| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Симметрические матрицы и максимальные нийенхейсовы пучки А. Ю. Коняевab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9862e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеСкобкой Фролихера–Нийенхейса двух тензорных полей типа $(1, 1)$ (операторных полей) $L$ и $R$ на многообразии $\mathrm M^n$ называется следующее выражение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag [[L, R]](\xi, \eta) &=L [\xi, R\eta]+R[L\xi, \eta]+R [\xi, L\eta]+L[R\xi, \eta] \\ &\qquad - [L\xi, R\eta]-[R\xi, L\eta]-LR[\xi, \eta]-RL[\xi, \eta]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $\xi$, $\eta$ – произвольные векторные поля, а $[\,\cdot\,{,}\,\cdot\,]$ означает стандартный коммутатор векторных полей. Можно показать, что выражение (1.1) определяет тензор типа $(1, 2)$, кососимметричный по нижним индексам. Операторное поле $L$ называется оператором Нийенхейса, если его кручение Нийенхейса, определяемое как $\mathcal N_L=\frac{1}{2} [[L, L]]$, равно нулю. Операторы Нийенхейса возникают в самых разных задачах физики, геометрии и алгебры (см., например, [1]–[3]). В случае конечномерных интегрируемых систем они играют роль операторов рекурсии. В бесконечномерных интегрируемых системах, если пара контравариантных плоских метрик $g$, $\overline g$ задает согласованные операторы Гамильтона типа Дубровина–Новикова, то $L=\overline g g^{-1}$ является оператором Нийенхейса (см. [4]). В приложениях операторы Нийенхейса часто встречаются в виде семейств. Подпространство $\mathcal P$ в бесконечномерном линейном пространстве тензорных полей типа $(1, 1)$ на многообразии будем называть нийенхейсовым пучком, если для любых $L, R \in \mathcal P$ верно, что $[[L, R]]=0$. Централизатором нийенхейсова пучка $\mathcal P$ будем называть линейное пространство, состоящее из операторных полей $L$ (не обязательно нийенхейсовых!) таких, что $[[L, R]]=0$ для всех $R \in \mathcal P$. Обозначать его мы будем $C (\mathcal P)$. Пучки могут быть как конечномерными, так и бесконечномерными. Определение эквивалентно требованию, что линейное пространство $\mathcal P$ состоит из операторов Нийенхейса. Простейший пример бесконечномерного пучка, ассоциированного с оператором Нийенхейса $L$, – линейное пространство, порожденное $\operatorname{Id}, L, L^2, L^3, \dots$ . Хорошо известно, что любая комбинация степеней оператора Нийенхейса с постоянными коэффициентами – снова оператор Нийенхейса. Очевидно, что любое подпространство нийенхейсова пучка – снова пучок Нийенхейса. Таким образом, разумно ввести понятие максимального нийенхейсова пучка. Будем говорить, что пучок Нийенхейса $\mathcal P$ максимален, если он не является подпучком никакого большего пучка. Другими словами, любой оператор Нийенхейса $L$ с условием $[[L, R]]=0$ для всех $R \in \mathcal P$ лежит в $\mathcal P$. Легко показать, что если оператор Нийенхейса $L$ приводится к диагональному виду $\operatorname{diag}\{u^1, \dots, u^n\}$, то пучок, порожденный его степенями, является максимальным. При описании согласованных пуассоновых структур гидродинамического типа, возникает следующий пучок Нийенхейса. Зафиксируем на $\mathrm M^n= \mathbb R^n$ координаты $u^1, \dots, u^n$. Рассмотрим в этих координатах все операторные поля $L$ вида где $a^i_j=a^j_i$, $K, c^1, \dots, c^n$ – произвольные постоянные. Оказывается, полученные операторные поля – это операторы Нийенхейса и они образуют пучок. Мы будем обозначать его $\mathcal P_1$. Отметим, что в конечномерном случае операторы вида (1.2) для $K \neq 0$ связаны с эллиптическими координатами и разделением переменных (см., например, [5]).Утверждается (см. [4; следствие 5.1]), что для $n > 2$ пучок $\mathcal P_1$ максимальный и имеет размерность $(n+1)(n+2)/2$. В частности, это единственный пучок, удовлетворяющий следующим трем условиям. 