| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Значения П. Е. Закорко Факультет математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9873e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеХордовые диаграммы и $4$-членное соотношение на них возникли при изучении В. А. Васильевым инвариантов узлов. Инварианты Васильева конечного порядка описываются с помощью весовых систем – функций на хордовых диаграммах, удовлетворяющих $4$-членному соотношению Васильева (см. [1]). Как показал М. Концевич (см. [2]), верно и обратное – по всякой весовой системе можно восстановить инвариант узла. М. Концевич и Д. Бар-Натан (см. [2] и [3] соответственно) предложили способ конструирования весовой системы по произвольной алгебре Ли, наделенной инвариантной билинейной формой. Простейшей весовой системой, получаемой с помощью этой конструкции, является $\mathfrak{sl}_2$-весовая система, отвечающая алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$. Она принимает значения в пространстве многочленов от одной переменной – элемента Казимира в $\mathfrak{sl}_2$. По хордовой диаграмме можно построить граф пересечений ее хорд. Как показали С. Чмутов и С. Ландо в [4], значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы зависит только от графа пересечений хордовой диаграммы, поэтому можно говорить о значении этой весовой системы на графах пересечений. Однако не для всякого графа существует хордовая диаграмма с данным графом пересечений. С. К. Ландо сформулировал вопрос о существовании продолжения весовой системы на все пространство графов. Е. Красильников (см. [5]) доказал существование и единственность такого продолжения на множество графов с не более чем восемью вершинами. Один из способов построения продолжения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы до инварианта графа – это угадать этот инвариант, предварительно подсчитав достаточно большое количество значений на графах пересечений. П. А. Филиппова (см. [6]) сначала вычислила значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на специальной серии хордовых диаграмм, а затем в предположении существования продолжения инварианта на множество всех графов нашла значения на серии графов, не являющихся графами пересечений. Однако даже подсчет значений на графах пересечений затруднителен, поскольку вычисления происходят в некоммутативной алгебре или (если иметь в виду рекуррентные соотношения Чмутова–Варченко; см. [7]) задействуют экспоненциально большое по сравнению с числом хорд и их пересечений число диаграмм. Полный граф является графом пересечений, но до настоящей работы значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на соответствующей ему хордовой диаграмме доказано не было. С. К. Ландо выдвинул гипотезу о форме производящей функции этих значений. А. Бижени (см. [8]) удалось частично доказать эту гипотезу для производящей функции коэффициентов при линейном члене значений. В настоящей работе мы доказываем гипотезу полностью, используя понятие доли – подмножества хорд диаграммы с концами на двух данных дугах окружности. Доли играют основную роль в доказательстве теоремы Чмутова–Ландо о зависимости значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы только от графа пересечений хордовых диаграмм (см. [4]). Мы ввели линейные операторы добавления хорды на пространстве долей и выписываем несколько соотношений, связывающих их. С помощью данных соотношений мы построили простой алгоритм вычисления значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммах с полным графом пересечений, позволяющий явно выписать производящую функцию этих значений, которая совпала с предсказанной С. К. Ландо. Вид полученной производящей функции позволяет найти два удобных базиса в факторпространстве долей по модулю рекуррентных соотношений Чмутова–Варченко и вывести изоморфность этого пространства пространству многочленов от двух переменных. Благодарности. Автор выражает благодарность Г. С. Минаеву, П. А. Зиновой (Филипповой), М. Э. Казаряну и С. К. Ландо за обсуждение темы работы и полезные советы. § 2. Хордовые диаграммы и весовая система $w_{\mathfrak{sl}_2}$Определение 1. Хордовая диаграмма порядка $n$ – это ориентированная окружность, рассматриваемая с точностью до сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов, с выбранными на ней $2n$ попарно различными