| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Гомологии транзитивных орграфов и дискретных пространств Ю. В. Мурановa, Р. Хименесb a University of Warmia and Mazury in Olsztyn, Olsztyn, Poland b Institute of Mathematics, National Autonomous University of Mexico, Oaxaca, Mexico
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9842e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ последнее время стала актуальной задача переноса результатов дифференциальной геометрии и топологии на дискретные объекты и, в частности, на категорию орграфов. Это связано с задачами некоммутативной геометрии и развитием дискретных методов в задачах математической физики, см. [1]–[3]. Одним из основных инструментов исследования является теория дифференциальных форм на алгебре функций, заданных на дискретных множествах. Соответствующая теория когомологий на категории орграфов была построена в работе [4]. Когомологии орграфов тесно связаны с когомологиями симплициальных комплексов и когомологиями Хохшильда, см. [5]–[7]. В работе [5] построен функтор, сопоставляющий локально конечному симплексу $S$ ассоциативную алгебру $A(S)$ с единицей, и доказано, что этот функтор индуцирует сохраняющий умножение изоморфизм между симплициальными когомологиями $S$ и когомологиями Хохшильда алгебры $A(S)$. Использование когомологий орграфов дает, в частности, новое доказательство изоморфизма между когомологиями симплициального комплекса $S$ и когомологиями Хохшильда алгебры $A(S)$, см. [7]. В дальнейшем (см. [8], [9]) была построена теория гомологий путей на произвольных дискретных множествах, которая на категории орграфов является двойственной теории когомологий, построенной в работе [4]. Гомологии путей обладают многими свойствами, аналогичными классическим теориям гомологий, включая функториальность и гомотопическую инвариантность (см. [10], [11]), однако эта теория не имеет аналогов в классической алгебраической топологии. На категории орграфов определена также гомотопически инвариантная и функториальная теория сингулярных кубических гомологий, которая аналогична сингулярной кубической теории гомологий топологических пространств (см. [12]). Сингулярные кубические гомологии строятся на основе орграфов-кубов, являющихся аналогом топологических кубов. На категории орграфов сингулярные кубические гомологии в общем случае не изоморфны гомологиям путей. Пример такого орграфа и вычисление его гомологий даны в [12; предложения 12, 13]. Несмотря на то, что гомологии путей не имеют прямых аналогов в непрерывной алгебраической топологии, они тесно связаны с гомологиями Александрова дискретных топологических пространств, см. [13], [14]. Дискретные топологические пространства, определенные П. Александровым в работе [14], имеют естественную структуру частично упорядоченного множества на множестве своих элементов, см. [15; § 4.2, § 6.2]. Поскольку частично упорядоченные множества естественно отождествляются с транзитивными орграфами, см. [16], [17], мы получаем эквивалентность между дискретными топологическими пространствами и транзитивными орграфами. В силу этой эквивалентности теория гомологий Александрова дискретных топологических пространств переносится на транзитивные орграфы. Более того, как показано в работе [13], на категории транзитивных орграфов гомологии путей совпадают с гомологиями Александрова. Отметим также, что гомологии Александрова дискретного пространства $X$ реализуются как симплициальные гомологии функториально определяемого пространством $X$ симплициального комплекса (см. [18]). В дальнейшем алгебраическая топология на дискретных пространствах развивалась в работах многих авторов (см., например, [19]–[21]). В настоящей работе доказано, что сингулярные кубические гомологии на категории транзитивных орграфов совпадают с гомологиями путей (и, следовательно, с гомологиями Александрова). В работе также построены новые теории сингулярных кубических гомологий на категории орграфов и на категории дискретных пространств следующим образом. Каждый орграф-куб можно однозначно дополнить до транзитивного орграфа, имеющего натуральную кубическую структуру. Таким образом, мы получаем новую сингулярную теорию гомологий орграфов на базе таких транзитивных орграфов-кубов. Из определения пополненного куба следует, что полученные сингулярные гомологии на транзитивных орграфах совпадают с определенными ранее сингулярными гомологиями. Однако в общем случае эти сингулярные группы гомологий различны, как следует из приведенного в работе примера. Используя эквивалентность между транзитивными орграфами и дискретными топологическими пространствами, мы получаем определение дискретного топологического пространства, представляющего $n$-мерный куб в категории дискретных топологических пространств. Отсюда следует естественное определение сингулярных кубических гомологий в категории дискретных топологических пространств на базе кубов, являющихся дискретными пространствами. Мы используем обозначения работы [12]. Необходимые сведения о симплициальных комплексах и их гомологиях можно найти в работах [22]–[24]. § 2. Дискретные пространства, частично упорядоченные множества и орграфыВ этом параграфе мы напомним основные определения, используемые в работе (см. [14]–[17]). Определение 1. Дискретным топологическим пространством называется топологическое пространство с аксиомой отделимости $T_0$, т.е. для любых двух различных точек $x, y\in X$ по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку, в котором пересечение любого числа открытых множеств открыто. Определение 2. Множество $X$ называется частично упорядоченным, если на множестве его элементов задано отношение порядка $x< y$, которое транзитивно ($x<y$ и $y<z$ влечет $x< z$), асимметрично (отношения $x<y$ и $y<x$ несовместимы) и антирефлексивно (отношение $x<x$ несовместимо). Частично упорядоченное множество является локально конечным, если для каждого элемента $x\in X$ число элементов каждого из множеств $\{y\in X\mid x<y\}$ и $\{y\in X\mid y<x\}$ конечно. Напомним, как устанавливается эквивалентность между дискретными пространствами и частично упорядоченными множествами (см. [14; § 3.2]). Для двух разных точек $x,y$ дискретного пространства $X$ положим $x<y$ тогда и только тогда, когда точка $x$ лежит в замыкании множества, состоящего из точки $y$. Обратно, частично упорядоченное множество $X$ задает дискретное пространство следующим образом. Для любой точки $y\in X$ определим замыкание $\overline{\{y\}}$ множества $\{y\}$, полагая
