mathcal{A}_{k_{l}}(\operatorname{S},\epsilon)$ такое, что неравенство
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}^{j,0}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)} \cap U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \geqslant C(\underline{x})\mathfrak{m}^{j,0}(B_{cr_{l}}(\underline{x})) \geqslant C(\underline{x})\mathfrak{m}^{j,0}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)})
\end{equation}
\tag{5.46}
$$
справедливо с константой $C(\underline{x}):=(5C_{D}(2,0)\underline{\operatorname{C}}_{\mathfrak{m}_{0}}(5c))^{-1}\overline{\operatorname{D}}(\underline{x}).$ В результате, учитывая (5.32), из (5.46) выводим требуемую оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)} \cap U_{\sigma_l/2}(K_{l})) =\frac{\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)})} {\mathfrak{m}^{j,0}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)})} \mathfrak{m}^{j,0}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)} \cap U_{\sigma_l/2}(K_{l})) \\ &\qquad\geqslant C(\underline{x})\frac{\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)})}{\mathfrak{m}^{j,0}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)})}\mathfrak{m}^{j,0}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)}) =C(\underline{x})\mathfrak{m}^{j,k_{l}}(\widetilde{Q}_{k_{l},\beta(j)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 9 доказана. Теорема 1 непосредственно следует из теорем 8 и 9. 5.4. Некоторые примерыВ этом пункте мы покажем, что для некоторых множеств $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, $\theta > 0$, можно легко построить конкретные примеры последовательностей $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$. Для общих множеств $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при $\theta > 0$ нахождение явных примеров последовательностей $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ – довольно сложная задача. В [42] построен явный пример последовательности $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{1}(\Gamma)$ для случая, когда $\Gamma \subset \mathbb{R}^{2}$ – простая плоская спрямляемая кривая положительной длины. В работе [21] приведен явный пример последовательности $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{n-1}(K)$ для случая, когда $K$ – единичный пик в $\mathbb{R}^{n}$. Используя теорему 6, заключаем, что в действительности эти последовательности мер принадлежали более узким классам $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{1}(\Gamma)$ и $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{n-1}(K)$ соответственно. Пример 3. Напомним замечание 6. Пусть $\underline{\theta} \in [0,\underline{Q}_{\mu}(R))$ при некотором $R > 0$, и пусть $S \in \mathcal{ADR}_{\underline{\theta}}(\operatorname{X})$. В этом случае при $\theta \geqslant \underline{\theta}$ положим $\epsilon=1/2$ и Пример 4. Пусть $N \in \mathbb{N}$ и $\{\underline{\theta}_{1},\dots ,\underline{\theta}_{N}\} \subset [0,\underline{Q}_{\mu}(R))$. При $i \in \{1,\dots ,N\}$ пусть $S_{i} \in \mathcal{ADR}_{\underline{\theta}_{i}}(\operatorname{X})$. Положим $\overline{\theta}:=\max\{\underline{\theta}_{1},\dots ,\underline{\theta}_{N}\}$. Теперь положим $\epsilon=1/2$ и при $\theta \geqslant \overline{\theta}$ § 6. Точки Лебега функцийНа протяжении всего параграфа следующие данные считаются фиксированными: (D.6.1) параметр $p \in (1,\infty)$ и м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{p}$; (D.6.2) параметр $\theta \in [0,p)$ и замкнутое множество $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$; (D.6.3) последовательность $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$ и параметр $\epsilon=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \in (0,1/10]$. В этом параграфе для любого $x \in \operatorname{X}$ и $k \in \mathbb{Z}$ мы будем использовать обозначение $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$. Определение 17. При $c > 0$ и $\delta > 0$ скажем, что семейство замкнутых шаров $\mathcal{B}:=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{N}$ при $N \in \mathbb{N}$ является $(S,c,\delta)$-приятным, если выполнены следующие условия: (B1) $B_{r_{i}}(x_{i}) \cap B_{r_{j}}(x_{j}) = \varnothing$, если $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ и $i \neq j$; (B2) $0 < \min\{r_{i}\colon i=1,\dots,N\} \leqslant \max\{r_{i}\colon i=1,\dots,N\} \leqslant \delta$; (B3) $B_{cr_{i}}(x_{i}) \cap S \neq \varnothing$ при всех $i \in \{0,\dots ,N\}$. Кроме того, скажем, что $\mathcal{B}$ является $(S,c,\delta)$-семейством Уитни, если оно удовлетворяет (B1)–(B3) и (B4) $B \subset \operatorname{X} \setminus\, S$ при всех $B \in \mathcal{B}$. Будем называть $(S,c,1)$-приятные семейства и $(S,c,1)$-семейства Уитни просто $(S,c)$-приятными семействами и $(S,c)$-семействами Уитни соответственно. Замечание 17. При $\delta \in (0,1]$, $c \geqslant 1$ каждое $(S,c,\delta)$-семейство Уитни является $(S,c',\delta')$-семейством Уитни, а каждое $(S,c,\delta)$-приятное семейство является $(S,c',\delta')$-приятным семейством при всех $\delta' \in [\delta,1]$ и $c' \geqslant c$. Напомним обозначение (2.18) и для заданного шара $B=B_{r}(x)$ положим $k(B):=k(r_{B})$. Кроме того, напомним обозначения, данные в начале § 5. Предложение 22. Пусть $c \geqslant 1$ и $c' \geqslant c+1$. Если замкнутый шар $B=B_{r}(x)$ в $\operatorname{X}$ такой, что $r \in (0,1]$ и $cB \cap S \neq \varnothing$, то Доказательство. Заметим, что существует такой шар $\underline{B} \subset c'B$, что $r_{\underline{B}}= r_{B}$ и центр $\underline{x}$ шара $\underline{B}$ принадлежит $S$. В этом случае имеем $B \subset 2c'\underline{B}$. Кроме того, согласно нашим обозначениям $\epsilon^{k(B)+1} < r_{B} \leqslant \epsilon^{k(B)}$. Следовательно, из (1.7), (1.8) и свойства равномерно локального удвоения меры $\mu$ (мы полагаем $[c]:=\max\{k\in\mathbb{Z}\colon k \leqslant c\}$) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\mu(B)}{\mathfrak{m}_{k(B)}(2cB)} \leqslant \frac{\mu(2c'\underline{B})}{\mathfrak{m}_{k(B)}(\underline{B})} \leqslant \frac{(C_{\mu}(c'))^{[\log_{2}2c']+1}}{\epsilon^{\theta}}\, \frac{C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},3}}{C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},2}}(r_{B})^{\theta}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Предложение доказано. В этом и последующих параграфах нам понадобится функционал Брудного–Шварцмана на “малых масштабах”. Более точно, напомним (1.10) и сформулируем следующее понятие. Определение 18. При $\delta \in (0,1]$ и $c > 1$ введем функционал Брудного–Шварцмана на масштабе $\delta$, действующий из $L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ в $[0,+\infty]$, полагая где супремум взят по всем $(S,c,\delta)$-приятным семействам шаров $\mathcal{B}^{\delta}$. Замечание 18. Помня (1.12) и обозначения, использованные в теоремах 2 и 3, в случае $\delta = 1$ будем писать $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$ вместо $\operatorname{BSN}^{1}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$. Лемма 5. Пусть $\delta \in (0,1]$ и $c \geqslant 1$. Тогда существует константа $C > 0$, зависящая только от $\delta$, $\mathcal{C}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}$, $c$, $\epsilon$, $\theta$ и $C_{\mu}(2c)$, такая, что если $\mathcal{B}_{\delta}$ – произвольное $(S,c)$-приятное семейство шаров, для которого $r_{B} \geqslant \delta$ для всех $B \in \mathcal{B}_{\delta}$, то при каждом $f \in L_{p}(\mathfrak{m}_{0})$ справедливо неравенство Доказательство. Фиксируем $f \in L_{p}(\mathfrak{m}_{0})$ и такое $(S,c)$-приятное семейство $\mathcal{B}_{\delta}$, что $r_{B} \geqslant \delta$ для всех $B \in \mathcal{B}_{\delta}$. Пусть $\underline{k}$ – наибольшее целое $k$, удовлетворяющее неравенству $\epsilon^{k} \geqslant \delta$. Ниже мы будем явно записывать все промежуточные константы для обозначения их зависимости от $\underline{k}$ (а значит, и от $\delta$). В силу предложения 7 получим (мы учитываем, что $N_{\mu}(\epsilon^{k},C) \leqslant N_{\mu}(1,C)$ при любых $k \in \{0,\dots ,\underline{k}\}$ и $C > 0$)
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}(\{2cB\colon B \in \mathcal{B}_{\delta}\}) \leqslant \sum_{k=0}^{\underline{k}}\mathcal{M}(\{2cB\colon B \in \mathcal{B}_{\delta}(k,\epsilon)\}) \leqslant \underline{k}N_{\mu}\biggl(1,\frac{4c}{\epsilon}\biggr).
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Для заданного $k \in \{0,\dots ,\underline{k}\}$ применение предложения 5 при $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_{k}$ дает
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant 2^{p} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{2cB}|f(z)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(z) \quad \text{при всех } \ B \in \mathcal{B}_{\delta}(k,\epsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, применяя предложение 22 при $c' =2c$ и (1.8), получим для любых $k \in \{0,\dots ,\underline{k}\}$ и $B \in \mathcal{B}_{\delta}(k,\epsilon)$ оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mu(B)\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant 2^{p}\frac{C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},3}}{\epsilon^{\underline{k}\theta}}\, \frac{\mu(B)}{\mathfrak{m}_{k}(2cB)}\int_{2cB}|f(z)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(z) \\ &\qquad \leqslant 2^{p}\frac{(C_{\mu}(2c))^{\log_{2}4c+1}}{\epsilon^{(\underline{k}+1)\theta}}\, \frac{(C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},3})^{2}}{C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},2}}(r_{B})^{\theta} \int_{2cB}|f(z)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Заметим, что правая часть (6.6) зависит от $\underline{k}$, но не зависит от $k \in \{0,\dots ,\underline{k}\}$. Следовательно, используя предложение 4 и (6.5), (6.6), получим (напомним, что $\theta \in [0,p)$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{B \in \mathcal{B}_{\delta}} \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,2cB)\bigr)^{p} \\ &\qquad \leqslant \sum_{B \in \mathcal{B}_{\delta}} \frac{2^{p}}{\delta^{p-\theta}}\, \frac{(C_{\mu}(2c))^{\log_{2}4c+1}}{\epsilon^{(\underline{k}+1)\theta}}\, \frac{(C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},3})^{2}}{C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},2}} \int_{2cB}|f(z)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(z) \\ &\qquad\leqslant \underline{k}N_{\mu}\biggl(1,\frac{4c}{\epsilon}\biggr)\frac{2^{p}}{\delta^{p}}\, \frac{(C_{\mu}(2c))^{\log_{2}4c+1}}{\epsilon^{\theta}}\, \frac{(C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},3})^{2}}{C_{\{\mathfrak{m}_{k}\},2}} \int_{S}|f(x)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Естественно спросить, следует ли из конечности $\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$ при малых $\delta > 0$ конечность $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$? К счастью, ответ на этот вопрос утвердительный. Лемма 6. $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$ в том и только том случае, если $\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$ при некотором $\delta \in (0,1]$. Доказательство. Необходимость следует из замечания 17. Для доказательства достаточности разобьем заданное $(S,c)$-приятное семейство $\mathcal{B}$ на два подсемейства. Более точно, положим $\mathcal{B}^{\delta}:=\{B \in \mathcal{B}\colon r_{B} \leqslant \delta\}$ и $\mathcal{B}_{\delta}:=\mathcal{B} \setminus \mathcal{B}^{\delta}$. Теперь утверждение следует из леммы 5. В следующей лемме используется обозначение $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, $x \in \operatorname{X}$. Лемма 7. Пусть функция $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ такая, что $\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$ для некоторых $c > 1$ и $\delta \in (0,1]$. Тогда существуют борелевская функция $\overline{f}\colon S \to \mathbb{R}$ и борелевское множество $\underline{S} \subset S$ такие, что $\mathcal{H}_{\theta}(S \setminus \underline{S})=0$ и Доказательство. Фиксируем $\varepsilon \in (0,(p-\theta)/(2p))$ и разобьем доказательство на несколько шагов.
Шаг 1. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
R(x):=\varlimsup_{r \to 0}\sum_{\epsilon^{k}< r} \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x)), \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Ясно, что при заданном $\delta' \in (0,\delta]$ имеем
$$
\begin{equation}
R^p(x) \leqslant \varlimsup_{r \to 0} \biggl(\sum_{\epsilon^{k}< r} \frac{\epsilon^{k\varepsilon}}{\epsilon^{k\varepsilon}} \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\biggr)^{p} \leqslant \underline{C}\,{\delta'}^{\varepsilon p} \sup_{\epsilon^{k}<\delta'}\frac{1}{\epsilon^{k\varepsilon p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p}.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
При $t > 0$ введем множество $t$-надуровня функции $R$, полагая $E_{t}:=\{x \in S$: $R^p(x) \geqslant t\}$. Наша цель – показать, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_{\theta}(E_{t})=0 \quad \text{при всех } \ t > 0.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Теперь фиксируем произвольные $t > 0$ и $\delta' \in (0,\delta]$. Для каждого $x \in E_{t}$ найдем такое $k_{x} \in \mathbb{N}_{0}$, что
$$
\begin{equation*}
t < \underline{C} \frac{\delta'^{\varepsilon p}} {\epsilon^{k_{x}\varepsilon p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k_{x}}}(f,B_{k_{x}}(x)) \bigr)^{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, семейство шаров $\mathcal{B} := \{B_{k_{x}}(x)\colon x \in E_{t}\}$ является покрытием $E_{t}$. Используя $5B$-лемму Витали о покрытии, найдем дизъюнктное подсемейство $\widetilde{\mathcal{B}} \subset \mathcal{B}$ такое, что $E_{t} \subset \bigcup \{5B\colon B \in \widetilde{\mathcal{B}}\}$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\sum\biggl\{\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{\theta}}\colon B \in \widetilde{\mathcal{B}}\biggr\} \geqslant C\sum\biggl\{\frac{\mu(5B)}{(r_{5B})^{\theta}}\colon B \in \widetilde{\mathcal{B}}\biggr\} \geqslant C\mathcal{H}_{\theta,5\delta'}(E_{t}).
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Заметим, что любое $(S,c,\delta')$-приятное семейство является также и $(S,c,\delta)$-приятным семейством. Кроме того, из теоремы 5 и замечания 3 легко видеть, что $\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,B) \leqslant C \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)$ при всех $B \in \widetilde{\mathcal{B}}$. В итоге получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &t \mathcal{H}_{\theta,5\delta'}(E_{t}) \leqslant C \sum_{B \in \widetilde{\mathcal{B}}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{\theta}}\frac{(\delta')^{\varepsilon p}}{(r_{B})^{\varepsilon p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,B)\bigr)^{p} \\ &\qquad\leqslant C (\delta')^{\varepsilon p}\sum_{B \in \widetilde{\mathcal{B}}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p} \leqslant C (\delta')^{\varepsilon p} \bigl(\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)\bigr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Переходя к пределу при $\delta' \to 0$ и учитывая произвольность выбора $t > 0$, получаем (6.10).
Шаг 2. Фиксируем $\delta' \in (0,\delta]$. Если $l,k \in \mathbb{N}_{0}$ таковы, что $l > k$ и $2^{-k} < \delta$, то из замечания 3 и теоремы 5 легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{l}(x)} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}|f(y)-f(z)|\,d\mathfrak{m}_{l}(y)\,d\mathfrak{m}_{k}(z) \\ &\qquad\leqslant \sum_{i=k}^{l-1} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{i}(x)} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{i+1}(x)}|f(y)-f(z)|\,d\mathfrak{m}_{i}(z) \,d\mathfrak{m}_{i+1}(y) \leqslant C\sum_{i=k}^{l}\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{i}}(f,B_{i}(x)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Рассмотрим множество $\underline{S}:=S \setminus \bigcup_{t > 0}E_{t}$. Поскольку $R(x)=0$ для всех $x \in \underline{S}$, то из (6.8) и (6.13) следует, что если $x \in \underline{S}$, то
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}f(y)\,d\mathfrak{m}_{k}(y)\biggr\}_{k=1}^{\infty}
\end{equation*}
\notag
$$
является последовательностью Коши. Поэтому при каждом $x \in \underline{S}$ существует конечный предел
$$
\begin{equation*}
\overline{f}(x):=\lim_{l \to \infty} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{l}(x)}f(z)\,d\mathfrak{m}_{l}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Применение леммы Фату приводит к требуемой оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varlimsup_{k \to \infty} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}|\overline{f}(x)-f(y)|\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \\ \notag &\qquad \leqslant \varlimsup_{k \to \infty}\varliminf_{l \to \infty} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}\biggl| \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{l}(x)}f(z)\,d\mathfrak{m}_{l}(z)-f(y)\biggr| \,d\mathfrak{m}_{k}(y) \\ \notag &\qquad\leqslant \varlimsup_{k \to \infty}\varliminf_{l \to \infty} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{l}(x)} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}|f(y)-f(z)|\,d\mathfrak{m}_{k}(y)\,d\mathfrak{m}_{k}(z) \\ &\qquad\leqslant \varlimsup_{k \to \infty}\sum_{i=k}^{\infty}\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{i}}(f,B_{i}(x)) \leqslant R(x)=0 \quad \text{при всех } \ x \in \underline{S}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Из (6.10), очевидно, получаем $\mathcal{H}_{\theta}(S \setminus \underline{S}) = 0$.
