| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Изгибаемые в плоскости полные двудольные графы М. Д. Ковалёвa, С. Ю. Оревковbc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва c Institut de Mathématiques de Toulouse, Université Paul Sabatier, Toulouse, France
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9867e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение. Основные результатыМы находим необходимые и достаточные условия (теорема 1 и замечания 1 и 2) изгибаемости в евклидовой плоскости $E^2$ шарнирных устройств, отвечающих полным двудольным графам $K_{m,n}$. В § 8 и § 9 мы решаем ту же задачу для гиперболической плоскости $H^2$ и для сферы $S^2$. Большинство результатов не новы, но мы приводим полные доказательства, которые почти одинаковы для $E^2$, $H^2$ и $S^2$. Мы не знаем, может ли гиперболический случай иметь самостоятельный интерес, но он служит очень удобным связующим звеном между доказательством в евклидовом и сферическом случаях. А именно, при переходе от $E^2$ к $H^2$ изменены только некоторые формулы, но геометрические и комбинаторные аргументы точно такие же. Тогда как при переходе от $H^2$ к $S^2$ все формулы те же (только с $\cos$ и $\sin$ вместо $\operatorname{ch}$ и $\operatorname{sh}$), и лишь комбинаторная часть несколько расширена. Конфигурацией шарнирного устройства, отвечающего графу $K_{m,n}$ или, сокращенно, $(m,n)$-конфигурацией (по-английски $(m,n)$-framework; в работе [6] – шарнирник с ШСС $K_{m,n}$) будем называть набор точек на евклидовой плоскости $\mathbf p=(p_1,\dots,p_m;\,q_1,\dots,q_n)$ такой, что $p_i\ne q_j$ при всех $i$, $j$. Его части $(p_1,\dots)$ и $(q_1,\dots)$ мы будем называть долями (двудольного графа). Говоря об $(m,n)$-конфигурациях, точки $p_i$ и $q_j$ будем называть шарнирами (joints), а пары точек $(p_i,q_j)$ из разных долей (т.е. ребра нашего двудольного графа) – рычагами (rods). Будем говорить, что $\mathbf p$ есть $(m,n)$-конфигурация без наложений, если ее шарниры попарно не совпадают. Назовем $(m,n)$-конфигурацию изгибаемой, если она допускает изгибание, т.е. непрерывное непостоянное движение шарниров $\mathbf p(t)=(p_1(t),\dots,q_n(t))$, $t\in[0,1]$, такое, что $\mathbf p(0)=\mathbf p$ и длины рычагов постоянны, т.е. $|p_i(t)-q_j(t)|$ не зависит от $t$ при всех $i$, $j$, и при этом какие-то два шарнира из разных долей $p_{i_0}$ и $q_{j_0}$ неподвижны: $p_{i_0}(t)=p_{i_0}$ и $q_{j_0}(t)=q_{j_0}$. Эти определения очевидным образом распространяются на любые связные графы, но нам это не требуется1. Теорема 1. Пусть $\min(m,n)\geqslant 3$. Тогда $(m,n)$-конфигурация без наложений изгибаема в том и только в том случае, когда выполнено одно из двух следующих условий: (D1) Точки $p_1,\dots,p_m$ лежат на одной прямой $P$, точки $q_1,\dots,q_n$ лежат на другой прямой $Q$, и эти две прямые взаимно перпендикулярны. (D2) Можно выбрать декартову прямоугольную систему координат в плоскости и два прямоугольника со сторонами, параллельными ее координатным осям, и общим центром симметрии в начале координат так, что точки $p_1,\dots,p_m$ будут лежать в вершинах одного из этих прямоугольников, а точки $q_1,\dots,q_n$ – в вершинах другого. Поскольку все точки различны, в этом случае $m\leqslant 4$ и $n\leqslant 4$. Замечание 1. Легко видеть, что любая $(1,n)$-конфигурация изгибаема (и имеет $n-1$ степень свободы), а $(2,n)$-конфигурация без наложений изгибаема тогда и только тогда, когда нет четверки шарниров $p_i,q_j,p_k,q_l$, расположенных в таком порядке на некоторой прямой (ср. с леммой 4). Все изгибаемые $(m,n)$-конфигурации без наложений при $\min(m,n)\geqslant 2$ имеют одну степень свободы. Замечание 2. Очевидно, что если в $(m,n)$-конфигурации $\mathbf p$ есть совпадающие шарниры, то она изгибаема тогда и только тогда, когда изгибаема двудольная конфигурация без наложений $\overline{\mathbf p}$, полученная из нее отождествлением всех пар совпадающих шарниров. Ясно также, что число степеней свободы $d(\mathbf p)$ конфигурации $\mathbf p$ равно $\max_{\mathbf q} d(\overline{\mathbf q})$, где максимум берется по всем конфигурациям $\mathbf q$, полученным из $\mathbf p$ малыми изгибаниями. Тем самым $d(\mathbf p)=d(\overline{\mathbf p})\leqslant 1$, кроме случая $p_1=\dots=p_m$, в котором $d(\mathbf p)=n-1$, или симметричного случая $q_1=\dots=q_n$, $d(\mathbf p)=m-1$. В случае $m=n=3$ изгибаемые конфигурации (D1) и (D2) были открыты Диксоном (см. [2; § 27, (d), § 28, (n)]). Они называются механизмами Диксона первого и второго рода соответственно. Мы будем пользоваться этим названием при любых $m,n\geqslant 3$. Механизм Диксона второго рода при $m=n=4$, по-видимому, впервые описал Боттема в работе [1] (см. также [11]). Условия (D1) и (D2) можно эквивалентно сформулировать в терминах длин рычагов. Для (D2) мы это сделаем только при $(m,n)=(3,3)$, из чего очевидным образом вытекают аналогичные условия также для $(3,4)$ и $(4,4)$. Предложение 1. (a) $(m,n)$-конфигурация без наложений является механизмом Диксона первого рода (рис. 1, a) тогда и только тогда, когда для каждого цикла $p_iq_jp_kq_l$ суммы квадратов длин противоположных ребер равны. Число таких условий равно $C_m^2C_n^2=\frac14(m^2-m)(n^2-n)$, но независимых среди них, как легко проверить, лишь $(m-1)(n-1)$, в качестве которых можно выбрать, например, только условия, отвечающие циклам $p_iq_jp_kq_l$ с фиксированными $i$ и $j$ (в частности, при $m=n=3$ из девяти условий независимы четыре). (b) Изгибаемая $(3,3)$-конфигурация без наложений $(p_0,p_1,p_2;\,q_0,q_1,q_2)$ является механизмом Диксона второго рода тогда и только тогда, когда с точностью до перенумерации вершин в долях $|q_0p_0|= |q_1p_1|=|q_2p_2|=a$, $|q_0p_1|=|q_1p_0|=b$, $|q_0p_2|=|q_2p_0|=c$, $|q_1p_2|=|q_2p_1|=d$ (рис. 2) и выполнено соотношение $a^2+c^2=b^2+d^2$. В этом случае все 4-циклы, в которые дважды входит сторона длины $a$, параллелограмматические, т.е. имеют противоположные стороны равной длины. Замечание 3. Следующий пример показывает, что без условия изгибаемости утверждение (b) предложения 1 неверно: $p_0=(b,0)$, $p_1=(0,a)$, $p_2=(d,0)$, $q_0=(b,a)$, $q_1=(0,0)$, $q_2=(d,a)$, где $a$, $b$, $d$ положительны, $b\ne d$ и $bd=a^2$. В самом деле, в этом случае выполнены все условия на длины рычагов, но данная конфигурация не является механизмом Диксона 2-го рода. Это также дает пример двух $(3,3)$-конфигураций без наложений и с равными длинами соответственных рычагов, из которых одна изгибаема (механизм Диксона 2-го рода), а другая неизгибаема (в силу предложения 1). Данный пример – частный случай примера на рис. 1, b. Доказательство предложения 1 несложно и оно приведено в конце этого параграфа. Отметим, что в [8] теорема 1 доказана при $m\geqslant 3$ и $n\geqslant 5$, а в [9] доказано, что длины рычагов изгибаемых $(3,3)$-конфигураций без наложений такие, как в предложении 1, что в совокупности с этим предложением дает теорему 1 для $m=n=3$. Другое доказательство теоремы 1 для $m=n=3$ приведено в [5; пример 4.3]. Сведение же общего случая к случаю $m=n=3$ совсем просто. Приведем его. Доказательство теоремы 1. (В предположении, что для $m=n=3$ она верна.) Рассмотрим изгибаемую $(m,n)$-конфигурацию без наложений. Точки $p_1$, $p_2$, $p_3$ и $q_1$, $q_2$, $q_3$ удовлетворяют одному из условий (D1) или (D2).
Пусть они удовлетворяют условию (D1). Тогда точки $p_1$, $p_2$, $p_3$ и $q_1$, $q_2$, $q_j$, $j\geqslant 3$, не удовлетворяют условию (D2). Следовательно, поскольку подграф, натянутый на них, изгибаем, они удовлетворяют условию (D1), т.е. точка $q_j$ лежит на прямой $Q$. Таким образом, все точки $q_1,\dots,q_n$ лежат на прямой $Q$. По тем же причинам точки $p_1,\dots,p_m$ лежат на $P$. Предположим теперь, что $p_1$, $p_2$, $p_3$ и $q_1$, $q_2$, $q_3$ удовлетворяют условию (D2). Рассмотрим набор точек $(p_1,p_2,p_3;\,q_1,q_2,q_j)$, $j\geqslant 3$. Он тоже удовлетворяет условию (D2), так как точки $p_1$, $p_2$, $p_3$ не лежат на одной прямой, а значит, условие (D1) не может выполняться. Априори можно было бы предположить, что условие (D2) выполнено для некоторого другого выбора координатных осей, однако в треугольнике $p_1p_2p_3$ есть только одна пара перпендикулярных сторон, однозначно определяющих соответствующий прямоугольник, а значит, направления осей и начало системы координат, совпадающее с центром прямоугольника. Заметим также, что симметричный относительно начала координат прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, однозначно определяется любой из его вершин. Следовательно, точки $q_1$, $q_2$, $q_j$ лежат в вершинах того же самого прямоугольника, что и точки $q_1$, $q_2$, $q_3$. Аналогично доказывается, что и все точки $p_1,\dots,p_m$ лежат в вершинах одного и того же прямоугольника. Теорема доказана. Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству предложения 1. В §§ 2–7 мы даем независимое доказательство теоремы 1 для $m=n=3$. В § 8 и § 9 будут рассмотрены гиперболический и сферический случаи соответственно. Лемма 1. Пусть $m,n\geqslant2$. Тогда при любом изгибании $(m,n)$-конфигурации без наложений (см. определение выше) неподвижны только два шарнира. Доказательство следует из того, что неподвижность двух несовпадающих шарниров одной доли влечет неподвижность всех шарниров другой доли. Лемма 2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности диагоналей четырехугольника (возможно, самопересекающегося) является равенство сумм квадратов длин его противоположных сторон. Доказательство. Пусть $u,v,w$ суть векторы трех последовательных сторон четырехугольника. Тогда удвоенное скалярное произведение векторов диагоналей равно $2(u+v)(v+w)=v^2+(u+v+w)^2-u^2-w^2$. Лемма доказана. Ясно, что любой параллелограмматический четырехзвенник без наложений является либо параллелограммом (когда у него параллельны противоположные стороны), либо антипараллелограммом (когда у него параллельны диагонали). При этом он является одновременно и тем и другим тогда и только тогда, когда он вырожден, т.е. все вершины лежат на одной прямой. Доказательство предложения 1. (a) Следует из леммы 2.
