| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О спектре гамильтониана Ландау, возмущенного периодическим электрическим потенциалом Л. И. Данилов Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения Российской академии наук, г. Ижевск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9833e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРассматривается гамильтониан Ландау
$$
\begin{equation}
\widehat H_B+V=\biggl(-i\,\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)^2 +\biggl(-i\,\frac{\partial}{\partial x_2}-Bx_1\biggr)^2+V,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
действующий в $L^2(\mathbb R^2)$ и возмущенный периодическим электрическим потенциалом $V\in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^2; \mathbb R)$ с решеткой периодов $\Lambda $. Для однородного магнитного поля предполагается, что $B>0$. Координаты в $\mathbb R^2$ задаются в некотором ортонормированном базисе $e_1$, $e_2$. Пусть $E^1$, $E^2$ – базисные векторы решетки $\Lambda=\{N_1E^1+N_2E^2\colon N_1, N_2\in \mathbb Z\} $; $E^l_j=(E^l,e_j)$, $l,j=1,2$ (через $(\cdot,\cdot)$ и $|\cdot |$ обозначаются скалярное произведение и длина векторов из $\mathbb R^2$). Можно считать, что $E^1_1>0$, $E^1_2=0$ и $E^2_2>0$. Через $K=\{\xi_1E^1+\xi_2E^2\colon 0\leqslant \xi_j<1,\ j=1,2\} $ обозначается элементарная ячейка решетки $\Lambda $ (с площадью $v(K)=E^1_1E^2_2$, где $v(\cdot)$ – мера Лебега в $\mathbb R^2$), $\eta=(2\pi)^{-1}Bv(K)$ – (нормализованный) поток магнитного поля $B$ через элементарную ячейку $K$. В настоящей работе предполагается, что $\eta >0$ – рациональное число. Оператор (1.1) является частным случаем двумерного магнитного оператора Шрёдингера
$$
\begin{equation}
\biggl(-i\,\frac{\partial}{\partial x_1}-A_1\biggr)^2 +\biggl(-i\, \frac{\partial}{\partial x_2}-A_2\biggr)^2+V,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $A\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ – магнитный потенциал, определяющий магнитное поле $B(x)=\partial A_2/\partial x_1- \partial A_1/\partial x_2$, $x\in \mathbb R^2$; $A_j=(A,e_j)$, $j=1,2$. Если $A$ – периодический магнитный потенциал с решеткой периодов $\Lambda$, то магнитное поле $B(\cdot)$ также периодическое и имеет нулевой поток через элементарную ячейку $K$ решетки $\Lambda $. Двумерный оператор Шрёдингера (1.2) с периодическими потенциалами $V$ и $A$, имеющими общую решетку периодов, исследовался во многих работах (см. [1]–[5] и ссылки в этих статьях). В частности, в [4], [5] доказана абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрёдингера (1.2), если функции $V$ и $|A|^2$ имеют нулевую грань в смысле квадратичных форм относительно свободного оператора Шрёдингера $-\Delta=-{\partial}^2/{\partial x_1^2}-{\partial}^2/{\partial x_2^2}$ (в [4], [5] также рассматривались периодическая переменная метрика и потенциалы $V$ типа производной от меры). Обзор результатов об абсолютной непрерывности спектра многомерных периодических операторов Шрёдингера приведен в [6]–[8] (из последних результатов см. также [9], [10]). Трехмерный оператор Ландау с периодическим электрическим потенциалом исследовался в [11], [12]. Пусть $H^p(\mathbb R^2;\mathbb C)$ и $H^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^2;\mathbb C)$, $p>0$, – классы Соболева, $L^p_{\Lambda} (\mathbb R^2;{\mathfrak B})$, $p\in [1,+\infty ]$, и $C_{\Lambda}(\mathbb R^2;{\mathfrak B})$, $C^{\infty}_{\Lambda} (\mathbb R^2;{\mathfrak B})$, где ${\mathfrak B}=\mathbb R^m$ или ${\mathfrak B}=\mathbb C^m$, $m\in \mathbb N $, – пространства периодических с решеткой периодов $\Lambda $ функций из $L^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^2;{\mathfrak B})$, $C(\mathbb R^2;{\mathfrak B})$ и $C^{\infty}(\mathbb R^2;{\mathfrak B})$ соответственно. Для функций $V\in L^p_{\Lambda} (\mathbb R^2;\mathbb R)$ и $V\in C_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ определяются нормы $\| V\|_{L^p(K)}\doteq \| V(\cdot |_K) \|_{L^p(K)}$ и $\| V\|_{C(K)}\doteq \| V(\cdot|_K)\|_{C(K)}$. Спектр гамильтониана Ландау
$$
\begin{equation*}
\widehat H_B=\biggl(-i\,\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)^2 +\biggl(-i\,\frac {\partial}{\partial x_2}-Bx_1\biggr)^2
\end{equation*}
\notag
$$
состоит из собственных значений $\lambda=(2m+1)B$, $m\in \mathbb Z_+=\mathbb N \cup \{0\} $, бесконечной кратности (уровни Ландау). Для периодического точечного потенциала $V$ все уровни Ландау $\lambda=(2m+1)B$, $m\in \mathbb Z_+$, также являются собственными значениями оператора $\widehat H_B+V$ (бесконечной кратности), если решетка периодов $\Lambda $ является одноатомной и $\mathbb Q \ni \eta >1$ (и существует также абсолютно непрерывная составляющая спектра), см. [13]. Однако остается открытым вопрос, могут ли собственные значения присутствовать в спектре оператора (1.1) при $\eta \in \mathbb Q $ для непостоянных потенциалов $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$, см. [14], [15] (в [15] этот вопрос поставлен для потенциалов $V\in C_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$). Электрические потенциалы $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ имеют нулевую грань относительно оператора $-\Delta $ в силу [16; теорема XIII.96] (и, следовательно, относительно операторов $\widehat H_B$). Поэтому можно использовать магнитную теорию Флоке–Блоха. Если $\eta \in \mathbb Q $, то (в условиях применимости магнитной теории Флоке–Блоха) отсутствует сингулярная составляющая в спектре оператора (1.1) (см. [13], [16], [17] и статью [18], посвященную этому вопросу), поэтому отсутствие собственных значений означает абсолютную непрерывность спектра оператора (1.1). Двумерные операторы Шрёдингера с периодическими (с общей решеткой периодов $\Lambda $) электрическим потенциалом $V$ и магнитным полем $B$ в случае рациональности (нормализованного) потока магнитного поля через элементарную ячейку $K$ решетки $\Lambda $ рассматривались в [19]. Для базисных векторов $E^1$, $E^2$ решетки $\Lambda $ пусть $E^1_*,E^2_*\in \mathbb R^2$ – векторы, для которых $(E^{\mu},E^{\nu}_*)=\delta_{\mu \nu}$, $\mu,\nu=1,2$ (где $\delta_{\mu \nu}$ – символ Кронекера). Векторы $E^1_*$, $E^2_*$ образуют базис обратной решетки $\Lambda^*=\{ N_1E^1_*+N_2E^2_*\colon N_1,N_2\in \mathbb Z\} $ с элементарной ячейкой $K^*=\{\xi_1E^1_*+\xi_2E^2_*\colon 0\leqslant \xi_j<1,\ j=1,2\} $, для которой $v(K^*)=(v(K))^{-1}=(E^1_1E^2_2)^{-1}$. Через $W_Y$, $Y\in 2\pi \Lambda^*$, обозначаются коэффициенты Фурье функций $W\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb C)$, Для функций $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ и векторов $Y\in 2\pi \Lambda^*$ положим
$$
\begin{equation*}
{\mathcal L}(\Lambda,B;V,Y)=|Y|\cdot \biggl(|V_Y|-\sum_{Y'\in 2\pi \Lambda^*\setminus \{ Y\}}\exp\biggl(-\frac{|Y-Y'|^2}{4B}\biggr)|V_{Y'}|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В [20] доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (1.1), если для электрического потенциала $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ и однородного магнитного поля $B>0$ с потоком $\eta \in \mathbb Q $ существует последовательность векторов $Y^{(j)}\in 2\pi \Lambda^*$, $j\in \mathbb N $, такая, что ${\mathcal L} (\Lambda,B;V,Y^{(j)})\to +\infty $ при $j\to +\infty $. В [15] доказано, что в банаховом пространстве $(C_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R),\| \cdot \|_{C(K)})$ существует плотное $G_{\delta}$-множество $\mathcal O$ такое, что для любого потенциала $V\in {\mathcal O}$ и любого однородного магнитного поля $B>0$ с потоком $\eta \in \mathbb Q $ спектр оператора (1.1) абсолютно непрерывен. Аналогичное утверждение для потенциалов $V$ из пространств $L^p_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$, $p>1$, получено в [21]. Случай $p=2$ рассматривался также1 в [20]. В [22] приведено доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора (1.1), если $V$ – непостоянный тригонометрический многочлен (с решеткой периодов $\Lambda $) и $\eta \in \{ Q^{-1}\colon Q\in \mathbb N\} $. Из магнитной теории Флоке–Блоха следует, что оператор $\widehat H_B+V$ при $\eta \in \mathbb N $ унитарно эквивалентен прямому интегралу “послойных” операторов $\widehat H_B(k)+V$ с дискретным спектром, зависящих от магнитного квазиимпульса $k\in 2\pi K^*$. Если $\lambda $ – собственное значение оператора $\widehat H_B+V$, то $\lambda $ – собственное значение операторов $\widehat H_B(k)+V$ одной и той же кратности $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\in \mathbb N $ при почти всех $k\in 2\pi K^*$ (см. далее лемму 2.3). Если $\lambda $ не является собственным значением оператора $\widehat H_B+V$, то $\lambda $ также не является собственным значением операторов $\widehat H_B(k)+V$ (т.е. $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)=0$) при почти всех $k\in 2\pi K^*$ (см. [16; теорема XIII.85]). В настоящей работе доказываются следующие утверждения. Теорема 1.1. Если $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ и $\eta \in \mathbb N $, то для оператора (1.1) при всех $\lambda \in \mathbb R $ выполняется неравенство $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\leqslant \eta $. Теорема 1.2. Если $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)\setminus C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ и $\eta \in \mathbb N $, то для оператора (1.1) при всех $\lambda \in \mathbb R $ выполняется неравенство $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\leqslant \eta -1$. Следствие 1.1. Для любого периодического электрического потенциала $V\,{\in}\, L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)\setminus C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ и любого однородного магнитного поля $B\,{>}\,0$ с потоком $\eta \in \{Q^{-1}\colon Q\in \mathbb N\} $ спектр оператора (1.1) абсолютно непрерывен. Следствие 1.1 используется при доказательстве следующей теоремы. Теорема 1.3. Для любого непостоянного периодического электрического потенциала $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ и любого однородного магнитного поля $B>0$ с потоком $\eta \in \{Q^{-1}\colon Q\in \mathbb N\} $ числа $\lambda \in \mathbb R \setminus \bigcup_{m=1}^{+\infty}\{(2m+1)B+V_0\} $ не являются собственными значениями оператора (1.1). Теорема 1.3 является основным результатом статьи. В § 2 рассматривается магнитная теория Флоке–Блоха для оператора (1.1) при $\eta \in \mathbb N $. В § 3 исследуются “послойные” операторы $\widehat H_B(k)+V$ при комплексных значениях магнитного квазиимпульса. В конце этого параграфа приведена краткая схема доказательства теорем 1.1, 1.2 и 1.3. Ряд утверждений из [22] (и некоторых их следствий и обобщений), необходимых для доказательства, приведен в § 4. В § 5 доказывается теорема 1.1, в § 6 – теорема 1.2. Параграф 7 посвящен доказательству нескольких вспомогательных утверждений об аналитических функциях со значениями в гильбертовом пространстве, которые используются в § 8 при доказательстве теоремы 1.3. § 2. Теория Флоке–БлохаИзложение магнитной теории Флоке–Блоха для гамильтониана Ландау (в калибровке Лоренца), возмущенного периодическим электрическим потенциалом, при $\eta \in \mathbb N $ содержится в первой части статьи [13]. В этом и следующих параграфах используются обозначения и утверждения из [22] и [20]. Пусть $\eta=PQ^{-1}$, где $P,Q\in \mathbb N $ – взаимно простые числа. Если $Q>1$, то вместо решетки $\Lambda $ можно выбрать “укрупненную” решетку с базисными векторами $QE^1$ и $E^2$. Чтобы не менять обозначений, сохраним прежнее обозначение $E^1$ для вектора $QE^1$ и обозначение $\Lambda $ для новой решетки. Тогда для новой решетки $\eta=P$ (и для доказательства следствия 1.1 и теоремы 1.3 достаточно рассмотреть случай $\eta=1$). Обозначим через $\mathcal H_B$ пространство функций $\varphi \in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^2;\mathbb C)$, для которых при почти всех $x\in \mathbb R^2$
$$
\begin{equation*}
\varphi (x+E^{\mu})=\exp(iBE^{\mu}_1x_2)\varphi (x), \qquad \mu=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal H^p_B\doteq \mathcal H_B \cap H^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^2;\mathbb C)$, $p>0$, и $\mathcal H^{\infty}_B\doteq \mathcal H_B \cap C^{\infty}(\mathbb R^2;\mathbb C)$. Справедливо вложение $\mathcal H^2_B\subset C(\mathbb R^2;\mathbb C)$. На пространстве $\mathcal H_B$ определяются скалярное произведение
$$
\begin{equation*}
(\psi,\varphi)_B=\int_K{\overline {\psi}}\varphi\,dx, \qquad \psi,\varphi \in \mathcal H_B,
\end{equation*}
\notag
$$
превращающее его в гильбертово пространство, и соответствующая ему норма $\| \cdot \|_B$; ${\widehat I}_B$ – единичный оператор и $0_B$ – нулевая функция в $\mathcal H_B $. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal H '\doteq \int_{2\pi K^*}^{\oplus}\mathcal H_B\,\frac{dk}{(2\pi)^2v(K^*)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\widehat H_B(k)=\biggl(k_1-i\,\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)^2 +\biggl(k_2-i\,\frac {\partial}{\partial x_2}-Bx_1\biggr)^2, \qquad k\in \mathbb R^2,
\end{equation*}
\notag
$$
– самосопряженные операторы, действующие в $\mathcal H_B$ и имеющие область определения $D(\widehat H_B(k))=\mathcal H^2_B$. Существует унитарный оператор $\widehat U$ из $L^2(\mathbb R^2;\mathbb C)$ на пространство $\mathcal H '$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\widehat U\widehat H_B\widehat U^{-1} =\int_{2\pi K^*}^{\oplus}\widehat H_B(k)\,\frac {dk}{(2\pi)^2v(K^*)},
\end{equation*}
\notag
$$
где операторы $\widehat H_B(k)$, $k\in 2\pi K^*$, являются “послойными” операторами в прямом интеграле. Вектор $k\in 2\pi K^*$ называется магнитным квазиимпульсом. Оператор $\widehat U$ вначале определяется на функциях $\Phi \colon \mathbb R^2\to \mathbb C $ из пространства Шварца ${\mathcal S}(\mathbb R^2)$ как оператор, ставящий в соответствие функциям $\Phi $ функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\pi K^*\times \mathbb R^2\ni (k,x)\mapsto \widehat U(\Phi)(k;x) = \sum_{\mu_1,\mu_2 \in\mathbb Z}\exp\biggl(-i\frac B2E^2_1E^2_2\mu_2(\mu_2-1)\biggr) \\ &\ \times \exp\bigl(-iB(\mu_1E^1_1+\mu_2E^2_1)x_2\bigr) \exp\bigl(-i(k,x+\mu_1E^1+\mu_2E^2)\bigr) \Phi (x+\mu_1E^1+\mu_2E^2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для которых $\widehat U(\Phi)(k;\cdot)\in \mathcal H^{\infty}_B$ при всех $k\in 2\pi K^*$, и затем продолжается до унитарного оператора из $L^2(\mathbb R^2;\mathbb C)$ на $\mathcal H '$. Так как потенциал $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R )$ имеет нулевую грань относительно оператора $\widehat H_B$, то он (действующий как оператор умножения в $\mathcal H_B$) имеет нулевую грань относительно операторов $\widehat H_B(k)$, $k\in \mathbb R^2$, поэтому $\widehat H_B(k)+V$, $k\in \mathbb R^2$, – самосопряженные операторы в $\mathcal H_B$ (см. [23; теорема X.12]) и $D(\widehat H_B(k)+V)=D(\widehat H_B(k))=\mathcal H^2_B$. При этом (см. [13], [22])