Лемма 7 доказана. Напомним следующий классический результат (см. [1; замечание 3.3.51]). Предложение 23. Пусть $\mathfrak{m}$ – мера на $\operatorname{X}$. При $p \in [1,\infty)$ для каждого элемента $f \in L_{p}(\mathfrak{m})$ и любого $\varepsilon > 0$ существуют открытое множество $O \subset \operatorname{X}$ и непрерывная функция $f_{\varepsilon}$ такие, что $\mathfrak{m}(O) < \varepsilon$ и $f_{\varepsilon}(x)=f(x)$ для $\mathfrak{m}$-п.в. точек $x \in \operatorname{X} \setminus\, O$. Теперь мы готовы сформулировать основной результат этого параграфа. Напомним определение 14. Теорема 10. Пусть функция $f {\kern1pt}{\in}{\kern0.8pt} L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ такая, что $\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) {\kern1pt}{<}{\kern0.8pt} {+}\infty$ при некотором $c > 1$ и $\delta \in (0,1]$. Тогда Доказательство. Пусть $\overline{f}$ и $\underline{S}$ те же, что и в лемме 7. В силу предложения 20 имеем ${\mathfrak{m}_{0}(S \setminus \underline{S})=\mathcal{H}_{\theta}(S \setminus \underline{S})=0}$. Поэтому для того, чтобы установить (6.15), достаточно показать, что
Применим предложение 23 при $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_{0}$. Это дает при каждом $\varepsilon >0$ существование функции $f_{\varepsilon} \in C(\operatorname{X})$ и открытого множества $O_{\varepsilon} \subset \operatorname{X}$ таких, что $\mathfrak{m}_{0}(O_{\varepsilon}) < \varepsilon$ и $f_{\varepsilon}(x)=f(x)$ для $\mathfrak{m}_{0}$-п.в. точек ${x \in S \setminus O_{\varepsilon}}$. Напомним условия (3.6) и положим $S_{\varepsilon}:=\{x \in S \setminus O_{\varepsilon}\colon f(x)=f_{\varepsilon}(x) \text{ и } \overline{D}^{\{\mathfrak{m}_{k}\}}_{S \setminus O_{\varepsilon}}(x,\epsilon) > 0\}$. Учитывая данные (D.6.3) и (1.9), мы получим для каждой последовательности $\varepsilon_{n} \downarrow 0$, $n \to \infty$, равенство
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{0}\biggl(S \setminus \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_{\varepsilon_{n}}\cap \underline{S} \biggr)=0.
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
Фиксируем достаточно малое число $\varepsilon > 0$ и точку $\underline{x} \in S_{\varepsilon} \cap \underline{S}$. По неравенству Чебышёва для любого фиксированного $\sigma > 0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(\mathfrak{m}_{k}(B_{k}(\underline{x})))^{-1}\mathfrak{m}_{k}(\{y \in B_{k}(x)\colon |f(y)-\overline{f}(\underline{x})| \geqslant \sigma\}) \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{\sigma} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}|f(y)-\overline{f}(\underline{x})|\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \to 0, \qquad k \to \infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Положим $c(\underline{x}):=\overline{D}^{\{\mathfrak{m}_{k}\}}_{S \setminus O_{\varepsilon}}(x,\epsilon)$ для краткости. Следовательно, при $\sigma > 0$ существует достаточно большое число $k=k(\underline{x},\sigma) \in \mathbb{N}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_{k}\biggl(\biggl\{y \in B_{k}(x)\colon |f(y)-\overline{f}(\underline{x})| < \frac{\sigma}{2}, \ |f(y)-f(\underline{x})| < \frac{\sigma}{2}\biggr\}\biggr) \geqslant \frac{c(\underline{x})}{2}\mathfrak{m}_{k}(B_{k}(\underline{x})).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге из неравенства треугольника имеем $|\overline{f}(\underline{x})-f(\underline{x})| < \sigma$. Поскольку при заданном $\underline{x} \in S_{\varepsilon}$ можно выбрать $\sigma > 0$ сколь угодно малым, мы получаем
$$
\begin{equation}
\overline{f}(\underline{x})=f(\underline{x}) \quad \text{при всех } \ \underline{x} \in S_{\varepsilon}\cap \underline{S}.
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Наконец, учитывая, что $\varepsilon > 0$ может быть выбрано сколь угодно малым, и комбинируя (6.17), (6.19), выводим (6.16).
Теорема доказана. § 7. Оператор продолженияНа протяжении всего параграфа будем считать фиксированными следующие данные: (D.7.1) параметр $p \in (1,\infty)$ и м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{p}$; (D.7.2) параметр $\theta \in [0,p)$ и замкнутое множество $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$; (D.7.3) последовательность $\{\mathfrak{m}_{k}\} \,{\in}\, \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$ и параметр $\epsilon=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \,{\in}\, (0,1/10]$. В этом параграфе полагаем $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$ при каждом $k \in \mathbb{Z}$ и всех $x \in \operatorname{X}$. Кроме того, напомним обозначение (2.2) и фиксируем последовательность $\{Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\}:=\{Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\}_{k \in \mathbb{Z}}$. Напомним (2.3) и положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{B}_{k,\alpha}:=B_{2\epsilon^{k}}(z_{k,\alpha}) \quad \text{при каждом } \ k \in \mathbb{Z} \ \text{ для любого } \ \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon).
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
При $k \in \mathbb{Z}$ $k$-я окрестность $S$ и $k$-й слой $S$ соответственно определяются равенствами
$$
\begin{equation}
U_{k}(S):=\{x \in \operatorname{X}\colon \operatorname{dist}(x,S) < 5 \epsilon^{k}\}, \qquad V_{k}(S):=U_{k-1}(S) \setminus U_{k}(S).
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Преимущества таких слоев ясны из следующего элементарного предложения. Предложение 24. Пусть $k,k' \in \mathbb{Z}$ такие, что $|k-k'| \geqslant 2$. Тогда для любого такого шара $B=\widetilde{B}_{k,\alpha}$, что $B \cap V_{k}(S) \neq \varnothing$, и для любого такого шара $B'=\widetilde{B}_{k',\alpha'}$, что $B' \cap V_{k'}(S) \neq \varnothing$, имеем $B \cap B' = \varnothing$. Доказательство. Фиксируем произвольные шары $B$, $B'$, удовлетворяющие нашим предположениям. Если $B \cap B' \neq \varnothing$, то из неравенства треугольника получаем $\operatorname{dist}(V_{k}(S),V_{k'}(S)) \leqslant 4(\epsilon^{k}+\epsilon^{k'})$. С другой стороны, поскольку $\epsilon \leqslant 1/10$, имеем Это противоречие доказывает требуемое утверждение. Полезное свойство нашего пространства $\operatorname{X}$ заключается в следующем простом и известном результате о разбиении единицы (см. [9; лемма 2.4]). Лемма 8. Существует константа $C> 0$, зависящая только от $C_{\mu}(10)$, такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ Теперь установим простой комбинаторный результат, который является фольклором. Тем не менее мы приведем подробное доказательство для полноты картины. Лемма 9. Существует константа $\underline{N} \in \mathbb{N}$, зависящая только от $C_{\mu}(10)$, такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ семейство $\widetilde{\mathcal{B}}_{k}:=\{\widetilde{B}_{k,\alpha}\colon \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\}$ может быть разбито не более чем на $N \leqslant \underline{N}$ дизъюнктных подсемейств $\{\widetilde{\mathcal{B}}^{i}_{k}\}_{i=1}^{N}$. Доказательство. Фиксируем $k \in \mathbb{N}_{0}$ и положим $E(0)=Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$. Через $Z(1)$ обозначим максимальное $5\epsilon^{k}$-разделенное подмножество $Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ и положим $E(1):=Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon) \setminus Z(1)$. Рассуждая по индукции, предположим, что при некотором $i \in \mathbb{N}$ мы уже построили множества $Z(1),\dots ,Z(i)$ и $E(1),\dots ,E(i)$ таким образом, что
$$
\begin{equation*}
E(i')=Z_{k}(\operatorname{X},\epsilon) \setminus \bigcup_{l=1}^{i'}Z(l), \qquad i' \in \{1,\dots ,i\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $Z(i+1)$ – максимальное $5\epsilon^{k}$-разделенное подмножество $E(i)$ и $E(i+1):=E(i) \setminus Z(i+1)$. Положим $\underline{N}:=\lceil N_{\mu}(1,24)\rceil$ (где число $N_{\mu}(R,c)$ то же, что и в предложении 6). Покажем, что $E(i)=\varnothing$ для любого $i > \underline{N}$. В самом деле, предположим, что существует число $i > \underline{N}$ такое, что $E(i) \neq \varnothing$, и фиксируем $\underline{x}(i) \in E(i)$. При $i' \in \{1,\dots ,i\}$ из максимальности $Z(i')$ и очевидного включения $E_{i} \subset E_{i'-1}$ следует, что существует точка $\underline{x}(i') \in Z(i')$ такая, что $\operatorname{d}(\underline{x}(i'),\underline{x}(i)) < 5\epsilon^{k}$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
B_{\epsilon^{k}/4}(\underline{x}(i')) \subset B_{6\epsilon^{k}}(\underline{x}(i)).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, так как $i'$ может быть выбрано произвольно, существует семейство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}:=\{B_{\epsilon^{k}/4}(\underline{x}(i'))\colon i' \in \{1,\dots ,i\}\},
\end{equation*}
\notag
$$
состоящее из попарно не пересекающихся шаров, которые содержатся в шаре $B_{6\epsilon^{k}}(\underline{x}(i))$. При этом $\#\mathcal{F}=i$. Комбинируя это наблюдение с предложением 6, получаем противоречие. Следовательно, Остается заметить, что для каждого $i \in \{1,\dots ,\underline{N}\}$ и любых $z,z' \in Z(i)$ имеем $B_{2\epsilon^{k}}(z) \cap B_{2\epsilon^{k}}(z') = \varnothing$.
Лемма доказана. При $k \in \mathbb{Z}$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}_{k}(S):=\{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)\colon \widetilde{B}_{k,\alpha} \cap U_{k-1}(S) \neq \varnothing\}.
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Замечание 19. Поскольку $\epsilon \in (0,1/10]$, из (7.2) и (7.5) легко видеть, что при каждом $k \in \mathbb{Z}$ и любом $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)$ существует точка $\underline{x} \in S$ такая, что Следующий результат является немедленным следствием (7.2)–(7.5). Теперь, помня о замечании 19, для заданного элемента $f \in L^{\mathrm{loc}}_{1}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ определим при каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$ специальное семейство чисел. Более точно, положим
$$
\begin{equation}
f_{k,\alpha}:= \begin{cases} \displaystyle \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{({3}/{\epsilon})\widetilde{B}_{k,\alpha}}f(x)\,d\mathfrak{m}_{k}(x), &\text{если } \alpha \in \mathcal{A}_{k}(S), \\ 0, &\text{если } \alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon) \setminus \mathcal{A}_{k}(S). \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Следующее простое предложение будет полезно в дальнейшем. Напомним обозначение (1.10). Предложение 26. Существует константа $C > 0$ такая, что для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ и любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ неравенство справедливо при каждом $k' \in \{k,k+1\}$ и любых $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)$, $\beta \in \mathcal{A}_{k'}(S)$, для которых $\widetilde{B}_{k,\alpha} \cap \widetilde{B}_{k',\beta} \neq \varnothing$. Доказательство. Фиксируем $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, числа $k \in \mathbb{N}_{0}$, $k' \in \{k,k+1\}$ и такие индексы $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)$, $\beta \in \mathcal{A}_{k'}(S)$, что $\widetilde{B}_{k,\alpha} \cap \widetilde{B}_{k',\beta} \neq \varnothing$. В силу (7.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{k',\beta} \subset \biggl(\frac{3}{\epsilon}+4\biggr) \widetilde{B}_{k,\alpha} \subset \frac{6}{\epsilon}\widetilde{B}_{k,\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя (7.6), (1.8), теорему 5 и замечание 3, получаем требуемую оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|f_{k,\alpha}-f_{k',\beta}| \leqslant \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{(3/\epsilon)\widetilde{B}_{k,\alpha}} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{(3/\epsilon)\widetilde{B}_{k',\beta}}|f(y)-f(y')|\,d\mathfrak{m}_{k}(y)\, d\mathfrak{m}_{k'}(y') \\ &\leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{(6/\epsilon)\widetilde{B}_{k,\alpha}} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{(6/\epsilon)\widetilde{B}_{k,\alpha}}|f(y)-f(y')| \,d\mathfrak{m}_{k}(y)d\mathfrak{m}_{k}(y') \leqslant C \widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{k,\alpha}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Предложение доказано. Для заданного элемента $f \in L^{\mathrm{loc}}_{1}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ при каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$ положим
$$
\begin{equation}
f_{k}(x):=\sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)} \varphi_{k,\alpha}(x)f_{k,\alpha}=\sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)} \varphi_{k,\alpha}(x)f_{k,\alpha}, \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Имея в нашем распоряжении предложения 25, 26, получим хорошие поточечные оценки локальных констант Липшица функций $f_{k}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$. Напомним определение (2.1). Предложение 27. Существует константа $C > 0$ такая, что для каждого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ и любого $\underline{x} \in U_{k-1}(S)$ неравенство справедливо для всех $\underline{\alpha} \in \mathcal{A}_{k}(S)$, удовлетворяющих условию $\widetilde{B}_{k,\underline{\alpha}} \ni \underline{x}$. Доказательство. Фиксируем $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $\underline{x} \in U_{k-1}(S)$. Фиксируем также произвольный индекс $\underline{\alpha} \in \mathcal{A}_{k}(S)$, для которого $\underline{x} \in \widetilde{B}_{k,\underline{\alpha}}$. Из свойства (3) предложения 1 и (7.4) получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{lip}f_{k}(\underline{x})=\operatorname{lip}\biggl(f_{k}-\sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)}\varphi_{k,\alpha}f_{k,\underline{\alpha}}\biggr) (\underline{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (7.5) следует, что $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$, $\varphi_{k,\alpha}(\underline{x}) \neq 0$ означает $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)$. Поэтому мы используем (7.9) вместе с (7.3) и, наконец, учтем предложения 7 и 26. Это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{lip}f_{k}(\underline{x}) &\leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)}\operatorname{lip}\varphi_{k,\alpha} (\underline{x})|f_{k,\underline{\alpha}}-f_{k,\alpha}| = \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)}\operatorname{lip}\varphi_{k,\alpha}(\underline{x}) |f_{k,\underline{\alpha}}-f_{k,\alpha}| \\ &\leqslant C\sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)}\chi_{\widetilde{B}_{k,\alpha}} (\underline{x})\frac{1}{\epsilon^{k}}|f_{k,\underline{\alpha}}-f_{k,\alpha}| \leqslant \frac{C}{\epsilon^{k}} \widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{k,\underline{\alpha}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Предложение доказано. Предложение 27 приводит к хорошей оценке локальной константы Липшица в $L_{p}$-норме. Напомним, что для заданного борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ и элемента $f \in L_{p}^{\mathrm{loc}}(\operatorname{X})$ мы полагаем $\|f\|_{L_{p}(E)}:=\|f\|_{L_{p}(E,\mu)}$. Лемма 10. Существует константа $C > 0$ такая, что для каждого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ и всякого борелевского множества $E \subset U_{k-1}(S)$ справедливо неравенство Доказательство. В силу предложения 27 для любого шара $\widetilde{B}_{k,\alpha}$ с пересечением $E \cap \widetilde{B}_{k,\alpha} \neq \varnothing$, очевидно, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{E \cap \widetilde{B}_{k,\alpha}} (\operatorname{lip}f_{k}(x))^{p}\,d\mu(x) \leqslant C\frac{\mu(E \cap \widetilde{B}_{k,\alpha})}{\epsilon^{kp}} \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{k,\alpha}\biggr)\biggr)^{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это наблюдение в комбинации с (7.5) дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{E}(\operatorname{lip}f_{k}(x))^{p}\,d\mu(x) &\leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)}\int_{E \cap \widetilde{B}_{k,\alpha}}(\operatorname{lip}f_{k}(x))^{p}\,d\mu(x)\\ &\leqslant C \sum_{E \cap \widetilde{B}_{k,\alpha} \neq \varnothing}\frac{\mu(\widetilde{B}_{k,\alpha})}{\epsilon^{kp}} \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{k,\alpha}\biggr)\biggr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Лемма доказана. Для построения нашего оператора продолжения для каждого элемента $f \in L^{\mathrm{loc}}_{1}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ мы построим некоторую специальную последовательность $\{f^{j}\}_{j \in \mathbb{N}}$. Неформально говоря, график каждой функции $f^{j}$ выглядит как лестница, составленная из элементарных ступенек $\operatorname{St}_{i}[f]$, $i=1,\dots ,j$. Более точно, при $f \in L^{\mathrm{loc}}_{1}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ положим $f_{0}:=0$. Кроме того, рассуждая по индукции, при каждом $i \in \mathbb{N}$ определим элементарную $i$-ю ступень $f$ равенством
$$
\begin{equation}
\operatorname{St}_{i}[f](x):=\sum_{\substack{\alpha \in \mathcal{A}_{i}(S)}}\varphi_{i,\alpha}(x)(f_{i,\alpha}-f_{i-1}(x)), \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Замечание 20. В силу предложения 25 ясно, что $\operatorname{supp}\operatorname{St}_{i}[f] \subset U_{i-2}(S)$ при всех $i \in \mathbb{N}$. Наконец, определим специальную аппроксимирующую последовательность, полагая при каждом $j \in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
f^{j}(x):=\sum_{i=1}^{j}\operatorname{St}_{i}[f](x), \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Предложение 28. Для каждой точки $x \in \operatorname{X} \setminus\, S$ существует такое число $j(x) \in \mathbb{N}$, что $f^{j}(x)=f^{j(x)}(x)$ при всех $j \geqslant j(x)$. Доказательство. Для каждой точки $x \in \operatorname{X} \setminus S$ из замечания 20 и (7.15) имеем $f^{j}(x)=f^{j+1}(x)$ при условии, что $x \in \operatorname{X} \setminus U_{j-1}(S)$. Поскольку $U_{j+1}(S) \subset U_{j}(S)$ для всех $j \in \mathbb{N}$, получаем требуемое утверждение. Теперь мы готовы предъявить наш оператор продолжения. Определение 19. При $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ положим где под $\chi_{S}f$ понимается $\mathfrak{m}_{0}$-класс эквивалентности, а $\chi_{\operatorname{X}\setminus S}\lim_{j \to \infty}f^{j}$ обозначает поточечный предел последовательности $\{f^{j}\}$ на множестве $\operatorname{X}\setminus\, S$. Замечание 21. Пусть $N_{\mathfrak{m}_{0}}$ – линейное пространство всех таких функций $f\colon \operatorname{X} \to \mathbb{R}$, что $f(x)=0$ при $\mathfrak{m}_{0}$-п.в. $x \in S$ и $f(x)=0$ при всех $x \in \operatorname{X} \setminus\, S$. Положим $L_{0}(\mathfrak{m}) \,{\cap}\, \mathfrak{B}(\operatorname{X} \setminus\, S):=\mathfrak{B}(\operatorname{X})\,{/}\,N_{\mathfrak{m}_{0}}$. Тогда в силу предложения 28 формула (7.16) задает отображение $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}\colon L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \to L_{0}(\mathfrak{m}) \cap \mathfrak{B}(\operatorname{X} \setminus\, S)$, которое корректно определено и линейно. Главная причина для введения последовательности $\{f^{j}\}$, таким образом, состоит в наличии замечательных поточечных свойств ступеней $\operatorname{St}_{i}[f]$, $i \in \mathbb{N}$. Более точно, справедлив следующий результат. Предложение 29. Пусть $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$. Пусть $i \in \mathbb{N}$, $\underline{x} \in U_{i-2}(S)$ и $\underline{\alpha} \in \mathcal{A}_{i-1}(S)$ такие, что $\underline{x} \in \widetilde{B}_{i-1,\underline{\alpha}}$. Тогда Доказательство. В силу (7.4) и (7.9) имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\operatorname{St}}_{i}[f](\underline{x}) \leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{i}(S)}\sum_{\alpha' \in \mathcal{A}_{i-1}(\operatorname{X},\epsilon)}\chi_{\widetilde{B}_{i,\alpha}}(\underline{x}) \varphi_{i-1,\alpha'}(\underline{x})|f_{i,\alpha}-f_{i-1,\alpha'}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя неравенство треугольника, имеем $|f_{i,\alpha}-f_{i-1,\alpha'}| \leqslant |f_{i,\alpha}-f_{i-1,\underline{\alpha}}|+|f_{i-1,\underline{\alpha}}-f_{i-1,\alpha'}|$. Следовательно, используя (7.3), предложение 26 и учитывая предложение 7, получим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\operatorname{St}}_{i}[f](\underline{x}) \leqslant \sum_{i'=i-1}^{i}\sum_{\alpha' \in \mathcal{A}_{i'}(\operatorname{X},\epsilon)}\chi_{\widetilde{B}_{i',\alpha'}}(\underline{x})|f_{i',\alpha'}-f_{i-1,\underline{\alpha}}| \leqslant C \widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i-1,\underline{\alpha}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Предложение 29 приводит к полезным оценкам $L_{p}$-норм шагов и их локальных констант Липшица. Лемма 11. Существует такая константа $C > 0$, что при каждом $i \in \mathbb{N}$ справедливы следующие свойства: 1) для любого борелевского множества $E \subset U_{i-2}(S)$ и любой меры $\nu$ на $\operatorname{X}$
$$
\begin{equation*}
\|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(E,\nu)}^{p} \leqslant C \sum_{\substack{\widetilde{B}_{i-1,\alpha} \cap E \neq \varnothing}}\nu(\widetilde{B}_{i-1,\alpha}) \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i-1,\alpha}\biggr)\biggr)^{p};
\end{equation*}
\notag
$$
2) для любого борелевского множества $E \subset U_{i-2}(S)$
$$
\begin{equation*}
\|{\operatorname{lip}(\operatorname{St}_{i}[f])}\|_{L_{p}(E)}^{p} \leqslant C \sum_{\substack{\widetilde{B}_{i-1,\alpha} \cap E \neq \varnothing}}\frac{\mu(\widetilde{B}_{i-1,\alpha})}{\epsilon^{(i-1)p}} \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i-1,\alpha}\biggr)\biggr)^{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Фиксируем $i \in \mathbb{N}$ и борелевское множество $E \subset U_{i-2}(S)$.
