| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Оценки интегралов производных А. Д. Барановa, И. Р. Каюмовba a Санкт-Петербургский государственный университет b Казанский (Приволжский) федеральный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9889e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеИзучение поведения интегральных средних аналитических функций в круге – классическое направление комплексного анализа. Интегралы от модулей производных конформных (или просто голоморфных) отображений очень хорошо отражают в себе геометрические и в тоже время аналитические свойства функций. Например, одной из важнейших характеристик в теории конформных отображений является так называемый спектр интегральных средних. Здесь также следует упомянуть гипотезу Бреннана, до сих пор не доказанную, которая может быть сформулирована следующим образом (см. [1]). Пусть $\Omega$ – односвязная область на расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит более одной граничной точки, $\varphi$ – конформное отображение области $\Omega$ на единичный круг $\mathbb{D}$. Дж. Бреннаном была высказана гипотеза о том, что $\varphi' \in L_p(\Omega)$, $4/3<p<4$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega |\varphi'(w)|^p\,dA(w)<\infty, \qquad \frac 43<p<4.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и всюду далее $A$ обозначает меру Лебега на плоскости, нормированную так, чтобы единичный круг имел меру 1: $dA(z)={dx\,dy}/{\pi}$, $z=x+iy$. Проблематика интегральных средних не ограничивается лишь конформными отображениями. Задачи, схожие с гипотезой Бреннана, возникают и в случае рациональных функций, которые являются, в частности, конечнолистными отображениями. Особо стоит выделить проблему, связанную с оценками интегралов от ограниченных рациональных функций, которая впервые была исследована Е. П. Долженко (см. [2]) для достаточно гладких областей. Пусть $G$ – произвольная область конечной площади $S$, $R$ – рациональная функция порядка $n$, $0<p \leqslant 2$. Если $|R| \leqslant 1$ в $G$, то, применяя неравенство Гёльдера, нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
\int_{G}|R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \biggl(\int_{G}|R'(w)|^2\,dA(w)\biggr)^{p/2} S^{1-p/2} \leqslant n^{p/2} S^{1-p/2},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $S=A(G)$ – площадь $G$. В самом деле, $\displaystyle \int_{G} |R'(w)|^2\,dA(w) \leqslant n$, поскольку $R$ накрывает каждую точку единичного круга с кратностью не более $n$. Данная оценка оказывается в определенном смысле точной по порядку, если рассматривать экстремальную задачу максимизации интеграла $\displaystyle\int_{G}|R'(w)|^p\,dA(w)$ по всем областям $G$ фиксированной площади $S$ и всем рациональным функциям порядка $n$ (или $n$-листным в $G$ функциям) таким, что $|R| \leqslant 1$ в $G$. Обсуждение этой экстремальной задачи см. в § 4. Неравенство (1.1) остается справедливым, если вместо рациональных рассматривать $n$-листные функции. Напомним, что аналитическую в области $G$ функцию $R$ называют $n$-листной, если уравнение $R(z)=w$ имеет в $G$ не более $n$ решений для любой правой части $w \in \mathbb{C}$. Однако, как оказалось, в некоторых случаях оценку (1.1) можно улучшить. Е. П. Долженко в [2] доказал, что для конечносвязных областей $G$ с дважды гладкими границами имеют место следующие неравенства для рациональных функций $R$ степени не выше $n$ с полюсами вне $\overline{G}$ (см. [2; теорема 2.2]): если $1<p<2$, то
$$
\begin{equation}
\int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant C n^{p-1} \|R\|^p_{H^\infty(G)};
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
если же дополнительно предположить, что область $G$ ограничена, то
$$
\begin{equation}
\int_{G}|R'(w)|\,dA(w) \leqslant C \log (n+1) \|R\|_{H^\infty(G)}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь константа $C$ зависит только от области $G$ и от $p$, $H^\infty(G)$ обозначает множество всех функций, ограниченных и аналитических в $G$, а $\|f\|_{H^\infty(G)}=\sup_{w\in G} |f(w)|$. Конечно, неравенство (1.2) тривиальным образом верно и для $p=2$ вообще без всяких ограничений на область. Однако при $p>2$ неравенства такого рода (с зависимостью оценки только от степени рациональной функции, но не от расположения ее полюсов) невозможны. Отметим, что различные неравенства для производных рациональных функций изучались в статьях Е. П. Долженко [3], В. В. Пеллера [4], С. Семмса [5], А. А. Пекарского [6], [7], В. И. Данченко [8], [9] и многих других авторов (см., например, [10]–[14]). Используя методы теории пространств Харди, авторам [15] удалось существенно расширить классы областей, для которых выполнено неравенство (1.2). Была доказана следующая Теорема A. Пусть $G$ – ограниченная односвязная гёльдерова область со спрямляемой границей, $1<p< 2$. Тогда найдется такая константа $C_p>0$, зависящая от области $G$ и от $p$, что для любой рациональной функции $R$ степени не выше $n$ выполнено Уже простейший пример круга $\mathbb{D}$ и функции $R(z)=z^n$ показывает точность неравенства (1.2). Однако оказалось, что неравенство (1.3) для случая $p=1$ можно существенно улучшить. В [15], [16] авторами показано, что точный порядок роста интеграла $\displaystyle\int_{G}|R'(w)|\,dA(w)$ с ростом $n$ равен $\sqrt{\log(n+1)}$. Теорема B. Пусть $G$ – ограниченная односвязная гёльдерова область со спрямляемой границей. Тогда найдется такая зависящая от области $G$ константа $C>0$, что для любой рациональной функции $R$ степени не выше $n$ выполнено Неравенство (1.5) уже является точным по порядку даже в случае круга, при этом в качестве $R$ можно взять многочлен или произведение Бляшке степени $n$. Доказательство точности этого неравенства, приведенное в [15], основано на тонких результатах Н. Г. Макарова (см. [17]) и Р. Бануэлоса и Ч. Н. Мура (см. [18]) о граничном поведении функций из пространства Блоха. В настоящей работе показано, что все вышеприведенные неравенства остаются справедливыми для произвольной $n$-листной функции в области со спрямляемой границей (никаких дополнительных условий регулярности не требуется). Основными результатами настоящей работы являются следующие три теоремы. Теорема 1. Пусть $p \in (1,2)$, $G$ – ограниченная односвязная область со спрямляемой границей $\gamma$ и $L=\ell(\gamma)$ – ее длина. Тогда найдется такая зависящая только от $p$ константа $C_p>0$, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ Теорема 1 была анонсирована (с наброском доказательства) в работе [19]. Как уже было отмечено выше, случай $p=1$ имеет свои особенности. Обозначим через $\operatorname{diam}(G)$ диаметр области $G$. Теорема 2. Пусть $G$ – ограниченная