1. Пучок содержит все операторные поля, которые в данных координатах задаются симметрическими постоянными матрицами. 2. Пучок максимален. 3. Все операторы, входящие в пучок, самосопряжены относительно евклидовой метрики, которая в этих конкретных координатах имеет вид $\delta_{ij}$. Как мы видим, пучки Нийенхейса возникают на пересечении разных областей математики, поэтому представляет значительный интерес описание максимальных (особенно конечномерных) пучков Нийенхейса. В фиксированных координатах возьмем произвольную – уже не обязательно симметрическую – постоянную матрицу $A$ с компонентами $a^i_j$ и зафиксируем $n$ констант $c^1, \dots, c^n$. Рассмотрим операторы $L$, матрицы которых в этой конкретной системе координат имеют вид Они образуют линейное пространство размерности $n^2+n$. Верно следующее утверждение.Теорема 1. Все операторные поля, задаваемые в некоторой фиксированной системе координат матрицами вида (1.3), образуют максимальный нийенхейсов пучок. Мы будем обозначать его $\mathcal P_2$. Элементы этого пучка естественным образом возникают в приложениях. Положим $A$ в формуле (1.3) равной жордановой клетке максимального размера с нулевым собственным значением. Для $c^1=1$, $c^2=\dots=c^n=0$ мы получим оператор вида
$$
\begin{equation*}
L=\begin{pmatrix} u^1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ u^2 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0\\ & & & \ddots & & \\ u^{n-2} & 0 & 0 & \dots & 1 & 0\\ u^{n-1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 1\\ u^{n} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это так называемая каноническая форма дифференциально-невырожденного оператора Нийенхейса. Обозначим через $\mathcal S$ пучок Нийенхейса, который состоит из операторов, матрицы которых в данной системе координат постоянны и симметричны. Теорема 2. Любой максимальный нийенхейсов пучок, содержащий $\mathcal S$, совпадает либо с $\mathcal P_1$, либо с $\mathcal P_2$. Отметим довольно неожиданный эффект: если в фиксированных координатах взять все операторы, матрицы которых в этих координатах постоянны, то получится, разумеется, пучок Нийенхейса. Однако этот пучок, как мы видим из теоремы 1, не является максимальным. § 2. Доказательство теоремы 1Введем операторное поле $B$ с компонентами $b^i_j=u^i c^j$. Имеем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2}[[B, B]](\partial_{u^i}, \partial_{u^j}) &=B [B \partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+B [\partial_{u^i}, B\partial_{u^j}]- [B \partial_{u^i}, B\partial_{u^j}] \\ & =B[c^i u^{\alpha} \partial_{u^\alpha}, \partial_{u^j}]+B [\partial_{u^i}, c^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}]-[c^i u^{\alpha} \partial_{u^\alpha}, c^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}] \\ & =- c^i c^j u^{\alpha}\partial_{u^{\alpha}}+c^i c^j u^{\alpha}\partial_{u^{\alpha}}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
То есть $B$ – оператор Нийенхейса. Возьмем операторное поле $A$, матрица которого $a^i_j$ постоянна в данной системе координат. При $i \neq j$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & [[A, B]] (\partial_{u^i}, \partial_{u^j}) =A[B\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+A[\partial_{u^i}, B \partial_{u^j}]-[A\partial_{u^i}, B\partial_{u^j}]- [B\partial_{u^i}, A\partial_{u^j}] \\ &\qquad =A [c^i u^{\alpha} \partial_{u^\alpha}, \partial_{u^j}]+ A[\partial_{u^i}, c^j u^{\alpha} \partial_{u^\alpha}]-[a_i^{\alpha} \partial_{u^\alpha}, c^j u^{\alpha} \partial_{u^\alpha}]-[c^i u^{\alpha} \partial_{u^\alpha}, a_j^{\beta} \partial_{u^\beta}] \\ &\qquad =- c^i a_j^{\alpha} \partial_{u^\alpha}+c^j a_i^{\alpha} \partial_{u^\alpha}-c^j a_i^{\alpha} \partial_{u^\alpha}+c^i a_j^{\alpha} \partial_{u^\alpha}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $[[A, A]]=0$, условие нийенхейсовости для $A+B$ имеет вид Таким образом, линейное пространство $\mathcal P_2$ действительно состоит из операторов Нийенхейса. Применяя это же равенство для $L, M \in \mathcal P_2$, получаем $[[L, M]]=0$, т.