$$
\begin{equation}
\widehat U(\widehat H_B+V)\widehat U^{-1} =\int_{2\pi K^*}^{\oplus}(\widehat H_B(k)+V)\,\frac{dk}{(2\pi)^2v(K^*)}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
и, следовательно, $D(\widehat H_B+V)$ – множество функций $\Phi \in H^2_{\mathrm {loc}}(\mathbb R^2;\mathbb C)$, для которых $\widehat U(\Phi)(k;\cdot)\in \mathcal H^2_B$ при почти всех $k\in 2\pi K^*$ и
$$
\begin{equation*}
\int_{2\pi K^*}\| \widehat H_B(k)\widehat U(\Phi)(k;\cdot)\|^2_B\,dk<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем будут также рассматриваться операторы $\widehat H_B(k+i\varkappa)$ (и $\widehat H_B(k+i\varkappa) +V$) при комплексных значениях магнитного квазиимпульса $k+i\varkappa \in \mathbb C^2$, $k,\varkappa \in \mathbb R^2$, $D(\widehat H_B(k+i\varkappa)+V)=D(\widehat H_B(k+i\varkappa))=\mathcal H^2_B$. Операторы $\widehat H_B(k+i\varkappa)+V$, $k+i\varkappa \in \mathbb C^2$, имеют компактную резольвенту, поэтому их спектр дискретен. Пусть $\lambda_j(k)$, $k\in \mathbb R^2$, $j\in \mathbb N $, – собственные значения операторов $\widehat H_B(k)+V$ (с учетом их кратности), упорядоченные по возрастанию. Функции $\mathbb R^2\ni k \mapsto \lambda_j(k)$ непрерывны и являются аналитическими вне их пересечений (см. [13], [16]), $\lambda_j(k+ \gamma)=\lambda_j(k)$ для всех $\gamma \in 2\pi {\Lambda}^*$. Из унитарной эквивалентности оператора $\widehat H_B+V$ прямому интегралу (2.1) следует, что число $\lambda \in \mathbb R $ является собственным значением оператора $\widehat H_B+V$ тогда и только тогда, когда $\lambda $ – собственное значение операторов $\widehat H_B(k)+V$ для всех $k$ из некоторого подмножества ячейки $2\pi K^*$ положительной меры Лебега (см. [16; теорема XIII.85]). Тогда из аналитической теоремы Фредгольма следует, что $\lambda $ – собственное значение операторов $\widehat H_B(k+i\varkappa)+V$ при всех $k+i\varkappa \in \mathbb C^2$. Поэтому справедлива следующая теорема. Теорема 2.1 (см. [13]). Пусть $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ (и $\eta=P\in \mathbb N $). Тогда число $\lambda \in \mathbb R $ является собственным значением оператора $\widehat H_B+V$ тогда и только тогда, когда $\lambda $ – собственное значение операторов $\widehat H_B(k+i\varkappa)+V$ при всех $k+i\varkappa \in \mathbb C^2$. Операторы $\widehat H_B(k+i\varkappa)$ при всех $k+i\varkappa \in \mathbb C^2$ имеют дискретный спектр, совпадающий с уровнями Ландау, при этом каждое собственное значение $\lambda=(2m+1)B$, $m\in \mathbb Z_+$, $P$-кратно вырождено (см. [13]). Обозначим через $\mathcal H (\lambda;k+i\varkappa)$ подпространство собственных функций оператора $\widehat H_B(k+i\varkappa)+V$ с собственным значением $\lambda \in \mathbb C $ (если $\lambda $ не является собственным значением, то $\mathcal H (\lambda;k+i\varkappa)=\{0_B\} $); $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k+i\varkappa)\doteq \dim\mathcal H (\lambda;k+i\varkappa)$ – размерность подпространства $\mathcal H (\lambda ;k+i\varkappa)$, $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k+\gamma +i\varkappa)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k+i\varkappa)$ для всех $\gamma \in 2\pi {\Lambda}^*$. Пусть $U^{(1)}_{r}(z)=\{z'\in \mathbb C \colon |z'-z|<r\} $, $z\in \mathbb C $, и $U^{(2)}_{r}(z)= \{z'\in \mathbb C^2\colon |z'_1-z_1|^2+|z_2'-z_2|^2<r^2\} $, $z\in \mathbb C^2$, $r>0$. Для вектора $e\in S^1\doteq \{x\in \mathbb R^2\colon |x|=1\} $ через $e^{\perp}$ будем обозначать вектор, получающийся из вектора $e$ поворотом на угол ${\pi}/2$ против часовой стрелки. Лемма 2.1. Для любого $\lambda \in \mathbb R $ существует число $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\in \mathbb Z_+$ такое, что $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k)\geqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda)$ при всех $k\in \mathbb R^2$ и для любого $e\in S^1$ найдется дискретное множество2 ${\mathcal P}_{\perp}(\lambda;e)\subset \mathbb R $ такое, что для любого $\tau^{\perp}\in \mathbb R \setminus {\mathcal P}_{\perp}(\lambda;e)$ существует дискретное множество ${\mathcal P}(\lambda;e,\tau^{\perp})\subset \mathbb R$ такое, что при всех $\tau \in \mathbb R \setminus {\mathcal P}(\lambda;e,\tau^{\perp})$ выполняется равенство $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;\tau^{\perp}e^{\perp} +\tau e)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$. Доказательство. Пусть $k\in \mathbb R^2$ и $e\in S^1$. Если для некоторых $\tau_0\in \mathbb R $ и $j_1,j_2\in \mathbb N $, $j_1\leqslant j_2$, $\lambda_{j_1-1}(k+\tau_0e)<\lambda_{j_1}(k+\tau_0e) =\lambda_{j_2}(k+\tau_0e)<\lambda_{j_2+1}(k+\tau_0e)$ (первое неравенство выполняется при $j_1\geqslant 2$), то существует перестановка $j\mapsto \sigma (j)$ чисел $j_1, j_1+1, \dots, j_2$ такая, что для всех $j\in \{j_1, j_1+1, \dots, j_2\} $ функции
$$
\begin{equation*}
\mathbb R \ni \tau \mapsto \widetilde {\lambda}_j(k+\tau e)= \begin{cases} \lambda_j(k+\tau e) &\text{при} \ \tau \leqslant \tau_0, \\ \lambda_{\sigma (j)}(k+\tau e) &\text{при} \ \tau > \tau_0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
продолжаются как аналитические функции в некоторую комплексную окрестность $U^{(1)}_{\varepsilon}(\tau_0)$, $\varepsilon >0$, числа $\tau_0$ (в которой являются собственными значениями операторов $\widehat H_B(k+ze)+V$), см. [16; теорема XII.13]. Поэтому (из свойств аналитических функций следует, что) для любого $\lambda \,{\in}\, \mathbb R$ найдутся число $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k,e)\,{\in}\,\mathbb Z_+$ и дискретное множество ${\mathcal P}'(\lambda;k,e) \subset \mathbb R $ такие, что $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k+\tau e)\geqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda;k,e)$ при всех $\tau \in \mathbb R $ и $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k+\tau e)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k,e)$ при $\tau \in \mathbb R \setminus {\mathcal P}'(\lambda;k,e)$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;e)=\min_{k\in\mathbb R^2}\widetilde{\mathcal N}(\lambda;k,e), \qquad e\in S^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного вектора $\widetilde e \in S^1$ выберем вектор $k(\widetilde e)\in \mathbb R^2$ так, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k(\widetilde e),\widetilde e)=\widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;\widetilde e).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Пусть $e\in S^1$ – любой вектор, не параллельный вектору $\widetilde e$. Тогда множество чисел $\tau^{\perp} \in \mathbb R $, для которых существуют числа $\tau \in \mathbb R $ такие, что
$$
\begin{equation*}
\tau^{\perp}e^{\perp}+\tau e\in \bigl\{k(\widetilde e)+\widetilde {\tau}\widetilde e\colon \widetilde {\tau}\in {\mathcal P}'(\lambda;k(\widetilde e),\widetilde e)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
является дискретным множеством ${\mathcal P}'(\lambda;k(\widetilde e),\widetilde e,e)\subset \mathbb R $. При этом для любого числа $\tau^{\perp}\in \mathbb R \setminus {\mathcal P}'(\lambda;k(\widetilde e), \widetilde e,e)$ найдется число $\tau '\in \mathbb R $, для которого $\tau^{\perp}e^{\perp}+\tau 'e= k(\widetilde e)+\widetilde {\tau}'\widetilde e$ при некотором $\widetilde {\tau}'\in \mathbb R \setminus {\mathcal P}'(\lambda;k(\widetilde e),\widetilde e)$ и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;e)\leqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda;\tau^{\perp}e^{\perp},e)\leqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda;\tau^{\perp} e^{\perp}+\tau 'e) \\ &\qquad =\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k(\widetilde e)+\widetilde {\tau}'\widetilde e)= \widetilde{\mathcal N} (\lambda;k(\widetilde e),\widetilde e)=\widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;\widetilde e). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Откуда $\widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;e)\leqslant \widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;\widetilde e)$. Меняя местами векторы $\widetilde e$ и $e$, получаем неравенство $\widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;\widetilde e)\leqslant \widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;e)$ и, следовательно, $\widetilde{\mathcal N}_- (\lambda;e)=\widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;\widetilde e)$. Пусть $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$ – общее значение всех чисел $\widetilde{\mathcal N}_- (\lambda;e)$, $e\in S^1$. Тогда для всех $k\in \mathbb R^2$ и $e\in S^1$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k)\geqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda;k,e)\geqslant \widetilde{\mathcal N}_-(\lambda;e)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Если для вектора $e\in S^1$ выбрать любой не параллельный ему вектор $\widetilde e\in S^1$ и вектор $k(\widetilde e)\in \mathbb R^2$, для которого выполняется равенство (2.2) и, следовательно, $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k(\widetilde e), \widetilde e)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$, то определяя дискретное множество ${\mathcal P}_{\perp}(\lambda;e)\doteq {\mathcal P}'(\lambda;k(\widetilde e),\widetilde e,e)$, из (2.3) получаем, что для всех $\tau ^{\perp}\in \mathbb R \setminus {\mathcal P}_{\perp}(\lambda;e)$ существует дискретное множество ${\mathcal P} (\lambda;e,\tau^{\perp})\subset \mathbb R $ такое, что для всех $\tau \in \mathbb R \setminus {\mathcal P} (\lambda;e,\tau^{\perp})$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\leqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda;\tau^{\perp}e^{\perp}+\tau e)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda;\tau^{\perp}e^{\perp}, e)\leqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda;k(\widetilde e),\widetilde e)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;\tau^{\perp}e^{\perp}+\tau e)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$. Лемма доказана. Лемма 2.2. Для любых $\lambda \in \mathbb C $ и $k+i\varkappa \in \mathbb C^2$ найдется число $\varepsilon >0$ такое, что для всех $k'+i{\varkappa}'\in U^{(2)}_{\varepsilon}(k+i\varkappa)$ справедливо неравенство Доказательство. Допустим противное. Тогда найдутся последовательность векторов $k_j+i\varkappa_j\to k+i\varkappa $, $j\to +\infty $, и функции $\Phi_j\in \mathcal H (\lambda;k_j+i\varkappa_j)$, для которых $\| \Phi_j\|_B=1$ и которые ортогональны всем функциям $\Phi \in \mathcal H (\lambda;k+i\varkappa)$. Так как операторы $-i\,{\partial}/{\partial x_1}$ и $-i\,{\partial}/{\partial x_2}-Bx_1$ имеют нулевую грань относительно оператора $\widehat H_B(k)$, то множества $\{\Phi_j\colon j\in \mathbb N\} $, $\{-i\,{\partial \Phi_j}/{\partial x_1}\colon j\in \mathbb N\} $ и $\{(-i\,{\partial}/{\partial x_2}-Bx_1) \Phi_j\colon j\in \mathbb N\} $ предкомпактны в $\mathcal H_B$. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что $\Phi_j\to \Phi_0\in \mathcal H_B$ и также сходятся последовательности $-i\,{\partial \Phi_j}/{\partial x_1}$ и $(-i\,{\partial}/{\partial x_2}-Bx_1) \Phi_j$, $j\to +\infty $. При этом $\| \Phi_0\|_B=1$ и функция $\Phi_0$ ортогональна всем функциям $\Phi \in \mathcal H (\lambda;k+i\varkappa)$. С другой стороны, последовательность $(\widehat H_B(k+i\varkappa)+V-\lambda) \Phi_j=(\widehat H_B(k+i\varkappa) -\widehat H_B(k_j+i\varkappa_j)) \Phi_j$, $j\in \mathbb N $, сходится при $j\to +\infty $ к $0_B$, поэтому из замкнутости оператора $\widehat H_B(k+i\varkappa)+V-\lambda $ следует, что $\Phi_0\in \mathcal H (\lambda;k+i\varkappa)$. Откуда $(\Phi_0,\Phi_0)_B=0$. Полученное противоречие доказывает лемму. Следующая лемма непосредственно следует из лемм 2.1 и 2.2. Лемма 2.3. Для любого $\lambda \in \mathbb R $ существует число $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\in \mathbb Z_+$ такое, что $\widetilde{\mathcal N}(\lambda;k)\geqslant \widetilde{\mathcal N} (\lambda)$ при всех $k\in \mathbb R^2$, $\mathbb M (\lambda)\doteq \{k\in \mathbb R^2\colon \widetilde{\mathcal N} (\lambda;k)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\} $ – открытое множество и $v(\mathbb R^2\setminus \mathbb M (\lambda))=0$. § 3. Свойства операторов $\widehat H_B(k+i\varkappa)$Пусть $C^{\omega}({\mathcal O};\mathbb C)$, где $\mathcal O$ – область в $\mathbb R^2$, – множество функций $f\colon {\mathcal O}\to \mathbb C $, для которых функции $\operatorname{Re} f$ и $\operatorname{Im} f$ вещественно аналитические. Функции $f\in C^{\omega}({\mathcal O};\mathbb C)$ в некоторых окрестностях точек $x^{(0)}\in {\mathcal O}\subseteq \mathbb R^2$ разлагаются в абсолютно и равномерно сходящиеся ряды
$$
\begin{equation*}
\sum_{m, n=0}^{+\infty}f_{m,n}(x^{(0)})(x_1-x^{(0)}_1)^m(x_2-x^{(0)}_2)^n, \qquad f_{m,n}(x^{(0)})\in \mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Для векторов $k\in \mathbb R^2$ обозначим через $\mathcal H^{(m)}_B(k)$, $m\in \mathbb Z_+$, подпространство собственных функций операторов $\widehat H_B(k)$ с собственным значением $\lambda\,{=}\,(2m\,{+}\,1)B$; $\dim\mathcal H^{(m)}_B(k)=P$ и $\mathcal H^{(m)}_B(k)\subset C^{\omega}(\mathbb R^2;\mathbb C)$ (см. [13], а также [22]). На $\mathcal H_B$ определим операторы
$$
\begin{equation*}
\widehat Z_{\mp}(k)=\biggl(k_1-i\,\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr) \pm i\biggl(k_2-i\,\frac{\partial}{\partial x_2}-Bx_1\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$D(\widehat Z_{\mp}(k))=\mathcal H^1_B$, $\widehat Z_{\mp}^*(k)=\widehat Z_{\pm}(k)$. Справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\widehat H_B(k)=\widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k)+B=\widehat Z_-(k)\widehat Z_+(k)-B.