односвязная область со спрямляемой границей. Существует такая абсолютная числовая константа $C>0$, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ Очевидно, аналогичные оценки справедливы и для конечносвязных областей со спрямляемой границей с некоторой константой $C=C(G,p)$, но характер зависимости константы от длины границы $L$ может не сохраняться. Также в § 4 нами рассмотрен пример кольца, показывающий, что оценка в теореме 1 в некоторых ситуациях может быть улучшена, в особенности для “тонких” областей. Этот пример показывает, что площадь области также играет существенную роль, хотя главная роль, несомненно, принадлежит метрическим свойствам границы области. Возникает естественный вопрос: что произойдет, если отказаться от условия спрямляемости. В этом случае возможен более быстрый рост, чем $n^{p-1}$. Однако и в этом случае можно улучшить оценку (1.1) для областей, у которых границы имеют размерность Минковского строго меньше 2. Напомним определение размерности Минковского границы. Для $\varepsilon>0$ обозначим через $N(\varepsilon)$ наименьшее количество кругов радиуса $\varepsilon$ с центрами на $\gamma$, необходимое для того, чтобы покрыть $\gamma$, и положим
$$
\begin{equation*}
\alpha =\operatorname{Mdim}(\gamma)=\limsup_{\varepsilon\to 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log ({1}/{\varepsilon})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что для любого $\delta>0$ мы имеем $N(\varepsilon) \leqslant C \varepsilon^{-\alpha-\delta}$ при всех $\varepsilon\in(0, 1/2)$ с некоторой константой $C=C(G, \delta)>0$. В § 5 доказана Теорема 3. Пусть $p \in (0,2)$, $G$ – ограниченная односвязная область, $\gamma=\partial G$ и $\alpha =\operatorname{Mdim}(\gamma) \in [1, 2)$. 1. Если $2-\alpha \leqslant p<2$, то для любого $\delta>0$ найдется такая константа $C= C(G, \alpha, p, \delta)>0$, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant C n^{(p-2)/\alpha+1+\delta} \|R\|^p_{H^\infty(G)}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
2. Если $0<p<2-\alpha$, то для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ выполнено неравенство где $C=C(G, \alpha, p)$.В § 6 получены оценки снизу для интегралов от модулей производных ограниченных $n$-листных функций в терминах спектра интегральных средних конформных отображений. Эти оценки показывают, что верхняя оценка (1.8) в теореме 3 довольно точно описывает реальное положение дел, особенно в случае, когда размерность Минковского близка к 1. Мы также обсудим связь рассматриваемых задач с известной гипотезой Литтлвуда о росте сферической производной полиномов и рациональных функций (см. [20], [21]). Еще одна группа результатов связана с оценками интегралов вида где $d_G(w)$ – расстояние от точки $w$ до границы области $G$. При определенных условиях на параметры $p$ и $\beta$ получены оценки для соответствующих норм типа Бесова (см. § 7).§ 2. Предварительные оценкиДля открытого множества $G\subset \mathbb{C}$ с границей $\gamma$ и $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation}
G_\varepsilon =\{w\in G\colon \operatorname{dist} (w, \gamma)>\varepsilon\}, \qquad H_\varepsilon =\{w\in G\colon \operatorname{dist} (w, \gamma) \leqslant \varepsilon\}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Нам понадобится ряд известных свойств множеств $G_\varepsilon$ and $H_\varepsilon$. Для полноты изложения мы приведем их краткие доказательства. В дальнейшем мы пишем $X\lesssim Y$, если существует числовая константа $C>0$ такая, что $X\leqslant C Y$ для всех допустимых значений параметров, от которых зависят $X$ и $Y$. Также в дальнейшем мы обозначаем через $S(E)$ площадь (т.е. нормированную двумерную меру Лебега $A(E)$) множества $E$, а через $B(w, \varepsilon)$ и $\overline{B}(w, \varepsilon)$ соответственно открытый и замкнутый круг и с центром $w$ и радиусом $\varepsilon$. Лемма 1. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей $\gamma=\partial G$, $\varepsilon>0$. Тогда где $\ell(\gamma)$ – длина кривой $\gamma$, а $C>0$ – некоторая абсолютная числовая константа. Доказательство. Через $\operatorname{diam}(G)$ обозначим диаметр области $G$. Если $\varepsilon \geqslant \operatorname{diam}(G)/10$, то имеют место тривиальные оценки $S(H_\varepsilon) \leqslant S(G) \leqslant 4 \operatorname{diam}^2(G) \lesssim \varepsilon \ell(\gamma)$. Поэтому в дальнейшем полагаем, что $\varepsilon<\operatorname{diam}(G)/10$.
Не умаляя общности, можно считать, что $H_\varepsilon =\{w\in G\colon \operatorname{dist} (w, \gamma)<\varepsilon\}$, случай нестрого неравенства следует с помощью предельного перехода. Тогда круги $B(w, \varepsilon)$, $w\in\gamma$, образуют покрытие множества $H_\varepsilon$. По теореме Витали о покрытии выберем последовательность (очевидно, конечную) кругов $\{B(w_k, \varepsilon)\}_{k=1}^m$ такую, что $B(w_k, \varepsilon)$ попарно дизъюнктны и $H_\varepsilon \subset \bigcup_{k=1}^m B(w_k, 5 \varepsilon)$. Тогда $S(H_\varepsilon) \leqslant 25\varepsilon^2 m$. В силу связности $\gamma$ имеем $\gamma \cap \{|w-w_k|=\varepsilon\} \ne\varnothing$ (случай, когда вся кривая $\gamma$ целиком лежит в одном круге, исключается, так как $\varepsilon<\operatorname{diam}(G)/10$), откуда $\ell(\gamma \cap B(w_k, \varepsilon)) \geqslant \varepsilon$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
m \varepsilon \leqslant \sum_{k=1}^m \ell(\gamma \cap B(w_k, \varepsilon)) \leqslant \ell(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 доказана. Хорошо известно, что $\lim_{\varepsilon\to 0+} \varepsilon^{-1} S(H_\varepsilon)= \ell(\gamma)$, см., например, [22]. Заметим, что даже для односвязной области $G$ открытое множество $G_\varepsilon$ может быть несвязным, но каждая его компонента связности в этом случае будет односвязной областью. Введем обозначение Имеет местоЛемма 2. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей $\gamma$, $L=\ell(\gamma)$, $\varepsilon>0$. Тогда 1. При $p>1$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\int_{G_\varepsilon} d_G^{-p} (w)\,dA(w) \leqslant C_p \varepsilon^{1-p} L,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $C_p \leqslant K/(p-1)$, $K$ – некоторая абсолютная константа. 2. Существует такая абсолютная константа $C\,{>}\,0$, что для $\varepsilon\,{<}\operatorname{diam}(G)/2$
$$
\begin{equation}
\int_{G_\varepsilon} d_G^{-1} (w)\,dA(w) \leqslant C L \log\frac{\operatorname{diam}(G)}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
в то время как при $\varepsilon \geqslant \operatorname{diam}(G)/2$ имеет место тривиальная оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{G_\varepsilon} d_G^{-1} (w)\,dA(w) \leqslant C \operatorname{diam}(G) \leqslant CL.