(b) Условие на длины выводится из условия (D2) прямым вычислением. Докажем обратную импликацию. Поскольку $a^2+c^2=b^2+d^2$, из леммы 2 следует, что диагонали четырехзвенника $p_0q_1p_1q_2$ взаимно перпендикулярны. То же можно сказать и о диагоналях четырехзвенника $q_0p_1q_1p_2$ (см. рис. 2), т.е. $p_0p_1\perp q_1q_2$ и $q_0q_1\perp p_1p_2$. По условию все три четырехзвенника $\Pi_{ij}=p_iq_ip_jq_j$, $i<j$, параллелограмматичны. Предположим, что $\Pi_{01}$ и $\Pi_{12}$ оба являются невырожденными параллелограммами (см. рис. 1, b). Тогда $p_0q_0q_2p_2$ – тоже параллелограмм, а поскольку обе его диагонали имеют длину $c$, он является прямоугольником со сторонами $a$ и $\sqrt{c^2-a^2}$. Из этого следует, что при изгибании с неподвижными вершинами $p_0$, $q_0$ вершины $p_2$ и $q_2$ тоже неподвижны, что противоречит лемме 1. Полученное противоречие показывает, что $\Pi_{01}$ или $\Pi_{12}$ – антипараллелограмм (возможно, вырожденный). Пусть это будет $\Pi_{01}$ (случай, когда это $\Pi_{12}$, рассматривается аналогично). Тогда $q_1q_2\perp p_0p_1\parallel q_0q_1\perp p_1p_2$, значит, $q_1q_2\parallel p_1p_2$, т.е. $\Pi_{12}$ – тоже антипараллелограмм. Поэтому точки $q_0$ и $q_2$ зеркально симметричны точке $q_1$ относительно взаимно перпендикулярных осей симметрии этих антипараллелограммов (см. рис. 2). То же можно сказать и о точках $p_0$, $p_2$ и $p_1$. Предложение доказано. БлагодарностьМы благодарим Маттео Галле за то, что он сообщил нам о статьях [3] и [5], и за некоторые комментарии к ним. § 2. Общая схема доказательства теоремы 1 для $m=n=3$Рассмотрим изгибание некоторой $(3,3)$-конфигурации без наложений $\mathbf p=(p_0,p_1,p_2;\,q_0,q_1,q_2)$, при котором шарниры $p_0$, $q_0$ закреплены. Тогда $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ движутся по окружностям, которые мы обозначим через $P_1$, $P_2$, $Q_1$, $Q_2$ соответственно. Забудем на некоторое время про шарнир $p_2$. Тогда в общем положении (когда отрезок $q_1p_1$ не ортогонален окружности $P_1$) смещение шарнира $q_1$ однозначно определяет смещение шарнира $p_1$, которое, в свою очередь, в общем положении определяет смещение $q_2$. Мы получаем зависимость2 $q_2={\mathcal F}_1(q_1)$ (рис. 3). Аналогично шарнир $p_2$ осуществляет зависимость $q_2={\mathcal F}_2(q_1)$. Чтобы наше шарнирное устройство не заклинило, функции ${\mathcal F}_1$ и ${\mathcal F}_2$ должны совпадать. Точка $(q_1,{\mathcal F}_i(q_1))$, $i=1,2$, движется по некоторой вещественной алгебраической кривой $C_i$ на торе $Q_1\times Q_2$, и для изгибаемости $\mathbf p$ надо, чтобы $C_1$ и $C_2$ имели общую неприводимую компоненту. Перейдем к более формальному изложению. Фиксируем точки $p_0,q_0\in{\mathbb{R}}^2$. Без ограничения общности можно положить $q_0=(0,0)$ и $p_0=(r,0)$. Фиксируем положительные числа $r_{ij}$, $i,j\in\{0,1,2\}$, $r_{00}=r$ (в евклидовом случае можно положить $r=1$). Обозначим также $R_i=r_{i0}$ и $r_i=r_{0i}$, $i=1,2$. Пусть $M$ – множество всех наборов $(p_1,p_2;\,q_1,q_2)$ таких, что $|p_iq_j|=r_{ij}$, $i,j\in\{0,1,2\}$. Естественно рассматривать $M$ как пространство модулей $(3,3)$-конфигураций с данной матрицей длин. Допуская некоторую вольность речи, элементы множества $M$ мы тоже будем называть $(3,3)$-конфигурациями, подразумевая, что они включают в себя $p_0$ и $q_0$. Как и выше, зададим окружности
$$
\begin{equation*}
P_k=\{p_k\in{\mathbb{R}}^2 \colon |q_0p_k|=R_k\}, \quad Q_k=\{q_k\in{\mathbb{R}}^2 \colon |p_0q_k|=r_k\}, \qquad k=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим $Q=Q_1\times Q_2$. Для $k=1,2$ рассмотрим пространство $(2,3)$-конфигураций $(p_0,p_k;\,q_0,q_1,q_2)$ с теми же длинами:
$$
\begin{equation*}
M_k=\{(p_k,q_1,q_2)\in P_k\times Q\colon |p_kq_1|=r_{k1},\, |p_kq_2|=r_{k2}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $C_k=\tau_k(M_k)$, где $\tau_k\colon P_k\times Q\to Q$, $k=1,2$, – стандартные проекции (это те кривые, о которых выше шла речь при обсуждении передаточных функций). Ясно, что в общем случае $C_1$ и $C_2$ – алгебраические кривые на $Q$ (хотя если, например, в $M$ есть элемент, для которого $p_0=p_k$, то $C_k=Q$). Найдем уравнения, задающие $C_1$ и $C_2$. Как и в [9], в качестве параметра на окружности $Q_j$, $j=1,2$, мы выберем комплексное число $t_j$, пробегающее окружность $|t_j|=r_j/r$ на комплексной плоскости, такое, что вектор $p_0q_j$ имеет координаты $(r\operatorname{Re} t_j,r\operatorname{Im} t_j)$. Другими словами, параметр точки $q_j$ – это образ вектора $\frac1r p_0q_j$ при стандартном отождествлении $\mathbb{R}^2$ с ${\mathbb{C}}$. Аналогично выберем параметры $T_i$ на окружностях $P_i$. В этих координатах условия $|p_iq_j|=r_{ij}$, $i,j=1,2$, принимают вид $f_{ij}(T_i,t_j)=0$, где $f_{ij}$ – числитель рациональной функции, получающейся из выражения $r^2(1+T_i-t_j)(1+\overline T_i-\overline t_j)-r_{ij}^2$ в результате замены $\overline T_i=R_i^2/(r^2 T_i)$, $\,\overline t_j=r_j^2/(r^2 t_j)$, т.е. (ср. с [9; уравнения (6)–(9)])
$$
\begin{equation*}
f_{ij}(T_i,t_j)=(1+T_i-t_j)(r^2 T_it_j+R_i^2 t_j-r_j^2 T_i)-r_{ij}^2T_it_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Кривая $C_i$ есть проекция множества решений системы уравнений $f_{i1}=f_{i2}=0$, поэтому она задается уравнением $F_i(t_1,t_2)=0$, где
$$
\begin{equation}
F_i(t_1,t_2)=R_i^{-2}\operatorname*{Res}_{T_i}(f_{i1},f_{i2})
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
(см. замечание 4 ниже). Выражение для $F_i$ как многочлен от $t_1$, $t_2$ и от всех $r_{ij}$ содержит 126 мономов, и $\deg_{t_j}F_i=4$. В случае изгибаемости без наложений образы проекций $M$ на $Q_j$ не дискретны по лемме 1, из чего вытекает следующий факт. Таким образом, задача нахождения изгибаемых $(3,3)$-конфигураций без наложений сводится к вычислению результанта $F_1$ и $F_2$ и решению системы уравнений, полученной приравниванием нулю его коэффициентов. Именно этим способом в работе [9] получен упомянутый во введении результат о том, что длины рычагов у изгибаемых $(3,3)$-конфигураций без наложений такие, как у механизмов Диксона. Согласно [9] $\operatorname{Res}(F_1,F_2)$ содержит 4.900.722 мономов. В [9] также сказано: “the computations are very extensive with respect to time and memory”. К тому же, как мы поняли из [9], обработка решения системы уравнений, полученного с помощью Maple или Singular, требует написания некой дополнительной программы. Когда мы занялись задачей об изгибаемых $(3,3)$-конфигурациях, мы, не зная о работе [9], тоже попробовали решить эту систему уравнений, но не справились с вычислительными трудностями и стали искать способы их обойти3. В результате мы нашли изложенное ниже доказательство, в котором самое длинное вычисление – нахождение результанта (7.1), занимающее на компьютере 25 мс. Следует отметить, что выбор параметров $T_i$ и $t_j$, заимствованный из [9], сильно упростил вычисления в лемме 6 (до этого мы использовали стандартную параметризацию окружности тангенсом половинного угла). В общих чертах наше доказательство заключается в следующем. Если в $M$ есть изгибаемая $(3,3)$-конфигурация без наложений, то кривые $C_1$ и $C_2$ имеют общую компоненту, т.е. многочлены $F_1$ и $F_2$ имеют общий множитель. Если один из $F_1$, $F_2$ неприводим, они пропорциональны. Это дает уравнения, которые легко решить. Если же $F_1$ и $F_2$ имеют общий множитель, не будучи пропорциональными, мы смотрим, как комплексификации кривых $M_i$, $C_i$, $C_{ij}=\{f_{ij}=0\}$ и $P_i$ отображаются друг на друга при проекциях. Несложный анализ показывает, что для каждого $i=1,2$ либо одна из $C_{ij}$ приводима, либо проекции $C_{i1}\to P_i$ и $C_{i2}\to P_i$ разветвлены над одними и теми же точками. Оба эти условия приводят к уравнениям, решая которые, мы получаем либо параллелограмматический цикл, либо дельтоид (4-цикл, симметричный относительно диагонали), специальным образом расположенный относительно $p_0$, $q_0$. Варьируя выбор закрепленных шарниров, мы приходим либо к механизму Диксона 1-го рода, либо к конфигурации с тремя параллелограмматическими циклами, примыкающими друг к другу, как в механизме Диксона 2-го рода. В последнем случае вычислить результант $F_1$ и $F_2$ уже совсем просто. Замечание 4. Даже когда коэффициенты в $f_{ij}$ при $T_i^2$ равны нулю, результант в (2.1) понимается как результант квадратичных многочленов ($R_{2,2}$ в обозначениях из [4; гл. 12] – определитель матрицы Сильвестра $4\times 4$). Аналогично, результанты в (2.2) и дискриминанты $D_j$ и $\Delta_j^\pm$ в § 6 соответствуют $R_{4,4}$ и $D_2$ из [4; гл. 12]. § 3. Предварительные леммыЛемма 4 (следует из леммы 1). Если при $m,n\geqslant 2$ в $(m,n)$-конфигурации в каком-либо 4-цикле есть рычаг, длина которого равна сумме длин остальных трех рычагов цикла, то эта конфигурация неизгибаема. Лемма 5. Пусть $\mathbf p=(p_0,p_1,p_2;\,q_0,q_1,q_2)$ – изгибаемая $(3,3)$-конфигурация без наложений. Предположим, что $|q_0p_j|=|q_1p_j|$ для всех $j=0,1,2$, т.е. шарниры $q_0$ и $q_1$ равноудалены от каждого из шарниров $p_0$, $p_1$, $p_2$. Тогда $\mathbf p$ – механизм Диксона 1-го рода. Поскольку изгибаемые конфигурации нежестки (т.е. инфинитезимально изгибаемы), эта лемма сразу вытекает из теоремы Уайтли4 (см. [10]), согласно которой $(m,n)$-конфигурация без наложений при $\min(m,n)\geqslant 3$ нежестка тогда и только тогда, когда либо все шарниры лежат на кривой второго порядка, либо все шарниры одной доли и хотя бы один шарнир другой доли лежат на прямой (при $m=n=3$ второе условие есть частный случай первого). Однако, поскольку мы хотим дать самодостаточное (self-contained) доказательство теоремы 1, докажем лемму 5 непосредственно. Доказательство леммы 5. Обозначим длины рычагов через $r_i=|p_0q_i|=|p_1q_i|$, $R_i=|p_2q_i|$, $i=0,1,2$. Рассмотрим непрерывную деформацию $\mathbf p(t)$. Условие равноудаленности означает, что точки $q_j$ коллинеарны и $q_0q_1\perp p_0p_1$ в течение всей деформации. Следовательно, без ограничения общности можно считать, что $q_j$ остаются на оси $y=0$, а $p_0$ и $p_1$ остаются на оси $x=0$. Пусть $q_i=(x_i,0)$, $i=0,1,2$, и обозначим $x$-координату точки $p_2$ через $a$. Тогда Дифференцируя эти тождества по $t$, получаем систему четырех линейных однородных уравнений относительно производных $x'_0$, $x'_1$, $x'_2$, $a'$. Ее определитель равен $a(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_1-x_2)$. Изгибаемость влечет существование ненулевого решения, поэтому $a=0$. Лемма доказана.
