| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Геодезический поток на пересечении нескольких софокусных квадрик в Г. В. Белозеров Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9864e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПоверхность Земли хорошо приближается эллипсоидом, а именно эллипсоидом вращения. В связи с этим задача об устройстве кратчайших линий на эллипсоиде была одной из важнейших в XVIII–XIX веках в период развития геодезии. Поскольку на гладких поверхностях кратчайшими линиями являются геодезические, ученым того времени предстояло исследовать структуру геодезического потока на эллипсоиде. Геодезические на сфере устроены просто: это плоские сечения, проходящие через ее центр. А. Клеро показал, что геодезический поток на эллипсоиде вращения обладает дополнительным первым интегралом, а Ж. Лагранж, Б. Ориани и Ф. Бессель разработали методы решения треугольников на нем. К. Якоби в работах [1], [2] рассмотрел самый общий случай, т.е. эллипсоид с различными полуосями. Перейдя к эллиптическим координатам, с помощью метода разделения переменных он доказал интегрируемость геодезического потока на $n$-осном эллипсоиде в $\mathbb R^n$. А французский ученый М. Шаль в [3] показал, что касательные прямые, проведенные ко всем точкам данной геодезической на трехосном эллипсоиде в $\mathbb R^3$, одновременно касаются помимо этого эллипсоида еще одной софокусной с ним квадрики. Сейчас этот результат известен как теорема Якоби–Шаля. Теорема 1 (теорема Якоби–Шаля). Касательные линии, проведенные во всех точках данной геодезической на эллипсоиде в евклидовом $n$-мерном пространстве, касаются помимо этого эллипсоида еще $n\,{-}\,2$ софокусных с ним квадрик, общих для всех точек этой геодезической. Замечание 1. Параметры этих квадрик, взятые вместе с энергией, образуют систему функционально независимых попарно коммутирующих (относительно стандартной скобки Пуассона) первых интегралов. Современное доказательство теоремы Якоби–Шаля можно найти в работе [4] В. И. Арнольда. На рис. 1 показана иллюстрация к этой теореме. Геодезический поток на трехосном эллипсоиде является интегрируемой гамильтоновой системой с двумя степенями свободы. Топология слоения Лиувилля этой системы подробно изучена в совместной работе [5] А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко. В этой работе они показали, что геодезический поток на эллипсоиде непрерывно траекторно эквивалентен системе Эйлера с нулевой константой площадей. Определение траекторной эквивалентности и ее инварианты для систем с двумя степенями свободы изложены в работе [6]. Н. Т. Зунг в работе [7] описал топологию слоения Лиувилля геодезического потока на $n$-осном эллипсоиде в $\mathbb R^n$ с различными полуосями вблизи особых точек. К. М. Дэвисон, Х. Р. Дуллин и А. В. Болсинов в [8] описали особенности геодезического потока на трехмерном эллипсоиде с совпадающими средними полуосями. Отметим, что из теоремы 1 следует интегрируемость биллиарда, ограниченного эллипсоидом. Действительно, рассмотрим $n$-осный эллипсоид и устремим его меньшую полуось к нулю. В пределе получится область, ограниченная эллипсоидом $\mathcal{E}$, размерности $n\,{-}\,1$. При этом геодезический поток перейдет в биллиард, ограниченный эллипсоидом $\mathcal{E}$, а параметры каустик, софокусных с исходным эллипсоидом, перейдут в параметры каустик, софокусных с $\mathcal{E}$. Более того, биллиарды, ограниченные несколькими софокусными квадриками, также будут интегрируемыми. Плоские биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик, изучались В. В. Козловым и Д. В. Трещевым в [9], В. Драговичем и М. Раднович в [10], а также В. В. Ведюшкиной в [11], [12]. В. В. Ведюшкина классифицировала с точностью до лиувиллевой эквивалентности все локально плоские топологические биллиарды, ограниченные дугами софокусных эллипсов и гипербол (см. [13]). Не так давно В. А. Кибкало исследовал вопрос об интегрируемости геодезического потока на пересечении нескольких софокусных квадрик. Он доказал, что если пересечение двумерно, то соответствующий геодезический поток является интегрируемым. Как оказалось, этот результат является верным для любого пересечения нескольких невырожденных софокусных квадрик. Более того, верна следующая теорема. Теорема 2 (Т. В. Белозеров). Пусть $Q_1,\dots,Q_k$ – невырожденные софокусные квадрики в $\mathbb R^n$ различных типов и $Q=\bigcap_{i=1}^k Q_i$. Тогда: Доказательству этой теоремы посвящен § 5. Перед чтением этого параграфа советуем ознакомиться с §§ 2–4. Они служат основой доказательства теоремы 2. Отметим, что это утверждение не тривиально, т.е. не следует из классической теоремы Якоби–Шаля. Действительно, рассмотрим координатные поверхности сферических координат. Они представляют собой сферы, конусы с центром в начале координат и осью $Oz$, а также полуплоскости, ограниченные осью $Oz$. Все эти множества являются предельными случаями софокусных квадрик в $\mathbb R^3$, когда $a_1=a_2=a_3$. В пересечении сферы $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ и конуса $x_1^2+x_2^2-0.2x_3^2=0$ будут лежать две окружности, которые не являются геодезическими ни на сфере, ни на конусе (рис. 2). Следовательно, в общем случае геодезическая на пересечении нескольких невырожденных софокусных квадрик не является геодезической ни на одной из этих квадрик. Как мы увидим в § 4 и § 5, первые интегралы, неявно фигурирующие в п. 1) теоремы 2, в эллиптических координатах зависят только от самих координат и квадратов их скоростей. Следовательно, геодезические биллиарды на рассматриваемых пересечениях, ограниченные софокусными квадриками этого же семейства, тоже будут интегрируемыми по Лиувиллю системами, но уже в кусочно гладком смысле. Таким образом, мы получаем новый класс интегрируемых биллиардов. Согласно теореме В. В. Козлова о топологических препятствиях к интегрируемости геодезического потока на двумерных поверхностях (см. [14]), а также теореме 2 связная компонента компактного пересечения нескольких невырожденных софокусных квадрик гомеоморфна либо двумерной сфере, либо двумерному тору. Отметим, что к этому выводу ранее пришел В. А. Кибкало. Однако такие рассуждения неприменимы в случае, если размерность пересечения окажется больше $2$. Тем не менее удается определить класс гомеоморфности компактного пересечения нескольких софокусных квадрик, не прибегая к интегрируемости соответствующего геодезического потока, а используя лишь эллиптические координаты. Теорема 3. Пусть $Q_1,\dots,Q_k$ – невырожденные софокусные квадрики в $\mathbb R^n$ различных типов и $Q=\bigcap_{i=1}^k Q_i$ компактно. Тогда $Q$ гомеоморфно прямому произведению $k$ сфер. Размерности этих сфер равны количествам незафиксированных эллиптических координат на $Q$ между двумя соседними зафиксированными. Не исключено, что этот результат был известен ранее, однако автору не удалось отыскать опубликованную формулировку этой теоремы. Поэтому для полноты картины в § 6 мы докажем теорему 3. Замечание 2. Сферы, фигурирующие в теореме 3, могут быть нульмерными. (Напомним, что нульмерная сфера есть несвязное объединение двух точек.) Замечание 3. В совместной работе [15] C. Гитлера и С. Л. Мердано было установлено, что пересечение соосных квадрик, ассоциированных с многообразиями момент-угол, при определенных условиях гомеоморфно прямой сумме нескольких прямых произведений сфер. Согласно результату