| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О разрешимости интерполяционной проблемы Неванлинны–Пика В. И. Буслаев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9826e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ теории аналитических функций хорошо известна следующая интерполяционная проблема Неванлинны–Пика. Пусть $\Omega $ и $\Upsilon$ – односвязные области, $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$ и $\{ h_p\}_{p\in \mathcal P}$ – множества точек, лежащих в $\Omega $ и $\overline{\Upsilon}$ соответственно. Требуется найти необходимые и достаточные условия существования функции $f(z)$, голоморфной в $\Omega $, принимающей значения в $\overline{\Upsilon }$ и такой, что $f(e_p )=h_p$, $p\in \mathcal P$. При наличии у множества $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$ кратных точек условия $f(e_p )=h_p$, $p\in \mathcal P$, модифицируются стандартным образом. В частности, если $e_{p_1}=\dots =e_{p_k}=e$, где $p_j\in \mathcal P$, $j=1,\dots,k$, и индексы $p_1,\dots,p_k$ попарно различны, то условия $f(e_{p_j} )=h_{p_j}$, $j=1,\dots,k$, заменяются условиями $f^{(j)}(e)=h_e^{(j)}$, задающими значения производных $f^{(j)}(e)$, $j=0,\dots,k-1$, функции $f(z)$ в точке $e$ порядков от нуля до $k-1$ включительно, которые эквивалентны условиям
$$
\begin{equation}
\lim_{z\to e} \frac{f(z)-\sum_{j=0}^{k-1}(h_e^{(j)}/j!)(z-e)^{j}}{(z-e)^{k-1}}=0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
В случае ухода точки $e$ кратности $k$ на границу области $\Omega$ (с гладкой границей), точнее, в случае $e_{p_1}=\dots =e_{p_k}=e\in\partial \Omega$, стремление $z\to e$ в равенстве (1) заменяется на $z\,\widehat{\to}\, e$, означающее, что $z$ стремится к $e$ некасательным образом, оставаясь внутри некоторого фиксированного угла, лежащего в $\Omega$. При помощи теоремы Римана интерполяционную проблему можно свести к случаю, в котором области $\Omega $ и $\Upsilon$ совпадают с наперед заданными областями $\Omega^*$ и $\Upsilon^*$. Действительно, если $\varphi_{\Omega,\Omega^*}(z)$ и $\varphi_{\Upsilon,\Upsilon^*}(z)$ – голоморфные функции, взаимно однозначно отображающие области $\Omega $ и $\Upsilon$ соответственно в $\Omega^*$ и $\Upsilon^*$, то задача сводится к нахождению условий существования функции $F(t)$, голоморфной в $\Omega^*$, принимающей значения в $\overline{\Upsilon }^*$ и такой, что $F(d_p )=g_p$, где $d_p =\varphi_{\Omega,\Omega^*}(e_p )$, $g_p =\varphi_{\Upsilon,\Upsilon^*}(h_p )$, $p\in \mathcal P$. Однако в модифицированной проблеме Неванлинны–Пика (при наличии кратных точек) на этом пути возникают трудности с записью полученного решения, связанные с необходимостью пересчета значений производных. Чтобы придать решению читаемый вид в исходных терминах требуются дополнительные усилия (см., например, замечание 1 ниже). Пусть $\Omega $ и $\Upsilon$ – односвязные области, положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak B^{\Omega,\Upsilon }:=\{ f(z)\in H(\Omega )\colon f(\Omega )\subset\overline{\Upsilon}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $H(\Omega )$ – множество функций, голоморфных в области $\Omega$. Наибольший интерес представляют множества
$$
\begin{equation}
\mathfrak B^{\mathrm n}:=\mathfrak B^{\mathbb H,\mathbb H }, \qquad \mathfrak B^{\mathrm c}:=\mathfrak B^{\mathbb D,\mathbb K }, \qquad \mathfrak B^{\mathrm s}:=\mathfrak B^{\mathbb D,\mathbb D }, \qquad \mathfrak B^{\mathrm b}:=\mathfrak B^{\mathbb H,\mathbb D },
\end{equation}
\tag{2}
$$
где здесь и далее
$$
\begin{equation*}
\mathbb H:=\{ z\colon \operatorname{Im} z>0\}, \qquad \mathbb K:=\{ z\colon \operatorname{Re} z>0\}, \qquad \mathbb D:=\{ z\colon |z|<1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первые три множества в (2) – это хорошо известные множества функций Неванлинны, Каратеодори и Шура соответственно. Четвертое множество в (2) использовано в [1] в связи с некоторыми прикладными задачами. Все четыре множества функций в (2) весьма близки между собой как по определению, так и по своим свойствам. В множествах функций $\mathfrak B^{\zeta}$, $\zeta =\mathrm n, \mathrm c,\mathrm s,\mathrm b$, выделим непересекающиеся подмножества $\mathfrak B_N^\zeta$, где $N\in\mathbb Z^\infty_+ :=\mathbb Z_+\cup\{ \infty \}$, определяемые следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak B_N^{\zeta}:=\mathfrak B^{\zeta}\cap R_N^\zeta \quad \text{при }\ N\in\mathbb Z_+, \qquad \mathfrak B_\infty^{\zeta}:=\mathfrak B^{\zeta}\setminus \biggl(\bigcup_{N\in\mathbb Z_+}\mathfrak B_N^{\zeta}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_N^\zeta$ – множество рациональных функций $f(z)$ степени $N\in\mathbb Z_+$, удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation}
f(\partial \mathbb H)= \begin{cases} \partial \mathbb H,&\zeta =\mathrm n, \\ \partial \mathbb D,&\zeta =\mathrm b, \end{cases} \qquad f(\partial \mathbb D)= \begin{cases} \partial \mathbb K,&\zeta =\mathrm c, \\ \partial \mathbb D,&\zeta =\mathrm s. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Представление функций классов $\mathfrak B_N^{\mathrm c}$ и $\mathfrak B_N^{\mathrm s}$, $N\in\mathbb Z_+$, в явном виде приведено в работах К. Каратеодори [2] и И. Шура [3]. В частности, $\mathfrak B_0^{\mathrm s}$ состоит из постоянных функций, по модулю равных 1, $\mathfrak B_N^{\mathrm s}$ при $N\in\mathbb N$ состоит из произведений Бляшке $\gamma\prod_{k=1}^N((z-e_k)/(1-z\overline{e}_k))$, где $|\gamma |=1$, $e_k\in\mathbb D$, $k=1,\dots,N$. Обозначая через $(f\circ g)(z):=f(g(z))$ композицию функций $f(z)$ и $g(z)$, имеем Предложение 1. Пусть $t(z)=(z-i)/(z+i)$ и $T(z)=(1-z)/(1+z)$ – дробно линейные преобразования, переводящие $\mathbb H$ в $\mathbb D$ и $\mathbb D$ в $\mathbb K$ соответственно, $N\in\mathbb Z^\infty_+$. Тогда Имеющиеся взаимосвязи между множествами функций $\mathfrak B^{\mathrm n }$ и $\mathfrak B^{\mathrm s }$, а также между $\mathfrak B^{\mathrm c }$ и $\mathfrak B^{\mathrm b}$ в предложении 1 не формулируются, поскольку в дальнейшем на них не будет ссылок в статье. Кроме того, заметим, что преобразования $t(z)$ и $T(z)$ в предложении 1 можно заменить любыми другими дробно линейными преобразованиями, переводящими $\mathbb H$ в $\mathbb D$ и $\mathbb D$ в $\mathbb K$ соответственно. Для функций Каратеодори и Неванлинны имеются хорошо известные интегральные представления Рисса–Херглотца, см. [4]. Теорема Рисса–Херглотца. Функция $f(z)$ является функцией Неванлинны тогда и только тогда, когда существует мера $\tau$ с носителем на $(-\infty,\infty)$ такая, что где $\mu$, $\nu$ – вещественные постоянные, $ \mu\geqslant 0$. Функция $f(z)$ является функцией Каратеодори тогда и только тогда, когда существует мера $\sigma$ с носителем на отрезке $[0,2\pi]$ такая, что Из интегральных представлений (4) и (5) легко следуют необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Неванлинны и Каратеодори. Действительно, предполагая, что функция $f(z)$, принадлежащая $\mathfrak B^{\mathrm n}$, является решением проблемы Неванлинны–Пика для заданных множеств точек $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$ (лежащих в $\mathbb H$) и $\{ h_p\}_{p\in \mathcal P}$ (лежащих в $\overline{\mathbb H}$), из интегрального представления (4) при всех попарно различных $p_1,\dots,p_n$ из индексного множества $\mathcal P$ и всех $(\xi_1,\dots,\xi_n)\in\mathbb C^n$ имеем импликацию
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n} \quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \\ \notag &\Longrightarrow\qquad \sum_{j,k=1}^n\frac{h_{p_j}-\overline{h}_{p_k}}{e_{p_j} -\overline{e}_{p_k}}\xi_{j}\overline{\xi}_{k} =\sum_{j,k=1}^n\frac{f(e_{p_j})-\overline{f(e_{p_k})}}{e_{p_j} -\overline{e}_{p_k}}\xi_{j}\overline{\xi}_{k} \\ \notag &\qquad =\sum_{j,k=1}^n\frac{\displaystyle\mu (e_{p_j}-\overline{e}_{p_k})+\int_{-\infty }^{\infty }\biggl(\frac{1+ue_{p_j}}{u-e_{p_j}}- \frac{1+u\overline{e}_{p_k}}{u-\overline{e}_{p_k}}\biggr)\,d\tau (u)}{e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}\xi_{j} \overline{\xi}_{k} \\ \notag &\qquad =\mu\sum_{j,k=1}^n\xi_{j}\overline{\xi}_{k} +\int_{-\infty }^{\infty }\sum_{j,k=1}^n\frac{(1+u^2)\xi_{j} \overline{\xi}_{k}}{(u-e_{p_j})(u-\overline{e}_{p_k})} \,d\tau (u) \\ &\qquad =\mu \biggl|\sum_{j=1}^n\xi_{j}\biggr|^2+ \int_{-\infty }^{\infty }\biggl|\sum_{j=1}^n\frac{\xi_{j}}{u-e_{p_j}}\biggr|^2(1+u^2)\,d\tau (u) \geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Из необходимых условий $(h_{p}-\overline{h}_{p})/(e_{p}-\overline{e}_{p}) \xi_{1}\overline{\xi}_{1}\geqslant 0$ при $n=1$ и условия $e_p\in\mathbb H$, эквивалентного условию $e_{p}-\overline{e}_{p}=2\operatorname{Im} e_p>0$, следует, что $h_{p}-\overline{h}_{p}=2\operatorname{Im} h_p\geqslant 0$. Поэтому в формулировках можно заранее не требовать, чтобы $h_p\in\overline{\mathbb H}$, чему мы и будем следовать в дальнейшем в аналогичных ситуациях. При $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$, лежащих в $\mathbb D$, необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Каратеодори могут быть получены по аналогии с импликацией (6) из интегрального представления (5). Однако в целях единого подхода к получению условий разрешимости проблемы в классах функций $\mathfrak B^{\zeta}$, $\zeta = \mathrm c,\mathrm s,\mathrm b$, укажем другой способ, основанный на эквивалентности проблем Неванлинны–Пика для различных классов функций, а именно, воспользуемся уже имеющейся импликацией (6), предложением 1 и явным видом дробно линейного преобразования $t(z)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c} \quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \quad\Longleftrightarrow\quad F(z)= i(f\circ t)(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n } \quad\text{и}\quad F(d_p)=g_p, \\ \notag &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{где }\ e_p=t(d_p), \quad h_p=i^{-1}g_p, \\ &\Longrightarrow\quad \sum_{j,k=1}^n\frac{h_{p_j}+\overline{h}_{p_k}} {1-e_{p_j}\overline{e}_{p_k}}\xi_{j}\overline{\xi}_{k} =\sum_{j,k=1}^n\frac{g_{p_j}-\overline{g}_{p_k}} {2(d_{p_j}-\overline{d}_{p_k})} \bigl((d_{p_j}+i)\xi_{j}\bigr)\bigl(\overline{(d_{p_k}+i)\xi}_{k}\bigr)\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Аналогичным образом из предложения 1, явного вида преобразования $T(z)$, импликации (6) и уже доказанной импликации (7) следуют также и необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классах функций $\mathfrak B^{\mathrm s}$ и $\mathfrak B^{\mathrm b}$:
$$
\begin{equation}
\nonumber f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s}\quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \quad\Longleftrightarrow\quad F(z)=(T\circ f)(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c}\quad\text{и}\quad F(e_p)=T(h_p)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\Longrightarrow\ \, \sum_{j,k=1}^n\frac{1-h_{p_j}\overline{h}_{p_k}}{1-e_{p_j}\overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k=\frac 12\sum_{j,k=1}^n\frac{T(h_{p_j})+\overline{T(h_{p_k})}}{1-e_{p_j}\overline{e}_{p_k}} (1+h_{p_j})\xi_j\overline{(1+h_{p_k})\xi_k}\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm b}\quad\text{и}\quad f(e_p)=h_p \quad\Longleftrightarrow\quad F(z)=i(T\circ f)(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n} \quad\text{и}\quad F(e_p)=iT(h_p)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\Longrightarrow\ \, \sum_{j,k=1}^ni\frac{1-h_{p_j} \overline{h}_{p_k}}{e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}\xi_j\overline{\xi}_k =\frac 12\sum_{j,k=1}^n\frac{iT(h_{p_j})-\overline{iT(h_{p_k})}} {e_{p_j}-\overline{e}_{p_k}}(1+h_{p_j})\xi_j\overline{(1+h_{p_k})\xi_k}\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
М. Г. Крейн и П. Г. Рехтман в [5] показали, что для произвольного (возможно, континуального) индексного множества $\mathcal P$ приведенные в (6) необходимые условия разрешимости проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Неванлинны являются также и достаточными. Ранее этот же результат был получен Г. Пиком в [6] в случае конечного индексного множества $\mathcal P$ и Р. Неванлинной в [7] в случае счетного $\mathcal P$. Теорема Крейна–Рехтман. Для существования функции Неванлинны $f(z)$, удовлетворяющей условиям $f(e_p)=h_p$, $p\in \mathcal P$, для заданных множеств точек $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$, лежащих в $\mathbb H$, и $\{ h_p\}_{p\in \mathcal P}$ необходимо и достаточно, чтобы все формы были ненегативны. Если какая-либо из форм (10) сингулярна, то функция $f(z)$ единственна и является действительной рациональной дробью. По предложению 1 и теореме Крейна–Рехтман знак “$\Longrightarrow $” в импликациях (6), (7) и (9) можно заменить знаком “$\Longleftrightarrow$”, после чего с учетом усиленного варианта (7) такую же замену можно сделать и в импликации (8). Это означает, что имеет место Расширенный вариант теоремы Крейна–Рехтман. Для существования функции $f(z)\in \mathfrak B^{\zeta}$, $\zeta = \mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s$, удовлетворяющей условиям $f(e_p)=h_p$, $p\in \mathcal P$, где $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$ и $\{ h_p\}_{p\in \mathcal P}$ – заданные множества точек, точки $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$ лежат в $\mathbb H$ при $\zeta = \mathrm n,\mathrm b$ и лежат в $\mathbb D$ при $\zeta = \mathrm c,\mathrm s$, необходимо и достаточно, чтобы были ненегативны все формы Если какая-либо из этих форм сингулярна, то функция $f(z)$ единственна и является рациональной дробью, удовлетворяющей условию (3). В работах И. В. Ковалишиной [8] и Г. Худайберганова [9] теорема Крейна–Рехтман распространена на случай голоморфных функций с матричным аргументом. В работе М. Абрахамса [10] теорема Крейна–Рехтман распространена на случай функций класса $\mathfrak B^{\Omega,\mathbb D} $, где $\Omega$ – конечносвязная область. В работах Л. Баратшара, М. Оливи, Ф. Сейферта [1] и Д. Сарасона [11] рассмотрены некоторые вопросы, связанные с проблемой Неванлинны–Пика при уходе точек интерполяции на границу области. В работе автора [12] сформулирована (без доказательства) теорема, распространяющая теорему Крейна–Рехтман на случай, когда $\mathcal P$ – счетное множество, среди точек $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ e_1,e_2,\dots\}$ имеются кратные точки, а проблема Неванлинны–Пика модифицирована заданием в кратных точках значений производных искомой функции. Частный случай модифицированной проблемы Неванлинны–Пика при наличии кратных точек исследован при $e_1=e_2=\dots =0$ для классов функций $\mathfrak B^{\mathrm c}$ и $\mathfrak B^{\mathrm s}$ в работах Каратеодори [2] и Шура [3] соответственно. В работах автора [13]–[17] результаты Каратеодори и Шура распространены на более общие ситуации. Для краткости сформулируем классические критерии Каратеодори и Шура в виде единого критерия, в котором случай $\zeta =\mathrm c$ совпадает с критерием Каратеодори, а случай $\zeta =\mathrm s$ – с критерием Шура. Также для краткости формулировок далее для всякой последовательности $\{ M_n\}_{n=1}^\infty$ вещественных чисел будем писать $\{ M_n\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N$, $N\in\mathbb Z^\infty_+$, если и только если
$$
\begin{equation*}
M_1>0,\ \dots,\ M_N>0, \qquad M_{N+1}=M_{N+2}=\dots =0
\end{equation*}
\notag
$$
(при $N=0$ отсутствуют неравенства $M_1>0,\ \dots,\ M_N>0$, а при $N=\infty$ отсутствуют равенства $M_{N+1}=M_{N+2}=\dots =0$). Критерий Каратеодори–Шура. Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд, $N\in\mathbb Z^\infty_+$, $I_n$ – единичная $(n\times n)$-матрица, Замечание 1. В процессе доказательства своего критерия И. Шур ввел в рассмотрение алгоритм разложения функции класса $\mathfrak B^{\mathrm s}$ в непрерывную дробь специального вида (непрерывную дробь Шура, нашедшую впоследствии применения в исследованиях и многих других вопросов теории функций) и доказал критерий, никак не используя ранее доказанный критерий Каратеодори. Вместе с этим заметим, что в [17] показано, что для формального степенного ряда $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ такого, что $a_0\neq -1$, при всех $ n=1,2,\dots$ имеет место равенство Напомним, что тригонометрическая проблема моментов состоит в нахождении вероятностной меры $\sigma$ с носителем на отрезке $[0,2\pi]$, отличным от конечного числа точек, и такой, что для заданной бесконечной последовательности комплексных чисел $a_0=1,a_1,a_2,\dots$ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\int_0^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\sigma (\theta)=a_n, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{14}
$$