Для доказательства утверждения 1) заметим, что из (7.3) имеем $|\operatorname{St}_{i}[f](x)| \leqslant \widetilde{\operatorname{St}}_{i}[f](x)$ при всех $x \in \operatorname{X}$. Следовательно, применение предложения 29 дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(E,\nu)}^{p} &\leqslant \|\widetilde{\operatorname{St}}_{i}[f]\|_{L_{p}(E,\nu)}^{p} \leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{i-1}(S)}\int_{\widetilde{B}_{i-1,\alpha} \cap E} \bigl(\widetilde{\operatorname{St}}_{i}[f](x)\bigr)^{p}\,d\nu(x) \\ &\leqslant C \sum_{\substack{\widetilde{B}_{i-1,\alpha} \cap E \neq \varnothing}}\nu(\widetilde{B}_{i-1,\alpha}) \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i-1,\alpha}\biggr)\biggr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Для доказательства утверждения 2) заметим, что в силу (7.14), предложения 1 и (7.3), (7.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{lip}(\operatorname{St}_{i}[f])(x) &\leqslant \sum_{\substack{\alpha \in \mathcal{A}_{i}(S)}}\operatorname{lip}\varphi_{i,\alpha}(x)|f_{i,\alpha}-f_{i-1}(x)|+ \sum_{\substack{\alpha \in \mathcal{A}_{i}(S)}}\varphi_{i,\alpha}(x)\operatorname{lip}f_{i-1}(x) \\ &\leqslant \frac{C}{\epsilon^{i}}\widetilde{\operatorname{St}}_{i}[f](x)+\operatorname{lip}f_{i-1}(x) \quad \text{при всех } \ x \in \operatorname{X}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, используя лемму 10 при $k=i-1$ и (7.18) при $\nu=\mu$, получим требуемую оценку
$$
\begin{equation}
\|{\operatorname{lip}(\operatorname{St}_{i}[f])}\|_{L_{p}(E)}^{p} \leqslant C \sum_{\substack{\widetilde{B}_{i-1,\alpha} \cap E \neq \varnothing}}\frac{\mu(\widetilde{B}_{i-1,\alpha})}{\epsilon^{(i-1)p}} \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i-1,\alpha}\biggr)\biggr)^{p}.
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Лемма доказана. Ключевое наблюдение содержится в следующей лемме. Лемма 12. Существует такая константа $C > 0$, что для любого $f \in L^{\mathrm{loc}}_{1}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ и любого $j \in \mathbb{N}$ Доказательство. Фиксируем на время $j \in \mathbb{N}$, $j \geqslant 2$ и $i \in \{1,\dots ,j-1\}$. При $\underline{x} \in \widehat{V}_{i}(S)$ из (7.2) и замечания 20 ясно, что $\operatorname{St}_{i'}[f](\underline{x})=0$ при всех $i' \geqslant i+2$. Следовательно, используя (7.15) и предложение 1, получим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{lip}f^{j}(\underline{x}) \leqslant \operatorname{lip}f_{i}(\underline{x})+\operatorname{lip}\operatorname{St}_{i+1}[f](\underline{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя лемму 10 и лемму 11 при $E=\widehat{V}_{i}(S)$, выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|{\operatorname{lip}f^{j}}\|_{L_{p}(\widehat{V}_{i}(S))}^{p} &\leqslant \|{\operatorname{lip}f_{i}}\|_{L_{p}(\widehat{V}_{i}(S))}^{p} + \|{\operatorname{lip}\operatorname{St}_{i+1}[f]}\|_{L_{p}(\widehat{V}_{i}(S))}^{p} \\ &\leqslant C \sum_{\substack{\widetilde{B}_{i,\alpha} \cap \widehat{V}_{i}(S) \neq \varnothing}}\frac{\mu(\widetilde{B}_{i,\alpha})}{\epsilon^{ip}} \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i,\alpha}\biggr)\biggr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
С другой стороны, при $j \in \mathbb{N}$ применение леммы 10 при $E=U_{j-1}(S)$ дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|{\operatorname{lip}f^{j}}\|_{L_{p}(U_{j-1}(S))}^{p} &=\|{\operatorname{lip}f_{j}}\|_{L_{p}(U_{j-1}(S))}^{p} \\ &\leqslant C \sum_{\substack{\widetilde{B}_{j,\alpha} \cap U_{j-1}(S) \neq \varnothing}} \frac{\mu(\widetilde{B}_{j,\alpha})}{\epsilon^{jp}} \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{j}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{j,\alpha}\biggr)\biggr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
Суммируя (7.21) по всем $i \in \{1,\dots ,j-1\}$, а затем учитывая (7.22), приходим к (7.20).
Лемма доказана. Лемма 13. Существует такая константа $C > 0$, что при всех $f \in L^{\mathrm{loc}}_{1}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ Доказательство. Комбинируя первое неравенство в (7.3) с (7.6), (7.9) и используя неравенство Гёльдера, получим
$$
\begin{equation}
|f_{1}(x)|^{p} \leqslant C \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{1}(S)}\chi_{\widetilde{B}_{1,\alpha}}(x) \biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{1,\alpha}}|f(y)|\,d\mathfrak{m}_{1}(y)\biggr)^{p}, \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
Аналогично, принимая во внимание второе неравенство в (7.3), будем иметь
$$
\begin{equation}
(\operatorname{lip}f_{1}(x))^{p} \leqslant C \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{1}(S)}\chi_{\widetilde{B}_{1,\alpha}}(x) \biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{1,\alpha}}|f(y)|\,d\mathfrak{m}_{1}(y)\biggr)^{p}, \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
Комбинируя (7.24) с (7.25) и используя неравенство Гёльдера, получим
$$
\begin{equation}
\|f_{1}\|_{L_{p}(\mu)}^{p}+\|{\operatorname{lip}f_{1}}\|_{L_{p}(\mu)}^{p} \leqslant C \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{1}(S)}\mu(\widetilde{B}_{1,\alpha}) \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{1,\alpha}}|f(y)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{1}(y).
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
Из (7.5) имеем $(6/\epsilon-1) B_{1,\alpha} \cap S \neq \varnothing$ при всех $\alpha \in \mathcal{A}_{1}(S)$. Следовательно, применяя предложение 22 при $c=6/\epsilon-1$, $c' = 6/\epsilon$ и учитывая свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\mu(\widetilde{B}_{1,\alpha})}{\mathfrak{m}_{1}(\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{1,\alpha})} \leqslant C \quad\text{при всех }\ \alpha \in \mathcal{A}_{1}(S).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, используя это наблюдение, предложения 4, 7 и принимая во внимание условие (1.8), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{1}(S)}\mu(\widetilde{B}_{1,\alpha}) \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{1,\alpha}}|f(y)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{1}(y) \\ &\qquad \leqslant C \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{1}(S)} \int_{\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{1,\alpha}}|f(y)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{1}(y) \leqslant C \|f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{1})}^{p} \leqslant C \|f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{0})}^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
Комбинируя (7.26) и (7.27), получаем требуемую оценку.
Лемма доказана. Напомним определения 17 и 18. Напомним также (1.10) и будем использовать обозначение $k(B):=k(r_{B})$. Теперь введем новый полезный функционал. Определение 20. При $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ положим Теперь мы приведем ключевую оценку для локальных констант Липшица функций $f^{j}$, $j \in \mathbb{N}$. Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$, поскольку в противном случае неравенство выполнено тривиальным образом. Разобьем доказательство на несколько шагов.
Шаг 1. Мы утверждаем, что при каждом $j \in \mathbb{N}$, $j \geqslant 2$ существует $(S,c)$-семейство шаров Уитни $\mathcal{B}^{j}_{1}(S)$ такое, что (как обычно, мы полагаем $k(B):=k(r_{B})$ и напомним (1.10))
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{j}_{1}(S)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p} \geqslant \frac{1}{2\underline{N}}\sum_{i=1}^{j-1} \sum_{\substack{\widetilde{B}_{i,\alpha} \cap V_{i}(S) \neq \varnothing}}\frac{\mu(\widetilde{B}_{i,\alpha})}{\epsilon^{ip}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i}}(f,c\widetilde{B}_{i,\alpha})\bigr)^{p},
\end{equation}
\tag{7.30}
$$
где константа $\underline{N}$ та же, что и в лемме 9. Действительно, разобьем сумму в правой части (7.30) на суммы по нечетным и четным $i \in \{1,\dots,j-1\}$ соответственно. Без ограничения общности можем считать, что сумма по нечетным индексам не меньше, чем сумма по четным. Далее, для каждого нечетного $i \in \{1,\dots,j\,{-}\,1\}$ применим лемму 9 и разобьем семейство $\{\widetilde{B}_{i,\alpha}\colon \widetilde{B}_{i,\alpha} \cap V_{i}\}$ на не более чем $\underline{N}$ дизъюнктных подсемейств. При каждом нечетном $i \in \{1,\dots,j\,{-}\,1\}$ выберем подсемейство, которое максимизирует соответствующую сумму, и обозначим его символом $\mathcal{G}_{i}$. В силу предложения 24 имеем $\mathcal{G}_{i} \cap \mathcal{G}_{i'} = \varnothing$, если $i \neq i'$. Наконец, положим $\mathcal{B}^{j}_{1}(S):=\bigcup \{\mathcal{G}_{i}\}$, где объединение взято по всем нечетным $i \in \{1,\dots ,j-1\}$. Это, очевидно, дает (7.30). С другой стороны, ясно, что
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{j}_{1}(S)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p} \leqslant \sup \sum_{B \in \mathcal{B}} \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p},
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
где супремум в (7.31) взят по всем $(S,c)$-семействам Уитни $\mathcal{B}$.
Шаг 2. При $j \in \mathbb{N}$ в силу леммы 9 существует дизъюнктное $(S,c)$-приятное семейство $\mathcal{B}^{j}_{2}(S)$, для которого
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{j}_{2}(S)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p} \geqslant \frac{1}{\underline{N}} \sum_{\substack{\alpha \in \mathcal{A}_{j}(S)}}\frac{\mu(B_{j,\alpha})}{\epsilon^{jp}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{j}}(f,c\widetilde{B}_{j,\alpha})\bigr)^{p}.
\end{equation}
\tag{7.32}
$$
Из определений 17 из 18 получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{j}_{2}(S)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p} \leqslant \operatorname{BSN}^{2\epsilon^{j}}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation}
\tag{7.33}
$$
Шаг 3. Используя лемму 12 и (7.30), (7.32), получим для любого достаточно большого $j \in \mathbb{N}$ (мы также используем оценку $\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,c_{1}B) \leqslant C\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,c_{2}B)$ при $1 \leqslant c_{1} \leqslant c_{2}$, которая следует из замечания 3 и теоремы 5)
$$
\begin{equation*}
\int_{U_{0}(S)}(\operatorname{lip}f^{j}(x))^{p}\,d\mu(x) \leqslant C \sum_{B \in \mathcal{B}^{j}_{1}(S) \cup \mathcal{B}^{j}_{2}(S)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя это неравенство с (7.31), (7.33) и (7.28), выводим
$$
\begin{equation}
\varliminf_{j \to \infty}\|{\operatorname{lip}f^{j}}\|_{L_{p}(U_{0}(S))}^{p} \leqslant C\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation}
\tag{7.34}
$$
Шаг 4. Из замечания 20 и (7.15) следует, что $f_{1}(x)=f^{j}(x)$ при каждом $j \in \mathbb{N}$ для всех $x \in \operatorname{X} \setminus\, U_{0}(S)$. Поэтому, используя лемму 13, получим
$$
\begin{equation}
\varliminf_{j \to \infty}\|{\operatorname{lip}f^{j}}\|_{L_{p}(\operatorname{X} \setminus U_{0}(S))}^{p}= \|{\operatorname{lip}f_{1}}\|_{L_{p}(\operatorname{X} \setminus U_{0}(S))}^{p} \leqslant C \|f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{0})}^{p}.