А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко (см. [5]) геодезический поток на эллипсоиде непрерывно траекторно эквивалентен системе Эйлера на алгебре Ли $\mathfrak{so}(3)$. Орбитами общего положения коприсоединенного действия на $\mathfrak{so}^*(3)$ являются двумерные сферы $S^2$. Хорошо известно, что $\mathfrak{so}(4)\simeq\mathfrak{so}(3)\times\mathfrak{so}(3)$ и орбитами общего положения коприсоединенного действия на $\mathfrak{so}^*(4)$ являются прямые произведения двух двумерных сфер $S^2\times S^2$. Согласно теоремам 2 и 3 геодезический поток на компактном пересечении нескольких софокусных квадрик интегрируем, а само пересечение гомеоморфно прямому произведению сфер. Весьма разумно предположить, что найдется такое пересечение софокусных квадрик, геодезический поток на котором будет непрерывно траекторно эквивалентен или хотя бы лиувиллево эквивалентен системе Эйлера на $\mathfrak{so}(4)$. Эта гипотеза была выдвинута А. Т. Фоменко, однако пока она не подтверждена. Ключевую роль в доказательстве теоремы 2 будет играть следующее наблюдение: для заданного семейства софокусных квадрик найдутся гладкие функционально независимые функции $F_0,F_1,\dots,F_{n-1}$, определенные на всем $T^*\mathbb R^n$, которые в ограничении на любое пересечение нескольких невырожденных софокусных квадрик будут коммутирующими (относительно стандартной скобки Пуассона) первыми интегралами геодезического потока на нем. Используя метод, описанный В. В. Козловым в работе [16], в § 7 мы найдем достаточное условие на потенциал $V$ в $\mathbb R^n$, которое обеспечит выполнения требования выше. Теорема 4 (Г. В. Белозеров). Пусть заданы семейство софокусных квадрик и гладкая функция $V\colon \mathbb R^n\to\mathbb R$, удовлетворяющая в эллиптических координатах системе дифференциальных уравнений Тогда задача о движении материальной точки на пересечении нескольких невырожденных софокусных квадрик этого семейства под действием потенциала $V$ является квадратично интегрируемой. Как и в случае геодезического потока, геодезические биллиарды с потенциалом $V$ из теоремы 4, “живущие” на пересечениях нескольких софокусных квадрик и ограниченные гладкими гранями квадрик этого семейства, будут интегрируемы по Лиувиллю в кусочно гладком смысле. Благодарности. Автор благодарит В. А. Кибкало за постановку вопроса, А. Т. Фоменко за внимание к работе и Н. А. Хотина за помощь в исследовании. § 2. Софокусные квадрики и эллиптические координатыВ этом параграфе мы обсудим семейство софокусных квадрик и его свойства, выведем формулу связи эллиптических координат с декартовыми, а также введем обозначения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Определение. Семейством софокусных квадрик в евклидовом $n$-мерном пространстве назовем множество квадрик, заданных уравнением где $a_1>a_2>\dots>a_n$ – фиксированные числа, а $\lambda$ – вещественный параметр. Замечание 4. Если $\lambda=a_i$ для некоторого $i$, то квадрика, соответствующая этому параметру, не определена. Чтобы ее определить, необходимо сначала умножить уравнение (2.1) на произведение $\prod_j(a-\lambda_j)$, а затем в полученное выражение подставить значение $\lambda=a_i$. Нетрудно убедиться, что квадрикой, соответствующей параметру $a_i$, является гиперплоскость $x_i=0$. К. Якоби в работе [2] показал, что через каждую точку $\mathbb R^n$, не лежащую ни в одной из гиперплоскостей вида $x_i=0$, проходит в точности $n$ софокусных квадрик. Более того, если обозначить через $\lambda_1<\dots<\lambda_n$ параметры этих квадрик, то $\lambda_1\in(-\infty,a_n)$, $\lambda_2\in(a_{n},a_{n-1})$, $\dots$, $\lambda_n\in(a_2,a_1)$. Оказывается, что функции $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ однозначно продолжаются до непрерывных во всем $\mathbb R^n$ и гладких почти всюду (за исключением гиперплоскостей $x_i=0$, где $i=1,\dots,n\,{-}\,1$). Набор функций $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ называется эллиптическими координатами, связанными с данным семейством софокусных квадрик. Следующее утверждение, доказанное К. Якоби, устанавливает связь между эллиптическими и декартовыми координатами точки. Доказательство. Докажем утверждение для $k=1$. Остальные случаи разбираются аналогично. Запишем уравнения связи между эллиптическими и декартовыми координатами:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{a_1-\lambda_1}+\dfrac{x_2^2}{a_2-\lambda_1} +\dots+\dfrac{x_n^2}{a_n-\lambda_1}=1, \\ \dfrac{x_1^2}{a_1-\lambda_2}+\dfrac{x_2^2}{a_2-\lambda_2} +\dots+\dfrac{x_n^2}{a_n-\lambda_2}=1, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \dfrac{x_1^2}{a_1-\lambda_n}+\dfrac{x_2^2}{a_2-\lambda_n} +\dots+\dfrac{x_n^2}{a_n-\lambda_n}=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Для каждого $i$ умножим $i$-е уравнение системы (2.3) на $a_n-\lambda_i$. Затем из первых $n-1$ уравнений вычтем последнее, после чего для всех $i<n$ разделим $i$-е уравнение на $\lambda_i\,{-}\,\lambda_n$. Отбрасывая последнее равенство, получим следующую систему из $n-1$ уравнений для $n-1$ декартовых координат:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dfrac{a_1-a_n}{(a_1-\lambda_1)(a_1-\lambda_n)}x_1^2 +\dots+\dfrac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-\lambda_1)(a_{n-1}-\lambda_n)}x_{n-1}^2=1, \\ \dfrac{a_1-a_n}{(a_1-\lambda_2)(a_1-\lambda_n)}x_1^2 +\dots+\dfrac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-\lambda_2)(a_{n-1}-\lambda_n)}x_{n-1}^2=1, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \dfrac{a_1-a_n}{(a_1-\lambda_{n-1})(a_1-\lambda_n)}x_1^2 +\dots+\dfrac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-\lambda_{n-1}) (a_{n-1}-\lambda_n)}x_{n-1}^2=1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь будем последовательно избавляться от переменных $x_{n-1},\dots,x_2$ тем же способом, что и выше. В итоге получим
$$
\begin{equation*}
\frac{\prod_{j\neq k}(a_k-a_j)}{\prod_{i=1}^n(a_k-\lambda_i)}x_k^2=1,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает требуемая формула.
Предложение доказано. Для сокращения записи введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\Delta_k=\prod_{i=1}^n(a_k-\lambda_i), \qquad \Delta_k^j=\prod_{i\neq j}(a_k-\lambda_i), \qquad \rho_k=\prod_{j\neq k}(a_k-a_j);
\end{equation*}
\notag
$$
$\sigma^m_{i_1,\dots,i_k}(b_1,\dots,b_n)$ при $m>0$ – элементарный симметрический многочлен степени $m$ от переменных $\{b_1,\dots,b_n\}\setminus\{b_{i_1},\dots,b_{i_k}\}$, при $m=0$ – тождественная единица, при $m=-1$ – тождественный нуль. Используя эти обозначения, равенство (2.2) можно переписать так: Докажем еще одно утверждение, которое понадобится нам в дальнейшем. Доказательство. Запишем уравнения для $i$-й и $j$-й эллиптических координат:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{a_1-\lambda_i}+\dfrac{x_2^2}{a_2-\lambda_i} +\dots+\dfrac{x_n^2}{a_n-\lambda_i}=1, \\ \dfrac{x_1^2}{a_1-\lambda_j}+\dfrac{x_2^2}{a_2-\lambda_j} +\dots+\dfrac{x_n^2}{a_n-\lambda_j}=1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычтем из первого уравнения второе, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{(\lambda_j-\lambda_i)x_1^2}{(a_1-\lambda_i)(a_1-\lambda_j)} +\dots+\frac{(\lambda_j-\lambda_i)x_n^2}{(a_n-\lambda_i)(a_n-\lambda_j)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $i\neq j$, то, вообще говоря, $\lambda_i\neq\lambda_j$. Разделим полученное уравнение на $\lambda_j-\lambda_i$ и применим формулу (2.4).
