| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Анормальные экстремали в субримановой задаче для общей модели робота с прицепом А. А. Ардентовa, Е. М. Артемоваb a Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук, Ярославская обл., Переславский р-н, с. Веськово b Уральский математический центр, Удмуртский государственный университет, г. Ижевск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9829e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеАнормальные траектории имеют фундаментальное значение в исследовании задач управления (см. [1]) и возникают в качестве решений в задачах оптимального управления независимо от минимизируемого функционала, в частности в субфинслеровых (см. [2], [3]) и в том числе субримановых задачах (см. [4]–[6]). Вопрос оптимальности анормальных траекторий остро стоит в теории субримановой геометрии (см. [7]), интерес вызывают структурные свойства анормальных субримановых геодезических (см. [8]), связанных с субаналитичностью соответствующей метрики (см. [9], [10]). Например, в нильпотентных субримановых задачах на группах Энгеля и Картана (см. [11], [12]) (а также в нелевоинвариантной трехмерной субримановой задаче в плоском случае Мартине, см. [13]) условие субаналитичности нарушается именно в окрестности точек, куда приходят анормальные траектории. Долгое время стоит вопрос о регулярности оптимальных анормальных геодезических (см. [14]–[16]). Недавно в работе [17] авторы существенно продвинулись в решении этой проблемы: было доказано, что оптимальные анормальные траектории не могут иметь углов. В настоящей работе исследуются анормальные экстремали задачи управления колесным роботом с прицепом в рамках субримановой задачи, для которой показана их нестрогая анормальность (см. [18]) и, как следствие, доказана их гладкость. Любая анормальная траектория может быть параметризована по времени произвольно (в том числе с переключением направления на противоположное), поэтому для определенности рассматривается фиксированная параметризация с управлением на эллипсе, которая совпадает с параметризацией управлений в нормальном случае. Дополнительно отметается случай смены направления движения по траектории на противоположное, так как он является заведомо не оптимальным. Отметим, что рассматриваемая субриманова задача является сложной открытой задачей. Описание анормальных траекторий известно лишь в случае сцепки прицепа с роботом в центре приводной оси робота (см. [19]). Впоследствии этот результат был развит в работе [20], где были описаны экстремальные траектории в субфинслеровой задаче для той же модели робота с прицепом (со сцепкой в центре приводной оси) с управлением на квадрате как для машины Ридса–Шеппа. Субриманова задача (т.е. субфинслерова задача с управлением на круге) исследовалась для модели робота без прицепа (см. [21]–[23]), в которой конфигурационное пространство трехмерно, а управление двумерно. На сегодня полностью решена только одна четырехмерная субриманова задача с двумя управлениями – нильпотентная субриманова задача на группе Энгеля (см. [24]). Настоящее исследование закладывает фундамент для решения двухпараметрического семейства (задаваемого расстояниями от точки сцепки до центров робота и прицепа) нелевоинвариантных субримановых задач в четырехмерном пространстве с двумерным управлением, которые пока что имеют лишь приближенное решение в классе субоптимальных управлений через нильпотентную аппроксимацию (см. [25], [26]). § 2. Задача оптимального управленияРассмотрим управляемое движение мобильного колесного робота по плоскости без проскальзывания. Будем считать, что робот состоит из главной (приводной) колесной пары и прикрепленного к ней прицепа. Под прицепом будем понимать пассивную колесную пару, которая прикрепляется к роботу в некоторой точке (рис. 1). Для описания движения робота с прицепом введем неподвижную систему координат $Oxy$. Положение приводной колесной пары относительно $Oxy$ будем задавать координатами $(x, y)$, а ориентацию с помощью угла поворота $\vartheta$. Положение прицепа относительно главного звена задается углом $\varphi$. Таким образом, положение робота с прицепом на плоскости определяется вектором
$$
\begin{equation*}
q=(x, y, \vartheta, \varphi) \in M=\mathbb{R}_{x, y}^2 \times S_{\vartheta}^1 \times S_{\varphi}^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Условия непроскальзывания колес робота и прицепа накладывают на рассматриваемую систему два неголономных ограничения (см. [27])
$$
\begin{equation}
v_2=0, \qquad v_1 \sin \varphi+v_2 \cos \varphi+\omega l_r \cos \varphi+l_t (\omega+ \dot{\varphi})=0.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $(v_1, v_2)$ – компоненты линейной скорости центра робота, записанной в подвижной системе координат, жестко связанной с роботом, $\omega$ – угловая скорость робота, а $l_r \geqslant 0$ и $l_t > 0$ – расстояния от центров робота и прицепа до точки сцепки соответственно. Далее в силу (2.1) для краткости будем отождествлять первую компоненту линейной скорости $v_1$ с линейной скоростью, т.е. $v:=v_1$. Система уравнений, описывающих движение робота с прицепом, с учетом ограничений (2.1) примет следующий вид (см. [28]):
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=v \cos \vartheta, \\ \dot{y}=v \sin \vartheta, \\ \dot{\vartheta}=\omega, \\ \displaystyle\dot{\varphi}=-\frac{1}{l_t}(v \sin \varphi+\omega (l_t+l_r \cos \varphi)). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Для описанной системы рассмотрим следующую субриманову задачу:
$$
\begin{equation}
\dot{q}=v X_1+\omega X_2, \qquad q \in M, \quad u=(v, \omega) \in \mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
с граничными условиями
$$
\begin{equation}
q(0)=q_0=(x_0, y_0, \vartheta_0, \varphi_0), \qquad q(t_1)=q_1=(x_1, y_1, \vartheta_1, \varphi_1)
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
и функционалом качества
$$
\begin{equation}
\int_0^{t_1} \sqrt{v^2+\mu^2 \omega^2} \, dt \to \min, \qquad \mu= \mathrm{const},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $u=(v, \omega)$ – вектор управлений, параметр $\mu>0$ задает в функционале компромисс между линейной и угловой скоростями, а $X_1$ и $X_2$ суть векторные поля вида
$$
\begin{equation}
X_1=\biggl(\cos \vartheta, \sin \vartheta, 0, -\frac{\sin \varphi}{l_t}\biggr)^\top, \qquad X_2=\biggl(0, 0, 1, -\frac{l_r \cos \varphi}{l_t}-1\biggr)^\top.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В силу инвариантности задачи относительно сдвигов и поворотов плоскости можно считать, что Продолжая естественную симметрию растяжения плоскости (выбор масштаба) получаем непрерывную симметрию исследуемой системы (2.2):
$$
\begin{equation}
(x, y, \vartheta, \varphi, v, \omega, l_t, l_r) \mapsto (\eta x, \eta y, \vartheta, \varphi, \eta v, \omega, \eta l_t, \eta l_r), \qquad \eta=\mathrm{const} > 0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Теорема 1. Пусть $l_r \geqslant 0$, $l_t > 0$, тогда: – если $l_r \neq l_t$, то система (2.2) вполне управляема и имеет вектор роста $(2,3,4)$; – если $l_r=l_t$, то система (2.2) не является вполне управляемой и имеет два инвариантных множества: $\{\varphi=\pi\}$ и $\{\varphi \neq \pi\}$ (вектор роста соответственно равен $(2,3)$ и $(2,3,4)$). Сужение системы (2.2) на каждое из этих инвариантных множеств вполне управляемо. Доказательство. Вычислим коммутаторы векторных полей (2.6)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, X_3=[X_1, X_2]=\biggl(\sin \vartheta, -\cos \vartheta, 0, \frac{-l_r-l_t \cos \varphi}{l_t^2}\biggr)^\top, \\ X_4=[X_1, X_3]=\biggl(0, 0, 0, \frac{-l_t-l_r \cos \varphi}{l_t^3}\biggr)^\top, \\ X_5=[X_2, X_3]=\biggl(\cos \vartheta, \sin \vartheta, 0, \frac{(l_r^2-l_t^2) \sin \varphi}{l_t^3}\biggr)^\top. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Ранг матрицы, составленной из векторных полей (2.6) и (2.9), равен 4, если $l_r \neq l_t$ или $l_r=l_t$, $\varphi \neq \pi$. В противном случае ранг матрицы равен 3. При $l_r=l_t$, $\varphi=\pi$ из (2.2) получаем $\dot{\varphi}=0$, а значит, неуправляемость для угла $\varphi$.