\end{equation*}
\notag
$$
3. При $0<p<1$ существует константа $C_p$ такая, что Доказательство. Разобьем множество $G_\varepsilon$ на слои: $G_\varepsilon=\bigcup_{k\geqslant 0} F_k$, где
$$
\begin{equation*}
F_k=\{w\in G\colon 2^{k} \varepsilon \leqslant d_G(w)<2^{k+1} \varepsilon \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в силу ограниченности $G$ индекс $k$ принимает конечное число значений. А именно, $F_k=\varnothing$, если $2^{k} \varepsilon>\operatorname{diam}(G)$. Пусть $k_0$ – наибольшее целое число такое, что $2^{k_0} \varepsilon \leqslant \operatorname{diam}(G)$. Также $F_k \subset H_{2^{k+1}\varepsilon}$ и по лемме 1 $S(F_k) \lesssim 2^k \varepsilon L$. Следовательно, при $p>1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G_\varepsilon} d_G^{-p} (w)\,dA(w) &=\sum_{k=0}^{k_0} \int_{F_k} d_G^{-p} (w)\,dA(w) \leqslant \sum_{k=0}^{k_0} S(F_k) 2^{-kp}\varepsilon^{-p} \\ & \lesssim \varepsilon^{1-p} L \sum_{k=0}^{k_0} 2^{-k(p-1)} \leqslant \frac{K}{p-1}\varepsilon^{1-p} L, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $K$ – некоторая абсолютная константа.
Заметим, что все неравенства в предыдущей цепочке, кроме последнего, справедливы и при $0<p\leqslant 1$. Таким образом, в случае $p=1$ и $\varepsilon<\operatorname{diam}(G)/2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{G_\varepsilon} d_G^{-1} (w)\,dA(w) \lesssim L k_0 \lesssim L \log\frac{\operatorname{diam}(G)}{\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, теперь, что $p<1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G_\varepsilon} d_G^{-p} (w)\,dA(w) & \leqslant C_p \varepsilon^{1-p} L 2^{k_0(1-p)} \\ & \leqslant C_p \varepsilon^{1-p} L \biggl(\frac{\operatorname{diam}(G)}{\varepsilon}\biggr)^{1-p}= C_p L (\operatorname{diam}(G))^{1-p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку неравенство справедливо при всех достаточно малых $\varepsilon>0 $, переходя к пределу, мы получаем неравенство (2.5). Лемма 2 доказана. Следствие 1. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей $\gamma$, $L=\ell(\gamma)$, $\varepsilon>0$, $p>1$. Тогда для всякой ограниченной $n$-листной функции $R$ справедливо неравенство где $K>0$ – некоторая числовая константа. Замечание 1. Для полноты изложения приведем еще одно (в большей степени аналитическое) доказательство неравенства (2.3). Пусть $\varphi$ – конформное отображение круга $\{|z|<1\}$ на $G$. Тогда $\varphi'$ принадлежит пространству Харди $H^1$ в круге и $\|\varphi'\|_{H^1}=\ell(\gamma)$. Хорошо известно, что $|\varphi'(z)|(1-|z|^2)/4 \leqslant d_G(\varphi(z)) \leqslant |\varphi'(z)|(1-|z|^2)$. Поэтому § 3. Доказательства теорем 1 и 2 Доказательство теоремы 1. Положим $\varepsilon={L}/{n}$ и рассмотрим разбиение $G=G_\varepsilon\cup H_\varepsilon$. Применяя оценку (2.6), мы немедленно получим
$$
\begin{equation*}
\int_{G_\varepsilon} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \|R\|^p_{H^\infty(G)} \int_{G_\varepsilon} d_G^{-p} (w)\,dA(w) \leqslant \frac{K}{p-1} L^{2-p}n^{p-1}\|R\|^p_{H^\infty(G)}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по неравенству Гёльдера с показателями ${2}/{p}$ и $2/(2-p)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{H_\varepsilon} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \biggl(\int_{H_{\varepsilon}} |R'(w)|^2\,dA(w) \biggr)^{p/2} (S(H_{\varepsilon}))^{1-p/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $R$ $n$-листна, имеем $\displaystyle\int_G |R'(w)|^2\,dA(w) \leqslant n \|R\|^2_{H^\infty(G)}$. Применяя неравенство (2.2) с $\varepsilon={L}/{n}$, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{H_\varepsilon} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant C L^{2-p} n^{p-1} \|R\|^p_{H^\infty(G)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C>0$ – некоторая числовая константа, не зависящая от $p$, $n$, $G$ и $R$. Теорема 1 полностью доказана. Ключевую роль в доказательстве теоремы 2 играет следующая лемма, применимая к произвольной ограниченной (не обязательно $n$-листной) функции. Лемма 3. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей. Тогда существует такая, не зависящая от области $G$, константа $C>0$, что для любой функции $R\in H^\infty(G)$ справедливо неравенство Доказательство. Перейдем к эквивалентной задаче в круге. Пусть $\varphi$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на $G$. Поскольку $L=\|\varphi'\|_{H^1(\mathbb{D})}$ и $d_G(\varphi(z)) \leqslant (1-|z|^2) |\varphi'(z)|$, нам достаточно показать, что Пусть $f=R\circ \varphi$, тогда $f\in H^\infty(\mathbb{D})$.