$$
\begin{equation*}
\overline{\{y\}}=\{x\in X\mid x=y\ \text{или}\ x< y\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замыкание произвольного непустого подмножества $M\subset X$ определяется как объединение замыканий всех его точек, а замыкание пустого множества является пустым множеством. Отметим, что из определения 1 следует, что в дискретном топологическом пространстве объединение любого числа замкнутых множеств является замкнутым. В настоящей работе мы рассматриваем только локально конечные частично упорядоченные множества и соответствующие им локально конечные дискретные пространства. Определение 3. Орграф $G=(V_{G},E_{G})$ задается множеством $V_G$, элементы которого называются вершинами, и некоторым подмножеством $E_{G}{\kern1pt}{\subset}{\kern1pt}\{V_{G}\,{\times}\, V_{G}\}$ упорядоченных пар $(x,y)=x\to y$ различных вершин, которые называются ориентированными ребрами Орграф $G=(V_G,E_G)$ называется транзитивным, если из условия $((x\to y)\in E_G)\,\&\, ((y\to z)\in E_G)$ следует, что $(x\to z)\in E_G$. Орграф называется локально конечным, если для каждой вершины $x\in V_G$ число элементов каждого из множеств $\{y\in V_G\mid (x\to y)\in E_G\}$ и $\{y\in V_G\mid (y\to x)\in E_G\}$ конечно. Каждое частично упорядоченное множество $(X, <)$ можно рассматривать как транзитивный орграф $G=(V_G, E_G)$, в котором множество вершин $V_G$ совпадает с множеством $X$ и $(x\to y)\in E_G$, если $x<y$. Обратно, каждый транзитивный орграф $G=(V_G, E_G)$ можно рассматривать как частично упорядоченное множество $(V_G, <)$, где $x<y$, если $(x\to y)\in E_G$. Это соответствие и определенная выше эквивалентность между дискретными пространствами и частично упорядоченными множествами (см. [14; § 3.2]) задает эквивалентность между локально конечными дискретными пространствами и локально конечными транзитивными орграфами. В настоящей работе мы будем использовать терминологию орграфов во всех случаях, где переход к дискретным пространствам или частично упорядоченным множествам следует непосредственно из результатов этого параграфа. § 3. Сингулярные гомологии и гомологии путей орграфовВ этом параграфе мы напомним определение сингулярных кубических гомологий и гомологий путей орграфов (см. [8]–[12]). Определение 4. Для двух орграфов $G$, $H$ их прямое произведение $\Pi =G\,\Box\, H$ является орграфом с множеством вершин $V_{\Pi}=V_{G}\times V_{H}$ и множеством ориентированных ребер, заданных условием $[(x,y)\to (x',y') ] \in E_{\Pi}$ тогда и только тогда, когда $x=x'$ и $y\to y'$ или $x\to x'$ и $y=y'$. Обозначим через $I^0$ орграф, состоящий из одной вершины 0. Рассмотрим орграф $I=(0\to 1)$ и для $n\geqslant 1$ определим $n$-мерный графический куб $I^n =\underbrace{I\Box \dots \Box I}_{n}$. Отметим, что для $n\geqslant 1$ каждая вершина куба $I^n$ задается последовательностью длины $n$, состоящей из нулей и единиц. Ориентированное ребро $a\to b$ в таком кубе существует только в случае, когда вершина $b$ получается из вершины $a$ заменой “0” на “1” ровно в одной позиции. Для произвольного орграфа $G$ на основе кубов $I^n$ в работе [12] определены сингулярные кубические группы гомологий $H_*^{\mathrm{c}}(G,R)$ с коэффициентами в унитарном кольце $R$. Напомним определение отображения в категории орграфов. Определение 5. Пусть $G$ и $H$ – два орграфа. Отображение орграфов $f\colon G\to H$ задается отображением вершин $f\colon V_{G}\to V_{H}$, для которого условие $(v\to w)\in E_G$ влечет, что $f(v)=f(w)$ либо $(f(v)\to f(w))\in E_H$. Для $n\geqslant 0$ сингулярным $n$-мерным кубом в орграфе $G$ называется произвольное отображение $\phi\colon I^n\to G$. Определим следующие $R$-модули. Положим $Q_{-1}=0$ и для $n\geqslant 0$ $Q_n=Q_n(G)$ – свободный $R$-модуль с образующими, заданными сингулярными $n$-мерными кубами в орграфе $G$. Для сингулярного $n$-куба $\phi$ обозначим через $\phi^{\Box}$ задаваемую им образующую модуля $Q_n$. Зададим вложения $F_{1\varepsilon}^{0}(0)\colon I^0\to I^1$ на вершинах формулой $F_{1\varepsilon}^{0}(0)=( \varepsilon )$. Для $n\geqslant 2$, $1\leqslant j\leqslant n$ и $\varepsilon =0,1$ зададим вложения $F_{j\varepsilon}^{n-1}\colon I^{n-1}\to I^{n}$ формулой
$$
\begin{equation}
F_{j\varepsilon}^{n-1}(c_{1},\dots ,c_{n-1})=(c_{1},\dots ,c_{j-1},\varepsilon ,c_{j},\dots ,c_{n-1}).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
В дальнейшем мы пишем $F_{j\varepsilon}$ вместо $F_{j\varepsilon }^{n-1}$, если размерность ясна из контекста. Обозначим через $I_{j\varepsilon}=I_{j\varepsilon}^{n-1}$ $(n-1)$-мерную грань, являющуюся образом морфизма $F_{j\varepsilon}^{n-1}$. Для любого сингулярного $n$-куба $\phi\colon I^n\to G$, $n\geqslant 1$, $1\leqslant j\leqslant n$, определены сингулярные кубы $\phi_{j\varepsilon}$, $1\leqslant j\leqslant n$, $\varepsilon =0,1$, размерности $n-1$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\phi_{j\varepsilon}=\phi_{j\varepsilon}^{n-1}=( \phi \circ F_{j\varepsilon})\colon I^{n-1}\to G.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть $\partial^{\mathrm{c}}=0\colon Q_0\to Q_{-1}$. Для $n\geqslant 1$ гомоморфизм $\partial^{\mathrm{c}}\colon Q_{n}\to Q_{n-1}$ определим на базисных элементах $\phi^{\Box}$ равенством
$$
\begin{equation}
\partial^{\mathrm{c}}(\phi^{\Box})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}( \phi_{j0}^{\Box }-\phi_{j1}^{\Box}).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Пусть $T^j\colon I^n\to I^{n-1}$, $n\geqslant 1$, $1\leqslant j \leqslant n$, обозначает стандартную проекцию на $j$-ю грань. Сингулярный $n$-куб $\phi\colon I^n\to G$, $n\geqslant 1$, называется вырожденным, если существуют $(n-1)$-мерный сингулярный куб $\psi\colon I^{n-1}\to G$ и проекция $T^j\colon I^n\to I^{n-1}$ такие, что $\phi=\psi \circ T^j$. Мы получаем подкомплекс $B_*(G)\subset Q_*(G)$, порожденный вырожденными сингулярными кубами, и фактор комплекс $\Omega_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)= Q_{\ast}(G)/B_{\ast}(G)$. Группа гомологий $H_{k}(\Omega_{\ast}^{\mathrm{c}}(G))$ называется сингулярной кубической группой гомологий размерности $k$ орграфа $G$ и обозначается $H_{k}^{\mathrm{c}}(G)= H_{k}^{\mathrm{c}}(G,R) $. Добавлением ориентированных ребер орграф $I^n$ может быть дополнен до транзитивного кубического орграфа, который мы обозначим $\widehat I^n$. Вложение орграфов $F_{j\varepsilon}^{n-1}\colon I^{n-1}\to I^{n}$, определенное для $1\leqslant j\leqslant n$ и $\varepsilon =0,1$, продолжается до вложения