Таким образом, по теореме Рашевского–Чжоу (см. [29]) для $l_r \geqslant 0$ и $l_t > 0$ при $l_r \neq l_t$ система (2.2) вполне управляема. Управляемость системы (2.2) для $l_r=l_t$ при сужении на инвариантные множества $\{\varphi=\pi\}$ и $\{\varphi \neq \pi\}$ также следует из теоремы Рашевского–Чжоу. Теорема доказана. Субриманова задача на группе движений плоскости (т.е. для робота без прицепа) тесно связана с “велосипедной математикой”, см. [30]. По аналогии рассматриваемую модель робота с прицепом можно представить в виде двух велосипедов с общим “передним колесом” в точке сцепки и двумя “задними колесами” в центрах робота и прицепа. Запишем эквивалентную постановку рассматриваемой задачи (2.3)–(2.6) в виде задачи поиска кратчайшей траектории для точки сцепки. Предложение 1. Задача (2.3)–(2.6) при $\mu=l_r$ эквивалентна субримановой задаче с управляемой системой Замечание 1. В задаче (2.10)–(2.12) уравнения на углы $\vartheta$ и $\phi$ совпадают с точностью до переобозначения углов и соответствующих величин $l_r$, $l_t$. Используя эту симметрию между роботом и прицепом, а также эквивалентность между задачами (2.3)–(2.6) в случае $\mu=l_r$ и (2.10)–(2.12), в исходной задаче (2.3)–(2.6) при $\mu=l_r$ имеем симметрию между траекториями центра колесной пары прицепа и траекториями робота $(x,y)$ (в аналогичной задаче, в которой величины $l_t$, $l_r$ поменяны местами). Симметрия соответствует отражению в биссектрисе угла в точке сцепки, заключенного между плечами к роботу и прицепу. § 3. Принцип максимума ПонтрягинаСуществование оптимальных траекторий в задаче (2.3)–(2.6) следует из теоремы Филиппова (см. [18]) и из теоремы 1 о существовании решения (в случае $l_r=l_t$ при сужении на инвариантные множества $\{\varphi=\pi\}$ и $\{\varphi \neq \pi\}$). Из неравенства Коши–Буняковского следует, что задача минимизации субримановой длины (2.5) равносильна задаче минимизации действия
$$
\begin{equation}
\int_0^{t_1} \frac{v^2+\mu^2 \omega^2}{2} \,dt \to \min
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
при фиксированном конечном $t_1$. К равносильной задаче оптимального управления (2.3), (2.4), (2.6), (3.1) применим принцип максимума Понтрягина (ПМП), см. [18], [31]. Для этого введем число $\nu \leqslant 0$, вектор сопряженных переменных $\psi=(\psi_1, \psi_2, \psi_3, \psi_4)$ и функцию Понтрягина
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{\nu}(\psi, q, u) &= \frac{\nu (v^2+\mu^2 \omega^2)}{2}+\psi_1v \cos \vartheta+ \psi_2 v \sin \vartheta+\psi_3\omega \\ &\qquad-\frac{\psi_4}{l_t} \bigl(v \sin \varphi+\omega (l_t+l_r \cos \varphi)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения для сопряженных переменных могут быть представлены в следующей форме:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{\psi}_1=-\dfrac{\partial H^{\nu}}{\partial x}=0, \qquad \dot{\psi}_3= -\dfrac{\partial H^{\nu}}{\partial \vartheta}=\psi_1 v \sin \vartheta-\psi_2 v \cos \vartheta, \\ \dot{\psi}_2=-\dfrac{\partial H^{\nu}}{\partial y}=0, \qquad \dot{\psi}_4=-\dfrac{\partial H^{\nu}}{\partial \varphi}=\frac{\psi_4}{l_t} (v \cos \varphi-l_r \omega \sin \varphi). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Из принципа максимума Понтрягина имеем следующее условие максимума:
$$
\begin{equation}
\max_{u \in \mathbb{R}^2} H^{\nu}(\psi (t), \mathbf{q}(t), u)= H^{\nu}(\psi (t), \mathbf{q}(t), \mathbf{u}(t)),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\mathbf{u}(t)$, $\mathbf{q}(t)$ – оптимальные управление и траектория соответственно. Также выполнено следующее условие нетривиальности: Для дальнейшего исследования экстремальных траекторий перейдем к переменным $h_i (\lambda)=\langle \lambda, X_i \rangle$, $i=1, 2, 3$, $\lambda=(\psi, q)$, которые выражаются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, h_1=\psi_1 \cos \vartheta+\psi_2 \sin \vartheta-\frac{\psi_4}{l_t} \sin \varphi, \qquad h_2=\psi_3-\psi_4-\frac{\psi_4 }{l_t} l_r \cos \varphi, \\ h_3=\psi_1 \sin \vartheta-\psi_2 \cos \vartheta-\frac{\psi_4}{l_t^2} (l_r+l_t \cos \varphi) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
и $h_4=\psi_4$ (так как выражения $\langle \lambda, X_4 \rangle$ и $\langle \lambda, X_5 \rangle$ имеют особенности). Вертикальная подсистема (3.2) в координатах $h_i$, $i=1,\dots,4,$ запишется как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{h}_1=-\omega h_3, \qquad \dot{h}_3=h_1 \omega+\frac{l_r^2 h_4 \omega}{l_t^3} \sin \varphi- \frac{h_4 v}{l_t^3} (l_t+l_r \cos \varphi), \\ \dot{h}_2=v h_3, \qquad \dot{h}_4=\frac{h_4}{l_t} (v \cos \varphi-\omega l_r \sin \varphi), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
а функция Понтрягина примет вид
$$
\begin{equation}