точками, разбитыми на $n$ пар. Каждую пару выбранных точек окружности мы для наглядности будем соединять хордой – отрезком или лежащей внутри окружности дугой. По хордовой диаграмме можно построить простой граф без кратных ребер и петель, называемый ее графом пересечений. Определение 2. Граф пересечений хордовой диаграммы – это граф, вершины которого соответствуют хордам диаграммы, а ребра соединяют те и только те вершины, хорды которых пересекаются. Определение 3. Дуговая диаграмма порядка $n$ – это ориентированная прямая, рассматриваемая с точностью до сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов, с выбранными на ней $2n$ попарно различными точками, разбитыми на $n$ пар. Каждую пару выбранных точек прямой мы для наглядности будем соединять дугой, лежащей в фиксированной полуплоскости. Хордовую диаграмму можно представить в виде дуговой диаграммы, “разрезав” окружность диаграммы в точке, отличной от $2n$ выбранных (рис. 1). Формальные линейные комбинации хордовых диаграмм с коэффициентами в $\mathbb C$ образуют векторное пространство хордовых диаграмм. Аналогичные пространства образуют графы и дуговые диаграммы. Определение 4. Весовой системой называют линейную функцию $w$ на векторном пространстве хордовых диаграмм, удовлетворяющую 4-членному соотношению В этом и следующих равенствах диаграммы могут содержать также хорды с концами на пунктирных дугах окружности, причем расположение этих хорд одинаковое во всех слагаемых одного равенства. В выражениях для значений весовой системы мы в дальнейшем будем опускать саму функцию, отождествляя диаграмму с ее значением. Покажем, как по произвольной алгебре Ли $H$ с невырожденной инвариантной билинейной формой $(\cdot, \cdot)$ можно построить весовую систему, где под инвариантностью билинейной формы понимается выполнение равенства $([a, [b, c]])\,{=} ([a, b], c)$ для любых $a,b,c \in H$. Выберем произвольный ортонормированный относительно $(\cdot, \cdot)$ базис $x_1, x_2, \dots, x_n$. Построим функцию $\omega$ на пространстве дуговых диаграмм, принимающую значения в универсальной обертывающей алгебры $H$, следующим образом. Сопоставим каждой дуге диаграммы номер от $1$ до $n$ по числу элементов базиса; две разные дуги могут быть под одним и тем же номером. Каждому концу дуги поставим в соответствие элемент базиса с индексом, равным номеру дуги. Перемножим элементы базиса в порядке их расположения на ориентированной прямой диаграммы. Сложим полученные произведения для всевозможных отображений из множества дуг в множество $\{1, \dots, n \}$. Сумма этих произведений лежит в универсальной обертывающей алгебры $H$. В качестве примера приведем выражение для значения $\omega$ на дуговой диаграмме на рис. 1:
$$
\begin{equation*}
\sum_{i_1=1}^{n} \sum_{i_2=1}^{n} \sum_{i_3=1}^{n} \sum_{i_4=1}^{n} \sum_{i_5=1}^{n} x_{i_1} x_{i_2} x_{i_1} x_{i_3} x_{i_4} x_{i_2} x_{i_5} x_{i_3} x_{i_4} x_{i_5}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для продолжения $\omega$ до весовой системы на пространстве хордовых диаграмм нужно проверить, что на разных дуговых представлениях одной хордовой диаграммы значения совпадают и функция $\omega$ удовлетворяет 4-членному соотношению. Это гарантируется следующей теоремой. Теорема 1 (см. [2]). Для функции $\omega$ выполняются следующие свойства: 1) $\omega$ не зависит от выбора ортонормированного базиса $e_1, \dots, e_n$; 2) $\omega$ принимает одинаковые значения на разных представлениях одной хордовой диаграммы; 3) $\omega$ удовлетворяет $4$-членному соотношению; 4) образ $\omega$ лежит в центре универсальной обертывающей алгебры $H$. Простейший случай описанной выше конструкции соответствует алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$. В этой алгебре Ли можно выбрать ортонормальный базис $x_1$, $x_2$, $x_3$, который удовлетворяет соотношению $[x_i, x_j]=\varepsilon_{ijk} x_k$, где $\varepsilon_{ijk}$ – символ Леви-Чивиты. Элемент $c :=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ порождает центр универсальной обертывающей $\mathfrak{sl}_2$. Сконструированная весовая система обозначается $w_{\mathfrak{sl}_2}$ и называется $\mathfrak{sl}_2$-весовой системой. Она принимает значения в пространстве многочленов от одной переменной $c$. Однако при вычислении значений на конкретных диаграммах удобнее пользоваться комбинаторными соотношениями $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы, приведенными ниже. Теорема 2. Для весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ справедливо следующее. $\bullet$ Начальные значения: $\bullet$ (Мультипликативность.) Пусть множество хорд диаграммы разбивается на два дополнительных подмножества таких, что никакие две хорды из разных подмножеств не пересекаются. Тогда значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на всей хордовой диаграмме равно произведению значений на двух диаграммах, содержащих только хорды первого и только второго подмножества соответственно: $\bullet$ (Соотношения Чмутова–Варченко; см. [7].) Пусть имеется хордовая диаграмма $D$ со связным графом пересечений. Тогда: 1) либо в диаграмме есть лист – хорда, пересекающая ровно одну хорду, и поэтому
$$
\begin{equation*}
w_{\mathfrak{sl}_2}(D)=(c-1) w_{\mathfrak{sl}_2}(D'),
\end{equation*}
\notag
$$
где через $D'$ обозначена диаграмма $D$ без листа; 2) либо найдется одна из двух троек хорд, изображенных в левых частях равенств для которых выполняются 6-членные соотношения.Пользуясь только свойствами из теоремы 2, мы можем вычислить значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на любой хордовой диаграмме. На простейшей серии хордовых диаграмм, состоящих из $n$ непересекающихся хорд, значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ принимает значение $c^{n}$ в силу свойства мультипликативности. В общем случае вычислить значение на диаграмме с большим числом хорд и их пересечений непросто из-за быстро возрастающего при применении 4-членных и 6-членных соотношений числа диаграмм. Теорема 3 (см. [4; теорема 4]). Значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовой диаграмме зависит только от ее графа пересечений. Мы изучаем значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на серии хордовых диаграмм с полным графом пересечений. Обозначение 1. Обозначим через $K_n(c)$ значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовой диаграмме с полным графом пересечений c $n$ вершинами (в табл. 1 приведены многочлены $K_n(c)$ для небольших $n$). Таблица 1.Значения весовой системы на диаграммах с полным графом пересечений
Основным результатом настоящей работы является доказательство гипотезы С. К. Ландо о последовательности многочленов $K_n(c)$. Теорема 4 (гипотеза С. К. Ландо, 2016; см. [8]). Производящая функция последовательности многочленов $K_n(c)$ является цепной дробью коэффициенты которой имеют вид Выражение в правой части равенства (2.4) называется бесконечной непрерывной дробью Якоби. Это равенство следует понимать как равенство формальных степенных рядов в правой и левой частях выражения. Чтобы вычислить первые $n$ коэффициентов степенного ряда бесконечной непрерывной дроби, достаточно найти первые $n$ коэффициентов степенного ряда ее приближения конечной дробью, которую можно получить, оставив только первые $n$ коэффициентов при $t$ или $t^2$ суммарно на всех уровнях дроби. Конечная же непрерывная дробь является рациональной функцией по $t$, и для нее легко вычислить заданный коэффициент степенного ряда. В работе [8] было доказано, что коэффициенты при мономе $c$ многочленов $K_n(c)$ совпадают с соответствующими коэффициентами цепной дроби. Абсолютные значения этих коэффициентов образуют последовательность нормализованных медианных чисел Дженокки A000366. § 3. Разложение пучка по тривиальным долямЭта часть работы посвящена построению простого алгоритма, вычисляющего значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммах с полным графом пересечений. Полученный алгоритм использует значения лишь небольшого числа диаграмм с меньшим количеством хорд или их пересечений. Определение 5 (см. [4]). На окружности хордовой диаграммы выделим две непересекающиеся дуги. Долей хордовой диаграммы назовем такой набор ее хорд, что все концы хорд набора и только они располагаются на двух выделенных дугах окружности. Хорды, не принадлежащие доле, назовем дополнительными. Эти хорды образуют дополнительную долю. К долям так же, как и к хордовым диаграммам, можно применять 4-членные и 6-членные соотношения. Значения трех простейших долей, состоящих из одной хорды, двух непересекающихся и двух пересекающихся хорд соответственно, причем концы каждой из хорд расположены на разных дугах доли, связаны 3-членным соотношением. Лемма 