| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О собственных функциях существенного спектра модельной задачи для оператора Шрёдингера с сингулярным потенциалом М. А. Лялинов Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9861e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1.В одной из работ Р. Йоста (см. [1]) рассмотрена простейшая модель об одномерном рассеянии двух квантовых частиц, взаимодействующих посредством $\delta$-потенциала. При рассеянии одна из частиц отражается на бесконечной стенке так, что волновая функция $\Psi(\xi,\eta)$, описывающая состояние, удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \Psi}{\partial\xi^2}+ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial\eta^2}+ \gamma\bigl[\theta(\xi)\delta(\eta)+\theta(\eta)\delta(\xi)\bigr] \Psi +E\Psi =0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\theta(\cdot)$ – функция Хевисайда, $\gamma>0$ – константа связи, а $E$ – спектральный параметр. Координаты частиц задаются величинами $\xi+\eta$ и $\xi-\eta$, а носитель потенциала в (1.1) расположен на сторонах прямого угла (рис. 1, a). Изучаются значения энергии $E\geqslant-\gamma^2/4$ и решения уравнения (1.1), отвечающие непрерывному (существенному) спектру. Обобщенные собственные функции должны также удовлетворять условию антисимметрии $\Psi(\xi,\eta)=-\Psi(\eta,\xi) $. Фактически речь идет о построении собственной функции непрерывного спектра данного оператора с сингулярным потенциалом специального вида и об описании соответствующего процесса квантового рассеяния. Мы назовем это задачей Йоста. Посредством представлений типа потенциала простого слоя и некоторого обобщения метода Винера–Хопфа (см. [1]) задача Йоста сводится к функционально-разностному (ФР) уравнению с мероморфным коэффициентом. Способ решения такого уравнения в случае носителя сингулярного потенциала на прямом угле предложен в работе [2], однако исследование собственных функций, их асимптотики в работе отсутствует. Заметим, что подход, основанный на методе Винера–Хопфа, применим, когда носитель потенциала – стороны прямого угла, и не обобщается на другие родственные задачи. В нашей работе мы изучаем собственные функции существенного спектра для похожего оператора, когда носитель потенциала находится в точках границы угла на плоскости1 (рис. 1, b), имеющего произвольный раствор $2\Phi$, $0<2\Phi<\pi$. При этом условие антисимметрии собственной функции заменяются на эквивалентное условие нечетности относительно оси $y=0$, т.е. с условием Дирихле на границе $y=0$. Далее мы сформулируем задачу для соответствующего оператора, в том числе в классических терминах, включая уравнение, краевые условия и описание класса функций. Основной целью работы является развитие метода построения собственных функций существенного спектра и изучение их асимптотического поведения по расстоянию для такого класса задач. Обобщенная задача Йоста используется в качестве содержательного примера, на котором мы демонстрируем основные “ингредиенты” нашего подхода. Фактически мы адаптируем подход, разработанный в работах [3]–[5] для класса задач с сингулярными потенциалами для описания собственных функций дискретного спектра для специального класса операторов Шрёдингера с сингулярным потенциалом, на случай обобщенных собственных функций существенного (непрерывного) спектра. Хотя в целом мы следуем идеям упомянутых работ, техническая реализация и оценки существенно отличаются. Наша процедура построения собственной функции носит конструктивный формульный характер. Ключевые шаги подхода состоят в использовании подходящих интегральных представлений (типа Конторовича–Лебедева, Ватсона–Бесселя) для решения, редукции к ФР уравнению, а затем к интегральному уравнению со спектральным параметром, в исследовании спектральных свойств последнего. Оказывается, что вычисление асимптотики собственной функции по расстоянию требует перехода к альтернативному интегральному представлению (типа интеграла Зоммерфельда). Соответствующая асимптотическая интерпретация обобщенных собственных функций проясняет их “физический” смысл как уходящих и приходящих поверхностных волн, локализованных в окрестности носителя сингулярного потенциала. Отметим, что в задачах такого типа левее существенного может существовать и дискретный спектр (см. [4]). Полезно отметить, что ФР уравнения являются полезным средством не только в приложениях в квантовой теории (см. [6], [7]), но они появляются как ключевые модели в спектральной теории (см., например, [8] и ссылки в ней), а также в акустическом и электромагнитном рассеянии (см. [9]–[11]), в теории волновых колебаний жидкости (см. [12]). 1.2. Обозначения и постановка задачиЗдесь мы введем основные объекты исследования, опишем самосопряженный оператор и отвечающую ему спектральную краевую задачу в терминах уравнения и граничных условий. Мы определим самосопряженный оператор Шрёдингера $A_s$, который рассматривается в работе, его полуторалинейной формой $a_s$ в $L_2(\mathbb R^2_+)$, которая полуограничена, плотно определена и замыкаема2. Мы рассмотрим разбиение верхней полуплоскости $\Omega =\mathbb R^2_+$, $(x,y)\in \Omega$, на две части $\Omega_j$, $j=1,2$, лучом $l$, см. рис. 1, b. Введем полярные координаты $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ и $l=\{(r,\varphi)\colon r>0,\,\varphi=\Phi\}$, $0<\Phi<\pi/2$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Omega_1=\bigl\{(r,\varphi)\colon r>0,\, 0<\varphi<\Phi\bigr\}, \\ \Omega_2=\bigl\{(r,\varphi)\colon r>0,\,\Phi<\varphi<\pi\bigr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $0<\Phi<\pi$. Соответствующая квадратичная форма имеет вид
$$
\begin{equation*}
a_s[U,U]=\int_{\Omega}\nabla U\cdot\overline{\nabla U} \,\mathrm{d}x-\gamma \int_{l}|U|^2 \,\mathrm{d} s,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma>0$ – параметр Робена и $\operatorname{Dom}[a_s]= H^{1,0}(\Omega)$, $\Omega=\Omega_1\cup l\cup\Omega_2$, (пространство Соболева для функций с условием Дирихле на границе полуплоскости). Оператор $A_s$, порожденный формой $a_s$, самосопряжен и полуограничен. Он реализуется3 как лапласиан с сингулярным $\delta$-потенциалом, имеющим носитель на $l$, т.е. $A_s=-\triangle-\gamma \delta_l(x)$. В дальнейшем мы используем лишь классическую его реализацию в терминах уравнения и краевых условий. Вопросы квантово-механической интерпретации оператора $A_s$ при $\Phi=\pi/4$, а также краевых условий можно найти в [2; § 1]. Мы изучаем уравнение где $E$ – спектральный параметр. Известно (см., например, [13]), что существенный спектр $\sigma_e(A_s)$ оператора $A_s$ совпадает с $[-\gamma^2/4,\infty)$, причем в настоящей работе мы рассмотрим $E\in [-\gamma^2/4,0)$. Построение обобщенных собственных функций для положительных значений $E$ проводится аналогично, однако требует некоторых технических изменений.Мы построим классическое решение $u=u_j$ в $\Omega_j$, $j=1,2$, удовлетворяющее уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\triangle u_1(r,\varphi)- Eu_1(r,\varphi)=0 ,\qquad (r,\varphi)\in \Omega_1, \\ -\triangle u_2(r,\varphi)- Eu_2(r,\varphi)=0 ,\qquad (r,\varphi)\in \Omega_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
и краевым условиям4
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u_1}{\partial n}\bigg|_{l} -\frac{\partial u_2}{\partial n}\bigg|_{l}= \gamma u_1|_{l}, \qquad u_1|_{l}=u_2|_{l},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где единичная нормаль $n$ на $l$ направлена в $\Omega_2$. Из условия $u\in H^{1,0}(\Omega)$ мы ожидаем, что
$$
\begin{equation}
u_j(r,\varphi)= O(r^{\delta_*}), \qquad \delta_*>0,\quad r\to 0,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
равномерно по $\varphi$. Мы покажем, что нетривиальное решение задачи (собственная функция непрерывного спектра) (1.2)–(1.5) существует при почти всех $E\in [-\gamma^2/4,0)$ и не является квадратично суммируемым ввиду его поведения при $r\to \infty$. Для этого мы вычислим асимптотику решения при $r\to \infty$. 1.3. Основное содержание и результатыВ § 2 мы воспользуемся интегральным представлением Ватсона–Бесселя (ВБ) с целью неполного разделения переменных5. Неизвестные функции в подынтегральном выражении выбираются так, чтобы удовлетворить уравнениям и краевым условиям. В частности, граничные условия непрерывности и Робэна (1.4) приводят к ФР уравнению со спектральным (характеристическим) параметром, напрямую связанным с $E$. Полученное однородное ФР уравнение и его мероморфные решения из специального класса играют основную роль для построения собственных функций непрерывного спектра. Параграф 3 посвящен редукции ФР уравнения к интегральному уравнения с самосопряженным оператором $\mathbf{K}=\mathbf{M}+\mathbf{V}$, который является компактным возмущением $\mathbf{V}$ так называемого оператора Мёлера $\mathbf{M}$, спектральные свойства которого изучены (см., например, [5]: существенный (в действительности, непрерывный и простой) спектр $\sigma_e(\mathbf{M})$ совпадает с отрезком $[0,1]$. По теореме Вейля о компактном возмущении заключаем, что спектр $\sigma_e(\mathbf{K})=[0,1]$. В терминах обобщенных собственных функций оператора $\mathbf{K}$ восстанавливаются решения ФР уравнения из соответствующего класса и тем самым строится интегральное представление для обобщенной собственной функции оператора $A_s$. Для этого в § 4 изучается поведение обобщенной собственной функции оператора (о.с.ф.) $\mathbf{K}$ в окрестности сингулярной точки ядра. Вычисляется главная особенность, которая такова, что о.с.