\end{equation*}
\notag
$$
Для функций $\psi (k)\in \mathcal H^{(0)}_B(k)$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\psi^{(m)}(k)=\frac{(2B)^{-m/2}}{\sqrt {m!}}\widehat Z_+^m(k)\psi (k), \qquad m\in \mathbb Z_+,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat Z_+(k)\psi^{(m)}(k)=\sqrt {2B(m+1)}\, \psi^{(m+1)}(k), \qquad m\in \mathbb Z_+, \\ \widehat Z_-(k)\psi^{(m)}(k)=\sqrt {2Bm}\, \psi^{(m-1)}(k), \qquad m\in \mathbb N; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$\mathcal H^{(0)}_B(k)=\{\Phi \in \mathcal H^1_B\colon \widehat Z_-(k)\Phi=0_B\} $. Если $\psi_j(k)=\psi_j^{(0)}(k)$, $j=1,\dots,P$, – какой-либо ортонормированный базис в $\mathcal H^{(0)}_B(k)$, то $\psi_j^{(m)}(k)$, $j=1,\dots,P$, – ортонормированный базис в $\mathcal H^{(m)}_B(k)$, $m\in \mathbb N $, и $\psi_j^{(m)}(k)$, $j=1,\dots,P$, $m\in \mathbb Z_+$, – ортонормированный базис в $\mathcal H_B$. Пусть $\widehat P^{(m)}(k)$, $m\in \mathbb Z_+$, – ортогональный проектор в $\mathcal H_B$ на подпространство $\mathcal H^{(m)}_B(k)$. Для всех $n\in \mathbb N $ и $k\in \mathbb R^2$
$$
\begin{equation*}
\mathcal H^n_B=\biggl\{\Phi \in \mathcal H_B\colon \sum_{m=0}^{+\infty}m^n\| \widehat P^{(m)}(k)\Phi \|^2_B <+\infty \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для векторов $k,k'\in \mathbb R^2$ в $\mathcal H_B$ определяется унитарный оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal H_B \ni \Phi \mapsto \widehat U(k,k')\Phi=\exp(-i(k_1'-k_1)x_1) \Phi \biggl(\cdot -\frac{k_2'-k_2}B\, e_1+\frac{k_1'-k_1}B\, e_2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется следующая лемма. Лемма 3.1. Множества $\mathcal H^n_B$, $n\in \mathbb Z_+$, инвариантны при действии оператора $\widehat U(k,k')$ и Из леммы 3.1 следует, что операторы $\widehat U(k,k')$ отображают подпространства $\mathcal H^{(m)}_B(k)$ на подпространства $\mathcal H^{(m)}_B(k')$, $m\in \mathbb Z_+$. Области определения $D(\exp(z\widehat Z_{\mp}(k)))$ операторов $\exp(z\widehat Z_{\mp}(k))$, $z\in \mathbb C $, состоят из тех функций $\Phi \in \mathcal H^{\infty}_B$, для которых сходится ряд
$$
\begin{equation*}
\exp(z\widehat Z_{\mp}(k))\Phi \doteq \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{z^m}{m!}\widehat Z_{\mp}^m (k)\Phi.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal H_B(+0;k)$ – множество функций $\Phi \in \mathcal H_B$, для которых при некотором $\alpha >0$
$$
\begin{equation*}
\sup_{m\in\mathbb Z_+} e^{m\alpha}\| \widehat P^{(m)}(k)\Phi \|_B<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.2 (см. [22]). Справедливо вложение $\mathcal H_B(+0;k)\subset D(\exp(z\widehat Z_{\mp}(k')))$ (для всех $k'\in \mathbb R^2$ и $z\in \mathbb C $) и множество $\mathcal H_B(+0;k)$ инвариантно при действии операторов $\widehat Z_{\mp}(k')$, $\exp(z\widehat Z_{\mp}(k'))$, $k'\in \mathbb R^2$, и при умножении на функции $\exp(i(Y,x))$, $Y\in 2\pi \Lambda^*$. При действии на функции из $\mathcal H_B(+0;k)$ (при всех $z, z',z''\in \mathbb C $ и $Y\in 2\pi \Lambda^*$) выполняются равенства В силу леммы 3.2 при всех $z\in \mathbb C $ на $\mathcal H_B(+0;k)$ можно определить операторы
$$
\begin{equation*}
\widehat U_z(k)=\exp\biggl(-\frac{|z|^2}{4B}\biggr) \exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr) \exp\biggl(\frac{\overline z}{2B}\widehat Z_-(k)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которые продолжаются с $\mathcal H_B(+0;k)$ на все пространство $\mathcal H_B$ как унитарные операторы. При этом $\widehat U_z(k)\mathcal H^n_B=\mathcal H^n_B$, $n\in \mathbb N $, и, если для вектора $k'\in \mathbb R^2$ выбрать число $z=k_1'-k_1+i(k_2'-k_2)$, то для операторов $\widehat U_z(k)$ выполняются такие же равенства, как и (3.2), (3.3) (с заменой $\widehat U(k,k')$ на $\widehat U_z(k)$). Поэтому операторы $\widehat U_z(k)$ также отображают подпространства $\mathcal H^{(m)}_B(k)$ на подпространства $\mathcal H^{(m)}_B(k')$, $m\in \mathbb Z_+$, и для всех $k'\in \mathbb R^2$ функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde {\psi}^{(m)}_j(k')=\frac{(2B)^{-m/2}}{\sqrt {m!}} \exp\biggl(-\frac{|z|^2}{4B}\biggr)(\widehat Z_+(k)+\overline z)^m \exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\psi_j(k), \\ j=1,\dots,P, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
образуют ортонормированный базис в $\mathcal H^{(m)}_B(k')$, $m\in \mathbb Z_+$. В частности, справедлива следующая лемма. Лемма 3.3. Если $\psi (k)\in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $, $k\in \mathbb R^2$, то при всех $k'\in \mathbb R^2$ функция $\widetilde \psi (k')\doteq \exp(-(z/(2B))\widehat Z_+(k))\psi (k)$ принадлежит $\mathcal H^{(0)}_B(k')\setminus \{0_B\} $, где $z=k_1'-k_1+i(k_2'-k_2)$. Аналитичность функций $\mathbb C \ni z\mapsto \widetilde \psi (k')= \exp(-(z/(2B))\widehat Z_+(k))\psi (k)$, $k\in \mathbb R^2$, будет важна в дальнейшем. При заданных векторе $k\in \mathbb R^2$ и функции $\psi (k)\in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $ будет также выбираться функция $\psi (k')\doteq \exp(-|z|^2/(4B))\widetilde \psi (k')$, где $z=k_1'-k_1+i(k_2'-k_2)$; $\| \psi (k')\|_B=\| \psi (k)\|_B$. Из равенств (3.4) следует Лемма 3.4 (см. [22]). Для любых векторов $k\in\mathbb R^2$ и $Y\in 2\pi \Lambda^*$ существует унитарный оператор $\widehat U^{(Y)}(k)\colon \mathcal H^{(0)}_B(k)\to \mathcal H^{(0)}_B(k)$ такой, что для всех $\psi\in\mathcal H^{(0)}_B(k)$ При всех $k\in \mathbb R^2$ определим операторы
$$
\begin{equation*}
\widehat H_{\mp}(k;\zeta)\doteq \widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k)+\zeta \widehat Z_{\mp}(k)+B+V, \qquad \zeta \in \mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
для которых $D(\widehat H_{\mp}(k;\zeta))=\mathcal H^2_B$, $\widehat H_{\mp}^*(k;\zeta)=\widehat H_{\pm}(k; \overline {\zeta})$. Выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\widehat H_{\mp}(k;\zeta)=\widehat H_B\biggl(k+\frac{\zeta}2\, e_1\pm i \frac\zeta2\, e_2\biggr)+V.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Если $\lambda $ – собственное значение оператора $\widehat H_B+V$, то из (3.5) и теоремы 2.1 следует, что операторы $\widehat H_{\mp}(k;\zeta)$ также имеют собственное значение $\lambda $ для всех $k\in \mathbb R^2$ и $\zeta \in \mathbb C $. Операторы $\widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k)+\zeta \widehat Z_{\mp}(k)$ при всех $\zeta \in \mathbb C $ имеют собственные значения $\lambda=2Bm$, $m\in \mathbb Z_+$. При этом все эти собственные значения $P$-кратно вырождены и функции $\exp(\pm (\zeta /(2B))\widehat Z_{\mp}(k)) \psi^{(m)}_j(k)$, $j=1,\dots,P$, являются линейно независимыми собственными функциями операторов $\widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k)+\zeta \widehat Z_{\mp}(k)$ с собственными значениями $\lambda=2Bm$, где $\psi^{(m)}_j(k)$, $j=1,\dots,P$, – функции, образующие ортонормированный базис в $\mathcal H^{(m)}_B(k)$. Следующие теоремы 3.1 и 3.2 играют ключевую роль при доказательстве теорем 1.1–1.3. Теорема 3.1 (см. [20]). Для всех векторов $k\in \mathbb R^2$, всех функций $\Phi \in \mathcal H^2_B$, для которых $\widehat P^{(0)}(k)\Phi=0_B$, и всех $\zeta \in \mathbb C $ выполняется оценка3 Лемма 3.5. Для всех $k\in \mathbb R^2$, всех $m\in \mathbb Z_+$ и всех функций $\Phi \in \mathcal H^{(m)}_B(k)$ где $C_1=C_1(\Lambda,B)>0$. В [20] доказано существование вектора $k\in 2\pi K^*$, для которого при всех $m\in \mathbb Z_+$ и $\Phi \in \mathcal H^{(m)}_B(k)$ выполняется оценка (3.6). Но для любых $k'\in \mathbb R^2$ и $\Phi \in \mathcal H^{(m)}_B(k)$ имеет место включение $\widehat U(k,k')\Phi \in \mathcal H^{(m)}_B(k')$ и $\| \widehat U(k,k')\Phi \|_B=\| \Phi \|_B$, $\| \widehat U(k,k')\Phi \| _{L^{\infty}(K)}=\| \Phi \|_{L^{\infty}(K)}$. Поэтому оценка (3.6) справедлива для всех $k\in \mathbb R^2$. Теорема 3.2. Пусть $W\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$. Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует число $C_2=C_2(\Lambda, B,W;\varepsilon)>0$ такое, что для всех $\zeta \in \mathbb C $, для которых $|\zeta |\geqslant C_2$, всех $k\in \mathbb R^2$ и всех функций $\Phi \in \mathcal H^2_B$, для которых $\widehat P^{(0)}(k)\Phi=0_B$, выполняется оценка Доказательство теоремы 3.2 приведено в [20] для фиксированного значения $k\in 2\pi K^*$, для которого справедливы оценки (3.6) из леммы 3.5 (и $C_2$ зависит от $C_1$). Так как эти оценки выполняются для всех $k\in \mathbb R^2$, то утверждение теоремы 3.2 также справедливо для всех $k\in \mathbb R^2$. При $\lambda \in \mathbb R $ и $k\in \mathbb R^2$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal H_{\mp}(\lambda,k;\zeta) =\operatorname{Ker}(\widehat H_{\mp}(k;\zeta)-\lambda) =\mathcal H \biggl(\lambda;k+\frac\zeta2\, e_1 \pm i\frac\zeta2\, e_2\biggr), \qquad \zeta \in \mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем предварительно краткую схему доказательства теорем 1.1–1.3. Зафиксируем некоторый вектор $k\in \mathbb R^2$ и предположим, что $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ и оператор $\widehat H_B+V$ имеет собственное значение $\lambda \in \mathbb R $. Из леммы 4.1 следует существование множества ${\mathfrak M}_-(\lambda;k)\subset \mathbb C $, для которого $\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ – дискретное множество, такого, что для всех $\zeta \in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ подпространства $\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$ имеют одну и ту же размерность $\dim\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)=\mathcal N [\lambda;k]$. Так как $\dim\mathcal H^{(0)}_B(k)=P$ и в силу теорем 3.1 и 3.2 $\| \Phi -\widehat P^{(0)}(k)\Phi \|_B\to 0$ при $\zeta \to \infty $ равномерно для всех $\Phi \in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$, для которых $\| \Phi \|_B=1$, то (см. теорему 4.1) $\mathcal N [\lambda;k]\leqslant P=\eta $ и в силу леммы 5.2 также справедлива оценка $\widetilde {\mathcal N}(\lambda)\leqslant P=\eta $, доказывающая теорему 1.1. При доказательстве теоремы 1.2 будет предполагаться, что $\widetilde {\mathcal N}(\lambda)=P=\eta $. В этом случае (см. лемму 5.3) $\mathcal N [\lambda;k]= \widetilde {\mathcal N}(\lambda)=P$ (для всех $k\in \mathbb R^2$). Из теоремы 4.4 и неравенств (4.1) следует, что для любой функции $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\,{\setminus}\,\{0_B\}$ можно (единственным образом) определить мероморфную функцию $\zeta \mapsto \Phi (k,\psi;\zeta)\in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)\subset \mathcal H_B$ (см. (6.2)) с конечным числом полюсов $\zeta_j(k,\psi)\,{\in}\,\mathbb C $ конечного порядка $\mu_j(k,\psi)$, $j=1,\dots,n(k,\psi)$, вне которых $\widehat P^{(0)}(k) \Phi (k,\psi;\zeta)\,{=}\,\psi $. При этом выполняются оценки $|\zeta_j(k,\psi)|\leqslant C_2'$ из леммы 6.2 (где число $C_2'\,{>}\,0$ не зависит от $k$ и $\psi $). При умножении функции $\Phi (k,\psi;\zeta)$ на многочлен ${\mathfrak P}(k,\psi;\zeta)$ из (6.3) получается функция (6.4), которая также является многочленом степени $m(k,\psi)=\sum_{j=1}^{n(k,\psi)}\mu_j(k,\psi)$ с коэффициентами ${\mathcal F}_{\nu}(k,\psi)\in \mathcal H^2_B$, $\nu=1,\dots, m(k,\psi)$, удовлетворяющими условиям (6.5). Но в конце § 6 доказывается, что эти условия (для всех $k\in \mathbb R^2$ и $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\}$) могут выполняться только для функций $V\in C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$. Последнее доказывает теорему 1.2. При доказательстве теоремы 1.3 предполагается, что $\widetilde {\mathcal N}(\lambda)=P=1$ (в этом случае для функций $\Phi (k,\psi;\zeta)$ числа $\zeta_j(k,\psi)=\zeta_j(k)$, $\mu_j(k,\psi)=\mu_j(k)$, $n(k,\psi)=n(k)$ и $m(k,\psi)=m(k)$ не зависят от $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $). В силу теоремы 1.2 можно