$$
\begin{equation*}
\widehat F_{j\varepsilon}^{n-1}\colon \widehat I^{n-1}\to \widehat I^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для орграфа $G$ и $n\geqslant 0$ обозначим через $\widehat Q_{n}=\widehat Q_{n}(G)$ свободный $R$-модуль, порожденный всеми морфизмами $\widehat I^n\to G$, которые мы будем называть сингулярными транзитивными $n$-кубами. Пусть $\widehat{\phi}^{\,\Box}$ – образующая модуля $\widehat Q_{n}$, заданная морфизмом $\widehat{\phi}$. Положим $\widehat Q_{-1}=0$. Гомоморфизм $\widehat {\partial}^{\mathrm{c}}\colon \widehat Q_{n}\to \widehat Q_{n-1}$ определяется на базисных элементах $\widehat{\phi}^{\,\Box}$ модуля $\widehat Q_n$ с использованием вложения граней $\widehat F_{j\varepsilon}$ стандартным образом, см. [23]. Таким образом, определен цепной комплекс $\widehat Q_{\ast}(G)$. Для $n\geqslant 1$ проекция $T^j\colon I^n\to I^{n-1}$ на $j$-ю грань продолжается до отображения $\widehat T^j\colon \widehat I^n\to \widehat I^{n-1}$. Теперь понятие вырожденного транзитивного $n$-куба определяется аналогично работе [23], и мы получаем подкомплекс $\widehat B_*(G)\subset \widehat Q_*(G)$, порожденный вырожденными транзитивными кубами, и фактор комплекс $\widehat{\Omega}_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)=\widehat Q_{\ast }(G)/\widehat B_{\ast}(G)$. Группа гомологий $H_{k}(\widehat{\Omega}_{\ast}^{\mathrm{c}}(G))$ называется сингулярной транзитивной кубической группой гомологий размерности $k$ орграфа $G$ и обозначается $\widehat H_{k}^{\mathrm{c}}(G)=\widehat H_{k}^{\mathrm{c}}(G,R) $. Предложение 1. Пусть $G$ – транзитивный орграф. Тогда группы гомологий $\widehat H_{*}^{\mathrm{c}}(G)$ и $H_{*}^{\mathrm{c}}(G)$ естественно изоморфны для любого кольца коэффициентов. Доказательство. Операции проекции на грань и вложения грани согласованы для транзитивного куба $\widehat I^n$ и его подграфа $I^n$. Для произвольного транзитивного орграфа $G$ имеет место взаимно однозначное соответствие между сингулярными кубами $\varphi\colon I^n\to G$ и транзитивными сингулярными кубами. Это соответствие естественно по отношению к морфизмам транзитивных орграфов. Предложение доказано. В следующем примере мы используем понятие гомотопии в категории орграфов, см. [10], [11]. Для $n\geqslant 0$ определим линейный орграф $I_{n}=(V_{I_n}, G_{I_n})$ следующим образом. Положим $V_{I_n}=\{0,1,\dots ,n\}$, и пусть для каждого $i=0,1,\dots n-1$ существует ровно одно ориентированное ребро $i\to i+1$ или $i+1\to i$. Тогда, в частности, $I$ – линейный орграф $0\to 1$. Два отображения орграфов $f,g\colon G\to H$ называются гомотопными, если существуют линейный орграф $I_{n}$ и такое отображение $F\colon G\,{\Box}\, I_{n}\to H$, что $F|_{G\Box \{0\}}=f$ и $F|_{G\Box \{n\}}=g$, где $G\,{\Box}\, \{ i\} $ отождествляется с $G$. В этом случае мы пишем $f\simeq g$, а отображение $F$ называется гомотопией между $f$ и $ g $. Орграф называется стягиваемым, если он гомотопически эквивалентен орграфу, состоящему из одной вершины. Приведем пример орграфа $G$, для которого группы гомологий $\widehat{H}^{\mathrm{c}}_*(G)$ и ${H}^{\mathrm{c}}_*(G)$ различны. Примеры 1. Пусть $R=\mathbb Z$. Рассмотрим орграф $G\cong I^2$, имеющий вид В этом случае согласно [10; пример 3.12] орграф $G$ стягиваем и ${H}^{\mathrm{c}}_0(G)=\mathbb Z$, а остальные группы гомологий ${H}^{\mathrm{c}}_i(G)$ тривиальны. Вычислим группу $\widehat{H}^{\mathrm{c}}_1(G)$. Пусть $\psi_i$, $i=0,1,2,3$, обозначает сингулярный невырожденный нульмерный куб $\psi_i(0)=i\in V_G$, $0\in V_{\widehat{I}^0}$. Тогда Существуют только четыре невырожденных отображения $\phi_1$, $\phi_2$, $\phi_3$, $\phi_4$ орграфа $\widehat{I}^1=I^1=(0\to 1)$ в орграф $G$. Они задаются на множестве вершин следующим образом: $\phi_1(0)=0$, $\phi_1(1)=1$; $\phi_2(0)=0$, $\phi_2(1)=2$; $\phi_3(0)=1$, $\phi_3(1)=3$; $\phi_4(0)=2$, $\phi_4(1)=3$. Следовательно, $\widehat{\Omega}^{\mathrm{c}}_1(G)=\langle \phi_1^{\Box}, \phi_2^{\Box},\phi_3^{\Box},\phi_4^{\Box}\rangle$. Пусть $a=\phi_1^{\Box}-\phi_2^{\Box}+ \phi_3^{\Box}-\phi_4^{\Box}$. Мы получаем Легко убедиться, что ядро $\operatorname{Ker}[ \partial^1 \colon \widehat{\Omega}^{\mathrm{c}}_1(G)\to \widehat{\Omega}^{\mathrm{c}}_0(G)]$ порождено элементом $a$, т.е. $\operatorname{Ker} \partial^1=\mathbb Z$. Рассмотрим транзитивный орграф квадрат $\widehat{I}^2$, представленный ниже: Если ограничение $\gamma\colon \widehat{I}^2\to G$ на ориентированное ребро $(00\to 11)$ является вырожденным отображением, то отображение $\gamma$ вырождено. В противном случае, выполняется только одно из следующих условий:1) $\gamma(00\to 01)= \gamma(00\to 10)=\gamma(00\to 11)$, $\gamma(01\to 11)= \gamma(10\to 11)=\gamma(11)$; 2) $\gamma(10\to 11)= \gamma(01\to 11)=\gamma(00\to 11)$, $\gamma(00\to 01)= \gamma(00\to 10)=\gamma(11)$. Теперь из определения дифференциала следует, что $\partial^2=0$. Следовательно, $\widehat{H}_1^{\mathrm{c}}(G, \mathbb Z)=\mathbb Z$. Отметим, что из полученного результата следует, что группы $\widehat{H}_*^{\mathrm{c}}$ не являются гомотопически инвариантными. Напомним определение гомологий путей орграфа с коэффициентами в коммутативном кольце $R$ с единицей (см. [8], [11]). Регулярным путем на множестве $V$ называется произвольная конечная последовательность $i_0,i_1, \dots , i_n$ элементов $V$, где $i_k\ne i_{k+1}$. Для орграфа $G=(V,E)$ и $n\geqslant 0$ рассмотрим модуль $\mathcal R_n=\mathcal R_n(V)$, порожденный элементами $e_p=e_{i_0\dots i_n}$, где $p=(i_0,\dots , i_n)$ – регулярный путь на $V$. Пусть $\mathcal R_{-1}=0$. Тогда граничный гомоморфизм $\partial\colon \mathcal R_{p}\to \mathcal R_{p-1}$ определен равенством
$$
\begin{equation*}
\partial e_{i_{0}\dots i_{p}}=\sum_{q=0}^{p}( -1) ^{q}e_{i_{0}\dots \widehat{i_{q}}\dots i_{p}}