1 (см. [6; следствие 3]). Для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ выполняется 3-членное соотношение Данное соотношение является простым следствием 4-членного: достаточно рассмотреть соотношение (2.1), в каждом слагаемом которого отсутствуют концы хорд на нижней пунктирной дуге. Трехчленное соотношение является мотивирующим для следующего определения. Определение 6. Тривиальная доля с $n$ хордами – это доля, состоящая из $n$ попарно не пересекающихся хорд, концы каждой из которых лежат на разных дугах доли. Пучок из $n$ хорд – это доля с $n$ попарно пересекающимися хордами, концы каждой из которых также лежат на разных дугах. (Примеры хордовых диаграмм с данными видами долей приведены на рис. 2.) Лемма 1 утверждает, что значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на диаграмме с пучком из двух хорд можно представить как разность значений на двух диаграммах с тривиальными долями из двух и одной хорд при любых одинаковых дополнительных долях во всех трех диаграммах. Это утверждение обобщается на пучки с произвольным числом хорд (см. предложение 1). Определение 7. Разложением доли по тривиальным долям называется такая линейная комбинация тривиальных долей с коэффициентами-многочленами от $c$, что значения $w_{\mathfrak{sl}_2}$-весовой системы на данной доле и на линейной комбинации совпадают при любых одинаковых дополнительных долях. Долю, для которой разложение по тривиальным долям существует, будем называть разложимой. Предложение 1. Пучок из $n$ хорд разложим по тривиальным долям, причем существует разложение, в котором тривиальная доля с наибольшим числом хорд состоит ровно из $n$ хорд и входит в разложение с единичным коэффициентом. Как мы выясним в дальнейшем, разложение по тривиальным долям существует и даже единственно для доли произвольного вида, и получить это разложение можно применением комбинаторных соотношений к хордам доли (см. теорему 6). Для вычисления же значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовой диаграмме с полным графом пересечений на $n$ вершинах достаточно знать конкретный вид хотя бы одного разложения пучка из $n$ хорд. Для сокращения дальнейших записей введем несколько удобных обозначений. Обозначение 2. Пусть доля $I$ разложима по тривиальным долям $I_k$, т.е. $I= \sum_{k=0}^{n} p_k(c)I_k$ для некоторых многочленов $p_k(c)$. Сопоставим доле $I$ с данным разложением многочлен $I(x, c)= \sum_{k=0}^{n} p_k(c) x^n$, который мы будем называть многочленом разложения доли по тривиальным долям. Например, $x^n$ является многочленом разложения тривиальной доли $I_n$ с $n$ хордами. Отождествим тривиальную долю с ее многочленом разложения: $I_n=x^n$. Обозначение 3. Рассмотрим доли $I$ и $I'$, которые отличаются одной хордой, принадлежащей $I$, не пересекающей другие хорды доли и с концами на разных выделенных дугах. Будем в таком случае писать $I=xI'$: Замечание 1. Если $I'$ разложима по тривиальным долям с многочленом разложения $I'(x,c)$, то $I$ также раскладывается в линейную комбинацию тривиальных, причем многочлен $I(x, c) :=x I'(x,c)$ является многочленом разложения для $I$. Лемма 2. Пусть разложимая по тривиальным доля $I$ имеет многочлен разложения $I(x, c)$. Тогда значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на замыкании $D$ доли $I$ вычисляется подстановкой $x=c$: Доказательство. Для тривиальных долей $I_n$ с $n$ хордами $I_n(x, c)=x^n$, а значение на диаграмме с $n$ непересекающимися хордами равно $c^n$; для произвольной же разложимой доли $I$ утверждение выполнено в силу линейности $w_{\mathfrak{sl}_2}$. Определение 9. Введем на пространстве долей линейные операторы $\widetilde{T}$ и $\widetilde{S}$, действующие на произвольной доле добавлением одной хорды следующим образом: Концы добавленных красных хорд совпадают с концами выделенных дуг. Замечание 2. Определение оператора $\widetilde{S}$ предписывает добавлять к доле новую хорду с концами на нижней выделенной доле. Если же нас интересует только значение $w_{\mathfrak{sl}_2}$-весовой системы на доле, а не конкретное расположение хорд в ней, то концы добавленной хорды можно расположить на верхней дуге: граф пересечения от этого не изменится, а значит, не изменится и значение по теореме 3. Аналогичным образом можно менять расположение хорды, добавленной оператором $\widetilde{T}$ (см. (3.2)): Замечание 