H^{\nu} (\lambda, u)=\frac{\nu}{2} (v^2+\mu^2 \omega^2)+v h_1(\lambda)+\omega h_2(\lambda), \qquad \lambda=(\psi,q).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Далее рассмотрим нормальный ($\nu=-1$) и анормальный ($\nu=0$) случаи. § 4. Нормальная гамильтонова системаИз условия максимума (3.3) получим следующие выражения для экстремальных управлений в нормальном случае ПМП: С учетом скоростей (4.1) нормальная гамильтонова система имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{h}_1=-\frac{h_2 h_3}{\mu^2}, \qquad \dot{h}_2=h_1 h_3, \\ \dot{h}_3=\frac{h_1 h_2}{\mu^2}+\frac{l_r^2 h_4 h_2}{l_t^3 \mu^2} \sin \varphi- \frac{h_1 h_4}{l_t^3} (l_t+l_r \cos \varphi), \\ \dot{h}_4=\frac{h_4}{l_t \mu^2} (h_1 \mu^2 \cos \varphi-h_2 l_r \sin \varphi), \\ \dot{x}=h_1 \cos \vartheta, \qquad \dot{y}=h_1 \sin \vartheta, \qquad \dot{\vartheta}= \frac{h_2}{\mu^2}, \\ \dot{\varphi}=-\frac{1}{l_t \mu^2}\bigl(h_1 \mu^2 \sin \varphi+h_2 (l_t+l_r \cos \varphi)\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Система (4.2) допускает интеграл, который совпадает с гамильтонианом
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}=\frac{1}{2} \biggl( h_1^2+\frac{h_2^2}{\mu^2} \biggr).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Система уравнений (4.2) при $h_4=0$ упрощается:
$$
\begin{equation}
\dot{h}_1=-\frac{h_2 h_3}{\mu^2}, \qquad \dot{h}_2=h_1 h_3, \qquad \dot{h}_3=\frac{h_1 h_2}{\mu^2},
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{x}=h_1 \cos \vartheta, \qquad \dot{y}=h_1 \sin \vartheta, \qquad \dot{\vartheta}= \frac{h_2}{\mu^2},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{\varphi}=-\frac{1}{l_t \mu^2}\bigl(h_1 \mu^2 \sin \varphi+h_2 (l_t+l_r \cos \varphi)\bigr).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Замечание 2. Система уравнений (4.4), (4.5) задает нормальную гамильтонову систему в аналогичной задаче для робота без прицепа (субриманова задача на группе движений плоскости). Система (4.4), (4.5) при $\mu=1$ была полностью исследована в ряде работ [21]–[23]. Уравнения (4.4) для $h_1$, $h_2$, $h_3$ отделяются от всей системы (4.4)–(4.6). Зафиксируем уровень интеграла $\mathcal{H}=1/2$ и проведем редукцию, для этого сделаем следующую замену переменных:
$$
\begin{equation}
h_1=\cos \beta, \quad h_2=\mu \sin \beta, \qquad \beta \in S_\beta^1, \quad \mu>0.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Тогда вертикальная подсистема (4.4) запишется в виде
$$
\begin{equation}
\dot{\beta}=\frac{h_3}{\mu}, \qquad \dot{h}_3=\frac{1}{2 \mu} \sin 2 \beta.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
В координатах $\delta=2 \beta+\pi$, $c=2 h_3$ система (4.8) совпадает с классической системой, описывающей движение математического маятника
$$
\begin{equation}
\dot{\delta}=\frac{c}{\mu}, \qquad \dot{c}=-\frac{\sin \delta}{\mu}, \qquad \delta \in 2 S_{\delta}^1=\mathbb{R}/(4 \pi \mathbb{Z}), \qquad c\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Эта система допускает интеграл энергии Линии уровня интеграла приведены на рис. 2. Горизонтальная подсистема (4.5), (4.6) запишется как
$$
\begin{equation}
\dot{x} =\sin \frac{\delta}{2} \cos \vartheta, \qquad \dot{y}=\sin \frac{\delta}{2} \sin \vartheta, \qquad \dot{\vartheta}=-\frac{1}{\mu} \cos \frac{\delta}{2},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{\varphi} =-\frac{1}{l_t \mu}\biggl(\mu \sin \frac{\delta}{2} \sin \varphi-\cos \frac{\delta}{2} (l_t+l_r \cos \varphi)\biggr).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Семейство всех нормальных экстремальных траекторий в случае $h_4=0$ параметризуется точками цилиндра
$$
\begin{equation}
C_0=T^*_{q_0} M \cap \biggl\{\mathcal{H}=\frac1 2\biggr\} \cap \{h_4=0\}=\{(\delta, c) \in (2 S_{\delta}^1) \times \mathbb{R}\},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
который допускает следующее разбиение на подмножества в зависимости от значения энергии $E$ (см. рис. 2):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_0&=\bigcup_{i=1}^5 C_{0i}, \qquad C_{0i} \cap C_{0j}=\varnothing, \qquad i \neq j, \\ C_{01}&=\{ (\delta, c) \in C_0 \mid E \in (-1, 1) \}, \\ C_{02}&=\{ (\delta, c) \in C_0 \mid E \in (1,+\infty) \}, \\ C_{03}&=\{ (\delta, c) \in C_0 \mid E=1,\, c \neq 0 \}, \\ C_{04}&=\{ (\delta, c) \in C_0 \mid E=1,\, c=0,\, \delta=(2 n+1) \pi \}, \\ C_{05}&=\{ (\delta, c) \in C_0 \mid E=-1,\, c=0,\, \delta=2 n \pi \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $(\delta, c) \in C_{04}$ робот вращается на месте и, как следствие, точка сцепки двигается по окружности при $l_r \neq 0$ (при $l_r=0$ точка сцепки неподвижна). В случае $(\delta, c) \in C_{05}$ робот, так же как и точка сцепки, двигаются вдоль прямой. В общем случае $(\delta, c) \in \bigcup_{i=1}^3 C_{0i}$ выпрямляющие координаты, решения системы (4.9) и явный вид траекторий робота приведены в § 7. На рис. 3–5 представлены аналитически вычисленные траектории робота (черные сплошные), а также численно построенные траектории точки сцепки (черные штриховые) и центральной точки прицепа (серые). Явные формулы для траекторий