\end{equation*}
\notag
$$
для $p\geqslant 1$, и $\partial\colon \mathcal R_0\to \mathcal R_{-1}$ – нулевое отображение. Тогда $\partial^{2}=0$, и, следовательно, $\mathcal R_{\ast} $ является цепным комплексом. Рассмотрим подмодули $\mathcal{A}_{p}=\mathcal{A}_{p}(G)\subset \mathcal{R}_{p}$, порожденные элементами $e_{i_0\dots i_p}$, в которых путь $i_0,\dots i_n$ является допустимым, т.е. $i_j\to i_{j+1}$ для $0\leqslant j\leqslant p-1$. Положим $\mathcal{A}_{-1}=0$. Тогда модули
$$
\begin{equation*}
\Omega_{p}=\Omega_{p}( G) =\{ v\in \mathcal{A} _{p}\colon \partial v\in \mathcal{A}_{p-1}\}
\end{equation*}
\notag
$$
с индуцированным дифференциалом задают цепной комплекс $\Omega_*$, гомологии которого называются гомологиями путей орграфа $G$ и обозначаются $H_*(G)=H_*(G,R)=H_*(\Omega_*)$. Пусть $X$ – конечное дискретное $T_0$-пространство и, следовательно, строго частично упорядоченное множество. Определим симплициальный комплекс $K(X)$, вершинами которого являются точки $X$, а симплексами – полностью упорядоченные подмножества точек из $X$, см. [14]. Определим орграф $G(X)$, вершинами которого являются точки $X$, и для двух вершин $x,y$ орграфа существует ориентированное ребро $x\to y$ тогда и только тогда, когда $x< y$ (см. [15], [16]). Заметим, что таким образом мы получаем транзитивный орграф без циклов. Следующий результат является переформулировкой результата Александрова из [14]. Теорема 1. Имеет место изоморфизм между симплициальными гомологиями комплекса $K(X)$ и гомологиями путей орграфа $G(X)$. Аналогичным образом для конечного транзитивного орграфа $G$ без циклов определим симплициальный комплекс $K(G)$, вершинами которого являются вершины орграфа $G$, а $p$-симплексами – регулярные допустимые ориентированные пути длины $p$ орграфа. Следствие 1. Пусть $G$ – конечный транзитивный орграф. Имеет место изоморфизм между симплициальными гомологиями комплекса $K(G)$ и гомологиями путей орграфа $G$. § 4. Изоморфизм групп гомологий транзитивных орграфовВ этом параграфе мы будем рассматривать конечные транзитивные ациклические орграфы. Заметим, что для орграфа $G$ группы $\Omega_n^{\mathrm{c}}(G)$ и $\Omega_n(G)$ конечно порождены для всех $n\geqslant 0$. Сингулярный куб $\phi\colon I^n\to G$ задает образующую, которую мы обозначим $\phi^{\Box}$, группы $\Omega_{n}^{\mathrm{c}}(G)$. Комплексы $\Omega_{*}^{\mathrm{c}}(G)$ и $\Omega_{*}(G)$ снабжены естественными аугментациями $\epsilon^{\mathrm{c}}\colon\Omega_{0}^{\mathrm{c}}(G)\to \mathbb Z$ и $\epsilon\colon\Omega_{0}(G)\to \mathbb Z$, где
$$
\begin{equation*}
\epsilon^{\mathrm{c}}\Bigl(\sum k_i \phi_i\Bigr)=\sum k_i, \quad \epsilon\Bigl(\sum k_i p_i\Bigr)=\sum k_i, \qquad k_i\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим цепное отображение
$$
\begin{equation}
\tau_*\colon \Omega_*^{\mathrm{c}}(G)\to \Omega_*(G)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
следующим образом. Для сингулярного нульмерного куба $\phi\colon I^0=0\to i\in V_G$ мы положим $\tau_0(\phi^{\Box})=e_i\in \Omega_0(G)$. Таким образом, мы получаем сохраняющее аугментацию отображение в (4.1) в размерности нуль. Для $n\geqslant 1$ вершины орграфа $I^n$ занумерованы последовательностями длины $n$, состоящими из нулей и единиц. Ориентированное ребро $i\to j$ для двух вершин существует тогда и только тогда, когда вершина $j$ получается из $i$ заменой нуля на единицу ровно в одном месте. Будем называть вершину $(0,\dots, 0)$ куба начальной, а вершину $(1, \dots, 1)$ – конечной. Запишем ориентированный путь $p$ из начальной вершины в конечную в следующем виде:
$$
\begin{equation}
p=(i_0\to i_{1}\to \dots \to i_n), \qquad i_j\in V_{I_n},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где для $1\leqslant j\leqslant n$ вершина $i_{j}$ получается из $i_{j-1}$ изменением координаты $\pi(j)$, $1\leqslant \pi(j)\leqslant n$, с “0” на “1”. Обозначим через $\sigma(p)$ знак перестановки
$$
\begin{equation*}
\pi(p)=\begin{pmatrix} 1& 2& \dots & n\\ \pi(1)&\pi(2)&\dots &\pi(n) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент где сумма берется по всем путям в кубе, идущим из начальной вершины в конечную. Элемент $\omega_n$ является образующим модуля $\Omega_n(I^n)$, см. [12]. В кубе $I^n$, $n\geqslant 1$, рассмотрим путь
$$
\begin{equation}
p_{\#}=p_{\#}^n= ((0\dots 0)\to (10\dots 0)\to (110\dots 0)\cdots \to \cdots (1\dots1))
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
длины $n$ из начальной вершины куба в конечную. Отметим, что $\sigma(p_{\#})=+1$. Для любого $n$-мерного сингулярного куба $\phi\colon I^n\to G$ определен морфизм цепных комплексов
$$
\begin{equation}
\tau_{\ast}\colon \Omega_{\ast}^{\mathrm{c}}(G)\to \Omega_{\ast}(G), \qquad \tau_{n}(\phi^{\Box}):=\phi_{\ast}(\omega_n),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\phi_*\colon \Omega_{\ast}(I^n)\to \Omega_{\ast}(G)$ – индуцированный $\phi$ морфизм цепных комплексов (см. [12]). Для $n\geqslant 0$ определим $n$-мерный орграф-симплекс $\Delta_n$ с множеством вершин $V_{\Delta_n}=\{0,\dots , n\}$ и множеством направленных ребер $E_{\Delta_n}=\{i\to j\mid i, j\in V_{\Delta^n}$: $i<j\}$. В этом орграфе естественным образом задан тотальный порядок на множестве вершин и существует единственный допустимый регулярный путь длины $n$, а именно путь $p_{\Delta}= p_{\Delta}^n=(0\to 1\to \dots \to n)$. Имеют место естественные вложение граней
$$
\begin{equation*}
\sigma^i_{n-1}=\lambda_{n-1}^{01\dots\widehat{i}\dots n}\colon \Delta_{n-1}\to \Delta_{n}, \qquad \lambda_{n-1}^{01\dots\widehat{i}\dots n}(k)= \begin{cases} k & \text{для} \ k< i, \\ k+1 & \text{для} \ k\geqslant i. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, морфизм $\sigma^n_{n-1}=\lambda_{n-1}^{01\dots (n-1)}$ переводит вершины орграфа $\Delta_{n-1}$ в вершины орграфа $\Delta_{n}$, заданные теми же числами. Для $n\geqslant 0$ определим индуктивно морфизм орграфов $\pi^n\colon I^n\to \Delta_n$ следующим образом. Пусть $\pi^0\colon (0)\to (0)$ и $\pi^1\colon (0\to 1)\to (0\to 1)$ – естественные изоморфизмы. Предположим, что морфизм $\pi^k\colon I^k\to \Delta_k$ уже определен для $1\leqslant k<n$. Рассмотрим вложение $F_{n0}\colon I^{n-1}\to I^n$ в (3.1), которое задает изоморфизм между орграфом $I^{n-1}$ и гранью куба $I_{n0}^{n-1}\subset I^n$, заданной условием, что на последнем $n$-м месте стоит нуль. Определим теперь морфизм $\pi^n\colon I^n\to \Delta_n$ на множестве вершин, полагая