3. Операторы $\widetilde{T}$ и $\widetilde{S}$ можно применять к обеим частям равенства для значений $w_{\mathfrak{sl}_2}$-весовой системы на долях: концы добавляемой каждым из операторов хорды лежат на концах выделенных дуг, и поэтому новую хорду можно считать принадлежащей дополнительной доле. Данные операторы понадобятся для построения разложения по тривиальным долям пучка из $n$ хорд. Предложение 2. Для любого целого $n \geqslant 1$ выполняются рекуррентные соотношения Перед тем как доказывать предложение 2, отметим следующую зависимость между операторами $\widetilde{T}$ и $\widetilde{S}$. Доказательство. Это выражение следует из применения к левой части равенства 4-членного соотношения $k$ раз с последовательным вытаскиванием по одной синей хорде из-под черной:
Лемма доказана. Лемму 3 можно рассматривать как 4-членное соотношение для тривиальной доли: если в равенстве (3.5) заменить все синие хорды на одну, то получится обычное 4-членное соотношение. В силу линейности $w_{\mathfrak{sl}_2}$ можно обобщить 4-членное соотношение на любую разложимую долю (т.е., как будет следовать из теоремы 6, на любую долю). Это обобщение приведено в [9; гл. 4, упражнение (14)]. Доказательство предложения 2. Применим к $\widetilde{S}(x^{n+1})$ первое 6-членного соотношение (2.2):
$$
\begin{equation}
\widetilde{S}(x^{n+1})=2x\widetilde{S}(x^{n})-x^2\widetilde{S}(x^{n-1})+ \widetilde{S}^2(x^{n-1})-\widetilde{T}^2(x^{n-1}).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Выразим разность последних двух долей $\widetilde{S}^2(x^{n-1})- \widetilde{T}^2(x^{n-1})$ через линейные операторы $\widetilde{T}$ и $\widetilde{S}$ в первой степени. Для этого к обеим частям равенства (3.4) при $k=n-1$ применим $\widetilde{T}$ и $\widetilde{S}$:
Чтобы избавиться от последовательного применения операторов $\widetilde{T}\widetilde{S}$ и $\widetilde{S}\widetilde{T}$, воспользуемся 4-членным соотношением тогда получим
$$
\begin{equation}
\widetilde{S}\widetilde{T}(x^{n-1})-\widetilde{T}\widetilde{S}(x^{n-1})= \widetilde{S}(x^n)-x\widetilde{S}(x^{n-1}).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Сложим выражения (3.7) и (3.8) с учетом равенства (3.9):
$$
\begin{equation*}
\widetilde{T}^2(x^{n-1})-\widetilde{S}^2(x^{n-1})= x\widetilde{S}(x^{n-1})+\widetilde{T}(x^{n})-c\widetilde{S}(x^{n-1})- c\widetilde{T}(x^{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученную в правой части линейную комбинацию долей подставим в (3.6) и, вспомнив, что $\widetilde{T}$ и $\widetilde{S}$ связаны леммой 3, докажем обе рекуррентных формулы.
Предложение доказано. Следствие 1. Для доли $\widetilde{T}(x^n)$ существует разложение по тривиальным долям, доля с наибольшим числом хорд которого состоит ровно из $n+1$ хорд и входит в разложение с единичным коэффициентом. Доказательство. При $n=0$ имеем $\widetilde{T}(1)=x$, для $n=1$ утверждение следует из $3$-членного соотношения (3.1). Индукция по $n$ и предложение 2 гарантируют разложимость $\widetilde{T}(x^{n+1})$, а из вида рекуррентной формулы (3.3) в этом предложении получаем единичный коэффициент при старшем мономе многочлена разложения доли $\widetilde{T}(x^{n+1})$. По предположению индукции старшие мономы многочленов разложения $\widetilde{T}(x^{n})$ и $\widetilde{T}(x^{n-1})$ равны $x^{n+1}$ и $x^{n}$ соответственно. Подстановкой этих мономов в рекуррентную формулу получаем искомый старший моном $x^{n+2}$ Этот моном и соответствует тривиальной доле с $n+2$ хордами.
Следствие доказано. Доказательство предложения 1 (алгоритм разложения пучка). Проведем доказательство индукцией по числу хорд в пучке. Предположим, что пучок с $n$ хордами разложим по тривиальным долям. Выделим в пучке с $n+1$ хордами подпучок с $n$ хордами. По замечанию 3 мы можем разложить этот подпучок по тривиальным долям, не нарушая равенства. Разложив его, мы получим разложение пучка из $n+1$ хорд по долям вида $\widetilde{T}(x^{k})$, причем максимальный индекс $k$ в разложении равен $n$ и $\widetilde{T}(x^{n})$ входит в разложение с единичным коэффициентом. Но каждая доля $\widetilde{T}(x^{k})$ в свою очередь разложима по тривиальным, а значит, и пучок разложим. Тривиальная доля в разложении пучка с наибольшим числом хорд появляется из разложения $\widetilde{T}(x^{n})$, состоит из $n+1$ хорд и коэффициент при ней в разложении равен единице.