Предложение доказано. Геометрическая интерпретация этого утверждения следующая: софокусные квадрики в точках пересечения ортогональны. Этот факт был тоже отмечен К. Якоби в работе [2]. § 3. Формулы суммированияВ этом параграфе мы докажем несколько утверждений о суммах некоторых специальных рациональных выражений. Мы применим их в § 4 для осуществления перехода от декартовых координат к эллиптическим. Предложение 3. Пусть $s$, $m$ – целые неотрицательные числа, не превосходящие $n-1$. Тогда Доказательство. Зафиксируем $s$ и рассмотрим многочлен $P(z)$, определенный формулой Переставим знаки суммирования и воспользуемся теоремой Виета:
Осталось заметить, что при всех $k$ выполнено равенство $P(a_k)=a_k^s$. А поскольку $\mathrm{deg}\,P\leqslant n-1$, имеем $P(z)\equiv z^s$. Сравнивая коэффициенты при степенях $P(z)$, получаем требуемое равенство. Предложение доказано. Доказательство. Вынесем в выражении слева дробь $(-1)^{n+1}/\prod_i(a_i-b)$ за скобки, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{(-1)^{n+1}}{(a_1-b)\dotsb(a_n-b)}\sum_{k=1}^n \frac{(b-a_1)\dotsb(b-a_{k-1})(b-a_{k+1})\dotsb (b-a_n)}{(a_k-a_1)\dotsb(a_k-a_{k-1})(a_{k}-a_{k+1}) \dotsb(a_k-a_n)} \\ &\qquad=\frac{(-1)^{n+1}}{(a_1-b)\dotsb(a_n-b)}Q(b), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $Q(b)$ является многочленом по $b$ степени $\leqslant n-1$. Однако нетрудно видеть, что $Q(a_k)=1$ при $k=1,\dots,n$. Следовательно, $Q(b)\equiv1$.
Предложение доказано. Доказательство. Рассмотрим многочлен $R(z)$, заданный формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R(z)&=\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m}z^{n-1-m} \\ &\qquad\times\sum_{k=1}^n\frac{(a_k-b_1)\dotsb(a_k-b_{l-1})(a_k-b_{l+1}) \dotsb(a_k-b_n)}{(a_k-a_1)\dotsb(a_k-a_{k-1})(a_{k}-a_{k+1}) \dotsb(a_k-a_n)}\sigma_k^m(a_1,\dots,a_n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Изменим порядок суммирования и воспользуемся теоремой Виета, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R(z)&=\sum_{k=1}^n\frac{(a_k-b_1)\dotsb(a_k-b_{l-1})(a_k-b_{l+1}) \dotsb(a_k-b_n)}{(a_k-a_1)\dotsb(a_k-a_{k-1})(a_{k}-a_{k+1})\dotsb (a_k-a_n)} \\ &\qquad\times\bigl((z-a_1)\dotsb(z-a_{k-1})(z-a_{k+1})\dotsb(z-a_n)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $R(a_k)=(a_k-b_1)\dotsb(a_k-b_{l-1})(a_k-b_{l+1})\dotsb(a_k-b_n)$ при всех $k=1,\dots,n$. Поскольку $R(z)$ – многочлен степени $\leqslant n-1$, значит,
$$
\begin{equation*}
R(z)=(z-b_1)\dotsb(z-b_{l-1})(z-b_{l+1})\dotsb(z-b_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, коэффициент при $z^{n-1-m}$ у $R(z)$ равен $(-1)^m\sigma_l^m(b_1,\dots,b_n)$, откуда вытекает требуемое равенство.
Предложение доказано. § 4. Движение точки по инерции в $\mathbb R^n$Перед тем как перейти доказательству теоремы 2, рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть материальная точка движется по инерции в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$ с декартовыми координатами $(x_1,\dots,x_n)$. Найдем параметры софокусных квадрик семейства (2.1), которых касается траектория материальной точки. Пусть частица в некоторый момент времени $t$ находилась в точке с координатами $x_1,\dots,x_n$ и имела в этой точке вектор скорости $(\dot{x}_1,\dots,\dot{x}_n)$. В таком случае траектория частицы есть прямая, заданная параметрически:
$$
\begin{equation*}
(x_1+\tau\dot{x}_1,\dots,x_n+\tau\dot{x}_n), \qquad \tau\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы найти точки пересечения этой прямой с квадрикой параметра $\mu$, нужно решить следующее квадратное относительно параметра $\tau$ уравнение:
$$
\begin{equation*}
\frac{(x_1+\tau\dot{x}_1)^2}{a_1-\mu}+\dots +\frac{(x_n+\tau\dot{x}_n)^2}{a_n-\mu}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что прямая касается квадрики в том и только том случае, когда дискриминант этого квадратного относительно $\tau$ уравнения равен нулю. Это условие можно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(\frac{x_1\dot{x}_1}{a_1-\mu}+\dots+\frac{x_n\dot{x}_n}{a_n-\mu}\biggr)^2 \\ &\qquad =\biggl(\frac{\dot{x}_1^2}{a_1-\mu}+\dots+\frac{\dot{x}_n^2}{a_n-\mu}\biggr) \biggl(\frac{x_1^2}{a_1-\mu}+\dots+\frac{x_n^2}{a_n-\mu}-1\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Следовательно, чтобы найти квадрики, которых касается траектория материальной точки, нужно решить уравнение (4.1) относительно $\mu$. Сначала преобразуем это уравнение (раскроем скобки в обеих частях равенства, перенесем все слагаемые в левую часть и упростим ее, выделив полные квадраты):
$$
\begin{equation*}
\frac{\dot{x}_1^2}{a_1-\mu}+\dots+\frac{\dot{x}_n^2}{a_n-\mu} -\sum_{i<j}\frac{K_{i,j}^2}{(a_i-\mu)(a_j-\mu)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $K_{i,j}=x_i\dot{x}_j-x_j\dot{x_i}$. Домножим обе части этого уравнения на $\prod_i(a_i-\mu)$:
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n \prod_{m\neq k} (a_m-\mu)\dot{x}_k^2-\sum_{i<j}\prod_{m\neq i,j} (a_m-\mu)K_{i,j}^2=0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Полученное уравнение будем называть уравнением касания. Его степень равна $n\,{-}\,1$. Обозначим через $F_{m}$ коэффициент при $2\cdot(-1)^{n-1-m}\mu^{n-m-1}$. Получим следующие равенства:
$$
\begin{equation}
F_m=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\sigma_k^m(a_1,\dots,a_n)\dot{x}_k^2 -\frac{1}{2}\sum_{i<j}\sigma_{i,j}^{m-1}(a_1,\dots,a_n)K_{i,j}^2.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Замечание 5. Все функции $F_m$ являются гладкими на фазовом пространстве нашей динамической системы. При этом функция $F_0$ равна полной механической энергии материальной точки. Изучим теперь свойства функций $F_m$ (4.3). В декартовых координатах сделать это довольно трудно, поскольку условия касания софокусных квадрик тесно связаны с эллиптическими координатами. Поэтому перейдем к эллиптическим координатам. Согласно предложению 1 $x_k^2={\Delta_k}/{\rho_k}$. Продифференцируем это равенство и разделим на $2$:
$$
\begin{equation}
x_k\dot{x}_k=-\frac{1}{2\rho_k}\sum_{i=1}^n\Delta_k^i\dot{\lambda}_i.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Для сокращения записи знак суммы в дальнейшем писать не будем. Используя формулы (1.1), (4.4), получим
$$
\begin{equation}