По теореме Рисса–Херглотца (см. (5))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in \mathfrak B^{\mathrm c}, \quad f(0)=1 \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad f(z)=\int_0^{2\pi }\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}\,d\sigma (\theta) =1+2\sum_{n=1}^\infty z^n\int_0^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\sigma (\theta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma$ – вероятностная мера с носителем на отрезке $[0,2\pi]$. Это означает, что для заданной бесконечной последовательности комплексных чисел $a_0=1,a_1,a_2,\dots$ существование вероятностной меры $\sigma$ с носителем на отрезке $[0,2\pi]$, отличным от конечного числа точек, удовлетворяющей равенствам (14), эквивалентно существованию функции Каратеодори класса $\mathfrak B^{\mathrm c }_\infty $, ряд Тейлора которой совпадает с (заданным) рядом $1+2\sum_{n=1}^\infty a_nz^n$. Другими словами, разрешимость тригонометрической проблемы моментов для последовательности $a_0=1,a_1,a_2,\dots$ эквивалентна разрешимости (модифицированной) проблемы Неванлинны–Пика при $e_1=e_2=\dots =0$ для ряда $a_0+2\sum_{n=1}^\infty a_nz^n$ в классе функций $\mathfrak B^{\mathrm c }_\infty $, которая, в свою очередь, по критерию Каратеодори разрешима тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\det \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1} \\ \overline{a}_1 & a_0 & \dots & a_{n-2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a}_{n-1} & \overline{a}_1 & \dots & a_0 \end{pmatrix}>0, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним также, что проблема моментов Гамбургера состоит в нахождении вероятностной меры $\sigma$ с носителем на действительной оси, отличным от конечного числа точек, и такой, что для заданной бесконечной последовательности действительных чисел $a_0=1,a_1,a_2,\dots$ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb R}t^n\,d\sigma (t)=a_n, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{15}
$$
В работах Г. Гамбургера [18] и Р. Неванлинны [19] установлена связь между разрешимостью проблемы моментов Гамбургера и разрешимостью проблемы Неванлинны–Пика в классе функций Неванлинны вида с исходными данными $e_1=e_2=\dots =\infty$, лежащими на границе $\mathbb H$.Теорема Гамбургера–Неванлинны. Если мера $\sigma$ с носителем на действительной оси имеет конечные моменты (15), то функция (16) является функцией Неванлинны, для которой при любом $\delta\in (0,\pi /2)$ выполняются равенства равномерно в угле $\delta\leqslant \arg z\leqslant \pi -\delta$, где $0<\delta <\pi /2$. И наоборот, если для некоторой функции Неванлинны $f(z)$ выполняются равенства (17) c действительными $a_0=1,a_1,a_2,\dots$ хотя бы при $z=iy$, $y\to\infty$, то функция $f(z)$ допускает представление (16), в котором мера $\sigma$ имеет моменты (15). Так как равенства (17) эквивалентны равенствам
$$
\begin{equation*}
\lim_{z\widehat{\to }\infty }z^{n}(f(z)+a_0z^{-1}+a_1z^{-2}+\dots +a_{n-1}z^{-n})=0, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
преобразование $z\to -z^{-1}$ переводит верхнюю полуплоскость в себя, точку $\infty$ переводит в $0$, а проблемы моментов для последовательностей $\{ a_n\}_{n=0}^\infty$ и $\{(-1)^na_n\}_{n=0}^\infty$ эквиваленты между собой (так как одна следует из другой заменой меры $\sigma $ мерой $\sigma^*$, определяемой для всякого $K\subset\mathbb R$ равенством $\sigma^*(K)=\sigma(K^*)$, где $K^*=\{t\colon -t\in K\}$), то теорему Гамбургера (см. [18]), дающую решение проблемы моментов, можно переформулировать в виде теоремы, дающей решение модифицированной проблемы Неванлинны–Пика при уходе всех точек интерполяции в точку $0\in\partial\mathbb H$. Теорема Гамбургера. Пусть $\sum_{k=0}^\infty a_kz^{k+1}$ – формальный степенной ряд, где $a_0=1,a_1,a_2,\dots$ – вещественные числа. Тогда следующие утверждения эквивалентны. $1^\circ$. Существует функция $f(z)\in\mathfrak B_\infty^{\mathrm n}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{z\widehat{\to }0}z^{-n}(f(z)-a_0z-\dots -a_{n-1}z^n)=0, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно в угле $\delta\leqslant \arg z\leqslant \pi -\delta$, где $0<\delta <\pi /2$. $2^\circ$. § 2. Формулировка результатаВ статье для классов функций $\mathfrak B^\zeta_N$, $\zeta =\mathrm n, \mathrm b,\mathrm c, \mathrm s$, $N\in\mathbb Z^\infty_+$, будет исследован вариант проблемы Неванлинны–Пика, в котором среди точек $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}$ допускается наличие как различных между собой, так и кратных точек, а индексное множество $\mathcal P$ счетно. Точнее, пусть
$$
\begin{equation*}
\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ e_1,e_2,\dots\}\subset\Omega^\zeta :=\begin{cases} \mathbb H,&\zeta =\mathrm n, \mathrm b, \\ \mathbb D,&\zeta =\mathrm c, \mathrm s, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $\{ h_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ h_1,h_2,\dots\}$ – произвольное множество комплексных чисел. Исследуемый вариант проблемы Неванлинны–Пика состоит в нахождении необходимых и достаточных условий существования функции $f(z)\in\mathfrak B_N^\zeta$, $\zeta =\mathrm n, \mathrm b, \mathrm c, \mathrm s$, $N\in\mathbb Z^\infty_+$, такой, что где $\nu_n$ – кратность точки $e_n$ в $n$-точечном множестве $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $n=1,2,\dots$, $f^{(k)}(z)$ – $k$-я производная функции $f(z)$, $k=0,1,\dots$ . Кроме обозначений, введенных в предыдущем параграфе, для формулировки полученного результата потребуются дополнительные обозначения. Пусть $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $\nu_k$ – кратность точки $e_k\in\mathbb C$ в множестве $E_k:=\{ e_1,\dots,e_k\}$, $k=1,\dots,n$; $f(z)\in H(E_n)$, т.е. $f(z)$ – функция, голоморфная в некоторой окрестности множества $E_n$; $\psi_0(z)\equiv 1$, $\psi_k(z)=z^k$, $k=1,2,\dots$ . Положим
$$
\begin{equation}
\nonumber f[E_n]:=\{ f^{(\nu_1-1)}(e_1),\dots,f^{(\nu_n-1)}(e_n)\},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
A_{E_n}^{f[E_n]}:=\begin{pmatrix} (\psi_0f)[E_n] \\ \dots \\ (\psi_{n-1}f)[E_n]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (\psi_0f)^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots & (\psi_0f)^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \\ \dots & \dots & \dots \\ (\psi_{n-1}f)^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots &(\psi_{n-1}f)^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
A_{E_n}:=\begin{pmatrix} \psi_0[E_n] \\ \dots \\ \psi_{n-1}[E_n]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \psi_0^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots & \psi_0^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \\ \dots & \dots & \dots \\ \psi_{n-1}^{(\nu_{1}-1)}(e_{1}) & \dots & \psi_{n-1}^{(\nu_{n}-1)}(e_{n}) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Если $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$ и $ H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}$ – два $n$-точечных множества в $\mathbb C$, то, обозначая через $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ (любую) голоморфную на $E_n$ функцию такую, что
$$
\begin{equation}
\varphi_{E_n}^{H_n}[E_n]=H_n, \quad \text{т.е. }\ (\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_{k}-1)}(e_k)=h_{k}, \qquad k=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{20}
$$
положим Отметим, что определение матрицы $A_{E_n}^{H_n}$ не зависит от выбора интерполяционной функции $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ и может быть дано непосредственно по заданным множествам $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$ и $H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}$ без предварительного вычисления функции $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$, которая вводится только лишь для упрощения записи и лучшего понимания сути определения. Явный вид правой части (21), не использующий функцию $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$, приведен в [12]. Через $\overline{A}_{E_n}$ и $\overline{A}_{E_n}^{\,H_n}$ будем обозначать матрицы, получаемые из $A_{E_n}$ и $A_{E_n}^{H_n}$ заменой каждого их элемента на комплексно сопряженный. Через $\widetilde{A}_{E_n}$ и $\widetilde{A}_{E_n}^{H_n}$ будем обозначать матрицы, получаемые из $\overline{A}_{E_n}$ и $\overline{A}_{E_n}^{\,H_n}$ заменой порядка строк и порядка столбцов на обратный. Положим
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm n;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & i\,\overline{A}_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & i\,\overline{A}_{E_n}^{\,H_n } \end{pmatrix}, \qquad M_{E_n}^{\mathrm b;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \overline{A}_{E_n}^{\,H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \overline{A}_{E_n} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{22}
$$
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm c;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & -\widetilde{A }_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n}^{H_n } \end{pmatrix}, \qquad M_{E_n}^{\mathrm s;H_n }: =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \widetilde{A }_{E_n}^{H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Отметим, что $\overline{M}_{E_n}^{\,\zeta;H_n}=M_{E_n}^{\zeta;H_n}$ и, следовательно, все введенные определители $M_{E_n}^{\zeta;H_n}$, $\zeta =\mathrm n, \mathrm b, \mathrm c, \mathrm s$, являются вещественными числами. Отметим также, что если точки $e_1,\dots,e_n$ множества $E_n$ попарно различны, то
$$
\begin{equation}