$$
\begin{equation}
\pi^n(w)= \begin{cases} \sigma^n_{n-1} \pi^{n-1}F_{n0}^{-1}(w),&w\in V_{I_{n0}^{n-1}}, \\ n,& w\notin V_{I_{n0}^{n-1}}, \end{cases}=\begin{cases} \sigma^n_{n-1}\pi^{n-1}(v), & w=(v0)\in V_{I^n}, \\ n, & w=(v1)\in V_{I^n}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $v\in V_{I^{n-1}}$ и $n\in V_{\Delta_n}$ – максимальная вершина $\Delta_n$. Вершины $n$-мерного куба $I^n$ заданы последовательностями длины $n$ из нулей и единиц при $n\geqslant 1$, а куб $I^0$ состоит из одной вершины $0$. Отображение $\pi^n$ в (4.6) в этих координатах строится индуктивно по отображению $\pi^{n-1}$ следующим образом. На вершине $(v0)$ куба $I^{n}$, которая получена из вершины $(v)$ куба $I^{n-1}$ добавлением нуля на последней позиции, мы имеем $\pi^n(v0)=\sigma^n_{n-1}\pi^{n-1}(v)$, а на каждой вершине $(v1)$ куба $I^{n}$, которая получена из вершины $(v)$ куба $I^{n-1}$ добавлением единицы на последней позиции, мы имеем $\pi^n(v1)=n$. Таким образом, отображение $\pi^n$ продолжено с грани $I^{n-1}_{n0}$, отождествляемой с $I^{n-1}$, на весь куб $I^{n}$. Лемма 1. i) Сингулярный куб $\pi^n\colon I^n\to \Delta_{n}$ невырожден для $n\geqslant 0$. ii) Пусть $v\in V_{I^n}$ – вершина орграфа $I^n$, $n\geqslant 1$. Тогда $\pi^n(v)=0\in V_{\Delta_n}$ для $v=(0\dots 0)\in V_{I^n}$. Для $1\leqslant k\leqslant n$ и вершины $v$, которая имеет вид мы имеем $\pi^n(v)=k\in V_{\Delta_n}$. Доказательство. Первое утверждение легко доказывается индукцией по $n$ от противного. Второе утверждение следует непосредственно из определения $\pi^n$. Лемма доказана. Предложение 2. Морфизм $\pi^n\colon I^n\,{\to}\, \Delta_n$ отображает путь $p_{\#}$ на путь $p_{\Delta}$ взаимно однозначно. Любой другой допустимый регулярный путь длины $n$ в кубе $I^n$ переходит в нерегулярный путь. То есть для любого регулярного пути длины $n$, отличного от пути $p_{\#}$, найдутся две последовательные вершины $i_{j}, i_{j+1}$, для которых $\pi^n(i_j)=\pi^n(i_{j+1})$. Доказательство. Из определения пути $p_{\#}^n$, морфизма $\pi^n$ и леммы 1 следует, что Первое утверждение доказано.
По индукции докажем, что любой другой допустимый регулярный путь длины $n$ отображается в нерегулярный путь. Для $n=0,1$ не существует других допустимых регулярных путей из начальной вершины $I^n$ в конечную вершину кроме $p_{\#}^n$. Для $n=2$ существует только один такой путь $p_2=(00\to 01\to 11)$, который переходит в нерегулярный путь $\pi^2(p_2)=(0\to 2\to 2)$. Пусть $n\geqslant 3$. Предположим, что мы доказали утверждение для всех $k < n$. Рассмотрим допустимый регулярный путь $p$ длины $n$ в $I^n$, идущий из начальной вершины в конечную, такой, что $p\ne p_{\#}^n$. Запишем его в виде (4.2) $p=(i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1}\to i_n)$. Возможны два случая. В первом случае путь $(i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1})$ длины $n-1$ лежит в грани $I_{n0}^{n-1}$, задаваемой условием, что последняя координата всех вершин этого пути есть нуль. В этом случае ровно одна последняя вершина $i_n=(1\dots 1)$ пути $p$ не лежит в $I_{n0}^{n-1}$ и последнее ребро имеет вид
$$
\begin{equation*}
(i_{n-1}\to i_n)=((\underbrace{1\dots 1}_{n-1}0)\to (\underbrace{1\dots 1}_{n-1}1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, путь $(i_0\to i_1\to \dots \to i_{n-1})$ не совпадает с путем $p_{\#}^{n-1}$ и по предположению индукции путь $\pi^{n-1}(i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1})$ является нерегулярным. Следовательно, путь $\pi^{n}(i_0\to i_1\to \dots\to i_{n-1}\to i_n)$ также является нерегулярным в этом случае.
Во втором случае существует такое $m\geqslant 1$, что вершины $i_{n-m}, i_{n-m+1}, \dots, i_n$ не лежат в грани $I_{10}^{n-1}$, а предыдущие вершины $i_0,\dots ,i_{n-m-1}$ лежат в $I_{10}^{n-1}$. По определению Таким образом, $\pi^{n}(i_0\to \dots\to i_n)$ является нерегулярным во втором случае. Предложение доказано.Пусть $G$ – транзитивный орграф без циклов. Любой допустимый регулярный путь $p=(i_0\to \dots \to i_n)$ в $G$ задает индуцированный подграф $\Delta_n^p=\Delta_n^{i_0\dots i_n}\subset G$ с вершинами $i_0, \dots i_n\in V_{\Delta^p_n}\subset V_G$, который изоморфен $\Delta_n$ посредством изоморфизма $\lambda_n^p= \lambda^{i_0\dots i_n}_n\colon \Delta_n\to \Delta_n^p$, заданного на множестве вершин формулой $\lambda_n(j)=i_j$ для $0\leqslant j \leqslant n$, $j\in V_{\Delta_n}$. Для $n\geqslant 0$ зададим гомоморфизм $\theta_n\colon \Omega_n(G)\to \Omega_n^{\mathrm{c}}(G)$ следующим образом. Для $n=0$ мы положим
$$
\begin{equation*}
\theta_0(e_i)=[\lambda^i\pi^0]^{\Box}, \quad \text{где }\ \lambda^i\pi^0\colon I^0=0\to i\in V_G.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n\geqslant 1$ на базисном элементе $e_p=e_{i_0\dots i_n}$, который соответствует допустимому регулярному пути $p=(i_0\to\dots\to i_n)$ длины $n$, мы положим
$$
\begin{equation}
\theta_n(e_{i_0\dots i_n})\colon = [\lambda_n^p\circ \pi^n]^{\Box}=[\lambda_n^{i_0\dots i_n}\circ \pi^n]^{\Box}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Напомним, что для элемента $\phi^{\Box}\in Q_n(G)$, заданного сингулярным кубом $\phi\colon I^n\to G$, $n\geqslant 1$, $1\leqslant j\leqslant n$, определены его грани
$$
\begin{equation*}
\phi_{j\varepsilon}^{\Box}=( \phi \circ F_{j\varepsilon})^{\Box }\in Q_{n-1}(G),
\end{equation*}
\notag
$$
где вложения $F_{j\varepsilon}$ определены в (3.1). Пусть $Q_{-1}=0$. Для $n\geqslant 1$ гомоморфизм $\partial^{\mathrm{c}}\colon Q_{n}\to Q_{n-1}$ определен на базисных элементах $\phi^{\Box}$ равенством
$$
\begin{equation*}
\partial^{\mathrm{c}}(\phi^{\Box})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}( \phi_{j0}^{\Box }-\phi_{j1}^{\Box})