считать, что $V\in C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$. Рассматриваются функции ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$ (см. (8.2)), $j\in \mathbb N $, которые получаются при разложении функции $\Phi (k,\psi;\zeta)$ в ряд по степеням $\zeta^{-j}$ в (8.1). Функции ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$, $j=1,\dots, m(k)$, линейно независимы и функции ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$ при $j>m(k)$ являются их линейными комбинациями. Явное выражение функции ${\mathfrak B}_{m(k)+1}(k,\psi)$ через функции ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$, $j=1,\dots,m(k)$, следует из равенства (8.3). Числам $z\in \mathbb C $ (при заданном векторе $k\in \mathbb R^2$) ставятся в соответствие векторы $k'=k'(z)\in \mathbb R^2$, для которых $z=k'_1-k_1+i(k'_2-k_2)$. Далее рассматриваются функции, зависящие от $z\in \mathbb C $. Функции $z\mapsto {\mathfrak B}_j(k',\widetilde {\psi}(k'))$ не являются аналитическими, и вместо них определяются аналитические функции $z\mapsto {\mathfrak F}_j(k,\psi;z)\in \mathcal H_B$ (см. (8.9)). Для всех $z\in \mathbb C $ функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$, $j=1,\dots, m(k')$, линейно независимы и функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$ при $j>m(k')$ являются их линейными комбинациями. Размерность линейной оболочки функций ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$, $j\in \mathbb N $, при всех $z\in \mathbb C $ конечна, поэтому в силу леммы 7.2 найдутся дискретное множество $\widetilde M(k)\subset \mathbb C $ и число $\widetilde m(k)\in \mathbb N $ такие, что $m(k')=\widetilde m(k)$ для всех $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M(k)$. Числа $\widetilde m(k)=\widetilde m\in \mathbb N $ от $k$ не зависят (см. лемму 8.10). Из леммы 7.3 следует, что при $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M(k)$ функции ${\mathfrak F}_{\widetilde m+1}(k,\psi;z)\in \mathcal H_B$ являются линейными комбинациями функций ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$, $j=1\dots,\widetilde m$, с коэффициентами ${\mathcal C}_j(k;z)\in \mathbb C $, при этом функции $z\mapsto {\mathcal C}_j(k;z)$ (аналитические или) мероморфные. Для чисел ${\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)$ справедливо равенство (8.14), из которого (и из оценок $|\zeta_j(k')|\leqslant C_2'$) следует, что функция $z\mapsto {\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)$ локально ограничена в окрестности любого числа $z_0\in \mathbb C $ и, следовательно, является аналитической. В силу теоремы 8.1 это возможно только при $\lambda=(2\widetilde m+1)B+V_0$. Последнее утверждение доказывает теорему 1.3. § 4. Некоторые утверждения из [22] и их обобщенияВ этом параграфе приведен ряд утверждений из [22], необходимых для доказательства теорем 1.1, 1.2 и 1.3. Пусть $\lambda $ – собственное значение оператора $\widehat H_B+V$ и фиксируется некоторый вектор $k\in \mathbb R^2$, $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$. Лемма 4.1 (см. [22]). Существуют число $\mathcal N [\lambda;k]\in \mathbb N $ и множество ${\mathfrak M}_{\mp}(\lambda;k)\subset \mathbb C$, для которого $\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_{\mp}(\lambda;k)$ – дискретное множество, такие, что $\dim\mathcal H_{\mp}(\lambda,k;\zeta)=\mathcal N [\lambda;k]$ при всех $\zeta \in {\mathfrak M}_{\mp}(\lambda;k)$ и $\dim\mathcal H_{\mp}(\lambda,k;\zeta)>\mathcal N [\lambda;k]$ при всех $\zeta \in \mathbb C \setminus {\mathfrak M}_{\mp}(\lambda;k)$. При этом ${\mathfrak M}_-(\lambda;k)=\{z\in \mathbb C \colon \overline z\in {\mathfrak M}_+(\lambda;k)\} $. Доказательство. Из леммы 3.5 и теорем 3.1 и 3.2 для всех $\zeta \in \mathbb C $, для которых $|\zeta |\geqslant C_2'=C_2(\Lambda,B,B+V-\lambda;\frac12)>0$, и всех $\Phi \in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)\setminus \{0_B\} $ следуют оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \| B+V-\lambda \|_{L^2(K)}\| \widehat P^{(0)}(k)\Phi \|_B\geqslant C_1^{-1} \| B+V-\lambda \|_{L^2(K)}\| \widehat P^{(0)}(k)\Phi \|_{L^{\infty}(K)} \\ \notag &\qquad \geqslant C_1^{-1}\bigl\| (B+V-\lambda)\widehat P^{(0)}(k)\Phi \bigr\|_B= C_1^{-1}\bigl\| (\widehat H_-(k;\zeta)-\lambda)(\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k))\Phi\bigr \|_B \\ \notag &\qquad \geqslant \frac12 C_1^{-1}\bigl\| (\widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k)+\zeta \widehat Z_-(k))(\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k))\Phi \bigr\|_B \\ &\qquad \geqslant \frac12C_1^{-1}\sqrt {\frac B2}\, |\zeta |\, \bigl\| (\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k))\Phi \bigr\|_B. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Поэтому (при всех $\zeta \in \mathbb C $, для которых $|\zeta |\geqslant C_2'$) $\widehat P^{(0)}(k)\Phi \neq 0_B$. Откуда $\dim \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)\leqslant \dim \mathcal H^{(0)}_B(k)=P$. Но $\dim \mathcal H_-(\lambda,k; \zeta)=\mathcal N [\lambda;k]$ для всех $\zeta \in {\mathfrak M}_- (\lambda;k)$ и $\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ – дискретное множество. Следовательно, $\mathcal N [\lambda;k]\leqslant P$. Теорема доказана. Для множества ${\mathcal A}\,{\subseteq}\, \mathcal H_B$ обозначим ${\mathcal A}^{\perp}{\doteq}\, \{ \Phi \,{\in}{\kern1pt} \mathcal H_B\colon (\Phi, \chi)_B{=}\,0\text{ для всех }\chi{\kern1pt}{\in}\,{\mathcal A}\} $. Теорема 4.2 (см. [22]). Для любого $\zeta_0\in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ существует число $r>0$ такое, что $U^{(1)}_{r}(\zeta_0) \subset {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ и для любой функции $\Phi_{\zeta_0}\in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta_0)$ существует (единственная) аналитическая функция $U^{(1)}_{r}(\zeta_0)\ni \zeta \mapsto \Phi (\zeta_0;\zeta)\in \mathcal H_B$, для которой $\Phi (\zeta_0;\zeta_0)=\Phi_{\zeta_0}$, $\Phi (\zeta_0;\zeta)\in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$ и $\Phi (\zeta_0;\zeta)-\Phi_{\zeta_0}\in (\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta_0))^{\perp}$ для всех $\zeta \in U^{(1)}_{r}(\zeta_0)$. Лемма 4.2 (см. [22]). Для любого $\zeta_0\in \mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ существуют число $r>0$ (для которого $U^{(1)}_{r}(\zeta_0)\setminus \{\zeta_0\} \subset {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$) и аналитические функции $U^{(1)}_{r}(\zeta_0)\ni \zeta \mapsto \Phi_{\zeta_0,j}(\zeta)\in \mathcal H_B$, $j=1,\dots, \mathcal N [\lambda;k]$, такие, что при всех $\zeta \in U^{(1)}_{r}(\zeta_0)\setminus \{\zeta_0\} $ функции $\Phi_{\zeta_0,j}(\zeta)$, $j=1,\dots, \mathcal N [\lambda;k]$, образуют (не обязательно ортонормированный) базис в $\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$. Пусть $\mathcal L$ – какое-либо $\mathcal N [\lambda;k]$-мерное подпространство в $\mathcal H_B$. Определим непрерывную функцию ${\mathfrak M}_-(\lambda;k)\ni \zeta \mapsto {\Delta}^-_{\mathcal L}(\zeta)\in [0,1]$. Для этого при каждом $\zeta \in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ в $\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$ выберем ортонормированный базис $E^-_{\zeta,\mu}$, $\mu=1,\dots, \mathcal N [\lambda;k]$, и пусть $\Phi_{\nu}$, $\nu=1,\dots, \mathcal N [\lambda;k]$, – некоторый ортонормированный базис в $\mathcal L$. Положим
$$
\begin{equation*}
{\Delta}^-_{\mathcal L}(\zeta)=\bigl| \det((E^-_{\zeta,\mu},\Phi_{\nu})_B)_{\mu,\nu=1}^{\mathcal N [\lambda;k]} \bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом ${\Delta}^-_{\mathcal L}(\zeta)$ не зависит от выбора ортонормированных базисов $E^-_{\zeta,\mu}$ и $\Phi_{\nu}$. Равенство ${\Delta}^-_{\mathcal L}(\zeta)=0$ выполняется тогда и только тогда, когда существует ненулевая функция $\Phi \in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta) \cap {\mathcal L}^{\perp}$. Для любого $\mathcal N [\lambda;k]$-мерного подпространства $\mathcal L$ либо ${\Delta}^-_{\mathcal L}(\zeta)\equiv 0$, либо ${\mathcal M}_{\mathcal L}(\lambda;k)\doteq \{\zeta \in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)\colon {\Delta}^-_{\mathcal L} (\zeta)=0\} $ – дискретное множество в $\mathbb C $ (см. [22], где рассматривались подпространства ${\mathcal L}=\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta_0)$, $\zeta_0\in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$). Пусть $\widehat P_{\mathcal L}$ – ортогональный проектор в $\mathcal H_B$ на подпространство $\mathcal L$. Обозначим через ${\mathbb L}(\lambda;k)$ совокупность $\mathcal N [\lambda;k]$-мерных подпространств ${\mathcal L} \in \mathcal H_B$, для которых ${\mathcal M}_{\mathcal L}(\lambda;k)$ – дискретные множества в $\mathbb C $ (тогда множества $(\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)) \cup {\mathcal M}_{\mathcal L}(\lambda;k)$ также дискретные). Для любого ${\mathcal L} \in {\mathbb L}(\lambda;k)$ и любого числа $\zeta \in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)\setminus {\mathcal M}_{\mathcal L}(\lambda;k)$ ограничение ортогонального проектора $\widehat P_{\mathcal L}$ на подпространство $\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$ является биективным линейным отображением на $\mathcal L$. Теорема 4.3. Пусть ${\mathcal L}\in {\mathbb L}(\lambda;k)$. Тогда для любой функции $\psi \in {\mathcal L}$ существует (единственная) аналитическая функция такая, что $\widehat P_{\mathcal L}\Phi (\psi;\zeta)=\psi $, и для нее $\| \Phi (\psi;\zeta)\|_B\leqslant \mathcal N [\lambda;k]({\Delta}^-_{\mathcal L}(\zeta))^{-1}\| \psi \|_B$ при всех $\zeta \in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)\setminus {\mathcal M}_{\mathcal L}(\lambda;k)$. Теорема 4.4. Пусть ${\mathcal L}\in {\mathbb L}(\lambda;k)$. Тогда числа $\zeta \in (\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)) \cup {\mathcal M}_{\mathcal L}(\lambda;k)$ для функций (4.2) либо являются полюсами (конечного порядка), либо функции (4.2) аналитически продолжаются в некоторые окрестности этих чисел. Теорема 4.3 доказывается (с помощью теоремы 4.2) так же, как теорема 3.4 в [22]. Теорема 4.4 (с использованием леммы 4.2) доказывается аналогично леммам 3.17 и 3.18 в [22]. В [22] в качестве подпространств ${\mathcal L}\in {\mathbb L}(\lambda;k)$ рассматривались подпространства $\mathcal H_-(\lambda,k;\zeta_0)$, $\zeta_0\in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$. § 5. Кратность собственных значений при $k+i\varkappa \in \mathbb C^2$Пусть $\lambda \in \mathbb R $ – собственное значение оператора $\widehat H_B+V$, $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\geqslant 1$. Лемма 5.1. Если $k\in {\mathbb M}(\lambda)$, то существует число $\varepsilon >0$ такое, что для всех $k'+i {\varkappa}'\in U^{(2)}_{\varepsilon}(k)$ выполняется равенство $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k'+i{\varkappa}')=\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$. Доказательство. Пусть ${\gamma}_{\widetilde {\varepsilon}}$ – ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса $\widetilde {\varepsilon}>0$ с центром в $\lambda $, лежащая в резольвентном множестве оператора $\widehat H_B (k)+V$, $k\in {\mathbb M}(\lambda)$, и охватывающая только одно его собственное значение $\lambda $. При некотором $\delta >0$ окружность ${\gamma}_{\widetilde {\varepsilon}}$ также лежит в резольвентном множестве операторов $\widehat H_B(k'+i{\varkappa}')+V$ при всех $k'+i{\varkappa}' \in U^{(2)}_{\delta}(k)$, резольвента $(\widehat H_B(k'+i{\varkappa}')+V-\zeta )^{-1}$, $\zeta \in {\gamma}_{\widetilde {\varepsilon}}$, непрерывно (в операторной норме) зависит от $k'+i{\varkappa}'$ и непрерывная зависимость равномерна по всем $\zeta \in {\gamma}_{\widetilde {\varepsilon}}$. Поэтому определен проектор Рисса