\end{equation}
\tag{7.35}
$$
Шаг 5. Комбинируя (7.34), (7.35) и учитывая (6.3), (7.28), получаем требуемое неравенство (7.29). Теорема 11 доказана. Конечность $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$ позволяет установить интересные свойства сходимости последовательности $\{f^{j}\}$. Более точно, справедливо следующее утверждение. Теорема 12. Если $\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$ при некоторых $c \geqslant 3/\epsilon$ и $\delta \in (0,1]$, то: (i) $\{f^{j}\}$ сходится $\mathfrak{m}_{0}$-п.в. к $f$ и сходится всюду к $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$ на $\operatorname{X} \setminus\, S$; (ii) $\|f^{j}-\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \to 0$, $j \to \infty$; (iii) для любого $k \in \mathbb{N}$ $\|f^{j}-f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{k})} \to 0$, $j \to \infty$. Доказательство. В силу предложения 28 и определения 19 последовательность $\{f^{j}\}$ сходится всюду на $\operatorname{X} \setminus\, S$ к некоторой функции $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$. Напомним определение 14 и зафиксируем произвольную точку $\underline{x} \in \mathfrak{R}_{\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon}(f)$. Так как $\mathfrak{R}_{\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon}(f) \subset S$, то из (7.9), (7.15) следует, что $f^{j}(\underline{x})=f_{j}(\underline{x})$ при всех $j \in \mathbb{N}$. Поэтому, используя (7.3), (7.6) и теорему 5, для любого $j \geqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|f(\underline{x})-f^{j}(\underline{x})| \leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{j}(S)}\varphi_{j,\alpha}(\underline{x})|f(\underline{x})-f_{j,\alpha}| \\ &\leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{j}(S)}\chi_{\widetilde{B}_{j,\alpha}}(\underline{x}) \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{j,\alpha}}|f(\underline{x})-f(y)|\,d\mathfrak{m}_{j}(y) \leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{j-2}(\underline{x})}|f(\underline{x})-f(y)|\,d\mathfrak{m}_{j}(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.36}
$$
Следовательно, используя (1.8), получим
$$
\begin{equation*}
|f(\underline{x})-f^{j}(\underline{x})| \leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{j-2}(\underline{x})}|f(\underline{x})-f(y)|\,d\mathfrak{m}_{j-2}(y) \to 0, \qquad j \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя это наблюдение с теоремой 10, приходим к утверждению (i).
Теперь докажем утверждение (ii). При $i \geqslant 2$ в силу леммы 9 существует $(S,3/\epsilon,2\epsilon^{i-1}$)-приятное семейство $\mathcal{B}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{\substack{\widetilde{B}_{i-1,\alpha} \cap U_{i-2}(S) \neq \varnothing}}\mu(\widetilde{B}_{i-1,\alpha}) \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i-1,\alpha}\biggr)\biggr)^{p} \\ &\qquad\leqslant C \sum_{\substack{B \in \mathcal{B}}}\mu(B)\biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}B\biggr)\biggr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.37}
$$
При $i \geqslant 2$, используя замечание 20, имеем $\|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} = \|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(U_{i-2}(S))}$. Применим лемму 11 при $\nu=\mu$, $E=U_{i-2}(S)$, используем (7.37) и учтем определение 18 и замечание 17 (мы также используем оценку $\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,c_{1}B) \leqslant C\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,c_{2}B)$ при $1 \leqslant c_{1} \leqslant c_{2}$, которая следует из замечания 3 и теоремы 5). В итоге при $i \geqslant 2$ получаем
$$
\begin{equation*}
\|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \epsilon^{i} \operatorname{BSN}^{2\epsilon^{i-1}}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, используя неравенство треугольника при каждом $l \in \mathbb{N}$, удовлетворяющем оценке $\epsilon^{l-1} \leqslant \delta$ для любого $m > l$, выводим
$$
\begin{equation*}
\|f^{l}-f^{m}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant \sum_{i=l+1}^{m}\|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \epsilon^{l} \operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\|f^{l}-f^{m}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \to 0$, $l,m \to \infty$. Так как пространство $L_{p}(\operatorname{X})$ полно, существует $F \in L_{p}(\operatorname{X})$ такое, что $\|F-f^{j}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \to 0$, $j \to \infty$. Классические рассуждения позволяют установить существование подпоследовательности $\{f^{j_{s}}\}$, сходящейся $\mu$-п.в. к $F$. С другой стороны, мера $\mu$ абсолютно непрерывна относительно меры $\mathfrak{m}_{0}$, а следовательно, в силу уже доказанного утверждения (i) получаем $F=\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$ в смысле $\mu$-почти всюду. Этим утверждение доказано.
Чтобы установить (iii), фиксируем $k \in \mathbb{N}_{0}$. При $i \geqslant 2$ в силу леммы 9 существует $(S,3/\epsilon,2\epsilon^{i-1}$)-приятное семейство $\mathcal{B}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{\substack{\widetilde{B}_{i-1,\alpha} \cap U_{i-2}(S) \neq \varnothing}} \mathfrak{m}_{k}(\widetilde{B}_{i-1,\alpha}) \biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}\widetilde{B}_{i-1,\alpha}\biggr)\biggr)^{p} \\ &\qquad\leqslant C \sum_{\substack{B \in \mathcal{B}}}\mathfrak{m}_{k}(B)\biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}B\biggr)\biggr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.38}
$$
При каждом $i \in \mathbb{N}$, $i \geqslant 2$ применим лемму 11 при $\nu=\mathfrak{m}_{k}$, $E=U_{i-2}(S)$, используем (7.38) и учтем замечание 20. Имеем
$$
\begin{equation*}
\|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{k})}^{p} \leqslant C \sum_{\substack{B \in \mathcal{B}}}\mathfrak{m}_{k}(B)\biggl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{i-1}} \biggl(f,\frac{3}{\epsilon}B\biggr)\biggr)^{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (1.6), определения 18 и замечания 17 при каждом $i > k$ получим (мы также используем оценку $\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,c_{1}B) \leqslant C\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,c_{2}B)$ при $1 \leqslant c_{1} \leqslant c_{2}$, которая следует из замечания 3 и теоремы 5)
$$
\begin{equation*}
\|{\operatorname{St}_{i}[f]}\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{k})}^{p} \leqslant C \epsilon^{(p-\theta) i} \bigl(\operatorname{BSN}^{2\epsilon^{i-1}}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)\bigr)^{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\theta \in [0,p)$, то при заданном $\delta \in (0,1]$ применение неравенства треугольника дает при всех достаточно больших $l \in \mathbb{N}$ и всех $m > l$
$$
\begin{equation*}
\|f^{l}-f^{m}\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{k})} \leqslant \sum_{i=l+1}^{m}\|{\operatorname{St}_{i}(f)}\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{k})} \leqslant C \epsilon^{((p-\theta)l)/p} \operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $L_{p}(\mathfrak{m}_{k})$ полно, то существует функция $h \in L_{p}(\mathfrak{m}_{k})$ такая, что $\|h- f^{j}\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{k})} \to 0$, $j \to \infty$. Поэтому существует подпоследовательность $\{f^{j_{s}}\}$, сходящаяся $\mathfrak{m}_{k}$-п.в. к $h$. Комбинируя этот факт с вышеприведенным утверждением (i) и (1.8), получаем $h=f$ в смысле $\mathfrak{m}_{k}$-п.в. и завершаем доказательство (iii).
Теорема 12 доказана. Хотя условия конечности $\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$ при малых $\delta > 0$ и достаточно для контроля сходимости последовательности $\{f^{j}\}$ в пространстве $L_{p}(\operatorname{X})$, все же для получения подходящей оценки $L_{p}(\operatorname{X})$-нормы предельной функции оно недостаточно сильное. Доказательство. Рассуждения, использованные при доказательстве утверждения (ii) теоремы 12, при любых $m \geqslant 2$ дают оценку
$$
\begin{equation*}
\|f^{m}-f^{1}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, в силу леммы 13 имеем
$$
\begin{equation*}
\|f^{1}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \|f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{0})}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, используя неравенство треугольника и утверждение (ii) теоремы 12, получаем
Теорема доказана. К сожалению, сложно оценить $\|{\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)}\|_{L_{p}(\operatorname{X})}$ сверху посредством $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$ с некоторой константой $C > 0$, не зависящей от $f$. С другой стороны, мы имеем более слабый результат, который, однако, будет достаточен для наших целей. Следствие 1. При $c \geqslant 3/\epsilon$ для каждой функции $f \in L_{p}(\mathfrak{m}_{0})$ существует константа $C_{f} > 0$ такая, что Доказательство. Если $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)=+\infty$, то можно положить $C_{f}=1$. Если $f \in L_{p}(\mathfrak{m}_{0})$ и $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$, то в силу (7.28) существует число $\delta=\delta(f) \in (0,1)$ такое, что $\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$. Следовательно, в силу леммы 6 имеем $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$. Этот факт в комбинации с теоремой 13 доказывает утверждение. Теперь мы готовы доказать ключевой результат данного параграфа. Напомним определение 7. Теорема 14. Если $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$ при некотором $c \geqslant 3/\epsilon$, то $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Кроме того, существует константа $C > 0$ такая, что Доказательство.
Если $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k},c\}}(f)=+\infty$, то неравенство (7.41) очевидно. Если $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)<+\infty$, то в силу теоремы 12 и следствия 1 имеем $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) \in L_{p}(\operatorname{X})$ и $f^{j} \to \operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$, $j \to \infty$, в смысле $L_{p}(\operatorname{X})$. Кроме того, из теоремы 11 получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ch}_{p}(\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)) \leqslant \varliminf_{j \to \infty}\|{\operatorname{lip}f^{j}}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
По определению 7 это означает, что $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ и справедливо (7.41).
Теорема доказана. § 8. Сравнение различных функционалов на пространствах следовЦель данного параграфа – сравнить функционалы $\operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}$, $\operatorname{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}$, $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}$ и $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}$ соответственно. Напомним, что изначально эти функционалы определены на пространстве $L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ и принимают значения в $[0,+\infty]$. На протяжении всего параграфа следующие данные предполагаются фиксированными: (D.8.1) параметр $p \in (1,\infty)$ и м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{p}$; (D.8.2) параметр $\theta \in [0,p)$ и замкнутое множество $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$; (D.8.3) последовательность $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ с параметром $\epsilon=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \in (0,1/10]$. Напомним определения 18, 20. Первый ключевой результат данного параграфа состоит в следующем. Теорема 15. Для любого $c \geqslant 1$ $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) \leqslant 2 \operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$ при всех $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\}).$ Доказательство. В случае $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)=+\infty$ неравенство очевидно. Фиксируем такое $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, что $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$. Поскольку каждое $(S,c)$-семейство Уитни является $(S,c)$-приятным семейством, имеем
$$
\begin{equation*}
\sup\biggl(\sum_{B \in \mathcal{B}} \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB) \bigr)^{p}\biggr)^{1/p} \leqslant \operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f),
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум в правой части взят по всем $(S,c)$-семействам Уитни $\mathcal{B}$. С другой стороны, в силу замечания 17 имеем Комбинируя эти наблюдения, получаем требуемую оценку.
Теорема доказана. Для дальнейшего напомним обозначения, принятые в начале § 5. Кроме того, положим $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$ при всех $k \in \mathbb{Z}$ и всех $x \in \operatorname{X}$. Предложение 30. Пусть $c \geqslant 1$, и пусть $\underline{k} \in \mathbb{N}_{0}$ – наименьшее $k' \in \mathbb{N}_{0}$, удовлетворяющее неравенству $\epsilon^{k'} \leqslant 1/(2c)$. Тогда существует константа $C > 0$, зависящая от $p$, $\theta$, $\underline{k}$, $c$ и $\mathcal{C}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}$, такая, что если $k \geqslant \underline{k}$, $r \in (\epsilon^{k+1},\epsilon^{k}]$, а $B_{r}(y)$ – замкнутый шар, для которого $S \cap B_{cr}(y) \neq \varnothing$ и $B_{r}(x) \subset B_{cr}(y)$ при некотором $x \in S \cap B_{cr}(y)$, то Доказательство. Зафиксируем шар $B_{r}(x) \subset B_{cr}(y)$ с центром $x \in S \cap cB_{r}(y)$. Поскольку ${r}/{\epsilon} \geqslant \epsilon^{k}$, имеем
$$
\begin{equation}
B_{k-\underline{k}}(z) \subset \biggl(2c+\frac{1}{\epsilon^{\underline{k}+1}}\biggr)B_{r}(x), \quad cB_{r}(y) \subset B_{k-\underline{k}}(z) \quad \text{при всех }\ z \in cB_{r}(y).
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Так как $x \in S$, из (8.2) и теоремы 5 получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{z \in B_{cr}(y)}\mathfrak{m}_{k}(B_{k-\underline{k}}(z)) \leqslant \mathfrak{m}_{k}\biggl(\biggl(2c+\frac{1}{\epsilon^{\underline{k}+1}}\biggr)B_{r}(x)\biggr) \leqslant C \mathfrak{m}_{k}(B_{r}(x)) \leqslant C \mathfrak{m}_{k}(cB_{r}(y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу второго включения в (8.2), замечания 3 и (1.8) при каждом $z \in B_{cr}(y)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,cB_{r}(y)) \leqslant \biggl(\frac{1}{\mathfrak{m}_{k}(cB_{r}(y))}\biggr)^{2} \int_{B_{k-\underline{k}}(z)}\int_{B_{k-\underline{k}}(z)}|f(v)-f(w)|\,d\mathfrak{m}_{k} (v)\,d\mathfrak{m}_{k}(w) \\ &\leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k-\underline{k}}(z)} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k-\underline{k}}(z)}|f(v)-f(w)|\, d\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(v)\,d\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(w) \leqslant C \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}}(f,B_{k-\underline{k}}(z)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Поскольку $z \in B_{cr}(y)$ было выбрано произвольно, предложение доказано. Напомним, что в теореме 2 мы определили $\operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) :=\mathcal{C}\mathcal{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)+\|f|L_{p}(\mathfrak{m}_{0})\|$ при $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$. Следующее утверждение является вторым ключевым результатом этого параграфа. Теорема 16. Для любого $c \geqslant 1$ существует такая константа $C > 0$, что Кроме того, для любого $\delta \in (0,1/(4c)]$ существует константа $C > 0$ (зависящая от $\delta$) такая, что Доказательство. Положим $\overline{\delta}:=1/(4c)$. Пусть $\underline{k}$ – наименьшее среди $k \in \mathbb{N}_{0}$, удовлетворяющих неравенству $\epsilon^{k} \leqslant \overline{\delta}$.
Начнем с доказательства второго утверждения. Фиксируем $\delta \in (0,\overline{\delta}]$. Без ограничения общности мы можем предположить, что $f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}} \in L_{p}(U_{(c+1)\delta}(S))$, поскольку в противном случае неравенство (8.5) тривиально. Пусть $\mathcal{B}^{\delta}$ – произвольное $(S,c,\delta)$-приятное семейство замкнутых шаров. Так как $cB \cap S \neq \varnothing$ при всех $B \in \mathcal{B}^{\delta}$, получаем
$$
\begin{equation}
B \subset U_{(c+1)\delta}(S) \quad \text{для всех } \ B \in \mathcal{B}^{\delta}.
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Напомним обозначение (2.15). При $k \geqslant \underline{k}$ и $B \in \mathcal{B}^{\delta}(k,\epsilon)$ применим предложение 30 с константой $2c$ вместо $c$. Отсюда получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB) \leqslant C \inf_{z \in B}\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}}(f,B_{k-\underline{k}}(z)).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C \int_{B}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(y))^{p}\,d\mu(y).
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Комбинируя (8.6), (8.7) и принимая во внимание, что $\mathcal{B}^{\delta}$ является дизъюнктным семейством шаров, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{B \in \mathcal{B}^{\delta}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,2cB)\bigr)^{p} &\leqslant C \sum_{k \geqslant \underline{k}}\sum_{B \in \mathcal{B}^{\delta}(k,\epsilon)} \int_{B}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(y))^{p}\,d\mu(y) \\ &\leqslant C \int_{U_{(c+1)\delta}(S)}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(x))^{p}\,d\mu(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathcal{B}^{\delta}$ было выбрано произвольно, утверждение следует из (6.3).
Чтобы доказать (8.4), разобьем заданное $(S,c)$-приятное семейство замкнутых шаров $\mathcal{B}$ на два подсемейства. Первое семейство $\mathcal{B}^{1}$ состоит из всех шаров с радиусами не менее $\overline{\delta}$, а второе семейство есть $\mathcal{B}^{2}:=\mathcal{B} \setminus \mathcal{B}^{1}$. Применяя лемму 5, получим
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{1}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C \int_{S}|f(y)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(y).
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
С другой стороны, используя только что доказанное неравенство (8.5) и принимая во внимание (1.11), получим
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{2}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C \bigl(\mathcal{C}\mathcal{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)\bigr)^{p}.
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
Остается скомбинировать (8.8), (8.9) и учесть, что $\mathcal{B}$ было выбрано произвольно. Этим доказано первое утверждение.
Теорема 16 доказана. Следующая лемма является важным ингредиентом для сравнения функционалов $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}$ и $\operatorname{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}$. Напомним, что в теореме 2 мы положили
$$
\begin{equation*}
\operatorname{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f) :=\|f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{0})}+\mathcal{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f) \quad\text{при }\ f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 14. Для любого $c \geqslant 1$ и любого $\sigma \in (0,\epsilon^2/(4c))$ существует константа $C > 0$ (зависящая от $\sigma$) такая, что для любого $(S,c)$-семейства Уитни $\mathcal{B}$ Доказательство. Положим $\overline{\sigma}:={\epsilon^{2}}/(4c)$, и пусть $\underline{k}$ – наименьшее среди всех $k \in \mathbb{N}_{0}$, удовлетворяющих неравенству $\epsilon^{k} \leqslant {1}/(4c)$. Поскольку $\mathcal{B}$ является $(S,c)$-семейством Уитни, имеем $cB \cap S \neq \varnothing$ при всех $B \in \mathcal{B}$. Напомним обозначение (2.15). При $k \geqslant \underline{k}$ и $B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)$ легко видеть, что $B \subset B_{(2c+1)r(B)}(x) \subset B_{\epsilon^{k-\underline{k}}}(x)$ при всех $x \in 2cB \cap S$. Если $B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)$ при некотором $k \geqslant \underline{k}$, то
$$
\begin{equation*}
r_{B} \geqslant \frac{\epsilon^{2}}{4c}\epsilon^{k-\underline{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при каждом $k \geqslant \underline{k}$ для любого $\sigma \in (0,\overline{\sigma}]$ имеем
$$
\begin{equation}
2cB \cap S \subset S_{k-\underline{k}}(\sigma) \quad \text{при всех } \ B \in \mathcal{B}(k,\epsilon).