ф. не является квадратично интегрируемой, что естественно. Выводится интегральное уравнение для поправки, которая квадратично суммируема. Соответствующее интегральное уравнение с аналитической зависимостью от спектрального параметра, его разрешимость исследуются с помощью аналитической альтернативы Фредгольма. Основные технические трудности здесь связаны с асимптотическими оценками поведения ядра резольвенты оператора Мёлера на непрерывном спектре (см. § 7). В § 5 полученная информация используется для построения решения ФР уравнения из требуемого класса и для почти всех значений характеристического (спектрального) параметра в уравнении. Обсуждается поведение решения на комплексной плоскости, его асимптотика вдали от вещественной оси. Интегральное представление Ватсона–Бесселя не подходит для вычисления асимптотики о.с.ф. оператора $A_s$ на больших расстояниях. Для этого в § 6 мы переходим к интегральному представлению типа Зоммерфельда. Подынтегральная функция напрямую связана с построенным решением ФР уравнения посредством преобразования Фурье вдоль мнимой оси и решает систему функциональных уравнений (Малюжинца) в специальном классе мероморфных функций. Использование этих уравнений позволяет найти особенности (полюсы) подынтегральной функции в интеграле Зоммерфельда и вычислить его асимптотику с помощью метода перевала. Главный член асимптотики определяется ближайшими к мнимой оси полюсами, а поправка – другими полюсами или седловыми точками. Поправочные члены экспоненциально малы по расстоянию, тогда как старший член – экспонента – лишь ограничен. С физической точки зрения ему можно придать смысл поверхностной волны бегущей на бесконечность (или из бесконечности) вдоль луча $l$. О.с.ф. оператора $A_s$ для почти всех $E\in [-\gamma^2/4,0)$ ограничена на носителе сингулярного потенциала и экспоненциально мала для любого направления вне $l$ при $r\to\infty$. § 2. Интегральные представления Ватсона–Бесселя (ВБ) для решения и неполное разделение переменныхЗдесь и далее мы используем следующий стиль изложения: перед формулировками основных утверждений параграфа мы приводим их мотивировку и вычисления, приводящие к результату. В отличие от ситуации с интегральными представлениями для с.ф. дискретного спектра (см. [4]), когда использовались интегральные представления Конторовича–Лебедева, для существенного спектра с тем, чтобы обеспечить быструю сходимость интегралов, естественно использовать представления следующего вида6:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_1(r,\varphi)=\mathrm{i}\int_{C_0^b} \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr)J_\nu(\mathrm{i}\kappa r)\frac{\sin(\nu\varphi)}{\sin(\nu\Phi)} H_1(\nu)\,\mathrm{d}\nu, \qquad \varphi\in [0,\Phi], \\ u_2(r,\varphi)= \mathrm{i}\int_{C_0^b} \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr)J_\nu(\mathrm{i}\kappa r)\frac{\sin(\nu\overline{\varphi} )}{\sin(\nu\overline{\Phi})} H_2(\nu)\,\mathrm{d}\nu, \qquad \varphi\in [\Phi,\pi], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\overline{\Phi}=\pi-\Phi$, $\overline{\varphi} =\pi-\varphi$, $\kappa=\sqrt{-E}$, $J_\nu(\cdot)$ – функция Бесселя, а функции $H_{1,2}(\cdot)$ требуют вычисления из краевых условий (1.4). Контур $C_0^b= (\infty- \mathrm{i}b, -\mathrm{i}b)\cup[-\mathrm{i}b, \mathrm{i}b]\cup (\mathrm{i}b, \mathrm{i}b+\infty)$ показан на рис. 2, $b>0$. Представления (2.1) быстро и равномерно по $(r,\varphi)$ сходятся за счет быстрого убывания функции Бесселя на контуре, что обсуждается ниже, и удовлетворяют уравнениям (1.2) в классическом смысле в силу равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\kappa r)^2\biggl\{\frac{d^2}{d(\kappa r)^2}+\frac{1}{\kappa r}\frac{d}{d\kappa r}-\biggl(1+\frac{\nu^2}{(\kappa r)^2}\biggr) \biggr\}J_\nu(\mathrm{i}\kappa r)u_\nu(\varphi) \\ &\qquad\qquad +\biggl(\frac{d^2}{d\varphi^2}+\nu^2\biggr)u_\nu(\varphi)J_\nu(\mathrm{i}\kappa r)=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $u_\nu(\varphi)=\cos(\nu\varphi)$ или $u_\nu(\varphi)=\sin(\nu\varphi)$. Выбор $u_\nu(\varphi)=\sin(\nu\varphi)$ под интегралом (соответственно $\sin(\nu\overline{\varphi})$) позволяет удовлетворить условию Дирихле (1.3). Прежде чем подставить интегралы ВБ в краевые условия (1.4) и вывести ФР уравнения для вычисления $H_{1,2}$, полезно описать класс функций, в котором эти уравнения имеют решения, а интегральные представления (2.1) в классическом смысле удовлетворяют задаче и тем самым определяют о.с.ф. существенного спектра. Используя наш опыт построения собственных функций дискретного спектра [4], [5], введем класс $\mathcal M$ мероморфных функций $h$ таких, что $\bullet$ $h(\nu)= -h(-\nu)$ нечетно (либо $h(\nu)= h(-\nu)$ четно); $\bullet$ $h$ голоморфна в $\Pi_{\delta}:=\Pi(-\delta,\delta)=\{\nu\in \mathbb C\colon -\delta<\operatorname{Re} \nu< \delta\}$ для некоторого $\delta>0$, т.е. в некоторой окрестности мнимой оси $\mathrm{i}\mathbb R$. Все полюсы $h$ находятся в полосе $|\operatorname{Im} \nu| <b$ для некоторого положительного $b$; $\bullet$ $ |h(\nu)|<\mathrm{Const}|\exp(-|\nu|(\pi/2) \sin|\psi|)|$, $|\nu|\to\infty$, (оценка верна для всех $\pm\psi\in [0,\pi/2]$ при $\nu= |\nu|\exp(\mathrm{i}\psi)$, $|\nu|\to\infty$ вне полосы $|\operatorname{Im} \nu| <b$); $\bullet$ $d(\nu+1)$ голоморфна в полосе $\Pi(-1,0)$ и непрерывна вплоть до границы, а $ d(\nu-1)$ голоморфна в полосе $\Pi(0,1)$ и непрерывна вплоть до границы, где $d(\nu)=h(\nu)(\operatorname{ctg}\nu\Phi +\operatorname{ctg}\nu\overline{\Phi})$. Обсудим сходимость интегралов ВБ (2.1) для функций $H_{1,2}$ из класса $\mathcal M$, для этого воспользуемся асимптотикой функции Бесселя ($|\nu|\gg 1$, $|{\arg\nu}|\leqslant\pi/2$, $|\arg z|<\pi$)
$$
\begin{equation*}
J_\nu(z)\sim \frac{[z/2]^\nu}{\Gamma(\nu+1)} = \biggl[\frac z2\biggr]^\nu \frac{\exp\{-\nu[\ln\nu-1]\}}{\sqrt{2\pi \nu} }\biggl(1+O\biggl(\frac1\nu\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
на контуре $C_\psi^b=(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\psi}\infty-\mathrm{i}b, -\mathrm{i}b)\cup[-\mathrm{i}b, \mathrm{i}b]\cup (\mathrm{i}b, \mathrm{i}b+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}\infty)$, где $\psi\in [0,\pi/2]$ и $C_0^b=C_{\psi=0}^b$. В дальнейшем нам необходимо иметь возможность деформировать контур $C_0^b$ в контур $C_{\pi/2}^b= \mathrm{i}\mathbb R$, т.е. в мнимую ось. Подынтегральное выражение в (2.1) на контуре $C_\psi^b$ при $\nu=|\nu|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}\to\infty$ (рис. 3) допускает оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr)J_\nu(\mathrm{i}\kappa r)\frac{\sin(\nu\varphi)}{\sin(\nu\Phi)} H_1(\nu)\biggr| \\ &\quad\leqslant \notag \frac{C}{\sqrt{|\nu|}} \biggl|\frac{ \exp(-\mathrm{i}\pi\nu/2)\exp(-\nu[\ln\nu-1])+\nu\ln(\mathrm{i}\kappa r/2))}{\exp(|\nu|({\pi}/{2}) \sin|\psi|)}\biggr| \\ &\quad\leqslant \frac{C}{\sqrt{|\nu|}} \biggl|\exp\biggl\{-|\nu|\biggl[\ln|\nu|-1 -\ln\frac{\kappa r}2\biggr]\cos\psi+ |\nu|\biggl[\psi\sin\psi -\frac\pi2\sin|\psi|\biggr] \biggr\}\biggr|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где использована формула Стирлинга для гамма-функции. Аналогичная оценка верна для второго подынтегрального выражения в (2.1). Ввиду оценки (2.2) при $\psi=0$ справедлива следующая лемма. Лемма 1. Пусть $H_{1,2}\in \mathcal M$. Интегральные представления ВБ в (2.1) для $u_{1,2}$ сходятся абсолютно и равномерно по $(r,\varphi)$ на любом компакте в $\Omega_{1,2}$ соответственно, дважды непрерывно дифференцируемы7 по $(r,\varphi)$ в $\Omega_{1,2}$, удовлетворяют уравнениям (1.2) и условию (1.3), имеют непрерывные производные во всех гладких точках границы (т.е. везде, кроме, возможно, угловой точки $O$). Лемма 1 позволяет подставлять интегральные представления ВБ в уравнение и краевые условия и проверять их в классическом смысле. Замечание 1. Оценка (2.2) и свойства функций из класса $\mathcal M$ допускают возможность деформировать контур $C_0^b$ в $C_{\psi}^b$, в частности, в мнимую ось ($\psi= \pi/2$), сохраняя сходимость интегралов (см. рис. 3). 2.1. Краевые условия на $l$ и функционально-разностное (ФР) уравнение для $H_{1,2}$Условие непрерывности в (1.4) подразумевает, что Из условия типа Робэна в (1.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\kappa r}\biggl(\frac{\partial u_1}{\partial \varphi}- \frac{\partial u_2}{\partial \varphi}\biggr)\bigg|_{\varphi=\Phi}- \frac{\gamma}{2\kappa}( u_1+u_2)|_{\varphi=\Phi} \\ &\qquad =\mathrm{i}\int_{C_0^b}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr)\mathrm{i}\nu\frac{J_\nu(\mathrm{i}\kappa r)}{\mathrm{i}\kappa r}\bigl\{ H_1(\nu) \operatorname{ctg}(\nu\Phi) + H_2(\nu) \operatorname{ctg}(\nu\overline{\varphi} ) \bigr\} \\ &\qquad\qquad -\frac{\gamma}{2\kappa}\mathrm{i}\int_{C_0^b}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr) (H_1(\nu)+H_2(\nu))J_\nu(\mathrm{i} \kappa r)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду равенства (2.3) удобно ввести новую неизвестную
$$
\begin{equation}
D(\nu)= H_1(\nu) \operatorname{ctg}(\nu\Phi) + H_2(\nu) \operatorname{ctg}(\nu\overline{\Phi}) =H_1(\nu) (\operatorname{ctg}(\nu\Phi) + \operatorname{ctg}(\nu\overline{\Phi}) )
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