A_{E_n}=\begin{pmatrix} 1 & \dots & 1 \\ e_1 & \dots & e_n \\ \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} \end{pmatrix}, \qquad A_{E_n}^{H_n}=\begin{pmatrix} h_1 & \dots & h_n \\ e_1h_1 & \dots & e_nh_n \\ \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_1 & \dots & e_n^{n-1}h_n \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Из (24) следует, что в случае попарно различных точек множества $E_n$ тривиальным образом (в силу поэлементной сходимости) выполняется равенство
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\zeta;f[E_n]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}, \qquad \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s,
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $f\in H(E_n)$, $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}:=\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_n+\varepsilon_n \}$. По понятным причинам при наличии у множества $E_n$ кратных точек равенство (25) не выполняется (в ситуации общего положения). Однако для немного измененных величин $M_{E_n}^{\zeta;f[E_n]}$ (за счет их умножения на положительный множитель $|{\det A_{E_n}}|^{-2}$) в § 3 будет сформулирован аналог равенства (25) (см. (41)), который выполняется и при наличии кратных точек в множестве $E_n$. Кроме того, при $N\in\mathbb Z^\infty_+$, $n\leqslant N+2$ положим При $N\in\mathbb Z_+$, $n\geqslant N+3$, $\nu_n< N+2$ положим
$$
\begin{equation}
E_{n,N}:=\{ e_{j_{n,1}},\dots,e_{j_{n,N+2}}\}, \qquad H_{n,N}:=\{ h_{j_{n,1}},\dots,h_{j_{n,N+2}}\},
\end{equation}
\tag{27}
$$
где возрастающие индексы $1\leqslant j_{n,1}<\dots <j_{n,N+2}=n$ фиксируются таким образом, чтобы кратность точки $e_{j_{n,k}}$ в множестве $\{ e_{j_{n,1}},\dots, e_{j_{n,k}}\}$ равнялась $\nu_{j_{n,k}}$, т.е. кратности этой же точки в множестве $E_{j_{n,k}}=\{ e_{1},e_2,\dots, e_{j_{n,k}}\}$, $k=1, \dots,N+2$. Это означает, что при указанной фиксации индексов $j_{n,1},\dots,j_{n,N+2}$ множество $E_{n,N}$ (при $\nu_n< N+2< n$) состоит из $N+2$ точек, ровно $\nu_n$ из которых совпадают с точкой $e_n$ (так как $j_{n,N+2}=n$), и имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}] =\varphi_{E_n}^{H_n}[\{ e_{j_{n,1}},\dots,e_{j_{n,N+2}}\} ] \\ &\qquad =\bigl\{ (\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_{j_{n,1}}-1)}(e_{j_{n,1}}),\dots, (\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_{j_{n,N+2}}-1)}(e_{j_{n,N+2}})\bigr\} \\ &\qquad=\{ h_{j_{n,1}},\dots,h_{j_{n,N+2}}\}=H_{n,N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в фиксации $N+2-\nu_n$ точек, отличных от $e_n$, допускается некоторый произвол. При $N\in\mathbb Z_+$, $n\geqslant N+3$, $\nu_n\geqslant N+2$ положим
$$
\begin{equation}
E_{n,N}:=\{ e_{n}\}^{2\nu_n-N-2}, \qquad H_{n,N}:=\{ h_{j_{n,1}},\dots,h_{j_{n,\nu_n}},h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^*\},
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $\{ e_{n}\}^{2\nu_n-N-2}$ – множество, состоящее из $2\nu_n-N-2$ точек, каждая из которых равна $e_n$, набор из $\nu_n$ индексов $\{ j_{n,1},\dots,j_{n,\nu_n}\}$ однозначно определяется условиями
$$
\begin{equation*}
1\leqslant j_{n,1}<\dots <j_{n,\nu_n}=n, \quad e_{j_{n,k}}=e_n, \qquad k=1,\dots,\nu_n,
\end{equation*}
\notag
$$
$h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^*$ – произвольные комплексные числа. Учитывая произвольность $h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^*$ и произвольность значений производных в точке $e_n$ интерполяционной функции $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ (см. (20)) порядка, больше или равного $\nu_n$, далее для удобства записи будем считать, что
$$
\begin{equation}
h_{n,k}^*=(\varphi_{E_n}^{H_n})^{(\nu_n-1+k)}(e_n), \qquad k=1,\dots,\nu_n-N-2.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Таким образом, учитывая все вышесказанное, наряду с равенствами (20) имеем также и равенства
$$
\begin{equation}
\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]=H_{n,N}, \qquad n=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z^\infty_+.
\end{equation}
\tag{30}
$$
При этом возможная неединственность фиксации индексов $j_{n,1},\dots,j_{n,N+2}$ при $\nu_n< N+2$, а также произвольность фиксации значений $h_{n,1}^*,\dots,h_{n,\nu_n-N-2}^*$ при $\nu_n\geqslant N+2$, $N\in\mathbb Z_+$, никак не влияют на формулируемую ниже теорему. Точнее, при любой фиксации верна Теорема 1. Пусть $\zeta = \mathrm n, \mathrm b,\mathrm c, \mathrm s$, $N\in \mathbb Z^\infty_+$, $e_1,e_2,\dots $ – заданная последовательность точек, лежащих в $\Omega^\zeta =\begin{cases} \mathbb H,&\zeta =\mathrm n, \mathrm b,\\ \mathbb D,&\zeta =\mathrm c, \mathrm s,\end{cases}$ $h_1,h_2,\dots $ – заданная последовательность комплексных чисел, $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}$. Тогда в вышеприведенных обозначениях для существования функции $f(z)\in \mathfrak B_N^\zeta$, удовлетворяющей условиям необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия При $N\in\mathbb Z_+$ функция $f(z)\in \mathfrak B_N^\zeta$ единственна. Обратим внимание на то, что условия $f^{(\nu_n-1)}(e_n)=h_n$, $n=1,2,\dots $, эквивалентны условиям $f[E_n]=H_n$, $n=1,2,\dots $, а краткая запись условий (31) с учетом (26)–(28) означает, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{E_{1}}^{\zeta;H_{1}}>0,\ \dots,\ M_{E_{N}}^{\zeta;H_{N}} >0, \\ M_{E_{N+1}}^{\zeta;H_{N+1}} =M_{E_{N+2}}^{\zeta;H_{N+2}} = M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;H_{N+p,N}} =0, \qquad p=3,4,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{32}
$$
В этой более подробной записи условий (31) в явном виде указывается момент появления параметра $N$ и (в случае $N<\infty$) момент перехода от определителей вида $M_{E_{n}}^{\zeta;H_{n}}$ к определителям вида $M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}$. При $N<\infty$ первые $N+1$ условий в (32), а именно,
$$
\begin{equation*}
M_{E_{1}}^{\zeta;H_{1}}>0,\ \dots,\ M_{E_{N}}^{\zeta;H_{N}} >0, \qquad M_{E_{N+1}}^{\zeta;H_{N+1}} =0,
\end{equation*}
\notag
$$
единственным образом определяют функцию $f(z)\in \mathfrak B_N^\zeta$ такую, что $f[E_{N+1}]=H_{N+1}$, при этом
$$
\begin{equation*}
f[E_{N+p}]=H_{N+p} \quad\Longleftrightarrow\quad M_{E_{N+2,N}}^{\zeta;H_{N+2,N}} =\dots =M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;H_{N+p,N}}= 0, \qquad p=2,3,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что необходимость условий (32), указанных в теореме 1, может быть дополнена более сильным утверждением. Дополнение к теореме 1. Пусть $f(z)\in\mathfrak B^\zeta$, $\zeta = \mathrm n, \mathrm b,\mathrm c, \mathrm s$, $n\in\mathbb N$, $E_n=\{ e_1,\dots e_n\}\subset \Omega^\zeta $, $N\in\mathbb Z_+^\infty$. Тогда Далее, отметим, что и критерий Каратеодори–Шура, и теорема Крейна–Рехтман для счетного индексного множества $\mathcal P$ являются следствиями двух крайних случаев теоремы 1, в первом из которых все точки $e_1,e_2,\dots $ совпадают между собой, а во втором все точки $e_1,e_2,\dots $ попарно различны. Это утверждение (более точная формулировка которого приводится ниже в виде утверждений 1 и 2) будет получено на основе лемм 1 и 2. В лемме 1 выявляются взаимосвязи между участвующими в формулировке критерия Каратеодори–Шура определителями $M_{n}^{\zeta;f}$, $\zeta =\mathrm c,\mathrm s $ (см. (12)), и определителями $M_{E_n}^{\zeta;H_n }$, $\zeta =\mathrm c,\mathrm s $ (см. (23)), при совпадающих с нулем точках $e_1,e_2,\dots $ . В лемме 2 выявляются взаимосвязи между определителями матриц, соответствующих квадратичным формам (10), которые участвуют в формулировке теоремы Крейна–Рехтман, и определителями $M_{E_n}^{\mathrm n;H_n }$ (см. (22)) при попарно различных точках $e_1,e_2,\dots $ . Лемма 1. Пусть $e_1=e_2=\dots =0$, $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд, $f_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n}a_kz^k$, Утверждение 1. Критерий Каратеодори–Шура следует из дополненного леммой 1 частного случая теоремы 1, в котором $\zeta = \mathrm c,\mathrm s $ и $e_1=e_2=\dots =0$. Перед формулировкой леммы 2 положим
$$
\begin{equation}
C_{E_n}:=i^{n^2}\prod_{j,k=1}^n(\overline{e}_{k}-e_j),
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $E_n=\{ e_1,\dots,e_{n}\}$ – произвольный набор точек в $\mathbb C$, и отметим, что если $E_n\subset\mathbb H$, то
$$
\begin{equation*}
