| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Существование полиномиальных решений уравнения Монжа–Ампера 4-й степени. Сильный изгиб тонкой пластинки Ю. А. Аминовab a B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, National Academy of Sciences of Ukraine, Khar'kov, Ukraine b Brasília, Brazil
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9852e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ работе рассматриваются полиномиальные решения $z(x,y)$ уравнения Монжа–Ампера Требуется по заданному полиному $f(x,y)$ найти полином $z(x,y)$ 4-й степени. В том случае, когда $f(x,y)=1$ К. Йоргенс доказал в [1], что решение уравнения Монжа–Ампера, определенное на всей плоскости, является квадратичным полиномом. Е. Калаби и А. В. Погорелов обобщили этот результат на многомерный случай для графиков выпуклых гиперповерхностей. Естественно рассмотреть более общий случай, когда $f(x,y)$ – полином некоторой степени. Кроме того, рассмотрение полиномиальных решений удобно для приложений. В указанной выше постановке решение не всегда существует. Ранее в наших работах [2], [3] были указаны необходимые условия для разрешимости. Положим Сначала рассмотрим однородную часть степени 4. Набор коэффициентов $b_{ij}$ задает координаты полинома $f$ в пятимерном пространстве, которое обозначим $E^5(b)$. Обозначим точку в этом пространстве $b=(b_{40},\dots,b_{04})$. То же пространство, но с координатами $a_{40},\dots,a_{04}$, обозначим $E^5(a)$. Были введены два инварианта
$$
\begin{equation}
L(b)=\begin{vmatrix} \dfrac{b_{22}}{3}&\dfrac{b_{13}}{2}&2b_{04} \\ \dfrac{b_{31}}{2}&\dfrac{b_{22}}{3}&\dfrac{b_{13}}{2} \\ 2b_{40}&\dfrac{b_{31}}{2}&\dfrac{b_{22}}{3} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Введенные величины инвариантны относительно вращений в плоскости $(x,y)$ и сдвига. Они возникают в нескольких важных местах. Заменяя коэффициенты $b_{ij}$ на $a_{ij}$, получим инварианты $T(a)$, $L(a)$ для полинома $z(x,y)$. Замечательно, что эти инварианты связаны между собой функциональными зависимостями
$$
\begin{equation}
T(b)=12^23[T(a)]^2, \qquad L(b)= \sigma [L(a)]^2 +\mu [T(a)]^3,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\sigma=-3^62^7$, $\mu=3^32^6$. Эти соотношения были установлены автором в предыдущей работе [3]. Отсюда следуют первое и второе необходимые условия разрешимости: если $L(a)\geqslant 0$, то
$$
\begin{equation}
1) \ T(b)\geqslant 0, \qquad 2) \ \biggl(\frac{T(b)}{3}\biggr)^{3/2}-L(b)=3^62^7[L(a)]^2\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{6}
$$
и если $L(a)\leqslant0$, то
$$
\begin{equation}
1) \ T(b)\geqslant 0, \qquad 2) \ -\biggl(\frac{T(b)}{3}\biggr)^{3/2}-L(b)=3^62^7[L(a)]^2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В геометрических терминах можно сказать, что граница области разрешимости ограничена квадрикой $T(b)=0$, т.е. обобщенным конусом, и образом кубики $L(a)=0$ при отображении пространства $E^5(a)$ на $E^5(b)$ с помощью оператора Монжа–Ампера. Первое условие обозначает, что разрешимая область лежит вне обобщенного конуса в пятимерном пространстве и является некоторой подобластью внешности этого конуса. Возможно существование нескольких связных областей разрешимости. Многомерная геометрия здесь работает на двумерную. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения Монжа–Ампера в случае однородного полинома $f(x,y)$ степени 4, получаем систему из пяти уравнений Эти уравнения задают отображение $\rho$ пространства $E^5(a)$ с координатами $a_{40},a_{31},\dots,a_{04}$ на пространство $E^5(b)$ с координатами $b_{40},\dots,b_{04}$. Якобиан этого отображения, как было установлено нами в предыдущей работе, выражается через введенные инварианты
$$
\begin{equation}
J\biggl(\frac{b_{40},\dots,b_{04}}{a_{40},\dots,a_{04}}\biggr)= -2^{12}3^5T(a)L(a).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Более того, характеристический полином производного отображения $\rho'$ имеет коэффициенты, которые выражаются через эти инварианты:
$$
\begin{equation}