и воспользоваться соотношением для функций Бесселя $2\nu J_\nu(z)= z(J_{\nu+1}(z)+J_{\nu-1})$, см. [14; 8.471], получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathrm{i}}{2}\int_{C_0^b}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr)\mathrm{i}D(\nu)\bigl(J_{\nu+1}(\mathrm{i} \kappa r) +J_{\nu-1}(\mathrm{i} \kappa r)\bigr) \\ &\qquad-\frac{2\gamma}{\kappa}\, \frac{\mathrm{i}}{2}\int_{C_0^b}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr) \frac{D(\nu)}{\operatorname{ctg}(\nu\Phi) + \operatorname{ctg}(\nu\overline{\varphi})} J_\nu(\mathrm{i} \kappa r)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первый интеграл разобьем на два слагаемых с $J_{\nu+1}$ и $J_{\nu-1}$ и проведем замену переменной интегрирования соответственно $\nu+1\to \nu$ и $\nu-1\to \nu$. Контур интегрирования $C_0^b$ преобразуется, как показано на рис. 2, в $C_0^b+1$ и $C_0^b-1$ соответственно. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathrm{i}}{2}\int_{C_0^b+1}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi[\nu-1]}2\biggr)\mathrm{i}D(\nu-1)J_{\nu}(\mathrm{i} \kappa r) \\ &\qquad-\frac{\mathrm{i}}{2}\int_{C_0^b-1}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi[\nu+1]}2\biggr)\mathrm{i}D(\nu+1)J_{\nu}(\mathrm{i} \kappa r) \\ &\qquad-\frac{2\gamma}{\kappa}\frac{\mathrm{i}}{2}\int_{C_0^b}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr) \frac{D(\nu)}{\operatorname{ctg}(\nu\Phi) + \operatorname{ctg}(\nu\overline{\varphi} )}J_\nu(\mathrm{i} \kappa r)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся тем, что $H_{1,2}$ принадлежат классу $\mathcal M$, деформируем контуры ${C_0^b\pm 1}$ в контур ${C_0^b}$, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{i}}{2}\int_{C_0^b}\mathrm{d}\nu \exp\biggl(-\frac{\mathrm{i}\pi\nu}2\biggr)\biggl(D(\nu+1) -D(\nu-1)-\frac{2\gamma}{\kappa}\,\frac{D(\nu)}{\operatorname{ctg}(\nu\Phi) +\operatorname{ctg}(\nu\overline{\Phi})}\biggr)J_\nu(\mathrm{i} \kappa r)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство, а вместе с ним и краевое условие типа Робэна, выполнено, если $D\in \mathcal M$ является решением ФР уравнения
$$
\begin{equation}
D(\nu+1)-D(\nu-1)-2\mathrm{i} \Lambda W(\nu) D(\nu)=0,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\Lambda={\gamma}/({2\kappa})$, а
$$
\begin{equation*}
W(\nu)=\frac{-2\mathrm{i}}{\operatorname{ctg}(\nu\Phi) +\operatorname{ctg}(\nu\overline{\Phi})}
\end{equation*}
\notag
$$
называется мероморфным потенциалом. Из сказанного выше и леммы 1 мы видим, что справедливо утверждение. Предложение 1. Пусть для некоторого $\Lambda\geqslant 1$ существует нетривиальное решение $D$ уравнения (2.5) и $H_{1,2}$ в (2.4) из класса $\mathcal M$. Тогда интегральные представления ВБ (2.1) удовлетворяют уравнениям (1.2) и краевым условиям (1.3), (1.4) в классическом смысле. Отметим, что проверка оценки (1.5) сводится к деформации контура $C_0^b$ вправо, так чтобы вещественная ось пересекалась в точке $\nu=\delta_*>0$, замене функции Бесселя ее асимптотикой при $r\to 0$ под знаком интеграла, что возможно ввиду быстрой сходимости интеграла. Очевидно, что изучение существования нетривиальных решений уравнения (2.5) в требуемом классе мероморфных функций является основной задачей. Вычисление асимптотического поведения $u_{1,2}$ при $r\to \infty$ завершит построение о.с.ф., однако для этого мы воспользуемся переходом к интегральному представлению Зоммерфельда. § 3. Редукция ФР уравнения (2.5) к интегральному и изучение его свойствПрименим лемму 3.1 из [5], записав уравнение (2.5) в виде $D(\nu+1)- D(\nu- 1)=2\mathrm{i} \Lambda W(\nu) D(\nu)$, получим интегральное представление8
$$
\begin{equation}
D(\nu)=- \frac{\Lambda}{2}\int_{-\mathrm{i}\infty}^{\mathrm{i}\infty} d\tau \frac{W(\tau)\sin\pi\tau}{\cos\pi\tau+\cos\pi\nu}D(\tau), \qquad \nu\in \Pi_{1+\delta}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Отметим, что $D(\cdot)$ четная. Прокомментируем представление (3.1). Если в правой части $D(\cdot)$ известна и интегрируема на мнимой оси, то правая часть представления голоморфна в полосе $\Pi_{1}$. Это следует из того, что знаменатель в подынтегральном выражении в полосе обращается в нуль в ближайших к мнимой оси точках $\nu=\pm 1$. Так как $W(\cdot)$ голоморфна в окрестности мнимой оси ширины $2\delta$, за счет деформации контура в этой окрестности заключаем, что левая часть голоморфна в полосе $ \Pi_{1+\delta}$. Мероморфное продолжение $D(\cdot)$ на всю комплексную плоскость проводим с помощью ФР уравнения. Легко видеть, что особенности мероморфного продолжения находятся на вещественной оси, так как особенности потенциала вещественны, а сдвиги в ФР уравнении вдоль вещественной оси. Таким образом, если найти значения $D(\cdot)$ на мнимой оси с “правильным” поведением на бесконечности и $\Lambda \geqslant 1$, то $D(\cdot)$ продолжается мероморфно на $\mathbb C$. Мы положим $\nu\to \mathrm{i}\mathbb R$, получим интегральное уравнение (3.1). Предложение 2. Пусть интегральное уравнение (3.1) имеет решение $D(\cdot)$, интегрируемое на положительной части мнимой оси $\mathrm{i}\mathbb R_+$ для $\Lambda\geqslant 1$, которое удовлетворяет оценке ($\nu\to\pm\mathrm{i}\infty$) Убедимся теперь, что решение интегрального уравнения (3.1) с требуемыми в предложении 2 свойствами действительно существует. Полезно и удобно преобразовать это уравнение (3.1) к интегральному c самосопряженным оператором. Воспользуемся четностью подынтегрального выражения, получим уравнение на полуоси. Введем новые переменные
$$
\begin{equation*}
x= \frac{1}{\cos\pi\nu}, \qquad y= \frac{1}{\cos\pi t}, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\pi}= \frac{\sin\pi t}{\cos^2\pi t}\,\mathrm{d}t,
\end{equation*}
\notag
$$
и неизвестную $x,y\in [0,1]$,
$$
\begin{equation}
h(x)-\frac{\Lambda}{\pi}\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\frac{w_0(y)}{x+y} h(y)=0,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где и $w_0(y)= 1 +o(1)$ при $y\to 0$. Отметим, что $W(t)$ нечетна, положительна на положительной части мнимой оси, $W(t)= 1 +O(\exp(-d_* |\nu|))$, $d_* = 2 \min (\Phi,\overline{\Phi})\,{=}\,\Phi$ при $\operatorname{Im} \nu\to\infty$, $\operatorname{Re}\nu=0$ и мероморфна. Из (3.2) получаем интегральное уравнение с симметричным ядром
$$
\begin{equation}
\rho(x)-\frac{\Lambda}{\pi}\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\frac{ w(x,y)}{x+y} \rho(y)=0,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\rho(x)=\sqrt{w_0(x)}h(x)$, $w(x,y)=\sqrt{w_0(x)w_0(y})$. Вместе с характеристическим параметром $\Lambda$ мы введем спектральный параметр $\mu=\Lambda^{-1}$ и запишем уравнение (3.3) в виде в $L_2([0,1])$.Изучим свойства оператора $\mathbf{K}$ с симметричным ядром, которое может быть представлено суммой (см. [5])
$$
\begin{equation}
\frac{w(x,y)}{x+y}=\frac{ 1}{x+y} +\frac{ v(x,y)}{x+y},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$v(x,y)= w(x,y)-1=\mathrm{O}(x^{b_*}+y^{b_*})$, $(x,y)\to (0,0)$, где $ b_*=d_*/\pi < 1$. Ядро $v(x,y)/(x+y)$ квадратично интегрируемо. Это позволяет утверждать, что верна Лемма 2. Оператор $\mathbf{K}\colon L_2([0,1])\to L_2([0,1])$ в (3.4) ограничен и самосопряжен. Он положителен и представим в виде в соответствии с представлением ядра (3.5), где $\mathbf{M}$ – так называемый оператор Мёлера, определенный в $L_2([0,1])$ выражением Существенный спектр оператора $\sigma_e(\mathbf{K})$ совпадает с отрезком $\mu\in [0,1]$ (или $\Lambda=\mu^{-1}\geqslant 1$). Действительно, известно, что спектр оператора Мёлера $\mathbf{M}$ существенный (абсолютно непрерывный и простой) и совпадает с отрезком $ [0,1]$. Его диагонализация следует из известных формул Мёлера (см. [15], а также [5; п. 4.1]). Оператор $\mathbf{V}$ компактный, т.е. при таком возмущении по теореме Вейля сохраняется существенный спектр. В отличие от работы [5] здесь мы не обсуждаем возможность существования дискретного спектра правее $\mu=1$ ($\mathbf{K}\geqslant 0$), а изучаем с.ф. существенного (непрерывного) спектра $\sigma_e(\mathbf{K})$ при $\mu\in (0,1]$. § 4. Интегральное уравнение и оценка для решения при $\mu\in (0,1]$Договоримся параметризовать точки $\mu$ отрезка $[0,1]$ параметром $p\in [0,\infty)$ в соответствии с равенством $\mu(p)={1}/{\operatorname{ch}(\pi p)}$, $p(\mu)=({1}/{\pi})\ln(1/\mu+\sqrt{1/\mu^2-1})$. Ветвь $p(\cdot)$ в плоскости с разрезом вдоль отрезка $[0,1]$ фиксирована так, как указано в [5; п. 4.2]. Рассмотрим $\sqrt{\mu^2-1}$ в комплексной плоскости с разрезом вдоль $[-1,1]$, ветвь фиксируем условием $\sqrt{\mu^2-1}>0$ при $\mu>1$. Воспользуемся тем, что функция $(1-\mathrm{i}\sqrt{\mu^2-1})/{\mu}$ не принимает положительных значений. Тогда мы можем считать, что $\arg((1-\mathrm{i}\sqrt{\mu^2-1})/{\mu})\in (0,2\pi)$. В итоге, функция
$$
\begin{equation*}
p(\mu):=\frac{1}{\pi}\ln\biggl(\frac{1-\mathrm{i}\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
голоморфна в $\mathbb{C}\setminus [-1,1]$. Введем известные с.ф. непрерывного спектра оператора $\mathbf{M}$ (см., например, [5; п. 4.1], причем результаты следуют из формул Мёлера, см. [15],
$$
\begin{equation*}
\mathcal P_p(x):= \frac{\sqrt{p\operatorname{th}(\pi p)}}{x} P_{\mathrm{i}p-1/2}\biggl(\frac1x\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$P_{\mathrm{i}p-1/2}(\cdot)$ – функции Лежандра (см. [14; 8.715(1)] и § 7), имеющие интегральное представление
$$
\begin{equation*}
P_{\mathrm{i}\tau-1/2}(\operatorname{ch}\alpha)= \frac{\sqrt{2} }{\pi}\int_0^\alpha\frac{\cos(\tau t) \,\mathrm{d}t}{\sqrt{\operatorname{ch}\alpha-\operatorname{ch} t}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотика собственных функций следует из формулы 8.772(1) в [14],
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal P_p(x) &= \frac{\sqrt{p\operatorname{th}(\pi p)}}{x} \biggl(\frac{\Gamma(-\mathrm{i}p)} {\Gamma(-\mathrm{i}p+1/2)}\biggl[\frac{x}{2}\biggr]^{1/2+\mathrm{i}p} \\ &\qquad +\frac{\Gamma(\mathrm{i}p)}{\Gamma(\mathrm{i}p+1/2)} \biggl[\frac{x}{2}\biggr]^{1/2-\mathrm{i}p}\biggr)\biggl(\frac{1}{\sqrt{\pi}}+O(x^2)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$x\to 0+$, $p> 0$ и $\mathcal P_p(x)=O(1)$ при $p\to\infty$, $1\geqslant x>0$. Функции $\mathcal P_p(x)$ вещественны при $p\geqslant 0$. Как и должно быть, о.с.ф. $\mathcal P_p(\cdot)$ является решением уравнения и не принадлежит $ L_2([0,1])$ ввиду ее поведения в окрестности точки $x=0$. Представляется естественным предположить, что о.с.ф. оператора $\mathbf{K}$ имеет похожее асимптотическое поведение в окрестности точки $x=0$, так как операторы $\mathbf{K}$ и $\mathbf{M}$ отличаются на компактный оператор. Наша цель в этом параграфе – показать, что о.с.ф. $\rho(\cdot)$ оператора $\mathbf{K}$ отличается от $\mathcal P_p(\cdot)$ на функцию из $ L_2([0,1])$, т.е.