C_{E_n}=\biggl(i^{n}\prod_{j=1}^n(\overline{e}_{j}-e_j)\biggr) \prod_{1\leqslant j<k\leqslant n}|\overline{e}_{k}-e_j|^2>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть $E_n=\{ e_1,\dots,e_{n}\}$ – набор попарно различных точек в $\mathbb H$, $H_n=\{ h_1,\dots,h_{n}\}$ – произвольный набор комплексных чисел. Тогда Утверждение 2. Теорема Крейна–Рехтман для счетного индексного множества $\mathcal P$ следует из дополненного леммой 2 частного случая теоремы 1, в котором $\zeta = \mathrm n$, а точки $e_1,e_2,\dots $ попарно различны. Завершая параграф, отметим, что сформулированная в конце § 1 теорема Гамбургера не следует из теоремы 1. Тем не менее наряду с леммами 1 и 2 определенный интерес представляет также и выявленная взаимосвязь между предельными значениями определителей $M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}$ при стремлении всех лежащих в $\mathbb H$ точек множества $E_n$ к точке $0\in\partial \mathbb H$ и определителями, фигурирующими в теореме Гамбургера. Точнее, имеет место Лемма 3. Пусть $\varepsilon >0$, $n\in\mathbb N$, $e_1,\dots,e_n$ – произвольный набор точек, лежащих в $\mathbb H$, $\varepsilon E_n=\{ \varepsilon e_1,\dots, \varepsilon e_n\}$, $f_{2n-2}(z)=\sum_{k=0}^{2n-2} a_kz^{k+1}$, где $a_0,\dots,a_{2n-2}$ – вещественные числа. Тогда В частном случае попарно различных точек $e_1,\dots,e_n$ равенство (37) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_n]}}{\varepsilon^{n(2n-1)} }= C_{E_n}|V_{E_n}|^2\det \begin{pmatrix} a_0 & \dots & a_{n-1} \\ \dots & \dots &\dots \\ a_{n-1} & \dots & a_{2n-2} \end{pmatrix}, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{38}
$$
где $V_{E_n}$ – определитель Вандермонда точек $e_1,\dots,e_n$. § 3. Доказательство теоремыПриступая к доказательству теоремы 1, отметим, что теорема доказана автором в [16] для случая $\zeta =\mathrm s $ и в [17] для случая $\zeta =\mathrm c$ в терминах величин
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{M}_{E_n}^{\zeta;H_n}:=\frac{M_{E_n}^{\zeta;H_n}}{W_{E_n}}, \quad \text{где }\ \zeta =\mathrm s,\mathrm c, \\ W_{E_n}:=\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \widetilde{A }_{E_n}^{\psi_n[E_n]} \\ A_{E_n}^{\psi_n[E_n]} & \widetilde{A}_{E_n} \end{pmatrix}, \qquad \psi_n(z)=z^n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что не меняет сути теоремы при $\zeta =\mathrm s, \mathrm c $, так как $W_{E_n}>0$ при $E_n\subset\mathbb D$ и, следовательно, при $\{ e_1,e_2,\dots \}\subset\mathbb D$
$$
\begin{equation*}
\{ \widehat{M}_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \quad \zeta = \mathrm s,\mathrm c, \quad N\in\mathbb Z_+^\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\breve{M}_{E_n}^{\zeta;H_n}:=\frac{M_{E_n}^{\zeta;H_n}}{|{\det A_{E_{n}}}|^{2}}, \qquad \zeta = \mathrm n,\mathrm b,\mathrm s,\mathrm c,
\end{equation}
\tag{39}
$$
и заметим, что
$$
\begin{equation}
\{ \breve{M}_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \quad \zeta = \mathrm n,\mathrm b,\mathrm s,\mathrm c, \quad N\in\mathbb Z_+^\infty,
\end{equation}
\tag{40}
$$
так как из определения (19) следует неравенство $\det A_{E_n}\neq 0$ при всех $E_n\subset\mathbb C$. По сравнению с определителями $M_{E_n}^{\zeta;H_n}$, отличающиеся от них положительным множителем $|{\det A_{E_{n}}}|^{-2}$ величины $\breve{M}_{E_n}^{\zeta;H_n}$ (см. (39)) немного усложнены в определении, но взамен получают весьма полезный (для процесса доказательства теоремы 1) аналог равенства (25) для множеств $E_n$ с кратными точками (как отмечалось в § 2, этот аналог в общем случае отсутствует у исходных определителей $M_{E_n}^{\zeta;H_n}$). Точнее, имеет место Лемма 4. Пусть $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $f\in H(E_n)$. Тогда где $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}:=\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_n+\varepsilon_n \}$. Доказательство. Докажем сначала, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}, \\ \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s, \qquad \varepsilon_k\in\mathbb C, \qquad k=1,\dots,n-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Так как при $\varepsilon_n=0$ под знаком предела в (42) стоит величина, равная доказываемому пределу, то далее без потери в общности можно считать, что $\varepsilon_n\neq 0$. Поэтому $e_n+\varepsilon_n\notin\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_{n-1}+\varepsilon_{n-1}\}$ при любых фиксированных $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}$ и всех достаточно малых (ненулевых) $\varepsilon_n$. Следовательно, кратность точки $e_n+\varepsilon_n$ в множестве $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}}$ равна 1. Так как все точки от первой до $(n-1)$-й включительно множества $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}}$ совпадают с соответствующими точками множества $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}$, то все столбцы от первого до $(n-1)$-го включительно матрицы $A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}$ совпадают с соответствующими столбцами матрицы $A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}$, а все столбцы определителя $M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}$, за исключением $n$-го и $(2n)$-го, если $\zeta =\mathrm n,\mathrm b $, и за исключением $n$-го и $(n+1)$-го, если $\zeta =\mathrm c,\mathrm s $, совпадают с соответствующими столбцами определителя $M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}$ (см. определения (18), (19), (22), (23)). Пусть $\widetilde{\nu }_n=\nu_{n}(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1})$ – кратность точки $e_n$ в множестве $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}$. Обозначая через $j_1,\dots,j_{\widetilde{\nu }_n}$ возрастающие индексы $1\leqslant j_1<\dots <j_{\widetilde{\nu }_n}=n$ такие, что
$$
\begin{equation*}
e_{j_1}+\varepsilon_1=\dots =e_{j_{\widetilde{\nu }_n-1}}+\varepsilon_{n-1}=e_{j_{\widetilde{\nu }_n}}=e_n,
\end{equation*}
\notag
$$
добавим к $n$-му столбцу матрицы $A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}$, умноженному на ${\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}/{(\widetilde{\nu }_n-1)!}$, линейную комбинацию столбцов с номерами $j_1,\dots,j_{\widetilde{\nu }_n-1}$, умноженных соответственно на ${\varepsilon_n^0}/{0!},\dots,{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-2}}/{(\widetilde{\nu }_n-2)!}$ (если $\widetilde{\nu }_n=1$, то над $n$-м столбцом никакие преобразования не производятся). В результате получим столбец, совпадающий с точностью до $o(\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1})$ при $\varepsilon_n\to 0$ в силу формулы Тейлора с $n$-м столбцом матрицы $A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}=\frac{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}{(\widetilde{\nu }_n-1)!}(\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}+o(1)), \qquad \varepsilon_n\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее доказательство равенства (42) в этом абзаце (и только в этом абзаце) будем излагать для случая $\zeta =\mathrm n,\mathrm b $ (в случае $\zeta =\mathrm c,\mathrm s $ доказательство такое же, но с учетом обратного порядка следования столбцов с номерами $n+1,\dots,2n$ в определителях $M_{E_n}^{\mathrm c;f[E_n]}$ и $M_{E_n}^{\mathrm s;f[E_n]}$). Добавляя к $n$-му и $(2n)$-му столбцам определителя $M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}$, $\zeta =\mathrm n,\mathrm b $, умноженным соответственно на ${\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}/{(\widetilde{\nu }_n-1)!}$ и ${\overline{\varepsilon }_n^{\widetilde{\nu }_n-1}}/{(\widetilde{\nu }_n-1)!}$, линейные комбинации столбцов с номерами $j_1,\dots,j_{\widetilde{\nu }_n-1}$, умноженных на ${\varepsilon_n^0}/{0!},\dots,{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-2}}/{(\widetilde{\nu }_n-2)!}$ и соответственно линейные комбинации столбцов с номерами $n+j_1,\dots,n+j_{\widetilde{\nu }_n-1}$, умноженных на на ${\overline{\varepsilon }_n^0}/{0!},\dots,{\overline{\varepsilon }_n^{\widetilde{\nu }_n-2}}/{(\widetilde{\nu }_n-2)!}$, получим в результате столбцы, совпадающие с точностью до $o(\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1})$ при $\varepsilon_n\to 0$ с $n$-м и $(2n)$-м столбцами определителя $M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n}}]}$, $\zeta =\mathrm n,\mathrm b $. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\frac{|\varepsilon_n|^{2(\widetilde{\nu }_n-1)}}{ ((\widetilde{\nu }_n-1)!)^2} \bigl(M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_{n-1},0}]}+o(1)\bigr), \qquad \varepsilon_n\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, учитывая (39) и неравенство $\det A_{E_{n}}\neq 0$ при всех $E_n\subset\mathbb C$, имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n}]} &=\frac{M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n}]}}{|{\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}}|^2} =\frac{\frac{|\varepsilon_n|^{2(\widetilde{\nu }_n-1)}}{((\widetilde{\nu }_n-1)!)^2} \bigl(M_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_{n-1},0}]}+o(1)\bigr)}{\bigl|\frac{\varepsilon_n^{\widetilde{\nu }_n-1}} {(\widetilde{\nu }_n-1)!} \bigl(\det A_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}+o(1)\bigr) \bigr|^2} \\ &=\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}+o(1), \qquad \varepsilon_n\to 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентное (42).