|\rho'-\lambda E|=-\lambda^5+\lambda^3\mu_3T(a)+\lambda^2\mu_2L(a)+\lambda \mu_1T^2(a)+\mu_0T(a)L(a)=0,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\mu_3=2^43^77$, $\mu_2=2^73^6$, $\mu_1=-2^{10}3^2$, $\mu_0=-2^{12}3^5$. Доказательство опустим, так как это уравнение нам дальше не понадобится. Если полином $f(x,y)$ полный – полином с 15 коэффициентами, то имеется дополнительная система уравнений на коэффициенты $a_{ij}$, которая будет выписана ниже. Следующая теорема относится к полному полиному. Теорема 1. Если коэффициенты полинома $f(x,y)$ удовлетворяют неравенствам Если коэффициенты $b_{10}=c_1$, $b_{01}=c_2$, $b_{00}=c_0$, то $z$ является полным решением уравнения Монжа–Ампера. Можно сказать, что действие оператора Монжа–Ампера на функцию $z(x,y)$ дает полином $f(x,y)$ с точностью до линейных членов. Получено конструктивное решение всей системы уравнений для полного полинома $f(x,y)$. Решение системы уравнений на $a_{ij}$ проводится последовательно, сначала находится решение (8)–(12) – находятся коэффициенты $a_{ij}$ при 4-й степени, затем при 3-й степени и т.д. Так как сумма индексов $i+j$ соответствует этим степеням, то имеет смысл для простоты говорить, что коэффициент $a_{ij}$ степени $i+j$. Приведенное исследование используется автором в § 7 при рассмотрении системы уравнений, описывающей сильный изгиб тонкой пластинки под действием внутренних напряжений и внешней нагрузки, см. книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица “Теория упругости” [4]. Мы надеемся, что в дальнейшем развитие этого направления даст возможность, рассматривая земную кору как достаточно тонкую пластинку в сравнении с размерами всего земного шара, применить его к описанию рельефа поверхности или к сейсмическим явлениям. Заметим, что степень 4 полинома соответствует исключительному случаю. Если $z(x,y) $ – полином степени $n$, то результат применения оператора Монжа–Ампера в общем случае есть полином степени $2n-4$. Попытки найти похожие инварианты полиномов $T(b)$ и $L(b)$ при $n>4$ не увенчались успехом. При $ n=5$ в $E^7$ возникает гиперповерхность как образ действия оператора Монжа–Ампера на полиномы 5-й степени, заданная параметрически коэффициентами $a_{ij}$; при $n>5$ такой образ появляется в виде подмногообразия с коразмерностью $n-4$. Изучение таких подмногообразий представляет определенный интерес. § 2. Построение решения основной системы (8)–(12)Система содержит пять нелинейных уравнений и пять неизвестных. Применим метод последовательного исключения неизвестных. Сначала исключим $a_{31} $ и $a_{13}$. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\tau=\frac{b_{22}}{3}, \qquad t=\sqrt{\frac{T(b)}{3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Связь между $T(b)$ и $T(a)$ перепишем в виде
$$
\begin{equation}
a_{13}a_{31}=4a_{40}a_{04}+\frac{a_{22}^2}{3}\pm\frac{t}{12}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Это выражение подставим в левую часть уравнения (10). Тогда получим где $\kappa=\tau\pm{t}/{2}$. Рассмотрим подсистему уравнений (9) и (11) для определения $a_{31}$, $a_{13}$. Детерминант коэффициентов этой системы равен Получим
$$
\begin{equation}
a_{31}=\frac{6a_{40}b_{13}+a_{22}b_{31} }{6\kappa}, \qquad a_{13}=\frac{6a_{04}b_{31}+a_{22}b_{13}}{6\kappa}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Случай $\kappa=0$ рассмотрим отдельно. Уравнения (8) и (12) дают выражения квадратов
$$
\begin{equation}
a_{31}^2=\frac{24a_{40}a_{22}-b_{40}}{9}, \qquad a_{13}^2=\frac{24a_{04}a_{22}-b_{04}}{9}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Запишем выражения $a_{22}^2$ и $a_{31}a_{13}$ через $a_{40}a_{04}$. Из (21) находим Это выражение подставим в (20). Получим где $\overline\kappa=\frac{1}{6}(\tau+t)$. Перемножим выражения $a_{31}$ и $a_{13}$ и используем (24). Тогда получим
$$
\begin{equation}
36a_{40}a_{04}(b_{31}b_{13}-16\kappa^2)+a_{22}^2b_{31}b_{13}+6 a_{22}(a_{40}b_{13}^2+a_{04}b_{31}^2)=-36\overline\kappa\kappa^2.
\end{equation}
\tag{27}
$$
В этом уравнении заменим $a_{22}^2$ с помощью (25). Тогда получим
$$
\begin{equation}
72a_{40}a_{04}(b_{31}b_{13}-8\kappa^2) +6a_{22}(a_{40}b_{13}^2+a_{04}b_{31}^2)=\frac{\kappa b_{31}b_{13}}{2}-36\overline\kappa\kappa^2.
\end{equation}
\tag{28}
$$
В (23) и (24) имеем выражения $a_{31}$, $a_{13}$ и их квадратов. Поэтому имеем еще два уравнения
$$
\begin{equation}
36a_{04}^2b_{31}^2+12 a_{04}a_{22}b_{31}b_{13}+a_{22}b_{13}^2=(24a_{04}a_{22}-b_{04})4\kappa^2,
\end{equation}
\tag{29}
$$
$$
\begin{equation}
36a_{40}^2b_{13}^2+12a_{40}a_{22}b_{31}b_{13}+a_{22}^2b_{31}^2 =(24a_{40}a_{22}-b_{40})4\kappa^2.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Обе части уравнения (29) умножим на $a_{40}$ и уравнения (30) на $a_{04}$ и из первого уравнения вычтем второе. Тогда получим
$$
\begin{equation}
(36a_{40}a_{04}-a_{22}^2)(a_{04}b_{31}^2-a_{40}b_{13}^2) =-(b_{04}a_{40}-b_{40}a_{04})4\kappa^2.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Заменим первую скобку в левой части с помощью (22), сократим на $\kappa$, тогда получим соотношение, связывающее только $a_{40}$, $a_{04}$ и $b_{ij}$,
$$
\begin{equation}
a_{04}b_{31}^2-a_{40}b_{13}^2+(b_{04}a_{40}-b_{40}a_{04})8\kappa=0.