$$
\begin{equation}
\rho(x)-\mathcal P_p(x)=:g_p(x), \quad p\geqslant 0, \qquad g_p\in L_2([0,1]).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Для того чтобы это доказать, получим уравнение, которому удовлетворяет $g_p\in L_2([0,1])$, вычтем из уравнения (3.4) уравнение (4.1), имеем
$$
\begin{equation}
[\mathbf{M}-\mu(p)\mathbf{I}]g_p+\mathbf{V}g_p =-\mathbf{V}\mathcal P_p, \qquad p\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Напомним некоторые свойства резольвенты $[\mathbf{M}-\mu(p)\mathbf{I}]^{-1}$ оператора $\mathbf{M}$, см., например, [5; п. 4.2]. Резольвента голоморфна в $\mathbb C\setminus [0,1]$, имеет представление
$$
\begin{equation}
u(x)=[\mathbf{M}-\mu \mathbf{I}]^{-1}f(x)=-\frac{1}{\mu}\{\mathbf{I}+ \mathbf{A}_\mu\}f(x),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
[\mathbf{A}_\mu f](x)= \frac{1}{\pi} \int_0^1 a(x,y;\mu) f(y) \,\mathrm{d}y
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
– интегральный оператор с ядром
$$
\begin{equation}
a(x,y;\mu)= \pi\int_0^\infty\frac{\mathcal P_p(x)\mathcal P_p(y)}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1}\,\mathrm{d}p .
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Ядро резольвенты имеет предельные значения на берегах разреза вдоль спектра $[0,1]$,
$$
\begin{equation*}
a_\pm(x,y;s):=\lim_{\epsilon\to 0+} a(x,y;s\pm {\mathrm{i} \epsilon}) , \qquad s\in (0,1),
\end{equation*}
\notag
$$
и на краю $\mu=1$, которые описаны в [5; п. 4.2]. Рассмотрим круг $\mathcal B_1$ с центром в $\mu=1$ радиуса $1$, который имеет разрез вдоль спектра, тогда для любого $\mu$ из $\mathcal B_1$, включая края разреза и точку $\mu=1$, имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
|a(x,y;\mu)|\leqslant C\frac{|\ln (2/x) \ln(2/ y)|}{\sqrt{xy}}, \qquad (x,y)\in (0,1]\times(0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка следует из (4.6), однако для дальнейшего нам потребуется и асимптотика ядра при $(x,y)\to (0,0)$, вблизи и на берегах разреза $[0,1]$. Оператор резольвенты (4.4), (4.5) задает изоморфизм пространства $ L_2([0,1])$ для всех $\mu$ вне спектра. Рассмотрим открытый прямоугольник $\omega_+$ малой высоты $\epsilon_0$ в верхней полуплоскости ($\mu\in \mathbb C_+$) с основанием $Q_+$, совпадающим с верхним берегом разреза вдоль $(0,1)$. Применим слева оператор резольвенты к (4.3), для таких $\mu \in \omega_+ $ получим
$$
\begin{equation}
g_p+ [\mathbf{M}-\mu\mathbf{I}]^{-1}\mathbf{V}g_p =- [\mathbf{M}-\mu\mathbf{I}]^{-1}\mathbf{V}\mathcal P_p.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Несложно показать, что $\mathbf{V}\mathcal P_p\in L_2(0,1)$, что следует из оценки $v(x,y)= O(x^{b_*}+y^{b_*})$, $(x,y)\to (0,0)$. Так как $\mu \in \omega_+ $ и входит аналитически в оператор $\mathbf{B}(\mu):=[\mathbf{M}-\mu\mathbf{I}]^{-1}\mathbf{V}$, воспользуемся аналитической альтернативой Фредгольма, см., например, [16; гл. 1, § 8, теорема 2]. Оператор $\mathbf{B}(\mu)$ компактен для всех $\mu \in \omega_+ $ и для некоторого $\mu_1 \in \omega_+ $ (например, достаточно большого по модулю) существует ограниченный обратный $[\mathbf{I}+\mathbf{B}(\mu) ]^{-1}$. Вследствие этого в $\omega_+ $ существует мероморфная оператор функция $[\mathbf{I}+\mathbf{B}(\mu) ]^{-1}$. Тогда для всех $\mu \in \omega_+ $ возможно за исключением дискретного множества $\mathcal N$ полюсов оператор $\mathbf{I}+\mathbf{B}(\mu) $ ограниченно обратим. Таким образом, справедлива Лемма 3. Уравнение (4.7) имеет единственное решение $g_p$ из $ L_2([0,1])$ для $\mu(p)\in \omega_+ \setminus \mathcal N $. Нас интересует, однако, разрешимость (4.7) на нижней границе $Q_+$ прямоугольника $\omega_+$, т.е. на границе области аналитичности, на спектре. Мы воспользуемся теоремой 3 в [16; гл. 1, § 8], которая описывает свойства аналитической оператор-функции на границе множества ее аналитичности. Ввиду сказанного выше, чтобы перенести результат леммы 3 на значения $\mu\in\omega_+ \cup Q_+\setminus \mathcal N_+$, где $\mathcal N_+$ – некоторое множество лебеговой меры нуль, мы должны проверить, что оператор-функция $\mathbf{B}(\cdot)$ непрерывна по норме вплоть до $Q_+$, т.е.
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{B}(\mu+\mathrm{i}\epsilon)-\mathbf{B}(\mu)\|\to 0, \qquad \epsilon\to 0,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
и $\mu\in Q_+=(0,1)$. Для этого оценим величину $\|\mathbf{B}(\mu+\mathrm{i}\epsilon)-\mathbf{B}(\mu)\|$ с помощью цепочки неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(\mathbf{B}(\mu+\mathrm{i}\epsilon)-\mathbf{B}(\mu))\rho\|^2= \int_0^1 \biggl|(\mathbf{B}(\mu+\mathrm{i}\epsilon)-\mathbf{B}(\mu))\rho(x)\biggr|^2 \,\mathrm{d} x \\ &\leqslant\mu^{-1}\int_0^1 \mathrm{d} x\biggl| \frac{1}{\pi}\int_0^1 \mathrm{d} z |a(x,z;\mu+\mathrm{i}\epsilon)-a(x,z;\mu)| \biggl(\frac{1}{\pi}\int_0^1 \mathrm{d}y \frac{|v(z,y)|}{z+y}\rho(y) \biggr) \biggr|^2 \\ &\leqslant\mu^{-1}\int_0^1 \mathrm{d} x\biggl| \frac{1}{\pi^2}\int_0^1 \mathrm{d} z |a(x,z;\mu+\mathrm{i}\epsilon)-a(x,z;\mu)| \biggl[\int_0^1 \mathrm{d}y \frac{|v(z,y)|^2}{(z+y)^2}\biggr]^{1/2} \biggr|^2 \|\rho\|^2 \\ &\leqslant\mu^{-1}\int_0^1 \mathrm{d} x\biggl| \frac{1}{\pi^2}\int_0^1 \mathrm{d} z |a(x,z;\mu+\mathrm{i}\epsilon)\,{-}\,a(x,z;\mu)| C_0\biggl[\int_0^1 \mathrm{d}y \frac{(z^{b_*}{+}\,y^{b_*})^2}{(z+y)^2}\biggr]^{1/2} \biggr|^2 \|\rho\|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся оценкой
$$
\begin{equation*}
\biggl[\int_0^1 \mathrm{d}y \frac{(z^{b_*}+y^{b_*})^2}{(z+y)^2}\biggr]^{1/2}\leqslant \begin{cases} C\dfrac{z^{b_*}}{\sqrt{z}},&b_*<\dfrac12, \\ С |{\ln z}|,& b_*=\dfrac12, \\ \mathrm{Const},& 1>b_*>\dfrac12, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\|(\mathbf{B}(\mu+\mathrm{i}\epsilon)-\mathbf{B}(\mu))\|^2 \leqslant \frac{C}{\mu}\int_0^1 \mathrm{d} x \,G_\epsilon(x;\mu),
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где (для случая $b_*<1/2$, остальные аналогично)
$$
\begin{equation*}
G_\epsilon(x;\mu)= \biggl[\int_0^1 \mathrm{d} z\, |a(x,z;\mu+\mathrm{i}\epsilon)-a(x,z;\mu)| \frac{z^{b_*}}{\sqrt{z}} \biggr]^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы перейти к пределу в правой части (4.9) и тем самым проверить предельное соотношение в (4.8), воспользуемся асимптотикой ядра резольвенты (см. лемму 7) при $\mu\in \omega_+\cup Q_+$
$$
\begin{equation*}
a(x,y;\mu)= \frac{\operatorname{sh}(\arccos(1/\mu)\ln[x/y]/\pi)}{\operatorname{sh}(\ln[x/y]/2)} \frac{1}{\sqrt{\mu^2-1}(x+y)} + B_\mu(x,y)O\biggl(\frac{\ln^{-m}(xy)}{\sqrt{xy}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$m$ – любое натуральное число, ветвь $\sqrt{\mu^2-1}$ определена выше, $ B_\mu(x,y)$ непрерывно по $\mu$ на любом компакте в $\omega_+\cup Q_+$ и ограничено по $(x,y)$, а $\arccos(1/\mu)=-\mathrm{i}\operatorname{arch}(1/\mu)$ ограничен и мнимый, $\operatorname{arch}(1/\mu)>0$, $0<\mu<1$. Ветвь $\arccos z$ фиксирована условием $\arccos z>0$ при $ -1<z<1$ на верхнем берегу разреза, а разрез проведен вдоль отрезка $[-1,1]$. Для $\mu\in \omega_+$ первое слагаемое в асимптотике такое же, а второе имеет порядок $B_\mu(x,y)O((xy)^{\delta-1/2})$, $\delta>0$. Из асимптотики следует, что $G_\epsilon(x;\mu)$ при $\mu\in \omega_+\cup Q_+$ имеет суммируемую мажоранту
$$
\begin{equation*}
|G_\epsilon(x;\mu)|\leqslant C_\mu x^{2b_*-1}, \qquad b_*>0,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $C_\mu$ ограничена по $\mu$ на любом компакте в $\omega_+\cup Q_+$. Переходя к пределу в правой и левой частях (4.9) при $\epsilon\to 0$ (теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла), приходим к справедливости соотношения (4.8), учитывая непрерывность $a(x,y;\mu)$ по $\mu$ при $\mu\in \omega_+\cup Q_+$. Используя сказанное выше, приходим к следующему утверждению. Лемма 4. Пусть $\mu\in\omega_+ \cup Q_+\setminus\mathcal N_+$, где $\mathcal N_+$ – множество лебеговой меры нуль. Тогда оператор $\mathbf{I}+\mathbf{B}(\mu) $ ограниченно обратим, а уравнение (4.7) имеет единственное решение $g_p$ из $ L_2([0,1])$ при любой правой части из $ L_2([0,1])$. Напомним, что множество9 $\mathcal N_+=\bigl\{\mu\in \omega_+ \cup \overline{Q}_+\colon -1 \in \sigma(\mathbf{B}(\mu)) \bigr\}$. Предложение 3. Для всех $\mu=\mu(p)\in \sigma_e(\mathbf{K})$, за исключением, возможно, множества лебеговой меры нуль, о.с.ф. оператора $\mathbf{K}$ имеют представление Из предложения 3 и асимптотики функций Лежандра следует асимптотическая оценка о.с.ф.