е. $\mathcal P_2$ – пучок Нийенхейса. Обозначим через $\mathcal M$ линейное пространство операторов, матрицы которых постоянны в данной фиксированной системе координат. Это, очевидно, нийенхейсов пучок. Опишем централизатор этого пучка, т.е. $C(\mathcal M)$. Зафиксируем $i$, $j$ и рассмотрим $A=\partial_{u^i} \otimes \mathrm{d} u^j$. По определению Для произвольного операторного поля $R$ с компонентами матрицы $r^i_j$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & [[A, R]](\partial_{u^k}, \partial_{u^s}) =A[r^{\alpha}_k \partial_{u^{\alpha}}, \partial_{u^s}]+ A[\partial_{u^k}, r^{\alpha}_s\partial_{u^{\alpha}}]-\delta^k_j [\partial_{u^i}, r^{\alpha}_s \partial_{u^\alpha}]-\delta^s_j [r^{\alpha}_k \partial_{u^\alpha}, \partial_{u^i}] \\ &\qquad =\frac{\partial r^j_s}{\partial u^k} \partial_{u^i}-\frac{\partial r^j_k}{\partial u^s} \partial_{u^i}-\delta^k_j \frac{\partial r^{\alpha}_s}{\partial u^i} \partial_{u^\alpha}+\delta^s_j \frac{\partial r^{\alpha}_k}{\partial u^i} \partial_{u^\alpha}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим $j=k$ и положим, что $R \in C(\mathcal M)$. В этом случае
$$
\begin{equation}
0=\biggl( \frac{\partial r^j_s}{\partial u^j}-\frac{\partial r^j_j}{\partial u^s}-\frac{\partial r^i_s}{\partial u^i}\biggr)\partial_{u^i}+\sum_{\alpha \neq i} \frac{\partial r^{\alpha}_s}{\partial u^i} \partial_{u^\alpha}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В частности, для любого $s$ компонента $r^\alpha_s$ не зависит от $u^i$ при $\alpha \neq i$. Другими словами, строка матрицы $R$ с номером $\alpha$ зависит только от $u^\alpha$. Так как $k \neq s$, выражение в скобках в (2.1) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial r^j_s}{\partial u^j}-\frac{\partial r^i_s}{\partial u^i}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $r^j_s$ зависит только от $u^j$, а $r^i_s$ – только от $u^i$, то это равенство означает, что обе производные – константы. Причем для разных элементов одного и того же столбца константы одинаковые. Обозначив их через $c^i$, получаем в точности формулу (1.3). Таким образом, мы показали, что $\mathcal P_2=C(\mathcal M)$. Учитывая, что это нийенхейсов пучок, мы получаем свойство максимальности. Теорема доказана.
§ 3. Доказательство теоремы 2Для начала докажем несколько лемм. Лемма 1. Для операторных полей $B$, $C$ с матрицами $b^i_j=b^i u^j+u^i b^j$ и $C^i_j=u^i u^j$ выполнены следующие соотношения: Доказательство. Рассмотрим оператор $L$ в форме (1.2). Заметим, что он самосопряжен относительно симметрической невырожденной плоской метрики $\delta_{ij}$. Поднимая индексы у оператора, получим контравариантную билинейную форму Для $\delta_{ij}$ выделенные координаты являются плоскими, т.е. $\nabla_k=\partial_{u^k}$. Имеет место следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\nabla_k l^{ij} =\partial_{u^k} l^{ij}=b^i \delta^j_k+\delta^i_k b^j-K \delta^i_k u^j-K u^i \delta^j_k =(b^i-K u^i) \delta^j_k+\delta^i_k (b^j-K u^j).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\operatorname{tr} L=\sum_{p=1}^n (2 b^p u^p-K(u^p)^2)$ и
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2} \delta^{i\alpha}\mathrm{d}_\alpha \operatorname{tr} L=b^i-K u^i.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оператор $L$ удовлетворяет условию геодезической согласованности (см. [4; формула 13]) с метрикой $\delta_{ij}$. Если $l^{ij}$ невырождена в окрестности начала координат, то контравариантные метрики $\delta^{ij}$ и $l^{ij}$ согласованы в Пуассоновом смысле (см. [4; теорема 1]). Из этого следует что оператор $L$ – оператор Нийенхейса (см., например, [6]).