\dot{x}_k^2=\frac{(x_k\dot{x}_k)^2}{x_k^2} =\frac{1}{4\rho_k\Delta_k}\Delta_k^p\Delta_k^q\dot{\lambda}_p\dot{\lambda}_q.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Подставим формулы (1.1), (4.4), (4.5) в (4.1), раскроем скобки и умножим полученное уравнение на $4$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^q\dot{\lambda}_p\dot{\lambda}_q \\ &\qquad=\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}\Delta_{\alpha} (a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)}\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^q \dot{\lambda}_p\dot{\lambda}_q-\frac{1}{\rho_{\alpha}\Delta_{\alpha} (a_{\alpha}-\mu)}\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^q\dot{\lambda}_p \dot{\lambda}_q. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Перенесем все слагаемые влево и упростим левую часть полученного уравнения, собрав его коэффициенты при $\dot{\lambda}_p\dot{\lambda}_q$. Рассмотрим два случая: $p\neq q$; $p=q$. 1) $p\neq q$. Коэффициент при $\dot{\lambda}_p\dot{\lambda}_q$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^q -\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}\Delta_{\alpha} (a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)}\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^q \\ &\qquad+\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^q\Delta_{\beta}^p -\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}\Delta_{\alpha} (a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)}\Delta_{\alpha}^q\Delta_{\alpha}^p \\ &\qquad+\frac{2}{\rho_{\alpha}\Delta_{\alpha}(a_{\alpha}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Упростим сумму первых двух слагаемых. Для этого сначала вынесем $\Delta_\alpha^p\Delta_\beta^q$ вместе со знаменателем за скобки, затем упростим выражение в скобках, после чего представим рациональное выражение относительно $\mu$ в виде разности двух дробей:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^q -\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta} \Delta_{\alpha}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^q \\ &\qquad=\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^q \biggl(1-\frac{\Delta_{\beta}\Delta_{\alpha}^q}{\Delta_{\alpha} \Delta_{\beta}^q}\biggr) \\ &\qquad=\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^q \biggl(1-\frac{a_{\beta}-\lambda_{q}}{a_{\alpha}-\lambda_{q}}\biggr) \\ &\qquad=\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^q \frac{a_{\alpha}-a_{\beta}}{a_{\alpha}-\lambda_{q}} \\ &\qquad =\frac{\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^q}{\rho_{\alpha} \rho_{\beta}(a_{\alpha}-\lambda_{q})}\biggl(\frac{1}{a_{\beta}-\mu} -\frac{1}{a_{\alpha}-\mu}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь раскроем скобки в полученном выражении и во втором слагаемом поменяем местами $\alpha$ и $\beta$. Получим
$$
\begin{equation*}
\frac{\Delta_{\beta}\Delta_{\alpha}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)} \biggl(\frac{1}{(a_{\alpha}-\lambda_{q})(a_{\alpha}-\lambda_{p}) (a_{\beta}-\lambda_{q})}-\frac{1}{(a_{\beta}-\lambda_{q}) (a_{\beta}-\lambda_{p})(a_{\alpha}-\lambda_{q})}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично поступим с оставшимися двумя слагаемыми:
$$
\begin{equation*}
\frac{\Delta_{\beta}\Delta_{\alpha}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)} \biggl(\frac{1}{(a_{\alpha}-\lambda_{p})(a_{\alpha}-\lambda_{q}) (a_{\beta}-\lambda_{p})}-\frac{1}{(a_{\beta}-\lambda_{p}) (a_{\beta}-\lambda_{q})(a_{\alpha}-\lambda_{p})}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Сумма этих двух выражений равна
$$
\begin{equation*}
2\frac{\Delta_{\beta}\Delta_{\alpha}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)} \,\frac{a_{\beta}-a_{\alpha}}{(a_{\alpha}-\lambda_{p}) (a_{\alpha}-\lambda_{q})(a_{\beta}-\lambda_{p})(a_{\beta}-\lambda_{q})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Представим $a_{\beta}-a_{\alpha}$ как $a_{\beta}-\lambda_p-a_{\alpha}+\lambda_p$ и просуммируем выражение выше сначала по $\alpha$, а затем по $\beta$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\frac{\Delta_{\beta}\Delta_{\alpha}}{\rho_{\alpha} \rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)}\, \frac{a_{\beta}-\lambda_p-a_{\alpha}+\lambda_p} {(a_{\alpha}-\lambda_{p})(a_{\alpha}-\lambda_{q})(a_{\beta}-\lambda_{p}) (a_{\beta}-\lambda_{q})} \\ &\qquad=2\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu) (a_{\beta}-\lambda_{p})(a_{\beta}-\lambda_{q})} \\ &\qquad\qquad\times \biggl((a_{\beta}-\lambda_{p})\frac{\Delta_{\alpha}} {\rho_{\alpha}(a_{\alpha}-\lambda_{p})(a_{\alpha}-\lambda_{q})} -\frac{\Delta_{\alpha}}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha}-\lambda_{q})}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя результаты утверждений 1, 2, упростим предыдущее выражение:
$$
\begin{equation*}
-2\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu) (a_{\beta}-\lambda_{p})(a_{\beta}-\lambda_{q})} =-2\frac{\Delta_{\beta}^p\Delta_{\beta}^q} {\rho_{\beta}\Delta_{\beta}(a_{\beta}-\mu)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получили, что сумма первых четырех слагаемых равна пятому слагаемому, взятому с противоположным знаком. Следовательно, коэффициент при $\dot{\lambda}_p\dot{\lambda}_q$ равен нулю при $p\neq q$. Рассмотрим второй случай. 2) $p=q$. Коэффициент при $\dot{\lambda}_p^2$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^p-\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\alpha} \rho_{\beta}\Delta_{\alpha}(a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^p \\ &\qquad+\frac{1}{\rho_{\alpha}\Delta_{\alpha}(a_{\alpha}-\mu)} \Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в случае 1), упростим сумму первых двух слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\mu) (a_{\beta}-\mu)}\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^p -\frac{\Delta_{\beta}}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta}\Delta_{\alpha} (a_{\alpha}-\mu)(a_{\beta}-\mu)}\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^p \\ &\qquad =\frac{\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^p}{\rho_{\alpha}\rho_{\beta} (a_{\alpha}-\lambda_{p})} \biggl(\frac{1}{a_{\beta}-\mu}-\frac{1}{a_{\alpha}-\mu}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Раскроем скобки в полученном выражении и просуммируем второе слагаемое по $\beta$, используя формулы (2.2):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\beta}^p}{\rho_{\alpha} \rho_{\beta}(a_{\alpha}-\lambda_{p})} \frac{1}{a_{\beta}-\mu}-\frac{\Delta_{\beta}^p\Delta_{\alpha}^p} {\rho_{\alpha}\rho_{\beta}(a_{\alpha}-\lambda_{p})} \frac{1}{a_{\alpha}-\mu} \\ &\qquad=\frac{\Delta^p_{\beta}}{\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)} \biggl(\frac{\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha} -\lambda_{p})}\biggr)-\frac{\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha} -\lambda_{p})(a_{\alpha}-\mu)}\biggl(\frac{\Delta_{\beta}^p}{\rho_{\beta}}\biggr) \\ &\qquad=\frac{\Delta^p_{\beta}}{\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)} \biggl(\frac{\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha}-\lambda_{p})}\biggr) -\frac{\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha}-\lambda_{p}) (a_{\alpha}-\mu)} \\ &\qquad=\frac{\Delta^p_{\beta}}{\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)} \biggl(\frac{\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha}-\lambda_{p})}\biggr) -\frac{\Delta_{\alpha}^p\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}\Delta_{\alpha} (a_{\alpha}-\mu)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, коэффициент перед $\dot{\lambda}_p^2$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\frac{\Delta^p_{\beta}}{\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)} \biggl(\frac{\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha}-\lambda_{p})}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим значение суммы $\dfrac{\Delta_{\alpha}^p}{\rho_{\alpha}(a_{\alpha}-\lambda_{p})}$. Для этого запишем явную формулу ее слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\sum_{\alpha=1}^n\frac{1}{a_{\alpha}-\lambda_p}\cdot \frac{(a_{\alpha}-\lambda_1)\dotsb(a_{\alpha}-\lambda_{p-1}) (a_{\alpha}-\lambda_{p+1})\dotsb(a_{\alpha}-\lambda_{n})} {(a_{\alpha}-a_1)\dotsb(a_{\alpha}-a_{\alpha-1}) (a_{\alpha}-a_{\alpha+1})\dotsb(a_{\alpha}-a_{n})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Представим каждое $a_{\alpha}-\lambda_i$ в виде $a_{\alpha}-\lambda_{p}+\lambda_p-\lambda_i$. Таким образом, числитель каждой дроби есть многочлен степени $\leqslant n-1$ от $a_{\alpha}-\lambda_p$. Поскольку в знаменателе дробей всегда присутствует множитель $a_{\alpha}-\lambda_p$, по формуле суммирования (3.1) эту сумму можно упростить и переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\sum_{a=1}^n\frac{1}{a_{\alpha}-\lambda_p}\cdot \frac{(\lambda_{p}-\lambda_1)\dotsb(\lambda_{p}-\lambda_{p-1}) (\lambda_{p}-\lambda_{p+1})\dotsb(\lambda_{p}-\lambda_{n})} {(a_{\alpha}-a_1)\dotsb(a_{\alpha}-a_{\alpha-1}) (a_{\alpha}-a_{\alpha+1})\dotsb(a_{\alpha}-a_{n})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку числитель у всех дробей общий, то по формуле (3.2) преобразуем это выражение к виду
$$
\begin{equation*}
\frac{(\lambda_{1}-\lambda_p)\dotsb(\lambda_{p-1}-\lambda_{p}) (\lambda_{p+1}-\lambda_{p})\dotsb(\lambda_{n}-\lambda_{p})} {(a_{1}-\lambda_p)(a_{2}-\lambda_{p})\dotsb(a_{n-1}-\lambda_{p}) (a_{n}-\lambda_{p})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим его через $A_p$, тогда коэффициент при $\lambda_{p}$ выглядит так:
$$
\begin{equation*}
A_p\sum_{\beta=1}^n\frac{\Delta_{\beta}^p}{\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге уравнение (4.1) мы привели к следующему виду:
$$
\begin{equation*}
\sum_{p=1}^{n}\biggl(\sum_{\beta=1}^n\frac{\Delta_{\beta}^p} {\rho_{\beta}(a_{\beta}-\mu)}\biggr)A_p\dot{\lambda}_p^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Домножим это уравнение на $\prod_i(a_i-\mu)$:
$$
\begin{equation*}
\sum_{p=1}^{n}\biggl(\sum_{\beta=1}^n\frac{\Delta_{\beta}^p} {\rho_{\beta}}\prod_{i\neq\beta}(a_i-\mu)\biggr)A_p\dot{\lambda}_p^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в самом начале мы разделили уравнение на $4$, из последнего соотношения следует, что
$$
\begin{equation*}
F_{m}=\frac{1}{8}\sum_{p=1}^n \biggl(\sum_{\beta=1}^n\frac{\Delta_{\beta}^p}{\rho_{\beta}} \sigma_{\beta}^m(a_1,\dots,a_n)\biggr)A_p\dot{\lambda}_p^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось упростить внутреннюю сумму. Для этого воспользуемся формулой суммирования (3.3):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\beta=1}^n\frac{\Delta_{\beta}^p}{\rho_{\beta}} \sigma_{\beta}^m(a_1,\dots,a_n) \\ &\qquad=\sum_{\beta=1}^n\frac{(a_k-\lambda_1)\dotsb(a_k-\lambda_{p-1}) (a_k-\lambda_{p+1})\dotsb(a_\beta-\lambda_n)}{(a_\beta-a_1) \dotsb(a_\beta-a_{\beta-1}) (a_{\beta}-a_{\beta+1})\dotsb(a_\beta-a_n)}\sigma_\beta^m(a_1,\dots,a_n) \\ &\qquad=\sigma_p^m(\lambda_1,\dots,\lambda_n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, получаем следующие формулы:
$$
\begin{equation*}
F_m=\frac{1}{8}\sum_{p=1}^n \sigma_p^m(\lambda_1,\dots,\lambda_n) A_p\dot{\lambda}_p^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в эллиптических координатах функции $F_m$ записываются в более простом виде. Однако исследование свойств этих функций мы будем проводить с точки зрения гамильтоновой механики. Поэтому перейдем к координатно-импульсному представлению. Мы уже заметили, что функция $F_0$ равна полной механической энергии материальной точки (см. замечание 5). Положим $\widehat{A}_p=A_{p}^{-1}$. Согласно определению обобщенных импульсов
$$
\begin{equation*}
p_i=\frac{\partial H}{\partial\dot{\lambda}_i}=\frac{1}{4}A_{i}\dot{\lambda}_i,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем $\dot{\lambda}_i=4\widehat{A}_ip_i$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
F_{m}=2\sum_{i=1}^n \sigma_i^m(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\widehat{A}_ip_i^2.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Докажем несколько утверждений о свойствах функций $F_i$. Первым и наиболее важным из всех свойств является следующее. Доказательство. Вычислим сначала частные производные, фигурирующие в формуле (для краткости будем считать, что $\sigma(\lambda_1,\dots,\lambda_n)=\sigma$):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} \frac{\partial F_i}{\partial \lambda_k} &=2\sum_{m\neq k}\sigma^i_{m,k}\widehat{A}_mp_m^2 +2\sum_{m=1}^n\sigma^i_m\,\frac{\partial\widehat{A}_m}{\partial\lambda_k}p_m^2 \\ &=2\sigma_k^i\,\frac{\partial\widehat{A}_k}{\partial\lambda_k}p_k^2 +2\sum_{m\neq k}\biggl(\sigma^{i-1}_{m,k}\widehat{A}_m +\sigma^i_m\,\frac{\partial\widehat{A}_m}{\partial\lambda_k}\biggr)p_m^2, \end{split} \\ \frac{\partial F_i}{\partial p_k}=4\sigma_k^i\widehat{A}_kp_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, выражение $\dfrac{\partial F_i}{\partial \lambda_k}\,\dfrac{\partial F_j}{\partial p_k}-\dfrac{\partial F_j}{\partial \lambda_k}\,\dfrac{\partial F_i}{\partial p_k}$ равно
Покажем, что при всех $m$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
(\sigma_k^j\sigma_{m,k}^{i-1}-\sigma_k^i\sigma_{m,k}^{j-1}) \widehat{A}_m+(\sigma_k^j\sigma_m^i-\sigma_k^i\sigma_m^j)\,\frac{\partial \widehat{A}_m}{\partial \lambda_k}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого запишем два легко проверяемых тождества:
$$
\begin{equation*}
\lambda_m\sigma_{m,k}^{i-1}+\sigma_{m,k}^{i}=\sigma_{k}^i, \qquad \lambda_k\sigma_{m,k}^{i-1}+\sigma_{m,k}^{i}=\sigma_{m}^i.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычтем из первого равенства второе и разделим получившееся тождество на $\lambda_m-\lambda_k$. Получим $\sigma_{m,k}^{i-1}=\dfrac{\sigma_{k}^i-\sigma_{m}^i}{\lambda_m-\lambda_k}$. Аналогично получаем $\sigma_{m,k}^{j-1}=\dfrac{\sigma_{k}^j-\sigma_{m}^j}{\lambda_m-\lambda_k}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\sigma_k^j\sigma_{m,k}^{i-1}-\sigma_k^i\sigma_{m,k}^{j-1}) \widehat{A}_m+(\sigma_k^j\sigma_m^i-\sigma_k^i\sigma_m^j)\, \frac{\partial \widehat{A}_m}{\partial \lambda_k} \\ &\qquad=\frac{\sigma_k^j\sigma_m^i-\sigma_k^i\sigma_m^j} {\lambda_k-\lambda_m}\widehat{A}_m+(\sigma_k^j\sigma_m^i -\sigma_k^i\sigma_m^j)\, \frac{\partial \widehat{A}_m}{\partial \lambda_k} \\ &\qquad=(\sigma_k^j\sigma_m^i-\sigma_k^i\sigma_m^j) \biggl(\frac{\widehat{A}_m}{\lambda_k-\lambda_m}+\frac{\partial \widehat{A}_m}{\partial \lambda_k}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство $\dfrac{\widehat{A}_m}{\lambda_k-\lambda_m}+\dfrac{\partial \widehat{A}_m}{\partial \lambda_k}=0$ проверяется нетрудным вычислением. Предложение 6 доказано. Теперь переформулируем предложение 6 на языке скобок Пуассона. Рассмотрим в пространстве гладких функций, определенных в $T^*\mathbb R^n$, $n$ скобок Пуассона $\{\cdot,\cdot\}_1,\dots,\{\cdot,\cdot\}_n$, задаваемых равенствами
$$
\begin{equation*}