$$
\begin{equation*}
\rho_p(x)\sim \biggl( C(p)\biggl[\frac{x}{2}\biggr]^{-1/2-\mathrm{i}p} +C(-p)\biggl[\frac{x}{2}\biggr]^{-1/2+\mathrm{i}p}\biggr)(1+o(1))
\end{equation*}
\notag
$$
при $x\to 0$ и $p\geqslant 0$, $C(\cdot)$ выписывается явно. Стоит ожидать, что особое множество $\mathcal N_+$ является пустым в нашем случае, что, однако, не следует из нашего подхода к доказательству предложения 3.
§ 5. Решения ФР уравнения, $\Lambda\geqslant 1$Используя результаты предыдущего параграфа, мы опишем асимптотику решений ФР уравнения при $|\nu|\to\infty$, $\nu=|\nu|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$, $\psi\in(0,\pi/2]$ для $\Lambda\geqslant 1$. Формула
$$
\begin{equation*}
\rho_p(x)= \cos\pi\nu D(\nu)|_{x= {1}/{\cos\pi\nu}}\sqrt{w_0(x)}
\end{equation*}
\notag
$$
связывает $\rho_p(x)$ и $D(\nu)$ для всех $\Lambda^{-1}=\mu(p)=1/\cos\pi p\in(0,1]$, $p\in [0,\infty)$, и позволяет утверждать, что $D(\nu)$ является искомым мероморфным решением и удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation*}
|D(\nu)|<\mathrm{Const}\biggl|\exp\biggl(-\frac{\pi|\nu|}2\biggr)\biggr|, \qquad |\nu|\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
на мнимой оси и в полосе $\Pi_{1+\delta}$. Для дальнейшего нам недостаточно такой оценки, мы получим асимптотику $D$. Назовем множество $C_e=\{\Lambda\colon \Lambda\geqslant 1\}$ существенным характеристическим, а соответствующие им решения ФР уравнения (2.5) (обобщенными) собственными функциями существенного характеристического множества $C_e$. Удобно ввести параметр $\tau$ и параметризовать $\Lambda\geqslant 1$ с помощью соотношения
$$
\begin{equation*}
\Lambda=:\sin\biggl(\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\tau\biggr)=\operatorname{ch}\tau, \qquad \tau\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
(Заметим, что можно аналогично выбрать значения параметра $\tau\leqslant 0$.) Асимптотика мероморфной функции тесно связана с особенностями ее преобразования Фурье, в данном случае по мнимой оси. Воспользуемся преобразованием Фурье вдоль мнимой оси
$$
\begin{equation*}
\chi(\zeta)=\int_{\mathrm{i}\mathrm{R}} \exp(\mathrm{i}\zeta\nu) h(\nu) \,\mathrm{d}\nu, \qquad h(\nu) =-\frac{\mathrm{v.p.}}{2\pi}\int_{\mathrm{i}\mathrm{R}} \exp(-\mathrm{i}\zeta\nu) \chi(\zeta)\,\mathrm{d}\zeta
\end{equation*}
\notag
$$
и применим к уравнению (2.5). Простые вычисления приводят к соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl[\sin\zeta-\sin\biggl(\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\tau\biggr)\biggr]{F}(\zeta) + \sin\biggl(\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\tau\biggr)\int_{\mathrm{i}\mathrm{R}} \exp(\mathrm{i}\zeta\nu) [{W}(\nu)+1]{D}(\nu) \,\mathrm{d}\nu=0, \\ F(\zeta)=\int_{\mathrm{i}\mathrm{R}} \exp(\mathrm{i}\zeta\nu) D(\nu) \,\mathrm{d}\nu, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
которое перепишем в виде
$$
\begin{equation*}
{F}(\zeta) = -\frac{\sin({\pi}/{2}+\mathrm{i}\tau)} {[\sin\zeta-\sin({\pi}/{2}+\mathrm{i}\tau)]} \int_{\mathrm{i}\mathrm{R}} \exp(\mathrm{i}\zeta\nu) [{W}(\nu)+1]{D}(\nu) \,\mathrm{d}\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Убедимся, что интеграл в правой части голоморфен в некоторой полосе $\zeta\in\Pi_{\pi/2+q_*}= \{\zeta\in\mathbb C\colon -(\pi/2+q_*)<\operatorname{Re}\zeta<\pi/2+q_*\}$, $q_*>0$, тем самым ближайшие к мнимой оси особенности – полюсы $F$ – расположены в точках $\zeta=\pm ({\pi}/{2}+\mathrm{i}\tau)$ ($F$ четная функция). Будем считать $\operatorname{Re}\zeta>0$, запишем интеграл в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathrm{i}\mathbb R}\exp(\mathrm{i}\zeta\nu) [{W}(\nu)+1]D(\nu) \,\mathrm{d}\nu &=\int_{\mathrm{i}\mathbb R} \exp(\mathrm{i}\zeta\nu) [W(\nu)+\mathrm{i}\operatorname{tg}(b\nu)]D(\nu) \,\mathrm{d}\nu \\ &\qquad+\int_{\mathrm{i}\mathbb R} \exp(\mathrm{i}\zeta\nu) [-\mathrm{i}\operatorname{tg}(b\nu)+\operatorname{sign}(\mathrm{i}\nu)]D(\nu) \,\mathrm{d}\nu \\ &\qquad +\int_{\mathrm{i}\mathbb R} \exp(\mathrm{i}\zeta\nu) [-\operatorname{sign}(\mathrm{i}\nu)+1]D(\nu) \,\mathrm{d}\nu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В последнем слагаемом интегрирование идет вдоль $\mathrm{i}\mathbb R_+$, так как множитель $[-\operatorname{sign}(\mathrm{i}\nu)\,{+}\,1]\,{=}\,0$ на отрицательной части мнимой оси, поэтому интеграл голоморфен при $\operatorname{Re} (\zeta)>0$. Вспоминая, что верна асимптотика ${W}(\nu)=1+ {O}(\exp\{\pm\mathrm{i}q_*\nu\})=\Phi$ (в нашем случае $q_*=2\min\{\Phi,\overline{\Phi}\}>0$) при $\nu\to \mathrm{i}\infty$ вдоль мнимой оси, находим, что первый интеграл регулярен $\Pi(-{\pi}/{2}-q_*,{\pi}/{2}+q_*)$, полагая, что $b>q_*$. Если взять $b>0$ достаточно большим, находим, что второй интеграл голоморфен в $\Pi(-[2b+{\pi}/{2}],2b+{\pi}/{2})$. Мы видим, что функция $F(\cdot) $ голоморфна в $\Pi(-{\pi}/{2}-q_*,{\pi}/{2}+q_*)$ за исключением полюсов в точках $\zeta=\pm ({\pi}/{2}+\mathrm{i}\tau)$, ближайших к мнимой оси. Используем обратное преобразование Фурье,
$$
\begin{equation*}
D(\nu) =-\frac{\mathrm{v.p.}}{2\pi}\int_{\mathrm{i}\mathrm{R}} \exp(-\mathrm{i}\zeta\nu) F(\zeta)\,\mathrm{d}\zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
сдвигая контур интегрирования ($F$ быстро убывает в полосе вдоль мнимой оси), вычисляем вклад вычетов от ближайших к мнимой оси полюсов. Приходим к следующему утверждению. Лемма 5. Справедлива асимптотика при $|\nu|\to\infty$ и некотором $\delta_0>0$ в произвольной полосе $\nu\in \Pi_q$ конечной ширины $2q$, $C_D$ – константа. Поправка к старшему члену асимптотики в (5.1) определяется вкладом следующих за ближайшими к мнимой оси полюсов функции $F$. Заметим, что $D(\cdot)$ голоморфна вне полосы $|\operatorname{Im}\nu| < b$ для некоторого положительного $b$. С другой стороны, асимптотика (5.1) верна в полосе $ \Pi_q$ произвольной, но фиксированной ширины $2q$. Это наблюдение позволяет утверждать, что справедлива оценка $ |D(\nu)|<\mathrm{Const}|\exp(-|\nu|({\pi}/{2}) \sin|\psi|)|$, $|\nu|\to\infty$, для всех $\pm\psi\in [0,\pi/2]$ при $\nu= |\nu|\exp(\mathrm{i}\psi)$, $|\nu|\to\infty$, вне полосы $|\operatorname{Im} \nu| <b$, в том числе на контуре $C_\psi^{b}$. Отсюда и с учетом установленного ранее (лемма 2, предложение 3), следует Лемма 6. Для любого значения $\Lambda$ из существенного характеристического множества $C_e=[1,\infty)$ существует $D(\cdot)$ четное решение ФР уравнения (2.5) (обобщенная собственная функция существенного характеристического множества), принадлежащее классу $\mathcal M$ и имеющее асимптотику (5.1). Лемма 6 и свойства решений ФР уравнения (2.5) позволяют получить Предложение 4. Для о.с.ф. существенного спектра ($E=-\gamma^2/(4\Lambda)\in [-\gamma^2/4,0)$) оператора $A_s$ справедливо интегральное представление Ватсона–Бесселя (2.1) в терминах о.с.ф. $D\in \mathcal M$ существенного характеристического множества ФР уравнения (2.5), $\Lambda\in [1, \infty)$. Отметим, что каждой точке $E=-{\gamma^2}/({4\Lambda})\in [-\gamma^2/4,0)\subset \sigma_e(A_s)$ однозначно отвечает точка существенного характеристического множества $\Lambda\in [1, \infty)$ ФР уравнения (2.5). Обратимся к асимптотике о.с.ф. по расстоянию и ее физической интерпретации с точки зрения волнового рассеяния. § 6. Редукция к интегралу Зоммерфельда и асимптотика о.с.ф. оператора $A_s$Для того чтобы вычислить асимптотическое поведение о.с.ф., описываемой формулами (2.1), не удается воспользоваться асимптотикой при $r\to \infty$ функции Бесселя под интегралом, так как это приводит к расходимости интеграла. Оказывается, что полезно использовать интегральное представление Зоммерфельда для функции Бесселя в виде10