§ 4. Общий случай: $F_1$ и $F_2$ пропорциональныВведем обозначения, как в § 2, и предположим, что $M$ содержит изгибаемую $(3,3)$-конфигурацию без наложений $\mathbf p=(p_0,p_1,p_2;\,q_0,q_1,q_2)$. Лемма 6. Если $F_1=\lambda F_2$ для некоторого числа $\lambda$, то $\mathbf p$ реализует механизм Диксона 1-го рода. Доказательство. Положим $F=F_1-\lambda F_2$. Это многочлен, имеющий вид $\sum_{k,l=0}^4 c_{kl}\,t_1^k t_2^l$, где $c_{kl}$ – многочлены от $r_{ij}^2$, причем $c_{00}=c_{01}=c_{43}=c_{44}=0$. По условию все коэффициенты $c_{kl}$ должны тождественно обращаться в нуль. Имеет место симметрия $c_{4-k,4-l}=r_1^{2k-4}r_2^{2l-4}c_{k,l}$, поэтому из этих 21 уравнений только 11 различны. Вычисления показывают, что
Случай 1. $\lambda=0$. Тогда уравнения $c_{04}=c_{20}=c_{02}=0$ дают $R_1=r$, $r_1=r_{11}$ и $r_2=r_{12}$, т.е. шарниры $p_0$ и $p_1$ равноудалены от всех шарниров $q_j$ и результат вытекает из леммы 5. Случай 2. $\lambda=1$. Тогда уравнения $c_{04}=c_{20}=c_{02}=0$ дают $R_1=R_2$, $r_{11}=r_{21}$ и $r_{12}=r_{22}$, т.е. шарниры $p_1$ и $p_2$ равноудалены от всех шарниров $q_j$ и результат опять вытекает из леммы 5. Случай 3. $R_2=r$ и $\lambda(1-\lambda)\ne 0$. Тогда из уравнения $c_{04}=0$ находим $R_1=r$. Выражая $r_{11}^2$ и $r_{12}^2$ из уравнений $c_{20}=c_{02}=0$ и подставляя результат в $c_{12}+c_{13}=0$, получаем уравнение откуда находим $r_{22}=r_2$, и тогда уравнение $c_{21}=0$ принимает вид В итоге получаем $R_2=r$, $r_{21}=r_1$ и $r_{22}=r_2$, т.е. шарниры $p_0$ и $p_2$ равноудалены от всех шарниров $q_j$ и результат опять вытекает из леммы 5.Случай 4. $R_2\ne r$ и $\lambda(1-\lambda)\ne 0$. Из $c_{04}=0$ находим $\lambda=(R_1^2-r)/(R_2^2-r)$. Поэтому из $\lambda\ne 0$ и $\lambda\ne 1$ следует, что $R_1\ne r$ и $R_1\ne R_2$. Выразив $r_{11}^2$ и $r_{12}^2$ из уравнений $c_{20}=0$ и $c_{02}=0$ соответственно и подставив результат (и найденное выражение для $\lambda$) в уравнения $c_{12}+c_{13}=0$ и $c_{21}=0$, получаем соответственно $\mu r_1^2(A+B)^2=0$ и $\mu r_2^2 AB=0$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu=r_1^2(R_1^2-R_2^2)(R_1^2-r^2)(R_2^2-r^2)^{-2}, \\ A=r^2+r_{21}^2-r_1^2-R_2^2, \quad B=r_1^2+r_{22}^2-r_2^2-r_{21}^2, \quad A+B=r^2+r_{22}^2-r_2^2-R_2^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mu\ne0$, заключаем, что $AB=A+B=0$, откуда $A=B=0$. При подстановке в $c_{20}$ и в $c_{02}$ выражения для $a$ и замене $R_2^2=r^2+r_{21}^2-r_1^2$ (для $c_{20}$) и $R_2^2=r^2+r_{22}^2-r_2^2$ (для $c_{02}$) получаем соответственно $r^2+r_{11}^2=r_1^2+R_1^2$ и $r^2+r_{12}^2=r_2^2+R_1^2$. Эти условия в совокупности с $A=0$ и $B=0$ порождают все условия на длины рычагов из предложения 1, (a). Лемма доказана. § 5. Комплексификация и компактификация рассматриваемых кривыхДля дальнейшего нам будет удобнее вместо аффинных координат $T_i$ и $t_j$ (см. § 2) использовать в качестве параметров проективные (однородные) координаты $(T_i:S_i)$ и $(t_j:s_j)$, пробегающие окружности $\{r^2 T_i{\overline T}_i=R_i^2 S_i{\overline S}_i\}$ и $\{r^2 t_j{\overline t}_j=r_j^2 s_j{\overline s}_j\}$ на комплексной проективной прямой ${\mathbb{CP}}^1$. В этом и следующем параграфах через $P_i$ и $Q_j$ мы будем обозначать копии ${\mathbb{CP}}^1$, снабженные соответствующими координатами, а через $M$, $M_i$ и $C_i$ – компактификации комплексификаций соответствующих алгебраических множеств, введенных в § 2, т.е. $M=\{\widehat f_{11}=\dots=\widehat f_{22}=0\}\subset P_1\times P_2\times Q$, $M_i=\{\widehat f_{i1}=\widehat f_{i2}=0\}\subset P_i\times Q$ и $C_i=\{\widehat F_i=0\}\subset Q$, где $Q=Q_1\times Q_2={\mathbb{CP}}^1\times{\mathbb{CP}}^1$,
$$
\begin{equation*}
\widehat f_{ij}(T_i,S_i;\,t_j,s_j)=S_i^2 s_j^2 f_{ij}\biggl(\frac{T_i}{S_i}, \frac{t_j}{s_j}\biggr), \qquad \widehat F_i(t_1,s_1;\,t_2,s_2)=s_1^4 s_2^4 F_i\biggl(\frac{t_1}{s_1}, \frac{t_2}{s_2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы зададим также кривые $C_{ij}=\{\widehat f_{ij}=0\}\subset P_i\times Q_j$. Несмотря на то, что множество $M$ мы расширили, $(3,3)$-конфигурациями мы будем называть только “настоящие $(3,3)$-конфигурации”, т.е. только те элементы $M$, у которых все координаты лежат на окружностях $\{r^2 T_i{\overline T}_i=R_i^2 S_i{\overline S}_i\}$ и $\{r^2 t_j{\overline t}_j=r_j^2 s_j{\overline s}_j\}$; их множество (т.е. “старое $M$”) обозначим через ${\mathbb R}M$. Это множество неподвижных точек антиголоморфной инволюции, действующей на каждом сомножителе $P_i$, $Q_j$ как
$$
\begin{equation}
(T_i:S_i)\mapsto (R_i^2{\overline S}_i : r^2{\overline T}_i),\qquad (t_j:s_j)\mapsto (r_j^2{\overline s}_j : r^2{\overline t}_j).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
§ 6. Следствия из приводимости многочленов $\widehat f_{ij}$ и $\widehat F_i$Введем обозначения, как в § 5, и предположим, что $M$ содержит изгибаемую $(3,3)$-конфигурацию без наложений $\mathbf p$. В этом параграфе мы найдем необходимые условия приводимости многочлена $\widehat F_1$. Упростим обозначения: $T=T_1$, $S=S_1$, $R=R_1$,
$$
\begin{equation*}
a_j=r_{1j}, \qquad A_0^\pm=R\pm r, \qquad A_j^\pm=a_j\pm r_j, \qquad j=1,2
\end{equation*}
\notag
$$
(т.е. $A_j^\pm=r_{1j}\pm r_{0j}$, $j=0,1,2$). Положим $D_j=\operatorname{Discr}_{t_j}(f_{1j})$. Вычисление дает:
$$
\begin{equation}
D_j=d_j^+ d_j^-, \quad d_j^\pm=T^2+(R^2+r^2-(A_j^\pm)^2)T+R^2, \qquad j=1,2,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
и при этом для $\Delta_j^\pm =\operatorname{Discr}_T(d_j^\pm)$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\Delta_j^\pm=(A_j^\pm+A_0^+)(A_j^\pm-A_0^+)(A_j^\pm+A_0^-)(A_j^\pm-A_0^-).
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Из леммы 4 следует, что
$$
\begin{equation}
A_j^+ \pm A_k^- \ne 0, \quad A_j^++A_k^+ \ne 0, \qquad j,k=0,1,2.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Доказательство очевидно. Напомним, что дельтоид – это 4-цикл, симметричный относительно одной из диагоналей, которую мы в этом случае будем называть осью дельтоида. Лемма 8. Многочлен $\widehat f_{1j}$, $j=1,2$, приводим над $\mathbb{C}$ тогда и только тогда, когда 4-цикл $p_0q_0p_1q_j$ либо параллелограмматичен, либо является дельтоидом5. Доказательство. Приводимость для дельтоида очевидна. Приводимость для параллелограмматического 4-цикла, не являющегося дельтоидом, тоже легко усматривается: одна неприводимая компонента отвечает параллелограммам, другая – антипараллелограммам. Докажем, что других случаев приводимости нет.
Пусть $\widehat f_{1j}$ приводим. Рассмотрим сначала случай, когда $\widehat f_{1j}$ имеет непостоянный множитель $\widehat f_0$ нулевой степени по $t_j$. Запишем $\widehat f_{1j}=c_2t_j^2+c_1s_jt_j+c_0s_j^2$. Тогда $\widehat f_0$ делит все коэффициенты $c_k(S,T)$. Мы имеем $c_0=r^2_jT(S-T)$ и $c_2=S(r^2 T-R^2S)$. Следовательно, $R=r$ и $\widehat f_0=S-T$, т.е. при подстановке $R=r$, $S=T$ многочлен $c_1$ должен тождественно по $T$ обратиться в нуль. Произведя эту подстановку, получаем $c_1=(r_j^2-a_j^2)T^2$. Стало быть, $R=r$ и $r_j=a_j$, что отвечает дельтоиду. Рассмотрим теперь случай, когда $\widehat f_{1j}$ не имеет непостоянных множителей нулевой степени по $t_j$. Тогда $\widehat f_{1j}=\widehat f_1\widehat f_2$, $\deg_{t_j}\widehat f_k=1$, $k=1,2$. В этом случае дискриминант $D_j$ должен быть полным квадратом. При этом $d_j^+-d_j^-=4a_jr_jT$ (см. (6.1)), значит, $d_j^+$ и $d_j^-$ не совпадают, и тогда из леммы 7 следует, что $d_j^\pm$ – тоже полные квадраты, т.е. $\Delta_j^+=\Delta_j^-=0$. Откуда в силу (6.2) и (6.3) Решая эти системы уравнений, получаем либо $a_j=R$ и $r_j=r$ (дельтоид), либо $a_j=r$ и $r_j=R$ (параллелограмм). Лемма доказана.Лемма 9. Предположим, что $\widehat f_{11}$ и $\widehat f_{12}$ неприводимы. Тогда: (a) проекция $M_1$ на любой из сомножителей $P_1$, $Q_1$ или $Q_2$ конечна (т.е. прообраз любой точки конечен), а значит, $M_1$ – алгебраическая кривая; (b) поверхности $\{\widehat f_{1j}=0\}\subset P_1\times Q$, $j=1,2$, пересекаются трансверсально всюду, кроме конечного числа точек. Доказательство. (a) Пусть $\operatorname{pr}_j\colon P_1\times Q\to P_1\times Q_j$, $j=1,2$, – стандартные проекции. Если $\operatorname{pr}_1^{-1}(p,q) =\{p\}\times\{q\}\times Q_2 \subset M_1$, то $\{p\}\times Q_2\subset\operatorname{pr}_2(M_1)=C_{12}$, что противоречит неприводимости многочлена $\widehat f_{12}$. Поэтому проекция $M_1$ на $P_1\times Q_1$ конечна. Так же доказывается конечность проекций $M_1$ на $P_1\times Q_2$ и на $Q$. Конечность проекций $C_{1j}$ (а значит, и $M_1$) на $P_1$ и на $Q_j$ сразу следует из неприводимости $\widehat f_{1j}$.