\end{equation}
\tag{32}
$$
В дальнейшем, чтобы преобразования оставались симметричными, введем новые переменные $\xi, \eta$, положив
$$
\begin{equation}
a_{40}=\frac{\xi+\eta}{2}, \qquad a_{04}=\frac{\xi-\eta}{2}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Из уравнения (32) имеем связь между $\xi$ и $\eta$
$$
\begin{equation}
\eta=\xi\frac{b_{31}^2-b_{13}^2-(b_{40}-b_{04})8\kappa} {b_{31}^2+b_{13}^2-(b_{40}+b_{04})8\kappa}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Предположим, что в дроби справа отличен от нуля или числитель, или знаменатель. Особый случай, когда оба эти выражения равны нулю, т.е. $b_{31}^2=8\kappa b_{40}$, $b_{13}^2=8\kappa b_{04}$, рассмотрим ниже. Вернемся теперь к уравнениям (29) и (30), умноженным соответственно на $a_{40}$ и $a_{04}$, и возьмем их сумму. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(36a_{40}a_{04}+a_{22}^2)(a_{04}b_{31}^2+a_{04}b_{13}^2) +24a_{40}a_{04}a_{22}b_{31}b_{13} \\ &\qquad =[48a_{40}a_{04}a_{22}-(b_{04}a_{40}+b_{40}a_{04})]4\kappa^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Объединим теперь коэффициенты при $a_{22}$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(36a_{04}a_{04}+a_{22}^2)(a_{04}b_{31}^2+a_{04}b_{13}^2) +24a_{40}a_{04}a_{22}(b_{31}b_{13}-8\kappa^2) \nonumber \\ &\qquad=-(b_{04}a_{40}+b_{40}a_{04})4\kappa^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Используем теперь уравнение (28). С его помощью заменим $a_{40}a_{04}(b_{31}b_{13}-8\kappa^2)$ во втором слагаемом в левой части (36). Тогда в первом слагаемом возникает скобка $(36a_{40}a_{04}-a_{22}^2)$, которую заменим с помощью (22). Получим
$$
\begin{equation}
\frac{\kappa}{2}(a_{04}b_{31}^2+a_{40}b_{13}^2) +a_{22}(\frac{\kappa}{6}b_{31}b_{13}-12\overline\kappa\kappa^2) =-(b_{04}a_{04}+b_{40}a_{04})4\kappa^2 .
\end{equation}
\tag{37}
$$
После сокращения на $\kappa$ перейдем к переменным $\xi$ и $\eta$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &3\xi(b_{31}^2+b_{13}^2+(b_{40}+b_{04})8\kappa) +3\eta(b_{13}^2-b_{31}^2+(b_{04}-b_{40})8\kappa) \nonumber \\ &\qquad +2a_{22}(b_{31}b_{13}-72\overline\kappa\kappa)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Из этого уравнения находим $a_{22}$ через $\xi$ и $\eta$ и затем с помощью (34) только через $\xi$. Введем обозначения $b_{31}b_{13}=\beta$, $b_{31}^2+b_{13}^2=\alpha$. Имеем
$$
\begin{equation}
a_{40}a_{04}=\frac{\xi^2-\eta^2}{4} =\xi^2\frac{\beta^2-8\kappa(b_{31}^2b_{04}+b_{13}^2b_{40})+4b_{40}b_{04}8 \kappa^2}{(\alpha-(b_{04}+b_{40})8\kappa)^2}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Подставив выражения $a_{40}a_{04}$ и $a_{22}^2$ в уравнение (20), получаем окончательное уравнение для $\xi^2$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & 36\xi^2[(\beta-72\overline\kappa\kappa)^2 (\beta^2-8\kappa(b_{31}^2b_{04}+b_{13}^2b_{40})+8^2\kappa^2b_{40}b_{04})- (\beta^2-8^2\kappa^2b_{40}b_{04})^2] \\ &\qquad =\frac{\kappa}{2}(\beta-72\overline\kappa\kappa)^2 (\alpha-(b_{40}+b_{04})8\kappa)^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Решение существует, если знак коэффициента при $\xi^2$ совпадает со знаком $\kappa$. Это свойство должно вытекать из второго достаточного условия в (15). Так как коэффициент имеет довольно сложное строение, то в общем случае рассмотрение затруднительно. Но это свойство действительно вытекает. Для доказательства в следующем параграфе проведем дополнительное построение. Заметим, что уравнения (40) достаточно для нахождения всех коэффициентов $a_{ij}$. § 3. Преобразование полинома $f(x,y)$Выражение коэффициента в левой части (40) упрощается, если некоторые коэффициенты равны нулю. В частности, удобным оказывается случай $\beta=b_{31}b_{13}=0$. Не теряя общности, этого можно добиться сдвигом на плоскости координат $x,y$. Предположим, что $b_{40}^2+b_{04}^2\ne 0$. Например, пусть $b_{40}\ne 0$. Пусть имеем полином от одной переменной Сделаем замену переменной $x=u-\sigma$, где $\sigma=b_{31}/(4b_{40})$. После подстановки получим полином от $u$ с коэффициентами $c_{ij}$, причем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_{40}=b_{40}, \qquad c_{31}=-4\sigma b_{40}+b_{31}=0, \\ c_{22}=6\sigma^2b_{40}-3\sigma b_{31}+b_{22}, \\ c_{13}=-4\sigma^3b_{40}+3\sigma^2b_{31}-2\sigma b_{22}+b_{13}, \\ c_{04}=\sigma^4b_{40}-\sigma^3b_{31}+\sigma^2b_{22}-\sigma b_{13}+b_{04}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &T(c)=4c_{40}c_{04}+\frac{c_{22}^2}{3}- c_{31}c_{13}=4b_{40}b_{04}+\frac{b_{22}^2}{3}-b_{31}b_{13} \\ &\quad +\sigma^4\biggl(4b_{40}^2+\frac{36}{3}b_{40}^2-16b_{40}^2\biggr) -\sigma^3(-4b_{40}b_{31}-12b_{40}b_{31}+4b_{40}b_{31}+12b_{40}b_{31}) \\ &\quad +\sigma^2(\dots)+\sigma(\dots)=T(b). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражения при каждой степени $\sigma$ равны нулю. Проверим инвариантность $L(b)$ при сдвиге $\sigma=b_{31}/(4b_{40})$. Имеем
$$
\begin{equation*}
L(c)=\biggl(\frac{c_{22}}{3}\biggr)^3-\frac{c_{22}}{3} \biggl(4c_{40}c_{04} +\frac{c_{31}c_{13}}{2}\biggr) +\frac{c_{31}^2c_{04}+c_{13}^2c_{40}}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя выражения коэффициентов $c_{ij}$ и условие $c_{31}=0$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L(c)7&=\biggl(-\frac{b_{31}^2}{8b_{40}}+\frac{b_{22}}{3}\biggr)^3 -\biggl(-\frac{b_{31}^2}{8b_{40}}+\frac{b_{22}}{3}\biggr) \biggl[4b_{40}\biggl(-\frac{3b_{31}^4}{4^4b_{40}^3}+ \frac{b_{31}^2b_{22}}{(4b_{40})^2} \\ &\qquad\qquad -\frac{b_{31}b_{13}}{4b_{40}}+b_{04}\biggr)\biggr] +\biggl[\frac{b_{31}^3}{8b_{40}^2}-\frac{b_{31}b_{22}}{2b_{40}} +b_{13}\biggr]^2\frac{b_{40}}{2} \\ &=\frac{b_{31}^6}{b_{40}^3}\biggl[-\frac{1}{8^3} -\frac{3}{4^42}+\frac{1}{8^22}\biggr] +\frac{b_{22}^2b_{31}^2}{b_{40}} \biggl[-\frac{1}{24}-\frac{1}{12}+\frac{1}{8}\biggr] \\ &\qquad+\frac{b_{22}b_{31}^4}{b_{40}^2} \biggl[\frac{1}{8^2}+\frac{1}{4^22}+\frac{1}{4^3}-\frac{1}{16}\biggr] -\frac{b_{22}b_{31}b_{13}}{6} +\biggl(\frac{ b_{22}}{3}\biggr)^3 \\ &\qquad-\frac{b_{22}4b_{40}b_{04}}{3}+ \frac{1}{2}(b_{31}^2b_{04}+b_{13}^2b_{40})=L(b). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что выражения в квадратных скобках равны нулю. Следовательно, $L(c)=L(b)$. Итак, выражения $T(b)$ и $L(b)$ инвариантны относительно сдвига. Нетрудно также установить их инвариантность относительно вращений в плоскости $(x,y)$. Перепишем уравнение (40) с учетом того, что $b_{13}b_{31}=0$.
§ 4. Условия совместностиПусть, например, $b_{31}=0$. Уравнение (40) в этом случае приобретает вид
$$
\begin{equation}
36\xi^2[(72\overline\kappa\kappa)^28\kappa b_{40}(8\kappa b_{04}-b_{13}^2)-(8^2\kappa^2b_{40}b_{04})^2] =\frac{1}{2}\kappa(72\overline\kappa\kappa)^2 (\alpha-(b_{40}+b_{04})8\kappa)^2.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Заметим, что в обеих частях уравнения (41) есть сомножитель $\kappa^3$. После сокращения на этот сомножитель выражение в квадратных скобках слева обозначим через $A$ и перепишем с помощью обозначений $\tau$ и $t$:
$$
\begin{equation}
A=8^3\biggl[b_{40}b_{04}(9(\tau+t)^2-4b_{40}b_{04})2 \biggl(\tau+\frac{t}{2}\biggr)-\frac{9}{4}(\tau+t)^2b_{13}^2b_{40}\biggr].