Контравариантная метрика $l^{ij}$ невырождена в окрестности начала координат для почти всех параметров $a^i_j$, $b^i$, $K$. Значит, $L$ – оператор Нийенхейса для почти всех значений параметра и по непрерывности – для всех значений параметров. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=[[A+B+C, A+B+C]] \\ &=2\underbrace{[[A, B]]}_{\text{степень 0}}+2\underbrace{[[A, C]]}_{\text{степень 1}}+2\underbrace{[[B, C]]}_{\text{степень 2}}+ \underbrace{[[B, B]]}_{\text{степень 1}}+\underbrace{[[C, C]]}_{\text{степень 3}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Компоненты тензорного поля для каждого слагаемого – однородные полиномы степени, написанной под ними. Из равенства нулю немедленно получаем, что $[[C, C]]=[[B, C]]=0$. Взяв в качестве $A$ нулевую матрицу, получаем $[[B, B]]\,{=}\,0$. Лемма доказана. Лемма 2. Рассмотрим операторные поля $A$, $B$ с матрицами $a^i_j=b^i u^j+c^j u^i$ и $b^i_j=u^i u^j$. Тогда $[[A, B]]=0$, если и только если $b^i=c^i$ для всех $i$. Доказательство. Сначала перепишем $A^i_j=(b^i-c^i) u^j+c^j u^i+c^i u^j$ и обозначим $C^i_j=p^i u^j$, где $p^i=b^i-c^i$. По лемме 1 $[[A, B]]=[[C, B]]$. Для индексов $i \neq j$ это дает следующее (суммирование в формулах только по $\alpha$ !):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & [[C, B]](\partial_{u^i}, \partial_{u^j})=C[B\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+C[\partial_{u^i}, B\partial_{u^j}]+ B[C\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+B[\partial_{u^i}, C\partial_{u^j}] \\ &\quad -[C\partial_{u^i}, B\partial_{u^j}]-[B\partial_{u^i}, C\partial_{u^j}]=C[u^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, \partial_{u^j}]+C[\partial_{u^i}, u^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}] \\ &\quad +B[u^i p^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, \partial_{u^j}]+ B[\partial_{u^i}, u^j p^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}]-[u^i p^{\alpha}\partial_{u^{\alpha}}, u^j u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}]-[u^i u^{\alpha}\partial_{u^{\alpha}}, u^j p^{\beta} \partial_{u^{\beta}}] \\ &=C (u^i \partial_{u^j}-u^j \partial_{u^i})-\delta^i_{\beta} u^j u^{\beta} p^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+u^i p^{\alpha} \delta^j_{\alpha} u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}+u^i p^{\alpha} u^j \delta^{\beta}_{\alpha} \partial_{u^{\beta}} \\ &\quad -u^j p^{\beta} \delta^i_{\beta} u^{\alpha}\partial_{u^{\alpha}}- u^i u^j p^{\beta} \delta^{\alpha}_{\beta} \partial_{u^{\alpha}}+u^i u^{\alpha} \delta^j_{\alpha} p^{\beta} \partial_{u^{\beta}} \\ &=- u^j u^i p^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+u^i p^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+u^i u^j p^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-u^j p^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-u^i u^j p^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+u^i u^j p^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}} \\ &=(u^i p^j-u^j p^i) u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство нулю скобки Фролихера–Нийенхейса означает равенство нулю всех коэффициентов, в частности $p^i=p^j=0$. Таким образом, лемма доказана. Лемма 3. Рассмотрим операторное поле $A$ с матрицей $a^i_j=b^i u^j+u^i c^j$. Условие $[[A, A]]=0$ (т.е. $A$ – оператор Нийенхейса) выполняется, если и только если выполнено хотя бы одно из следующих условий: 1) $b^i=c^i$; 2) $b^i=0$ для всех $i=1, \dots, n$. Доказательство. Для $i \neq j$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=[[A, A]]=A [A\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+A [\partial_{u^i}, A \partial_{u^j}]-[A\partial_{u^i}, A\partial_{u^j}] \\ &=A[u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+c^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, \partial_{u^j}]+A [\partial_{u^i}, u^j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+c^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}] \\ &\qquad -[u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+c^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, u^j