$$
\begin{equation*}
\widehat P(k;k'+i{\varkappa}')=-\frac1{2\pi i}\oint_{{\gamma}_{\widetilde {\varepsilon}}} \bigl(\widehat H_B(k'+i{\varkappa}')+V-\zeta \bigr)^{-1}\, d\zeta
\end{equation*}
\notag
$$
на подпространство собственных и присоединенных функций оператора $\widehat H_B(k'+i\varkappa')+V$ с собственными значениями $\lambda'\in U^{(1)}_{\widetilde{\varepsilon}} (\lambda)$. Так как $\widehat H_B(k')\,{+}\,V$ – самосопряженные операторы, то, уменьшая, если нужно, число $\delta >0$, можно считать, что при $k'+i{\varkappa}'\in U^{(2)}_{\delta}(k)$ у операторов $\widehat H_B(k'+i{\varkappa}')+V$ нет присоединенных функций с собственными значениями ${\lambda}'\in U^{(1)}_{\widetilde {\varepsilon}}(\lambda)$. Поэтому (в силу непрерывности проектора Рисса) для всех $k'+i{\varkappa}'\in U^{(2)}_{\delta}(k)$
$$
\begin{equation}
\sum_{{\lambda}'\in U^{(1)}_{\widetilde {\varepsilon}}(\lambda)}\widetilde{\mathcal N} ({\lambda}'; k'+i{\varkappa}')=\widetilde{\mathcal N} (\lambda).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Если $\Phi_j(k)$, $j=1, \dots, \widetilde{\mathcal N} (\lambda)$, – некоторый ортонормированный базис в $\mathcal H (\lambda;k)$, то функции $U^{(2)}_{\delta}(k)\,{\ni}\,k'+i{\varkappa}' \,{\mapsto}\, \widehat P(k;k'+ i{\varkappa}')\Phi_j(k)$ аналитические, $\widehat P(k;k)\Phi_j(k)=\Phi_j(k)$ и при достаточно малом $\delta >0$ их значения линейно независимы при всех $k'+i{\varkappa}'\in U^{(2)}_{\delta}(k)$. Так как множество ${\mathbb M}(\lambda)$ открыто в $\mathbb R^2$, то существует число $\varepsilon \in (0,{\delta}/2)$ такое, что для любого вектора $\widetilde k\in \mathbb R^2$, для которого $|\widetilde k-k|<\varepsilon $, имеет место включение $\widetilde k\in {\mathbb M}(\lambda)$. Для каждого такого вектора $\widetilde k$ пусть $\Phi_{\mu}(\widetilde k)$, $\mu=1, \dots, \widetilde{\mathcal N} (\lambda)$, – некоторый ортонормированный базис в $\mathcal H (\lambda;\widetilde k)$. Для любого $e\in S^1$ существуют число $\delta (\widetilde k,e)>0$ и аналитические функции
$$
\begin{equation*}
U^{(1)}_{\delta (\widetilde k,e)}(0)\ni z\mapsto \Phi_{\mu}(\widetilde k;z)\in \mathcal H (\lambda;k+ze)\subset \mathcal H_B, \qquad \mu= 1, \dots, \widetilde{\mathcal N} (\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
для которых $\Phi_{\mu}(\widetilde k;0)=\Phi_{\mu}(\widetilde k)$ и значения которых при всех $z\in U^{(1)}_{\delta (\widetilde k,e)}(0)$ также линейно независимы (см. [16; теорема XIII.13]). Обозначим $\delta_1(\widetilde k,e;\delta)=\min\{\delta (\widetilde k,e),\delta/2\} $. Тогда для всех рассматриваемых векторов $\widetilde k\in {\mathbb M}(\lambda)$, всех $e\in S^1$ и всех $z\in U^{(1)}_{\delta_1(\widetilde k,e;\delta)}(0)$ справедливо включение $\widetilde k+ze\in U^{(2)}_{ \delta}(k)$, поэтому в силу (5.1) функции $\widehat P(k;\widetilde k+ze)\Phi_j(k)$ являются линейными комбинациями функций $\Phi_{\mu}(\widetilde k;z)$. Откуда $\widehat P(k;\widetilde k+ze)\Phi_j(k)\in \mathcal H (\lambda; \widetilde k+ze)$. В силу аналитической теоремы Фредгольма последнее включение выполняется для всех векторов $\widetilde k\in \mathbb R^2$, для которых $|\widetilde k-k|<\varepsilon $, всех $e\in S^1$ и всех $z\in U^{(1)} _{\delta /2}(0)$. Так как любой вектор $k'+i{\varkappa}'\in U^{(2)}_{\varepsilon}(k)$ можно представить в виде $\widetilde k+ze$, где $\widetilde k\in \mathbb R^2$, $|\widetilde k-k|<\varepsilon $, $e\in S^1$ и $z\in U^{(1)}_{\delta /2}(0)$, то $\widehat P(k;k'+i{\varkappa}')\Phi_j(k)\in \mathcal H (\lambda;k'+i{\varkappa}')$ для всех $k'+i{\varkappa}'\in U^{(2)} _{\varepsilon}(k)$, $j=1, \dots, \widetilde{\mathcal N} (\lambda)$. Следовательно, $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k'+i{\varkappa }')=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$. Лемма доказана. Лемма 5.2. Если $k\in {\mathbb M}(\lambda)$, то $\mathcal N [\lambda;k]=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$. Доказательство. В силу леммы 5.1 существует число $\varepsilon >0$ такое, что $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k'+i{\varkappa} ')=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$ для всех $k'+i{\varkappa}'\in U^{(2)}_{ \varepsilon}(k)$. С другой стороны, так как $\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$ – дискретное множество, то найдется число $\zeta \in {\mathfrak M}_-(\lambda;k)$, для которого $k+(\zeta /2)e_1+i(\zeta /2)e_2\in U^{(2)}_{\varepsilon}(k)$. Тогда из леммы 4.1 следует $\mathcal N [\lambda;k]=\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k+ (\zeta /2)e_1+i(\zeta /2)e_2)=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)$. Лемма доказана. Из леммы 5.2 и теоремы 4.1 непосредственно следует теорема 1.1. Лемма 5.3. Если $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)=P$, то для всех $k\in \mathbb R^2$ также $\mathcal N [\lambda;k]=P$. Доказательство. Так как $v(\mathbb R^2\setminus {\mathbb M}(\lambda))=0$ и $\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k')$ – дискретные множества для всех $k'\in \mathbb R^2$, то для любых $k\in \mathbb R^2$ и $\zeta \in {\mathfrak M} _-(\lambda;k)$ найдутся векторы $k_j\in {\mathbb M}(\lambda)$ и числа $\zeta_j\in {\mathfrak M}_-(\lambda; k_j)$, $j\in \mathbb N $, такие, что $k_j+(\zeta_j/2)e_1+i(\zeta_j/2)e_2\to k+(\zeta /2)e_1 +i(\zeta /2)e_2$ при $j\to +\infty $. В силу леммы 5.2 $\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k_j+(\zeta_j/2)e_1 +i(\zeta_j/2)e_2)=\mathcal N [\lambda;k_j]=\widetilde{\mathcal N} (\lambda)=P$, $j\in \mathbb N $. Поэтому из леммы 2.2 получаем $\mathcal N [\lambda;k]=\widetilde{\mathcal N} (\lambda;k+(\zeta /2)e_1+i(\zeta /2)e_2)\geqslant P$. С другой строны, в силу теоремы 4.1 $\mathcal N [\lambda;k]\leqslant P$. Поэтому $\mathcal N [\lambda;k]=P$ для всех $k\in \mathbb R^2$. Лемма доказана.
§ 6. Доказательство теоремы 1.26.1. Определение и свойства функций $\Phi (k,\psi;\cdot)$Далее предполагается, что $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)\,{=}\,P$. Из леммы 5.3 следует, что также $\mathcal N [\lambda;k]\,{=}\,P$ для всех $k\,{\in}\,\mathbb R^2$. Пусть $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ – непостоянная функция и $k\in \mathbb R^2$. Из оценок (4.1) следует, что $\mathcal H_B^{(0)}(k)\in {\mathbb L}(\lambda;k)$. Поэтому в условиях теорем 4.3 и 4.4 можно выбрать подпространство ${\mathcal L}=\mathcal H_B^{(0)}(k)$ и из теоремы 4.3 получаем, что для любой функции $\psi \in \mathcal H_B^{(0)}(k)\setminus \{0_B\} $ существует (единственная) аналитическая функция
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak M}_-(\lambda;k)\setminus {\mathcal M}_{\mathcal H_B^{(0)}(k)}(\lambda;k)\ni \zeta \mapsto \Phi (k,\psi; \zeta)\in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)\subset \mathcal H_B,
\end{equation*}
\notag
$$
для которой $\widehat P^{(0)}(k)\Phi (k,\psi;\zeta)=\psi $ при всех $\zeta \in {\mathfrak M}_-(\lambda;k) \setminus {\mathcal M}_{\mathcal H_B^{(0)}(k)}(\lambda;k)$. Множество $(\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)) \cup {\mathcal M}_{\mathcal H_B^{(0)}(k)}(\lambda;k)$ дискретно и в силу теоремы 4.4 функции $\Phi (k,\psi;\cdot)$ либо в точках этого множества имеют полюсы (конечного порядка), либо аналитически продолжаются в некоторые окрестности этих точек. Из (4.1) следует, что при $|\zeta |\geqslant C_2'=C_2(\Lambda,B,B+V-\lambda;1/2)>0$
$$
\begin{equation}
\| (\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k)) \Phi (k,\psi;\zeta)\|_B\leqslant 2C_1\sqrt {\frac 2B}|\zeta |^{-1}\| B+V-\lambda \|_{L^2(K)}\| \psi \|_B
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
(оценка (6.1) справедлива и при $\zeta \in (\mathbb C \setminus {\mathfrak M}_-(\lambda;k)) \cup {\mathcal M}_{\mathcal H_B^{(0)}(k)}(\lambda;k)$, если $|\zeta |\geqslant C_2'$, так как функции $\Phi (k,\psi;\cdot)$ ограничены и, следовательно, аналитические в некоторых окрестностях таких точек $\zeta $). Поэтому у функций $\Phi (k,\psi;\cdot)$ может быть только конечное число полюсов, которые обозначим через $\zeta_1(k,\psi), \dots, \zeta_n(k,\psi)$, где $n=n(k,\psi)\in \mathbb N $ (случай $n=0$ можно исключить, так как тогда для всех $\zeta\,{\in}\, \mathbb C$ выполнялось бы включение $\psi \in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$ и, следовательно, $(B+V-\lambda)\psi=0_B$, что невозможно, так как $V$ – непостоянная функция и $\psi (k)\in C^{\omega}(\mathbb R^2;\mathbb C)$). Так как аналитические функции $\chi \colon \mathbb C \,{\to}\, \mathcal H_B$, для которых $\chi (\zeta)\,{\to}\,0_B$ при $\zeta \to \infty $, тождественно обращаются в $0_B$, то, принимая во внимание оценку (6.1), получаем, что для некоторых функций ${\mathfrak A}_{j,\mu}(k,\psi)\in \mathcal H^2_B$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$, $\mu=1,\dots, \mu_j(k,\psi)$ (где $\mu_j(k,\psi)\in \mathbb N $) при $\zeta \in \mathbb C \setminus \bigcup_{j=1}^{n(k,\psi)}\{\zeta_j(k,\psi)\} $ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\Phi (k,\psi;\zeta)=\psi +\sum_{j= 1}^{n(k,\psi)}\sum_{\mu= 1}^{\mu_j(k,\psi)}\frac {{\mathfrak A}_{j,\mu}(k,\psi)}{(\zeta -\zeta_j(k,\psi))^{\mu}}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
При этом $\widehat P^{(0)}(k){\mathfrak A}_{j,\mu}(k,\psi)=0_B$ для всех $j$ и $\mu $. Так как для всех $k\in \mathbb R^2$, $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $ и $Y\in 2\pi \Lambda^*$
$$
\begin{equation*}
e^{-i(Y,x)}\Phi (k,\psi;\cdot)=\Phi (k+Y,e^{-i(Y,x)}\psi;\cdot),
\end{equation*}
\notag
$$
где $e^{-i(Y,x)}\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k+Y)\setminus \{0_B\} $, то имеет место простая лемма 6.1. Лемма 6.1. Для любых $k\in \mathbb R^2$, $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $ и $Y\in 2\pi \Lambda^*$ выполняются включение $e^{-i(Y,x)}\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k+Y)\setminus \{0_B\} $ и равенства $n(k,\psi)=n(k+ Y, e^{-i(Y,x)}\psi)$, $\mu_j(k,\psi)=\mu_j(k+Y, e^{-i(Y,x)}\psi)$, $\zeta_j(k,\psi)=\zeta_j(k+Y,e^{-i(Y,x)}\psi)$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$. Следующая лемма непосредственно вытекает из неравенств (6.1). Лемма 6.2. Для всех $k\in \mathbb R^2$, $\psi \in \mathcal H_B^{(0)}(k)\setminus \{0_B\} $ и $j=1,\dots, n(k,\psi)$ справедлива оценка $|\zeta_j(k,\psi)|<C_2'$ (где постоянная $C_2'=C_2(\Lambda,B,B+V-\lambda;1/2) >0$ не зависит ни от $k$, ни от $\psi $). Пусть
$$
\begin{equation}
\mathbb C \ni \zeta \mapsto {\mathfrak P}(k,\psi;\zeta)=\prod_{j= 1}^{n(k,\psi)}(\zeta - \zeta_j(k,\psi))^{\mu_j(k,\psi)}=\sum_{j= 0}^{m(k,\psi)}{\mathfrak P}_j(k,\psi)\zeta^{m(k,\psi)-j}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
– многочлен степени $m(k,\psi)=\sum_{j= 1}^{n(k,\psi)}\mu_j(k,\psi)$, ${\mathfrak P}_j(k,\psi)\in \mathbb C $, $j=1,\dots,m(k,\psi)$, и ${\mathfrak P}_0(k,\psi)=1$. Из (6.2) следует равенство
$$
\begin{equation}
{\mathfrak P}(k,\psi;\zeta)\Phi (k,\psi;\zeta)=\zeta^{m(k,\psi)}\psi +\sum_{j= 1}^{m(k,\psi)}\zeta^{m(k,\psi)-j}{\mathcal F}_j(k,\psi),
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
где ${\mathcal F}_j(k,\psi)\in \mathcal H^2_B$. При этом ${\mathfrak P}(k,\psi;\zeta)\Phi (k,\psi;\zeta)\in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$ для всех $\zeta \in \mathbb C $. Из (6.4) получаем
$$
\begin{equation}
(B+V-\lambda)\psi=-\widehat Z_-(k){\mathcal F}_1(k,\psi),
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
$$
\begin{equation*}
(\widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k)+B+V-\lambda){\mathcal F}_j(k,\psi)=-\widehat Z_-(k){\mathcal F}_{j+1}(k,\psi),\quad j\,{=}\,1,\dots, m(k,\psi)\,{-}\,1, \\ \notag (\widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k)+B+V-\lambda){\mathcal F}_{m(k,\psi)}(k,\psi)=0_B.