Для $g\in H^s=H^s(\mathbb{D})$, $s>0$, положим
$$
\begin{equation*}
S(g)(e^{it})=\biggl(\int_0^{1}(1-r^2)|g'(re^{it})|^{2} r\,dr\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно классической теореме Литтлвуда–Пэли (см., например, [23; с. 332])
$$
\begin{equation*}
\|S(g) \|_{L^s(\mathbb{T})} \leqslant C(s) \|g\|_{H^s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $g=f(\varphi')^{1/2}$ (для какой-нибудь аналитической ветви корня). Тогда $g\in H^2$ и $\|g\|_{H^2} \leqslant \|f\|_{H^\infty} \|\varphi'\|_{H^1}^{1/2}$. Мы имеем По теореме Литтлвуда–Пэли
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{2\pi} \int_0^{1}(1-r^2)|g'(re^{it})|^{2} r\,dr\,dt =\int_0^{2\pi} |S(g) (e^{it})|^2\,dt\lesssim \|g\|_{H^2}^2 \leqslant \|f\|_{H^\infty}^2 \|\varphi'\|_{H^1}, \\ &\int_0^{2\pi} \int_0^{1} (1-r^2) \bigl|f(re^{it})((\varphi')^{1/2})' \bigr|^{2} r\,dr\,dt \\ &\qquad \leqslant\|f\|_{H^\infty}^2 \int_0^{2\pi} |S((\varphi')^{1/2}) (e^{it})|^2\,dt \lesssim \|f\|_{H^\infty}^2 \|\varphi'\|_{H^1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полученные неравенства доказывают лемму. Доказательство теоремы 2. Как и в доказательстве теоремы 1, рассмотрим разбиение $G=G_\varepsilon\cup H_\varepsilon$ для $\varepsilon={L}/{n}$. Поскольку $S(H_\varepsilon) \lesssim L\varepsilon=L^2/n$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{H_\varepsilon} |R'(w)|\,dA(w) & \leqslant \biggl(\int_{H_{\varepsilon}} |R'(w)|^2\,dA(w) \biggr)^{1/2} (S(H_{\varepsilon}))^{1/2} \\ &\lesssim n^{1/2}\|R\|_{H^\infty(G)} Ln^{-1/2}=L\|R\|_{H^\infty(G)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в этой оценке зависимость от $n$ пропадает. В то же время
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G_\varepsilon} |R'(w)|\,dA(w) & \leqslant \biggl(\int_{G} |R'(w)|^2\,d_G(w)\,dA(w) \biggr)^{1/2} \biggl(\int_{G_\varepsilon} d_G^{-1} (w)\,dA(w)\biggr)^{1/2} \\ & \leqslant L^{1/2} \|R\|_{H^\infty(G)} \biggl(\int_{G_\varepsilon} d_G^{-1} (w)\, dA(w)\biggr)^{1/2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
по лемме 3. Осталось заметить, что по неравенству (2.4) леммы 2
при $(\operatorname{diam}(G)/L) n>2$ и $\displaystyle\int_{G_\varepsilon} d_G^{-1} (w)\,dA(w) \leqslant CL$ при $(\operatorname{diam}(G)/L) n \leqslant 2$, где $C$ – некоторая абсолютная константа. Применяя это неравенство, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{G} |R'(w)|\,dA(w) \leqslant C L \sqrt{\log\biggl(2+\frac{\operatorname{diam}(G)}{L} n\biggr)}\|R\|_{H^\infty(G)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. Используя те же оценки, можно доказать следующее, более общее утверждение. Следствие 2. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей $\gamma$, $L=\ell(\gamma)$. Тогда для всякой ограниченной аналитической в $G$ функции $R$ с конечным интегралом Дирихле $\displaystyle\mathcal{D}=\int_G |R'|^2\,dA$ выполнено Доказательство. Положим $\varepsilon=L \|R\|_\infty^2 \mathcal{D}^{-1}$. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 1, мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) & \leqslant C(p)\biggl((L\, \varepsilon)^{1-p/2}\biggl(\int_G |R'|^2\,dA \biggr)^{p/2}+L \, \varepsilon^{1-p}\|R\|^p_\infty\biggr) \\ & \leqslant C(p)L^{2-p}\biggl(\int_G |R'|^2\,dA\biggr)^{p-1}\|R\|^{2-p}_\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение для $p=1$ может быть получено аналогично теореме 2. § 4. Оценки интегралов в кольцеРазберем теперь один важный частный случай, когда область $G$ является кольцом. Для $r>1$ и $0<l<r$ рассмотрим кольцо $K_{l,r}=\{z\colon r-l<|z|<r\}$ радиуса $r$ и ширины $l$. Поставленная задача интересна с точки зрения исследования влияния площади кольца на оценку наших интегралов. Оказалось, что площадь имеет существенное влияние, но с ростом радиуса кольца ее влияние падает. Аналогичный вывод можно сделать и про длину. Предложение 1. Пусть $p \in (1,2)$. Тогда найдется такая константа $C=C(p)>0$, что для любых $l,r$, удовлетворяющих условиям $r\geqslant 1$ и $0<l \leqslant r/2$, и для всякой рациональной функции $R$ степени $n$, для которой $\|R\|_{H^\infty(K_{l,r})} \leqslant 1$, выполнено Доказательство. Покажем, что $\displaystyle\int_{K_{l,r}} |R'(w)|^p\,dA(w)$ не превосходит каждого из выражений в правой части неравенства (4.1) при всех допустимых значениях параметров $l$, $r$. Оценка $\displaystyle\int_{K_{l,r}} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant C(p) r^{2-p} n^{p-1}$ представляет собой частный случай теоремы 1.
Известное неравенство Е. П. Долженко (см. [3]) утверждает, что
$$
\begin{equation}
\int_0^{2\pi} |Q'(e^{it })|\,dt \leqslant 2\pi n\|Q\|_{L^\infty(\mathbb{T})}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
для любой рациональной функции $Q$ степени $n$, полюсы которой лежат вне единичной окружности $\mathbb{T}$. Неравенство (4.2) (впоследствии передоказанное многими авторами) является очень частным случаем результатов статьи [3], справедливых для алгебраических функций и любых измеримых подмножеств окружности (короткое доказательство неравенств Долженко и обсуждение истории вопроса можно найти в [24]).
Из неравенства (4.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^{2\pi} \rho |R'(\rho e^{it })|\,dt \leqslant 2\pi n\|R\|_{H^\infty(K_{l,r})} \lesssim n, \qquad r-l\leqslant \rho\leqslant r.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|R'(w)| \leqslant d_{K_{l,r}} (w)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{K_{l,r}} |R'(w)|^p\,dA(w) & \lesssim \int_{r-l}^r \int_0^{2\pi} \frac{\rho |R'(\rho e^{it })|}{d^{p-1}_{K_{l,r}} (\rho e^{it })}\,dt\,d\rho \\ & \lesssim n \int_{r-l}^r \frac{d\rho}{\min^{p-1}(r-\rho, \rho -r+l)} \lesssim nl^{2-p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где константы в нeравенствах зависят только от $p$. Предложение доказано. Нетрудно видеть, что порядковая точность оценок (4.1) следует из стандартного примера $R=z^n/r^n$, а также несложных вычислений. Аналогичное неравенство для случая $p=1$ доказано в [16]. В предложении 1 функция $R$ предполагается рациональной. Неравенство Долженко (4.2) перестает быть справедливым для произвольной ограниченной $n$-листной функции. Комбинируя теорему 1 и тривиальную оценку (1.1), мы получаем, что для ограниченной $n$-листной функции $R$ с $\|R\|_{H^\infty(K_{l,r})} \leqslant 1$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation*}
\int_{K_{l,r}} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \begin{cases} C r^{2-p} n^{p-1}, & r\leqslant nl , \\ C r^{1-p/2} l^{1-p/2} n^{p/2}, & r\geqslant nl. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом вторая оценка по-прежнему оказывается точнее, если $nl\ll r$. Рассмотрим задачу максимизации интеграла $\displaystyle\int_{G}|R'(w)|^p\, dA(w)$, где $1\,{\leqslant}\, p\,{<}\,2$, по всем областям $G$ с фиксированной площадью или длиной границы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{S} & :=\sup \biggl\{\int_{G}|R'(w)|^p\,dA(w)\colon S(G)=S, \, R\, -\,n\text{-листная в }G, \, \|R\|_{H^\infty(G)} \leqslant 1\biggr\}, \\ \mathcal{L} & :=\sup \biggl\{\int_{G}|R'(w)|^p\,dA(w)\colon\ell(\partial G)=L, \,R \,-\,n\text{-листная в }G,\,\|R\|_{H^\infty(G)} \leqslant 1\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В обоих случаях мы рассматриваем супремум только в классе всех односвязных ограниченных областей $G$. Можно рассматривать также супремум по всем рациональным функциям порядка не выше $n$. Как будет видно ниже, порядок роста от этого не изменится. Мы знаем, что $\mathcal{S} \leqslant S^{1-p/2}n^{p/2}$ (неравенство (1.1)) и $\mathcal{L} \leqslant C(p)L^{2-p}n^{p-1}$ при $1<p<2$ (теорема 1). Пример круга $B(0,r)$ и функции $R(z)=z^n/r^n$ показывает, что $\mathcal{L} \geqslant C(p) L^{2-p}n^{p-1}$ для некоторой константы $C(p)>0$. Точность оценки для $\mathcal{S}$ может быть установлена с помощью рассмотренного выше примера кольца. Пусть $G=K_{l,r}$, где $l=r/n$, а $R(z)=z^n/r^n$. Легко видеть, что в этом случае $C_1 r^2/n \leqslant S \leqslant C_2 r^2/n$, а
$$
\begin{equation*}
\int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) \geqslant C_3 r^{2-p} n^{p-1} \geqslant C_4 S^{1-p/2} n^{p/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_1,C_2, C_3, C_4>0$ – некоторые числовые константы, не зависящие от $r$ и $n$.