(b) Рассмотрим на $P_1\times Q$ аффинную карту $(T,t_1,t_2)$ (для остальных карт рассуждения аналогичны). В ней $M_1$ задано уравнениями $f_{11}=f_{12}=0$, и градиенты имеют вид $\nabla f_{11}=(a,b,0)$, $\nabla f_{12}=(c,0,d)$. Если такие векторы пропорциональны, то $b=0$ или $d=0$, т.е. одна из частных производных $\partial f_{1j}/\partial t_j$ равна нулю. Это возможно лишь на конечном числе прямых вида $T$, $t_j=\mathrm{const}$, причем в силу п. (a) каждая такая прямая пересекает $M_1$ в конечном числе точек. Лемма доказана. Лемма 10. Если $\widehat f_{11}$ и $\widehat f_{12}$ неприводимы, а $\widehat F_1$ – ненулевой приводимый многочлен, не являющийся степенью неприводимого многочлена, то 4-цикл $p_0q_1p_1q_2$ либо параллелограмматичен, либо является дельтоидом с осью $p_0p_1$. Доказательство. Напомним, что $C_{1j}=\{\widehat f_{1j}=0\}\subset P_1\times Q_j$. Обозначим через $\widetilde\pi_j\colon M_1\to C_{1j}$ и $\pi_j\colon C_{1j}\to P_1$ ограничения стандартных проекций $P_1\times Q\to P_1\times Q_j\to P_1$ на соответствующие кривые. По условию образ $M_1$ при проекции $P_1\times Q\to Q$ – приводимая кривая $C_1=\{\widehat F_1=0\}$, следовательно, кривая $M_1$ тоже приводима. Обозначим через $M'_1$ и $M''_1$ две различные неприводимые компоненты кривой $M_1$. По лемме 9 ни одна из них не может отображаться в точку при проекциях $\widetilde\pi_j$. Поэтому в силу двулистности этих проекций (напомним, что степень многочленов $\widehat f_{ij}$ по каждой переменной равна двум), они взаимно однозначны при ограничении на каждую из компонент кривой $M_1$. Следовательно, композиция имеет те же точки ветвления (критические значения), что и проекция $\pi_2$, а поскольку $\eta=\pi_1$, мы заключаем, что $\pi_1$ и $\pi_2$ имеют одни и те же точки ветвления.
Точки ветвления проекции $\pi_j$ – это нули нечетной кратности многочлена $D_j$ (см. (6.1)), значит, $D_1D_2$ – полный квадрат. Поскольку $\pi_j$ – двулистная проекция неприводимой кривой $C_{1j}$, у каждой из $\pi_1$, $\pi_2$ есть точки ветвления. Следовательно, $D_1$ и $D_2$ имеют общий корень. Тогда по лемме 7 один из $d_1^\pm$ совпадает с одним из $d_2^\pm$. Заметим, что $d_1^+-d_2^-=(A_2^-+A_1^+)(A_2^--A_1^+)T$, т.е. $d_1^+\not\equiv d_2^-$ в силу (6.3). Аналогично $d_1^-\not\equiv d_2^+$. Поэтому имеет место один из следующих случаев. Случай 1. $d_1^+\equiv d_2^+$ и $d_1^-\equiv d_2^-$. Поскольку $d_1^\pm-d_2^\pm=(A_2^\pm+A_1^\pm)(A_2^\pm-A_1^\pm)T$, из (6.3) следует, что
$$
\begin{equation}
A_2^+-A_1^+=A_2^--A_1^-=0 \quad\text{или}\quad A_2^+-A_1^+=A_2^-+A_1^-=0.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Решая эти системы уравнений, получаем либо $a_1=r_2$ и $a_2=r_1$ (параллелограмм), либо $a_1=a_2$ и $r_1=r_2$ (дельтоид с осью $p_0p_1$).
Случай 2. $d_1^-\equiv d_2^-$, $\Delta_1^+=\Delta_2^+=0$. В силу (6.2) и (6.3) второе условие дает $A_1^+-A_0^+=A_2^+-A_0^+=0$. Исключая $A_0^+$ и разлагая (как в случае 1) $d_1^--d_2^-$ на множители, мы опять получаем (6.5). Случай 3. $d_1^+\equiv d_2^+$, $\Delta_1^-=\Delta_2^-=0$. В силу (6.2) и (6.3) второе условие дает
$$
\begin{equation}
(A_1^--A_0^-)(A_1^-+A_0^-)=(A_2^--A_0^-)(A_2^-+A_0^-)=0,
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
что эквивалентно четырем системам линейных уравнений. Исключая из каждой из них $A_0^-$ и добавляя уравнение $A_2^+-A_1^+=0$ (следующее из $d_1^+\equiv d_2^+$), мы каждый раз получаем одну из систем уравнений (6.5).
Лемма доказана. Лемма 11. Если $\widehat f_{11}$ и $\widehat f_{12}$ неприводимы и $\widehat F_1= F^m$, $m\geqslant 1$, где $ F$ – нулевой или неприводимый многочлен, то $\mathbf p$ – механизм Диксона 1-го рода6. Доказательство. При $F=0$ это утверждение есть частный случай (при $\lambda=0$) леммы 6, поэтому пусть $F\ne 0$. Если $m=1$ (т.е. $\widehat F_1$ неприводим), то, поскольку $\widehat F_1$ и $\widehat F_2$ – биоднородные многочлены одной и той же бистепени, имеющие общий множитель, они пропорциональны и результат опять следует из леммы 6.
Пусть $m\geqslant 2$. Докажем, что в этом случае проекция $\pi\colon M_1\to C_1$ двулистна. Предположим, что на $C_1$ есть гладкая точка $q$, имеющая единственный прообраз. Пусть $\gamma\colon ({\mathbb C},0)\to(Q,q)$ – голоморфный росток, трансверсальный $C_1$. В силу леммы 9 можно считать, что поверхности $\widehat f_{1j}=0$ гладки и трансверсальны друг другу над $q$. Тогда из формулы, выражающей результант двух многочленов через их корни (см., например, [4; гл. 12, уравнение (1.3)]), легко вывести, что $F_1(\gamma(t))$ имеет при $t=0$ нуль первого порядка. Это противоречит условию $m\geqslant 2$, поэтому проекция $\pi$ не может быть однолистной, а поскольку $\deg_T\widehat f_{ij}=2$, она двулистна. Итак, почти все точки кривой $C_1$ имеют два прообраза на $M_1$. Поэтому, так как $\mathbf p$ изгибаема, можно считать, что $\pi^{-1}(q_1,q_2)=\{(p_1,q_1,q_2),(p'_1,q_1,q_2)\}$, $p'_1\ne p_1$. Само это множество и один его элемент инвариантны относительно инволюции (5.1), значит, и другой элемент инвариантен. Следовательно, $(p'_1,p_2;\,q_1,q_2)\in{\mathbb R}M$. Более того, это остается верным при изгибании $\mathbf p$. Следовательно, $(4,3)$-конфигурация $(p_0,p_1,p_2,p'_1;\,q_0,q_1,q_2)$ тоже изгибаема, причем в ней шарниры $p_1$ и $p'_1$ равноудалены от всех $q_j$. С помощью леммы 5 из этого несложно вывести, что $\mathbf p$ есть механизм Диксона 1-го рода. Лемма доказана. Напомним наше предположение о том, что в $M$ есть изгибаемая $(3,3)$-конфигурация без наложений $\mathbf p$. Цикл в $\mathbf p$ назовем закрепленным, если он содержит ребро $p_0q_0$. Леммы 8, 10 и 11 можно подытожить следующим образом. Лемма 12 (основная лемма). Если $\mathbf p$ не механизм Диксона первого рода, то в $(2,3)$-шарнирнике $(p_0,p_1;\,q_0,q_1,q_2)$ содержится либо параллелограмматический 4-цикл, либо закрепленный дельтоид, либо незакрепленный дельтоид с осью $p_0p_1$. § 7. Завершение доказательства теоремы 1Пусть $\mathbf p$ – изгибаемая $(3,3)$-конфигурация без наложений, не являющаяся механизмом Диксона 1-го рода. Покажем, что $\mathbf p$ – механизм Диксона 2-го рода. Доказательство. Предположим, что $\mathbf p$ содержит дельтоид $\Delta$, не являющийся ромбом. Занумеруем шарниры так, что $\Delta=p_0q_1p_1q_2$, причем $|p_0q_1|=|p_1q_1|\ne|p_0q_2|=|p_1q_2|$ (см. рис. 4, a). По лемме 12 в $(2,3)$-конфигурации $(p_0,p_1;\,q_0,q_1,q_2)$ должен содержаться четырехзвенник $\Delta'$, реализующий один из нижеперечисленных случаев. В каждом из них, кроме последнего, мы покажем, что $p_0$ и $p_1$ равноудалены от $q_0$, что противоречит лемме 5.
Случай 1. Параллелограмматический четырехзвенник. Тогда $\Delta'$ содержит оба шарнира $p_0$, $p_1$, а также по крайней мере один из шарниров $q_i$, $i=1$ или $2$. Поскольку $|p_0q_i|=|p_1q_i|$, мы заключаем, что $\Delta'$ – ромб. При этом $\Delta'\ne\Delta$ (так как $\Delta$ не ромб), значит, $q_0\in\Delta'$. Поэтому $p_0$ и $p_1$ равноудалены от $q_0$. Случай 2. Закрепленный дельтоид с осью $p_0p_1$. Можно считать, что $\Delta'=p_0q_0p_1q_1$, $|p_0q_0|=|p_0q_1|$ и $|p_1q_1|=|p_1q_0|$. Тогда $|p_0q_0|=|p_0q_1|=|p_1q_1|=|p_1q_0|$. Случай 3. Закрепленный дельтоид c осью $q_0q_j$. Тогда $|p_0q_0|=|p_1q_0|$. Случай 4. Незакрепленный дельтоид с осью $p_0p_1$. Тогда $\Delta'=\Delta$, и это дельтоид с двумя осями, т.е. ромб. Противоречие. Лемма доказана. Лемма 14. Конфигурация $\mathbf p$ не содержит двух различных параллелограмматических четырехзвенников с тремя общими вершинами. Доказательство. Предположим, что $\mathbf p$ содержит два различных параллелограмматических четырехзвенника $\Pi_1$ и $\Pi_2$ с тремя общими вершинами. Без ограничения общности можно считать, что это $q_0p_0q_1p_1$ и $p_0q_1p_1q_2$ (см. рис. 4, b). Тогда $q_0p_0q_2p_1$ – дельтоид. По лемме 13 он должен быть ромбом, а значит, $\Pi_1$ и $\Pi_2$ – тоже ромбы. Легко видеть, что это невозможно. Лемма доказана. Из лемм 12 и 13 следует, что при удалении любого шарнира получающаяся $(2,3)$-конфигурация содержит параллелограмматический четырехзвенник. С помощью леммы 14 из этого несложно вывести, что шарниры в $\mathbf p$ можно перенумеровать так, что четырехзвенники $\Pi_{ij}=p_iq_ip_jq_j$, $i<j$, будут параллелограмматическими, т.е. длины рычагов можно обозначить через $a$, $b$, $c$, $d$, как в предложении 1, (b), и нам остается только доказать, что с точностью до перенумерации шарниров выполнено соотношение $a^2+c^2=b^2+d^2$. В обозначениях из § 2 мы имеем
$$
\begin{equation*}
r=r_{11}=r_{22}=a, \qquad R_1=r_1=b, \qquad R_2=r_2=c, \qquad r_{12}=r_{21}=d.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав эти подстановки, мы выразим коэффициенты многочленов $F_1$ и $F_2$ в виде многочленов от $a$, $b$, $c$, $d$. По лемме 3 результант этих многочленов по $t_1$ должен тождественно обращаться в нуль, в частности, должен обращаться в нуль результант многочленов $F_1(t_1,-c/a)$ и $F_2(t_1,-c/a)$. Вычисление показывает, что он равен
$$
\begin{equation}
16\, b^8 c^{16} (a+c)^8 (a^2+b^2-c^2-d^2)^4 (a^2+d^2-b^2-c^2)^4 (a^2+c^2-b^2-d^2)^4,
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
что завершает доказательство теоремы 1.