\end{equation}
\tag{42}
$$
Имеет место равенство т.е. $3(t^2-\tau^2)=4b_{40}b_{04}$. Подставим это выражение в (42). Получим после длинных преобразований
$$
\begin{equation*}
A=8^3(\tau+t)^2\frac{9}{2}[(t-\tau)(2\tau+t)^2-b_{13}^2b_{40}].
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\overline\kappa=\frac{1}{6}(\tau+t)$. В обеих частях уравнения (41) есть сомножитель $(72\overline\kappa)^2$. После сокращения получим уравнение
$$
\begin{equation}
2^73^2\xi^2\biggl[(t-\tau)(2\tau+t)^2-\frac{b_{13}^2b_{40}}{2}\biggr] =(b_{31}^2 +b_{13}^2-(b_{40}+b_{04})8\kappa)^2.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Покажем, что в этом уравнении знак коэффициента при $\xi^2$ определяется вторым выражением в достаточных условиях теоремы 1, т.е. неравенством (15). Перепишем это неравенство для случая $b_{31}=0$ в виде
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{T(b)}3\biggr)^{3/2}-L(b)=t^3-\tau^3+\tau(4b_{40}b_{04}) -\frac{b_{13}^2b_{40}}{2}>0.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Подставим $4b_{40}b_{04}=3(t^2-\tau^2)$. Тогда получим в правой части неравенства (44)
$$
\begin{equation}
(t-\tau)[t^2+t\tau+\tau^2+3\tau(t+\tau)]-\frac{b_{13}^2b_{40}}{2} =(t-\tau)(t+2\tau)^2-\frac{b_{13}^2b_{40}}{2}.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Это выражение в точности совпадает с выражением в квадратных скобках в (43). По условию теоремы 1 оно положительно. Поэтому уравнение (43) разрешимо относительно $\xi$. Получив решение для упрощенного полинома, мы можем преобразовать решение обратным преобразованием, так что получим решение для первоначального полинома. Но мы нашли уравнение для $\xi^2$ для общего полинома без упрощения, с помощью которого можно найти последовательно коэффициенты искомого полинома $z(x,y)$ при выполнении условий (15). Переход к более простому полиному используется только для доказательства разрешимости уравнения (40). Поэтому при нахождении искомого решения сдвиг производить не надо.
§ 5. Особые случаиОсобых случаев несколько. Покажем, что в каждом случае либо решение существует, либо условия (15) не выполняются. 1. Рассмотрим случай $\kappa=0$. Тогда $t=-2b_{22}/3$. Будем предполагать $b_{13}^2+b_{13}^2\ne 0$. Вспоминая обозначение, получим Из равенства (22) следует $36a_{40}a_{04}=a_{22}^2$. Поэтому $a_{40}$ и $a_{04}$ одного знака. Пусть эти коэффициенты положительные и $a_{22}=6\sqrt{a_{40}a_{04}}$. Из уравнений (9) и (11) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 72\sqrt{a_{40}}(\sqrt{a_{40}}a_{13}-\sqrt{a_{04}}a_{31})=b_{31}, \\ 72\sqrt{a_{04}}(\sqrt{a_{04}}a_{31}-\sqrt{a_{40}}a_{13})=b_{13}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Имеем выражения
$$
\begin{equation}
a_{40}=-\frac{a_{22}b_{31}}{6b_{13}}, \qquad a_{04}=-\frac{a_{22}b_{13}}{6b_{31}}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Уравнения (8) и (12) запишем так:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{31}^2=-\frac{b_{40}}{9}+\frac{8}{3}a_{40}a_{22}, \\ a_{04}=-\frac{b_{04}}{9}+\frac{8}{3}a_{04}a_{22}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (24), получим выражение $(a_{31}a_{13})^2$ через $a_{22}$ и $b_{ij}$. Кроме того, из (10) получим С помощью (46)–(48) получим окончательное уравнение
$$
\begin{equation}
16a_{22}^2\bigl[b_{22}b_{31}b_{13}-(b_{31}^2b_{04}+b_{13}^2b_{40})\bigr] =(b_{31}b_{13})^2.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Заметим, что при получении этого уравнения член с $a_{22}^4$ сокращается. Выражение в квадратных скобках обозначим через $F$. Положительность его следует из условия (15). Действительно, второе условие (15) запишем, учитывая (4), в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &t^3-\tau^3+\tau\biggl(4b_{40}b_{04}+\frac{b_{31}b_{13}}{2}\biggr) -\frac{b_{31}^2b_{04}+b_{13}^2b_{40}}{2} \\ &\qquad =-8\tau^3 - \tau^3+\tau\biggl(9\frac{b_{22}^2}{9}+b_{31}b_{13}+\frac{b_{31}b_{13}}{2}\biggr) - \frac{b_{31}^2b_{04}+b_{13}^2b_{40}}{2}=\frac{1}{2}F>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому уравнение (49) имеет решение. Используя (46), (47) и (49), получим выражения $a_{31}$ и $a_{13} $ в явном виде
$$
\begin{equation*}