b^{\beta} \partial_{u^{\beta}}+c^j u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}] \\ &=c^i (u^j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+c^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}})-c^j (u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+ c^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}) \\ &\qquad -[u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, u^j b^{\beta} \partial_{u^{\beta}}]-[c^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, u^j b^{\beta} \partial_{u^{\beta}}]-[u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, c^j u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}] \\ &\qquad -[c^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, c^j u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}]=c^i u^j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-c^j u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-b^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+b^j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}} \\ &\qquad -c^i u^j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+c^i u^j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-c^j u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+c^j u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-c^i c^j [u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}] \\ &=( (c^i-b^i) u^j-(c^j-b^j)u^i) b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $b^i=0$ для $i=1, \dots, n$, то последняя формула, очевидно, дает нуль. Если не все $b^i=0$, то выберем $\alpha=k$, для которого $b^k \neq 0$. Тогда нулю равен линейный однородный многочлен в скобках, для которого $b^i-c^i=0$ и $b^j-c^j=0$. В силу произвольности выбора $i$, $j$ лемма доказана. Лемма 4. Рассмотрим операторное поле $B$ с матрицей $b^i_j=u^i u^j$ и постоянное операторное поле $A$ с матрицей $a^i_j$. Они коммутируют относительно скобки Фролихера–Нийенхейса тогда и только тогда, когда $a^i_j=a^j_i$. Доказательство. Для $i \neq j$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & [[A, B]] (\partial_{u^i}, \partial_{u^j})=A[B\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+A[\partial_{u^i}, B \partial_{u^j}]- [A\partial_{u^i}, B\partial_{u^j}]-[B\partial_{u^i}, A\partial_{u^j}] \\ &\qquad =A[u^i u^{\alpha}\partial_{u^{\alpha}}, \partial_{u^j}]+A [\partial_{u^i}, u^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}]- [A^{\alpha}_i \partial_{u^{\alpha}}, u^j u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}]-[u^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, A^{\beta}_j \partial_{u^{\beta}}] \\ &\qquad =u^i a_j^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-u^j a^{\alpha}_i \partial_{u^{\alpha}}+a^j_i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+u^j a_i^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-a^i_j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-u^i a^{\alpha}_j \partial_{u^{\alpha}} \\ &\qquad =(a^j_i-a^i_j) u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, скобка Фролихера–Нийенхейса обращается в нуль, если и только если $a^i_j=a^j_i$. Лемма доказана. Лемма 5. Рассмотрим ненулевое операторное поле $B$ с матрицей $b^i_j=b^i u^j+u^i b^j$ и постоянное операторное поле $A$ с матрицей $a^i_j$. Они коммутируют относительно скобки Фролихера–Нийенхейса тогда и только тогда, когда $a^i_j=a^j_i$. Доказательство. Для $i \neq j$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & [[A, B]] (\partial_{u^i}, \partial_{u^j})=A[B\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+A[\partial_{u^i}, B \partial_{u^j}]- [A\partial_{u^i}, B\partial_{u^j}]-[B\partial_{u^i}, A\partial_{u^j}] \\ &\qquad =A[u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+b^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, \partial_{u^j}]+A[\partial_{u^i}, u^j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+b^j u^{\alpha}\partial_{u^{\alpha}}] \\ &\qquad\qquad -[a_i^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, u^j b^{\beta} \partial_{u^{\beta}}+b^j u^{\beta}\partial_{u^{\beta}}]-[u^i