точек сцепки и прицепа известны лишь в некоторых частных случаях, в общем случае при $\mu \neq l_r$ выражения для траекторий пока не известны. Замечание 3. В случае $\mu=l_r \neq 0$ точка сцепки будет всегда двигаться по неинфлексионной эластике (см. [30]). Однако для $\mu \neq l_r$ в ситуации общего положения при $(\delta, c) \in \bigcup_{i=1}^3 C_{0i}$ траектории точки сцепки не будут совпадать с эластиками. Более общий случай $h_4 \neq 0$ остается неисследованным. Далее покажем, что анормальные экстремальные траектории удовлетворяют системе уравнений (4.9), (4.11), (4.12). § 5. Анормальные экстремалиРассмотрим случай $\nu=0$. Тогда из условия максимума (3.3) с учетом (3.7) и (3.6) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial H^{\nu}}{\partial v}=h_1=0, \qquad \frac{\partial H^{\nu}}{\partial \omega}=h_2=0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Далее, в силу (3.6) имеем $\mu^2 \dot{h}_1^2+\dot{h}_2^2=(v^2+\mu^2 \omega^2) h_3^2$. Поскольку без ограничения общности можно полагать $v^2+\mu^2 \omega^2 \neq 0$, в силу (5.1) справедливо условие В силу (5.1), (5.2) перепишем условие нетривиальности ПМП (3.4): Предложение 2. В рассматриваемой задаче (2.3)–(2.6) анормальные экстремали $\lambda=(\psi, q)$ являются “хорошими” (от английского “nice”, см. [32; определение 12.29]), т.е. удовлетворяющими условию $\lambda \in (\mathcal{D}^2)^{\bot}\setminus(\mathcal{D}^3)^{\bot}$, где $\mathcal{D}=\operatorname{span}\{X_1,X_2\}$. Доказательство. Условие предложения $\lambda \in (\mathcal{D}^2)^{\bot}\setminus(\mathcal{D}^3)^{\bot}$ эквивалентно
$$
\begin{equation*}
h_1(\lambda)=h_2 (\lambda)=h_3 (\lambda)=0, \qquad h_4 (\lambda) \neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
см. [32; теорема 12.31]. Поэтому оно справедливо в силу (5.1)–(5.3). Следствие 1 (см. [32; теорема 12.34]). Малые дуги анормальных экстремалей оптимальны в задаче (2.3)–(2.6). Рассмотрим следующее равенство, справедливое в силу условия $h_1=h_3=0$: Используя выражения (3.5), в тождестве (5.4) перейдем к исходным координатам $\psi_i$, $i=1,\dots,4$, а затем введем полярные координаты $\psi_1=\psi_{12} \sin \alpha$, $\psi_2=\psi_{12} \cos \alpha$, где $\alpha \in S_{\alpha}^1$, а $\psi_{12} > 0$ ($\psi_{12}=0$ невозможно при (5.1)–(5.3)). Упрощая выражение (5.4) в новых координатах, выводим тождество где $\gamma=\varphi+\vartheta+\alpha \in S_{\gamma}^1$ есть новый угол, задающий положение прицепа относительно оси $Ox$, повернутой на угол $\alpha \equiv \mathrm{const}$.Дифференцируя (5.5) по времени, получаем следующее равенство для анормальных управлений: Далее рассмотрим по отдельности два случая: $l_r=0$ и $l_r > 0$. 5.1. Случай сцепки на приводной осиПредложение 3. Анормальные траектории задачи управления (2.3)–(2.4) в случае $l_r=0$ суть повороты робота на месте при неподвижном прицепе: Доказательство следует напрямую из соотношений (5.5) и (5.6). Замечание 4. Анормальные траектории (5.7), очевидно, являются периодическими и были получены в работе [19]. 5.2. Случай сцепки вне приводной осиРассмотрим случай $l_r > 0$. Анормальные траектории допускают произвольную параметризацию по времени, иными словами, если $(v (t), \omega(t) )$, $t\in[0,t_1]$, есть анормальное управление для траектории $q(t)$, то, делая гладкую замену $t=f(s)$ с условием получаем управление $(f'(s) v (s), f'(s) \omega(s) )$, $s\in[0,s_1]$, соответствующее той же анормальной траектории $q (f(s))$ с перепараметризованным временем. Эта инвариантность позволяет без ограничения общности ввести соотношение на скорости $v^2+l_r^2 \omega^2 \equiv 1$, аналогичное ограничению $v^2+\mu^2 \omega^2 \equiv 1$, $\mu>0$, возникающему в нормальном случае ПМП.Из равенства (5.6) выводим выражения для анормальных управлений
$$
\begin{equation}
v=\sin \gamma, \qquad \omega=\frac{\cos \gamma}{l_r}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Замечание 5. Существует симметрия, переводящая решение с управлением $(v,\omega)$ (5.8) в решение, которое соответствует управлению $(-v,-\omega)$. Эта симметрия преобразует значения параметров $(\gamma, \alpha)$ в $(\pi+\gamma, \pi+\alpha)$. При этом экстремальная траектория $q(t)$, $t\in[0,+\infty)$, под действием симметрии инвертируется в траекторию $q(-t)$, $t\in[0,+\infty)$. Поэтому без ограничения общности рассматриваем управления в виде (5.8) с учетом описанной симметрии. Предложение 4. Анормальные траектории задачи управления (2.3)–(2.4) в случае $l_r > 0$ удовлетворяют системе уравнений Утверждение следует напрямую из формул для управлений (5.8), исходной системы (2.3) и интеграла (5.5). Лемма 1. Уравнения (5.10), (5.11) в случае $l_r > 0$ сводятся к дифференциальной системе уравнений Доказательство. Дифференцируя уравнение (5.10) с учетом (5.11), получаем Далее, делая замену $\gamma=\pi-\delta/2$, $\dot{\gamma}=-{c}/(2l_r)=-\dot{\delta}/2$, приходим к системе (5.12).