\{F,G\}_i=\frac{\partial F}{\partial \lambda_i}\,\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial G}{\partial \lambda_i}\,\frac{\partial F}{\partial p_i} \quad \text{для любого }\ i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая из этих антисимметричных форм удовлетворяет тождеству Лейбница, что легко проверяется несложными вычислениями. Согласно предложению 6 все функции $F_i$ являются коммутирующими относительно каждой скобки Пуассона $\{\cdot,\cdot\}_j$. Такое условие является достаточно сильным и весьма необычным. Однако, по всей видимости, оно не было замечено классиками. Именно это наблюдение сыграет ключевую роль в доказательстве теоремы 2. Напомним, что стандартная скобка Пуассона на кокасательном расслоении к $\mathbb R^n$ имеет вид $\{\cdot,\cdot\}=\sum_{i=1}^n\{\cdot,\cdot\}_i$. Отсюда получаем важное следствие. Отметим, что обратное, вообще говоря, неверно, т.е. из того, что $\{F,G\}=0$, не следует, что $\{F,G\}_i=0$ для любого $i=1,\dots,n$. Поскольку гамильтонианом рассматриваемой динамической системы является функция $F_0$, то функции $F_1,\dots,F_{n-1}$ являются первыми интегралами материальной точки, движущейся по инерции в $\mathbb R^n$. А следовательно, многочлен касания остается неизменным вдоль любой геодезической в $\mathbb R^n$ (т.е. прямой), что весьма очевидно. Оказывается, система функций $F_0,\dots,F_{n-1}$ является функционально независимой. Это гарантирует следующее утверждение. Доказательство. Покажем, что почти всюду $\dfrac{D(F_0,\dots,F_{n-1})}{D(p_1,\dots,p_n)}\neq0$. Имеем Следовательно,
Заметим, что выражение после определителя не обращается в нуль почти всюду. Покажем, что и определитель почти всюду не нуль. Сопоставим $j$-му столбцу матрицы внутри определителя многочлен Отметим, что определитель равен нулю в том и только том случае, когда многочлены $f_1(z),\dots,f_n(z)$ линейно зависимы. Из теоремы Виета следует, что для любого $j$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
f_j(z)=(z-\lambda_1)\dotsb(z-\lambda_{j-1}) (z-\lambda_{j+1})\dotsb(z-\lambda_{n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ попарно различны; тогда $f_j(\lambda_i)\neq0$ в том и только том случае, когда $i\neq j$. Отсюда немедленно следует, что при таких $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ многочлены $f_1(z),\dots,f_n(z)$ линейно независимы. Поскольку условия вида $\lambda_i=\lambda_j$ при $i\neq j$ задают множество меры нуль в фазовом пространстве, то функции $F_0,\dots,F_{n-1}$ являются функционально независимыми. Предложение доказано. Таким образом, задача о движении материальной точки является вполне интегрируемой и ее первые интегралы $F_0,\dots,F_{n-1}$ полностью описывают касание траектории семейства софокусных квадрик. То, что задача о движении материальной точки по инерции в $\mathbb R^n$ интегрируема, является общеизвестным фактом. Действительно, в качестве первых интегралов можно рассмотреть импульсы, соответствующие декартовым координатам. Однако нам важно, что построенная система функционально независимых коммутирующих первых интегралов $F_0,\dots,F_{n-1}$ связана с касанием софокусных квадрик. Теперь определим, скольких софокусных квадрик касается траектория материальной точки в $\mathbb R^n$. Для этого докажем вспомогательное утверждение о разделении переменных. Предложение 8 (формула разделения переменных). На совместном уровне $f_0,\dots,f_{n-1}$ первых интегралов $F_0,\dots,F_{n-1}$ уравнения движения имеют следующий вид: Доказательство. Рассмотрим многочлен касания на совместном уровне $(f_0,\dots,f_{n-1})$. Напомним, что $P(\mu_0)=0$ в том и только том случае, когда траектория касается квадрики параметра $\mu_0$. По теореме Виета, используя формулы (4.7), получаем Отсюда заключаем, что для любого $k=1,\dots,n$ выполнено равенство
Используя связь между обобщенными импульсами и скоростями, а также соотношения (4.9), получаем
$$
\begin{equation*}
\dot{\lambda}_k=4\widehat{A}_jp_j=\pm\frac{2\sqrt{2}}{\prod_{i\neq k}(\lambda_i-\lambda_k)} \sqrt{(-1)^{n-1}\prod_{i=1}^n(a_i-\lambda_k)P(\lambda_k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Заметим, что в формуле разделения переменных под корнем стоит многочлен относительно $\lambda_i$, который равен произведению многочлена $\prod_j(a_j-\lambda_i)$ и многочлена касания. Используя это наблюдение, докажем следующее утверждение. Предложение 9. Пусть $f_0,\dots,f_{n-1}$ – совместный уровень первых интегралов $F_0,\dots,F_{n-1}$. Тогда многочлен $P(\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}\mu^{n-1-k}(-1)^{k}f_k$ имеет $n-1$ вещественных корней с учетом кратности. Доказательство. Проведем доказательство для нечетных $n$ (для четных доказательство аналогичное). Рассмотрим уравнения движения на совместном уровне $F_0=f_0,\dots,F_{n-1}=f_{n-1}$ (см. (4.8)). Из них следует, что для почти всех наборов $f_0,\dots,f_{n-1}$ на промежутках $(-\infty,a_n)$, $(a_n,a_{n-1}),\dots,(a_2,a_1)$ должны найтись подынтервалы, на которых многочлен принимает положительные значения.
Заметим, что $P(z)=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-1-k}(-1)^{k}f_k$ стремится к $-\infty$ при $x\to-\infty$, а $Q(z)=\prod_{i=1}^n(a_i-z)$ стремится к $+\infty$. Следовательно, $V(z)\to-\infty$ при $x\to-\infty$. Поскольку на интервале $(-\infty,a_n)$ должен быть подынтервал, на котором $V(z)>0$, то на промежутке $(-\infty,a_n)$ многочлен $V(z)$ должен иметь хотя бы один корень. Предположим, что для некоторого $\varepsilon>0$ выполнено неравенство $V(z)< 0$ при $z\,{\in}\,(a_n,a_n\,{+}\,\varepsilon)$; тогда на промежутке $(a_{n},a_{n-1})$ должен найтись корень $P(z)$. Если же $V(z)>0$ при $z\in(a_n,a_n+\varepsilon)$, то $P(z)$ должен иметь по крайней мере два корня на промежутке $(-\infty,a_n)$. Таким образом, на промежутке $(-\infty,a_{n-1})$ многочлен $P(z)$ имеет по крайней мере два корня. Рассуждая аналогично по индукции, получаем требуемое утверждение. Предложение доказано. Таким образом, любая прямая в $\mathbb R^n$ касается в точности $n-1$ софокусных квадрик. Отметим, что М. Шаль в работе [3] доказал, что любая прямая в $\mathbb R^3$ касается ровно двух софокусных квадрик. Подытожим этот параграф следующим следствием. Следствие 2. Траектория материальной точки, движущейся по инерции в $\mathbb{R}^n$, касается $n-1$ софокусных квадрик. Параметры этих квадрик, взятые вместе с энергией частицы, образуют систему из $n$ функционально независимых попарно коммутирующих первых интегралов. § 5. Доказательство основной теоремы Доказательство теоремы 2. Пусть $Q_1,\dots,Q_k$ – невырожденные софокусные квадрики разных типов в $\mathbb R^n$ и $Q=\bigcap_{i=1}^k Q_i$. Фиксируя квадрику $Q_i$, мы фиксируем эллиптическую координату с номером $c_i$, и наоборот (фиксируя некоторую эллиптическую координату, мы фиксируем некоторую квадрику из семейства софокусных). Поскольку все квадрики $Q_i$ невырожденны и имеют различные типы, $Q$ задается как поверхность, на которой зафиксированы $k$ эллиптических координат $\lambda_{c_1},\dots,\lambda_{c_k}$. Импульсы, соответствующие этим координатам, равны нулю на $Q$, а оставшиеся эллиптические координаты являются координатами на этом пересечении.