b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+b^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, a_j^{\beta} \partial_{u^{\beta}}] \\ &\qquad =b^i a_j^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-b^j a_i^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+a^j_i b^{\beta} \partial_{u^{\beta}}+b^j a_i^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-a^i_j b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-b^i a_j^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}} \\ &\qquad =(a^j_i-a^i_j)b^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По условию леммы найдется такой $\alpha$, что $b^{\alpha} \neq 0$. Из этого вытекает, что в этом случае $a^i_j=a^j_i$. Так как $i$, $j$ были выбраны произвольно, лемма доказана. Лемма 6. Рассмотрим ненулевое операторное поле $B$ с матрицей $b^i_j=u^i c^j$ и постоянное операторное поле $A$ с матрицей $a^i_j$. В этом случае $[[A, B]]= 0$. Доказательство. Для $i \neq j$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[[A, B]] (\partial_{u^i}, \partial_{u^j})=A[B\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+A[\partial_{u^i}, B \partial_{u^j}]- [A\partial_{u^i}, B\partial_{u^j}]-[B\partial_{u^i}, A\partial_{u^j}] \\ &\qquad =A [c^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, \partial_{u^j}]+ A[\partial_{u^i}, c^j u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}]- [a_i^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, c^j u^{\beta} \partial_{u^{\beta}}]-[c^i u^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}, a_j^{\beta} \partial_{u^{\beta}}] \\ &\qquad =c^i a_j^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}-c^j a_i^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}+c^j a_i^{\beta} \partial_{u^{\beta}}-c^i a_j^{\alpha} \partial_{u^{\alpha}}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, лемма доказана. Лемма 7. В случае размерности $n \geqslant 3$ централизатор $C(\mathcal S)$ состоит в точности из операторов, матрицы которых имеют вид где $a^i_j$, $b^i$, $c^i$, $K$ – константы. Доказательство. Пусть $L \in \mathcal S$ – оператор, матрица которого диагональна с попарно различными числами $\lambda_i$, $i=1, \dots, n$, на диагонали. Для фиксированной пары $i \neq j$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [[R, L]](\partial_{u^i}, \partial_{u^j}) &=L [R\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+L [\partial_{u^i}, R\partial_{u^j}]- [R\partial_{u^i}, L\partial_{u^j}]-[L\partial_{u^i}, R \partial_{u^j}] \\ &=\biggl( \lambda_{\alpha}\, \frac{\partial r^{\alpha}_i}{\partial u^j}-\lambda_{\alpha} \, \frac{\partial r^{\alpha}_j}{\partial u^i}- \lambda_j \, \frac{\partial r^{\alpha}_i}{\partial u^j}+\lambda_i \, \frac{\partial r^{\alpha}_j}{\partial u^i} \biggr) \partial_{u^\alpha}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После переименования это дает следующую систему:
$$
\begin{equation}
(\lambda_{k}-\lambda_j)\, \frac{\partial r^{k}_i}{\partial u^j}- (\lambda_{k}-\lambda_i) \, \frac{\partial r^{k}_j}{\partial u^i}=0.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Взяв $k=i$, получаем, что $r^i_i$ не зависит от $u^j$. В силу произвольности выбора $j \neq i$ получаем, что $r^i_i$ зависит только от $u^i$. Возьмем другой набор констант $\overline \lambda_i$ и для $k \neq i, j$ получим следующую систему линейных уравнений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & (\lambda_{k}-\lambda_j) \, \frac{\partial r^{k}_i}{\partial u^j}- (\lambda_{k}-\lambda_i) \, \frac{\partial r^{k}_j}{\partial u^i}=0, \\ & (\overline \lambda_{k}-\overline \lambda_j) \, \frac{\partial r^{k}_i}{\partial u^j}-(\overline \lambda_{k}-\overline \lambda_i) \, \frac{\partial r^{k}_j}{\partial u^i}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой тройки $k$, $i$, $j$ можно подобрать константы $\lambda$, $\overline \lambda$ так, что соответствующая матрица этой системы будет невырожденной. Значит, ${\partial r^k_j}/{\partial u^i}=0$ при $i \neq j, k$. Другими словами, $r^i_j$ при $i \neq j$ зависит не более чем от двух переменных – $u^i$, $u^j$.