$$
\begin{equation*}
J_\nu(\mathrm{i}\kappa r)= - \frac{1}{2\pi}\int_{\gamma_0^-}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)\exp\biggl(\frac{\mathrm{i}\nu\pi}2-\mathrm{i}\alpha\nu\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где контур $\gamma_0^-$ показан на рис. 4. Подставим представление Зоммерфельда для функций Бесселя в (2.1), поменяем порядки интегрирования, что оправдано. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_1(r,\varphi) &=\frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0^-}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)2\biggl\{\frac{1}{2}\int_{C_0^b} \exp(-\mathrm{i}\alpha\nu) \frac{\sin(\nu\varphi)}{\sin(\nu\Phi)} H_1(\nu)\,\mathrm{d}\nu\biggr\} \\ &=\frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0^-}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)2 F_1(\alpha, \varphi), \qquad \varphi\in [0,\Phi], \\ u_2(r,\varphi) &= \frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0^-}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)2\biggl\{\frac{1}{2}\int_{C_0^b} \exp(-\mathrm{i}\alpha\nu) \frac{\sin(\nu\overline{\varphi} )}{\sin(\nu\overline{\Phi})} H_2(\nu)\,\mathrm{d}\nu\biggr\} \\ &=\frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0^-}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)2 F_2(\alpha, \overline{\varphi} ), \qquad \varphi\in [\Phi,\pi], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $\operatorname{Im}\alpha <0$, $|{\operatorname{Re} \alpha}|<\pi+\delta_0$, $\delta_0>0$ и
$$
\begin{equation}
F_1(\alpha, \varphi)= \frac{1}{2}\int_{C_0^b} \exp(-\mathrm{i}\alpha\nu) \frac{\sin(\nu\varphi)}{\sin(\nu\Phi)} H_1(\nu)\,\mathrm{d}\nu,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
$$
\begin{equation}
F_2(\alpha, \varphi)= \frac{1}{2}\int_{C_0^b} \exp(-\mathrm{i}\alpha\nu) \frac{\sin(\nu\overline{\varphi} )}{\sin(\nu\overline{\Phi})} H_2(\nu)\,\mathrm{d}\nu.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
В представлениях Зоммерфельда (6.1) функции $F_{1}(\cdot,\varphi)$, $F_{2}(\cdot,\overline{\varphi} )$ продолжены в полуполосу $\alpha\in \Pi_{\pi}$, $\operatorname{Im}\alpha <0$. Используем принадлежность $H_{1,2}$ классу $\mathcal M$, в частности, оценку $ |H_{1,2}(\nu)|<\mathrm{Const}|\exp(-|\nu|({\pi}/{2}) \sin|\psi|)|$, $|\nu|\to\infty$ (для всех $\pm\psi\in [0,\pi/2]$ при $\nu= |\nu|\exp(\mathrm{i}\psi)$, т.е. на контуре $C_\psi^b$. Деформируем контур интегрирования в (6.2) и (6.3), а именно, $C_0^b\to C_\psi^b\to C_{\pi/2}^b= (-\mathrm{i}\infty,\mathrm{i}\infty)$. В итоге имеем
$$
\begin{equation}
F_1(\alpha, \varphi)= \frac{1}{2 \mathrm{i}}\int_{C_{\pi/2}^b} \sin(\alpha\nu) \frac{\sin(\nu\varphi)}{\sin(\nu\Phi)} H_1(\nu)\,\mathrm{d}\nu,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
$$
\begin{equation}
F_2(\alpha, \varphi)= \frac{1}{2\mathrm{i}}\int_{C_{\pi/2}^b}\sin(\alpha\nu) \frac{\sin(\nu\overline{\varphi} )}{\sin(\nu\overline{\Phi})} H_2(\nu)\,\mathrm{d}\nu,
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где интегрирование в (6.4) и (6.5) проводится вдоль мнимой оси, а экспонента заменена на синус ввиду нечетности подынтегрального выражения. В силу оценок для $H_{1,2}$ мы заключаем, что $F_1(\cdot,\varphi)$, $F_2(\cdot,\varphi)$ голоморфны в полосах $\Pi_{\pi/2+[\Phi-\varphi]}$ и $\Pi_{\pi/2+[\overline{\Phi}-\overline{\varphi} ]}$ соответственно. Они продолжатся мероморфно на комплексную плоскость, что обсуждается ниже. Перепишем соотношения (6.4) и (6.5)
$$
\begin{equation}
F_1(\alpha, \varphi)\,{=}\, \frac{1}{4 \mathrm{i}}\int_{-\mathrm{i}\infty}^{\mathrm{i}\infty} \frac{\cos(\nu[\alpha-\varphi])\,{-}\cos(\nu[\alpha+\varphi])}{\sin(\nu\Phi)} H_1(\nu)\,\mathrm{d}\nu\,{=}\, f_1(\alpha+\varphi)\,{-}\,f_1(\alpha-\varphi),
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
$$
\begin{equation}
F_2(\alpha, \varphi)\,{=}\, \frac{1}{4\mathrm{i}}\int_{-\mathrm{i}\infty}^{\mathrm{i}\infty} \frac{\cos(\nu[\alpha-\varphi])\,{-}\cos(\nu[\alpha+\varphi])}{\sin(\nu\overline{\Phi})} H_2(\nu)\,\mathrm{d}\nu\,{=}\, f_2(\alpha+\overline{\varphi} )\,{-}\,f_2(\alpha-\overline{\varphi} ),
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_1(\alpha)= \frac{1}{4 \mathrm{i}}\int_{-\mathrm{i}\infty}^{\mathrm{i}\infty} \frac{\cos(\nu\alpha)}{\sin(\nu\Phi)} H_1(\nu)\,\mathrm{d}\nu, \qquad \alpha\in\Pi_{\pi/2+\Phi}, \\ f_2(\alpha)= \frac{1}{4 \mathrm{i}}\int_{-\mathrm{i}\infty}^{\mathrm{i}\infty} \frac{\cos(\nu\alpha)}{\sin(\nu\overline{\Phi})} H_2(\nu)\,\mathrm{d}\nu, \qquad \alpha\in\Pi_{\pi/2+\overline{\Phi}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
В результате из представлений (6.1) и (6.6)–(6.8) интегральные представления Зоммерфельда принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_1(r,\varphi) &=\frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)[f_1(\alpha+\varphi)-f_1(\alpha-\varphi)] \\ &=\frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)2f_1(\alpha+\varphi), \qquad \varphi\in [0,\Phi], \\ u_2(r,\varphi) &=\frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)[f_2(\alpha+\overline{\varphi} )-f_2(\alpha-\overline{\varphi} )] \\ &= \frac{1}{2\pi \mathrm{i} }\int_{\gamma_0}\mathrm{d}\alpha \exp(\kappa r\cos\alpha)2f_2(\alpha+\overline{\varphi} ), \qquad \varphi\in [\Phi,\pi], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
где $\gamma_0=\gamma_0^+\cup\gamma_0^-$ показан на рис. 4, а трансформанты Зоммерфельда $f_1$ и $f_2$ четные и голоморфны в полосах $\Pi_{\pi/2+\Phi}$ и $\Pi_{\pi/2+\overline{\Phi}}$ соответственно. 6.1. Мероморфное продолжение $f_1$ и $f_2$ и функциональные уравнения МалюжинцаИнтегральные представления (6.9) удовлетворяют уравнениям по построению, что также легко проверяется непосредственной подстановкой, так как интегралы быстро (и равномерно по $r$, $\varphi$) сходятся. Краевое условие Дирихле на границе полуплоскости выполнено. Подстановкой интегралов Зоммерфельда в краевое условие непрерывности на $l$ оно трансформируется в функциональное уравнение Малюжинца (см. [11; п. 3.4], теорема Малюжинца)
$$
\begin{equation}
f_1(\alpha+\Phi)-f_1(\alpha-\Phi)= f_2(\alpha+\overline{\Phi})-f_2(\alpha-\overline{\Phi}).