a_{31}=\pm\frac{b_{31}b_{22}-2b_{13}b_{40}}{6\sqrt F}, \qquad a_{13}=\pm\frac{b_{13}b_{22}-2b_{31}b_{04}}{6\sqrt F}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Случай $b_{40}=b_{04}=b_{22}=0$. Если коэффициенты $b_{31}$ и $b_{13}$ одного знака, то решения не существует. Действительно, в этом случае $T(b)=-b_{31}b_{13}<0$. Но если полином $b$ является образом действия оператора Монжа–Ампера на некоторый полином $a$, то $T(b)>0$. Решение существует, если коэффициенты $b_{31}$ и $b_{13}$ в рассматриваемом случае разных знаков. Покажем это. Из уравнений (8) и (12) находим
$$
\begin{equation*}
a_{31}=\pm\sqrt{\frac{8}{3}a_{40}a_{22}}, \qquad a_{13}=\pm\sqrt{\frac{8}{3}a_{04}a_{22}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $a_{31}a_{13}=\pm\frac{8}{3}\sqrt{a_{40}a_{04}}a_{22}$. Возьмем, например, здесь знак минус. Подставим это выражение в (10). Тогда получим
$$
\begin{equation*}
a_{22}^2+4\sqrt{a_{40}a_{04}}a_{22}- 12a_{40}a_{04}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Находим два значения
$$
\begin{equation*}
(a_{22})_1= 2\sqrt{a_{40}a_{04}}, \qquad (a_{22})_2=-6\sqrt{a_{40}a_{04}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно рассмотреть первый корень. Используя связь $T(a)$ и $T(b)$ в (20), находим
$$
\begin{equation*}
(a_{40}a_{04})_1=\frac{t}{128}, \qquad (a_{22})_1=\frac{\sqrt t}{4\sqrt 2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя (9) и (11), находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (a_{40})_1=\frac{b_{31}^2}{24t^{3/2}},\qquad (a_{04})_1=\frac{b_{13}^2}{24t^{3/2}},\qquad (a_{22})_1=\frac{\sqrt t}{4\sqrt 2}, \\ a_{31}=\frac{b_{31}}{3\sqrt{8t}}, \qquad a_{13}=\frac{b_{13}}{3\sqrt{8t}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Например, если
$$
\begin{equation*}
z=\frac{1}{8\sqrt2}\, x^4+\frac{1}{\sqrt{24}}\, x^3y+\frac{1}{4\sqrt 2}\, x^2y^2 -\frac{1}{\sqrt{24}}\, xy^3+\frac{1}{8\sqrt2}\, y^4,
\end{equation*}
\notag
$$
то результат действия оператора Монжа–Ампера В этом случае $t=1$, $b_{31}=-\sqrt3$, $b_{13}=\sqrt3$. Аналогично рассматривается случай $b_{22}\ne 0$. 3. Рассмотрим теперь случай $b_{31}^2=8\kappa b_{40}$, $b_{13}^2=8\kappa b_{04}$. В этом случае связь между $\xi$ и $\eta$ пропадает. Но второе достаточное условие не выполняется. Действительно, рассмотрим коэффициент при $\xi^2$ в формуле (40). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta^2-8\kappa(b_{31}^2b_{04}+b_{13}^2b_{40}) +8^2\kappa^2b_{40}b_{04}=(b_{31}^2-8\kappa b_{40})(b_{13}^2-8\kappa b_{04})=0, \\ \beta^2-8^2\kappa^2b_{40}^2b_{04}^2=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому коэффициент при $\xi^2$ в уравнении (40) равен нулю. С другой стороны, получено выражение этого коэффициента в виде (44), т.е. в этом случае что противоречит условию положительности выражения слева.
§ 6. О существовании решения уравнения Монжа–Ампера с полным полиномом $f(x,y)$Оказывается, что достаточные условия разрешимости (15), которые были использованы в предыдущих параграфах при рассмотрении однородного полинома 4-й степени, являются достаточными для разрешимости и для общего полинома $f(x,y)$, включающего полиномы 3-й, 2-й, $\dots$ степеней и имеющего всего 15 коэффициентов. Но, как указано в формулировке теоремы 1, получается разрешимость с точностью до линейных членов полинома $f(x,y)$. В нашей работе [5] выписана система уравнений (0), (I), $\dots$, (IV), выражающая коэффициенты $b_{ij}$ через $a_{ij}$. Пусть коэффициенты $a_{40}$, $a_{31}$, $a_{22}$, $a_{13}$, $a_{04}$ четвертой степени уже известны. Запишем подсистему уравнений (III) для коэффициентов третьей степени $a_{30}$, $a_{21}$, $a_{12}$, $a_{03}$
$$
\begin{equation}
Ba=b, \qquad a=\begin{pmatrix} a_{30}\\ a_{21}\\ a_{12}\\ a_{03} \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix} b_{30}\\ b_{21}\\ b_{12}\\ b_{03} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{III}
$$
Определитель матрицы $B$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, | B| &=\begin{vmatrix} 12a_{22}&-12a_{31}&24a_{40}&0\\ 36a_{13}&-12a_{22}&0&72a_{40}\\ 72a_{04}&0&-12a_{22}&36a_{31}\\ 0&24a_{04}&-12a_{13}&12a_{22} \end{vmatrix}=12^4\begin{vmatrix} a_{22}&-a_{31}&2a_{40}&0\\ 3a_{13}&-a_{22}&0&6a_{40}\\ 6a_{04}&0&-a_{22}&3a_{31}\\ 0&2a_{04}&-a_{13}&a_{22} \end{vmatrix} \\ &=12^49\biggl(4a_{40}a_{04}+\frac{a_{22}^2}{3}-a_{31}a_{13}\biggr)^2 =12^23T(b)>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, система уравнений для $a_{30},\dots,a_{03}$ имеет решение. Рассмотрим теперь систему уравнений для определения коэффициентов второй степени $a_{20}$, $a_{11}$, $a_{02}$. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_1=b_{20}-4(3a_{30}a_{12}-a_{21}^2), \\ t_2=b_{11}-4(9a_{30}a_{03}-a_{21}a_{12}), \\ t_3=b_{02}-4(3a_{21}a_{03}-a_{12}^2). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда система уравнений (II) для определения $a_{20}$, $a_{11}$, $a_{02}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