Функция $H=F_0$ является гамильтонианом геодезического потока на $Q$, поэтому по предложению 6 функции $F_0,\dots,F_{n-1}$ являются первыми интегралами этой системы. Действительно, чтобы ограничить функцию $F_j$ на квадрику $Q_i$, нужно зафиксировать соответствующую эллиптическую координату, а импульс этой координаты положить равным нулю. Это никак не отразится на предложении 6. Следовательно, уравнение касания (4.2) сохраняется вдоль любой геодезической на $Q$. Согласно предложению 9 это уравнение всегда имеет $n-1$ корней. Часть корней известны: это параметры квадрик $Q_1,\dots,Q_k$. Оставшиеся $n-k-1$ корней суть параметры квадрик, которых нетривиально касаются все касательные линии, проведенные к данной геодезической. Для завершения доказательства заметим, что функции $F_0,\dots,F_{n-k-1}$ функционально независимы на $Q$. Проверка этого факта проводится, как в предложении 7. Теорема 2 доказана. § 6. Топология компактных пересечений софокусных квадрикВ этом параграфе мы докажем теорему 3 о классах гомеоморфности компактных пересечений нескольких невырожденных софокусных квадрик. Для начала отметим, что согласно теореме В. В. Козлова о топологических препятствиях к интегрируемости (см. [14]) геодезический поток на двумерной компактной замкнутой ориентируемой аналитической поверхности обладает дополнительным аналитическим первым интегралом в том и только том случае, когда эта поверхность является либо двумерной сферой $S^2$, либо двумерным тором $T^2$. Заметим, что если пересечение $n-2$ софокусных квадрик в $\mathbb R^n$ компактно, то по теореме В. В. Козлова и теореме 2 связная компонента такого пересечения гомеоморфна либо двумерной сфере $S^2$, либо двумерному тору $T^2$. Этот факт был отмечен ранее В. А. Кибкало. Однако такой подход неприменим в случае большего числа степеней свободы. Поэтому сначала подробно рассмотрим более простую задачу. Определим классы гомеоморфности компактных пересечений двух софокусных квадрик в $\mathbb R^4$. Компактность пересечения равносильна тому, что одна из квадрик является эллипсоидом. В свою очередь это равносильно тому, что зафиксирована эллиптическая координата $\lambda_1$. Трехмерный эллипсоид в $\mathbb R^4$ есть склейка двух одинаковых областей, ограниченных эллипсоидом, по их границе. Более того, эллиптические координаты $\lambda_2$, $\lambda_3$, $\lambda_4$ на трехмерном эллипсоиде в $\mathbb R^4$ соответствуют эллиптическим координатам $\lambda_1'$, $\lambda_2'$, $\lambda_3'$ в области внутри двумерного эллипсоида в $\mathbb R^3$. Поскольку мы исследуем компактные пересечения, то возможны три варианта фиксации координат: 1) $\lambda_1$ и $\lambda_2$; 2) $\lambda_1$ и $\lambda_3$; 3) $\lambda_1$ и $\lambda_4$. Рассмотрим случай 1). Фиксируя эллиптическую координату $\lambda_1'$ в области внутри двумерного эллипсоида, мы получим поверхность, гомеоморфную двумерной сфере $S^2$ (рис. 3, a). Следовательно, склеив две такие области по границе, получим, что пересечение двух невырожденных софокусных квадрик в $\mathbb R^4$, соответствующих координатам $\lambda_1$ и $\lambda_2$, гомеоморфно несвязному объединению двух сфер, т.е. прямому произведению нульмерной и двумерной сфер $S^0\times S^2$. В случае 2) мы должны зафиксировать в области внутри двумерного эллипсоида эллиптическую координату $\lambda_2'$. Получим поверхность, гомеоморфную цилиндру (рис. 3, b). При склейке двух таких областей эти цилиндры склеются в двумерный тор $T^2=S^1\times S^1$. В случае 3), фиксируя $\lambda_3'$ в области, ограниченной двумерным эллипсоидом, получим несвязное объединение двух дисков (рис. 3, c). При склейке двух таких одинаковых областей четыре диска преобразуются в две двумерные сферы, т.е. в прямое произведение сфер $S^2\times S^0$. Таким образом, компактное пересечение двух невырожденных софокусных квадрик в $\mathbb R^4$ всегда гомеоморфно прямому произведению двух сфер. Заметим, что размерности этих сфер равны количеству незафиксированных эллиптических координат между двумя зафиксированными и количеству незафиксированных координат, больших максимальной зафиксированной. Теперь перейдем к общему случаю. Для того чтобы избежать путаницы в обозначениях, будем считать, что
$$
\begin{equation*}
a_1<\dots<a_n,\qquad \lambda_1\in(-\infty,a_1),\quad \lambda_2\in(a_1,a_2),\quad \dots,\quad \lambda_n\in(a_{n-1},a_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть квадрики $Q_1,\dots,Q_k$ упорядочены по возрастанию их параметров. Обозначим через $c_i$ номер эллиптической координаты, соответствующей квадрике $Q_i$. Согласно предположению $c_1<\dots<c_k$. Положим $c_{k+1}=n+1$. Предположим, что $Q=\bigcap_{i=1}^kQ_i$ компактно. Компактность такого пересечения равносильна тому, что одна из квадрик $Q_i$ является эллипсоидом. В свою очередь это эквивалентно тому, что координата $\lambda_1$ зафиксирована на $Q$, т.е. $c_1=1$. Разобьем номера эллиптических координат на следующие $k$ групп:
$$
\begin{equation*}
I_1=\{c_1,\dots,c_2-1\},\quad I_2=\{c_2,\dots,c_3-1\},\quad \dots,\quad I_k=\{c_k,\dots,c_{k+1}-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что все эти множества не пересекаются и покрывают все числа от $1$ до $n$. Более того, на $Q$ зафиксировано ровно по одной координате из каждого множества. Обозначим через $m_j=c_{j+1}-c_j-1$ мощность множества $I_j$, уменьшенную на $1$. Теорема 3 утверждает, что поверхность $Q$ гомеоморфна прямому произведению сфер $S^{m_1}\times\dots\times S^{m_k}$. Покажем это. Доказательство теоремы 3. Напомним, что эллиптические координаты как функции точки в $\mathbb R^n$ с декартовыми координатами $(x_1,\dots,x_n)$ являются непрерывными. Согласно предложению 1 имеют место равенства (2.2). Для любых $\alpha=1,\dots,k$ и $i\in I_\alpha$ запишем соответствующее равенство для координаты $x_i$:
$$
\begin{equation}
x_i^2=\frac{\prod_{j=1}^n(a_i-\lambda_j)}{\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)}= \frac{\prod_{j\in I_\alpha}(a_i-\lambda_j)}{\prod_{j\in I_{\alpha},j\neq i}(a_i-a_j)}\, \frac{\prod_{j\notin I_\alpha}(a_i-\lambda_j)}{\prod_{j\notin I_{\alpha}}(a_i-a_j)}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Обозначим второй множитель в этом произведении через $B_i(\lambda)$. Заметим, что первый множитель представляет собой не что иное, как формулу связи типа (2.2) для эллиптических координат, соответствующих семейству софокусных квадрик
$$
\begin{equation*}
\frac{z_1^2}{a_{c_\alpha}-\lambda}+\frac{z_2^2}{a_{c_{\alpha}+1} -\lambda}+\dots+\frac{z_{m_i+1}^2}{a_{c_{\alpha+1}-1}-\lambda}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому первый множитель в произведении (6.1) неотрицательный. Следовательно, $B_i(\lambda)\geqslant0$ для любого $i$.