Учитывая начальные условия $\vartheta(0)=0$ и $\varphi(0)=\varphi_0$, получаем выражения
$$
\begin{equation*}
\delta(0)=2(\pi-\varphi_0-\alpha), \qquad c(0)=l_r \dot{\delta}(0)=- 2 l_r \dot{\gamma}(0)= \frac{2 l_r \cos \alpha}{l_t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, из (5.11) следует, что выполнено тождество
$$
\begin{equation*}
(l_t \cos \varphi_0+l_r) \sin \alpha+l_t \sin \varphi_0 \cos \alpha=0,
\end{equation*}
\notag
$$
через которое, учитывая замечание 5, выводим выражения (5.14). Лемма доказана. Замечание 6. Система (5.12) совпадает с уравнением математического маятника (4.9) при $\mu=l_r > 0$. Предложение 5. Начальное условие (5.13) для уравнения маятника (5.12) фиксирует уровень энергии маятника равным $E=2 l_r^2/l_t^2-1$. Доказательство. Данное предложение проверяется непосредственной подстановкой начального условия (5.13) в выражение для энергии (4.10) с учетом (5.14): Предложение доказано. Множество пар анормальных экстремальных траекторий для задачи (2.3), (2.4), (2.7), (3.1) в случае $l_r>0$ параметризуется точками множества исходных данных
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\{(l_r, l_t, \varphi_0) \mid l_r > 0, \, l_t > 0, \, \varphi_0 \in S^1\},
\end{equation*}
\notag
$$
которое в силу предложения 5 разбивается на подмножества согласно типам траекторий (аналогично разбиению множества $C_0$ в нормальном случае при $h_4=0$), а именно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A} &=\bigcup_{i=1}^5 \mathcal{A}_i, \qquad \mathcal{A}_i \cap \mathcal{A}_j= \varnothing, \quad i \neq j, \\ \mathcal{A}_1 &=\{ (l_r, l_t, \varphi_0) \mid 0 < l_r < l_t \}, \\ \mathcal{A}_2 &=\{ (l_r, l_t, \varphi_0) \mid l_r > l_t \}, \\ \mathcal{A}_3 &=\{ (l_r, l_t, \varphi_0) \mid l_r=l_t > 0,\, \varphi_0 \neq \pi \}, \\ \mathcal{A}_4 &=\{ (l_r, l_t, \varphi_0) \mid l_r=l_t > 0,\, \varphi_0=\pi \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 7. Несмотря на глобальную неуправляемость системы в области $\mathcal{A}_3 \cup \mathcal{A}_4$ (поскольку $l_r=l_t$), для полноты исследования мы включаем этот случай в рассмотрение, учитывая, что сужение исходной системы (2.2) на каждую из подобластей $\mathcal{A}_3, \mathcal{A}_4$ управляемо в силу теоремы 1. В случае $(l_r, l_t, \varphi_0)\in \mathcal{A}_4$ робот, точка сцепки и прицеп двигаются по прямой. Теорема 2. При любых фиксированных $l_r \geqslant 0$, $l_t>0$ и $\varphi_0$ для задачи (2.3), (2.4), (3.1) существуют две гладкие симметричные анормальные траектории $q(t)$, $\widetilde{q}(t)$, $t\in[0,+\infty)$, с точностью до перепараметризации по времени, причем одна является аналитическим продолжением другой в обратном направлении времени: $q(t)=\widetilde{q}(-t)$ $\forall\, t \in \mathbb{R}$. Доказательство. При $l_r=0$ условие теоремы выполнено в силу предложения 3. Из леммы 1 следует, что в случае $l_r>0$ существует единственный набор начальных значений $(\delta(0), c(0))$ для траектории маятника (5.12) и, как следствие, единственная соответствующая траектория робота с прицепом, гладкая в пространстве $M$. Таким образом, в силу замечания 5 получаем две симметричные друг другу траектории. Теорема доказана. Предложение 6. Анормальные траектории нестрого анормальны в субримановой задаче (2.3), (2.4), (2.6), (3.1) с условием $\mu=l_r > 0$. При этом центр робота движется по траектории, совпадающей с субримановой геодезической для робота без прицепа, а точка сцепки робота с прицепом всегда движется по неинфлексионной эластике. Предложение следует из замечаний 2, 3, предложения 4 и леммы 1. Предложение 7. Траектории центра робота на плоскости $(x,y)$ для областей $\mathcal{A}_1$, $\mathcal{A}_2$ совпадают соответственно с траекториями центра прицепа для областей $\mathcal{A}_2$, $\mathcal{A}_1$ с точностью до отражения в плоскости. Это предложение следует из замечания 1. Детали интегрирования системы (5.9), (5.12)–(5.14) с начальным условием $(x_0, y_0, \vartheta_0)=(0,0,0)$ в общем случае для областей $\mathcal{A}_1$, $\mathcal{A}_2$, $\mathcal{A}_3$ приведены в § 8. На рис. 6 показаны траектории робота (черные сплошные), точки сцепки (черные штриховые) и центра колесной пары прицепа (серые) для разных областей $\mathcal{A}_i$, $i= 1,2,3$. Теорема 3. Пусть $(l_r,l_t,\varphi_0)\in \bigcup_{i=1}^3 \mathcal{A}_i$. Если для задачи (2.3), (2.4), (2.6), (3.1) вместо начального условия (2.7) задать $(x_0,y_0,\vartheta_0)=(l_t \cos(\varphi_0+\alpha),0,\alpha)$ (т.е. провести ось абсцисс параллельно линии, проходящей через центр робота и центр прицепа), то анормальная траектория будет монотонной по координатам $y$, $\widehat{y}$, $\overline{y}$ и ограниченной (а также периодичной в случаях $\mathcal{A}_1$, $\mathcal{A}_2$) по координатам $x$, $\widehat{x}$, $\overline{x}$ в следующем смысле: Траектории робота $(x_t,y_t)$ и прицепа $(\overline{x}_t,\overline{y}_t)$ совпадают с соответствующими субримановыми геодезическими на группе движений плоскости, имеющими энергию маятника (для вектора сопряженных переменных), обратную друг другу. Траектория точки сцепки $(\widehat{x}_t,\widehat{y}_t)$ совпадает с неинфлексионной эластикой или прямой линией. Более того, справедливо равенство $y_t=\overline{y}_t$ $\forall\, t\in\mathbb{R}$. Доказательство. Рассмотрим случай $(l_r, l_t, \varphi_0) \in \mathcal{A}_1$, тогда из формул (8.8), (8.11), (8.15) (с условием $(x_0, y_0, \vartheta_0)=(0, 0, 0)$) выводим явные формулы для траекторий робота $(x_t,y_t)$, точки сцепки $(\widehat{x}_t,\widehat{y}_t)$ и прицепа $(\overline{x}_t,\overline{y}_t)$ с начальным условием $(x_0,y_0,\vartheta_0)=(l_t \cos(\varphi_0+\alpha),0,\alpha)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix}x_t \\ y_t \end{pmatrix} &=l_t \begin{pmatrix} \operatorname{dn} \sigma_t \\ \mathrm{E}(\sigma_t)-\mathrm{E}(\sigma_0)-\dfrac{t}{l_r} \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} \widehat{x}_t\\ \widehat{y}_t \end{pmatrix} &=l_t \begin{pmatrix} \operatorname{dn} \sigma_t \\ \mathrm{E}(\sigma_t)-\mathrm{E}(\sigma_0)-\dfrac{t}{l_r} \end{pmatrix}-l_r \begin{pmatrix} \operatorname{cn} \sigma_t \\ \operatorname{sn} \sigma_t \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} \overline{x}_t\\ \overline{y}_t \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} - l_r \operatorname{cn} \sigma_t \\ l_t \biggl( \mathrm{E}(\sigma_t)-\mathrm{E}(\sigma_0)-\dfrac{t}{l_r} \biggr) \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Неравенства (5.15) следуют из формул для $x_t$, $\widehat{x}_t$, $\overline{x}_t$ (5.18) и определений эллиптических функций $\operatorname{sn}$, $\operatorname{cn}$, $\operatorname{dn}$ (см. [33]). Также из (5.18) явно следует выполнение равенства $y_t=\overline{y}_t$. В случаях $(l_r, l_t, \varphi_0) \in \mathcal{A}_2$ и $(l_r, l_t, \varphi_0) \in \mathcal{A}_3$ доказательство строится аналогично. Теорема доказана. § 6. ЗаключениеВ работе рассмотрена задача оптимального управления роботом с прицепом (2.3)–(2.6). Доказано, что при фиксированных значениях $l_r$, $l_t$, $\varphi_0$ существует ровно две симметричные (в смысле обращения времени) анормальные экстремальные траектории (как и в субримановой задаче на группе Энгеля, см. [24], доставляющей нильпотентную аппроксимацию рассматриваемой задаче, см. [26]). При этом центр робота, так же как и центр прицепа, будет двигаться по траекториям, совпадающим с нормальными траекториями ПМП в субримановой задаче для робота без прицепа, которые впервые были описаны в работе [21]. Все анормальные экстремали в рассматриваемой задаче являются “хорошими” (согласно [32]) и, как следствие, их малые дуги оптимальны. Более того, время разреза (т.е. время потери глобальной оптимальности) для траекторий робота без прицепа, полученное в работе [22], доставляет нижнюю оценку времени разреза в рассматриваемой задаче. В частности, траектории в форме прямой линии и трактрисы являются метрическими линиями, т.е. любые их сегменты оптимальны. Показано, что траектория точки сцепки робота с прицепом описывает неинфлексионные эластики Эйлера, что согласуется с результатами работы [30]. Форма траекторий робота, точки сцепки и прицепа зависит напрямую от соотношения величин $l_r$ и $l_t$, а начальная точка на этих траекториях монотонно зависит от начального угла прицепа $\varphi_0$. Директрисы траекторий робота, точки сцепки и прицепа сонаправлены и перпендикулярны хорде, соединяющей центры робота и прицепа. Открытым остается вопрос, является ли нормальная гамильтонова система (4.2) интегрируемой по Лиувиллю в общем случае $h_4 \neq 0$. Авторы выражают признательность Ю. Л. Сачкову и А. А. Килину за полезные обсуждения. § 7. Приложение: формулы для нормальных траекторий в случае $h_4=0$Ниже воспользуемся эллиптическими функциями Якоби (см. [33]): $\operatorname{sn}$, $\operatorname{cn}$, $\operatorname{dn}$, амплитудой Якоби $\operatorname{am}$, неполным эллиптическим интегралом II рода $\mathbf{E}$ и полным эллиптическим интегралом I рода $K$; также обозначим $\mathrm{E} (u)=\mathbf{E}(\operatorname{am} u)$. Для каждой из областей $C_{0i}$, $i=1,2,3$, используются следующие выпрямляющие координаты (см. [21]):
$$
\begin{equation}
(\delta, c) \in C_{01} \quad\Longrightarrow\quad k=\sqrt{\dfrac{E+1}{2}}, \qquad \dfrac{c}{2}=k \operatorname{cn} (\sigma, k), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\sin \dfrac{\delta}{2}=s_1 k \operatorname{sn} (\sigma, k), \qquad \cos \dfrac{\delta}{2}=s_1 \operatorname{dn} (\sigma, k);
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
$$
\begin{equation}
(\delta, c) \in C_{02} \quad\Longrightarrow\quad k=\sqrt{\dfrac{2}{E+1}}, \qquad \dfrac{c}{2}=\dfrac{s_2}{k}\operatorname{dn}\biggl(\dfrac\sigma k, k\biggr), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\sin \dfrac{\delta}{2}=s_2 \operatorname{sn} \biggl(\dfrac\sigma k, k\biggr), \qquad \dfrac{\delta}{2}=\operatorname{cn} \biggl(\dfrac\sigma k, k\biggr);
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
$$
\begin{equation}
(\delta, c) \in C_{03} \quad\Longrightarrow\quad k=1, \qquad \dfrac{c}{2}=\dfrac{s_2}{\operatorname{ch} \sigma}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\sin \dfrac{\delta}{2}=s_1 s_2 \operatorname{th} \sigma, \qquad \cos \dfrac{\delta}{2}=\dfrac{s_1}{\operatorname{ch} \sigma};
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
где $s_1=\operatorname{sign} \cos(\delta/2)$, $ s_2=\operatorname{sign} c$. В этих координатах уравнение маятника (4.9) принимает вид а его решение запишется в виде $\sigma_t=\sigma_0+t/{\mu}$, где $\sigma_0$ определяет начальное положение маятника.Далее приведем явные формулы для $x_t$, $y_t$, $\vartheta_t$, полученные через интегрирование уравнений системы (4.11) согласно разбиению (4.13).