Предложение доказано. Лемма 2 и предложение 1 вместе образуют алгоритм вычисления $K_n(c)$. § 4. Доказательство теоремы 4Введем линейный оператор $T$ на пространстве многочленов от $x$ с коэффициентами-многочленами от $c$, определенный на базисных векторах $x^{n}$ с помощью рекуррентного соотношения из предложения 2:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T(x^{n+1})=(2x-1) T(x^{n})+(2c-x-x^{2}) T(x^{n-1})+x^{n-1}(c-x)^{2}, \\ T(1)=x, \qquad T(x)=x^2-x. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Аналогичным образом введем оператор $S$ на пространстве многочленов:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S(x^{n+1})=(2x-1) S(x^{n})+(2c-x-x^{2}) S(x^{n-1})-x^{n-1}(c-x)^{2}, \\ S(1)=c, \qquad S(x)=(c-1)x. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 2 следует, что значение $w_{\mathfrak{sl}_2}$-весовой системы на диаграмме с полным графом пересечений с $n$ вершинами можно задать с помощью оператора $T$ в следующем виде: Введем новую переменную $y:=x-c$. В терминах новой переменной Замена переменной позволяет легче вычислять $K_n(c)$, поскольку в многочлен проще подставлять нуль: для этого достаточно знать свободный член $T^{n}(1)$ как многочлена от $y$. Поэтому мы будем рассматривать сам оператор $T$ в базисе $y^n$. При смене базиса рекуррентная формула (4.1) для $T(x^n)$ переходит в новую рекуррентную формулу для $T(y^n)$, которая обобщается в следующем предложении. Предложение 3. Для любого многочлена $p(y)$ выполняются следующие соотношения: с начальными условиями Доказательство. Докажем рекуррентную формулу для оператора $T$, для $S$ доказательство аналогично. Благодаря линейности $T$ достаточно доказать рекуррентное соотношение только для мономов $p(y)=y^{n-1}$, $n \geqslant 1$.
Первое начальное условие задается определением оператора, второе следует из его линейности: Теперь докажем рекуррентное соотношение. Распишем для этого $T(y^2 p(y))$, воспользовавшись линейностью $T$ и равенством $y^2=x^2-2cx+ c^2$:
$$
\begin{equation}
T(y^2p(y))=T(y^{n+1})=T(x^{2}y^{n-1})-2cT(xy^{n-1})+ c^2T(y^{n-1}).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Каждое из слагаемых в правой части равенства выше можно выразить через $T(y^{n})$ и $T(y^{n-1})$: Для упрощения $T(x^{2}y^{n-1})$ воспользуемся равенством $y^{n-1}=(x-c)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \eta_{kn} x^{k}$ (где $\eta_{kn}=\binom{n-1}{k}(-c)^{n-k-1}$, хотя конкретные значения в данном случае не важны):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &T(x^{2}y^{n-1}) =\sum_{k=0}^{n-1} \eta_{kn} T(x^{k+2}) \\ \notag &\qquad= (2x-1)\sum_{k=0}^{n-1} \eta_{kn} T(x^{k+1})+(2c-x-x^2)\sum_{k=0}^{n-1} \eta_{kn} T(x^{k})+(x-c)^2\sum_{k=0}^{n-1} \eta_{kn} x^{k} \\ &\qquad= (2x-1)T(xy^{n-1})+(2c-x-x^2) T(y^{n-1})+y^{n+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Остается только подставить равенства (4.4) и (4.5) в равенство (4.3).