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, задает индуцированный граничный морфизм $\partial^{\mathrm{c}}\colon \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_{n-1}(G)$. Индекс $j$, $1\leqslant j\leqslant n$, обозначает номер грани, а $0$ или $1$ обозначает фиксированную координату на этой грани. Докажем техническую лемму. Лемма 2. Пусть $\pi^n\colon I^n\to \Delta_n$ – определенный выше морфизм орграфов. Для $n\geqslant 1$, $1\leqslant j\leqslant n$ и $\varepsilon =0,1$ определен морфизм задающий сингулярный $(n-1)$-мерный куб в $\Delta_n$. Имеют место следующие формулы: Среди сингулярных кубов $\pi_{j\varepsilon}^n$ невырожденными являются сингулярные кубы в (4.8) и только они. Доказательство. Для $n=1$ и $j=1$ сингулярные кубы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi_{10}^1=\pi^1\circ F_{10}=\lambda^0_0\pi^0\colon 0\to 0, \\ \pi_{11}^1=\pi^1\circ F_{11}=\lambda_0^1\pi^0\colon 0\to 1 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
являются невырожденными, и других сингулярных кубов для $n=1$ не существует. Докажем коммутативность диаграммы для $n\geqslant 2$ Мы получим первое равенство в (4.8). Пусть $v=(c_1\dots c_{n-1})\in V_{I^{n-1}}$. Рассмотрим два случая. В первом случае пусть $c_{n-1}=0, v=(c_1\dots c_{n-2} 0)= (w0)\in V_{I^{n-1}}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{11}(v)= \pi^n(1c_1\dots c_{n-2}0) \stackrel{(4.6)}{=} \pi^{n-1}(1c_1\dots c_{n-2}).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Последнее выражение по лемме 1 дает:
С другой стороны, найдем $\sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}c_{n-1})\,{=}\,\sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0)$. Аналогично предыдущему вычислению мы получаем, что $\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0)$ равно:
Теперь из определения $\sigma^0_{n-1}$ следует коммутативность диаграммы (4.9) для первого случая. Во втором случае пусть $c_{n-1}=1, v=(c_1\dots c_{n-2} 1)= (w1)\in V_{I^{n-1}}$. По определению $\pi^n$ получаем С другой стороны, вычислим
$$
\begin{equation*}
\sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}c_{n-1})=\sigma^{0}_{n-1}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}1)=\sigma^0_{n-1}(n-1)=n.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, первое равенство в (4.8) доказано.
Для доказательства второго равенства в (4.8) для $n\geqslant 2$ рассмотрим диаграмму и докажем ее коммутативность для $1\leqslant j\leqslant n$ Пусть $v=(c_1\dots c_{n-1})\in V_{I^{n-1}}$. Рассмотрим два случая. Аналогично предыдущему в первом случае пусть $c_{n-1}=0, v=(c_1\dots c_{n-2} 0)= (w0)\in V_{I^{n-1}}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{j0}(v)= \pi^n(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}0) =\pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Последнее выражение по лемме 1 дает:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \pi^n\circ F_{j0}(v) &= \pi^n(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}0) =\pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}0c_j c_{n-2}) \\ &=\begin{cases} 0, & c_k=0, \ 0\leqslant k\leqslant n-2, \\ k, & 1\leqslant k \leqslant j-1,\ c_k=1,\ c_m=0,\ m>k, \\ k+1, & j\leqslant k \leqslant n-2, \ c_k=1,\ c_m=0,\ m>k. \\ \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
С другой стороны, вычислим $\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}c_j c_{n-2}0)$. Аналогично предыдущему мы получаем, что $\pi^{n-1}(c_1\dots c_{j-1}c_j c_{n-2}0)$ равно:
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\pi^{n-1}(v)=\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0) =\begin{cases} 0, & c_k=0,\ 0\leqslant k\leqslant n-2, \\ k, & c_k=1,\ c_m=0,\ 1\leqslant k \leqslant n-2,\ m>k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Теперь, применяя $\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}$ к (4.15), где $1\leqslant j\leqslant n$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}0) \\ &\qquad=\begin{cases} 0, & c_k=0,\ 0\leqslant k\leqslant n-2, \\ k, & c_k=1,\ c_m=0,\ 1\leqslant k \leqslant n-2,\ m>k,\ 1\leqslant k\leqslant j-1, \\ k+1, & c_k=1,\ c_m=0,\ 1\leqslant k \leqslant n-2,\ m>k,\ k\geqslant j . \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Из равенств (4.14) и (4.16) следует коммутативность диаграммы (4.12) для первого случая.
Во втором случае пусть $c_{n-1}=1$, $v=(c_1\dots c_{n-2} 1)= (w1)\in V_{I^{n-1}}$. Рассмотрим два подслучая. 1) Пусть $j=n$. Тогда по определению $\pi^n$ получаем
$$
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{n0}(v)=\pi^n(c_1\dots c_{j-1}0 c_jc_{n-2}10)=n-1.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\lambda_{n-1}^{01\dots (n-1)}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}1)=\lambda_{n-1}^{01\dots n}(n-1)=n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
То есть в этом подслучае коммутативность (4.12) доказана.
2) Пусть $j\ne n$. По определению $\pi^n$ получаем
$$
\begin{equation}
\pi^n\circ F_{j0}(v)=\pi^n(c_1\dots c_{j-1}0 c_jc_{n-2}1)=n.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
С другой стороны, вычислим для $1\leqslant j < n$:
$$
\begin{equation*}
\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}c_{n-1})=\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}\pi^{n-1}(c_1\dots c_{n-2}1)=\lambda_{n-1}^{01\dots \widehat{j}\dots n}(n-1)=n.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, диаграмма (4.12) коммутативна, и второе равенство в (4.8) доказано. Поскольку сингулярный куб $\pi^{n-1}\colon I^{n-1}\colon \Delta_{n-1}$ невырожден по лемме 1, а отображения $\lambda$ в (4.8) являются изоморфизмами, то и сингулярные кубы в (4.8) невырождены.
Докажем, что сингулярные кубы $\pi^{n}_{j1}$ являются вырожденными для $1\,{<}\, j\,{\leqslant}\, n$. Для $n=2$ мы имеем один такой куб $\pi^2_{21}\colon I^1\to \Delta_2$, который является вырожденным.Пусть сингулярные кубы $\pi^{n-1}_{j1}$ являются вырожденными для $1<j\leqslant n-1$. Это значит, что при каждом из морфизмов
$$
\begin{equation}
\pi^{n-1}_{j1}\colon I^{n-2}\to \Delta_{n-1}, \qquad 1<j\leqslant n-1,
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
найдутся две противоположные грани куба $I^{n-2}$, которые склеиваются естественным образом посредством $\pi^{n-1}_{j1}$.
Рассмотрим $\pi^n_{j1}\colon I^{n-1}\to \Delta_n$, $1< j\leqslant n$. Возможны следующие случаи. (1) Пусть $j=n$. Тогда согласно (4.6)
$$
\begin{equation}
\pi_{n1}^n(v)= \pi^n\circ F_{n1}(v)=\pi^n(v1)=n\in \Delta_n, \qquad v\in V_{I^{n-1}}.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
То есть $\pi_{n1}^n$ вырождено.