Далее, заметим, что величина $\breve{M}_{E_n}^{\zeta;f[E_n]}$, $ \zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s$, инвариантна по отношению к перестановкам точек множества $E_n$. Поэтому наряду с (42) имеют место также и равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \lim_{\varepsilon_{n-1}\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1},0}]}=\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-2},0,0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-2},0,0}]}, \\ &\qquad \dots, \quad\lim_{\varepsilon_{1}\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,0,\dots,0}}^{\zeta;f[E_{n}^{\varepsilon_1,0,\dots,0}]}=\breve{M}_{E_{n}^{0,\dots,0}}^{\zeta;f[E_{n}^{0,\dots,0}]}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
последовательно пользуясь которыми и учитывая, что $E_n^{0,\dots,0}=E_n$, получаем (41). Лемма 4 доказана. Доказательство теоремы 1 для случая $\zeta =\mathrm c$ проведено в [17] путем сведения этого случая к доказанному ранее в [16] случаю $\zeta =\mathrm s$ при помощи предложения 1 и равенства
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm c;\phi [E_n]}=\frac{\prod_{k=1}^n|1+\phi (e_k)|^{2}}{2^n}M_{E_n}^{\mathrm s;\Phi [E_n] }, \quad \text{где }\ \phi (z)\in H(E_n), \quad \Phi (z)=\frac{1-\phi (z)}{1+\phi (z)},
\end{equation}
\tag{43}
$$
выполняющегося в предположении $\phi (z)\neq -1$, $z\in E_n$, и распространяющего равенство (13), сформулированное при $E_n=\{ 0\}^n$, на случай произвольных множеств $E_n\subset\mathbb D$. При $\phi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ неравенства $\phi (z)\neq -1$, $z\in E_n$, как показано в [17], следуют из условий (31) при $\zeta =\mathrm c$. Доказательство теоремы 1 для двух других случаев $\zeta =\mathrm b$ и $\zeta =\mathrm n$ будет получено в статье сведением этих случаев соответственно к уже доказанным в [16] и [17] случаям $\zeta =\mathrm s $ и $\zeta =\mathrm c $ при помощи предложения 1 и леммы 5. В формулировке леммы 5 и далее будем использовать для множества точек $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb C$ и дробно линейного преобразования $t(z)$ обозначение $t(E_n)$ для множества точек $\{ t(e_1),\dots,t(e_n)\}$, отличное от ранее введенного обозначения $t[E_n]:=\{ t^{(\nu_1-1)}(e_1),\dots,t^{(\nu_n-1)}(e_n)\}$ и совпадающее с ним в случае, когда $\nu_1=\dots =\nu_n=1$. Точно так же для множества точек $H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}$ и дробно линейного преобразования $T(z)$ положим $T(H_n):=\{ T(h_1),\dots,T(h_n)\}$. Лемма 5. Пусть $t(z)=(z-i)/(z+i)$, $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb H$, $\varphi (z)\in H(E_n)$. Тогда Следствие 1. Пусть $N\in\mathbb Z_+^\infty$, $t(z)=(z-i)/(z+i)$, $e_1,e_2,\dots $ – последовательность точек, лежащих в $\mathbb H$, $h_1,h_2,\dots $ – произвольная последовательность комплексных чисел, $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}$, $D_n=t(E_n)$, $G_n=(\varphi_{E_n}^{H_n} \circ t^{-1})[t(E_n)]$, $n=1,2,\dots$ . Тогда определители $M_{D_{n}}^{\mathrm s;G_n}$ и $M_{E_{n}}^{\mathrm b;H_n}$ либо имеют одинаковые знаки, либо одновременно равны нулю; это же утверждение справедливо и по отношению к определителям $M_{D_{n}}^{\mathrm c;i^{-1}G_n}$ и $M_{E_{n}}^{\mathrm n;H_n}$. Следовательно, Обратим внимание на то, что в случае попарно различных точек $e_1,\dots,e_n$ точки $t(e_1),\dots,t(e_n)$ тоже попарно различны, $t^{-1}[t(E_n)]=E_n$ и, следовательно, $G_n=H_n$, однако в общем случае при наличии кратных точек в множестве $E_n$ равенство $G_n=H_n$ не выполняется. Следствие 2. Пусть $E_{n}=\{ e_1,\dots,e_{n}\}$ – набор попарно различных точек, лежащих в $\mathbb H$, $H_{n}=\{ h_1,\dots,h_{n}\}$ – набор точек, лежащих в $\mathbb C\setminus\{ -i\}$, Тогда определители $M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}$ и $M_{t(E_n)}^{\mathrm s;T(i^{-1}H_n)}$ либо имеют одинаковые знаки, либо одновременно равны нулю. Доказательство леммы 5. Предположим сначала, что точки множества $E_n$ попарно различны, $i\notin E_n$, и положим для краткости
При сделанных предположениях и обозначениях точки множества $t(E_n)=\{ d_1,\dots,d_n\}=:D_n$ лежат в $\mathbb D$, попарно различны, не равны $0$ и
$$
\begin{equation}
(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)] =\varphi [E_n]=\{ \varphi (e_1),\dots,\varphi (e_n)\} =\{ h_1,\dots,h_n\}=:H_n,
\end{equation}
\tag{47}
$$
$$
\begin{equation}
\det A_{E_n}=V_{e_1,\dots,e_n}, \qquad \det A_{D_n}=V_{d_1,\dots,d_n},
\end{equation}
\tag{48}
$$
где
$$
\begin{equation}
V_{z_1,\dots,z_n}=\det \begin{pmatrix} z_1^0 & \dots & z_n^0 \\ \dots & \dots & \dots \\ z_1^{n-1} & \dots & z_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1\leqslant j<k\leqslant n}(z_k-z_j)
\end{equation}
\tag{49}
$$
– определитель Вандермонда точек $z_1,\dots,z_n$.
Предположим также, что $0\notin H_n$. При $m=1,\dots,n$ положим
$$
\begin{equation}
e_{n+m}:=\overline{e}_{m}, \qquad d_{n+m}:=\overline{d}_{m}^{-1}, \qquad h_{n+m}:=\overline{h}_{m}^{-1}
\end{equation}
\tag{50}
$$
и заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag d_{n+m}\neq\infty, \qquad h_{n+m}\neq\infty, \\ d_{n+m}=\overline{d}_{m}^{-1}=\frac{\overline{e}_m-i}{\overline{e}_m+i} =t(\overline{e}_m)=t(e_{n+m}), \qquad m=1,\dots,n,\end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
d_{k}-d_{j} =\frac{e_{k}-i}{e_{k}+i}-\frac{e_{j}-i}{e_{j}+i}=(e_{k}-e_{j})\frac{2i}{(e_{k}+i)(e_{j}+i)}, \qquad k,j=1,\dots,2n.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Из (49) и (51) следует, что при $1\leqslant p_1,\dots,p_n\leqslant 2n$
$$
\begin{equation}
V_{d_{p_1},\dots,d_{p_n}}=\prod_{1\leqslant j <k \leqslant n}(d_{p_k}-d_{p_j})=V_{e_{p_1},\dots,e_{p_n}}\frac{(2i)^{(n-1)n/2}}{\prod_{k=1}^n(e_{p_k}+i)^{n-1}}.
\end{equation}
\tag{52}
$$
В частности, в силу (48) и (52) (при $p_k=k$, $k=1,\dots,n$) имеем равенство
$$
\begin{equation}
\det A_{D_n}=L_{E_n}\det A_{E_n}, \quad \text{где }\ L_{E_n}:= \frac{(2i)^{(n-1)n/2}}{\prod_{k=1}^n(e_{k}+i)^{n-1}}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Отметим, что из определения постоянной $L_{E_n}$ (см. (53)) и первого из равенств в (50) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |L_{E_n}|^2 &= \frac{2^{(n-1)n}}{\prod_{k=1}^n(e_{k}+i)^{n-1}(\overline{e}_{k}-i)^{n-1}} \\ &=\frac{2^{(n-1)n}}{\prod_{k=1}^n(e_{k}+i)^{n-1}(\overline{e}_{k}+i)^{n-1}} \prod_{k=1}^n\biggl(\frac{\overline{e}_{k}+i}{\overline{e}_{k}-i}\biggr)^{n-1} \nonumber \\ &=\frac{2^{(n-1)n}}{\prod_{k=1}^{2n}(e_{k}+i)^{n-1}} \prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
$$
Для индексов $p_1,\dots,p_n$ таких, что $1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n$, обозначим через $q_1,\dots,q_n$ возрастающие индексы $1\leqslant q_1<\dots <q_n\leqslant 2n$, дополнительные к $\{ p_1,\dots,p_n\}$ в множестве индексов $\{ 1,\dots,2n\}$. С учетом определения (47) множества $H_n$ и определения (23) величины $M_{E_n}^{\mathrm s;H_n}$ имеем цепочку равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}=M_{D_n}^{\mathrm s;H_n}=\det \begin{pmatrix} A_{D_n} & \widetilde{A }_{D_n}^{H_n} \\ A_{D_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{D_n} \end{pmatrix} \\ &\qquad =(-1)^{(n-1)n/2} \begin{vmatrix} d_1^0 & \dots & d_{n}^0 & \overline{d_1^{n-1}h_1} & \dots & \overline{d_n^{n-1}h_n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & \overline{d_1^{0}h_1} & \dots & \overline{d_n^{0}h_n} \\ d_1^0h_{1} & \dots & d_{n}^0h_{n} & \overline{d_1^{n-1}} & \dots & \overline{d_n^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}h_{n} & \overline{d_1^{0}} & \dots & \overline{d_n^{0}} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{h_kd_k^{n-1}} \begin{vmatrix} d_1^{0} & \dots & d_{n}^{0} & d_{n+1}^{0} & \dots & d_{2n}^{0} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & d_{n+1}^{n-1} & \dots & d_{2n}^{n-1} \\ d_1^0h_{1} & \dots & d_{n}^0h_{n} & d_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & d_{2n}^0h_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}h_{n} & d_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & d_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{h_kd_k^{n-1}}\sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n}\frac{V_{d_{p_1},\dots,d_{p_n}}h_{q_1}\dotsb h_{q_n}V_{d_{q_1},\dots,d_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = \frac{2^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{h_kd_k^{n-1}}}{\prod_{k=1}^{2n}(e_{k}+i)^{n-1}}\sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n}\frac{V_{e_{p_1},\dots,e_{p_n}}h_{q_1}\dots h_{q_n}V_{e_{q_1},\dots,e_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = \overline{h}_1\dots \overline{h}_n |L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & e_{n+1}^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & e_{n+1}^{n-1} & \dots & e_{2n}^{n-1}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & e_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & e_{2n}^0h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & e_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & e_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad = |L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & \overline{e_{1}^0h_1} & \dots & \overline{e_{n}^0h_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & \overline{e_{1}^{n-1}h_1} & \dots & \overline{e_{n}^{n-1}h_n}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & \overline{e}_{1}^0 & \dots & \overline{e}_{n}^0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & \overline{e}_{1}^{n-1} & \dots & \overline{e}_{n}^{n-1} \end{vmatrix} \\ &\qquad = |L_{E_n}|^2 \det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \overline{A}_{E_n}^{\,H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \overline{A}_{E_n}\end{pmatrix}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Дадим пояснения к этой цепочке равенств. В третьем равенстве мы, учитывая