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Подставим представления Зоммерфельда в краевое условие типа Робена (1.4)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\kappa r}\biggl(\frac{\partial u_1}{\partial \varphi} -\frac{\partial u_2}{\partial \varphi}\biggr) \bigg|_{\varphi=\Phi}- \frac{\gamma}{\kappa}u_1 (r,\Phi) \\ &\qquad =\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_0}\mathrm{d}\zeta \frac{\exp(\kappa r\cos\zeta)}{\kappa r} 2\biggl(-\sin\alpha[ f_1(\zeta+\Phi)+f_2(\zeta-\Phi)] \\ &\qquad\qquad -\frac{\gamma_1}{2\kappa}[ f_1(\zeta-\Phi)+f_2(\zeta-\overline{\Phi})]\biggr)=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы проинтегрировали по частям. Положим $\Lambda :={\gamma_1}/(2\kappa)=\sin\vartheta_\tau$, $\vartheta_\tau=\pi/2+\mathrm{i}\tau$. По теореме об обращении интеграла Зоммерфельда (см. [11; п. 3.4] имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(\sin\alpha-\sin\vartheta_\tau)f_1(\alpha+\Phi) +(\sin\alpha-\sin\vartheta_\tau)f_2(\alpha+\overline{\Phi}) \\ &\qquad =(\sin\alpha+\sin\vartheta_\tau)f_1(-\alpha+\Phi) -(\sin\alpha+\sin\vartheta_\tau)f_2(-\alpha+\overline{\Phi}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
где мы использовали четность $f_{1,2}$. Перепишем уравнения Малюжинца (6.10), (6.11) в эквивалентной форме
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f_1(\alpha+\Phi) \\ f_2(\alpha+\overline{\Phi}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{-\sin\vartheta_\tau}{\sin\alpha-\sin\vartheta_\tau} &\dfrac{-\sin\vartheta_\tau}{\sin\alpha-\sin\vartheta_\tau} \\ \dfrac{-\sin\alpha}{\sin\alpha-\sin\vartheta_\tau} &\dfrac{-\sin\alpha}{\sin\alpha-\sin\vartheta_\tau} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1(-\alpha+\Phi) \\ f_2(-\alpha+\overline{\Phi}) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Четные функции $f_{1,2}$ голоморфны в полосах $\Pi_{\pi/2+\Phi}$ и $\Pi_{\pi/2+\overline{\Phi}}$ соответственно, они продолжаются как мероморфные функции в правую полуплоскость (а по четности и в левую) с помощью функциональных уравнений Малюжинца (6.12). Действительно, если аргументы $f_{1,2}$ в правой части уравнений (6.12) меняются в полосе голоморфности, в левой части аргумент меняется в сдвинутой направо полосе. Например, для первого уравнения
$$
\begin{equation*}
f_1(\alpha+2\Phi)=\frac{-\sin\vartheta_\tau}{\sin(\alpha+\Phi)-\sin\vartheta_\tau}(f_1(-\alpha)+ f_2(-\alpha+\overline{\Phi}-\Phi)),
\end{equation*}
\notag
$$
если справа в аргументе $f_1(-\alpha)$ считаем $-\alpha\in \Pi_{\pi/2+\Phi}$, а тогда аргумент $f_2$ принадлежит полосе $-(\pi/2+\overline{\Phi})<\operatorname{Re} [\alpha-\overline{\Phi}+\Phi]< \pi/2+\overline{\Phi}$ (или $-(\pi/2+\Phi)<\operatorname{Re} \alpha< \pi/2+2\overline{\Phi}-\Phi$). При этом аргумент $f_1(\zeta)$, где $\zeta=\alpha+2\Phi$, изменяется в полосе $-\pi/2+\Phi<\operatorname{Re}\zeta < \pi/2+3\Phi$. Тем самым мы получаем мероморфное продолжение $f_1(\cdot)$ в полосу $-\pi/2+\Phi<\operatorname{Re}\zeta < \pi/2+3\Phi$. Аналогично дело обстоит со вторым уравнением и с продолжением $f_2$ вправо от полосы голоморфности $\Pi_{\pi/2+\overline{\Phi}}$. Анализируя особенности множителя в правой части, находим, что $f_1(\cdot)$ имеет ближайший к мнимой оси полюс при $\alpha =\Phi+\vartheta_\tau$, $\vartheta_\tau=\pi/2+\mathrm{i}\tau$, на границе полосы голоморфности и, кроме того, в окрестности полюса
$$
\begin{equation*}
f_1(\alpha)=\frac{A_1}{\alpha -[\Phi+\pi/2+\mathrm{i}\tau]}+\dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
Из второго уравнения (6.12) имеем
$$
\begin{equation*}
f_2(\alpha)=\frac{A_2}{\alpha -[\overline{\Phi}+\pi/2+\mathrm{i}\tau]}+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
в окрестности ближайшего к мнимой оси полюса $\alpha =\overline{\Phi}+\vartheta_\tau$. Так как сдвиги в уравнениях Малюжинца параллельны вещественной оси, полюсы мероморфных функций, следующие по удаленности от мнимой оси полюсы, расположены справа от полос голоморфности на линии $\operatorname{Im} \alpha= \tau$, а с учетом четности слева от полосы голоморфности полюсы расположены симметрично относительно начала координат. Замечание 2. Из интегральных выражений (6.8) для $f_{1,2}$ следует, что в полосах голоморфности Отметим также, что $u_{1,2}(0,\varphi)=0$. Предложение 5. Для о.с. функции $u=u_j$ в $\Omega_j$, $j=1,2$, существенного спектра $E=-{\gamma^2}/({4\Lambda})\in [-\gamma^2/4,0)$ оператора $A_s$ справедливо интегральное представление Зоммерфельда (6.9), где трансформанты Зоммерфельда $f_{1,2}$ – мероморфные четные функции, голоморфные в полосах $\Pi_{\pi/2+\Phi}$ и $\Pi_{\pi/2+\overline{\Phi}}$ соответственно. Они связаны преобразованием (6.8) с о.с.ф. $H_{1,2}\in \mathcal M$ существенного характеристического множества ФР ($\Lambda\geqslant 1$) уравнения (2.5). 6.2. Асимптотика собственных функций и физическая интерпретацияОбратимся к вычислению асимптотики (при $r\to\infty$) о.с.ф. $u$, задаваемой интегралом Зоммерфельда (6.9). В отличие от интегрального представления ВБ, интегралы Зоммерфельда хорошо приспособлены к вычислению асимптотики по расстоянию. Действительно, применим метод перевала к интегралам (6.9). В показателе экспоненты $\cos\alpha$ имеет стационарные точки $\pm \pi$ – корни уравнения $\sin\alpha=0$. Для асимптотической оценки интеграла продеформируем контуры интегрирования $\gamma_0=\gamma_0^+\cup\gamma_0^-$ в перевальные $\gamma_0^\pi\cup\gamma_0^{-\pi}$, рис. 4. Перевальные контуры проходят соответственно через точки $\pm \pi$ параллельно мнимой оси. В процессе такой деформации пересекаются полюсы подынтегрального выражения, в частности, для $f_1$ полюсы $\alpha+\varphi =\pm[\Phi+\pi/2+\mathrm{i}\tau]$, $\tau>0$, ближайшие к мнимой оси, дают основной вклад. Отметим, что с изменением $\varphi\in[0,\Phi]$ эти полюсы мигрируют. При $\varphi=\Phi$ полюс $\alpha=\pi/2+\mathrm{i}\tau$ оказывается ближе всего к мнимой оси и дает главный вклад в асимптотику, тогда как вклад остальных полюсов имеет меньший порядок и тем более вклад точек перевала $I_{\pm \pi}=O(\mathrm{e}^{-\kappa r}/\sqrt{\kappa r})$. Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &u_1(r,\varphi) =2A_1\exp\biggl(\kappa r\cos\biggl[\Phi-\varphi+\frac\pi2+\mathrm{i}\tau\biggr]\biggr) \\ &\quad +\sum_{|{\operatorname{Re} \alpha_p^1}|<\pi}\exp\bigl(\kappa r\cos[\alpha_p^1-\varphi]\bigr) 2\operatorname*{res}_{\alpha_p^1}f_1(\alpha+\varphi)+ O\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\kappa r}}{\sqrt{\kappa r}}\biggr), \qquad \varphi\in [0,\Phi], \\ &u_2(r,\varphi) =2A_2\exp\biggl(\kappa r\cos\biggl[\overline{\Phi}-\overline{\varphi} +\frac\pi2+\mathrm{i}\tau\biggr]\biggr) \\ &\quad +\sum_{|{\operatorname{Re} \alpha_p^2}|<\pi} \exp\bigl(\kappa r\cos[\alpha_p^2-\overline{\varphi} ]\bigr) 2\operatorname*{res}_{\alpha_p^2}f_2(\alpha+\overline{\varphi} )+ O\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\kappa r}}{\sqrt{\kappa r}}\biggr), \qquad \varphi\in [\Phi,\pi], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
где вклад полюсов, следующих за старшими (т.е. дающими основной вклад) представлен в виде сумм по вычетам в полюсах, которые, наряду со старшими, захвачены при деформации контуров в перевальные. Простой анализ старших членов асимптотики (6.14) показывает, что выражение $(\tau>0)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u_1 \sim u_1^{\mathrm{out}} &:= 2A_1 \exp\biggl(\kappa r\cos\biggl[\Phi-\varphi+\frac\pi2+\mathrm{i}\tau)\biggr]\biggr) \\ &\,= 2A_1\exp\bigl(-\kappa r\{\sin[\Phi-\varphi]\operatorname{ch}(\tau)-\mathrm{i}\cos[\Phi-\varphi]\operatorname{sh}\tau\}\bigr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
ограничено на $l$, т.е. на носителе потенциала, и экспоненциально убывает в остальных направлениях в $\Omega_1$ при $\kappa r\to\infty$. Аналогично асимптотическое поведение $u_2$ в $\Omega_2$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u_2\sim u_2^{\mathrm{out}} &:= 2A_2\exp\biggl(\kappa r\cos\biggl[\overline{\Phi}-\overline{\varphi} +\frac\pi2+\mathrm{i}\tau\biggr]\biggr) \\ &\,= 2A_2\exp\bigl(-\kappa r\{\sin[\overline{\Phi}-\overline{\varphi} ]\operatorname{ch}(\tau)-\mathrm{i}\cos[\overline{\Phi}-\overline{\varphi} ]\operatorname{sh}\tau\}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
Выражения (6.15), (6.16) в теории дифракции интерпретируются как поверхностная волна, бегущая от начала координат вдоль луча $l$ на бесконечность, ограниченная на $l$ и экспоненциально убывающая при $\kappa r\to\infty$ в остальных направлениях, см. подробности в [11; п 6.4.1]. Тем самым при $\tau>0$ построенная обобщенная собственная функция $u$ интерпретируется как уходящая на бесконечность поверхностная волна $u^{\mathrm{out}}$. До сих пор мы рассматривали случай $\tau>0$. Случай $\tau<0$ исследуется совершенно аналогично, $\Lambda=\sin\vartheta_\tau=\sin(\pi/2+\mathrm{i}\tau)\geqslant 1$. Выражения (6.14) для о.с.ф. сохраняют вид и в этом случае. Однако асимптотическая и тем самым физическая интерпретация о.с.ф. меняются. При $\tau<0$ построенная обобщенная собственная функция $u$ интерпретируется как приходящая из бесконечности поверхностная волна $u^{\mathrm{in}} $. Таким образом, существуют два типа о.с.ф., соответствующих уходящим ($\tau>0$) и приходящим ($\tau<0$) поверхностным волнам, экспоненциально локализованным в окрестности носителя $l$ сингулярного потенциала. Предложение 6. Для почти всех $E\in [-\gamma^2/4,0)$ существуют обобщенные собственные функции $u=u_j$ в $\Omega_j$, $j=1,2$, двух типов, соответствующих уходящим ($\tau>0$, $u\sim u^{\mathrm{out}}$) и приходящим ($\tau<0$, $u\sim u^{\mathrm{in}}$) поверхностным волнам. О.с.ф. имеют интегральное представление Зоммерфельда (6.9) и отвечают существенному спектру оператора $A_s$, для них справедливо асимптотическое представление (6.14). В работе [17] изучается задача рассеяния поверхностной волны, бегущей из бесконечности вдоль стороны бесконечного многоугольника с условиями типа Робена на границе. Основным результатом в [17] является вычисление асимптотики рассеянных волн. Аналогичная постановка задачи рассеяния и результаты могут быть получены и для рассматриваемой нами обобщенной задачи Йоста, рис. 1. Ответы могут быть получены в терминах “уходящих и приходящих” собственных функций, построенных выше. § 7. Приложение. Асимптотика $a(x,y;\mu)$ при $(x,y)\to 0$Воспользуемся выражением (4.6) ядра резольвенты и представлением для функций Лежандра [14; 8.772(1)]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{\mathrm{i}p-1/2}\biggl(\frac 1x\biggr) &=\frac{\Gamma(\mathrm{i}p)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\mathrm{i}p+1/2)} \biggl[\frac{x}{2}\biggr]^{-\mathrm{i}p+1/2}F\biggl(\frac{3/2-\mathrm{i}p}{2},\frac{1/2-\mathrm{i}p}{2}, 1-\mathrm{i}p; x^2\biggr) \\ &\qquad+ \frac{\Gamma(-\mathrm{i}p)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma(-\mathrm{i}p+1/2)} \biggl[\frac{x}{2}\biggr]^{\mathrm{i}p+1/2}F\biggl(\frac{3/2+\mathrm{i}p}{2},\frac{1/2+\mathrm{i}p}{2}, 1+\mathrm{i}p; x^2\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $0<x<1$, $p\geqslant 0$, $F$ – гипергеометрическая функция,