C\begin{pmatrix} a_{20}\\ a_{11}\\ a_{02} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t_1\\ t_2\\ t_3 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{II}
$$
Определитель матрицы $C$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
| C|=\begin{vmatrix} 4a_{22}&-6a_{31}&24a_{40} \\ 12a_{13}&-8a_{22}&12a_{31} \\ 24a_{04}&-6a_{13}&4a_{22} \end{vmatrix} =-2^53\begin{vmatrix} \dfrac{a_{22}}{3}&\dfrac{a_{31}}{2}&2a_{40} \\ \dfrac{a_{13}}{2}&\dfrac{a_{22}}{3}&\dfrac{a_{31}}{2} \\ 2a_{04}&\dfrac{a_{13}}{2}&\dfrac{a_{22}}{3} \end{vmatrix}=-2^53L(a)\ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство написано как следствие условия (15). Напомним равенство $(T(b)/3)^{3/2}-L(b)=2^73^6L(a)^2>0$. Таким образом, система (II) имеет решение. Теорема 1 доказана.
§ 7. Сильный изгиб тонкой пластинкиРассмотрим применение полученных результатов в теории упругости. В книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица “Теория упругости” [4] (со ссылкой на Föppl, 1907 г.) дан вывод полной системы уравнений сильного изгиба тонких пластинок, формулы (14.6) и (14.7)
$$
\begin{equation}
D\Delta^2\xi-h\biggl(\frac{\partial^2\chi}{\partial y^2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}-2\frac{\partial^2\chi}{\partial x\,\partial y}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial x\,\partial y}+\frac{\partial^2\chi}{\partial x^2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial y^2}\biggr)=P,
\end{equation}
\tag{50}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta^2\chi+E\biggl[\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial y^2} -\biggl(\frac{\partial^2\xi}{\partial x\,\partial y}\biggr)^2\biggr]=0.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Здесь $\chi$ – функция напряжений – функция Эри, $\xi$ – прогиб пластинки, $P$ – объемная нагрузка, приходящаяся на единицу площади пластины, $D$, $h$ и $E$ – некоторые положительные постоянные, $\Delta^2$ – бигармонический оператор
$$
\begin{equation*}
\Delta^2=\frac{\partial^4}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4}{\partial x^2\,\partial y^2}+\frac{\partial^4}{\partial y^4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Авторы пишут: “Эти уравнения весьма сложны и не могут быть решены точно даже в простых случаях. Обращаем внимание на то, что они нелинейны”. Рассмотрим эти уравнения в области полиномиальных функций. 1. Пусть функция напряжений $\chi$ – полином 4-й степени Значение бигармонического оператора на $\chi$ есть постоянная Если эта постоянная отрицательна $c=-a^2$, то из уравнения (51) следует
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial y^2}-\biggl(\frac{\partial^2\xi}{\partial x\,\partial y}\biggr)^2=\frac{a^2}{E}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если система уравнений (50)–(51) рассматривается на всей плоскости, то по теореме К. Йоргенса $\xi$ – квадратичный полином. Пусть коэффициенты этого полинома $a_{ij}$. Рассмотрим уравнение (50). Значение бигармонического полинома от $\xi$ равно нулю, вторые производные этой функции – постоянные числа. Поэтому выражение в левой части этого уравнения является полиномом второй степени. Уравнение (51) приобретает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &2(12c_{40}a_{02}-3c_{31}a_{11}+2c_{22}a_{20})x^2 +2(6c_{30}a_{02}-2c_{21}a_{11}+2c_{12}a_{20})x \\ \notag &\qquad +2(6c_{31}a_{02}-4c_{22}a_{11}+6c_{13}a_{20})xy +2(2c_{21}a_{02}-2c_{12}a_{11}+6c_{03}a_{20})y \\ &\qquad +2(2c_{22}a_{02}-3c_{13}a_{11}+12c_{04}a_{20})y^2 +2(2c_{20}a_{02}-c_{11}a_{11}+2c_{02}a_{20})= -\frac Ph. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