§ 8. Изгибаемость двудольных графов в плоскости ЛобачевскогоПусть $H^2$ – стандартная гиперболическая плоскость, т.е. полное односвязное двумерное риманово многообразие постоянной кривизны, равной $-1$. Обозначим расстояние в $H^2$ через $d_H(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$. Условие изгибаемости (D1) распространяется без изменений на гиперболический случай. Условие (D2) допускает следующую равносильную переформулировку, также распространяющуюся на гиперболический случай. (D2) Имеются две ортогональные прямые и два четырехугольника, симметричные относительно каждой из них и с не принадлежащими им вершинами, такие, что $p_1,\dots,p_m$ лежат в вершинах одного четырехугольника и $q_1,\dots,q_n$ лежат в вершинах другого. Теорема 2. Теорема 1 верна для $H^2$. Доказательство теоремы 2 почти такое же, как и для теоремы 1. В этом параграфе мы просто объясним, какие элементы доказательства (в основном формулы) следует изменить. 8.1. Координаты Лобачевского в $H^2$. Гиперболическая версия § 1 и § 3Очевидно, что леммы 1 и 4 справедливы в $H^2$. Для других утверждений из § 1 и § 3 удобно использовать следующий гиперболический аналог декартовой системы координат, называемый системой координат Лобачевского. Фиксируем ориентированную прямую $\ell$ и точку $O\in\ell$. Тогда координаты $(x,y)$ точки $p$ задаются как $x=\pm d_H(O,q)$ и $y=\pm d_H(p,q)$, где $q$ – точка на $\ell$ такая, что $pq\perp\ell$, а знаки выбираются в соответствии с квадрантом, содержащим $p$. В этих координатах имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch} d_H\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) =\operatorname{ch} y_1\operatorname{ch} y_2\operatorname{ch}(x_2-x_1)-\operatorname{sh} y_1\operatorname{sh} y_2.
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Следующее утверждение является гиперболическим аналогом леммы 2. Лемма 15. Диагонали четырехугольника (возможно, самопересекающиеся) ортогональны тогда и только тогда, когда $\operatorname{ch} a \operatorname{ch} c=\operatorname{ch} b \operatorname{ch} d$, где $a$, $b$, $c$, $d$ – длины его последовательных сторон. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник $p_1p_2p_3p_4$ с $d_H(p_1,p_2)=a$, $d_H(p_2,p_3)=b$, $d_H(p_3,p_4)=c$, $d_H(p_4,p_1)=d$. Введем координаты Лобачевского с прямой $p_1p_3$ в качестве оси $x$. Пусть $(x_k,y_k)$ – координаты точки $p_k$ (тогда $y_1=y_3=0$). Согласно (8.1) имеем откуда вытекает тождество, влекущее требуемый результат: Лемма доказана. Ради согласованности с евклидовым случаем мы по-прежнему говорим, что $4$-цикл является параллелограмматическим, если противоположные стороны имеют одинаковую длину (хотя параллелизм уже не играет никакой роли). Мы называем его антипараллелограммом (соответственно параллелограммом), либо если он вырожден, т.е. все его вершины коллинеарны, либо, если он невырожден и его стороны пересекаются (соответственно не пересекаются). Следующее утверждение – гиперболический аналог предложения 1 со схожим доказательством. Предложение 2. Пусть $\mathbf p=(p_0,\dots,p_{m-1};\,q_0,\dots,q_{n-1})$ – $(m,n)$-конфигурация без наложений в $H^2$. Обозначим $u_{ij}=\operatorname{ch} d_H(p_i,q_j)$. (а) $\mathbf p$ удовлетворяет (D1) тогда и только тогда, когда $u_{ij}u_{kl}=u_{il}u_{jk}$ для каждого цикла $p_iq_jp_kq_l$. Как и в предложении 1, эти условия для циклов с фиксированными $i$ и $j$ порождают все остальные. (b) Если $\mathbf p$ изгибаема и $m=n=3$, то $\mathbf p$ удовлетворяет (D2) тогда и только тогда, когда с точностью до перенумерации $u_{00}=u_{11}=u_{22}$, $u_{01}=u_{10}$, $u_{12}=u_{21}$, $u_{20}=u_{02}$ и $u_{00}+u_{02}=u_{01}+u_{12}$. Доказательство. (а) Следует из леммы 15.
(b) Условие на длины выводится из (D2) прямым вычислением в координатах Лобачевского. Докажем обратную импликацию. Пусть $\mathbf p$ изгибаема и удовлетворяет условию на длины. Рассмотрим гладкую деформацию $\mathbf p=\mathbf p(t)$ с постоянными $u_{ij}$. Четырехзвенники $\Pi_{ij}=p_iq_ip_jq_j$ параллелограмматичны. Предположим, что $\Pi_{01}$ и $\Pi_{12}$ – параллелограммы. Выберем координаты Лобачевского так, чтобы осью $x$ была прямая, проходящая через центры симметрии $\Pi_{01}$ и $\Pi_{12}$ (можно считать, что это условие выполняется для каждого $t$). Тогда произведение этих центральных симметрий есть сдвиг $(x,y)\mapsto(x+a,y)$ такой, что $p_0\mapsto p_2$, $q_0\mapsto q_2$. Тогда, поскольку $u_{02}=u_{20}$, из (8.1) следует, что $p_0$ и $q_0$ (а также $p_2$ и $q_2$) имеют равные $x$-координаты. Следовательно, имеем $p_k=(x_k,(-1)^k y_p)$ и $q_k=(x_k,(-1)^k y_q)$, $k=0,1,2$. Сдвигом по $x$-координате можно добиться выполнения равенства $x_1(t)=0$ для каждого $t$. Тогда по (8.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_{00}=\operatorname{ch}(y_p-y_q), \\ u_{02}-u_{00}=\operatorname{ch} y_p\operatorname{ch} y_q(\operatorname{ch}(x_2-x_0)-1), \\ u_{01}+u_{00}=\operatorname{ch} y_p\operatorname{ch} y_q(\operatorname{ch} x_0+1), \\ u_{12}+u_{00}=\operatorname{ch} y_p\operatorname{ch} y_q(\operatorname{ch} x_2+1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференцируя эти тождества по $t$, получаем четыре линейных однородных уравнения относительно $x'_0$, $x'_2$, $y'_p$, $y'_q$ (ср. с доказательством леммы 5). Определитель этой системы равен
$$
\begin{equation*}
(1+\operatorname{ch} x_0)(1+\operatorname{ch} x_2)(\operatorname{ch} y_p\operatorname{ch} y_q)^2 (1-\operatorname{ch}(x_2-x_0)) \operatorname{sh}(y_p+y_q)\operatorname{sh}(y_p-y_q).
\end{equation*}
\notag
$$
Он обращается в нуль только при $y_p+y_q=0$ (поскольку $\mathbf p$ – конфигурация без наложений), и это влечет симметричность $\mathbf p$ относительно оси $x$. Однако это условие не может быть выполнено при непостоянной деформации.
Полученное противоречие показывает, что $\Pi_{01}$ или $\Pi_{12}$ является антипараллелограммом. Пусть это будет $\Pi_{01}$ (случай $\Pi_{12}$ аналогичен). Тогда мы можем выбрать координаты Лобачевского так, что $p_0=(x_p,y_p)$, $q_0=(x_q,y_q)$, $p_1=(x_p,-y_p)$, $q_1=(x_q,-y_q)$. Сдвигом вдоль оси $x$ можно добиться равенства $p_2=(-x_p,-y)$ для некоторого $y\in\mathbb R$. Тогда по (8.1) получим
$$
\begin{equation*}
u_{00}+u_{02}-u_{01}-u_{12}=2(\operatorname{sh} y-\operatorname{sh} y_p)\operatorname{sh} y_q,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $p_2=(-x_p,-y_p)$. Тогда $q_2=(-x_q,-y_q)$, поскольку $q_2$ однозначно определяется расстояниями до трех неколлинеарных точек $p_0$, $p_1$, $p_2$.
Лемма доказана. Используя координаты Лобачевского, доказательство леммы 5 можно повторить дословно, но тождества (3.1) следует заменить на
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{ch} x_j}{\operatorname{ch} x_0}=\frac{\operatorname{ch} r_j}{\operatorname{ch} r_0}, \quad \frac{\operatorname{ch}(x_j-a)}{\operatorname{ch}(x_0-a)}=\frac{\operatorname{ch} R_j}{\operatorname{ch} R_0}, \qquad j=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
после чего определитель линейной системы для $x'_0$, $x'_1$, $x'_2$, $a'$ окажется равным
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{sh} a\operatorname{sh}(x_0-x_1)\operatorname{sh}(x_0-x_2)\operatorname{sh}(x_1-x_2)}{\operatorname{ch} x_0\operatorname{ch} x_1\operatorname{ch} x_2\operatorname{ch}(x_0-a) \operatorname{ch}(x_1-a)\operatorname{ch}(x_2-a)}.
\end{equation*}
\notag
$$
8.2. Модель Пуанкаре для $H^2$. Гиперболическая версия § 2 и §§ 4–7В этом пункте мы используем модель Пуанкаре $H^2$ в единичном круге $\mathbb D\subset\mathbb C$, где геодезическими являются окружности, ортогональные $\partial\mathbb D$, а расстояние задано как
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch} d_H(p,q)=1+\frac{2(p-q)(\overline p-\overline q)}{(1-p\overline p)(1-q\overline q)},
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
в частности, $d_H$-окружность радиуса $r$ с центром в точке $0$ является $\mathbb C$-окружностью $\{|z|=l\}$, где $u=\operatorname{ch} r$, $l=\rho_H(u)$ и функция $\rho_H\colon [1,+\infty)\mapsto[0,1)$ определяется как $\rho_H(u)=\sqrt{(u-1)/(u+1)}$. Мы по-прежнему обозначаем длины рычагов $r_{ij}{=}d_H(p_i,q_j)$, $R_i{=}\,r_{i0}$, $r_j{=}\,r_{0j}$, $r=r_{00}$. Мы также полагаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{ij}=\operatorname{ch} r_{ij}, \qquad U_i=\operatorname{ch} R_i, \qquad u_j=\operatorname{ch} r_j, \qquad u=\operatorname{ch} r, \\ l_{ij}=\rho_H(u_{ij}), \qquad L_i=\rho_H(U_i), \qquad l_j=\rho_H(u_j), \qquad l=\rho_H(u). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Пусть $q_0=0$ и $p_0=l$ (тогда $d_H(p_0,q_0)=r$). Для кругов
$$
\begin{equation*}
P_k=\{p_k\in\mathbb D\mid d_H(q_0,p_k)=R_k\}, \quad Q_k=\{q_k\in\mathbb D\mid d_H(p_0,q_k)=r_k\}, \qquad k=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
фиксируем параметризации $p_i(T_i)=l T_i$ и $q_j(t_j)=(l+lt_j)/(l^2t_j+1)$, где параметры $T_i$ и $t_j$ пробегают окружности $|T_i|=L_i/l$ и $|t_j|=l_j/l$ соответственно. Чтобы проверить, что $t_j\mapsto q_j(t_j)$ параметризует $Q_j$, заметим, что $Q_j$ – это образ окружности
$$
\begin{equation*}
Q_j^*=\{q_j^*\in\mathbb D\mid d_H(q_0,q_j^*)=r_j\} =\{|z|=l_j\}
\end{equation*}
\notag
$$
при отображении $z\mapsto(l+z)/(lz+1)$, которое является конформным изоморфизмом $\mathbb D$, переводящим $0$ в $l$ (т.е. переводящим $q_0$ в $p_0$). Зададим алгебраические множества $M$, $M_i$, $C_i$ и $C_{ij}$ так же, как и в евклидовом случае. Тогда кривая $C_{ij}$ имеет определяющее уравнение $f_{ij}(T_i,t_j)=0$, где $f_{ij}$ – числитель рациональной функции от $T_i$, $t_j$, полученной из $d_H (p_i(T_i),q_j(t_j) )-u_{ij}$ применением (8.2) с заменами $\overline T_i=L_i^2/(l^2T_i)$ и $\overline t_j=l_j^2/(l^2t_j)$. Таким образом, мы можем определить $f_{ij}$, записав
$$
\begin{equation*}
\frac{f_{ij}(T_i,t_j)}{4(u+1)T_it_j} = 1+\frac{2(lT_i-q_j(t_j)) ({L_i^2}/({lT_i})-q_j({l_j^2}/({l^2t_j})))} {(1-L_i^2)(1- q_j(t_j)q_j({l_j^2}/({l^2t_j})))}-u_{ij}
\end{equation*}
\notag
$$
($f_{ij}$ инвариантна относительно $T_i\leftrightarrow-t_j$, $L_i\leftrightarrow l_j$, хотя в приведенной формуле это сразу не видно). Функция $f_{ij}$ есть многочлен от $T_i$, $t_j$ степени $2$ по каждой переменной; его коэффициенты являются рациональными функциями от $l^2$, $L_i^2$, $l_j^2$, $u$, $u_{ij}$. Подстановкой $l=\rho_H(u)$, $L_i=\rho_H(U_i)$, $l_j=\rho_H(u_j)$ получаем представление $f_{ij}$ в виде суммы 72 мономов от $T_i$, $t_j$, $u$, $U_i$, $u_j$, $u_{ij}$, $i,j=1,2$. Положим
$$
\begin{equation*}
F_i(t_1,t_2)=\frac{\operatorname{Res}_{T_i}(f_{i1},f_{i2})}{16(1+u)^4(1-U_i^2)} .