Предложение доказано. Для того чтобы связать оператор $T$ с производящей функцией, представленной в теореме 4 в виде цепной дроби, нам потребуется теорема Стилтьеса. Теорема 5 (см. [10]). Коэффициенты цепной дроби Оказывается, в некотором базисе оператор $T$ записывается в виде трехдиагональной матрицы такого же вида, как в правой части равенства теоремы 5, с коэффициентами, указанными в теореме 4. Предложение 4. Оператор $T$ в базисе Доказательство. Предложение 4 равносильно тому, что для элементов базиса $y_i$ и их образа под действием оператора $T$ выполняется следующее соотношение:
Каждый $y_i$ как многочлен делится на $y_j$ с индексом $j\leqslant i$. Поэтому равенство выше можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
T(y_{k})=\biggl(y^2+(c-k) y-c\frac{k(k+1)}{2}\biggr)y_{k-1}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Это тождество мы доказываем в дальнейшем по индукции. Легко проверить, что при $k=1$ оно выполняется: $T(y_{1})=T(y)= (y-1)(y+c)=y^2+(c-1) y-c$ (см. предложение 3). Предположим, что при всех $k \leqslant n$ равенство (4.7) верно, покажем, что оно выполняется и для $k=n+1$. Для этого выразим $T(y_{n+1})$ через $y_{n}$ и $y_{n-1}$ способом, аналогичным доказательству предложения 3:
$$
\begin{equation*}
T(y_{n+1})=T(y^2 y_{n-1})+n^2T(y y_{n-1})+ \frac{n^2(n^2-1)}{4}T(y_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее каждое из слагаемых в правой части выразим через $T(y_{n})$ и $T(y_{n-1})$. Первое слагаемое правой части упрощается с помощью предложения 3:
$$
\begin{equation*}
T(y^{2} y_{n-1})= (2y-1)T(y y_{n-1})+(-y^2-y)T(y_{n-1})+y^2 y_{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для второго слагаемого имеем Подставляя последние два равенства в выражение для $T(y_{n+1})$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T(y_{n+1}) &=(2y+n^2-1)T(y_{n}) \\ &\qquad- \biggl(y^2+(n^2-n+1)y+\frac{(n^2-2n)(n^2-1)}{4}\biggr)T(y_{n-1})+y^2 y_{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
К первому и второму слагаемым применим предположение индукции, а именно равенство (4.7) для $k=n$ и $k=n-1$. Заметим, что коэффициент при $T(y_{n-1})$ раскладывается на множители
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &y^2+(n^2-n+1)y+\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)}{4} \\ &\qquad= \biggl(y+\frac{n(n+1)}{2}\biggr)\biggl(y+\frac{(n-2)(n-1)}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Второй множитель $(y+(n-2)(n-1)/2)$ в разложении равен отношению $y_{n-1}/y_{n-2}$. Тогда $T(y_{n+1})$ равен произведению $y_{n-1}$ и многочлена третьей степени от $y$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{T(y_{n+1})}{y_{n-1}} &=y^3+\biggl(c+\frac{n(n-3)}{2}-1\biggr)y^2 \\ &\qquad- \biggl(2nc+c+\frac{n(n^2-1)}{2}\biggr)y-\frac{c(n^2-1)(n^2+2n)}{4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Коэффициент при $y_{n-1}$ в равенстве (4.8) тоже раскладывается на множители:
$$
\begin{equation*}
T(y_{n+1})=\biggl(y^2+(c-n-1) y- \frac{c(n+1)(n+2)}{2}\biggr)\biggl(y+\frac{n(n-1)}{2}\biggr)y_{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается только сгруппировать второй и третий множители в $y_{n}$, чтобы доказать тождество (4.7).
Предложение 4 доказано. Предложение 5. Пусть $\sum_{n=0}^{\infty} d_n(c) t^n$ – формальный степенной ряд, равный цепной дроби из теоремы 4. Тогда $K_{n}(c)=d_{n}(c)$ для всех $n$. Доказательство. По предложению 4 запишем оператор $T$ в базисе $y_{n}$ в виде трехдиагональной матрицы $A$. Из теоремы 5 следует, что так как умножение на $A^{n}$ переводит $j$-й столбец матрицы $(k_{ij})_{i,j=0}^{\infty}$ в $(j+n)$-й. Поскольку $y_0=1$, $y_k|_{y=0}=0$ для всех целых $k \geqslant 1$, то По равенству (4.2) $T^{n}(1)|_{y=0}=K_n(c)$.
Предложение доказано. Таким образом, мы подтвердили вид производящей функции значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммах с полным графом пересечений, и теорема 4 доказана. § 5. Существование и единственность разложения произвольной доли по тривиальным долямДоказательство основной теоремы построено на разложении пучка по тривиальным долям, для чего мы привели конкретный алгоритм разложения данного вида долей. Оказывается, что и в общем случае, для произвольной доли, можно найти такое разложение, причем оно единственно и строится при помощи комбинаторных соотношений. Существование разложения напрямую следует из комбинаторных соотношений, а для доказательства единственности мы воспользуемся найденным видом производящей функции для последовательности $K_n(c)$. Перейдем к разложению по тривиальным долям произвольной доли. Предложение 6 (существование разложения). Любая доля разложима по тривиальным долям, причем разложение можно получить применением комбинаторных соотношений к хордам доли. Определение 10. Аркой назовем хорду доли, концы которой расположены на одной выделенной дуге доли, а мостом – хорду доли с концами на разных дугах. Для арки определим также ее длину – число концов хорд, расположенных между концами арки на той же выделенной дуге доли, что и концы арки. Доказательство предложения 6. Будем рассматривать доли только со связным графом пересечений. Проведем индукцию по числу хорд в доле и их пересечений.