Рассмотрим вопрос: в каком случае выражение в левой части является постоянным числом, что соответствует естественному случаю постоянной внешней нагрузки $P$? Но это лишь частный случай внешней нагрузки. Возможны случаи, когда нагрузка меняется вдоль пластины. Заметим, что несогласованность между внешней нагрузкой, внутренними напряжениями и прогибом пластины может приводить к разрывам пластинки, к особым точкам или к потере регулярности поверхности. В рассматриваемом случае все коэффициенты при степенях $x$ и $y$ равны нулю. Запишем определитель системы уравнений, получаемой обращением в нуль коэффициентов при вторых степенях $x$, $ y$, считая коэффициенты $a_{ij}$ искомыми,
$$
\begin{equation}
\begin{vmatrix} 12c_{40}&-3c_{31}&2c_{22} \\ 6c_{31}&-4c_{22}&6c_{13} \\ 2c_{22}&-3c_{13}&12c_{04} \end{vmatrix}=4^23^3L(c),
\end{equation}
\tag{54}
$$
Ненулевое решение $a_{02}$, $a_{11}$, $a_{20}$ существует только в том случае, когда $L(c)=0$. Кроме того, имеем систему еще двух уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag 6c_{30}a_{02}-2c_{21}a_{11}+2c_{12}a_{20}=0, \\ 2c_{21}a_{02}-2c_{12}a_{11}+6c_{03}a_{20}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{55}
$$
Таким образом, для того чтобы внешняя нагрузка была постоянным числом по всем точкам пластины, необходимо и достаточно, чтобы пять векторов, составленных из коэффициентов $c_{ij}$, лежали в одной плоскости. Вектор $\mathbf a=(a_{02},a_{11},a_{20})$ должен быть ортогонален этой плоскости. Выполнение уравнения (51) можно добиться за счет выбора длины вектора $\mathbf a$. Заметим, что последнее слагаемое в левой части (53) – постоянное число, равное $-{P}/{h}$. Поэтому возможны решения системы (50)–(51), в которой $\chi$ – полином 4-й степени, $\xi$ – квадратичный полином и $P$ – постоянное число. 2. Рассмотрим случай, когда в уравнении (51) постоянная $c=a^2$. Например, пусть $a^2=E$. Тогда имеем уравнение В этом случае решение уравнения (56) на всей плоскости $x$, $y$ может не быть квадратичным полиномом. Пример такого решения дан в работе Б. Е. Кантора:
$$
\begin{equation*}
z(x,y)=xy+x\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+e^{-2y}}\bigr)-\sqrt{x^2+e^{-2y}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот пример построен в связи с теоремой Н. В. Ефимова (см. [6]) о том, что нормальный образ полной поверхности отрицательной кривизны с отрицательным якобианом нормального отображения, отделенным от нуля, должен покрывать всю плоскость, полуплоскость или полосу между параллельными прямыми. В примере Кантора нормальный образ покрывает полуплоскость, см. [7]. В теореме Ефимова рассматриваются отображения всей плоскости $(x,y)$ на плоскость $(p,q)$ или подобласть при условии, что якобиан отображения отрицательный и его модуль больше некоторой постоянной плюс модуль ротации, умноженный на некоторое положительное число. Вопрос о возможности такого отображения всей плоскости на полосу при условиях Ефимова остается открытым. Интересные результаты получены в [7] и [8]. Заметим, что общее решение уравнения (56) дано Э. Гурса в книге [9]. Простой пример $z$ решения уравнения $rt-s^2=-1$ предложен в статье [1]: 3. Если $\chi$ – полином 8-й степени, то $\Delta^2\chi$ – полином 4-й степени. Нетрудно выписать коэффициенты $d_{ij}$ этого полинома в терминах коэффициентов $c_{ij}$ 8-й степени:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_{40}=\lambda_1c_{80}+\lambda_2c_{62}+\lambda_3c_{44}, \\ d_{31}=\mu_1c_{71}+\mu_2c_{53}+\mu_3c_{35}, \\ d_{22}=\nu_1c_{62}+\nu_2c_{44}+\nu_1c_{26}, \\ d_{13}=\mu_3c_{53}+\mu_2c_{35}+\mu_1c_{17}, \\ d_{04}=\lambda_3c_{44}+\lambda_2c_{26}+\lambda_1c_{08}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_1=\frac{8!}{4!}, \qquad \lambda_2=\frac{6!}{3!}, \qquad \lambda_3=4!, \\ \mu_1=\frac{7!}{3!}, \qquad \mu_2=5!2, \qquad \mu_3=\frac{5!}{2}, \\ \qquad \nu_1=\frac{6!}{2}, \qquad \nu_2=4^23^22. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью этих выражений можем записать инварианты $T(d)$ и $L(d)$. В этом случае в уравнении (51) можно положить, что искомая функция $\xi$ является полиномом 4-й степени. Решение существует, если выполняются достаточные условия (15), записанные в терминах $c_{ij}$. В уравнении (50) $\Delta^2\xi$ – постоянное число, а второе слагаемое в левой части в общем случае является полиномом 8-й степени. Поэтому внешняя нагрузка $ P$ в рассматриваемом случае должна иметь вид полинома 8-й степени. Для полноты картины заметим: если $c=0$, то гессиан функции прогиба равен нулю, а ее график является развертывающейся поверхностью. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ami23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|