Лемма 2. Если $(\delta, c) \in C_{01} \cup C_{02} \cup C_{03}$, то траектория $(x_t, y_t)$ укладывается в полосу, проходящую через начало координат. В каждом случае явные выражения для полосы выглядят следующим образом: Доказательство. Пусть $(\delta, c) \in C_{01}$, помножим соответствующее равенство в (7.4) для $(x_t,y_t)^\top$ на $({k}/{\mu}) \mathbf{J}_1^{-1}$ слева. Тогда равенство для первой координаты перепишется в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{k}{\mu}(\operatorname{cn} \sigma_0 x_t+s_1 \operatorname{sn} \sigma_0 y_t)=s_1 (\operatorname{dn} \sigma_0-\operatorname{dn} \sigma_t).
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя последнее равенство с условием на дельту амплитуды
$$
\begin{equation*}
\sqrt{1-k^2} \leqslant \operatorname{dn} \sigma_t \leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
выводим двойное неравенство в (7.7), которое определяет подмножество плоскости, целиком содержащее траекторию робота.
В случаях $(\delta, c) \in C_{02}$ и $(\delta, c) \in C_{03}$ помножаем соответственно на $\mathbf{J}_2^{-1}/(\mu k)$ и $\mathbf{J}_3^{-1}/\mu$, далее уравнение для первой координаты аналогичным образом комбинируем с неравенствами $-1 \leqslant \operatorname{cn} \varsigma_t \leqslant 1$ и $0<1/\operatorname{ch} \sigma_t \leqslant 1$. Лемма доказана. Замечание 8. Равенства в выражениях (7.7) и (7.8) достигаются при $t=\mu(n K(k)- \sigma_0)$ и $t=\mu (2 n k K(k)-\varsigma_0)$ соответственно для любого $n \in \mathbb{Z}$. При этом точки $(x_t,y_t)$ в обоих случаях располагаются на сторонах полосы попеременно через равное расстояние (в шахматном порядке). В выражении (7.9) равенство достигается в одной точке при $t=- \mu \sigma_0$. Напомним, что точка сцепки движется в неподвижной системе координат $Oxy$ по траекториям
$$
\begin{equation}
\widehat{x}_t=x_t-l_r \cos \vartheta_t, \qquad \widehat{y}_t=y_t-l_r \sin \vartheta_t.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Подставляя соответствующие выражения в (7.10), получим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\delta, c) \in C_{01} &\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} \widehat{x}_t\\ \widehat{y}_t \end{pmatrix} =\mathbf{J}_1 \biggl(\frac{\mu}{k} \begin{pmatrix} s_1(\operatorname{dn} \sigma_0-\operatorname{dn} \sigma_t) \\ \mathrm{E}(\sigma_t)-\mathrm{E}(\sigma_0)-\dfrac t\mu\end{pmatrix} -l_r \begin{pmatrix}\operatorname{cn} \sigma_t\\ - s_1 \operatorname{sn} \sigma_t\end{pmatrix} \biggr), \\ (\delta, c) \in C_{02} &\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} \widehat{x}_t\\ \widehat{y}_t \end{pmatrix} =\mathbf{J}_2 \biggl( s_2 \mu \begin{pmatrix} k (\operatorname{cn} \varsigma_0-\operatorname{cn} \varsigma_t) \\ \mathrm{E}(\varsigma_t)-\mathrm{E}(\varsigma_0)-\dfrac{t}{k \mu} \end{pmatrix} -l_r \begin{pmatrix}\operatorname{dn} \varsigma_t\\ - k \operatorname{sn} \varsigma_t\end{pmatrix}\biggr), \\ (\delta, c) \in C_{03} &\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} \widehat{x}_t\\ \widehat{y}_t \end{pmatrix} =s_2 \mu \mathbf{J}_3 \begin{pmatrix} \dfrac{s_1}{\operatorname{ch} \sigma_0}-\dfrac{s_1+s_2 l_r/\mu}{\operatorname{ch} \sigma_t} \\ \biggl(1 + \dfrac{s_1 s_2 l_r}{\mu}\biggr) \operatorname{th} \sigma_t -\operatorname{th} \sigma_0-\dfrac{t}{\mu} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как расстояние от центра робота до точки сцепки равно $l_r$, то траектория $(\widehat{x}_t, \widehat{y}_t)$ укладывается в полосу для траектории $(x_t, y_t)$ (см. лемму 2), расширенную по бокам на величину $l_r$. Более точное описание этой полосы можно получить по аналогии с доказательством леммы 2, так как ограничена первая координата вектора $\mathbf J_i^{-1} (\widehat{x}_t, \widehat{y}_t)^\top$ при $(\delta, c) \in C_{0i}$, $i=1,2,3$. Очевидно, что траектория $(\overline{x}_t, \overline{y}_t)$ также укладывается в ту же полосу, но расширенную по бокам на величину $l_r+l_t$. Воспользуемся данным наблюдением в следующем параграфе для описания анормальных траекторий. § 8. Приложение: формулы для анормальных траекторийУравнения (5.9), (5.12) совпадают с (4.9), (4.11) при $\mu=l_r$. Поэтому в анормальном случае в качестве явных выражений для траектории робота $(x_t, y_t, \vartheta_t)$ и траектории точки сцепки $(\widehat{x}_t,\widehat{y}_t)$ можно использовать формулы, приведенные в § 7 при $\mu=l_r$. В каждой из областей $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \mathcal{A}_3$ введем координаты (7.1)–(7.3), при этом координата $k$ связана с параметрами системы $l_r$, $l_t$ следующим образом (в силу предложения 5):
$$
\begin{equation}
(l_r, l_t, \varphi_0) \in \mathcal{A}_1 \quad\Longrightarrow\quad k=\sqrt{\frac{E+1}2}=\frac{l_r}{l_t},
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r, l_t, \varphi_0) \in \mathcal{A}_2 \quad\Longrightarrow\quad k=\sqrt{\frac{2}{E+1}}=\frac{l_t}{l_r},
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r, l_t, \varphi_0) \in \mathcal{A}_3 \quad\Longrightarrow\quad k=1.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Из (5.13) и (5.14) выводим дополнительные соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sin \frac{\delta(0)}{2} &=\frac{l_r \sin \varphi_0}{\sqrt{l_t^2+l_r^2+2 l_t l_r \cos \varphi_0}}, \\ \cos \frac{\delta(0)}{2} &=- \frac{l_t+l_r \cos \varphi_0}{\sqrt{l_t^2+l_r^2+ 2 l_t l_r \cos \varphi_0}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
Сопоставляя (7.1)–(7.3) с (8.4) и (5.13), получаем следующие выражения:
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sn} \sigma_0=\sin \alpha, \qquad \operatorname{cn} \sigma_0=\cos \alpha, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{dn} \sigma_0=\cos (\varphi_0+\alpha) > 0,
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_2 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sn} \varsigma_0=- \frac{l_r}{l_t} \sin \alpha, \qquad \operatorname{cn} \varsigma_0=- \cos (\varphi_0+\alpha), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_3 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{th} \sigma_0=\sin \alpha, \qquad \frac{1}{\operatorname{ch} \sigma_0}=\cos \alpha=\cos (\varphi_0+\alpha),