§ 5. Случай фрактальной границы Доказательство теоремы 3. В этом параграфе мы будем писать $X\lesssim Y$, если $X\leqslant C Y$ для некоторой константы $C>0$, которая может зависеть от $G$, $\alpha$, $p$, $\delta$, но не зависит от $R$ и $n$. Не умаляя общности, будем далее считать, что $\|R\|_\infty \leqslant 1$. Тогда $|R'(w)| \leqslant d_G^{-1}(w)$ и $\displaystyle\int_{G} |R'(w)|^2\,dA(w) \leqslant n$.
Напомним, что $N(\varepsilon)$ обозначает наименьшее количество кругов радиуса $\varepsilon$ с центрами на $\gamma$, необходимое для того, чтобы покрыть $\gamma$. Зафиксируем $\delta>0$ и выберем число $\varepsilon_0=\varepsilon(G, \alpha, \delta)>0$ такое, что $N(\varepsilon) \leqslant \varepsilon^{-\alpha-\delta}$ при всех $\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$. Положим $\varepsilon=n^{-1/\alpha}$ и определим множества $H_\varepsilon$ и $G_\varepsilon$, как и ранее, формулой (2.1). Пусть $\{B_m\}_{m=1}^{N(\varepsilon)}$, $B_m=B(x_m, \varepsilon)$, – семейство кругов, образующих покрытие кривой $\gamma$. Легко видеть, что $H_\varepsilon \subset \bigcup_{m=1}^{N(\varepsilon)} B(x_m, 2\varepsilon)$. В самом деле, если $w\in H_\varepsilon$, то найдутся $\zeta\in\gamma$ и $m$ такие, что $|\zeta-w|\leqslant \varepsilon$ и $\zeta\in B_m$. Тогда при $\varepsilon<\varepsilon_0$ мы получаем
$$
\begin{equation*}
S(H_\varepsilon) \leqslant 4N(\varepsilon) \varepsilon^2 \lesssim n^{1-{2}/{\alpha}+{\delta}/{\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{H_\varepsilon} |R'(w)|^p\,dA(w) & \leqslant \biggl(\int_{H_\varepsilon} |R'(w)|^2\, dA(w)\biggr)^{p/2} (S(H_\varepsilon))^{1-p/2} \\ & \lesssim n^{p/2} n^{(1-{2}/{\alpha}+{\delta}/{\alpha})(1-{p}/{2})} =n^{(p-2)/{\alpha}+1+{\delta}/{\alpha}(1-{p}/{2})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\displaystyle\int_{H_\varepsilon} |R'(w)|^p\,dA(w)\leqslant C(G,\alpha, \delta)$, если $\varepsilon\geqslant \varepsilon_0$ (т.е. $n\leqslant \varepsilon_0^{-\alpha}$).
Интеграл по множеству $G_{\varepsilon_0}$ оценивается тривиальным образом:
$$
\begin{equation*}
\int_{G_{\varepsilon_0}} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \int_{G_{\varepsilon_0}} d_G^{-p}(w)\,dA(w) \leqslant \varepsilon_0^{-p} S(G).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, нам остается оценить интеграл по множеству $G_\varepsilon \setminus G_{\varepsilon_0}$.
Выберем наибольшее $k_0$ такое, что $2^{k_0-1}\varepsilon<\varepsilon_0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
G_\varepsilon \setminus G_{\varepsilon_0} \subset \bigcup_{k=1}^{k_0} F_k, \qquad F_k=\{w\in G\colon 2^{k-1}\varepsilon<d_G(w) \leqslant 2^k \varepsilon\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{G_\varepsilon \setminus G_{\varepsilon_0}} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \sum_{k=1}^{k_0} \int_{F_k} d_G^{-p}(w)\,dA(w) \lesssim \sum_{k=1}^{k_0} 2^{-kp} n^{{p}/{\alpha}} S(F_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки $S(F_k)$ покроем $\gamma$ кругами $B(x_m, 2^{k-1}\varepsilon)$, $m=1,\dots, N(2^{k-1}\varepsilon)$. Поскольку $2^{k-1}\varepsilon<\varepsilon_0$, $k\leqslant k_0$, имеет место неравенство $N(2^{k-1}\varepsilon) \lesssim (2^{k}\varepsilon)^{-\alpha-\delta}$. Очевидно, $F_k \subset \bigcup_{m=1}^{N(2^{k-1}\varepsilon)} B (x_m, 2^{k}\varepsilon)$ и, таким образом,
$$
\begin{equation*}
S(F_k) \lesssim N(2^{k-1}\varepsilon) 2^{2k} \varepsilon^2 \lesssim (2^k \varepsilon)^{2-\alpha-\delta}=2^{-k(\alpha-2+\delta)} n^{1- 2/\alpha+\delta/{\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{G_\varepsilon \setminus G_{\varepsilon_0}} |R'(w)|^p\,dA(w) \lesssim n^{1+ (p-2)/\alpha+\delta/{\alpha}} \sum_{k=1}^{k_0} 2^{-k(p+\alpha-2+\delta)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p\geqslant 2-\alpha$, то последняя сумма ограничена константой, зависящей только от $\alpha$, $p$ и $\delta$, что завершает доказательство для случая $p\geqslant 2-\alpha$.