\end{equation*}
\notag
$$
6.2. Гладкость потенциала $V$Лемма 6.3. Пусть $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$, $k\in \mathbb R^2 $, $\psi \in \mathcal H_B^{(0)}(k)\setminus \{0_B\} $ и для функций ${\mathcal F}_j(k,\psi)\in \mathcal H^2_B$, $j=1,\dots, m(k,\psi)$, выполняются равенства (6.5). Тогда $V\in C^{\infty}(\mathbb R^2\setminus \{x\colon \psi (x)=0\};\mathbb R)$. При доказательстве леммы 6.3 используются следующие две простые леммы. Пусть $\mathcal O$ – некоторая область в $\mathbb R^2$. Лемма 6.4. Пусть $k\in \mathbb R^2$. Если ${\mathcal F}\in H^2_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$ и $\bigl(k_1-i\,{\partial}/{\partial x_1}\bigr)^2{\mathcal F}+\bigl(k_2-i\,{\partial}/{\partial x_2}-Bx_1 \bigr)^2{\mathcal F}\in H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, $m\in \mathbb Z_+$, то ${\mathcal F}\in H^{m+2}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$. Лемма 6.5. Если ${\mathcal W}\in H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$ и ${\mathcal F}\in H^{m+1}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$ для некоторого $m\in \mathbb N $, то ${\mathcal W}{\mathcal F}\in H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$. Лемма 6.5 следует из вложений $H^{m+2}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)\subset C^m({\mathcal O};\mathbb C)$, $m\in \mathbb Z_+$, и $H^1_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)\subset L^p_{\mathrm {loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, $p>2$ (последнее вложение используется при $p=4$). Доказательство леммы 6.3. Пусть $\mathcal O$ – область в $\mathbb R^2$, не содержащая нулей функции $\psi $ и такая, что $|\psi (x)| \geqslant \varepsilon >0$ для всех $x\in {\mathcal O}$. Так как ${\mathcal F}_j(k,\psi)(\cdot |_{\mathcal O})\in H^2_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$, то из первого равенства в (6.5) следует, что $(B+V-\lambda)\psi (\cdot |_{\mathcal O})\in H^1_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, и поэтому $V(\cdot |_{\mathcal O})\in H^1_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb R)$. Теперь воспользуемся индукцией по $m\in \mathbb N $. Предположим, что ${\mathcal F}_j(k,\psi)(\cdot |_{\mathcal O}) \in H^{m+1}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$, и $V(\cdot |_{\mathcal O})\in H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb R)$, $m\in \mathbb N $. Так как справедливы включения $\widehat Z_-(k){\mathcal F}_j(k,\psi)(\cdot |_{\mathcal O})\in H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, $j=2,\dots, n(k,\psi)$, и (в силу леммы 6.5) $(B+V-\lambda){\mathcal F}_j(k;\psi)(\cdot |_{\mathcal O})\in H^m_{\mathrm {loc}} ({\mathcal O};\mathbb C)$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$, то из равенств (6.5) получаем $\widehat Z_+(k)\widehat Z_-(k) {\mathcal F}_j(k,\psi)(\cdot|_{\mathcal O})\in H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$, и, следовательно (см. лемму 6.4), ${\mathcal F}_j(k,\psi)(\cdot |_{\mathcal O})\in H^{m+2}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$. Тогда из первого равенства в (6.5) вытекает включение $(B+V-\lambda)\psi (\cdot |_{\mathcal O})\in H^{m+1}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, откуда $V(\cdot |_{\mathcal O})\in H^{m+1}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb R)$. Поэтому ${\mathcal F}_j(k,\psi) (\cdot |_{\mathcal O})\in H^{m+1}_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb C)$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$, и $V(\cdot |_{\mathcal O})\in H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb R)$ для всех $m\in \mathbb N $ и, следовательно, выполняется включение $V(\cdot |_{\mathcal O})\in \bigcap_{m\in \mathbb N}H^m_{\mathrm{loc}}({\mathcal O};\mathbb R)= C^{\infty}({\mathcal O};\mathbb R)$. Лемма 6.3 доказана, так как объединение всех рассматриваемых областей $\mathcal O$ совпадает с $\mathbb R^2\setminus \{x\colon \psi (x)=0\} $. Доказательство теоремы 1.2. Покажем, что потенциал $V\in L^2_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ в случае $\widetilde{\mathcal N} (\lambda)=P=\eta $, где $\lambda $ – собственное значение оператора $\widehat H_B+V$, принадлежит $C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$. Из леммы 5.3 следует, что $\mathcal N [\lambda;k]=P$ для всех $k\in \mathbb R^2$. Поэтому (для вектора $k\in \mathbb R^2$ и функции $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $) из (6.4) определяются функции ${\mathcal F}_j (k,\psi)\in \mathcal H^2_B$, удовлетворяющие равенствам (6.5). Тогда из леммы 6.3 следует, что $V\in C^{\infty}(\mathbb R^2\setminus \{x\colon \psi (x)=0\};\mathbb R)$. Множество $\{x\colon \psi (x)=0\} $ является периодическим4 с решеткой периодов $\Lambda $ и $\psi \in C^{\omega}(\mathbb R^2,\mathbb C)$, поэтому для любой точки $y\in\mathbb R^2$ найдутся открытая окрестность ${\mathcal O}(y)\subset \mathbb R^2$ и вектор $k'\in \mathbb R^2$ такие, что ${\mathcal O}(y) \cap \{ x\colon \psi '(k';x)=0\}=\varnothing $, где $\psi '(k')= \widehat U(k,k')\psi\in \mathcal H^{(0)}_B(k')\setminus \{0_B\} $,
$$
\begin{equation*}
\{x\colon \psi '(k';x)=0\}=\{x\colon \psi (x)=0\} +\frac{k_2'-k_2}B\, e_1-\frac{k_1'-k_1}B\, e_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как вместо вектора $k$ и функции $\psi $ можно выбрать вектор $k'$ и функцию $\psi '(k')$ (и для них определить функции $\Phi (k',\psi '(k');\cdot)$ и функции ${\mathcal F}_j(k',\psi '(k'))$, $j=1,\dots,m(k',\psi '(k'))$, для которых выполняются равенства (6.5)), то в силу леммы 6.3 $V\in C^{\infty}(\mathbb R^2\setminus \{x\colon \psi '(k';x)=0\};\mathbb R)$. Откуда $V(\cdot|_{{\mathcal O}(y)})\in C^{\infty}({\mathcal O}(y);\mathbb R)$ для всех $y\in \mathbb R^2$ и, следовательно, $V\in C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$. Теорема доказана. § 7. Аналитические функции со значениями в гильбертовом пространствеПусть $\mathcal H $ – комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением $(\cdot,\cdot)_{\mathcal H}$ (линейным по второму аргументу). Обозначим через ${\mathcal L}(A)$ (замкнутую) линейную оболочку множества $A\subseteq \mathcal H $. Лемма 7.1. Пусть ${\mathcal F}_j\colon \mathbb C \to \mathcal H $, $j=1, \dots, N$ (где $N\in \mathbb N $), – аналитические функции. Тогда для любого $z\in \mathbb C $ существует дискретное множество $M(z)\,{\subset}\,\mathbb C$ такое, что для всех $z'\in \mathbb C \setminus M(z)$ Доказательство. Пусть $z\in \mathbb C $ и $n\doteq \dim{\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j=1, \dots, N\}) \geqslant 1$. В подпространстве ${\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j=1, \dots, N\})$ выберем какой-либо ортонормированный базис $\Phi_1,\dots,\Phi_n$. Пусть ${\mathcal F}_{j_{\nu}}(z)$, $\nu=1,\dots,n$, – (разные) функции из рассматриваемого множества функций, для которых ${\mathcal L}(\{ {\mathcal F}_{j_{\nu}}(z)\colon \nu=1, \dots, n\})= {\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j=1, \dots, N\}) $. Тогда функция
$$
\begin{equation*}
\mathbb C \ni z'\mapsto \det\bigl((\Phi_{\mu},{\mathcal F}_{j_{\nu}}(z'))_{\mathcal H}\bigr) _{\mu,\nu= 1}^n\in \mathbb C
\end{equation*}
\notag
$$
аналитическая и не обращается в 0 при $z'=z$. Если $M(z)$ – множество нулей этой функции, то $M(z)$ – дискретное множество и для всех $z'\in \mathbb C \setminus M(z)$ ортогональные проекции функций ${\mathcal F}_{j_{\nu}}(z')$, $\nu=1,\dots,n$, на подпространство ${\mathcal L}(\{ {\mathcal F}_j(z)\colon j=1, \dots, N\})$ линейно независимы и, следовательно, выполняется неравенство (7.1). Лемма доказана. Лемма 7.2. Пусть ${\mathcal F}_j\colon \mathbb C \to \mathcal H $, $j\in \mathbb N $, – аналитические функции, не все из которых нулевые. Предположим, что $\dim{\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\})<+\infty $ для всех $z\in \mathbb C $. Тогда найдутся число $N\in \mathbb N $ и (возможно, пустое) дискретное множество $M\subset \mathbb C $ такие, что $\dim{\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\})=N$ при всех $z\in \mathbb C\setminus M$ и $\dim{\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\})<N$ при $z\in M$. Доказательство. Предположим, что найдутся числа $z_n\in \mathbb C $, $n\in \mathbb N $, для которых $\dim {\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z_n)\colon j\in \mathbb N\}) \geqslant n$. Тогда с помощью леммы 7.1 получаем, что существуют дискретные множества $M_n\subset \mathbb C $, $n\in \mathbb N $, такие, что $z_n\not\in M_n$ и $\dim {\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\}) \geqslant \dim{\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z_n)\colon j\in \mathbb N\}) \geqslant n$ при всех $z\in \mathbb C \setminus M_n$. Но множество $\widetilde M\doteq \bigcup_{n= 1}^{+\infty} M_n$ не более чем счетно. Поэтому $\mathbb C \setminus \widetilde M\neq \varnothing $ и $\dim {\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\})=+\infty $ при всех $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M$. Последнее утверждение противоречит условию леммы 7.2. Следовательно, существует число $N\in \mathbb Z_+$ такое, что $\dim{\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\})\leqslant N$ при всех $z\in \mathbb C $. Пусть это будет наименьшее такое число. Так как не все функции ${\mathcal F}_j(\cdot)$ нулевые, то $N\,{\in}\,\mathbb N $. Тогда в силу леммы 7.1 найдется дискретное множество $M\subset \mathbb C $ такое, что $\dim{\mathcal L} (\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\})=N$ при всех $z\in \mathbb C \setminus M$ и $\dim{\mathcal L} (\{{\mathcal F}_j(z)\colon j\in \mathbb N\})<N$ при $z\in M$. Лемма доказана. Лемма 7.3. Пусть ${\mathcal F}_j\colon \mathbb C \to \mathcal H $, $j=1, \dots, N$ (где $N\in \mathbb N $), – аналитические функции и $M\subset \mathbb C $ – некоторое дискретное множество. Предположим, что $\dim {\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j=1, \dots, N\})=N$ при всех $z\in \mathbb C \setminus M$ и ${\mathcal F}\colon \mathbb C \to \mathcal H $ – аналитическая функция такая, что ${\mathcal F}(z)\in {\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z)\colon j=1, \dots, N\}) $ при всех $z\in \mathbb C \setminus M$. Тогда существуют аналитические или мероморфные функции ${\mathcal C}_j$, $j=1, \dots,N$, со значениями в $\mathbb C $ и с полюсами, принадлежащими дискретному множеству $M$, такие, что при всех $z\in \mathbb C \setminus M$. Доказательство. Функции ${\mathcal C}_j(z)$ однозначно определяются при всех $z\in \mathbb C \setminus M$. Пусть $z_0\in \mathbb C \setminus M$. Как и при доказательстве леммы 7.1, в подпространстве ${\mathcal L}(\{ {\mathcal F}_j(z_0)\colon j=1,\dots, N\})$ выберем какой-либо ортонормированный базис $\Phi_1, \dots, \Phi_N$. Так как
– ненулевая аналитическая функция (она отлична от 0 при $z=z_0$), то ее нули образуют дискретное множество $M(z_0)$. Пусть $\widehat P(z_0)$ – ортогональный проектор в пространстве $\mathcal H $ на подпространство ${\mathcal L}(\{{\mathcal F}_j(z_0)\colon j=1, \dots, N\})$. Тогда при $z\in \mathbb C \setminus (M\cup M(z_0))$ разложение ${\mathcal F}(z)=\sum_{j= 1}^N{\mathcal C}_j(z){\mathcal F}_j(z)$ эквивалентно разложению $\widehat P(z_0){\mathcal F}(z)=\sum_{j= 1}^N{\mathcal C}_j(z)\widehat P(z_0){\mathcal F}_j(z)$ и функции ${\mathcal C}_j(\cdot)$ являются решениями системы линейных уравнений
$$
\begin{equation*}
(\Phi_{\mu},{\mathcal F}(z))_{\mathcal H}=\sum_{j= 1}^N{\mathcal C}_j(z)(\Phi_{\mu},{\mathcal F}_j(z))_{\mathcal H}, \qquad \mu=1, \dots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z\mapsto (\Phi_{\mu},{\mathcal F}(z))_{\mathcal H}$ и $z\mapsto (\Phi_{\mu},{\mathcal F}_j(z))_{\mathcal H} $ – аналитические функции. Поэтому из правила Крамера следует, что ${\mathcal C}_j(\cdot)$, $j=1,\dots,N$, – аналитические или мероморфные функции с полюсами в дискретном множестве $M\cup M(z_0)$. С другой стороны, $z_0\not\in M(z_0)$ для всех $z_0\in \mathbb C \setminus M$, поэтому полюсы функций ${\mathcal C}_j(\cdot)$ могут принадлежать только множеству $M$. Лемма доказана. § 8. Доказательство теоремы 1.38.1. Определение функций ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$ и ${\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$В дальнейшем предполагается, что $V\in C^{\infty}_{\Lambda}({\mathbb R^2},\mathbb R)$, $\lambda $ – собственное значение оператора $\widehat H_B+V$, и выбирается вектор $k\in \mathbb R^2$. Пусть $\widehat Z_-^{-1}(k)$ – правый обратный оператор к оператору $\widehat Z_-(k)$, для которого при всех $\psi (k)\in \mathcal H^{(0)}_B(k)$ и $m\in \mathbb Z_+$
$$
\begin{equation*}
\widehat Z_-^{-1}(k)\psi^{(m)}(k)=\bigl(2B(m+1)\bigr)^{-1/2}\psi^{(m+1)}(k);
\end{equation*}
\notag
$$
$\widehat Z_-(k)\widehat Z_-^{-1}(k)=\widehat I_B$. Линейные ограниченные операторы, являющиеся правыми обратными к оператору $\widehat Z_-(k)$, определяются неоднозначно. Любой такой оператор выражается в виде $\widehat Z_-^{-1}(k)+\widehat Q(k)$, где $\widehat Q(k)$ – линейный ограниченный оператор, для которого $\widehat Q(k)\Phi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)$ для всех $\Phi \in \mathcal H_B$. Из (6.2) и оценки (6.1) (см. также лемму 6.2) следует, что при $|\zeta |\geqslant C_2'> \max_{j= 1,\dots,m(k,\psi)}|\zeta_j(k,\psi)|$ функция $\Phi (k,\psi;\cdot)$ (где $k\in \mathbb R^2$, $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $) разлагается в ряд
$$
\begin{equation}
\Phi (k,\psi;\zeta)=\psi +\sum_{j= 1}^{+\infty}(-1)^j \zeta^{-j}\widehat Z_-^{-1}(k){\mathfrak B}_j(k,\psi).