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
где угол $\alpha$ выражается через начальный угол прицепа $\varphi_0$ по формуле (5.14) согласно лемме 1, а знаки $s_1=-\operatorname{sign} \cos (\varphi_0+\alpha)=-\operatorname{sign}(l_t+l_r \cos \varphi_0)=-1$, $s_2= \operatorname{sign} \cos \alpha=\operatorname{sign} (l_r+l_t \cos \varphi_0)=1$. После замен (8.5)–(8.7) соответствующие матрицы $\mathbf{J}_1$, $\mathbf{J}_2$, $\mathbf{J}_3$ совпадают, поэтому ведем единую матрицу поворота на угол $\alpha$ (по часовой стрелке):
$$
\begin{equation*}
\mathbf{J} :=\mathbf{J}_1=\mathbf{J}_2=\mathbf{J}_3= \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Упростим формулы для траекторий робота:
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_1 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1}\begin{pmatrix} x_t\\ y_t\end{pmatrix} =l_t \begin{pmatrix} \operatorname{dn} \sigma_t-\cos (\varphi_0+\alpha)\\ \mathrm{E}(\sigma_t)-\mathrm{E}(\sigma_0)-\dfrac{t}{l_r} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_2 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1} \begin{pmatrix} x_t\\ y_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_t (-\operatorname{cn} \varsigma_t-\cos (\varphi_0+\alpha) )\\ l_r \biggl(\mathrm{E}(\varsigma_t)-\mathrm{E}(\varsigma_0)-\dfrac{t}{l_t} \biggr) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_3 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1} \begin{pmatrix} x_t\\ y_t \end{pmatrix} =l_t \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\operatorname{ch} \sigma_t}-\cos (\varphi_0+\alpha) \\ \operatorname{th} \sigma_t-\sin \alpha-\dfrac{t}{l_t} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Траектории точки сцепки (7.10) в анормальном случае принимают вид
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_{1} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1}\begin{pmatrix} \widehat{x}_t\\ \widehat{y}_t\end{pmatrix} =\mathbf{J}^{-1}\begin{pmatrix}x_t\\y_t\end{pmatrix} -l_r \begin{pmatrix}\operatorname{cn} \sigma_t \\ \operatorname{sn} \sigma_t \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_{2} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1} \begin{pmatrix} \widehat{x}_t\\ \widehat{y}_t\end{pmatrix} =\mathbf{J}^{-1} \begin{pmatrix}x_t\\y_t\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}- l_r \operatorname{dn} \varsigma_t\\ l_t \operatorname{sn} \varsigma_t\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_{3} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1} \begin{pmatrix}\widehat{x}_t\\\widehat{y}_t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}- l_t \cos (\varphi_0+\alpha)\\ -l_t \sin \alpha-t\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
Для определения траектории колесной пары прицепа
$$
\begin{equation}
\overline{x}_t=\widehat{x}_t-l_t \cos (\vartheta_t+\varphi_t), \qquad \overline{y}_t= \widehat{y}_t-l_t \sin (\vartheta_t+\varphi_t)
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
необходимо знать $\cos (\vartheta_t+\varphi_t)$ и $\sin (\vartheta_t+\varphi_t)$, которые вычисляются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_1 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}\cos (\vartheta_t+\varphi_t)\\ \sin (\vartheta_t+\varphi_t)\end{pmatrix} =\mathbf{J}\begin{pmatrix}\operatorname{dn} \sigma_t\\ - \dfrac{l_r}{l_t} \operatorname{sn} \sigma_t\end{pmatrix}, \\ (l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_2 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}\cos (\vartheta_t+\varphi_t)\\ \sin (\vartheta_t+\varphi_t)\end{pmatrix} =\mathbf{J}\begin{pmatrix}-\operatorname{cn} \varsigma_t\\ \operatorname{sn} \varsigma_t\end{pmatrix}, \\ (l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_3 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}\cos (\vartheta_t+\varphi_t)\\ \sin (\vartheta_t+\varphi_t)\end{pmatrix} =\mathbf{J}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\operatorname{ch} \sigma_t}\\ -\operatorname{th} \sigma_t\end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя найденные выражения в формулу (8.14), получаем следующие уравнения на движение прицепа:
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_1 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1}\begin{pmatrix} \overline{x}_t\\ \overline{y}_t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} - l_r \operatorname{cn} \sigma_t-l_t \cos (\varphi_0+\alpha)\\ l_t \biggl( \mathrm{E}(\sigma_t)-\mathrm{E}(\sigma_0)-\dfrac{t}{l_r} \biggr)\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_2 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1} \begin{pmatrix}\overline{x}_t\\ \overline{y}_t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -l_r \operatorname{dn} \varsigma_t-l_t \cos (\varphi_0+\alpha) \\ l_r\biggl(\mathrm{E}(\varsigma_t)-\mathrm{E}(\varsigma_0)-\dfrac{t}{l_t} \biggr) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
$$
\begin{equation}
(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_3 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}^{-1} \begin{pmatrix} \overline{x}_t\\ \overline{y}_t \end{pmatrix}=l_t \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\operatorname{ch} \sigma_t}-\cos (\varphi_0+\alpha) \\ \operatorname{th} \sigma_t-\sin \alpha-\dfrac{t}{l_t} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
Замечание 9. Траектории центра робота, точки сцепки и центра прицепа в случае $(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_2$ могут быть выражены напрямую через траектории случая $(l_r,l_t,\varphi_0) \in \mathcal{A}_1$ с помощью следующих свойств эллиптических функций (см. [33]): 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ArdArt23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|