Пусть теперь $0<p<2-\alpha$. Выберем $\delta>0$ так, чтобы $p+\alpha-2+\delta<0$. Тогда, учитывая, что $2^{k_0-1}<\varepsilon_0 \varepsilon^{-1}=\varepsilon_0 n^{{1}/{\alpha}}$, получаем,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G_\varepsilon \setminus G_{\varepsilon_0}} |R'(w)|^p\,dA(w) &\lesssim n^{1+(p-2)/{\alpha}+{\delta}/{\alpha}} 2^{k_0(2-p-\alpha -\delta)} \\ &\lesssim n^{1+(p-2)/{\alpha}+{\delta}/{\alpha}} n^{(2-p-\alpha -\delta)/\alpha}=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, при $0\,{<}\,p\,{<}\,2{\kern1pt}{-}{\kern1pt}\alpha$ справедливо неравенство $\displaystyle\int_{G} \!|R'(w)|^p\,dA(w) {\kern1pt}{\leqslant}{\kern1pt} C(G, \alpha, p, \delta)$, где константа не зависит от $R$ и $n$. Теорема 3 доказана. § 6. Нижние оценки и спектр интегральных среднихВ этом параграфе мы получим нижние оценки интегралов от производных $n$-листных функций, используя спектр интегральных средних. Обзор теории интегральных средних можно найти в статье Н. Г. Макарова [25] (см. также введение к статье [26]). Для однолистной в круге функции $\varphi$ и $s\in \mathbb{R}$ положим
$$
\begin{equation*}
\beta_{\varphi}(s):=\limsup_{r \to 1} \frac{1}{|\log(1-r)|}\int_{0}^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|^s\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Универсальный спектр интегральных средних определяют как $B(s)\,{=}\sup \beta_\varphi(s)$, где супремум берется по всем однолистным в круге функциям $\varphi$. Аналогично спектр для ограниченных функций $B_b(s)$ определяют как супремум величины $\beta_\varphi(s)$ по всем однолистным и ограниченным в круге функциям $\varphi$. Макаровым в [25] установлено, что $B(s)=\max (B_b(s), 3s-1)$. Гипотеза Бреннана равносильна утверждению, что $B(-2)=1$. Известна также гипотеза Крэтцера о том, что $B_b(s)={s^2}/{4}$, $|s| \leqslant 2$. Наилучшие на настоящий момент верхние оценки спектра интегральных средних (в том числе в гипотезе Бреннана) были получены Х. Хеденмальмом и С. Шимориным в [26]. Можно также рассмотреть универсальный спектр интегральных средних с ограничением на размерность границы области (см. [27], [25]). Для $1\leqslant \alpha\leqslant 2$ положим
$$
\begin{equation*}
B_\alpha(s):=\sup \{ \beta_\varphi(s)\colon \varphi \text{ ограничена и }\operatorname{Mdim}(\partial \varphi(\mathbb{D}))=\alpha\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения спектра интегральных средних сразу вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|^s\,dt \geqslant C \biggl(\frac{1}{1-r}\biggr)^{\beta_\varphi(s)-\varepsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой бесконечной последовательности вещественных чисел $r$, стремящихся к 1, и константы $C>0$, зависящей только от $\varphi$ и $\varepsilon$. Несложно показать, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{2\pi} \biggl|\varphi'\biggl(\biggl(1-\frac 1n\biggr)e^{it}\biggr)\biggr|^s\,dt \geqslant C n^{\beta_\varphi(s)-\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Используя оценку (6.1), можно построить примеры $n$-листных функций, которые дают хорошие оценки снизу для теоремы 3. Положим $R(w)=(\varphi^{-1}(w))^n$, где $\varphi$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на односвязную область $G$. Ясно, что функция $R$ не более чем $n$-листна в $G = \varphi(\mathbb{D})$. В этом случае имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) &=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^1n^pr^{p(n-1)} |\varphi'(z)|^{2-p}r\,dr\,dt \\ &\geqslant \int_{0}^{2\pi}\int_{1-1/n}^{1-1/(2n)} n^pr^{p(n-1)} |\varphi'(z)|^{2-p}r\,dr\,dt \,{\geqslant}\, Cn^{\beta_\varphi(2-p)+p-1-\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, для произвольной области $G=\varphi(\mathbb{D})$ и для $n$ из некоторой бесконечной последовательности натуральных чисел найдется $n$-листная функция $R$ такая, что $\|R\|_{H^\infty(G)} \leqslant 1$ и
$$
\begin{equation}
\int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) \geqslant Cn^{\beta_\varphi(2-p)+p-1-\varepsilon},
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где $c>0$ зависит от $\varphi$ и $\varepsilon$, но не зависит от $n$ и $R$. Подбирая соответствующую область $G=\varphi(\mathbb{D})$, для которой $\varphi$ дает значения спектра, близкие к максимальному, мы получаем Предложение 2. Для любых $p\in [1, 2)$ и $\varepsilon>0$ найдется ограниченная область $G$ такая, что для $n$ из некоторой бесконечной последовательности натуральных чисел существует $n$-листная функция $R$, $\|R\|_{H^\infty(G)} \leqslant 1$, и где $c>0$ зависит от $G$ и $\varepsilon$, но не зависит от $n$ и $R$. Более того, для любого $\alpha\in [1,2)$ можно найти область $G$ с условием $\operatorname{Mdim}(\partial G)=\alpha$ такую, что для $n$ из некоторой бесконечной последовательности натуральных чисел существует $n$-листная функция $R$, $\|R\|_{H^\infty(G)} \leqslant 1$ и Поскольку $B_b(s)>0$ и $B_\alpha(s)>0$ при $s>0$, $\alpha>1$, мы видим, что оценка с порядком роста $n^{p-1}$ в общем случае неверна. Рассмотрим вопрос о том, насколько нижняя оценка (6.2) отличается от верхней оценки теоремы 3. Оказывается, что при $p=1$ и размерностях $\alpha$, близких к 1, эти оценки очень хорошо стыкуются. В статье Н. Г. Макарова и Х. Поммеренке [27] (см. также [25; § 5]) показано, что
$$
\begin{equation*}
B_\alpha(1)=\alpha-1 -(\alpha-1)^2+O((\alpha-1)^3), \qquad \alpha \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из оценки (6.4) сразу следует, что существуют односвязная область $G$ и ограниченная единицей $n$-листная функция $R$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\int_{G} |R'(w)|\,dA(w) \geqslant Cn^{\alpha-1 -(\alpha-1)^2+O((\alpha-1)^3)-\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\varepsilon=\delta=(\alpha-1)^3$. Тогда нетрудно видеть что наша нижняя оценка совпадает с верхней оценкой теоремы 3 с точностью до $(\alpha-1)^3$. Задача об оценках производных ограниченных рациональных функций тесно связана с одной известной задачей, восходящей к Дж. Литтлвуду. Для аналитической в круге функции $f$ и $p>0$ обозначим через $S_p(f)$ интеграл сферической производной функции $f$:
$$
\begin{equation*}
S_p(f)=\int_{\mathbb{D}} \biggl(\frac{|f'(z)|}{1+|f(z)|^2}\biggr)^p\,dA(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая так же, как в доказательстве неравенства (1.1) (рассматривая отдельно множества $\{|f| \leqslant 1\}$ и $\{|f|>1\}$), легко видеть, что $S_p(f) \leqslant Cn^{p/2}$ для всех рациональных функций $f$ степени не выше $n$ и $0<p\leqslant 2$. Дж. Литтлвуд в [28] поставил вопрос о росте в зависимости от $n$ величин
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(n)=\sup \{S_1(f)\colon f \,-\,\text{полином степени не выше }n\}, \\ \psi(n)=\sup \{S_1(f)\colon f \,-\,\text{рациональная функция степени не выше }n\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и предположил, что $\varphi(n) \leqslant C n^{1/2-\delta}$ и даже $\psi(n) \leqslant C n^{1/2-\delta}$ для некоторого $\delta>0$. Последнее предположение оказалось неверным: Ю. Чен и М. Лиу в [20] показали, что для любых $n$ и $\delta>0$ найдутся рациональные функции степени $n$, для которых $S_1(f)>c n^{1/2-\delta}$, а значит, и $S_p(f)>c n^{p/2-\delta}$, $1\leqslant p\leqslant 2$ (здесь константа $c>0$ зависит только от $\delta$). Гипотеза Литтлвуда для $\varphi(n)$ оказалась справедливой. После целого ряда промежуточных результатов Д. Беляев и С. Смирнов в [21] показали, что точный показатель роста величины $\varphi(n)$ равен $B_b(1)$. Более того, для $0<p<2$, $\varepsilon>0$ и любого полинома $f$ степени не выше $n$ справедливо неравенство Отметим совпадение показателя в этом неравенстве и в нижних оценках для средних $n$-листных функций в предложении 2. Результаты Чена и Лиу дают основания предполагать, что показатель $p/2$ в неравенстве (1.1) может оказаться неулучшаемым в классе всех рациональных функций, если область $G$ не обладает никакой регулярностью. Формально, однако, из оценки $S_p(f)>n^{p/2-\delta}$ следует только, что для каждого $n$ и $\delta>0$ найдется ограниченная (не обязательно односвязная) область $G$, зависящая от $n$, и ограниченная в этой области рациональная функция $f$ степени не выше $n$, для которой $\displaystyle\int_G |f'|^p\,dA>c n^{p/2-\delta}$. Интересно также сопоставить приведенные выше результаты с оценками роста длин образов окружностей под действием однолистных полиномов и рациональных функций. Обозначим через $\mathcal{S}$ класс однолистных в $\mathbb{D}$ функций $f$ таких, что $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Phi_p=\sup \biggl\{\frac{1}{\log n} \log \int_0^{2\pi} |f'(e^{it})|^p\,dt\colon f\in \mathcal{S} \,-\,\text{полином},\,\operatorname{deg}f\leqslant n\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а через $\Psi_p$ обозначим соответствующий супремум по всем однолистным рациональным функциям $f$ степени не выше $n$ таким, что $|f|\leqslant 1$ в $\mathbb{D}$. В статье [29] показано, что $\Phi_p=B(p)$. В то же время $\Psi_1=1/2$: верхняя оценка для $\Psi_1$ была установлена в [24], а нижняя в [30]. Таким образом, как и в гипотезе Литтлвуда, в случае полиномов порядок роста определяется спектром интегральных средних, а для рациональных функций это не так.
§ 7. Весовые неравенстваРассмотрим более общее неравенство, в котором рост производной вблизи границы компенсируется домножением на функцию расстояния до границы в некоторой степени. Неравенства такого рода хорошо известны для рациональных функций в круге. Например, известное неравенство В. В. Пеллера (см. [4]) утверждает, что для рациональной функции $R$ степени $n$ с полюсами вне $\overline{\mathbb{D}}$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\|R\|_{B_p^{1/p}} \leqslant C n^{1/p} \|R\|_{\mathrm{BMOA}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_p^{1/p}$ – пространство Бесова, $p>0$, $C=C(p)$, а $\mathrm{BMOA}$ – пространство аналитических функций ограниченной средней осцилляции. В частности, при $1<p<\infty$
$$
\begin{equation*}
\int_\mathbb{D} |R'(z)|^p (1-|z|)^{p-2}\,dA(z) \leqslant C n \|R\|^p_{H^\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Различные доказательства и обобщения этого неравенства можно найти в статьях [5]–[7], [9]–[11], [31], [13]. Пусть $p\geqslant 1$, $\beta \in \mathbb{R}$. Нас интересуют оценки вида
$$
\begin{equation}
I_{p,\beta} (R) :=\int_G |R'(w)|^p\,d_G^\beta(w)\,dA(w) \leqslant C \Psi(n) \|R\|^p_{H^\infty(G)},
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где константа $C$ может зависеть от $G, p, \beta$, но не зависит от $n$ и $R$, а вся зависимость от $n$ включена в множитель $\Psi(n)$. Естественным ограничением на параметры является неравенство $p-2\leqslant \beta \leqslant p-1$. Если $\beta<p-2$, то уже в случае рациональных функций в круге неравенство (7.1) не имеет места с константой $C$, не зависящей от $R$, так как $I_{p,\beta} (R)$ начинает зависеть от расстояния от полюсов до границы. Если $\beta>p-1$, а граница области $G$ спрямляема, то по лемме 2 (утверждение 3)
$$
\begin{equation*}