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
При $k \geqslant \underline{k}$ и $B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)$ в силу предложения 30 (примененного при $2c$ вместо $c$) имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB) \leqslant C \inf_{y \in 2cB}\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}}(f,B_{k-\underline{k}}(y)).
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Из (1.7) и (1.8) следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \leqslant C \mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(B) \leqslant C \mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(2cB \cap S).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка в комбинации с (8.12) приводит к
$$
\begin{equation*}
\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C \int_{2cB \cap S} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}}(f,B_{k-\underline{k}}(y))\bigr)^{p}\, d\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, используя (8.11) и учитывая предложения 4 и 7, выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=\underline{k}+1}^{\infty}\,\sum_{B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB)\bigr)^{p} \\ &\qquad \leqslant C \sum_{k=\underline{k}+1}^{\infty}\int_{S_{k-\underline{k}}(\sigma)} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}}(f,B_{k-\underline{k}}(y))\bigr)^{p}\, d\mathfrak{m}_{k-\underline{k}}(y) \leqslant C \bigl(\mathcal{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f)\bigr)^{p} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
С другой стороны, в силу леммы 5, очевидно, имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\underline{k}}\sum_{B \in \mathcal{B}(k,\epsilon)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB))\bigr)^{p} \leqslant C \int_{S}|f(z)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(z).
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Комбинируя (8.13) и (8.14), получаем (8.10).
Лемма доказана. Теперь мы готовы сформулировать и доказать третий ключевой результат данного параграфа. Теорема 17. Для любого $c \geqslant 1$ существует константа $C > 0$ такая, что для любого $\sigma \in (0,{\epsilon^{2}}/({4c}))$ неравенство справедливо для любой функции $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, удовлетворяющей условию $\operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) < +\infty$. Доказательство. Фиксируем $\sigma \in (0,{\epsilon^{2}}/({4c}))$. Если $\operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) < +\infty$, то по теореме 16 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varliminf_{\delta \to 0}\operatorname{BSN}^{\delta}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) &\leqslant C \biggl(\varliminf_{\delta \to 0}\|f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}\|_{L_{p}(U_{(c+1)\delta}(S))} +\|f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{0})}\biggr)\\ &=C \bigl(\|f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}\|_{L_{p}(S)}+\|f\|_{L_{p}(\mathfrak{m}_{0})}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
С другой стороны, в силу леммы 14 получаем
$$
\begin{equation}
\sup \sum_{B \in \mathcal{B}}\frac{\mu(B)}{(r(B))^{p}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C \bigl(\operatorname{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f)\bigr)^{p},
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
где супремум взят по всем $(S,c)$-семействам Уитни $\mathcal{B}$. Собирая оценки (8.16) и (8.17), получаем (8.15).
Теорема доказана. Наконец, четвертый ключевой результат данного параграфа звучит следующим образом. Напомним (1.11), (1.14). Доказательство. Напомним обозначения (1.13) и (2.3). Положим для краткости $S_{k}(\sigma):=S_{\epsilon^{k}}(\sigma)$ и $\mathcal{B}_{k}:=\mathcal{B}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$, $k \in \mathbb{N}_{0}$. Положим, как обычно, $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$ при $k \in \mathbb{N}_{0}$, $x \in \operatorname{X}$. При каждом $k \in \mathbb{N}_{0}$ для любого шара $B \in \mathcal{B}_{k}$, имеющего непустое пересечение с $S_{k}(\sigma)$, фиксируем точку $x_{B} \in B \cap S_{k}(\sigma)$ и шар $B'=B'(B) \subset B_{k}(x_{B}) \setminus S$ с радиусом $r_{B'} \geqslant \sigma \epsilon^{k}$.
Поскольку $\epsilon^{-1} \geqslant 10$, то при $k \in \mathbb{N}$ и $B \in \mathcal{B}_{k}$ для любой точки $z \in B'(B)$ имеем $B_{k-1}(z) \supset 2B_{k}(y)$ и $2B_{k}(y) \supset B$ при всех $y \in B \cap S_{k}(\sigma)$. Следовательно, в силу предложения 30 (примененного при $x=y$, $c=2$ и $\underline{k}=1$)
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2B_{k}(y)) \leqslant C \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-1}}(f,B_{k-1}(z)) \quad \text{при всех } \ y \in B \cap S_{k}(\sigma) \ \text{ и всех } \ z \in B'.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, в силу замечания 3 и теоремы 5 имеем $\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(y)) \leqslant C \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2B_{k}(y))$ с константой $C > 0$, не зависящей от $f$, $k$ и $y$. Эти наблюдения вместе со свойством равномерно локального удвоения меры $\mu$ и (1.6) приводят к
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\epsilon^{k(\theta-p)}\int_{B \cap S_{k}(\sigma)}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(y))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \\ \notag &\qquad\leqslant \epsilon^{k(\theta-p)}\mathfrak{m}_{k}(B) \inf_{z \in \frac{1}{2}B'}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-1}}(f,B_{k-1}(z))\bigr)^{p} \\ &\qquad\leqslant C \mu(B')\inf_{z \in \frac{1}{2}B'}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(z))^{p} \leqslant C \int_{\frac{1}{2}B'}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(z))^{p}\,d\mu(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.19}
$$
При $k \in \mathbb{N}$ ключевое свойство шаров $B'(B)$, $B \in \mathcal{B}_{k}$, состоит в том, что при некотором $\underline{l}=\underline{l}(\sigma) \in \mathbb{N}$ (поскольку $\epsilon \in (0,1/10]$)
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}B'(B) \subset U_{2\epsilon^{k}}(S) \setminus U_{\epsilon^{k+\underline{l}}}(S) \quad \text{для любых таких }\ B \in \mathcal{B}_{k},\text{ что }\ B \cap S_{k}(\sigma) \neq \varnothing.
\end{equation}
\tag{8.20}
$$
Кроме того, поскольку $\frac{1}{2}B'(B) \subset 3B$ при всех $B \in \mathcal{B}_{k}$ и семейство $\{\frac{1}{2}B\colon B \in\mathcal{B}_{k}\}$ дизъюнктно, в силу предложения 7 имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}\biggl(\biggl\{\frac{1}{2}B'(B)\colon B \in \mathcal{B}_{k} \text{ и } B \cap S_{k}(\sigma) \neq \varnothing\biggr\}\biggr) \leqslant C.
\end{equation}
\tag{8.21}
$$
Следовательно, используя (8.19)–(8.21) и предложение 4, при каждом $k \in \mathbb{N}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\epsilon^{k(\theta-p)}\int_{S_{k}(\sigma)} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \\ &\quad\leqslant \epsilon^{k(\theta-p)}\sum_{B \in \mathcal{B}_{k}}\int_{B \cap S_{k}(\sigma)}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \\ &\quad\leqslant C \sum_{\substack{B \in \mathcal{B}_{k}\\ B \cap S_{k}(\sigma) \neq \varnothing}} \int_{\frac{1}{2}B'(B)}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(y))^{p}\,d\mu(y) \leqslant C \int_{U_{k-1}(S)\setminus U_{k+1}(S)}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(y))^{p}\,d\mu(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty}\epsilon^{k(\theta-p)}\int_{S_{k}(\sigma)} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \leqslant C \int_{U_{0}(S)}(f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(y))^{p}\,d\mu(y).
\end{equation}
\tag{8.22}
$$
Комбинируя (8.22) с (1.11) и (1.14), получим (8.18).
Теорема 18 доказана. § 9. Следовые неравенства для потенциалов РиссаЦель данного параграфа – получить неравенства типа Вольфа–Хедберга. Конечно, результаты этого параграфа не удивительны для экспертов. Тем не менее автору не удалось найти точных ссылок на соответствующую литературу. Поэтому мы даем подробное изложение всех результатов. На протяжении всего параграфа будем считать фиксированными следующие данные: (D.9.1) параметр $q \in [1,\infty)$ и м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{q}$; (D.9.2) локально конечная мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$, параметр $\epsilon \in (0,1/10]$ и число $\underline{k} \in \mathbb{Z}$. Имея в нашем распоряжении предложение 10, фиксируем семейство $\{Q_{k,\alpha}\}$ обобщенных двоичных кубов в $\operatorname{X}$ и определим существенную часть $\operatorname{X}$, полагая $\underline{\operatorname{X}}:= \bigcap_{k=\underline{k}}^{\infty}\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)}Q_{k,\alpha}$. Кроме того, для обобщенного куба $Q_{k,\alpha}$ в $\operatorname{X}$ положим
$$
\begin{equation}
\widehat{Q}_{k,\alpha}:=\bigcup\{\operatorname{cl}Q_{k,\alpha'}\colon \operatorname{cl}Q_{k,\alpha'} \cap 5B_{\epsilon^{k}}(z_{k,\alpha}) \neq \varnothing\}.
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Из предложений 7, 10 мы легко получаем следующее утверждение. Из (9.1) и свойств (DQ2), (DQ3) предложения 10 мы получаем следующий результат. Предложение 32. Для любого $k \geqslant \underline{k}$ и любого $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ Для любой точки $x \in \underline{\operatorname{X}}$ и всякого числа $k \geqslant \underline{k}$ существует единственный индекс $\alpha(x) \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$, для которого $x \in Q_{k,\alpha(x)}$. В дальнейшем мы полагаем
$$
\begin{equation}
Q_{k,\alpha}(x):=Q_{k,\alpha(x)}, \qquad \widehat{Q}_{k,\alpha}(x):=\widehat{Q}_{k,\alpha(x)}.
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
Для борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ с мерой $\mu(E) > 0$ положим
$$
\begin{equation}
a_{\mathfrak{m}}(E):=\frac{\mathfrak{m}(E)}{\mu(E)}\operatorname{diam}E.
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
При $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$ усеченный потенциал Рисса меры $\mathfrak{m}$ – это отображение $I^{R}[\mathfrak{m}]$: $\operatorname{X} \to [0,+\infty]$, определяемое равенством
$$
\begin{equation}
I^{R}[\mathfrak{m}](x):=\sum_{\epsilon^{k} \leqslant R}a_{\mathfrak{m}}(B_{\epsilon^{k}}(x)), \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
Введем также усеченный двоичный потенциал Рисса меры $\mathfrak{m}$ по формуле
$$
\begin{equation}
\widehat{I}^{R}[\mathfrak{m}](x):= \begin{cases} \displaystyle \sum_{\epsilon^{k} \leqslant R}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k,\alpha}(x)), & x \in \underline{\operatorname{X}}, \\ 0, & x \in \operatorname{X} \setminus \underline{\operatorname{X}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
При $p \in (1,\infty)$ положим $p':={p}/(p-1)$. Для борелевского множества $E\subset \operatorname{X}$ и параметра $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$ усеченная энергия и двоичная усеченная энергия меры $\mathfrak{m}$ определяются как
$$
\begin{equation}
\mathfrak{E}^{R}_{p}[\mathfrak{m}](E):= \int_{E} \bigl(I^{R}[\mathfrak{m}](x)\bigr)^{p'}\,d\mu(x), \qquad \widehat{\mathfrak{E}}^{R}_{p}[\mathfrak{m}](E):= \int_{E} \bigl(\widehat{I}^{R}[\mathfrak{m}](x)\bigr)^{p'}\,d\mu(x).
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
В силу свойства (DQ4) предложения 10 ясно, что
$$
\begin{equation}
\widehat{Q}_{k,\alpha} \subset 9 B_{\epsilon^{k}}(z_{k,\alpha}).
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
Следовательно, в силу равномерно локального свойства удвоения меры $\mu$ существует константа $C > 0$ такая, что при каждом $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$
$$
\begin{equation}
I^{R}[\mathfrak{m}](x) \leqslant C\widehat{I}^{R}[\mathfrak{m}](x) \quad \text{при всех } \ x \in \underline{\operatorname{X}}.
\end{equation}
\tag{9.8}
$$
Следующее элементарное наблюдение будет полезно при доказательстве теоремы 19 ниже. Предложение 33. Пусть $j \geqslant \underline{k}$ и $\beta \in \mathcal{A}_{j}(\operatorname{X},\epsilon)$. Тогда Доказательство. Действительно, в силу (9.2) имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k'=k}^{j}\, \sum_{\substack{Q_{k',\alpha} \supset Q_{j,\beta}}}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k',\alpha}) = \sum_{k'=k}^{j}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k',\alpha}(x)) \quad \text{при всех } \ x \in Q_{j,\beta}.
\end{equation}
\tag{9.9}
$$
Комбинируя это наблюдение с (9.5), получаем требуемую оценку. Следующие три утверждения будут играть решающую роль в дальнейшем. В действительности соответствующие доказательства основаны на идеях, весьма близких тем, которые использованы в доказательстве предложения 2.2 из [43]. Однако при попытке реализации тех идей в нашем случае стоит выполнить соответствующие модификации ввиду отсутствия евклидовой структуры. Мы приводим подробные доказательства. Лемма 15. Пусть $\mathfrak{m}$ – борелевская мера и $p \in (1,\infty)$. Тогда существует константа $C > 0$ такая, что при любом $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$ неравенство Доказательство. Прежде всего мы утверждаем, что
$$
\begin{equation}
(\widehat{I}^{R}[\mathfrak{m}](x))^{p'} \leqslant p'\sum_{\epsilon^{k} \leqslant R}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k,\alpha}(x)) (\widehat{I}^{\epsilon^{k}}[\mathfrak{m}](x))^{p'-1}, \qquad x \in \underline{\operatorname{X}}.
\end{equation}
\tag{9.11}
$$
Действительно, в случае $\widehat{I}^{R}[\mathfrak{m}](x)=+\infty$ неравенство очевидно. Предположим, что $\widehat{I}^{R}[\mathfrak{m}](x) < +\infty$. Напомним, что для любых $s \geqslant 1$ элементарное неравенство $\beta^{s}-\alpha^{s} \leqslant s(\beta-\alpha)\beta^{s-1}$ справедливо для всех вещественных чисел $0 \leqslant \alpha \leqslant \beta$. Следовательно, если число $k \in \mathbb{Z}$ такое, что $\epsilon^{k} \leqslant R$, то при $x \in \underline{\operatorname{X}}$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\sum_{j \geqslant k}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\alpha}(x))\biggr)^{p'}- \biggl(\sum_{j \geqslant k+1}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\alpha}(x))\biggr)^{p'} \\ &\qquad\leqslant p'(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k,\alpha}(x))) \biggl(\sum_{j \geqslant k}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\alpha}(x))\biggr)^{p'-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, если $\widehat{I}^{R}[\mathfrak{m}](x) < +\infty$, то имеем $\widehat{I}^{\epsilon^{k}}[\mathfrak{m}](x) \to 0$, $k \to \infty$. Поэтому стандартные телескопические аргументы вместе с вышеприведенным неравенством приводят к (9.11). Таким образом, комбинируя (9.5), (9.6), (9.11) и учитывая свойство (DQ5) предложения 10, приходим к требуемой оценке.
Лемма доказана. Теперь мы можем оценить усеченную двоичную энергию в случае $p \geqslant 2$. Лемма 16. Пусть $p \in [2,\infty)$. Тогда существует константа $C > 0$ такая, что для любого $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$ и всякого борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ Доказательство. Фиксируем $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$ и борелевское множество $E \subset \operatorname{X}$. Очевидно, имеем $p' \in (1,2]$, и поэтому $p'-1 \leqslant 1$. Поменяем сумму и интеграл, используем свойства (DQ1), (DQ2), (DQ5) из предложения 10 и учтем (9.3), (9.5), (9.7). В итоге при $k \geqslant \underline{k}$ и $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\mu(Q_{k,\alpha})}\int_{Q_{k,\alpha} \cap E}(\widehat{I}^{\epsilon^{k}}[\mathfrak{m}](x))^{p'-1}\,d\mu(x) \leqslant \biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{Q_{k,\alpha}}\sum_{j \geqslant k} a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x))\,d\mu(x)\biggr)^{p'-1} \\ &\qquad \leqslant 9^{p'-1} \biggl(\frac{1}{\mu(Q_{k,\alpha})}\sum_{j \geqslant k}\epsilon^{j}\sum_{Q_{j,\beta} \subset Q_{k,\alpha}}\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{j,\beta})\biggr)^{p'-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $j \geqslant k$, используя предложения 31 и 32, получаем $\sum_{Q_{j,\beta} \subset Q_{k,\alpha}}\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{j,\beta}) \leqslant C\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{k,\alpha})$. Следовательно, используя вышеприведенное неравенство, свойство (DQ4) из предложения 10 и свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, выводим
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\mu(Q_{k,\alpha})}\int_{Q_{k,\alpha} \cap E}(\widehat{I}^{\epsilon^{k}}[\mathfrak{m}](x))^{p'-1}\,d\mu(x) \leqslant C \biggl(\epsilon^{k}\frac{\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{k,\alpha})}{\mu(Q_{k,\alpha})}\biggr)^{p'-1} \leqslant C (a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k,\alpha}))^{p'-1}.
\end{equation}
\tag{9.13}
$$
Наконец, используя лемму 15 и (9.13), получаем (9.12).
Лемма доказана. Теперь мы готовы установить ключевую оценку. Теорема 19. Пусть $p \in (1,\infty)$. Тогда существует константа $C > 0$ такая, что при любом $k \geqslant \underline{k}$ Доказательство. В случае $p \in [2,\infty)$ утверждение теоремы следует из леммы 16.