Каждая хорда доли является либо мостом, либо аркой. Пусть в доле есть хотя бы одна арка. Выберем арку минимальной длины. Если ее длина равна 1, то данная хорда является листом и доля упрощается удалением листа и умножением доли на $c-1$. В противном случае длина минимальной арки не меньше 2 (она не может быть равна нулю из-за связности графа пересечений доли) и арка минимальной длины с двумя соседними хордами доли будет расположена в одной из двух конфигураций, изображенных в левых частях 6-членных соотношений (см. (5.1) и (5.2)). Применив одно из этих соотношений к найденной тройке хорд, мы получим пять долей, в двух из которых хорд на одну меньше, чем в исходной доле, а в трех меньше их пересечений: По предположению индукции каждая из получившихся долей разложима, а значит, разложима и исходная доля.Доля может состоять также только из мостов. Если такая доля не тривиальная, то в ней найдутся два расположенных рядом конца пересекающихся мостов. Применив к этим двум хордам 4-членное соотношение (5.3), мы получим вместо одной доли три разложимые. В первой доле меньше пересечений хорд, поэтому она разложима по предположению индукции, другие же две содержат арку, т.е. разложимы по рассуждению выше: Предложение доказано. Предложение 7 (единственность разложения). Каждая доля имеет не более одного разложения по тривиальным долям. Доказательство. Предположим, что существует линейная комбинация тривиальных долей, значение $w_{\mathfrak{sl}_2}$-весовой системы на которой равно нулю при любой дополнительной доле, одной и той же у всех диаграмм. Покажем, что тогда существует линейная комбинация пучков с тем же свойством. Для этого разложим каждую тривиальную долю по пучкам. Такое разложение обратно разложению пучка по тривиальным долям и существует по предложению 1. Коэффициент при пучке с наибольшим числом хорд в разложении по пучкам равен коэффициенту при тривиальной доле с максимальным числом хорд в исходном разложении по тривиальным долям, т.е. не равен нулю.
Итак, существует такая линейная комбинация пучков, что значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на ней при любой общей дополнительной доле будет равно нулю:
$$
\begin{equation*}
w_{\mathfrak{sl}_2}\bigl(p_n(c) B_n(D)+p_{n-1}(c) B_{n-1}(D)+\dots+ p_0(c) B_0(D)\bigr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_k(D)$ – диаграмма, состоящая из пучка $B_{k}$ с $k$ хордами и дополнительной доли $D$, $p_k(c)$ – многочлен от $c$, и равенство выполнено при любой доле $D$. Подставим в линейную комбинацию пучков дополнительную долю $D=B_m$. Каждая полученная хордовая диаграмма $B_k(B_m)$ будет иметь полный граф пересечений с $n+m$ вершинами. Тогда для любого натурального $m$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
p_n(c) K_{n+m}(c)+p_{n-1}(c) K_{n+m-1}(c)+\dots+p_0(c) K_{m}(c)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. последовательность $K_j(c)$ задана линейной рекуррентной формулой. Производящая функция последовательности, заданной линейной рекуррентной формулой, рациональна. В свою очередь рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь вида (4.6), коэффициенты $\alpha_i(c)$ и $\beta_i(c)$ которой есть рациональные функции от $c$, равные нулю при достаточно большом $i$. Однако производящая функция последовательности $K_j(c)$ имеет вид бесконечной непрерывной дроби по теореме 4, что приводит нас к противоречию.
Предложение доказано. Таким образом, мы доказали следующую общую теорему об устройстве пространства долей. Теорема 6. Пусть $J$ – векторное пространство долей, элементами которого являются линейные комбинации долей. Назовем два элемента в $J$ эквивалентными, если один можно получить из другого применением к его хордам комбинаторных соотношений из теоремы 2. Тогда тривиальные доли и пучки образуют два базиса в факторпространстве долей $J/\sim$ по данному отношению эквивалентности. Тривиальные доли образуют базис по теоремам 6 и 7; предложение 1 позволяет переходить от базиса из тривиальных долей к базису из пучков. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zak23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|