$$
\begin{equation*}
F(\alpha,\beta,\gamma;t)= \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\sum_{n\geqslant 0} \frac{\Gamma(\alpha+n)\Gamma(\beta+n)}{\Gamma(\gamma+n)}\,\frac{t^n}{n!}, \qquad |t|<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для дальнейших преобразований и вычисления асимптотики удобно ввести обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathrm{P}(x,p):= \frac{\Gamma(\mathrm{i}p)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\mathrm{i}p+1/2)} \biggl[\frac{x}{2}\biggr]^{-\mathrm{i}p+1/2}, \\ \mathrm{D}(x,p):=F\biggl(\frac{3/2-\mathrm{i}p}{2},\frac{1/2-\mathrm{i}p}{2}, 1-\mathrm{i}p; x^2\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
заметив, что $\mathrm{D}(x,p)= 1 +O(x^2)$, $x\to 0$. Воспользуемся этими обозначениями и запишем $a(x,y;\mu)$ в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &a(x,y;\mu) =\frac{1}{2 xy}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}p\, \frac{\pi p\operatorname{th}(\pi p)}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \bigl\{\bigl(\mathrm{P}(x,-p)+\mathrm{P}(x,p)\bigr) \bigl(\mathrm{P}(y,p)+\mathrm{P}(y,-p)\bigr) \\ \notag &\quad +\bigl(\mathrm{P}(x,-p)+\mathrm{P}(x,p)\bigr)\bigl(\mathrm{P}(y,p) [\mathrm{D}(y,p)-1]+ \mathrm{P}(y,-p) [\mathrm{D}(y,-p)-1]\bigr) \\ &\quad + \bigl(\mathrm{P}(y,-p)+\mathrm{P}(y,p)\bigr)\bigl(\mathrm{P}(x,p) [\mathrm{D}(x,p)-1]+ \mathrm{P}(x,-p) [\mathrm{D}(x,-p)-1]\bigr) \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
В первой строке (7.1) раскроем скобки и сделаем замену $-p\to p$ в интеграле, содержащем $\mathrm{P}(x,-p)\mathrm{P}(y,p)$, получим в сумме интеграл, содержащий $2\mathrm{P}(x,p)\mathrm{P}(y,-p)$. Аналогично поступим для произведения $\mathrm{P}(x,-p)\mathrm{P}(y,-p)$, приходим к выражению11
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &a(x,y;\mu) =\frac{1}{2 xy}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}p \frac{\pi p\operatorname{th}(\pi p)}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \bigl\{ 2\mathrm{P}(x,p)\mathrm{P}(y,-p)+ 2\mathrm{P}(x,p)\mathrm{P}(y,p) \\ \notag &\qquad +\bigl(\mathrm{P}(x,-p)+\mathrm{P}(x,p)\bigr)\bigl(\mathrm{P}(y,p)[\mathrm{D}(y,p)-1]+ \mathrm{P}(y,-p) [\mathrm{D}(y,-p)-1]\bigr) \\ &\qquad +\bigl(\mathrm{P}(y,-p)+\mathrm{P}(y,p)\bigr)\bigl(\mathrm{P}(x,p) [\mathrm{D}(x,p)-1]+ \mathrm{P}(x,-p) [\mathrm{D}(x,-p)-1]\bigr) \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Две последние строки в (7.2) содержат множители в квадратных скобках $[\mathrm{D}(x,\pm p)-1] =O(x^2)$, $[\mathrm{D}(y,\pm p)-1] =O(y^2)$, так что естественно ожидать после интегрирования их малость по сравнению с интегралом в первой строке. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_+(x,y;\mu) &:= \frac{1}{2 xy}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}p\, \frac{\pi p\operatorname{th}(\pi p)}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \mathrm{P}(x,p)\mathrm{P}(y,-p) \\ &=\frac{1}{4\sqrt{xy}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}p\, \frac{ p\operatorname{th}(\pi p)}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \frac{\Gamma(\mathrm{i}p)\Gamma(-\mathrm{i}p)}{\Gamma(\mathrm{i}p+1/2)\Gamma(-\mathrm{i}p+1/2)} \exp\biggl(-\mathrm{i}p\ln\frac xy\biggr), \\ R_-(x,y;\mu) &:= \frac{1}{2 xy}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}p\, \frac{\pi p\operatorname{th}(\pi p)}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \mathrm{P}(x,p)\mathrm{P}(y,p) \\ &=\frac{1}{4\sqrt{xy}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}p\, \frac{ p\operatorname{th}(\pi p)}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \frac{\Gamma^2(\mathrm{i}p)}{\Gamma^2(\mathrm{i}p+1/2)} \exp\biggl(-\mathrm{i}p\ln\frac{xy}4\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, наконец, определим $R(x,y;\mu)$ в соответствии с равенством, следующим из (7.2), Обратимся к асимптотической оценке $R_+(x,y;\mu)$. Для этого упростим подынтегральное выражение, воспользовавшись соотношениями
$$
\begin{equation*}
\Gamma(\mathrm{i}p)\Gamma(-\mathrm{i}p)=\frac{\pi}{p\operatorname{sh}\pi p}, \qquad \Gamma\biggl(\mathrm{i}p+\frac12\biggr)\Gamma\biggl(-\mathrm{i}p+\frac12\biggr)=\frac{\pi}{\operatorname{ch}\pi p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя четность подынтегрального выражения, получим
$$
\begin{equation*}
R_+(x,y;\mu)= \frac{1}{2\sqrt{xy}}\int_{0}^\infty\mathrm{d}p \, \frac{\cos(p\ln(x/y))}{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечательно, что интеграл в правой части может быть вычислен явно, если воспользоваться формулой 3.983(1) из [14] и аналитическим продолжением по параметрам, считая $\mu>1$ и $x/y>0$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_+(x,y;\mu) &=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\, \frac{\operatorname{sh}(\pi^{-1}\arccos(\mu^{-1})\ln(x/y))}{\sqrt{\mu^2-1}\operatorname{sh}\ln(x/y)} \\ &= \frac{1}{(x+y)}\, \frac{\operatorname{sh}(\pi^{-1}\arccos(\mu^{-1})\ln(x/y))} {2\sqrt{\mu^2-1}\operatorname{sh}(\ln(x/y)/2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы фиксируем ветви многозначных функций следующим образом. Для $\arccos(\cdot)$ разрез проводим вдоль $(-\infty,1]\cup[1\infty)$ и считаем $\arccos z$ положительным, если $z\in (0,1)$. Заметим, что продолжение для значений аргумента $z=1/\mu>1$, а также для значений $\mu\,{\in}\,\omega_+\cup Q_+$ (т.е. в прямоугольнике), находится однозначно. Аналогично определим ветвь $\sqrt{\mu^2-1}$, разрез проводится вдоль отрезка $[-1,1]$, полагая $\sqrt{\mu^2-1}>0$ при $\mu>1$. Заметим, что при $\mu\to 1$ существует предел $R_+(x,y;1)$ (см. также [5; п. 4.1]. Кроме того, $R_+(x,y;\mu)$ непрерывно зависит от $\mu\in \omega_+\cup Q_+$. Оценим $R_-(x,y;\mu)$. Используем выражение ($\mu\in\omega_+$)
$$
\begin{equation*}
R_-(x,y;\mu):= \frac{1}{4\sqrt{xy}}\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}p }{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \frac{\Gamma(\mathrm{i}p)}{\Gamma(\mathrm{i}p+1/2)} \frac{\Gamma(-\mathrm{i}p+1/2)}{\Gamma(-\mathrm{i}p)} \exp\biggl(-\mathrm{i}p\ln\frac{xy}4\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Используем очевидное наблюдение $\operatorname{Re}(\mathrm{i}p\ln(xy/4))>0$ при $\operatorname{Im} p >0$ и продеформируем контур интегрирования вдоль $\mathbb R$ в контур $\mathbb R+\mathrm{i} h$, $h>0$. При этом пересекаются полюсы подынтегрального выражения в нулях $\mu\operatorname{ch}(\pi p)-1$ и полюсы ${\Gamma(\mathrm{i}p)}{\Gamma(-\mathrm{i}p+1/2)}$. Если $\operatorname{Im} (\frac{1}{\pi}\operatorname{arch}\mu^{-1}) <h < 1$, то по теореме о вычетах старший вклад дается полюсом
$$
\begin{equation*}
p(\mu):=\frac{1}{\pi}\ln\biggl(\frac{1-\mathrm{i}\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где ветвь описана ранее. Остальные корни уравнения $\operatorname{ch}(\pi p)-1/\mu=0$ в верхней полуплоскости имеют вид $ p(\mu) +2 \mathrm{i}m$, $m=0,1, 2,\dots$ . Получаем
$$
\begin{equation*}
R_-(x,y;\mu):= O\bigl([xy]^{\delta_*(\mu)-1/2}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_*(\mu):=\operatorname{Im} p(\mu)>0$, $\mu\in\omega_+$. Однако, если $\mu\in Q_+$, т.е. положительно, уравнение имеет два корня $\pm p(\mu)$, лежащих на вещественной оси. При этом контур интегрирования деформируется в $\mathcal L$, который в выражении для $R_-$ обходит полюсы $p(\mu)$ снизу, а $-p(\mu)$ – сверху,
$$
\begin{equation*}
R_-(x,y;\mu):= \frac{1}{4\sqrt{xy}}\int_{\mathcal L_\mu}\frac{\mathrm{d}p }{ \mu\operatorname{ch}(\pi p)-1} \frac{\Gamma(\mathrm{i}p)}{\Gamma^(\mathrm{i}p+1/2)} \frac{\Gamma(-\mathrm{i}p+1/2)}{\Gamma(-\mathrm{i}p)} \exp\biggl(-\mathrm{i}p\ln\frac{xy}4\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрированием по частям в последнем интеграле приходим к оценке
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &R_-(x,y;\mu) = \frac{(-1)^{m}}{4\sqrt{xy}}\,\frac{1}{(-\mathrm{i}\ln(xy/4))^m} \\ &\qquad \times\int_{\mathcal L_\mu}\mathrm{d}p\, \exp\biggl(-\mathrm{i}p\ln\frac{xy}4\biggr) \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d} p^m}\biggl\{\frac{1}{\mu\operatorname{ch}(\pi p)-1}\,\frac{\Gamma(\mathrm{i}p)}{\Gamma^(\mathrm{i}p+1/2)}\, \frac{\Gamma(-\mathrm{i}p+1/2)}{\Gamma(-\mathrm{i}p)}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $m=1,2,\dots$, $\mu\in Q_+$. Наконец, $R(x,y;\mu)$ оценивается величинами $x^2R_-(x,y;\mu)$ или $y^2R_-(x,y;\mu)$ при $(x,y)\to(0,0)$ и $\mu\in \omega_+\cup Q_+$. Лемма 7. Справедлива асимптотика 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lya23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|