Теперь зафиксируем $i$, $j$ и рассмотрим $L \in \mathcal S$ такой, что
$$
\begin{equation*}
L \partial_{u^i}=\partial_{u^j}, \qquad L\partial_{u^j}=\partial_{u^i}, \qquad L\partial_{u^k}=0, \quad k \neq i, j.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $n > 3$, то рассмотрим четверку попарно различных $i$, $j$, $p$, $q$ и получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag [[R, L]] (\partial_{u^p}, \partial_{u^q}) &=L[R\partial_{u^p}, \partial_{u^q}]+L[\partial_{u^p}, R\partial_{u^q}] \\ &=\frac{\partial r^i_p}{\partial u^q} \, \partial_{u^j}+\frac{\partial r^j_p}{\partial u^q} \, \partial_{u^i} -\frac{\partial r^i_q}{\partial u^p} \, \partial_{u^j}-\frac{\partial r^j_q}{\partial u^p} \, \partial_{u^i}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Мы видим, что равенство нулю вытекает из уже полученного выше результата – компоненты $r^i_j$ зависят не более чем от двух переменных $u^i$, $u^j$. То есть условие (3.4) для четверок не дает нам ничего нового.
Пусть теперь снова $n \geqslant 3$. Тогда для попарно различных $i$, $j$, $k$ имеем (суммирование в формуле только по $\alpha$, по $i$, $j$, $k$ суммирования нет!):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag [[R, L]] (\partial_{u^j}, \partial_{u^k}) &=L[R\partial_{u^j}, \partial_{u^k}]+L[\partial_{u^j}, R \partial_{u^k}]-[L \partial_{u^j}, R \partial_{u^k}] \\ \notag &=\frac{\partial r^i_j}{\partial u^k} \, \partial_{u^j}+\frac{\partial r^j_j}{\partial u^k} \, \partial_{u^i}-\frac{\partial r^i_k}{\partial u^j}\, \partial_{u^j}-\frac{\partial r^j_k}{\partial u^j} \, \partial_{u^i}+\frac{\partial r^{\alpha}_k}{\partial u^i}\, \partial_{u^\alpha} \\ &=\biggl( \frac{\partial r^i_k}{\partial u^i}-\frac{\partial r^j_k}{\partial u^j}\biggr) \partial_{u^i}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Здесь мы использовали, что $r^{\alpha}_i$ зависит только от $u^i$, $u^j$. Дифференцируя по $u^i$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 r^i_k}{\partial u^i\, \partial u^i}=0, \qquad i \neq k.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Рассмотрим теперь (снова суммирование только по $\alpha$, но не по $i$, $j$!):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [[R, L]](\partial_{u^i}, \partial_{u^j}) &=L [R\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+L [\partial_{u^i}, R\partial_{u^j}]-[R\partial_{u^i}, L\partial_{u^j}]-[L\partial_{u^i}, R \partial_{u^j}] \\ &=L [R\partial_{u^i}, \partial_{u^j}]+L [\partial_{u^i}, R\partial_{u^j}]-[R\partial_{u^i}, \partial_{u^i}]-[\partial_{u^j}, R \partial_{u^j}] \\ &=\frac{\partial r^i_i}{\partial u^j}\, \partial_{u^j}+\frac{\partial r^j_i}{\partial u^j} \, \partial_{u^i}-\frac{\partial r^i_j}{\partial u^i}\, \partial_{u^j}-\frac{\partial r^j_j}{\partial u^i} \, \partial_{u^i}- \frac{\partial r^{\alpha}_i}{\partial u^i} \, \partial_{u^\alpha}+ \frac{\partial r^{\alpha}_j}{\partial u^j} \, \partial_{u^\alpha} \\ &=\biggl( \frac{\partial r^j_i}{\partial u^j}+\frac{\partial r^i_j}{\partial u^j}-\frac{\partial r^i_i}{\partial u^i}\biggr) \partial_{u^i}-\biggl( \frac{\partial r^i_j}{\partial u^i}+ \frac{\partial r^j_i}{\partial u^i}-\frac{\partial r^j_j}{\partial u^j}\biggr)\partial_{u^j} \\ &\qquad +\sum_{k \neq i, j} \biggl( \frac{\partial r^{k}_j}{\partial u^j}- \frac{\partial r^{k}_i}{\partial u^i}\biggr) \partial_{u^k}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированной тройки попарно различных $i$, $j$, $k$ получаем систему