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Так как ${\mathfrak P}(k,\psi;\zeta)\Phi (k,\psi;\zeta)\in \mathcal H_-(\lambda,k;\zeta)$ при всех $\zeta \in \mathbb C $, то для функций ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$ (принимая во внимание равенство (6.5) и включение $V\in C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb R)$) получаем
$$
\begin{equation}
{\mathfrak B}_j(k,\psi)=\bigl(\widehat Z_+(k)+(B+V-\lambda)\widehat Z_-^{-1}(k)\bigr)^{j-1}(B+V-\lambda)\psi, \qquad j\in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Лемма 8.1. Функции ${\mathfrak B}_1(k,\psi), \dots, {\mathfrak B}_{m(k,\psi)}(k,\psi)$ линейно независимы в $\mathcal H_B$. Остальные функции ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$, $j>m(k,\psi)$, являются их линейными комбинациями. При этом Доказательство. Из равенства (6.2) следует, что для всех $j\,{=}\,1,\dots,n(k,\psi)$ функции $\widehat Z_-(k){\mathfrak A}_{j,\mu_j(k,\psi)}(k,\psi)$ являются собственными функциями оператора $\widehat Z_+(k)+(B+V-\lambda)\widehat Z_-^{-1}(k)$ с собственными значениями $-\zeta_j(k,\psi)$, а функции $(-1)^{\mu_j(k,\psi)-\mu}\widehat Z_-(k){\mathfrak A}_{j,\mu}(k,\psi)$, $\mu=1,\dots, \mu_j(k,\psi)-1$, – присоединенными к ним функциями порядка $\mu_j(k,\psi)-\mu $, $\mu=1,\dots,\mu_j(k,\psi)-1$ (при $\mu_j(k,\psi)>1$). Все эти функции линейно независимы. Обозначим через $L(k,\psi)$ их линейную оболочку в $\mathcal H_B$, $\dim L(k,\psi)=m(k,\psi)$. Из (6.2) и (8.1) следует, что функции ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$ являются линейными комбинациями функций $\widehat Z_-(k){\mathfrak A}_{j,\mu} (k,\psi)$, следовательно, ${\mathfrak B}_j(k,\psi)\in L(k,\psi)$, $j\in \mathbb N $. С помощью (6.2) и (8.1) также получаем, что любая функция
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat Z_-(k){\mathfrak A}_{j,\mu}(k,\psi) =\frac1{2\pi i}\biggl(\prod_{j'\colon j'\neq j} \bigl(\zeta_j(k,\psi)-\zeta_{j'}(k,\psi)\bigr) \biggr)^{-1} \\ &\qquad\qquad \times\oint_{\gamma_R}\biggl(\prod_{j'\colon j'\neq j}\bigl(\zeta -\zeta_{j'}(k,\psi)\bigr)^{\mu_{j'(k,\psi)}}\biggr) \frac{\widehat Z_-(k)\Phi (k,\psi;\zeta)}{(\zeta -\zeta_j(k,\psi))^{\mu -1}}\,d\zeta \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(где $\gamma_R$ – ориентированная против часовой стрелки окружность в $\mathbb C $ радиуса $R>C_2'$ с центром в нуле) является конечной линейной комбинацией функций ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$. Если $s\in \mathbb N $ – наименьшее число, для которого функции ${\mathfrak B}_1(k,\psi), \dots,$ ${\mathfrak B}_s(k,\psi)$ линейно независимы в $\mathcal H_B$, а функция ${\mathfrak B}_{s+1}(k,\psi)$ является их линейной комбинацией, то из равенств
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak B}_{j+1}(k,\psi)=\bigl(\widehat Z_+(k)+(B+V-\lambda)\widehat Z_-^{-1}(k)\bigr) {\mathfrak B}_j(k,\psi), \qquad j\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что все функции ${\mathfrak B}_j(k,\psi)$ при $j\geqslant s+1$ также являются линейными комбинациями функций ${\mathfrak B}_1(k,\psi), \dots, {\mathfrak B}_s(k,\psi)$. Поэтому $s=m(k,\psi)$. Оператор $\widehat Z_+(k)+(B+V-\lambda)\widehat Z_-^{-1}(k)$, действующий в инвариантном подпространстве $L(k,\psi)$, имеет собственные значения $-\zeta_j(k,\psi)$ алгебраической кратности $\mu_j(k,\psi)$, $j=1,\dots, n(k,\psi)$. Тогда в силу теоремы Гамильтона–Кэли ограничение оператора
$$
\begin{equation*}
\prod_{j= 1}^{n(k,\psi)}\bigl(\widehat Z_+(k)+\zeta_j(k,\psi)+(B+V-\lambda)\widehat Z_-^{-1}(k)\bigr)^{\mu_j(k,\psi)}
\end{equation*}
\notag
$$
на подпространство $L(k,\psi)$ является нулевым оператором. Откуда следует равенство (8.3). Лемма доказана. Доказательство. Из (6.5) последовательно при $j=1,\dots,m(k,\psi)$ получаем, что существуют числа $q_0(k,\psi)=1$ и $q_j(k,\psi)\in \mathbb C $, $j=1,\dots,m(k,\psi)$, для которых
$$
\begin{equation*}
{\mathcal F}_j(k,\psi)\,{=}\sum_{\nu= 0}^{j-1}(-1)^{j-\nu}q_{\nu}(k,\psi)\widehat Z_-^{-1}(k) {\mathfrak B}_{j-\nu}(k,\psi)+q_j(k,\psi)\psi,\quad\ \ j\,{=}\,1,\dots,m(k,\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом из последнего равенства в (6.5) следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{\nu= 0}^{m(k,\psi)}(-1)^{\nu}q_{\nu}(k,\psi){\mathfrak B}_{m(k,\psi)+1-\nu}(k,\psi)=0_B.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, в силу (8.3) (и функции ${\mathfrak B}_s(k,\psi)$, $s=1,\dots,m(k,\psi)$, линейно независимы в $\mathcal H_B$). Поэтому $q_{\nu}(k,\psi)={\mathfrak P}_{\nu}(k,\psi)$, $\nu=0,\dots,m(k,\psi)$. Лемма доказана. Следствие 8.1. Для всех $\zeta \in \mathbb C \setminus \bigcup_{j= 1}^{n(k,\psi)}\{\zeta_j(k,\psi)\} $ Для зафиксированных вектора $k\in \mathbb R^2$ и функции $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)\setminus \{0_B\} $ векторам $k'\in \mathbb R^2$ взаимно однозначно соответствуют числа $z=k_1'-k_1+i(k_2'-k_2)\in \mathbb C $ и для каждого вектора $k'\in \mathbb R^2$ в соответствии с леммой 3.3 выберем функцию $\widetilde \psi (k')=\exp(-({z}/{2B})\widehat Z_+(k))\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k')\setminus \{ 0_B\} $. Из леммы 8.1 следует, что для всех $k'\in \mathbb R^2$ функции
$$
\begin{equation}
{\mathfrak B}_j(k',\widetilde \psi (k'))=\bigl(\widehat Z_+(k')+(B+V-\lambda)\widehat Z_-^{-1} (k')\bigr)^{j-1}(B+V-\lambda)\widetilde \psi (k')
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
линейно независимы при $j=1,\dots, m(k',\widetilde \psi (k'))$ и функции ${\mathfrak B}_j(k',\widetilde \psi (k'))$, $j> m(k',\widetilde \psi (k'))$, являются их линейными комбинациями. Определим операторы
$$
\begin{equation}
(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*\doteq \widehat Z_-^{-1}(k)+\sum_{s= 1}^{+\infty}(-z)^s\widehat Z_- ^{-1-s}(k), \qquad z\in \mathbb C.
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
Так как нормы компактных операторов $\widehat Z_-^{-s}(k)\doteq (\widehat Z_-^{-1}(k))^s$, $s\in \mathbb N $, равны $(2B)^{-s/2}(s!)^{-1/2}$, то ряд (8.5) для любого $R>0$ сходится абсолютно и равномерно в операторной норме при $z\in U^{(1)}_R(0)$. Из равенства $\widehat Z_-(k')(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*=\widehat I_B$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat Z_-^{-1}(k')=(\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k'))(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*.
\end{equation*}
\notag
$$
Также непосредственно проверяются равенства
$$
\begin{equation}
(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_* \widehat Z_-(k')(\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k))=(\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k)),
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_* \psi=-z^{-1}\biggl(\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)-\widehat I_B\biggr) \psi, \\ \psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k), \qquad z\in \mathbb C \setminus \{0\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Доказательство. С помощью (8.6) и (8.7) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*= (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_* \widehat Z_-(k')(\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k)) \widehat Z_-^{-1}(k') \\ &\qquad\qquad +(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_* \widehat Z_-(k')\widehat P^{(0)}(k) \widehat Z_-^{-1}(k') \\ &\qquad = (\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k)) \widehat Z_-^{-1}(k')+z(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_* \widehat P^{(0)}(k)\widehat Z_-^{-1}(k') \\ &\qquad =(\widehat I_B-\widehat P^{(0)}(k)) \widehat Z_-^{-1}(k')-\biggl(\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)-\widehat I_B\biggr) \widehat P^{(0)}(k) \widehat Z_-^{-1}(k') \\ &\qquad = \widehat Z_-^{-1}(k')-\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\widehat P^{(0)}(k)\widehat Z_-^{-1}(k'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Далее предполагается, что $\eta=P=1$ и выбирается вектор $\psi \in \mathcal H^{(0)}_B(k)$, для которого $\| \psi \|_B =1$. В этом случае числа $m(k',\widetilde \psi(k'))$, $n(k',\widetilde \psi(k'))$, ${\zeta}_j(k',\widetilde \psi (k'))$ и ${\mu}_j(k',\widetilde \psi (k'))$ не зависят от функций $\widetilde \psi (k')\in \mathcal H^{(0)}_B(k')\setminus \{0_B\} $, поэтому они будут в дальнейшем обозначаться как $m(k')$, $n(k')$, ${\zeta}_j(k')$ и ${\mu}_j(k')$, $j=1,\dots, n(k')$, $k'\in \mathbb R^2$. При $\eta=P=1$ (для всех $k'\in \mathbb R^2$) $\dim\mathcal H^{(0)}_B(k')=1$, и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widehat Z_-^{-1}(k')\Phi= (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*\Phi \\ &\qquad\qquad -\exp\biggl(-\frac{|z|^2}{2B}\biggr) \bigl(\widetilde \psi (k'),(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*\Phi \bigr)_B\widetilde \psi (k'), \qquad \Phi \in \mathcal H_B. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Для всех $j\in \mathbb N $ определим функции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathbb C \ni z \mapsto {\mathfrak F}_j(k,\psi;z) \\ &\qquad \doteq \bigl(\widehat Z_+(k)+(B+V-\lambda)(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*\bigr)^{j-1} (B+V-\lambda)\widetilde \psi (k'). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
Из (8.4) и (8.8) получаем
$$
\begin{equation}
{\mathfrak B}_j(k',\widetilde \psi (k'))=\sum_{s= 1}^ja_{js}{\mathfrak F}_s(k,\psi;z), \qquad j\in \mathbb N,
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
где $a_{jj}=1$ и $a_{js}=a_{js}(k;z)\in \mathbb C $ при $s<j$. Поэтому справедлива Лемма 8.4. Для всех $z\in \mathbb C $ функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)\in \mathcal H^{\infty}_B$, $j=1, \dots, m(k')$, линейно независимы и функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)\in \mathcal H^{\infty}_B$, $j>m (k')$, являются их линейными комбинациями. 8.2. Аналитичность функций ${\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$Пусть ${\mathcal S}^{\infty}_B$ – множество функций $\mathbb C \ni z\mapsto F(z)\in \mathcal H^{\infty}_B$ таких, что для (вектора $k\in \mathbb R^2$ и) любых $R>0$ и $s\in \mathbb Z_+$ существуют числа $c_s(k,R;F)=c_s(B,\Lambda;k,R;F)>0$ такие, что для всех $z\in U^{(1)}_{R}(0)$ Множество ${\mathcal S}^{\infty}_B$ не зависит от выбора вектора $k\in \mathbb R^2$. При этом функция $z\mapsto F(z)\in \mathcal H^{\infty}_B$ принадлежит ${\mathcal S}^{\infty}_B$ тогда и только тогда, когда для некоторого (и, следовательно, любого) $k'\in \mathbb R^2$ и любых $R>0$ и $s\in \mathbb Z_+$ найдется число $\widetilde c_s(k',R;F)=\widetilde c_s(B,\Lambda;k',R;F)>0$ такое, что для всех $z\in U^{(1)}_{R}(0)$ и $m\in \mathbb Z_+$
$$
\begin{equation}
\| \widehat P^{(m)}(k')F(z)\|_B \leqslant \widetilde c_s(k',R;F)(m+1)^{-s}.
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Из оценок (8.11) следует, что вместе с функцией $F(\cdot)\in {\mathcal S}^{\infty}_B$ множеству ${\mathcal S}^{\infty}_B$ принадлежат все функции $\widehat Z_+^s(k)F(\cdot)$, $s\in \mathbb Z_+$. Лемма 8.5. Функция $z\mapsto \widetilde \psi (k')=\exp(-(z/(2B))\widehat Z_+(k))\psi $ принадлежит ${\mathcal S}^{\infty}_B$. Доказательство. Из (3.1) следует, что для всех $m\in \mathbb N $ и $z\in \mathbb C $
$$
\begin{equation*}
\biggl\| \widehat P^{(m)}(k)\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr) \psi \biggr\|_B=(2B)^{-m/2}(m!)^{-1/2}|z|^m,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекают оценки (8.12). Лемма доказана. Лемма 8.6. Если $F(\cdot)\in {\mathcal S}^{\infty}_B$ и ${\mathcal W}\in C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb C)$, то ${\mathcal W}F(\cdot)\in {\mathcal S}^{\infty}_B$. Доказательство. Если для функции $F(\cdot)$ выполняются оценки (8.11), то для любых $z\in U^{(1)}_R(0)$, $R>0$, и $s\in \mathbb Z_+$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| \widehat Z_+^s(k){\mathcal W}F(z)\|_B \leqslant \sum_{\mu= 0}^sC_s^{\mu}\biggl\| \biggl(\biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}-i\frac{\partial}{\partial x_2}\biggr)^{\mu} {\mathcal W}\biggr) \widehat Z_+^{s-\mu}(k)F(z)\biggr\|_B \\ &\qquad \leqslant \sum_{\mu= 0}^sC_s^{\mu}\biggl\| \biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}-i\frac{\partial}{\partial x_2}\biggr)^{\mu} {\mathcal W}\biggr\|_{L^{\infty}(K)} c_{s-\mu}(k,R;F), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_s^{\mu}$ – биномиальные коэффициенты. Лемма доказана. Лемма 8.7. Если $F(\cdot)\in {\mathcal S}^{\infty}_B$, то функция $z\mapsto (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*F(z)$ также принадлежит ${\mathcal S}^{\infty}_B$. Доказательство. Пусть $s\in \mathbb Z_+$. Если для функции $F(\cdot)$ выполняются оценки (8.11), то для любых $\nu \in \mathbb N $ и $z\in U^{(1)}_R(0)$
$$
\begin{equation*}