Рассмотрим случай $p \in (1,2)$. Фиксируем $k \geqslant \underline{k}$, $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X},\epsilon)$ и рассуждаем по индукции. Более точно, база индукции состоит в том, что (9.12) справедливо для всех $p' \in (1,l]$ при $l=2$. Мы собираемся показать, что (9.12) справедливо при всех $p' > 1$. Предположим, что (9.12) доказано для всех $p' \in (1,l]$ при некотором $l \in \mathbb{N} \cap[2,\infty)$, и покажем, что (9.12) выполнено при всех $p' \in (1,l+1]$. Воспользуемся леммой 15, а затем учтем, что $p'-1 \in (1,l]$. В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) \leqslant p'\sum_{k'=k}^{\infty}\sum_{\substack{Q_{k',\alpha'} \subset Q_{k,\alpha}}}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k',\alpha'})\int_{Q_{k',\alpha'}} (\widehat{I}^{\epsilon^{k'}}[\mathfrak{m}](x))^{p'-1} \,d\mu(x) \\ &\quad\leqslant C \sum_{k'=k}^{\infty}\sum_{\substack{Q_{k',\alpha'} \subset Q_{k,\alpha}}}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k',\alpha'}) \sum_{j=k'}^{\infty} \sum_{Q_{j,\beta} \subset Q_{k',\alpha'}}\epsilon^{j}\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{j,\beta}) (a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}))^{p'-2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя порядок суммирования, будем иметь
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) \leqslant C \sum_{j=k}^{\infty} \sum_{Q_{j,\beta} \subset Q_{k,\alpha}}\epsilon^{j}\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{j,\beta}) (a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}))^{p'-2} \sum_{k'=k}^{j}\sum_{\substack{Q_{k',\alpha'} \supset Q_{j,\beta}}}a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{k',\alpha'}).
\end{equation}
\tag{9.15}
$$
Следовательно, в силу предложения 33, (9.3), (9.7) и свойства равномерно локального удвоения меры $\mu$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) &\leqslant C\sum_{j=k}^{\infty}\sum_{Q_{j,\beta} \subset Q_{k,\alpha}}\int_{Q_{j,\beta}} \frac{\epsilon^{j}\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{j,\beta})}{\mu(Q_{j,\beta})} (a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}))^{p'-2}\widehat{I}^{\epsilon^{k}} [\mathfrak{m}](x)\,d\mu(x) \\ &\leqslant C \int_{Q_{k,\alpha}}\sum_{j=k}^{\infty} \bigl(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x))\bigr)^{p'-1} \bigl(\widehat{I}^{\epsilon^{k}}[\mathfrak{m}](x)\bigr)\,d\mu(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.16}
$$
Применение неравенства Гёльдера для сумм с показателями $q=(p'-1)/(p'-2)$ и $q'=p'-1$ приводит к
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{j=k}^{\infty}\bigl(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x))\bigr)^{p'-1} =\sum_{j=k}^{\infty}\bigl(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x))\bigr)^{1/(p'-1)} \bigl(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x))\bigr)^{p'-2+(p'-2)/(p'-1)} \\ &\qquad \leqslant C\bigl(\widehat{I}^{\epsilon^{k}}[\mathfrak{m}](x)\bigr)^{1/(p'-1)} \biggl(\sum_{j=k}^{\infty}(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x)))^{p'} \biggr)^{(p'-2)/(p'-1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.17}
$$
Теперь подставим (9.17) в (9.16) и применим неравенство Гёльдера для интегралов с показателями $p'-1$ и $(p'-1)/(p'-2)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) \\ &\qquad\leqslant C \bigl(\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha})\bigr)^{1/(p'-1)} \biggl(\int_{Q_{k,\alpha}}\sum_{j=k}^{\infty} \bigl(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x))\bigr)^{p'}\,d\mu(x)\biggr)^{(p'-2)/(p'-1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) < +\infty$, то имеем требуемое неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) &\leqslant C \int_{Q_{k,\alpha}}\sum_{j=k}^{\infty} \bigl(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}(x))\bigr)^{p'}\,d\mu(x) \\ &\leqslant C\sum_{j=k}^{\infty}\sum_{Q_{j,\beta} \subset Q_{k,\alpha}}\epsilon^{j}\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{j,\beta}) (a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta}))^{p'-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.18}
$$
Чтобы убрать предположение $\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) < +\infty$, рассуждаем следующим образом. При $l \in \mathbb{N}$ рассмотрим $l$-ю срезку усеченного потенциала Рисса $\widehat{I}^{\epsilon^{l},\epsilon^{k}}[\mathfrak{m}]$, полученную суммированием (9.5), только по всем $l \leqslant k' \leqslant k$ (заметим, что в этом случае следует использовать индекс $k'$ вместо $k$ в (9.5)). Ясно, что соответствующие срезки усеченных двоичных энергий $\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{l},\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha})$ конечны при всех $l \in \mathbb{N}$. Повторяя с минимальными изменениями вышеприведенные аргументы, получим при каждом фиксированном $l \in \mathbb{N}$ аналог (9.18) с заменой $\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha})$ на $\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{l},\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha})$. Затем переходим к пределу при $l$, стремящемся к бесконечности. Теорема 19 доказана. При $R > 0$ усеченный потенциал Вольфа – это отображение $\mathcal{W}^{R}_{p}[\mathfrak{m}]$: $\operatorname{X} \to [0,+\infty]$, определяемое по формуле
$$
\begin{equation}
\mathcal{W}^{R}_{p}[\mathfrak{m}](x):= \sum_{\epsilon^{k} \leqslant R} \bigl(\epsilon^{kp}\frac{\mathfrak{m}(B_{\epsilon^{k}}(x))}{\mu(B_{\epsilon^{k}}(x))}\bigr)^{p'-1}, \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{9.19}
$$
Теперь мы готовы установить аналог неравенства типа Вольфа–Хедберга. Следствие 2. Существуют такие константы $c_{1},c_{2} > 1$, зависящие только от $\epsilon$, что справедливо следующее. При $p \in (1,\infty)$ существует константа $C > 0$ такая, что для любого $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$ и любого борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$ где $U_{c_{2}R}(E):=\{y \in \operatorname{X}\colon \inf_{x \in E}\operatorname{d}(y,x) < c_{2}R\}$. Доказательство. Фиксируем $R \in (0,\epsilon^{\underline{k}}]$, напомним обозначение (2.18) и положим $k:=k_{\epsilon}(R)$. Из (9.6), (9.8) и свойства (DQ5) предложения 10 следует, что
$$
\begin{equation}
\mathfrak{E}^{R}_{p}[\mathfrak{m}](E) \leqslant C\sum_{Q_{k,\alpha} \cap E \neq \varnothing}\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}).
\end{equation}
\tag{9.21}
$$
Из свойства (DQ4) предложения 10 и (9.7) при любом $j \geqslant k$ ясно, что для любого обобщенного двоичного куба $Q_{j,\beta}$ в $\operatorname{X}$ имеем
$$
\begin{equation*}
B_{\epsilon^j/2}(z_{j,\beta}) \subset \widehat{Q}_{j,\beta} \subset B_{18\epsilon^{j}}(y) \subset B_{27\epsilon^{j}}(z_{j,\beta}) \quad \text{при всех } \ y \in \widehat{Q}_{j,\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, получим
$$
\begin{equation*}
\epsilon^{j}\mathfrak{m}(\widehat{Q}_{j,\beta}) \bigl(a_{\mathfrak{m}}(\widehat{Q}_{j,\beta})\bigr)^{p'-1} \leqslant C\int_{\widehat{Q}_{j,\beta}}\biggl(\epsilon^{jp} \frac{\mathfrak{m}(B_{18\epsilon^{j}}(y))}{\mu(B_{18\epsilon^{j}}(y))} \biggr)^{p'-1}\,d\mathfrak{m}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя эту оценку с теоремой 19, выводим
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathfrak{E}}^{\epsilon^{k}}_{p}[\mathfrak{m}](Q_{k,\alpha}) \leqslant C \int_{\operatorname{X}} \sum_{j=k}^{\infty}\sum_{Q_{j,\beta} \subset Q_{k,\alpha}}\chi_{\widehat{Q}_{j,\beta}}(y) \biggl(\epsilon^{jp}\frac{\mathfrak{m}(B_{18\epsilon^{j}}(y))}{\mu(B_{18\epsilon^{j}}(y))}\biggr)^{p'-1}\,d\mathfrak{m}(y).
\end{equation}
\tag{9.22}
$$
Для любого $j \geqslant k$ положим $k(j):=k_{\epsilon}(18\epsilon^{j})$. В силу свойства равномерно локального удвоения меры $\mu$ легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\epsilon^{j}\frac{\mathfrak{m}(B_{18\epsilon^{j}}(y))}{\mu(B_{18\epsilon^{j}}(y))} \leqslant C \epsilon^{k(j)}\frac{\mathfrak{m}(B_{\epsilon^{k(j)}}(y))}{\mu(B_{\epsilon^{k(j)}}(y))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, полагая $c_{1}=18\epsilon^{k}/R$ и принимая во внимание (9.19) и предложение 31, продолжим (9.22). Это приводит к оценке
Положим $c_{2}=11\epsilon^{k}/R$. Из (9.7) имеем $\widehat{Q}_{k,\alpha} \subset U_{c_{2}R}(E)$ при условии, что $Q_{k,\alpha} \cap E \neq \varnothing$. Следовательно, комбинируя (9.21), (9.23) и предложение 4, получаем (9.20). Следствие доказано. § 10. Доказательства основных результатовВ этом параграфе мы докажем теоремы 2–4. Напомним предложение 13. На протяжении всего параграфа будем считать фиксированными следующие данные: (D.10.1) параметр $p \in (1,\infty)$, м.п.м. $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{p}$ и параметр $q \in (1,p)$ такой, что $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{q}$; (D.10.2) параметр $\theta \in [0,q)$ и множество $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$; (D.10.3) последовательность $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(S)$ и параметр $\epsilon = \epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \in (0,1/10]$. Еще раз напомним обозначения (2.18) и (2.20). Лемма 17. Пусть $\alpha > \theta/p$. Тогда для любого $R > 0$ существует константа $C > 0$ такая, что Доказательство. При $g \in L_{p}(\operatorname{X})$ пусть
$$
\begin{equation*}
\operatorname{X}_{0}(g):=\Bigl\{x \in \operatorname{X}\colon \lim_{\widetilde{R} \to 0}M^{\widetilde{R}}_{p,\alpha}(g)=0\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложения 15 и неравенства Гёльдера $\mathcal{H}_{\alpha p}(\operatorname{X} \setminus \operatorname{X}_{0}(g))=0$. Поскольку $\alpha p > \theta$, то из (2.27) получаем $\mathcal{H}_{\theta}(\operatorname{X} \setminus \operatorname{X}_{0}(g))=0$. В силу предложения 20 имеем $\mathfrak{m}_{0}(\operatorname{X} \setminus \operatorname{X}_{0}(g))=0$. Используя это наблюдение и неравенство Гёльдера, заключаем, что $M^{R}_{q,\alpha}(g)(x) < +\infty$ при всех $x \in \operatorname{X}_{0}(g)$. При $x \in \operatorname{X}_{0}(g)$ фиксируем такое $r_{x} \in (0,R]$, что
$$
\begin{equation*}
(r_{x})^{\alpha}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{r_{x}}(x)}|g(y)|^{q}\,d\mu(y)\biggr)^{1/q} > \frac{1}{2}M^{R}_{q,\alpha}(g)(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\mathcal{G}:=\{B_{r_{x}}(x)\colon x \in \operatorname{X}_{0}(g)\}$. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ положим
$$
\begin{equation*}
E_{k}:=\biggl\{x \in \operatorname{X}_{0}(g)\colon r_{x} \in \biggl(\frac{R}{2^{k+1}},\frac{R}{2^{k}}\biggr]\biggr\}, \qquad \mathcal{G}_{k}:=\{B_{r_{x}}(x)\colon x \in E_{k}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $E_{k} \cap E_{j} = \varnothing$ при $k \neq j$ и $\bigcup_{k \in \mathbb{N}_{0}}E_{k} = \operatorname{X}_{0}(g)$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\int_{\operatorname{X}}(M^{R}_{q,\alpha}(g)(x))^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{E_{k}}(M^{R}_{q,\alpha}(g)(x))^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x).
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
При $k \in \mathbb{N}_{0}$, используя $5B$-лемму Витали о покрытии, найдем дизъюнктное семейство шаров $\widetilde{\mathcal{G}}_{k} \subset \mathcal{G}_{k}$ такое, что $E_{k} \subset \bigcup\{5B\colon B \in \widetilde{\mathcal{G}}_{k}\}$. Используя свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{E_{k}}(M^{R}_{q,\alpha}(g)(x))^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) \\ &\qquad \leqslant 2^{p}\sum_{B \in \widetilde{\mathcal{G}}_{k}}\int_{5B \cap E_{k}}(r_{x})^{\alpha p}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{r_{x}}(x)}|g(y)|^{q}\,d\mu(y)\biggr)^{p/q}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) \\ &\qquad\leqslant C\sum_{B \in \widetilde{\mathcal{G}}_{k}}\mathfrak{m}_{0}(5B)\biggl(\frac{R}{2^{k}}\biggr)^{\alpha p}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{7B}|g(y)|^{q}\,d\mu(y)\biggr)^{p/q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 5 и (1.6) имеем $\mathfrak{m}_{0}(5B) \leqslant C2^{k\theta}\mu(B)$ при всех $B \in \widetilde{\mathcal{G}}_{k}$. Следовательно, используя неравенство Гёльдера и предложения 4 и 7, выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{E_{k}}(M^{R}_{q,\alpha}(g)(x))^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) \leqslant C 2^{k(\theta-\alpha p)}\sum_{B \in \widetilde{\mathcal{G}}_{k}}\mu(5B) \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{7B}|g(y)|^{p}\,d\mu(y) \\ &\qquad\leqslant C 2^{k(\theta-\alpha p)}\sum_{B \in \widetilde{\mathcal{G}}_{k}}\int_{7B}|g(y)|^{p}\,d\mu(y) \leqslant C 2^{k(\theta-\alpha p)}\int_{\operatorname{X}}|g(y)|^{p}\,d\mu(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
Поскольку $\alpha p > \theta$, то комбинация (10.2) и (10.3) приводит к (10.1).
Лемма 17 доказана. Следующий результат играет ключевую роль в нашем анализе. Напомним определение (2.11) и положим на протяжении этого параграфа $F_{G}:=F_{G,\mu}$. Кроме того, как обычно, положим $B_{k}(x):=B_{\epsilon^{k}}(x)$. Теорема 20. Для любых $c \geqslant 1$ и $\widetilde{p} \in (q,p]$ существуют константы $C > 0$, $\widetilde{c} \geqslant c$ такие, что если $B_{k}(x') \subset cB_{k}(x)$ при некоторых $k \in \mathbb{N}_{0}$, $x' \in S$ и $x \in \operatorname{X}$, то неравенство Доказательство. Фиксируем $c \geqslant 1$. Фиксируем также $k \in \mathbb{N}_{0}$, $x' \in S$ и $x \,{\in} \operatorname{X}$ такие, что $B_{k}(x') \,{\subset}\, cB_{k}(x)$. До конца доказательства полагаем $B\,{:=}\,B_{k}(x)$.
Шаг 1. В силу определения 9 при $\mathfrak{m}_{0}$-п.в. $y \in cB \cap S$ имеем
$$
\begin{equation}
|F|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}(y)-F_{cB}| =\lim_{i \to \infty}|F_{B_{i}(y)}-F_{cB}| \leqslant |F_{B_{k}(y)}-F_{cB}|+\sum_{i=k}^{\infty}|F_{B_{i}(y)}-F_{B_{i+1}(y)}|.
\end{equation}
\tag{10.5}
$$
Комбинируя замечание 3 с предложением 16, получим при $\mathfrak{m}_{0}$-п.в. $y \in cB \cap S$
$$
\begin{equation}
\sum_{i=k}^{\infty}|F_{B_{i}(y)}-F_{B_{i+1}(y)}| \leqslant C \sum_{i=k}^{\infty}\epsilon^{i}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\lambda B_{i}(y)}(|\nabla F|_{\ast,p}(v))^{q}\,d\mu(v)\biggr)^{1/q}.
\end{equation}
\tag{10.6}
$$
Напомним определение (2.20). Используя свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, легко видеть, что при каждом $i \geqslant k$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\lambda B_{i}(y)}(|\nabla F|_{\ast,p}(v))^{q}\,d\mu(v)\biggr)^{1/q} \leqslant C \inf_{z \in B_{i}(y)}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{(\lambda+1)B_{i}(z)}(|\nabla F|_{\ast,p}(v))^{q}\,d\mu(v)\biggr)^{1/q} \\ &\qquad\leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{i}(y)}M^{(\lambda+1)\epsilon^{i}}_{q,0}(|\nabla F|_{\ast,p})(z)\,d\mu(z) \quad \text{при всех } \ y \in cB. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.7}
$$
В итоге, используя оценки (10.6), (10.7) и учитывая (2.6), (9.4), получим
$$
\begin{equation}
\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{cB}\sum_{i=k}^{\infty}|F_{B_{i}(y)}-F_{B_{i+1}(y)}|\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \leqslant C \biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{cB}I^{\epsilon^{k}}[M^{(\lambda+1)\epsilon^{k}}_{q,0}(|\nabla F|_{\ast,p})\mu](y)\,d\mathfrak{m}_{k}(y)\biggr).
\end{equation}
\tag{10.8}
$$
С другой стороны, $B_{k}(y) \subset (c+1)B$ при всех $y \in cB$. Поэтому, используя замечание 3, предложение 16 и неравенство Гёльдера, получим
$$
\begin{equation}
|F_{B_{k}(y)}-F_{cB}| \leqslant C \epsilon^{k}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\lambda(c+1)B}(|\nabla F|_{\ast,p}(z))^{\widetilde{p}}\,d\mu(z)\biggr)^{1/{\widetilde{p}}} \quad \text{при всех } \ y \in cB.