определения матриц $\widetilde{A }_{D_n}$ и $\widetilde{A }_{D_n}^{H_n}$, изменили в определителе порядок последних $n$ столбцов на обратный; в четвертом вынесли при $m=1,\dots,n$ множитель $\overline{d_{m}^{n-1}h_{m}}$ из $(n+m)$-го столбца определителя и воспользовались обозначениями (50) $d_{n+m}=\overline{d}_m^{-1}$, $h_{n+m}=\overline{h}_m^{-1}$; в пятом мы воспользовались формулой Лапласа раскрытия определителя $(2n)$-го порядка по минорам $n$-го порядка первых $n$ строк и определением индексов $q_1,\dots,q_n$; в шестом – равенством (52) и равенством $\{ p_1,\dots,p_n\}\sqcup \{ q_1,\dots,q_n\}=\{ 1,\dots,2n\}$; в седьмом – равенством (54) и формулой Лапласа; в восьмом внесли при $m=1,\dots,n$ множитель $\overline{h}_{m}$ в $(n+m)$-й столбец определителя и воспользовались обозначениями (50) $e_{n+m}=\overline{e}_m$, $h_{n+m}=\overline{h}_m^{\,-1}$; девятом, десятом и одиннадцатом воспользовались соответственно определением матриц $A_{E_n}$ и $A_{E_n}^{H_n}$, определением (22) величины $M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}$ и определением (47) множества $H_n$. Отсюда, из определения (39) величин $\breve{M}_{E_n}^{\zeta;H_n}$, $\zeta =\mathrm s,\mathrm b$, и (53) получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}=\frac{M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}}{|{\det A_{t(E_n)}}|^2}= \frac{|L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]}}{|L_{E_n}\det A_{E_n}|^2}=\breve{M}_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]},
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающее с первым из равенств (44). Полагая $h_{n+m}:=\overline{h}_{m}$ вместо ранее использованного в (50) обозначения $h_{n+m}:=\overline{h}_{m}^{\,-1}$, имеем аналогичным образом цепочку равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}=M_{D_n}^{\mathrm c;i^{-1}H_n}=\det \begin{pmatrix} A_{D_n} & -\widetilde{A }_{D_n} \\ A_{D_n}^{i^{-1}H_n } & \widetilde{A}_{D_n}^{i^{-1}H_n }\end{pmatrix} \\ &\qquad =(-1)^{(n-1)n/2}\begin{vmatrix} d_1^0 & \dots & d_{n}^0 & -\overline{d_1^{n-1}} & \dots & -\overline{d_n^{n-1}}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & -\overline{d_1^{0}} & \dots & -\overline{d_n^{0}}\\ d_1^0i^{-1}h_{1} & \dots & d_{n}^0i^{-1}h_{n} & \overline{d_1^{n-1}i^{-1}h_1} & \dots & \overline{d_n^{n-1}i^{-1}h_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}i^{-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}i^{-1}h_{n} & \overline{d_1^{0}i^{-1}h_1} & \dots & \overline{d_n^{0}i^{-1}h_n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}i^n\prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1} \begin{vmatrix} d_1^{0} & \dots & d_{n}^{0} & d_{n+1}^{0} & \dots & d_{2n}^{0}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1} & \dots & d_{n}^{n-1} & d_{n+1}^{n-1} & \dots & d_{2n}^{n-1}\\ d_1^0h_{1} & \dots & d_{n}^0h_{n} & d_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & d_{2n}^0h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ d_1^{n-1}h_{1} & \dots & d_{n}^{n-1}h_{n} & d_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & d_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^{(n-1)n}i^n\prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1} \sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n}\frac{V_{d_{p_1},\dots,d_{p_n}}h_{q_1} \dotsb h_{q_n}V_{d_{q_1},\dots,d_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = \frac{i^{n}2^{(n-1)n}\prod_{k=1}^n\overline{d}_k^{\,n-1}}{\prod_{k=1}^{2n}(e_{k}+i)^{n-1}}\sum_{1\leqslant p_1<\dots <p_n\leqslant 2n} \frac{ V_{e_{p_1},\dots,e_{p_n}}h_{q_1} \dotsb h_{q_n}V_{e_{q_1},\dots,e_{q_n}}}{(-1)^{(1+p_1)+\dots +(n+p_n)}} \\ &\qquad = i^{n}|L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & e_{n+1}^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & e_{n+1}^{n-1} & \dots & e_{2n}^{n-1}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & e_{n+1}^0h_{n+1} & \dots & e_{2n}^0h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & e_{n+1}^{n-1}h_{n+1} & \dots & e_{2n}^{n-1}h_{2n} \end{vmatrix} \\ &\qquad =i^n |L_{E_n}|^2 \begin{vmatrix} e_1^0 & \dots & e_{n}^0 & \overline{e_{1}^0} & \dots & \overline{e_{n}^0}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_{n}^{n-1} & \overline{e_{1}^{n-1}} & \dots & \overline{e_{n}^{n-1}}\\ e_1^0h_{1} & \dots & e_{n}^0h_{n} & \overline{e_{1}^0h_1} & \dots & \overline{e_{n}^{0}h_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}h_{1} & \dots & e_{n}^{n-1}h_{n} & \overline{e_{1}^{n-1}h_1} & \dots & \overline{e_{n}^{n-1}h_n} \end{vmatrix} \\ &\qquad = |L_{E_n}|^2 \det \begin{pmatrix} A_{E_n} & i\qquad \overline{A}_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & i\qquad \overline{A}_{E_n}^{\,H_n }\end{pmatrix}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}= |L_{E_n}|^2M_{E_n}^{\mathrm n;\varphi [E_n]}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которой в совокупности с (53) следует второе из равенств (44). Таким образом, оба равенства в (44) доказаны при сделанных выше предположениях.
От сделанных предположений $i\notin E_n$ и $0\notin H_n$ избавимся, сделав в равенствах (44) в случае необходимости тривиальный предельный переход. При наличии кратных точек у множества $E_n$ введем в рассмотрение множества $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}:=\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_n+\varepsilon_n \}$, где сколь угодно малые $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ таковы, что множества $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}$ состоят из попарно различных точек. Пусть
$$
\begin{equation*}
t(E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n})= \{ t(e_1+\varepsilon_1),\dots,t(e_n+\varepsilon_n)\} =\{ d_1+\delta_1,\dots,d_n+\delta_n \}=:D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_k=t(e_k+\varepsilon_k)-t(e_k)$ и, следовательно, $\lim_{\varepsilon_k\to 0}\delta_k=0$, $k=1,\dots,n$. Тогда, пользуясь равенствами (44) и леммой 4 (см. (41)) применительно к множествам $E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}$ и $D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}$ при $\zeta =\mathrm b$ и $\zeta =\mathrm s$ соответственно, получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\breve{M}_{E_n}^{\mathrm b;\varphi [E_n]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathrm b;\varphi [E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{t(E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon _n})}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_{n}^{\varepsilon _1,\dots,\varepsilon _n})]} \\ &\qquad =\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0} \breve{M}_{D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}=\breve{M}_{D_n}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[D_n]}=\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающее с первым из равенств (44) в общем случае.
Аналогичным образом получаем и второе из равенств (44) в общем случае:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \breve{M}_{E_n}^{\mathrm n;\varphi [E_n]} &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathrm n;\varphi [E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}]}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dots \lim_{\varepsilon_n\to 0}\breve{M}_{t(E_{n}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon _n})}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[t(E_{n}^{\varepsilon _1,\dots,\varepsilon _n})]} \\ &=\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0} \breve{M}_{D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[D_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}=\breve{M}_{D_n}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[D_n]} \\ &=\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi \circ t^{-1})[t(E_n)]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Чтобы убедиться в справедливости следствия 1 заметим, что из (44) при $\varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ вытекает, что в обозначениях следствия 1 при $N\in\mathbb Z_+^\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \{ \breve{M}_{D_{n}}^{\mathrm s;G_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ \breve{M}_{E_{n}}^{\mathrm b;H_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \\ \{ \breve{M}_{D_{n}}^{\mathrm c;i^{-1}G_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ \breve{M}_{E_{n}}^{\mathrm n;H_n}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (39) в последних утверждениях “$\breve{M}$” можно заменить на “$M$”, что приводит к утверждениям (45) и (46). Чтобы убедиться в справедливости следствия 2 напомним, что из условия попарной различности точек множества $E_n=\{ e_1,\dots,e_{n}\}$ следует равенство $t^{-1}[t(E_n)]=E_n$. С учетом (39), пользуясь сначала вторым из равенств (44) при $\varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$, а затем равенством (43) (с заменой $E_n$ на $t(E_n)$) и учитывая, что при $\phi (z)=i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})(z)$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi (t(e_k))=i^{-1}h_k,\qquad k=1,\dots,n, \\ \phi [t(E_n)]=i^{-1}H_n, \qquad (T\circ \phi )[t(E_n)]=T(i^{-1}H_n), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}}{|{\det A_{E_n}}|^2} &=\breve{M}_{E_n}^{\mathrm n;\varphi_{E_n}^{H_n}[E_n]} =\breve{M}_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_n)]}= \frac{M_{t(E_n)}^{\mathrm c;\phi [t(E_n)]}}{|{\det A_{t(E_n)}}|^2} \\ &=\frac{\prod_{k=1}^n|1+i^{-1}h_k|^2}{2^n|{\det A_{t(E_n)}}|^2}M_{t(E_n)}^{\mathrm s;T(i^{-1}H_n)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем требуемое утверждение следствия 2. Доказательство теоремы 1 для случаев $\zeta =\mathrm b,\mathrm n$, как отмечалось, будет проведено при помощи предложения 1 и доказанной леммы 5 сведением этих случаев соответственно к уже доказанным в [16] и [17] случаям $\zeta =\mathrm s,\mathrm c$.