(2) Пусть $2\leqslant j\leqslant n-1$. Тогда, как и выше, для $v=(c_1\dots c_{n-1})\in V_{I^{n-1}}$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \pi_{j1}^n(v) &= \pi^n\circ F_{j1}(v)=\pi^n(c_1\dots c_{j-1}1c_j\dots c_{n-1}) \\ \notag &=\begin{cases} \pi^{n-1}(c_1c_2\dots c_{j-1}1c_j\dots c_{n-2}) &\text{для}\ c_{n-1}=0, \\ n & \text{для}\ c_{n-1}=1, \end{cases} \\ \notag &=\begin{cases} \pi^{n-1}\circ F_{j1}(c_1c_2\dots c_{j-1}c_j\dots c_{n-2}) &\text{для}\ c_{n-1}=0, \\ n & \text{для}\ c_{n-1}=1, \end{cases} \\ &=\begin{cases} \pi^{n-1}_{j1}(c_1c_2\dots c_{j-1}c_j\dots c_{n-2}) &\text{для}\ c_{n-1}=0, \\ n & \text{для}\ c_{n-1}=1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Для отображения $\pi^{n-1}_{j1}$ мы имеем $2\leqslant j \leqslant n-1$. Следовательно, по предположению индукции это отображение вырождено. Таким образом, из (4.21) следует, что ограничение отображения $\pi^n_{j1}$ на $(n-1)$-грань куба $I^n$, заданную условием $c_{n-1}=0$, является вырожденным, а ограничение отображения $\pi^n_{j1}$ на $(n-1)$-грань куба $I^n$, заданную условием $c_{n-1}=1$, является тривиальным отображением в вершину $n\in \Delta_n$. Следовательно, $\pi^n_{j1}$ вырождено для $2\leqslant j\leqslant n$, а ограничение отображения $\pi^n_{j0}$ на $(n-1)$-грань куба $I^n$, заданную условием $c_1=1$, является тривиальным отображением в вершину $n\in \Delta_n$. Следовательно, $\pi^n_{j0}$ невырождено для $1\leqslant j\leqslant n$. Лемма 2 доказана. Предложение 3. Пусть $G$ – транзитивный орграф без циклов. Для $n\geqslant 1$ имеет место коммутативная диаграмма модулей и гомоморфизмов Следовательно, $\theta_*$ – морфизм цепных комплексов $ \Omega_*(G)\to \Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$. Доказательство. Из определения гомоморфизма $\theta_n$ следует, что достаточно доказать коммутативность диаграммы в которой модуль $\Omega_n(\Delta_n)$ порожден одним базисным элементом $e_{01\dots n}$. Для $n\geqslant 1$ по определению $\theta_{n-1}$ в (4.7) и определению $\partial$ мы имеем
С другой стороны, по определению $\partial^{\mathrm{c}}$ в (3.3) и $\theta_n$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \partial^{\mathrm{c}}\circ \theta_{n} (e_{0\dots n}) &=\partial^{\mathrm{c}}[(\lambda_{n}^{0\dots n}\pi^n)^{\Box}]= \partial^{\mathrm{c}}[\pi^n]^{\Box} =\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}( [\pi^n_{j0}]^{\Box }-[\pi^n_{j1}]^{\Box}) \\ \notag &\!\!\!\!\!\!\stackrel{\text{лемма }2}{=}\biggl(\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j} [\pi^n_{j0}]^{\Box}\biggr) + [\pi^n_{11}]^{\Box} \\ \notag &=\biggl(\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j} [\lambda^{01\dots \widehat{j}\dots n}_{n-1}\pi^{n-1}]^{\Box} \biggr) + [\lambda^{1\dots n}_{n-1}\pi^{n-1}]^{\Box} \\ &=\sum_{j=0}^{n} (-1)^j [\lambda_{n-1}^{(0\dots \widehat j\dots n)}\circ \pi^{n-1}]^{\Box}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Из (4.24) и (4.25) следует утверждение предложения. Теорема 2. Гомоморфизм $\theta_0$ сохраняет аугментацию. Гомоморфизмы $\theta_n$ задают морфизм цепных комплексов $\theta_*\colon \Omega_*(G)\to \Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$, который является правым обратными к $\tau_*$, т.е. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Рассмотрим для $n\geqslant 1$ следующую диаграмму модулей и гомоморфизмов в которой левый квадрат коммутативен по предложению 3, а правый квадрат коммутативен согласно [12].
Для $n\geqslant 1$ получаем
$$
\begin{equation}
\tau_n\theta_n(e_{i_0\dots i_n})=\tau_n[(\lambda_n^{i_0\dots i_n}\pi^n)^{\Box}]=e_{i_0\dots i_n},
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
поскольку по лемме 2 только образ $\lambda_n^{i_0\dots i_n}\pi^n(p_{\#})$ пути $p_{\#}$ является невырожденным путем, лежащим в образе $\lambda_n^{i_0\dots i_n}\pi^n(I^n)$. Причем этот путь совпадает по определению с путем $i_0\to i_1\to \dots \to i_n$. Теорема доказана. Напомним теорему об ацикличных носителях, которая нам потребуется в дальнейшем, см. [22; § 3.4], [24; § 1.2.1]. Пусть $C_*$ – цепной комплекс конечно порожденных свободных абелевых групп и $C_p=0$ для $p< 0$. В этом случае $C_*$ называется геометрическим цепным комплексом. Зафиксируем базис в каждой группе $C_p$. Для двух базисных элементов $b\in C_{p-1}$, $b' \in C_p$ будем писать $b\prec b'$, если $b$ входит с ненулевым коэффициентом в разложение $\partial (b')$ по базису. Комплекс $C_*$ с гомоморфизмом аугментации $\varepsilon \colon C_0\to \mathbb Z$, заданным формулой
$$
\begin{equation*}
\varepsilon \biggl(\sum_i k_ib_i\biggr)= \sum_i k_i, \qquad k_i\in \mathbb Z, \quad b_i -\text{базисные элементы} \ C_0,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим $\widetilde{C}_*$. Комплекс $C_*$ называется ацикличным, если все группы гомологий комплекса $\widetilde{C}_*$ равны нулю. Цепное отображение $\phi_*\colon C_*\to C'_*$ сохраняет аугментацию, если $\varepsilon' \phi_0 (c)=\varepsilon (c)$ для любого элемента $c\in C_0$. Определение 6. i) Алгебраическая функция носитель $E$ из геометрического цепного комплекса $C_*$ в цепной комплекс $D_*$ задает для каждого базисного элемента $b\in C_n$, $n\geqslant 0$, цепной подкомплекс $E(b)=E_*(b)\subset D_*$ такой, что условие $b\prec b'$ влечет $E_*(b) \subset E_*(b')$. ii) Функция $E$ называется ацикличной, если каждый подкомплекс $E(b)$ является ацикличным. iii) Цепное отображение $f_*\colon C_*\to D_*$ переносится посредством алгебраической функции носителя $E$, если $f_n(b)\in E_*(b)$ для любого базисного элемента $b\in C_n$. Теорема 3 (об ацикличных носителях). Пусть $f_*,g_*\colon C_*\to D_*$ – цепные отображения геометрических цепных комплексов, сохраняющие аугментацию, и пусть эти отображения переносятся ацикличной функцией носителем $E$. Тогда отображения $f_*$ и $g_*$ являются цепно гомотопными. Пусть $G$ – транзитивный орграф без циклов. Рассмотрим сингулярный куб $\phi\colon I^n\to G$. Каждый путь $p$ длины $n$, идущий из начальной вершины $(0,\dots,0)$ куба $I^n$ в конечную $(1,\dots,1)$, отображается посредством $\phi$ в некоторый путь $\phi(p)$ длины меньше или равной $n$. Пусть $\phi(p)=(i_0\dots i_{m})$, где $m\leqslant n$. Поскольку $G$ – транзитивный орграф, определен подграф симплекс $\Delta_m^{\phi(p)}=\Delta_m^{i_0\dots i_m}\subset G$, в котором лежит данный путь. Рассмотрим подграф $\Upsilon(\phi)$ орграфа $G$, являющийся объединением всех таких симплексов в орграфе $G$