\end{equation*}
\notag
$$
Это сумма $445$ мономов от $t_1$, $t_2$ и всех $u_{ij}$. Как и в § 2, мы имеем $\deg_{t_j}F_i=4$ для каждой пары $i,j$. Ниже мы используем обозначение $A\doteq B$, чтобы указать, что $A=n\mu B$, где $n\in\mathbb Q$, а $\mu$ является произведением множителей вида $(u_{ij}\pm 1)^{\pm1}$, $i,j=0,1,2$. Доказательство леммы 6 в гиперболическом случае. Пусть $c_{kl}$ – коэффициент при $t_1^k t_2^l$ в $F_1-\lambda F_2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_{04} \doteq U_1^2-u^2-\lambda U_2^2+\lambda u^2, \\ c_{20}\doteq u_1^2(\lambda-1)-\lambda u_{21}^2+u_{11}^2, \qquad c_{02} \doteq u_2^2(\lambda-1)-\lambda u_{22}^2+u_{12}^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, если $\lambda(1-\lambda)=0$, то применимы рассуждения из доказательства леммы 6. Предположим, что $\lambda(1-\lambda)\ne 0$. Пусть $\Lambda=\mathbb Q[\lambda,u_{ij}]_{i,j=0,1,2}$ – кольцо многочленов от $\lambda$ и всех $u_{ij}$. Коэффициенты $c_{kl}$ представимы элементами кольца $\Lambda$. Пусть $e_{kl}$ получено из $c_{kl}$ факторизацией в кольце $\Lambda$ с последующим отбрасыванием всех множителей вида $u_{ij}\pm 1$. Покажем, что любое вещественное решение системы уравнений $c_{kl}=0$, $k,l=0,\dots,4$, для которого $u_{ij}>1$ и $\lambda(1-\lambda)\ne0$, является решением системы уравнений $b_{ij}=0$, $i,j=1,2$, где $b_{ij}=u_{00}u_{ij}-u_{i0}u_{0j}$. Для этого достаточно показать, что идеал в $\Lambda[w_0,\dots,w_4]$ содержит $1$. Это проверяется вычислением базиса Грёбнера (что в данном случае делается на компьютере очень быстро). Лемма доказана. В доказательстве аналога леммы 8 для случая, когда $\widehat f_{1j}$ имеет непостоянный делитель $\widehat f_0$ нулевой степени по $t_j$, мы имеем $\operatorname{Res}_{T}(c_0,c_2)\doteq(U_1^2-u^2)S^4$. Отсюда $U_1=u$, что дает
$$
\begin{equation}
c_0\doteq(S-T) ((1-u)S+(1+u)T ), \qquad c_2\doteq(S-T) ((1+u)S+(1-u)T ).
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
Таким образом, $\widehat f_0=S-T$, и после замены $S=T$, $U_1=u$ получаем $c_1\doteq(u_1-u_{1j})T^2$. Остальная часть § 6 повторяется слово в слово, используя следующие равенства, где мы полагаем (как и в § 6) $A_j^\pm=r_{1j}\pm r_{0j}$, $j=0,1,2$, и используем обозначение ${\mathfrak s}(x)$ для $\operatorname{sh}(x/2)$:
$$
\begin{equation}
d_j^\pm \doteq (u-1)(U_1+1)T^2+2\bigl(u_j u_{1j}-u U_1 \pm{\mathfrak s}(2r_j){\mathfrak s}(2r_{1j})\bigr)T+(u+1)(U_1-1),
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
$$
\begin{equation}
{\Delta_j^\pm} \doteq {\mathfrak s}(A_j^\pm+A_0^+)\,{\mathfrak s}(A_j^\pm-A_0^+)\, {\mathfrak s}(A_j^\pm+A_0^-)\,{\mathfrak s}(A_j^\pm-A_0^-),
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
$$
\begin{equation}
d_2^{\pm_2}-d_1^{\pm_1}\doteq{\mathfrak s}(A_2^{\pm_2}+A_1^{\pm_1})\, {\mathfrak s}(A_2^{\pm_2}-A_1^{\pm_1})\,T
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
(здесь $\pm_1$ и $\pm_2$ – независимые знаки). Гиперболическая версия вычислений в конце § 7 выглядит так: если
$$
\begin{equation*}
u_{11}=u_{22}=u, \qquad U_1=u_1, \qquad U_2=u_2, \qquad u_{12}=u_{21},
\end{equation*}
\notag
$$
то результант $lF_1(t_1,\pm l_2/l)$ и $lF_2(t_1,\pm l_2/l)$ по переменной $t_1$ равен
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(l\pm l_2)^8(ll_2\pm\varepsilon)^8 (u+1)^{16}(u_1^2-1)^4(u_2-1)^8(u+u_1+u_2+u_{12})^4 \\ &\qquad\qquad \times(u+u_1-u_2-u_{12})^4(u+u_2-u_1-u_{12})^4(u+u_{12}-u_1-u_2)^4 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
при $\varepsilon=1$ (в этом пункте нужен только случай, когда “$\pm$” есть “$+$”, однако оба знака понадобятся в конце п. 9.4).
§ 9. Изгибаемость двудольных графов на сфереСферические $(m,n)$-конфигурации и их изгибаемость определяются, как в плоском случае, но точки $p_i$ и $q_j$ берутся на единичной сфере $\{x^2+y^2+z^2\,{=}\,1\}\subset{\mathbb R}^3$, причем так, что $p_i\ne\pm q_j$ для любых $i$, $j$. Сферическую $(m,n)$-конфигурацию назовем конфигурацией без $\mathbb{P}^2$-наложений, если $p_i\ne\pm p_j$ и $q_i\ne \pm q_j$ при $i\ne j$. Условия изгибаемости (D1) и (D2) повторяются почти дословно в сферическом случае (ср. [11; § 6]). Их можно сформулировать следующим образом. (SD1) Точки $p_1,\dots,p_n$ лежат в одной плоскости, $q_1,\dots,q_m$ лежат в другой плоскости, причем эти плоскости ортогональны друг другу и проходят через центр сферы. (SD2) Через начало координат проходят две взаимно ортогональные плоскости, и имеется два прямоугольника, симметричных относительно этих плоскостей, с вершинами, им не принадлежащими, таких, что точки $p_1,\dots,p_m$ лежат в вершинах одного прямоугольника, а $q_1,\dots,q_n$ – в вершинах другого. Для $m=n=3$ следующий сферический аналог теоремы 1 доказан в недавней статье [3]. Теорема 3. Пусть $\min(m,n)\geqslant 3$. Пусть $\mathbf p$ – сферическая $(m,n)$-конфигурация без $\mathbb{P}^2$-наложений. Тогда $\mathbf p$ изгибаема, если и только если она удовлетворяет либо условию (SD1), либо одному из следующих условий: (PD2) $\mathbf p$ удовлетворяет (SD2) после применения антиподальной инволюции к некоторым точкам; (CDA) $\langle p_1,q_1\rangle=\langle q_1,p_2\rangle =\langle p_2,q_2\rangle=-\langle q_2,p_1\rangle$ и $\langle p_0,q_k\rangle=\langle q_0,p_k\rangle=0$, $k=1,2$, где $m=n=3$, $\mathbf p=(p_0,p_1,p_2;\,q_0,q_1,q_2)$ и $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ – скалярное произведение в ${\mathbb R}^3$. Экзотическое изгибание $\mathbf p$ в случае (CDA) называется в [3] движением с постоянным диагональным углом. Доказательство теоремы 3 в предположении, что она верна при $m=n=3$ повторяет сведение теоремы 1 к ее случаю $m=n=3$ (см. § 1) с учетом того, что следует использовать леммы 16 и 17. Следуя [3], будем называть лежащие на геодезической окружности точки сферы коциркулярными. Лемма 16. Если $(3,3)$-конфигурация без $\mathbb{P}^2$-наложений удовлетворяет одному из условий (PD2) или (CDA), то точки любой ее доли не являются коциркулярными. Доказательство. Случай (PD2) очевиден. Предположим, что $\mathbf p$ удовлетворяет (CDA), но $p_0$, $p_1$, $p_2$ коциркулярны. В этом случае можно выбрать координаты так, что $p_0=(1,0,0)$, $p_1=(x_1,y_1,0)$, $p_2=(x_2,y_2,0)$. Из условия $\langle p_0,q_1\rangle=\langle p_0,q_2\rangle=0$ следует $q_1=(0,y_3,z_3)$, $q_2=(0,y_4,z_4)$, тогда как из $\langle q_0,p_1\rangle=\langle q_0,p_2\rangle=0$ следует $q_0=(0,0,\pm1)$, и, значит, можно считать, что $q_0=(0,0,1)$. Условия на $\langle p_i,q_j\rangle$, $j=1,2$, дают $y_1y_3=y_2y_3=y_2y_4=-y_1y_4$, следовательно, $(y_1-y_2)y_3=(y_1+y_2)y_4=0$, т.е. либо $y_3y_4=0$, либо $y_1=y_2=0$. Если $y_3y_4=0$, то $q_0=\pm q_1$ или $q_0=\pm q_2$. Если $y_1=y_2=0$, то $p_0=\pm p_1$. Оба случая невозможны для $(3,3)$-конфигурации без $\mathbb{P}^2$-наложений. Лемма доказана. Лемма 17. Если $(3,3)$-конфигурация без $\mathbb{P}^2$-наложений $\mathbf p$ удовлетворяет условию (CDA) и $(3,3)$-конфигурация без $\mathbb{P}^2$-наложений $\mathbf p'$ получается из $\mathbf p$ заменой некоторого $q_i$ на $q'_i\ne\pm q_i$, то $\mathbf p'$ не удовлетворяет ни одному из условий (SD1), (PD2), (CDA). Доказательство. $\mathbf p'$ не удовлетворяет (SD1) по лемме 16. Она не удовлетворяет и (CDA), поскольку любые пять точек конфигурации, удовлетворяющие (CDA), однозначно определяют шестую с точностью до антиподальной инволюции. Покажем, что $\mathbf p'$ не удовлетворяет (PD2). Предположим противное. Условие (CDA) инвариантно относительно применения антиподальной инволюции к любой точке. Следовательно, мы можем считать, что $\mathbf p'$ удовлетворяет (SD2), в то время как $\mathbf p$ по-прежнему удовлетворяет (CDA). Тогда можно выбрать координаты так, чтобы каждая доля $\mathbf p'$ находилась в вершинах прямоугольника, инвариантного относительно отражений $\xi\colon (x,y,z)\mapsto(-x,y,z)$ и $\eta\colon (x,y,z)\mapsto(x,-y,z)$.