Покажем, что на $Q$ все $B_i(\lambda)$ больше нуля. Для этого достаточно показать, что $B_i(\lambda)\neq 0$ на этом пересечении. Пусть $B_i(\lambda)=0$ для некоторого $i$; тогда найдется $j\notin I_\alpha$ такое, что $\lambda_j=a_i$. Поскольку значение $a_i$ могут принимать только две эллиптические координаты, $\lambda_i$ и $\lambda_{i+1}$, имеем $j=i\,{+}\,1$. Так как $j\notin I_\alpha$, то $j$ принадлежит $I_{\alpha+1}$ и является наименьшим элементом в этом множестве. Наименьшие координаты в множествах $I_{k}$ фиксированы на $Q$, следовательно, координата $\lambda_j$ зафиксирована. А поскольку квадрики $Q_1,\dots,Q_k$ невырожденны, то на $Q$ имеем $\lambda_{i+1}\in(a_{i},a_{i+1})$. Значит, $\lambda_j\neq a_i$. Поэтому все $B_{i}(\lambda)$ больше нуля на рассматриваемом пересечении. Рассмотрим $\mathbb R^n$ с декартовыми координатами $(y_1,\dots,y_n)$ и зададим отображение $f$ на множестве $Q$ по следующей формуле:
$$
\begin{equation*}
y_i=\frac{x_i}{\sqrt{B_i(\lambda)}}\quad\text{для всех }\ i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $B_i(\lambda)>0$ на $Q$, отображение $f$ корректно определено. Более того, так как эллиптические координаты суть непрерывные функции точки, отображение $f$ является непрерывным. При этом для любого $\alpha=1,\dots,k$ и любого $i\in I_\alpha$
$$
\begin{equation*}
y_i^2=\frac{\prod_{j\in I_\alpha}(a_i-\lambda_j)}{\prod_{j\in I_{\alpha},j\neq i}(a_i-a_j)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $f$ инъективно. Действительно, зная все координаты $y_i$ некоторой точки, мы однозначно восстановим эллиптические координаты ее прообраза. А поскольку вдобавок к этому знаки координат точки и знаки соответствующих координат образа этой точки совпадают, мы однозначно можем восстановить прообраз точки $(y_1,\dots,y_n)$ при отображении $f$. Так как $Q$ компактно, а $f$ – непрерывная биекция, то $Q$ гомеоморфно $f(Q)$. Найдем класс гомеоморфности $f(Q)$. Поскольку $y_{c_i},\dots,y_{c_{i+1}-1}$ связаны с $\lambda_{c_i}, \dots,\lambda_{c_{i+1}-1}$, как эллиптические координаты с декартовыми, то, фиксируя квадрику $Q_i$, мы получаем ограничение вида
$$
\begin{equation}
\frac{y_{c_i}^2}{a_{c_i}-\lambda_{c_i}}+\dots +\frac{y_{c_{i+1}-1}^2}{a_{c_{i+1}-1}-\lambda_{c_i}}=1.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
В $\mathbb R^{m_i+1}(y_{c_i},\dots,y_{c_{i+1}-1})$ поверхность, заданная уравнением (6.2), представляет собой эллипсоид размерности $m_i$, который гомеоморфен сфере $S^{m_i}$.
Таким образом, поверхность $f(Q)$ есть пересечение квадрик (6.2) по всем $i=1,\dots,k$. Заметим, что каждая переменная $y_i$ встречается лишь единожды во всех этих уравнениях, следовательно, $f(Q)$ гомеоморфно прямому произведению сфер $S^{m_1}\times\dots \times S^{m_k}$. Теорема 3 доказана. Замечание 6. В приведенном доказательстве мы нигде не пользовались интегрируемостью соответствующего геодезического потока. § 7. Системы с потенциаломКлючевую роль в доказательстве теоремы 3 играло утверждение 6. В этом параграфе мы опишем класс интегрируемых гамильтоновых систем, которые удовлетворяют условию этого утверждения, после чего докажем теорему 4. Рассмотрим движение материальной точки в $\mathbb R^n$ под действием поля сил с потенциалом $V(x_1,\dots,x_n)$. Полной механической энергией этой системы является функция $G_0=F_0+V$. Следуя В. В. Козлову (см. [16]), будем искать дополнительные первые интегралы $G_1,\dots,G_{n-1}$ к гамильтониану $G_0$ в следующем виде: $G_i=F_i+f_i$, где $i=1,\dots,n-1$, а функции $f_1,\dots,f_{n-1}$ зависят только от пространственных переменных. Замечание 7. В. В. Козлов использовал этот метод для поиска дополнительных первых интегралов биллиарда с потенциалом внутри эллипса. При таком подходе отражение можно не учитывать, т.е. искать дополнительные первые интегралы как интегралы задачи без отражения. Если нам удастся найти функции $f_i$, то согласно предложению 7 функции $G_0,\dots,G_{n-1}$ будут функционально независимыми. Итак, функции $G_i$ являются первыми интегралами рассматриваемой системы в том и только том случае, когда $\{G_i,G_0\}=0$ для любого $i=1,\dots,n-1$, т.е.
$$
\begin{equation*}
0=\{G_i,G_0\}=\{F_i+f_i,\,F_0+V\}=\{F_i,V\}-\{F_0,f_i\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем полученные уравнения в эллиптических координатах:
$$
\begin{equation*}
4\sum_{j=1}^n \sigma^i_j\widehat{A}_jp_j\,\frac{\partial V}{\partial \lambda_j}-4\sum_{j=1}^n \widehat{A}_jp_j\,\frac{\partial f_i}{\partial \lambda_j}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Они эквивалентны следующей системе уравнений в частных производных:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial f_i}{\partial \lambda_j}=\sigma^i_j\,\frac{\partial V}{\partial \lambda_j}\quad\text{для любых }\ i,j.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта система имеет решение в том и только том случае, когда выполнено условие равенства смешанных производных, т.е.
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial \lambda_k}\biggl(\sigma^i_j\,\frac{\partial V}{\partial \lambda_j}\biggr)=\frac{\partial}{\partial \lambda_j}\biggl(\sigma^i_k\,\frac{\partial V}{\partial \lambda_k}\biggr), \qquad i=1,\dots,n-1, \quad j,k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Расписывая производные от произведения и используя равенство $\sigma^i_j-\sigma^i_k=(\lambda_j-\lambda_k)\sigma^i_{jk}$, приведем эту систему уравнений в частных производных к системе (1.1). Таким образом, если гладкая функция $V$ удовлетворяет уравнениям (1.1), то найдутся гладкие функции $f_1,\dots,f_n$, а следовательно, система будет обладать $n$ функционально независимыми первыми интегралами. Оказывается, это требование является сильным. Если гладкая функция $V$ удовлетворяет уравнениям (1.1), то функции $G_0,\dots,G_{n-1}$ удовлетворяют предложению 6. В этом несложно убедиться. Применяя рассуждения доказательства теоремы 2, получаем, что если гладкая функция $V$ удовлетворяет уравнениям (1.1), то задача о движении материальной точки на пересечении нескольких невырожденных софокусных квадрик под действием потенциала $V$ является квадратично интегрируемой. Теорема 4 доказана. Отметим, что потенциал Гука с центром в начале координат удовлетворяет теореме 4. Также интегрируемым является потенциал $V=\sum_{i=1}^n\alpha_i/x_i^2$, найденный В. В. Козловым. Здесь $\alpha_i$ – произвольные вещественные константы. Хотя этот потенциал и не удовлетворяет условиям теоремы 4, функции $f_i$ для него находятся. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bel23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|