$$
\begin{equation}
\Upsilon(\phi)= \bigcup_{p\in \mathbf P} \Delta_m^{\phi(p)},
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
где $\mathbf P$ – множество путей в $I^n$, идущих из начальной вершины $(0,\dots,0)$ куба $I^n$ в конечную $(1,\dots,1)$. Заметим, что образ $\phi(I^n)$ лежит в орграфе $\Upsilon(\phi)$. Лемма 3. Орграф $\Upsilon(\phi)$ стягиваем (гомотопически эквивалентен точечному орграфу) для любого сингулярного куба $\phi\colon I^n\to G$ в транзитивном орграфе $G$ без циклов. Доказательство. Из определения следует, что орграф $\Upsilon(\phi)$ является объединением орграфов симплексов, которые имеют начальную вершину $\phi(0,\dots,0)$ и конечную вершину $a=\phi(1,\dots, 1)$. Из определения орграфа симплекса следует, что для любой вершины $x\in V_{\Upsilon(\phi)}$ имеется ребро $(x\to a)\in E_{\Upsilon(\phi)}$. Следовательно, $\Upsilon(\phi)$ в (4.28) стягиваем согласно [10; следствие 3.7]. Лемма доказана. Предложение 4. Пусть $G$ – транзитивный орграф без циклов. Тогда цепные отображения $\theta_*\circ \tau_* \colon \Omega^{\mathrm{c}}_*(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_*(G)$ и тождественное отображение $ \operatorname{Id}\colon \Omega^{\mathrm{c}}_*(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_*(G)$ цепно гомотопны. Доказательство. Цепной комплекс $\Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$ является геометрическим, и цепные отображения $\theta_*\circ \tau_*$ и $ \operatorname{Id}$ сохраняют аугментацию. Для сингулярного куба $\phi\colon I^n\to G$ рассмотрим подграф $\Upsilon(\phi)\subset G$ в (4.28). Для каждого базисного сингулярного куба $\phi^{\Box}\in \Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$ определим подкомплекс $E_*(\phi^{\Box})$ цепного комплекса $\Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$, полагая
$$
\begin{equation}
E_*(\phi^{\Box})\overset{\mathrm{def}}={\Omega}_*^{\mathrm{c}}(\Upsilon(\phi))\subset \Omega_*^{\mathrm{c}}(G).
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Чтобы доказать, что полученный комплекс $E_*(\phi^{\Box})$ является ацикличным, достаточно проверить, что орграф $\Upsilon(\phi)$ стягиваем, а это верно по лемме 3.
Проверим, что $E$ является алгебраической функцией носителем, т.е. условие (i) определения 6 выполняется. Рассмотрим базисный элемент $\phi^{\Box}\in \Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$, заданный $\phi\colon I^n\to G$, $n\geqslant 0$. Тогда $\partial(\phi^{\Box})$ является суммой базисных элементов $(\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box}$ с коэффициентами $\pm 1$, где отображения $F_{j\epsilon}\colon I^{n-1}\to I^n$ – вложения. Согласно (4.28) и (4.29) орграф $\Upsilon(\phi\circ F_{j\epsilon})$ является подграфом $\Upsilon(\phi)$. Значит, цепной комплекс $E_*((\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box})=\Omega^{\mathrm{c}}_*(\Upsilon(\phi\circ F_{j\epsilon}))$ является подкомплексом $E_*(\phi^{\Box})$. Для $b\in \Omega^{\mathrm{c}}_{n-1}(G)$ и $b\prec \phi^{\Box}$ мы имеем $b = (\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box}$,
$$
\begin{equation*}
E_*(b)=E_*((\phi\circ F_{j\epsilon})^{\Box})\prec E_*(\phi^{\Box}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $E$ – ациклическая функция носитель из $\Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$ в $\Omega_*^{\mathrm{c}}(G)$ .
Проверим, что цепные отображения $\theta_*\circ \tau_*$ и $ \operatorname{Id}$ переносятся алгебраической функцией носителем $E$. Пусть $\phi^{\Box}\in \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)$ – базисный элемент. Тогда
$$
\begin{equation}
\operatorname{Id}(\phi^{\Box})=\phi^{\Box}\in {\Omega}_*^{\mathrm{c}}(\Upsilon(\phi))=E_*(\phi^{\Box}),
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
поскольку образ $\phi(I^n)$ лежит в $\Upsilon(\phi)$. То есть цепное отображение $\operatorname{Id}\colon \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)$ переносится $E$.
Согласно определению (4.5) и (4.7) мы имеем
$$
\begin{equation}
\theta_n\circ \tau_n(\phi^{\Box})=\theta_n(\phi_*(w_n)), \qquad \phi\colon I^n\to G.
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Элемент $\phi_*(w_n)$ является тривиальным элементом в $\Omega_n(G)$, либо он является суммой базисных элементов $\pm e_{i_0\dots i_n}$, для которых путь $(i_0\dots i_n)=\phi(p)$, $p\in \mathbf P$, имеет длину $n$, $i_0 =\phi(0,\dots,0)$ и $i_n=\phi(1,\dots, 1)$. Каждый из этих путей $\phi(p)$ лежит в $\Upsilon(\phi)$ согласно (4.28). Следовательно, применяя отображение $\theta_n$ к указанной сумме путей, мы получим сумму сингулярных кубов, образ каждого из которых совпадает с одним из симплексов размерности $n$ в (4.28). Таким образом,
$$
\begin{equation}
\theta_n\circ \tau_n(\phi^{\Box})\in {\Omega}_*^{\mathrm{c}}(\Upsilon(\phi)) =E_*(\phi^{\Box}).
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
То есть цепное отображение $\theta_n\circ \tau_n\colon \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)\to \Omega^{\mathrm{c}}_n(G)$ переносится $E$.
Теперь утверждение предложения 4 следует из теоремы об ацикличных носителях 3. Теорема 4. Для любого транзитивного орграфа $G$ без циклов цепные отображения $\tau_*$ и $\theta_*$ являются гомотопически обратными и, следовательно, индуцируют изоморфизм групп гомологий Доказательство следует из предложения 4 и теоремы 2. Доказательство следует из предложения 1 и теоремы 4. Орграф $\widehat{I}^n$ является транзитивным орграфом без циклов и соответствует некоторому дискретному пространству кубу $D^n$. Морфизмы $\phi\colon I^n\to G$ транзитивных орграфов задают морфизмы соответствующих дискретных пространств. Операции ограничения морфизма на грань $\widehat{I}^n$, проекция на грань и вложение граней задают аналогичные операции на дискретном кубе. Таким образом, определена сингулярная кубическая теория гомологий $H^d(X)$ в категории дискретных пространств $T_0$. Роль сингулярных кубов при этом играют непрерывные отображения $\phi\colon D^n\to X$. Следствие 3. Для любого дискретного $T_0$-пространства $X$ имеет место изоморфизм групп гомологий где $H_*(X)$ – группы гомологий Александрова. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MurJim23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|