\end{equation}
\tag{10.9}
$$
Шаг 2. Используя стандартные аргументы двойственности, заключаем, что для заданной константы $\underline{C} > 0$, параметра $R > 0$ и мер $\nu$, $\sigma$ на $\operatorname{X}$
$$
\begin{equation*}
\|I^{R}[g\nu]\|_{L_{1}(\sigma)} \leqslant \underline{C} \|g\|_{L_{\widetilde{p}}(\nu)} \quad \text{при всех } \ g \in L_{\widetilde{p}}(\nu)
\end{equation*}
\notag
$$
в том и только том случае, если (полагаем, как обычно, $\widetilde{p}':=\widetilde{p}/(\widetilde{p}-1)$)
$$
\begin{equation*}
\|I^{R}[h\sigma]\|_{L_{\widetilde{p}'}(\nu)} \leqslant \underline{C} \|h\|_{L_{\infty}(\sigma)} \quad \text{при всех } \ h \in L_{\infty}(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в (10.8) мы работаем только с частью меры $\mu$, сосредоточенной в $(c+2+\lambda)B$. Положим теперь $\widetilde{c}:=\max\{c+2+\lambda,\lambda(c+1)\}$ и применим вышеприведенные рассуждения двойственности с мерами $\sigma=\mathfrak{m}_{k}\lfloor_{cB}$, $\nu=\mu\lfloor_{\widetilde{c}B}$ при $g=M^{(\lambda+1)\epsilon^{k}}_{q} (|DF|_{p}\chi_{\widetilde{c}B})$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{cB}I^{\epsilon^{k}}[M^{(\lambda+1)\epsilon^{k}}_{q,0}(|\nabla F|_{\ast,p}\chi_{\widetilde{c}B})\mu](y)\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \\ &\qquad\leqslant \underline{C} \biggl(\int_{\widetilde{c}B}(M^{(\lambda+1)\epsilon^{k}}_{q,0}(|\nabla F|_{\ast,p}\chi_{\widetilde{c}B}))^{\widetilde{p}}\,d\mu(y)\biggr)^{{1}/{\widetilde{p}}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.10}
$$
где $\underline{C}:=\bigl(\mathfrak{E}^{\epsilon^{k}}_{\widetilde{p}} [\mathfrak{m}_{k}](\widetilde{c}B)\bigr)^{{1}/{\widetilde{p}'}}$.
Шаг 3. В силу следствия 2 имеем
$$
\begin{equation*}
(\underline{C})^{\widetilde{p}'} \leqslant C \int_{(c_{2}+\widetilde{c})B}\mathcal{W}^{c_{1} \epsilon^{k}}_{\widetilde{p}}[\mathfrak{m}_{k}](y)\, d\mathfrak{m}_{k}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя (9.19), (1.6) и теорему 5, получим
$$
\begin{equation}
(\underline{C})^{\widetilde{p}'} \leqslant C \int_{(c_{2}+\widetilde{c})B}\sum_{\epsilon^{i} \leqslant c_{1}\epsilon^{k}}(\epsilon^{i(\widetilde{p}-\theta)})^{\widetilde{p}'-1}\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \leqslant C \mu(B)\epsilon^{k(\widetilde{p}-\theta){\widetilde{p}'}/{\widetilde{p}}-k\theta}.
\end{equation}
\tag{10.11}
$$
Шаг 4. Так как $B_{k}(x') \subset cB$, имеем $B \subset (c+1)B_{k}(x')$. Поэтому, используя (1.7) и свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$, получим
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\mathfrak{m}_{k}(cB)} \leqslant \frac{1}{\mathfrak{m}_{k}(B_{k}(x'))} \leqslant C \frac{\epsilon^{k\theta}}{\mu(B_{k}(x'))} \leqslant C \frac{\epsilon^{k\theta}}{\mu((c+1)B_{k}(x'))} \leqslant C \frac{\epsilon^{k\theta}}{\mu(B)}.
\end{equation}
\tag{10.12}
$$
Шаг 5. Комбинируя (10.5) вместе с (10.8)–(10.12) и учитывая предложение 12, получаем (10.4). Теорема 20 доказана. Напомним теперь (1.11) и установим следующую мощную оценку. Следствие 3. Существует константа $C > 0$ такая, что и, кроме того, Доказательство. Фиксируем $\widetilde{p} \in (q,p)$ и положим $f:=F|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}$ для краткости. Используя (2.12) и применяя теорему 20 при $c=2$, получаем для каждого шара $B_{k}(x)$ при $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $B_{k}(x) \cap S \neq \varnothing$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2B_{k}(x)) &\leqslant \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{2B_{k}(x)}|f(y)-F_{2B_{k}(x)}|\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \\ &\leqslant C \epsilon^{k} \biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\widetilde{c}B_{k}(x)}(|\nabla F|_{\ast,p})^{\widetilde{p}}\,d\mu(y)\biggr)^{{1}/{\widetilde{p}}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.15}
$$
Из теоремы 5 следует, что $f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(x) \leqslant C\sup_{k \in \mathbb{N}_{0}}\epsilon^{-k}\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2B_{k}(x))$ при всех $x \in \operatorname{X}$. Поэтому, используя (10.15), получаем
$$
\begin{equation*}
f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(x) \leqslant C M^{\widetilde{c}}_{\widetilde{p},0}(|\nabla F|_{\ast,p})(x) \quad \text{при всех } \ x \in \operatorname{X}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге применение предложения 12 приводит к (10.13).
Напомним обозначение (2.3) и фиксируем семейство $\mathcal{B}:=\mathcal{B}_{0}(\operatorname{X},\epsilon)$. В силу неравенства Гёльдера
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{S}|f(x)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) \leqslant C \sum_{\substack{B \in \mathcal{B}\\ B \cap S \neq \varnothing}}\int_{B}|f(x)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) \\ &\qquad\leqslant C \sum_{\substack{B \in \mathcal{B}\\B \cap S \neq \varnothing}}\biggl(\int_{B}|f(x)-F_{2B}|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) +\frac{\mathfrak{m}_{0}(B)}{\mu(2B)}\int_{2B}|F(x)|^{p}\,d\mu(x)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.16}
$$
Для шара $B \in \mathcal{B}$ с пересечением $B \cap S \neq \varnothing$ в силу неравенства треугольника
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{B}|f(x)-F_{2B}|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) \\ &\qquad\leqslant \int_{B}|F_{B_{0}(x)}-F_{2B}|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) +\int_{B}|f(x)-F_{B_{0}(x)}|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.17}
$$
Используя замечание 3, получаем $|F_{B_{0}(x)}-F_{2B}| \leqslant C\mathcal{E}_{\mu}(F,2B)$ при всех $x \in B \cap S$. Следовательно, в силу предложения 16
$$
\begin{equation}
\int_{B}|F_{B_{0}(x)}-F_{2B}|^{p}\,d\mathfrak{m}_{0}(x) \leqslant C\mathfrak{m}_{0}(B) \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{2\lambda B}(|\nabla F|_{\ast,p})^{p}\,d\mu(y).
\end{equation}
\tag{10.18}
$$
По определению 9 при $\delta \in (0,1/2)$ имеем
$$
\begin{equation}
|f(x)-F_{B_{0}(x)}| \leqslant \sum_{i=0}^{\infty}\frac{\epsilon^{i\delta}}{\epsilon^{i\delta}}|F_{B_{i}(x)}-F_{B_{i+1}(x)}| \quad \text{при} \quad \text{$\mathfrak{m}_{0}$-п.в.} \quad x \in S.
\end{equation}
\tag{10.19}
$$
Используя неравенство Гёльдера для сумм, замечание 3, предложение 16 и учитывая (2.20), получим при $\mathfrak{m}_{0}$-п.в. $x \in S$ неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|f(x)-F_{B_{0}(x)}|^{p} \leqslant C\sum_{i=0}^{\infty}\epsilon^{-ip\delta}|F_{B_{i}(x)}-F_{B_{i+1}(x)}|^{p} \\ &\leqslant C \sum_{i=0}^{\infty}\epsilon^{i(p-p\delta)}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\lambda B_{i}(x)}(|\nabla F|_{\ast,p}(y))^{q}\,d\mu(y)\biggr)^{{p}/{q}} \leqslant C \bigl(M^{\lambda}_{q,1-2\delta}(|\nabla F|_{\ast,p})(x)\bigr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.20}
$$
В силу (1.6) имеем $\mathfrak{m}_{0}(B) \leqslant C\mu(B)$ при всех $B \in \mathcal{B}$. Скомбинируем оценки (10.16)–(10.20) и учтем предложения 4 и 7. Наконец, выбрав $\delta > 0$ настолько малым, что $p-2p\delta > \theta$, применим лемму 17 при $\alpha=1-2\delta$. Отсюда выводим (10.14).
Следствие 3 доказано. Следует предупредить читателя, что следующий результат не является следствием теоремы 20. Действительно, на данный момент еще не доказано, что оператор $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}$ является правым обратным для оператора $\operatorname{Tr}|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$. Теорема 21. Предположим, что $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Тогда для любого $c \geqslant 3/\epsilon$ существует константа $C > 0$ такая, что для любой функции $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, удовлетворяющей $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$, для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ и любого шара $B=B_{\epsilon^{k}}(x)$ при $x \in S$ справедливо неравенство в котором $F:=\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$. Доказательство. Фиксируем $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, удовлетворяющее условию $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$. В силу теоремы 14 имеем $F=\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Следовательно, правая часть неравенства (10.21) имеет смысл. Напомним понятие специальной аппроксимирующей последовательности, введенное в (7.15). В силу теоремы 11 существуют константа $C > 0$, не зависящая от $f$, и подпоследовательность $\{f^{j_{s}}\}$ последовательности $\{f^{j}\}$ такие, что при всех достаточно больших $s \in \mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|{\operatorname{lip}f^{j_{s}}}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время в силу теоремы 12 и следствия 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\sup_{j \in \mathbb{N}}\|f^{j}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C_{f}\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению 7 это означает (хотя мы не утверждаем, что $f^{j}$, $j \in \mathbb{N}$, липшицевы, все же эти функции, как нетрудно показать, локально липшицевы, а значит, домножая их на соответствующие срезки, можно легко получить конечность соответствующих $p$-энергий Чигера), что $\operatorname{Ch}_{p}(f^{j_{s}})<+\infty$, и, кроме того, в силу замечания 8 $\||Df^{j_{s}}|_{p}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f)$ при всех достаточно больших $s \in \mathbb{N}$ с константой $C > 0$, не зависящей от $f$ и $s$. Значит, последовательность $\{f^{j_{s}}\}$ ограничена в $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. В силу предложения 17 существует слабо сходящаяся подпоследовательность последовательности $\{f^{j_{s}}\}$. По лемме Мазура существуют возрастающая последовательность $\{N_{l}\}_{l \in \mathbb{N}}$ и последовательность выпуклых комбинаций $\widetilde{f}^{N_{l}}:=\sum_{i=0}^{M_{l}}\lambda_{N_{l}}^{i}f^{N_{l}+i}$ при $\lambda^{i}_{N_{l}} \geqslant 0$ и $\sum_{i=0}^{M_{l}}\lambda^{i}_{N_{l}}=1$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\|F-\widetilde{f}^{N_{l}}\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})} \to 0 \quad\text{при }\ l \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку при фиксированном $l \in \mathbb{N}$ функция $\widetilde{f}^{N_{l}}$ непрерывна, то $\mathfrak{m}_{0}$-след $\widetilde{f}^{N_{l}}$ на $S$ является $\mathfrak{m}_{0}$-классом эквивалентности поточечного ограничения $\widetilde{f}^{N_{l}}$ на $S$. Поэтому по теореме 20 получаем
$$
\begin{equation}
\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B}|\widetilde{f}^{N_{l}}|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}(y) -\widetilde{f}^{N_{l}}_{B}|\,d\mathfrak{m}_{k}(y) \leqslant \epsilon^{k}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B}(|\nabla \widetilde{f}^{N_{l}}|_{\ast,p}(y))^{p}\,d\mu(y)\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{10.22}
$$
По теореме 12 последовательность $\{f^{j}\}$ сходится и в $L_{p}(\operatorname{X})$, и в $L_{p}(\mathfrak{m}_{k})$ к $F$ и $f$ соответственно. Ясно, что то же верно и для последовательности $\{\widetilde{f}^{N_{l}}\}$. В результате, переходя к пределу в (10.22), получаем требуемую оценку.
Теорема доказана. Теперь мы готовы показать, что наш оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}$ является правым обратным для $\mathfrak{m}_{0}$-оператора следа $\operatorname{Tr}|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}$. Напомним определение 14. Следствие 4. Предположим, что $\{\mathfrak{m}_{k}\}\,{\in}\, \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Если $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) \,{<}\, {+}\infty$ при некотором $c \geqslant 3/\epsilon$, то В частности, $\operatorname{Tr}|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}} \circ \operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)=f$. Доказательство. Положим $F:=\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$. Ясно, что при $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $x \in S$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}|f(x)-F(y)|\,d\mu(y) \leqslant \biggl|f(x)- \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}f(y)\,d\mathfrak{m}_{k}(y)\biggr| \\ &\qquad + \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}|f(y)-F(y)|\,d\mathfrak{m}_{k}(y)\,d\mu(y) =:\sum_{i=1}^{2}R_{k}^{i}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.24}
$$
По определению 14 имеем $\lim_{k \to \infty}R_{k}^{1}(x)=0$ при всех $x \in \mathcal{R}_{\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon}(f)$. С другой стороны, комбинируя замечание 3, предложение 15 и теорему 21, получаем
$$
\begin{equation}
(R_{k}^{2}(x))^{p} \leqslant C \epsilon^{kp} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B_{k}(x)}(|\nabla F|_{\ast,p}(y))^{p}\,d\mu(y) \to 0, \quad k \to \infty, \quad \text{при } \ \mathcal{H}_{p}\text{-п.в. } x \in S.
\end{equation}
\tag{10.25}
$$
Комбинируя (10.24) и (10.25), выводим (10.23). Наконец, чтобы доказать второе утверждение, достаточно воспользоваться теоремой 10, предложением 20 и учесть, что неравенство $p > \theta$ означает абсолютную непрерывность $\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}$ относительно $\mathcal{H}_{p}\lfloor_{S}$.
Следствие доказано. Напомним понятие $p$-точного представителя, введенное в п. 2.3. Предложение 34. При $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ пусть $\overline{F}$ – произвольный $p$-точный представитель $F$. Тогда $C_{p}(S\setminus \mathcal{R}_{\{\mathfrak{m}_{k}\},\epsilon}(\overline{F}))=0$. Доказательство. Следует повторить почти дословно доказательство леммы 4.3 из [21], используя (в соответствующих местах) предложения 18, 15 и теорему 20 настоящей работы вместо предложений 2.4, 3.1 и теоремы 3.1 из [21]. Доказательство теорем 2–4. Фиксируем $c \geqslant 3/\epsilon$, $\sigma \in (0,\epsilon^{2}/(4c))$ и разобьем доказательство на насколько шагов.
Шаг 1. Напомним определение 20 и фиксируем элемент $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, для которого $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$. В силу теоремы 14 имеем $F:=\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) \in W^{1}_{p}(\operatorname{X})$. Из следствия 4 заключаем, что $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}$ и $f=\operatorname{Tr}|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}(F)$. Следовательно, в силу следствия 3 имеем $\operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) < +\infty$. По теореме 16 это означает, что $\operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) < +\infty$ при всех $c \geqslant 1$. Комбинируя эти наблюдения с теоремой 15, получаем эквивалентность (i), (ii) и (iii) в теореме 2. Применение теорем 17 и 18 позволяет установить эквивалентность (i)–(iv) в теореме 2. Шаг 2. Из теорем 13–16 имеем (мы полагаем $F=\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$)
$$
\begin{equation}
\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}} \leqslant \|F\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})} \leqslant C \operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) \leqslant C \operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f).
\end{equation}
\tag{10.26}
$$
В силу замечания 8, теоремы 14 и следствия 3 получаем
$$
\begin{equation}
C^{-1}\mathcal{C}\mathcal{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f) \leqslant \||\nabla F|_{\ast,p}\|_{L_{p}(\operatorname{X})} \leqslant C \operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f).
\end{equation}
\tag{10.27}
$$
Из (10.26), (10.27) и теоремы 15 имеем $\operatorname{N}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) \approx \operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f) \approx \operatorname{CN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\}}(f)$. Наконец, комбинируя этот факт с (10.26) и теоремами 17 и 18, получаем (1.15). Таким образом, мы завершаем доказательство теоремы 2 и, кроме того, доказываем утверждение (1) теоремы 4.