I_{p,\beta} (R) \leqslant \|R\|_\infty^p \int_G d_G^{\beta -p}(w)\,dA(w) \leqslant C(L, p, \beta) \|R\|_\infty^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Для рациональных функций в областях с достаточно регулярными границами неравенства типа (7.1) были установлены в [15; теорема 5]. Следующие следствия обобщают результаты статьи [15] на случай $n$-листных функций и произвольных областей со спрямляемой границей. Для случая $\beta=p-1$ мы немедленно получаем Следствие 3. Пусть $G$ – ограниченная односвязная область со спрямляемой границей, $L=\ell (\partial G)$. Тогда существует такая абсолютная числовая константа $C>0$, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ Случай $p\geqslant 2$ напрямую вытекает из леммы 3, а случай $1<p<2$ следует из теоремы 2 и неравенства Гёльдера. Следствие 4. Пусть $G$ – ограниченная односвязная область со спрямляемой границей, $L=\ell(\partial G)$. Если $p>1$, $p-2\leqslant \beta<p-1$ и $\beta\geqslant 0$ (при $p\geqslant 2$ это условие выполнено автоматически), то найдется константа $C=C(p, \beta)$ такая, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ Утверждение следует из теоремы 1, так как $I_{p,\beta} (R) \lesssim \|R\|^\beta_{\infty} I_{p-\beta, 0} (R)$ и $1<p-\beta\leqslant 2$. Случай $1\leqslant p<2$ и $\beta<0$ оказывается сложнее: здесь наш результат покрывает только часть значений параметра $\beta$, оставляя открытым вопрос о справедливости неравенства типа (7.1) для $\beta$ из некоторого подынтервала в $(p-2, p-1)$. Теорема 4. Пусть $G$ – ограниченная односвязная область со спрямляемой границей, $L=\ell(\partial G)$. Если $1\leqslant p<2$ и то найдется константа $C=C(p, \beta)$ такая, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ Доказательство. Как и ранее, положим $\varepsilon={L}/{n}$ и $G=G_\varepsilon \cup H_\varepsilon$, где $H_\varepsilon$ и $G_\varepsilon$ заданы формулой (2.1). Тогда по лемме 2 (утверждение 1)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G_\varepsilon} |f'(w)|^p\,d_G^\beta(w)\,dA(w) & \leqslant \|R\|_{\infty}^p \int_{G_\varepsilon} \frac{dA(w)}{d_G^{p-\beta}(w)} \\ & \leqslant C L\, \varepsilon^{1-p+\beta} \|R\|_{\infty}^p=C L^{2-p+\beta} n^{p-\beta-1}\|R\|_{\infty}^p, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ зависит только от $p$ и $\beta$. По неравенству Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{H_\varepsilon} |f'(w)|^p\,d_G^\beta(w)\,dA(w) \\ &\qquad \leqslant \biggl(\int_{H_\varepsilon} |R'(w)|^2\,dA(w)\biggr)^{p/2} \biggl(\int_{H_\varepsilon} d_G^{2\beta/(2-p)} (w)\,dA(w) \biggr)^{1-p/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия $\beta>{p}/{2} -1$ следует, что $s={2\beta}/(2-p)>-1$. Разбивая $H_\varepsilon$ на слои, $H_\varepsilon=\bigcup_{k=0}^\infty \{w\in G\colon 2^{-k-1}\varepsilon<d_G(w) \leqslant 2^{-k}\varepsilon\}$, и применяя лемму 1, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{H_\varepsilon} d_G^s (w)\,dA(w) \leqslant C_s \varepsilon^{s} \sum_{k=0}^\infty 2^{-ks} S(F_k) \leqslant C_s \varepsilon^{s+1} L \sum_{k=0}^\infty 2^{-k(1+s)} \leqslant C_s \varepsilon^{s+1} L,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $s>-1$. Здесь $C_s$ обозначает возможно разные константы, зависящие только от $s$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{H_\varepsilon} |f'(w)|^p\,d_G^\beta(w)\,dA(w) & \leqslant C n^{{p}/{2}} n^{(-1- {2\beta}/(2-p))(2-p)/{2}} L^{(2+ 2\beta/(2-p))(2-p)/{2}}\|R\|_{\infty}^p \\ &=C L^{2-p+\beta} n^{p-\beta-1}\|R\|_{\infty}^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 доказана. Покажем, что в отличие от случая рациональных функций (неравенство Пеллера) в случае $n$-листных функций оценка вида (7.1) не может иметь места при всех $\beta\in [p-2, p-1]$, более того, интеграл в левой части может разойтись. Напомним, что $B_b(p)$ обозначает универсальный спектр интегральных средних ограниченных однолистных функций. Известно, что Предложение 3. Для всяких $p\in [1,2)$ и $\beta<B_b(p)-1$ найдется ограниченная однолистная функция $\varphi$ в круге $\mathbb{D}$, для которой Доказательство. Пусть $\delta>0$ и $\beta+\delta<B_b(p)-1$. По определению спектра интегральных средних найдутся ограниченная однолистная функция $\varphi$ и последовательность $\varepsilon_n\to 0$ такие, что Тогда Предложение доказано. Таким образом, в случае $1\leqslant p<2$ неравенство типа (7.1) справедливо при $\beta>{p}/{2} -1$ и, вообще говоря, неверно при $\beta<B_b(p)-1$. Неисследованным остается промежуток $\beta\in [B_b(p)-1,\, {p}/{2} -1]$. Отметим, что $B_b(p) \to 1$, $p\to 2$, так что верхняя и нижняя границы смыкаются при $p\to2$. Напомним, что гипотеза Крэтцера утверждает, что $B_b(p)={p^2}/{4}$, $|p| \leqslant 2$. Наилучшие на данный момент оценки спектра интегральных средних были получены в [26], однако даже они дают для $B_b(1)$ верхнюю оценку 0.46, что очень далеко от предсказанных гипотезой Крэтцера 0.25 (в то же время известна достаточно близкая оценка снизу для $B_b(1)$ числом 0.23, см. [32]). § 8. ЗаключениеДля случая областей с неспрямляемой границей остается открытым интересный вопрос о точности оценок сверху из теоремы 3 или оценок снизу из предложения 2. Другой естественный вопрос состоит в описании максимально широкого класса областей, для которых верна оценка с порядком роста $n^{p-1}$. По теореме 1 это верно для областей $G$ со спрямляемой границей, т.е. в том случае, когда конформное отображение $\varphi$ круга $\mathbb{D}$ на область $G$ удовлетворяет условию $\varphi' \in H^1$. В то же время имеется очевидное необходимое условие. Пусть $p \in (1,2)$, $G= \varphi(\mathbb{D})$ – ограниченная односвязная область. Если существует константа $C =C(G,p)>0$ такая, для любой ограниченной $n$-листной в $G$ функции $R$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant C n^{p-1} \|R\|^p_{H^\infty(G)},
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
то $\varphi' \in H^{2-p}$. Для доказательства рассмотрим $n$-листную функцию $R(w)=(\varphi^{-1}(w))^n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{G} |R'(w)|^p\,dA(w) =\int_{\mathbb{D}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p |\varphi'(z)|^{2-p}\,dA(z) \\ &\quad =n^p \int_{\mathbb{D}} |z|^{p(n-1)} |\varphi'(z)|^{2-p}\,dA(z) \geqslant n^p \int_{1-1/n<|z|<1} |z|^{p(n-1)} |\varphi'(z)|^{2-p}\,dA(z) \\ &\quad \gtrsim n^{p-1} \int_0^{2\pi} \biggl|\varphi'\biggl(\biggl(1-\frac 1n\biggr)e^{it}\biggr)\biggr|^{2-p}\, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку для функции $R$ выполняется (8.1), то отсюда сразу вытекает, что $\varphi' \in H^{2-p}$. Можно высказать гипотезу, что условие $\varphi' \in H^{2-p}$ будет также и достаточным условием для выполнения неравенства (8.1). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarKay23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|