Если $q_i=q_0$, то $q_2$ – образ $q_1$ при $\xi$, $\eta$ или $\xi\eta$. Тогда из условия $\langle p_0q_1\rangle=\langle p_0q_2\rangle=0$ следует, что $p_0$ принадлежит $\{y=0\}$, $\{x=0\}$ или $\{z=0\}$ соответственно (рис. 5). Это противоречит тому, что $\mathbf p$ является конфигурацией без $\mathbb{P}^2$-наложений. Если $q_i\ne q_0$, аргументы те же, но с $q_0$, $p_1$, $p_2$ вместо $p_0$, $q_1$, $q_2$. Лемма доказана.  Рис. 5.Проекция на $xy$-плоскость в доказательстве леммы 17 в случаях $q_2=\xi(q_1)$ (a), $q_2=\eta(q_1)$ (b), $q_2=\xi\eta(q_1)$ (c). Замечание 5. Такие же, как в замечании 3, примеры могут быть построены и в сферическом случае. Ниже мы приводим доказательство теоремы 3, которое является видоизменением доказательства теоремы 2. Все вычисления точно такие же, только $\operatorname{ch} x$ и $\operatorname{sh} x$ заменены на $\cos x$ и $\sqrt{-1}\sin x$. Однако из-за антиподальной инволюции, которая может быть применена к любой точке, приходится разбирать больше случаев. 9.1. Географические координаты. Сферическая версия п. 8.1Зададим расстояние $d_S$ на $S^2\subset\mathbb R^3$ как длину кратчайшей геодезической: $d_S(p,q)=\arccos\langle p,q\rangle$. Система координат Лобачевского в $H^2$ является гиперболическим аналогом системы обычных географических координат на единичной сфере: $x$ (долгота) и $y\in[-\pi/2,\pi/2]$ (широта). Так, $(x,y)$ – географические координаты точки $(\cos x\cos y,\,\sin x\cos y,\,\sin y)$. В этих координатах
$$
\begin{equation}
\cos d_S\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) =\cos y_1\cos y_2 \cos(x_2-x_1)+\sin y_1\sin y_2.
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Почти все в п. 8.1 остается справедливым, если заменить $d_H$, $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$, “координаты Лобачевского”, “коллинеарные”, “без наложений” на соответственно $d_S$, $\cos$, $\sqrt{-1}\sin$, “географические координаты”, “коциркулярные”, “без $\mathbb P^2$-наложений” (ср., например, (8.1) с (9.1)). Единственное отличие заключается в следующем. Замечание 6. В предложении 2, (a) для $S^2$ в общем случае неверно, что условия $u_{ik}u_{jl}=u_{il}u_{jk}$ с фиксированными $i$ и $j$ порождают все остальные условия (например, когда $p_i$ находится в северном полюсе, а все остальные точки на экваторе). Однако это верно, когда $u_{ij}\ne 0$. 9.2. Стереографическая проекция на $\mathbb C$. Сферическая версия п. 8.2Тогда как система координат Лобачевского является аналогом географических координат, модель Пуанкаре является аналогом стереографической проекции $S^2\to\mathbb C\cup\{\infty\}$ (что не удивительно, так как модель Пуанкаре есть стереографическая проекция гиперболоида в $\mathbb R^3$, наделенного $(2,1)$-метрикой Минковского). Стереографическая проекция отождествляет точку $(x,y,z)\in S^2$ с числом $(x+y\sqrt{-1}\,)/(1-z)\in\mathbb C\cup\{\infty\}$. При этом отождествлении мы имеем (ср. с (8.2))
$$
\begin{equation}
\cos d_S(p,q)=1-\frac{2(p-q)(\overline{p}-\overline{q})} {(1+p\overline{p})(1+q\overline{q})},
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
в частности, $d_S$-окружность радиуса $r$ с центром в точке $0$ отождествляется с $\mathbb C$-окружностью $\{|z|=l\}$, где $u=\cos r$, $l=\rho_S(u)$, а функция $\rho_S \colon [-1,1]\to[0,+\infty]$ определяется как $\rho_S(u)=\sqrt{(1-u)/(1+u)}$. Как и в п. 8.2, положим $r_{ij}=d_S(p_i,q_j)$, $R_i=r_{i0}$, $r_j=r_{0j}$, $r=r_{00}$ и обозначим (ср. с (8.3))
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{ij}=\cos r_{ij}, \qquad U_i=\cos R_i, \qquad u_j=\cos r_j, \qquad u=\cos r, \\ l_{ij}=\rho_S(u_{ij}), \qquad L_i=\rho_S(U_i), \qquad l_j=\rho_S(u_j), \qquad l=\rho_S(u). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
Определим окружности $P_i$, $Q_j$, их параметризации и многочлены $f_{ij}$ и $F_i$ теми же формулами, что и в п. 8.2, но с $d_S$ вместо $d_H$, и с $q_j(t_j)=(l+lt_j)/(1-l^2_j)$. Оказывается, выражения $f_{ij}$ и $F_i$ через $u_{ij}$ точно такие же, как в п. 8.2. В частности, равенства (8.4)–(8.7) с ${\mathfrak s}(x)=\sqrt{-1}\,\sin(x/2)$ и (8.8) с $\varepsilon=-1$ выполняются для сферических конфигураций. Лемма 18 (ср. с леммой 6). Если $u\ne 0$, $\mathbf p$ является конфигурацией без $\mathbb P^2$-наложений и $F_1=\lambda F_2$, то $\mathbf p$ удовлетворяет условию (SD1). Доказательство. Доказательство гиперболического случая $\lambda(1-\lambda)\ne0$ леммы 6 (см. п. 8.2) проходит без каких-либо изменений в сферическом случае в силу предположения $u\ne 0$ (см. замечание 6).
Доказательство леммы 6 в случае $\lambda(1-\lambda)=0$ не распространяется непосредственно на сферу, потому что $u_{ij}$ может быть отрицательным. Однако можно применить рассуждения, как в случае $\lambda(1-\lambda)\ne0$. А именно, вычисление базисов Грёбнера показывает, что идеалы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(e_{02}, e_{20}, e_{03}, e_{30}, e_{04}, \lambda, 1+\sum_j(u_{0j}-u_{1j})v_j, 1+\sum_j(u_{0j}+u_{1j})w_j,\,1+u_{00}z\biggr), \\ \biggl(e_{11}, e_{02}, e_{20}, e_{03}, e_{30}, e_{04}, 1{\kern1pt}{-}{\kern1pt}\lambda, 1{\kern1pt}{+}\sum_j(u_{1j}{\kern1pt}{-}{\kern1pt}u_{2j})v_j, 1{\kern1pt}{+}\sum_j(u_{1j}{\kern1pt}{+}{\kern1pt}u_{2j})w_j, 1{\kern1pt}{+}{\kern1pt}u_{00}z\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
кольца $\Lambda[v_0,v_1,v_2,w_0,w_1,w_2,z]$ содержат $1$. Это означает (ср. с доказательством леммы 6), что из условия $\lambda=k$ (где $k=0,1$) в сочетании с $u\ne0$ следует, что $p_1$ и либо $p_{2k}$, либо его антипод равноудалены от каждого $q_j$. Следовательно, $\mathbf p$ удовлетворяет условию (SD1) по лемме 5. Лемма доказана. 9.3. Условия приводимости для $\widehat F_i$Введем обозначения из § 6 (приспособленные для сферического случая). Предположим, что $M$ содержит изгибаемую без $\mathbb P^2$-наложений $(3,3)$-конфигурацию $\mathbf p$. Напомним, что $A_j^\pm=r_{1j}\pm r_{0j}$, $j=0,1,2$, и $\mathfrak s(x)=\sqrt{-1}\,\sin(x)$. Как и в § 6, мы упрощаем обозначения, полагая $T=T_1$, $S=S_1$, $R=R_1$, $a_j=r_{1j}$. Без ограничения общности можно считать, что
$$
\begin{equation}
2r_{ij}\leqslant\pi \quad\text{при }\ i=0 \quad\text{или }\ j=0
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
(выполнения этого условия всегда можно добиться заменой некоторых точек их антиподами). Из леммы 4 в сочетании с (9.4) следует, что при $j,k=0,1,2$, $j\ne k$ имеем:
$$
\begin{equation}
{\mathfrak s}(A_j^+-A_k^-)\ne 0,\qquad {\mathfrak s}(A_j^+ + A_0^-)\ne 0,\qquad {\mathfrak s}(A_j^-+A_0^+)\ne 0,
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathfrak s}(A_j^-+A_0^-)=0 \quad\Longrightarrow\quad A_j^-+A_0^-=0,
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathfrak s}(A_j^\pm-A_k^\pm)=0 \quad\Longrightarrow\quad A_j^\pm-A_k^\pm=0,
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathfrak s}(A_j^++A_k^\pm)=0 \quad\Longrightarrow\quad A_j^++A_k^\pm=2\pi\quad\text{и} \quad jk\ne 0.
\end{equation}
\tag{9.8}
$$
Допуская вольность речи, мы определяем параллелограмматические четырехзвенники и (анти)-параллелограммы, как в п. 8.1. Назовем также четырехзвенник $\mathbb P^2$-(анти)-параллелограммом (соответственно $\mathbb P^2$-дельтоидом), если он становится (анти)-параллелограммом (соответственно дельтоидом) после применения к некоторым вершинам антиподальной инволюции. Лемма 19 (ср. с леммой 8). Многочлен $\widehat f_{1j}$, $j=1,2$, приводим над $\mathbb C$ тогда и только тогда, когда четырехзвенник $p_0q_0p_1q_j$ либо $\mathbb P^2$-параллелограмматичен, либо является $\mathbb P^2$-дельтоидом. Доказательство. Пусть $\widehat f_{ij}$ приводим. Предположим, что $\widehat f_{ij}$ имеет множитель $\widehat f_0$ нулевой степени по $t_j$. Запишем $\widehat f_{1j}=c_2 t_j^2+c_1 s_j t_j+c_0 s_j^2$. Как и в п. 8.2, имеем $\operatorname{Res}_{T}(c_0,c_2)\doteq(U_1^2-u^2)S^4$, откуда следует $U_1=u$, потому что $U_1,u\geqslant 0$ по (9.4). Далее, $c_0$ и $c_2$ такие же, как в (8.4). Таким образом, либо $\widehat f_0=S-T$, либо $u=0$ и $\widehat f_0=S+T$. Если $\widehat f_0=S-T$, заключаем (как в § 6 и п. 8.2), что $U_1=u$ и $u_1=u_{11}$, что отвечает дельтоиду. Если $u=0$ и $\widehat f_0=S+T$, то $c_1$ должен тождественно по $T$ обращаться в нуль после подстановок $U_1=u=0$, $S=-T$. Выполнив эти подстановки, получаем $c_1=4(u_j+u_{1j})T^2$. Следовательно, $u_{1j}=-u_j$ и $U_1=u=0$. При замене $p_1$ на антиподальную точку поменяется знак $u_{1j}$, и мы снова получим дельтоид.
Предположим теперь, что $\widehat f_{ij}$ не имеет множителя нулевой степени по $t_j$. Как и в доказательстве леммы 8, рассматриваем следующие два случая. Случай 1. $d_j^+ \equiv d_j^-$. Это невозможно, поскольку $d_j^+-d_j^-=4T\sin r_j\sin a_j$ (по (8.5) с ${\mathfrak s}(x)=\sqrt{-1}\,\sin(x/2)$), и при этом $r_j,a_j\in{]}0,\pi{[}$, так как $\mathbf p$ является конфигурацией без $\mathbb P^2$-наложений. Случай 2. $\Delta_j^+=\Delta_j^-=0$. По (8.6) в сочетании с (9.5)–(9.8) имеем
$$
\begin{equation*}
(A_j^++A_0^+-2\pi)(A_j^+-A_0^+)= (A_j^-+A_0^-)(A_j^--A_0^-)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это эквивалентно четырем системам линейных уравнений. Две из них совпадают с (6.4). Две другие равносильны $a_j+R=r_j+r=\pi$ и $a_j+r=r_j+R=\pi$. Применяя антиподальную инволюцию к $q_j$ (для первой системы) или к $p_1$ (для второй), мы получаем дельтоид или параллелограмматический четырехзвенник соответственно.
Лемма доказана. Лемма 20 (ср. с леммой 10). Если $\widehat f_{11}$ и $\widehat f_{12}$ неприводимы и $\widehat F_1$ – ненулевой приводимый многочлен, не являющийся степенью неприводимого, то четырехзвенник $p_0q_1p_1q_2$ либо $\mathbb P^2$-параллелограмматичен, либо является $\mathbb P^2$-дельтоидом с осью $p_0p_1$. Доказательство. Рассуждения такие же, как и при доказательстве леммы 10, но необходимо рассмотреть больше случаев.