Шаг 3. Докажем теперь первое утверждение в теореме 3. Если $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$, то из определений 8 и 9 ясно, что $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}(f) \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$. Следовательно, условие (A) в теореме 3 выполнено. Кроме того, в силу предложения 34 выполнено условие (B) в теореме 3. Наоборот, предположим, что функция $f \in \mathfrak{B}(S)$ такая, что выполнены условия (A), (B) в теореме 3. Заметим, что соответствующие утверждения из § 7, § 8 и § 10, а также теорема 2 и утверждение (1) теоремы 4 останутся в силе, если заменить в них требование $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(\operatorname{X})$ на требование $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(\operatorname{X})$ вкупе с условием (B) теоремы 3. Из теоремы 2, определения 14 и следствия 4 получаем, что $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$. Шаг 4. Из определений 8 и 9 ясно, что $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}\colon W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S} \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$ является непрерывным вложением. В силу теоремы 2, определения 14, следствия 4 и предложения 34 следует, что для любого $[f] \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$ существует представитель $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$. Следовательно, $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}$ – сюръекция. Покажем теперь, что отображение $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}$ инъективно на $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$. Предположим, что при $f \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ имеем $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}(f)(x)=0$ при $\mathfrak{m}_{0}$-п.в. $x \in \operatorname{X}$. Следовательно, из (B) теоремы 3 следует, что $f(x)=0$ всюду на $S$, исключая множество $p$-емкости нуль, т.е. $f=0$ в смысле $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$. В итоге из определений 8 и 9 следует, что $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}$ является изометрическим изоморфизмом. Этим доказано (3) в теореме 4. Шаг 5. Положим $\overline{\operatorname{Ext}}_{S}:=\overline{\operatorname{Ext}}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\},p}:= \operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}\circ\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}$. Это дает корректно определенный линейный оператор $\overline{\operatorname{Ext}}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\},p}\colon W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S} \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Кроме того, в силу следствия 4 и предложения 34 получаем, что $\operatorname{Tr}|_{S}=(\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}})^{-1} \circ \operatorname{Tr}|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$, а диаграмма в теореме 4 коммутативна. Поскольку $\operatorname{I}_{\mathfrak{m}_{0}}\colon W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S} \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$ – изометрический изоморфизм, имеем равенство $\|\overline{\operatorname{Ext}}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\},p}\| \,{=}\, \|{\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}}}\|$. Комбинируя этот факт с (1.15), получаем (1.17) и завершаем доказательство теорем 3, 4. § 11. ПримерыВ этом параграфе мы покажем, что многие доступные в литературе результаты, связанные с проблемами 1 и 2, являются частными случаями теорем 2–4 настоящей работы. Кроме того, мы приведем модельный пример 8, который не охватывается известными ранее исследованиями. В некоторых примерах мы дадим лишь наброски доказательств, оставляя стандартную проверку читателю. Пример 5. Заметим, что в частном случае $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2},\mathcal{L}^{n})$ в силу теоремы 3 и утверждения (2) теоремы 4 мы получаем уточнение основных результатов из [21]. Действительно, в отличие от теоремы 3, критерий, сформулированный в теореме 2.1 статьи [21], базировался на более сложной норме типа Бесова. Кроме того, характеризации в терминах функционалов типа Брудного–Шварцмана не рассматривались в [21]. Для последующих примеров напомним обозначение (1.13) и определение 6. Пример 6. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Дополнительно предположим, что м.п.м. $\operatorname{X}$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q > 0$. Пусть $\theta \in (0,\min\{p,Q\})$ и $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Так как $\theta > 0$, имеем $\mu(S) = 0$. По теореме 5.3 из [37] существует число $\sigma > 0$ такое, что для любого $\epsilon \in (0,1]$ имеем $S_{\epsilon^{k}}(\sigma)=S$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$, т.е. множество $S$ пористое. Положим $\mathfrak{m}_{k}=\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}$ при всех $k \in \mathbb{N}_{0}$. В соответствии с примером 3 имеем $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. Таким образом, используя эквивалентность между (i) и (iv) в теореме 2 и утверждение (1) теоремы 4, получаем следующий критерий, полученный Э. Саксманом и T. Сото (см. [17; теоремы 1.5 и 1.7]). Функция $f \in L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S})$ принадлежит пространству $W^{1}_{p}(\operatorname{X})|^{\mathcal{H}_{\theta}}_{S}$ в том и только том случае, если полунорма Бесова функции $f$ конечна, т.е. Кроме того, с константами эквивалентности, не зависящими от $f$. Более того, существует $\mathcal{H}_{\theta}$-оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S} \in \mathcal{L}(W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}^{\mathcal{H}_{\theta}}, W_{p}^{1}(\operatorname{X}))$.Пример 7. Пусть $p \in (1,\infty)$, $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{p}$ и $S \in \mathcal{ADR}_{0}(\operatorname{X})$. Напомним пример 3 и заметим, что, полагая $\mathfrak{m}_{k}=\mu\lfloor_{S}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, получим $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{0}(S)$. Напомним комбинаторный результат, который является небольшой модификацией теоремы 2.6 в [18]. Предложение 35. Пусть $\mathcal{B}$ – $(S,c)$-семейство Уитни. Тогда существуют константы $c_{1},c_{2} > 0$, $\tau \in (0,1)$ и семейство $\mathcal{U}:=\{U(B)\colon B \in \mathcal{B}\}$ борелевских подмножеств $S$ такие, что $U(B) \subset c_{1}B$ и $\mu(U(B)) \geqslant \tau \mu(B)$ при всех $B \in \mathcal{B}$, $\mathcal{M}(\{U(B)\colon B \in \mathcal{B}\}) \leqslant c_{2}$. Основываясь на предложении 35, можно повторить с несущественными изменениями рассуждения, использованные в примере 6.1 работы [21], и вывести для любого $\sigma \in (0,1)$ существование такой константы $C > 0$, что при любом $f \in L^{\mathrm{loc}}_{1}(\mu\lfloor_{S})$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty} 2^{k(p-\theta)}\int_{S_{k}(\sigma)}\bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S}} (f,B_{2^{-k}}(x))\bigr)^{p}\,d\mu\lfloor_{S}(x) \leqslant C (\|f\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{S})}+\|f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S}}\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{S})}).
\end{equation}
\tag{11.1}
$$
Следовательно, используя эквивалентность между (i) и (iv) в теореме 2 и утверждение (1) теоремы 4, приходим к критерию Шварцмана из [18]. Функция $f \in L_{p}(\mu\lfloor_{S})$ принадлежит пространству $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mu}_{S}$ в том и только том случае, если $f^{\sharp}_{S,\mu} \in L_{p}(\mu\lfloor_{S})$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mu}_{S}} \approx \|f\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{S})}+\|f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S}}\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{S})},
\end{equation*}
\notag
$$
а соответствующие константы эквивалентности не зависят от $f$. Более того, существует $\mu$-оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S} \in \mathcal{L}(W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mu}_{S}, W_{p}^{1}(\operatorname{X}))$. Теперь мы приведем модельный пример, который проясняет интересные эффекты, возникающие в случае, когда мы описываем след на множестве, состоящем из кусков разных размерностей. Пример 8. Пусть $p \in (1,\infty)$ и $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu) \in \mathfrak{A}_{p}$. Предположим, что $\operatorname{X}$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q > 1$. Пусть $\underline{B}=B_{R}(x)$ – замкнутый шар радиуса $R > 0$ с центром в $x \in \operatorname{X}$ и $\gamma\colon [0,1] \to \operatorname{X}$ – спрямляемая кривая такая, что $\Gamma:=\gamma([0,1]) \in \mathcal{ADR}_{Q-1}(\operatorname{X})$, $\Gamma \cap \underline{B} = \{\underline{x}\}$ для некоторой точки $\underline{x} \in \partial \underline{B}$ и, кроме того, при некотором $\kappa > 0$ $\operatorname{dist}(\gamma(t),\underline{B}) \geqslant \kappa l(\gamma([0,t]))$ при всех $t \in [0,1]$. Положим $S:=\underline{B} \cup \Gamma$ и напомним пример 4. Для каждого $k \in \mathbb{N}_{0}$ положим $\mathfrak{m}_{k}:=2^{k(Q-1)}\mu\lfloor_{\underline{B}}\,{+}\,\mathcal{H}_{Q-1}\lfloor_{\Gamma}$. Следовательно, получаем $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{Q-1}(S)$. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ введем $k$-й склеивающий функционал, полагая при каждом $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$
$$
\begin{equation}
\operatorname{gl}_{k}(f,\underline{x}):= \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\underline{B} \cap B_{k}(\underline{x})} \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\Gamma \cap B_{k}(\underline{x})}|f(y)-f(z)|\,d\mu(y)\,d\mathcal{H}_{Q-1}(z).
\end{equation}
\tag{11.2}
$$
Положим $\underline{k}:=\min\{k \in \mathbb{N}\colon 2^{k} > {1}/{\kappa}\}$ и $\alpha:=1-(Q-1)/{p}$. Используя замечание 3 и полагая $B_{k}(x):=B_{2^{-k}}(x)$, $S_{k}(\sigma):=S_{2^{-k}}(\sigma)$, легко видеть, что при $\sigma \in (0,1)$
$$
\begin{equation}
\biggl(\sum_{k=1}^{\underline{k}+1} 2^{k\alpha p}\int_{S_{k}(\sigma)}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p} \,d\mathfrak{m}_{k}(x)\biggr)^{1/p}\leqslant C \bigl(\|f\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}})}+ \|f\|_{L_{p}(\mathcal{H}_{Q-1}\lfloor_{\Gamma})}\bigr).
\end{equation}
\tag{11.3}
$$
Используя рассуждения из примеров 6 и 7 и учитывая, что при каждом $k > \underline{k}$ имеем $S \cap B_{k}(x) = \underline{B} \cap B_{k}(x)$ при всех $x \in \underline{B} \setminus B_{k-\underline{k}}(\underline{x})$ и $S \cap B_{k}(x) = \Gamma \cap B_{k}(x)$ при всех $x \in \Gamma \setminus B_{k-\underline{k}}(\underline{x})$, можно показать, что для заданного достаточно малого $\sigma \in (0,1)$ (зависящего от $\Gamma$)
$$
\begin{equation}
\sum_{k=\underline{k}+2}^{\infty} 2^{k\alpha p}\int_{S_{k}(\sigma) \setminus B_{k-\underline{k}}(\underline{x})} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \leqslant C \bigl(\|f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{\underline{B}}}\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}})}^{p}+ \|f\|_{B^{\alpha}_{p,p}(\Gamma)}^{p}\bigr).
\end{equation}
\tag{11.4}
$$
Поскольку $1/\epsilon \geqslant 10$, то при $x \in S_{k}(\sigma) \cap B_{k-\underline{k}}(\underline{x})$ и $k > \underline{k}$ имеем $B_{k}(x) \subset B_{k-\underline{k}-1}(\underline{x})$ и $B_{k-\underline{k}-1}(\underline{x}) \subset B_{k-\underline{k}-2}(x)$. В силу замечания 3 и теоремы 5 имеем оценку $\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x)) \leqslant C\operatorname{gl}_{k-\underline{k}-1}(f,\underline{x})$. Кроме того, легко видеть, что справедливо неравенство $\mathfrak{m}_{k}(B_{k-\underline{k}}(\underline{x})) \leqslant C2^{-k}$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\int_{S_{k}(\sigma) \cap B_{k-\underline{k}}(\underline{x})} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \leqslant C 2^{-k}\bigl(\operatorname{gl}_{k-\underline{k}-1}(f,\underline{x})\bigr)^{p}.
\end{equation}
\tag{11.5}
$$
С другой стороны, при $x \in S_{k}(\sigma) \cap B_{k-\underline{k}}(\underline{x})$ и $k > \underline{k}+1$ имеем $B_{k-\underline{k}}(\underline{x}) \subset B_{k-\underline{k}-1}(x)$ и $B_{k-\underline{k}-1}(x) \subset B_{k-\underline{k}-2}(\underline{x})$. Следовательно, в силу теоремы 5 и замечания 3 легко видеть, что $\operatorname{gl}_{k-\underline{k}-1}(f,\underline{x}) \leqslant C\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k-\underline{k}-2}(x))$. Если $\sigma \in (0,1)$ достаточно мало, то можно показать, что $\mathfrak{m}_{k}(S_{k}(\sigma) \cap B_{k}(\underline{x})) \approx 2^{-k}$. В итоге
$$
\begin{equation}
\bigl(\operatorname{gl}_{k-\underline{k}}(f,\underline{x})\bigr)^{p} \leqslant C 2^{k}\int_{S_{k}(\sigma) \cap B_{k}(\underline{x})} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k-\underline{k}-1}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x).
\end{equation}
\tag{11.6}
$$
В то же время из примеров 6, 7 следует существование константы $C > 0$ такой, что при всех $F \in W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, удовлетворяющих $f=F|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}$,
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}})}+ \|f\|_{L_{p}(\mathcal{H}_{Q-1}\lfloor_{\Gamma})}+\|f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{\underline{B}}}\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}})}+ \|f\|_{B^{\alpha}_{p,p}(\Gamma)} \leqslant C \|F\|_{W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})}.
\end{equation}
\tag{11.7}
$$
Наконец, собирая оценки (11.3)–(11.7), легко вывести из теоремы 2 и утверждения (1) теоремы 4 следующий результат. Функция $f \in L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}}) \cap L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{\Gamma})$ принадлежит $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}$ в том и только том случае, если $f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{\underline{B}}} \in L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}})$, $f \in B^{1-(Q-1)/{p}}_{p,p}(\Gamma)$ и
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{GL}(f,\underline{x}))^{p}:=\sum_{k=1}^{\infty} 2^{k(p-Q)}(\operatorname{gl}_{k}(f,\underline{x}))^{p} < +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}} &\approx \|f\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}})}+\|f\|_{L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{\Gamma})} \\ &\qquad +\|f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{\underline{B}}}\|_{L_{p}(\mu\lfloor_{\underline{B}})}+ \|f\|_{B^{1-(Q-1)/{p}}_{p,p}(\Gamma)}+\mathcal{GL}(f,\underline{x}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.8}
$$
Константы эквивалентности не зависят от $f$. Более того, существует $\mathfrak{m}_{0}$-оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S,\{\mathfrak{m}_{k}\}} \in \mathcal{L}(W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}_{0}}_{S}, W_{p}^{1}(\operatorname{X}))$. В следующем примере содержится естественное обобщение теоремы 1.2 из [19]. Пример 9. Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – геодезическое метрическое пространство с мерой. Предположим, что $\operatorname{X}$ является $Q$-регулярным по Альфорсу при некотором $Q \geqslant 1$. Кроме того, предположим, что $p \in (Q,\infty)$ и $\operatorname{X} \in \mathfrak{A}_{p}$. Зафиксируем также параметр $\theta \in [Q,p)$ и непустое замкнутое множество $S \subset \operatorname{X}$. Для простоты предположим, что $S \subset B_{1}(\underline{x})$ при некотором $\underline{x} \in \operatorname{X}$. Согласно примеру 2 имеем $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Комбинируя результаты работы [3] с теоремой 9.1.15 из [1], получаем, что для любого $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ существует непрерывный представитель $\overline{F}$ такой, что для любого замкнутого шара $B$
$$
\begin{equation}
\sup_{x \in B}|\overline{F}(x)-F_{B}| \leqslant C r_{B}\biggl(\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{B}(|\nabla F|_{\ast,p}(y))^{p}\,d\mu(y)\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{11.9}
$$
Кроме того, ясно, что при $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ $p$-точный след $F|_{S}$ корректно определен и совпадает с поточечным ограничением $\overline{F}$ на $S$. В силу замечания 3 легко видеть, что если шар $B_{r}(x)$ с радиусом $r \in (0,1]$ и центром $x \in \operatorname{X}$ такой, что $B_{cr}(x) \cap S \neq \varnothing$ при некотором $c \geqslant 1$, то для любой последовательности $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k(r)}}(f,B_{2cr}(x)) \leqslant \sup_{y,z \in B_{2cr}(x) \cap S}|f(y)-f(z)| \quad \text{при всех } \ f \in C(S).
\end{equation}
\tag{11.10}
$$
Определим модифицированный функционал типа Брудного–Шварцмана на $C(S)$ (со значениями в $[0,+\infty]$) следующим образом. Для функции $f \in C(\operatorname{X})$ положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{BSN}}_{p}(f):=\sup \biggl(\sum_{i=1}^{N}\frac{\mu(B_{r_{i}}(x_{i}))}{r_{i}^{p}}\sup_{y,z \in B_{60r_{i}}(x_{i})\cap S}|f(y)-f(z)|^{p}\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум взят по всем конечным дизъюнктным семействам замкнутых шаров $\{B_{i}\}_{i=1}^{N}=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{N}$ с радиусами $r_{i} \in (0,1]$, $i=1,\dots,N$. В частном случае $\operatorname{X}=(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{\infty},\mathcal{L}^{n})$ наш функционал очень близок тому, который был использован в [19]. Единственное отличие состоит в том, что в [19] соответствующий коэффициент растяжения шаров был равен $11$, а не $60$. Используя (11.9) и предложение 7, легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{BSN}}_{p}(F|_{S})+\inf_{z \in S}|F|_{S}(z)| \leqslant C \|F\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})} \quad \text{при всех } \ F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X}).
\end{equation}
\tag{11.11}
$$
С другой стороны, если $x_{m} \in S$ – точка минимума $f$, а $x_{M} \in S$ – точка максимума $f$, то легко видеть, что $|f(x_{m})-f(x_{M})| \leqslant (\mu(B_{1}(\underline{x})))^{-{1}/{p}} \widetilde{\mathcal{BSN}}_{p}(f)$. Таким образом, из (11.10) выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},30}(f) &\leqslant \widetilde{\mathcal{BSN}}_{p}(f)+\sup_{x \in S}|f(x)| \nonumber \\ &\leqslant C\Bigl(\widetilde{\mathcal{BSN}}_{p}(f)+\inf_{z \in S}|f(z)|\Bigr), \qquad f \in C(S). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.12}
$$
Наконец, применим теорему 3 при $\epsilon=1/10$, $c=30$ и используем (11.11), (11.12). Это приводит нас к следующему критерию. Функция $f \in C(S)$ принадлежит пространству $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ в том и только том случае, если $\widetilde{\mathcal{BSN}}_{p}(f)<+\infty$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}} \approx \widetilde{\mathcal{BSN}}_{p}(f)+\inf_{z \in S}|f(z)|,
\end{equation*}
\notag
$$
а соответствующие константы эквивалентности не зависят от $f$. Более того, существует $p$-точный оператор продолжения $\operatorname{Ext}_{S} \in \mathcal{L}(W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}, W_{p}^{1}(\operatorname{X}))$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tyu23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|