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial r^j_i}{\partial u^j}+\frac{\partial r^i_j}{\partial u^j}-\frac{\partial r^i_i}{\partial u^i}=0, \qquad i \neq j, \\ \frac{\partial r^{k}_j}{\partial u^j}-\frac{\partial r^{k}_i}{\partial u^i}=0, \qquad k \neq i, j. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Так как $r^i_k$ зависит только от $u^i$ и $u^k$, то дифференцируя второе уравнение в (3.7) по $u^j$ и переименовывая $k \to i$, $j \to k$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 r^i_k}{\partial u^k \,\partial u^k}=0, \qquad i \neq k.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из уравнений (3.6) и (3.8) получаем, что $r^i_k$ при $i \neq j$ зависит квадратично от координат $u^i$, $u^j$. Дифференцируя первое уравнение в (3.7) по $u^j$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 r^i_i}{\partial u^i\, \partial u^j}=0, \qquad i \neq j.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого следует, что $r^i_i$ зависит только от $u^i$, а из самого уравнения (3.7) следует, что эта зависимость также квадратичная. В общем виде компоненты оператора можно записать как (по повторяющимся индексам нет суммирования) где $a^i_j$, $b^i_j$, $c^i_j$, $K^i_j$ – константы. Для попарно различных $i$, $j$, $k$ уравнения (3.7) и (3.5) дают следующие отношения на коэффициенты:
$$
\begin{equation*}
b^i_j=b^k_j, \qquad c^i_j=c^k_j, \qquad K^i_j=K^k_j=K^i_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая $b^i_j$, $c^i_j$ как $b^i$, $c^i$, мы получаем, что $R$ имеет вид (3.2). Выражения (3.3)–(3.5) и (3.7), с другой стороны, показывают, что любой оператор, матрица которого в данных координатах имеет вид (3.2), коммутирует с $\mathcal S$ в смысле скобки Фролихера–Нийенхейса. Таким образом, лемма 7 доказана. Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы 2. Рассмотрим произвольный $R \in C(\mathcal S)$. По лемме 7 матрица оператора $R$ записывается в виде $A+B+C$, где $A$ – постоянная матрица, $b^i_j=b^i u^j+u^i c^j$ и $c^i_j=- K u^i u^j$. Рассмотрим условие
$$
\begin{equation}
0=[[R, R]] =\underbrace{2[[A, B]]}_{\text{степень 0}}+ \underbrace{2[[A, C]]+[[B, B]]}_{\text{степень 1}}+ \underbrace{2[[B, C]]}_{\text{степень 2}}+\underbrace{[[C, C]]}_{\text{степень 3}}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Аналогично доказательству леммы 1 здесь степень под скобкой означает степень компонент соответствующего слагаемого. Получаем три случая. Случай $B \neq 0$, $C \neq 0$. Выражение (3.9) дает $[[B, C]]=0$. По лемме 2 мы получаем, что $b^i_j=b^i u^j+u^i b^j$. По лемме 5 $a^i_j=a^j_i$. Таким образом, $R$ лежит в пучке $\mathcal P_1$. Случай $B=0$, $C \neq 0$. Выражение (3.9) дает, что $[[A, C]]=0$. По лемме 4 мы получаем, что $a^i_j=a^j_i$ и, значит, $R$ снова лежит в пучке $\mathcal P_1$. Случай $B \neq 0$, $C=0$. Выражение (3.9) в этом случае дает $[[B, B]]=0$. По лемме 3 получаем два варианта. Если $b^i_j=b^i u^j+u^i b^j$, то по лемме 5 $a^i_j=a^j_i$ и $R$ лежит в пучке $\mathcal P_1$. Если $b^i_j=u^i c_j$, то по лемме 6 оператор лежит в пучке $\mathcal P_2$. Заметим теперь, что по построению $C(\mathcal S)=\mathcal P_1+\mathcal P_2$ и $\mathcal P_1 \cap \mathcal P_2=\mathcal S$. При этом множество операторов Нийенхейса в централизаторе совпадает с $\mathcal P_1 \cup \mathcal P_2$. Любой максимальный нийенхейсов пучок $\mathcal P$ по построению содержится в $C(\mathcal S)$ и, значит, так как это линейное пространство, целиком лежит либо в $\mathcal P_1$, либо в $\mathcal P_2$. Так как эти пучки максимальны, то $\mathcal P$ совпадает с одним из них. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kon23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|