Случай 1. $d_1^+\equiv d_2^+$ и $d_1^-\equiv d_2^-$. Согласно (8.7) в сочетании с (9.6)–(9.8), имеем
$$
\begin{equation}
(A_2^++A_1^+-2\pi)(A_2^+-A_1^+)= (A_2^-+A_1^-) (A_2^--A_1^-)=0.
\end{equation}
\tag{9.9}
$$
Это дает нам четыре системы уравнений: (6.5) и еще две системы, эквивалентные $a_1+a_2=r_1+r_2=\pi$ и $a_1+r_2=r_1+a_2=\pi$. Применяя антиподальную инволюцию к $q_1$ или $p_1$, получаем дельтоид или параллелограмматический четырехзвенник соответственно.
Случай 2. $d_1^-\equiv d_2^-$ и $\Delta_1^+=\Delta_2^+=0$. В силу (8.6), (9.5)–(9.8) второе условие дает
$$
\begin{equation*}
(A_1^++A_0^+-2\pi)(A_1^+-A_0^+)= (A_2^++A_0^+-2\pi)(A_2^+-A_0^+)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Исключая $A_0^+$, получаем $(A_2^++A_1^+-2\pi)(A_2^+-A_1^+)=0$. Вместе с $d_1^-\equiv d_2^-$ это приводит к (9.9).
Случай 3. $d_1^+\equiv d_2^+$ и $\Delta_1^-=\Delta_2^-=0$. В силу (8.6), (9.5)–(9.8) второе условие дает систему (6.6). Исключив из нее $A_0^-$, получим $(A_2^-+A_1^-)(A_2^--A_1^-)=0$. Комбинируя это равенство с $d_1^+\equiv d_2^+$, мы снова получаем (9.9). Случай 4. $d_1^+\equiv d_2^-$ и $d_1^-\equiv d_2^+$. По (8.7) в сочетании с (9.5) и (9.8) получаем $A_1^++A_2^-=A_1^-+A_2^+=2\pi$, откуда $r_1=r_2$ и $a_1+a_2=2\pi$. Противоречие. Случай 5. $d_1^+\equiv d_2^-$ и $\Delta_1^-=\Delta_2^+=0$ (то же доказательство, если индексы 1 и 2 поменять местами). Согласно (8.7) и (9.5) из условия $d_1^+\equiv d_2^-$ следует ${A_1^+}+{A_2^-}=2\pi$. Согласно (8.6) и (9.5) из условий $\Delta_1^-=0$ и $\Delta_2^+=0$ следует $\pm{A_0^-}-{A_1^-}=0$ и $({A_0^+}-\pi) \pm ({A_2^+}-\pi)=0$ соответственно. Складывая эти три уравнения, деленные на $2$, получаем $r_1+c=2\pi-a_2$ или $r_1+c=\pi+r_2$, где $c$ равно $r$ или $R$. Этот факт противоречит (9.4). Лемма доказана. Подытожим леммы 19, 20 и 11 следующим образом. Лемма 21 (ср. с леммой 12). Предположим, что $u\ne 0$ и $\mathbf p$ не удовлетворяет условию (SD1). Тогда $(2,3)$-конфигурация $(p_0,p_1;\,q_0,q_1,q_2)$ содержит либо $\mathbb P^2$-параллелограмматический четырехзвенник, либо закрепленный $\mathbb P^2$-дельтоид, либо незакрепленный $\mathbb P^2$-дельтоид с осью $p_0p_1$. 9.4. Завершение доказательства теоремы 3Пусть $\mathbf p$ – изгибаемая сферическая $(3,3)$-конфигурация без $\mathbb P^2$-наложений, не удовлетворяющая условию (SD1). Покажем, что $\mathbf p$ удовлетворяет условию (PD2) или (CDA). Пусть $\mathbf p=(p_0,p_1,p_2;\,q_0,q_1,q_2)$. В этом пункте мы не отождествляем $S^2$ с $\mathbb C\cup\{\infty\}$, таким образом, $p_i$ и $q_j$ – просто точки на $S^2\subset\mathbb R^3$, а $-p_i$ есть антипод точки $p_i$. Как и выше, положим $u_{ij}=\langle p_i,q_j\rangle=\cos d_S(p_i,p_j)$. Лемма 22. (а) $\mathbf p$ не может содержать ромб с длиной стороны $\pi/2$. (b) (Следует из леммы 5) $(u_{0j},u_{1j},u_{2j})\ne(0,0,0)$ для любого $j=0,1,2$. Лемма 23 (ср. с леммой 13). Если $\mathbf p$ содержит $\mathbb P^2$-дельтоид, не являющийся $\mathbb P^2$-ромбом, то $\mathbf p$ удовлетворяет условию (CDA). Доказательство. Предположим, что $\mathbf p$ содержит $\mathbb P^2$-дельтоид $\Delta$, не являющийся $\mathbb P^2$-ромбом. Без потери общности мы можем считать, что $\Delta$ является дельтоидом. Перенумеруем его вершины так, что $\Delta=p_0q_1p_1q_2$ и ось $\Delta$ есть $q_1q_2$, т.е. $u_{01}=u_{11}\ne u_{02}=u_{12}$ (см. рис. 4, a).
Если $u_{00}=u_{10}$, то $p_0$ и $p_1$ равноудалены от каждой точки $q_j$ и $\mathbf p$ удовлетворяет условию (SD1) по лемме 5. Следовательно, одно из $u_{00},u_{10}$ ненулевое. С точностью до перестановки $p_0$ и $p_1$ можно считать, что $u_{00}\ne0$. Тогда по лемме 21 существуют четырехзвенники $\Delta'$ и $\Delta^*$ такие, что $\Delta'$ содержится в $(p_0,p_1;\,q_0,q_1,q_2)$, $\Delta^*$ получается из $\Delta'$ применением антиподальной инволюции к некоторым вершинам, и при этом $\Delta^*$ реализует один из рассмотренных ниже случаев. В каждом из них мы рассматриваем только подслучаи, не разобранные в доказательстве леммы 13. Мы рассматриваем подслучаи с точностью до перестановок $p_0\leftrightarrow p_1$ и $q_1\leftrightarrow q_2$. Если $p_i,q_j$ – вершины $\Delta'$, мы обозначаем соответствующие вершины $\Delta^*$ через $p_i^*,q_j^*$ и полагаем $u_{ij}^*=\langle p_i^*, q_j^*\rangle$. Случай 1. $\Delta^*$ – параллелограмматический четырехзвенник. Подслучай 1а. $\Delta'=\Delta$. Пусть $\mathbf u^*=(u_{01}^*,u_{02}^*,u_{11}^*,u_{12}^*)$. – Если $\mathbf u^*=(-u_{01},-u_{02},u_{11},u_{12})$, то $-u_{01}=u_{12}=u_{02}=-u_{11}$, следовательно, $(p_0,-q_1,p_1,q_2)$ – ромб и, таким образом, $\Delta$ является $\mathbb P^2$-ромбом. – Если $\mathbf u^*=(-u_{01},u_{02}, -u_{11},u_{12})$, то $\Delta^*$ – ромб. – Если $\mathbf u*=(-u_{01},u_{02},u_{11},-u_{12})$, то $\Delta$ – ромб. Подслучай 1b. $\Delta'=p_0q_0p_1q_1$ и $(u_{00}^*,u_{01}^*,u_{10}^*,u_{11}^*)= (u_{00},\varepsilon u_{01},\varepsilon\delta u_{10},\delta u_{11})$, где $\delta,\varepsilon=\pm 1$. Тогда $u_{00}=\delta u_{11}=\delta u_{01}=u_{10}$, следовательно, $p_0$ и $p_1$ равноудалены от каждой $q_j$, что противоречит лемме 5 в силу нашего предположения о том, что $\mathbf p$ не удовлетворяет условию (SD1). Случай 2. $\Delta^*$ – закрепленный дельтоид с осью $p_0p_1$. Можно предполагать, что $\Delta'=p_0q_0p_1q_1$ и $(u_{00}^*,u_{01}^*,u_{10}^*,u_{11}^*)= (u_{00},\varepsilon u_{01},\varepsilon\delta u_{10},\delta u_{11})$, где $\delta,\varepsilon=\pm 1$. Тогда $u_{00}=\varepsilon u_{01}=\varepsilon u_{11}=u_{10}$ и делаем вывод, как в подслучае 1b. Случай 3. $\Delta^*$ – закрепленный дельтоид с осью $q_0q_j$ (самый интересный случай). Можно считать, что $\Delta'=p_0q_0p_1q_2$. Пусть $\mathbf u^*=(u_{00}^*,u_{02}^*,u_{10}^*,u_{12}^*)$. Если $\mathbf u^*=(-u_{00},u_{02}, -u_{10},u_{12})$, то $u_{00}=u_{10}$ и доказательство такое же, как для 1b. В противном случае можно считать, что $\mathbf u^*=(-u_{00},\varepsilon u_{02},u_{10},-\varepsilon u_{12})$ и $\varepsilon=\pm 1$. Тогда $u_{02}=u_{12}$ (поскольку $\Delta$ – дельтоид с осью $q_1q_2$) и $u_{02}=-u_{12}$ (поскольку $\Delta^*$ – дельтоид с осью $q_0q_2$). Следовательно, $u_{02}=u_{12}=0$. Также имеем $u_{00}=-u_{10}$. Положим $u=u_{10}=-u_{00}$ и $v=u_{01}=u_{11}$. Тогда $uv\ne 0$ по лемме 22, (a). Рассмотрим $(3,2)$-конфигурацию $(p_0,p_1,p_2;\,q_0,q_2)$. По лемме 21 она содержит либо $\mathbb P^2$-параллелограмматический цикл, либо $\mathbb P^2$-дельтоид. Можно проверить, что тогда, с точностью до перенумерации и применений антиподальной инволюции, числа $u_{ij}$ такие, как на рис. 6. При этом $(2,3)$-конфигурация $(p_0,p_2;\,q_0,q_1,q_2)$ тоже содержит $\mathbb P^2$-параллелограмматический цикл или $\mathbb P^2$-дельтоид. Поскольку $u_{22}\ne 0$ по лемме 22, (b), такое возможно лишь при $w=0$ на рис. 6, c, что означает выполнение условия (CDA). Случай 4. $\Delta'\,{=}\,\Delta$, и $\Delta^*$ – дельтоид с осью $p_0p_1$. Пусть $\mathbf u^*=(u_{01}^*,u_{02}^*,u_{11}^*,u_{12}^*)$. – Если $\mathbf u^*=(-u_{01},-u_{02},u_{11},u_{12})$, то $\Delta$ – ромб. – Если $\mathbf u^*=(-u_{01},u_{02},-u_{11},u_{12})$, то $\Delta^*$ – ромб. – Если $\mathbf u^*=(-u_{01},u_{02},u_{11},-u_{12})$, то $-u_{01}=u_{02}=u_{12}=-u_{11}$, следовательно, $(p_0,-q_1,p_1,q_2)$ – ромб, а значит, $\Delta$ является $\mathbb P^2$-ромбом. Лемма доказана. Лемма 24. Пусть $\Pi$ есть $\mathbb P^2$-параллелограмматический цикл, и пусть $\Pi^*$ получен из $\Pi$ применением антиподальной инволюции к одной из его вершин. Тогда либо $\Pi$, либо $\Pi^*$ параллелограмматичен. Лемма 25 (ср. с леммой 14). $\mathbf p$ не может содержать двух различных $\mathbb P^2$-параллелограмматических циклов с тремя общими вершинами. Эта лемма доказывается так же, как лемма 14, но с учетом леммы 24. Оставшаяся часть § 7 легко переносится на сферический случай с использованием леммы 24, однако требуется следующее дополнительное рассуждение на последнем этапе. Предположим, что $\mathbf p$ не удовлетворяет условию (PD2). Тогда $u+u_1+u_2+u_{12}\ne 0$, так как иначе $(p_0,-p_1,p_2;\,q_0,-q_1,q_2)$ удовлетворяло бы условию (SD2). Напомним, что сферическая версия (7.1) – это (8.8) при $\varepsilon=-1$. Это произведение равно нулю при любом выборе знака “$\pm$”, только если $l=l_2=1$, т.е. только если $u=u_2=0$, но это условие противоречит лемме 22, (a). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KovOre23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|