\| \widehat Z_+^s(k)\widehat Z_-^{-\nu}(k)F(z)\|_B\leqslant (2B)^{-\nu}\| \widehat Z_+^{s+\nu}(k)F(z)\|_B\leqslant (2B)^{-\nu}c_{s+\nu}(k,R;F).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, если $\mathbb N \ni \nu >2s$, то норма компактного оператора $\widehat Z_+^s(k)\widehat Z_-^{-\nu}(k)$ равна $(2B)^{(s-\nu)/2}\sqrt {(\nu +s)!}\, (\nu !)^{-1}<(2B)^{(s-\nu)/2}3^s((\nu -s-1)!)^{-1/2}$. Поэтому ряд для любого $R>0$ сходится абсолютно и равномерно в операторной норме при $z\in U^{(1)}_R(0)$ и, следовательно, найдется число $c_s'(k,R;F)=c_s'(B,\Lambda;k,R;F)>0$ такое, что для всех $z\in U^{(1)}_R(0)$. Лемма доказана. Лемма 8.8. Для всех $j\in \mathbb N $ функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$ принадлежат ${\mathcal S}^{\infty}_B$. Лемма 8.8 непосредственно вытекает из лемм 8.5, 8.6 и 8.7. Лемма 8.9. Для всех $j\in \mathbb N $ функции $\mathbb C \ni z\mapsto {\mathfrak F}_j(k,\psi;z)\in \mathcal H^{\infty}_B\subset \mathcal H_B$ являются аналитическими. Доказательство. В силу леммы 8.8 для любого $R>0$ последовательности функций $\sum_{m= 0}^M\widehat P^{(m)}{\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$, $M\in \mathbb Z_+$, при $M\to +\infty $ равномерно сходятся на $U^{(1)}_R(0)$ к функциям ${\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$, $j\in \mathbb N $. Поэтому для доказательства леммы 8.9 достаточно показать, что для любого $m\in \mathbb Z_+$ функции $\widehat P^{(m)}(k){\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$ аналитические. Так как
$$
\begin{equation*}
\widehat P^{(m)}(k)\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\psi =(2B)^{-m/2}(m!)^{-1/2}(-z)^m\psi^{(m)}(k)
\end{equation*}
\notag
$$
и функция $z\mapsto \exp(-(z/(2B))\widehat Z_+(k))\psi $ (в силу леммы 8.5) принадлежит ${\mathcal S}^{\infty }_B$, то для любой функции $\Phi \in \mathcal H^{(m)}_B(k)$ функция
$$
\begin{equation*}
\mathbb C \ni z\mapsto (\Phi,{\mathfrak F}_1(k,\psi;z))_B =\biggl((B+V-\lambda)\Phi,\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\psi \biggr)_B
\end{equation*}
\notag
$$
аналитическая, поэтому аналитическими являются функции $\widehat P^{(m)}(k){\mathfrak F}_1(k,\psi;\cdot)$, $m\in \mathbb Z_+$, и, следовательно, функция ${\mathfrak F}_1(k,\psi;\cdot)$. Если предположить, что функция ${\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$ аналитическая для некоторого $j\in \mathbb N $, то для любой функции $\Phi \in \mathcal H^{(m)}_B(k)$ будет аналитической функция
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \mathbb C \ni z\mapsto (\Phi,{\mathfrak F}_{j+1}(k,\psi;z))_B= (\widehat Z_-(k)\Phi,{\mathfrak F}_j(k,\psi;z))_B \\ &\qquad\qquad +\bigl((B+V-\lambda)\Phi,(\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*{\mathfrak F}_j(k,\psi;z)\bigr)_B \in \mathbb C \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(аналитичность функции $z\,{\mapsto}\, (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*{\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$ следует из разложения (8.5) и включения ${\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)\,{\in}\,\mathcal S^{\infty}_B$, при этом функция $z\,{\mapsto}\, (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*{\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$ также принадлежит ${\mathcal S}^{\infty}_B$). Откуда получаем, что аналитическими являются функции $\widehat P^{(m)}(k){\mathfrak F}_{j+1}(k,\psi;\cdot)$, $m\in \mathbb Z_+$, и, следовательно, функция ${\mathfrak F}_{j+1}(k,\psi;\cdot)$. Поэтому аналитическими являются все функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;\cdot)$, $j\in \mathbb N $. Лемма доказана. Из лемм 7.2, 8.4 и 8.9 следует существование числа $\widetilde m(k)\in \mathbb N $ и дискретного множества $\widetilde M(k)\subset \mathbb C $ таких, что $m(k',\widetilde \psi (k'))=\widetilde m(k)$ для всех $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M(k)$ и $m(k',\widetilde \psi (k'))<\widetilde m(k)$ при $z\in \widetilde M(k)$. Поэтому справедлива Лемма 8.10. Числа $\widetilde m(k)$ не зависят от $k\in \mathbb R^2$, $\widetilde m(k)\equiv \widetilde m \in \mathbb N $. Более того, для всех $k''\in \mathbb R^2$ можно выбирать дискретные множества $\widetilde M(k'')=\widetilde M(k)-(k_1''-k_1)-i(k_2''-k_2)$. Для всех $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M(k)$ функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$, $j=1,\dots, \widetilde m$, линейно независимы, а функции ${\mathfrak F}_j(k,\psi;z)$, $j>\widetilde m$, являются их линейными комбинациями. В силу леммы 7.3 для всех $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M(k)$ справедливо разложение
$$
\begin{equation}
{\mathfrak F}_{\widetilde m+1}(k,\psi;z)=\sum_{j= 1}^{\widetilde m}{\mathcal C}_j(k;z) {\mathfrak F}_j(k,\psi;z),
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
где ${\mathcal C}_j(k;z)\in \mathbb C $ и функции ${\mathcal C}_j(k;\cdot)$ либо аналитические, либо мероморфные с полюсами, принадлежащими дискретному множеству $\widetilde M(k)$. 8.3. Явное выражение для функции ${\mathcal C}_{\widetilde m}(k;\cdot)$Пусть ${\mathcal W} \in C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb C)$. Определим функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \mathbb C \ni z\mapsto {\mathcal G}({\mathcal W},k;z) =\exp\biggl(-\frac{|z|^2}{2B}\biggr) \\ &\qquad\qquad\times \biggl(\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\psi, (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*{\mathcal W} \exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\psi \biggr)_B. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функции
$$
\begin{equation*}
z\mapsto \exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\psi\quad\text{и}\quad z\mapsto (\widehat Z_-(k)+z)^{-1}_*{\mathcal W}\exp\biggl(-\frac{z}{2B}\widehat Z_+(k)\biggr)\psi
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежат ${\mathcal S}^{\infty}_B$ (см. леммы 8.5, 8.6 и 8.7) и являются аналитическими (см. доказательство леммы 8.9), то ${\mathcal G}({\mathcal W},k;\cdot)\in C^{\omega}(\mathbb R^2;\mathbb C)$. При $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M(k)$ обозначим $\Xi (k;z)=\sum_{j= 1}^{n(k')}\mu_j(k')\zeta_j(k')$, $\widetilde m=\widetilde m(k)=m(k')=\sum_{j= 1}^{n(k')}\mu_j(k')$; $\widetilde V(x)=V(x)-V_0$, $x\in \mathbb R^2$, $\displaystyle V_0=(v(K))^{-1}\int_KV(x)\,dx $. Если в (8.3) вместо вектора $k$ и функции $\psi $ выбрать любой вектор $k'\in \mathbb R^2$, для которого $z\in \mathbb C \setminus \widetilde M(k)$, и функцию $\widetilde \psi (k')$, то с помощью (8.8) получаем для функции $\mathbb C \setminus \widetilde M(k)\ni z\mapsto{\mathfrak F}_{\widetilde m+1}(k,\psi;z)$ разложение (8.13), в котором
$$
\begin{equation}
{\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)=-\widetilde m\overline z -\Xi (k;z)+ {\mathcal G}(B+V-\lambda,k;z).
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Так как ${\mathcal G}(B+V-\lambda,k;\cdot)$ – локально ограниченная функция в $\mathbb C $, то (см. лемму 6.2) для любого $R>0$ функция $z\mapsto {\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)$ ограничена на множестве $(\mathbb C \setminus \widetilde M(k))\cap U^{(1)}_{R}(0)$. Поэтому функция ${\mathcal C}_{\widetilde m}(k;\cdot)$ аналитически продолжается в окрестности точек дискретного множества $\widetilde M(k)$ и является аналитической в $\mathbb C $. Из (8.14) также следует, что функция $\Xi (k;\cdot)$ по непрерывности продолжается на множество $\mathbb C \setminus \widetilde M(k)$ и является непрерывной в $\mathbb C $. Для любого вектора $\widetilde k\in \mathbb R^2$
$$
\begin{equation*}
\Xi (\widetilde k;z)=\Xi (k;z+{\widetilde k}_1-k_1+i({\widetilde k}_2-k_2)).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 6.2 $|\Xi (k;z)|\leqslant C_2'\widetilde m$, $z\in \mathbb C $. Числа $n(k')$, $\mu_j(k')$ и $\zeta_j(k')$ (при $\eta=P=1$) не зависят от функций $\psi (k')\in \mathcal H^{(0)}_B(k')\setminus \{0_B\} $, поэтому из леммы 6.1 следует Так как предполагается, что $P=1$, то для всех $Y\in 2\pi \Lambda^*$ и $k\in \mathbb R^2$ в условиях леммы 3.4 справедливо равенство $\widehat U^{(Y)}(k)\psi\,{=}\,\theta^{(Y)}(k)\psi $, $\psi\,{\in}\,\mathcal H^{(0)}_B$, где $\theta^{(Y)}(k)\,{\in}\,\mathbb C $, $|\theta^{(Y)}(k)|=1$. Доказательство. В силу леммы 3.4 (при $\eta=P=1$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\theta^{(Y)}(k') =\exp\biggl(\frac{|Y|^2}{4B}\biggr) \bigl(\psi (k'), \exp(i(Y,x))\psi (k')\bigr)_B \\ &\quad=\exp\biggl(\frac{|Y|^2}{4B}\biggr) \bigl(\widehat U(k,k')\psi, \exp(i(Y,x))\widehat U(k,k')\psi \bigr)_B \\ &\quad=\exp\biggl(\frac{|Y|^2}{4B}\biggr) \int_Ke^{i(Y,x)}\biggl| \psi \biggl(x-\frac{\operatorname{Im} z}B \, e_1+\frac{\operatorname{Re} z}B\, e_2\biggr) \biggr|^2\,dx \\ &\quad=\exp\biggl(\frac{|Y|^2}{4B}\biggr) \exp(iB^{-1}Y_1\operatorname{Im} z) \exp(-iB^{-1}Y_2\operatorname{Re} z) \int_Ke^{i(Y,x)}|\psi (x)|^2\,dx \\ &\quad= \exp\biggl(\frac{|Y|^2}{4B}\biggr) \exp\biggl(\frac{z}{2B}(Y_1-iY_2)\biggr) \exp\biggl(-\frac{\overline z}{2B}(Y_1+iY_2)\biggr)(\psi,e^{ i(Y,x)}\psi)_B \\ &\quad=\exp\biggl(\frac{z}{2B}(Y_1-iY_2)\biggr) \exp\biggl(-\frac{\overline z}{2B}(Y_1+iY_2)\biggr)\theta^{(Y)}(k), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi (k')=\exp(-|z|^2/(4B))\widetilde \psi (k')$. Лемма доказана. Из леммы 8.12 непосредственно следует Лемма 8.14. Для любой функции ${\mathcal W}\in C^{\infty}_{\Lambda}(\mathbb R^2;\mathbb C)$ (и любых $k\in \mathbb R^2$ и $z\in \mathbb C $) Доказательство. Из леммы 8.3 следует равенство
$$
\begin{equation*}
{\mathcal G}({\mathcal W},k;z) =-\exp\biggl(\frac{|z|^2}{4B}\biggr)(\psi,\widehat Z_-^{-1}(k'){\mathcal W}\psi (k'))_B.
\end{equation*}
\notag
$$
Для всех $j\in \mathbb Z_+$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(\psi,\widehat Z_-^{-1}(k')\psi^{(j)}(k')\bigr)_B= (2B)^{-1-j/2}\bigl((j+1)(j+1)!\bigr)^{-1/2}\bigl(\psi,\widehat Z_+^{j+1}(k')\psi (k')\bigr)_B \\ &\qquad = (2B)^{-1-j/2}\bigl((j+1)(j+1)!\bigr)^{-1/2}\bigl((\widehat Z_-(k)+z)^{j+1}\psi,\psi (k')\bigr)_B \\ &\qquad = (2B)^{-1-j/2}\bigl((j+1)(j+1)!\bigr)^{-1/2}\overline z^{j+1}\exp\biggl(-\frac{|z|^2}{4B}\biggr), \\ &\bigl(\psi^{(j)}(k'),\exp(i(Y,x))\psi (k')\bigr)_B \\ &\qquad = (2B)^{-j/2}(j!)^{-1/2}\bigl(\psi (k'),\exp(i(Y,x))(\widehat Z_-(k')+(Y_1+iY_2))^j\psi (k')\bigr)_B \\ &\qquad = (2B)^{-j/2}(j!)^{-1/2}(Y_1+iY_2)^j\exp\biggl(-\frac{|Y|^2}{4B}\biggr)\theta^{(Y)}(k'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно5,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-{\mathcal G}({\mathcal W},k;z) =\exp\biggl(\frac{|z|^2}{4B}\biggr)\sum_{j= 0}^{+\infty}(\psi,\widehat Z_-^{-1}(k')\psi^{(j)}(k'))_B(\psi^{(j)}(k'),{\mathcal W}\psi (k'))_B \\ &\qquad = \overline z(2B)^{-1}{\mathcal W}_0+\sum_{Y\in 2\pi \Lambda^*\setminus \{0\}} {\mathcal W}_Y\biggl(\sum_{j= 0}^{+\infty}\frac{{\overline z}^{j+1}(Y_1+iY_2)^j}{(2B)^{j+1}(j+1)!}\biggr) \exp\biggl(-\frac{|Y|^2}{4B}\biggr)\theta^{(Y)}(k') \\ &\qquad = \overline z(2B)^{-1}{\mathcal W}_0+\sum_{Y\in 2\pi \Lambda^*\setminus \{0\}} \exp\biggl(-\frac{|Y|^2}{4B}\biggr) (Y_1+iY_2)^{-1}{\mathcal W}_Y\theta^{(Y)}(k') \\ &\qquad\qquad\times \biggl(\exp\biggl(\frac{\overline z}{2B}(Y_1+iY_2)\biggr)-1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8.14 вытекает из последнего равенства и леммы 8.12. Доказательство. Из (8.14) и леммы 8.14 для (вектора $k\in \mathbb R^2$ и) всех $z\in \mathbb C$ следует равенство
где ${\mathcal G}_0(V,k;\cdot)$ – аналитическая функция, а функция ${\mathcal G}_1(V,k;\cdot)$ непрерывна и ограничена. При $z=re^{i\phi}$ ($r>0$, $\phi \in [0,2\pi)$)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}{\mathcal C}_{\widetilde m}(k;re^{i\phi})e^{i\phi}\,d\phi= \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} {\mathcal G}_0(V,k;re^{i\phi})e^{i\phi}\,d\phi=0, \\ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline ze^{i\phi}d\phi=r, \qquad \biggl|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\Xi (k;re^{i\phi})e^{i\phi}\,d\phi \biggr| \leqslant C_2'\widetilde m, \\ \biggl|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} {\mathcal G}_1(V,k;re^{i\phi})e^{i\phi}\,d\phi \biggr| \leqslant \sum_{Y\in 2\pi \Lambda^*\setminus \{0\}} \exp\biggl(-\frac{|Y|^2}{4B}\biggr)|Y|^{-1}|{\mathcal W}_Y|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
Поэтому при $r\to +\infty $ из (8.17) и (8.18) следует равенство (8.16). Теорема доказана. Теорема 1.3 (при “укрупнении” решетки $\Lambda $) непосредственно следует из теоремы 8.1. Теорема 8.2. Справедливо равенство ${\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)=\widetilde C -{\mathcal G}_0({V},k;z)$, $z\in \mathbb C$, где число $\widetilde C\in \mathbb C $ не зависит ни от $k\in \mathbb R^2$, ни от $z\in \mathbb C $. Доказательство. В силу (8.16) и (8.17)
$$
\begin{equation}
{\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)=-\Xi (k;z)-{\mathcal G}_0({V,k;z)}+{\mathcal G}_1({V},k;z),
\end{equation}
\tag{8.19}
$$
где ${\mathcal G}_0(V,k;\cdot)$ – аналитическая функция в $\mathbb C $, а $\Xi (k;\cdot)$ и ${\mathcal G}_1(V,k;\cdot)$ – непрерывные и ограниченные функции. Поэтому из (8.19) следует, что для всех $n\in \mathbb N $
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi i}\oint_{{\gamma}_r}\bigl({\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)+{\mathcal G}_0(V,k;z)\bigr) \,\frac{dz}{z^{n+1}} \to 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $r\to +\infty $. Откуда ${\mathcal C}_{\widetilde m}(k;z)=\widetilde C(k)-{\mathcal G}_0(V,k;z)$, $z\in \mathbb C $. При этом $\widetilde C(k)=-\Xi (k;z)+{\mathcal G}_1(V,k;z)$ (при всех $z\in \mathbb C $). Непрерывная функция $\mathbb R^2\ni \xi \mapsto \Xi (k;\xi_1+i\xi_2)$ является периодической с решеткой периодов $2\pi \Lambda^*$ (см. лемму 8.11). Из определения функции ${\mathcal G}_1(V,k;\cdot)$ и леммы 8.13 следует, что непрерывная функция $\mathbb R^2 \ni \xi \mapsto {\mathcal G}_1(V,k;\xi_1+i\xi_2)$ также является периодической с решеткой периодов $2\pi \Lambda^*$ и при этом Поэтому число не зависит от $k$. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dan23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|