Пусть $t(z)=(z-i)/(z+i)$. При $n=1,2,\dots$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d_n:=t(e_n), \qquad D_n:=\{ d_1,\dots,d_n\}=t(E_n), \\ G_{n}=\{ g_1,\dots,g_n\}:= (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[D_n] \end{gathered}
\end{equation}
\tag{55}
$$
и отметим, во-первых, что множество $G_n$ не зависит от выбора интерполяционной функции $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ и, во-вторых, функция $(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})(z)$ соответствует определению (20) интерполяционной функции для множеств $D_n$ и $G_n$ и, следовательно, можно считать, что
По предложению 1
$$
\begin{equation}
f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm b}_N\ \ \Longleftrightarrow\ \ (f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B^{\mathrm s }_N,\quad f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N \ \ \Longleftrightarrow\ \ i^{-1}(f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B^{\mathrm c }_N.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Из отмеченной независимости множества $G_n$ от выбора интерполяционной функции $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$, равенства $f[E_n]=H_n$ (означающего, что функция $f(z)$ является интерполяционной функцией для множеств $E_n$ и $H_n$) и определения в (55) множества $G_n$ следует, что при $F(z)=(f\circ t^{-1})(z)$
$$
\begin{equation*}
G_n=(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[D_n]=(f\circ t^{-1})[D_n]=F[D_n].
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что верно и обратное утверждение $F[D_n]=G_n$ $\Longrightarrow$ $f[E_n]=H_n$, т.е.
$$
\begin{equation}
f[E_n]=H_n \quad\Longleftrightarrow\quad F[D_n]= G_n.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Аналогичным образом при $\Phi (z)=i^{-1}(f\circ t^{-1})(z)$
$$
\begin{equation}
f[E_n]=H_n \quad\Longleftrightarrow\quad \Phi [D_n]=i^{-1}G_n.
\end{equation}
\tag{59}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \exists\, f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \exists\, F(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm s }, \quad F[D_n]=G_n, \quad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{60}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \exists\, \Phi (z)\in\mathfrak B^{\mathrm c }_N, \quad \Phi [D_n]=i^{-1}G_n, \quad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Для утверждений, стоящих в правых частях (60) и (61), имеется уже доказанная в [16] и [17] теорема 1 соответственно для случаев $\zeta =\mathrm s $ и $\zeta =\mathrm c$, из которой следует (см. необходимые и достаточные условия (31)), что (60) и (61) могут быть записаны в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\exists\, f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm s;G_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N,
\end{equation}
\tag{62}
$$
$$
\begin{equation}
\exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm c;i^{-1}G_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Если $N=\infty$, то при всех $n=1,2,\dots$ имеют место равенства (26) и аналогичные им равенства $D_{n,\infty }=D_n$, $G_{n,\infty}=G_n$. Поэтому при $N=\infty$ в силу следствия 1 правые части в (62) и (63) можно заменить на правые части в (45) и (46) соответственно (в которых $N=\infty$, $E_n=E_{n,\infty}$, $H_n=H_{n,\infty}$), т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \exists\, f(z)\in\mathfrak B_\infty^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,\infty}}^{\mathrm b;H_{n,\infty}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_\infty, \\ \exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n}_\infty, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,\infty}}^{\mathrm n;H_{n,\infty}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, теорема 1 для случаев $\zeta =\mathrm b,\mathrm n $ доказана при $N=\infty$.
Рассмотрим теперь случай $N\in \mathbb Z_+$. Заметим, что при всех $n=1,2,\dots$ кратность $\nu_n$ точки $e_n$ в множестве $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$ совпадает с кратностью точки $d_n$ в множестве $D_n=t(E_n)$. Поэтому, если $E_{n,N}$ – множество точек, определенное перед теоремой 1 по последовательности $e_1,e_2,\dots$ при $n=1,2,\dots$, $N\in\mathbb Z$, равенствами (26)–(28), то по последовательности $d_1,d_2,\dots$ множество $D_{n,N}$ можно определить соответствующим образом, а именно: при $n\leqslant N+2$ полагаем $D_{n,N}:=D_n$, а при $n\geqslant N+3$
$$
\begin{equation*}
D_{n,N}:= \begin{cases} \{ d_{j_{n,1}},\dots,d_{j_{n,N+2}}\},&\text{если } \nu_n< N+2<n, \\ \{ d_n\}^{2\nu_n -N-2}, &\text{если }\nu_n\geqslant N+2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где индексы $ j_{n,1},\dots,j_{n,N+2}$ фиксируются совпадающими с индексами, фиксированными в равенстве (27). Это означает, что наряду с равенствами $D_n=t(E_n)$ выполняются также и равенства
$$
\begin{equation}
D_{n,N}=t(E_{n,N}), \qquad n=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z_+.
\end{equation}
\tag{64}
$$
В соответствии с (27)–(29) и (55) положим
$$
\begin{equation*}
G_{n,N}:=\begin{cases} \{ g_{j_{n,1}},\dots,g_{j_{n,N+2}}\}, &\text{если }\nu_n< N+2<n, \\ \{ g_{j_{n,1}},\dots,g_{j_{n,\nu_n}},g^{*}_{n,1},\dots,g^{*}_{n,\nu_n-N-2}\}, &\text{если }\nu_n\geqslant N+2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $g^{*}_{n,k}=(\varphi_{D_n}^{G_n})^{(\nu_n-1+k)}(d_n)$, $k=1,\dots,\nu_n-N-2$, и заметим, что наряду с (30) имеют место и равенства $\varphi_{D_n}^{G_n}[D_{n,N}]=G_{n,N}$, из которых с учетом (56) и (64) следует, что
$$
\begin{equation}
G_{n,N} =\varphi_{D_n}^{G_n}[D_{n,N}]= (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_{n,N})], \qquad n=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z_+.
\end{equation}
\tag{65}
$$
При наличии (40), (64) и (65) теми же рассуждениями, которые использовались при выводе утверждений (45) и (46), составляющих содержание следствия 1, получим как следствие леммы 5 (примененной при $\varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ к множествам $E_{n,N}$, а не к множествам $E_n$) также и утверждения (45) и (46) с заменой $E_n$, $H_n$, $D_n$, $G_n$ соответственно на $E_{n,N}$, $H_{n,N}$, $D_{n,N}$, $G_{n,N}$. Точнее,
$$
\begin{equation}
\nonumber \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm s;G_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N\quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{t(E_{n,N})}^{\mathrm s; (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n,N})]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm b;\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm b;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N,
\end{equation}
\tag{66}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \{ M_{D_{n,N}}^{\mathrm c;i^{-1}G_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N\quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{t(E_{n,N})}^{\mathrm c;i^{-1} (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n,N})]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm n;\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N\quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm n;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N.
\end{equation}
\tag{67}
$$
Поэтому при $N=\mathbb Z_+$ правые части в (62) и (63) можно заменить на правые части (66) и (67) соответственно, т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \exists\, f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots, \quad \Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm b;H_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N, \\ \exists\, f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n }_N, \quad f[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots, \quad \Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,N}}^{\mathrm n;H_{n,N}} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, теорема 1 для случаев $\zeta =\mathrm b $ и $\zeta =\mathrm n $ доказана при $N=\mathbb Z_+$.
Таким образом, теорема 1, доказанная автором ранее в [16] и [17] при $\zeta =\mathrm s,\mathrm c$, доказана и при $\zeta =\mathrm b,\mathrm n$. Кроме того, в тех же обозначениях и теми же рассуждениями при помощи предложения 1, доказанных в [16] и [17] дополнений к теореме 1 при $\zeta =\mathrm s, \mathrm c$ и леммы 5 при $\varphi (z)=\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ получаем цепочку импликаций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm b}, \quad f[E_n]=H_n \\ &\quad\Longrightarrow\quad (f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm s },\, (f\circ t^{-1})[t(E_n)]= (\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_n)] \\ &\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_n)]}>0, & n\leqslant N, \\ M_{t(E_n)}^{\mathrm s;(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_n)]}=0, & n>N, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}>0,&n\leqslant N, \\ M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}=0,&n>N, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
доказывающую дополнение к теореме 1 при $\zeta =\mathrm b$, а также цепочку импликаций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm n }, \quad f[E_n]=H_n \\ &\quad\Longrightarrow\quad i^{-1}(f\circ t^{-1})(z)\in\mathfrak B_N^{\mathrm c }, \quad i^{-1}(f\circ t^{-1})[t(E_n)]= i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1})[t(E_n)] \\ &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n})]}>0,&n\leqslant N, \\ M_{t(E_n)}^{\mathrm c;i^{-1}(\varphi_{E_n}^{H_n}\circ t^{-1} )[t(E_{n})]}=0,& n>N, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}>0,&n\leqslant N, \\ M_{E_n}^{\mathrm b;H_n}=0,&n>N, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
доказывающую дополнение к теореме 1 при $\zeta =\mathrm n$. Таким образом, теорема 1 и ее дополнение доказаны для всех случаев $\zeta =\mathrm n,\mathrm b,\mathrm c,\mathrm s$. § 4. Доказательство лемм 1, 2, 3 и утверждений 1, 2 Доказательство леммы 1. В обозначениях леммы 1 из ее условий следует, что при всех $n=1,2,\dots$ кратность $\nu_n$ точки $e_n=0$ в множестве $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}=\{ 0\}^n$ равна $n$, а в качестве интерполяционной функции $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)$ можно взять частичную сумму $f_m(z)$ при любом $m\geqslant n-1$. Так как
$$
\begin{equation*}
(z^kf_{n-1}(z))^{(j)}(0)= \begin{cases} 0,& j<k, \\ j!\,a_{j-k},&j\geqslant k, \end{cases} \qquad j,k=0,\dots,n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $H_n\,{=}\,f_{n-1}[E_n]\,{=}\,\{ 0!\,a_0,1!\,a_1, \dots, (n-1)!\,a_{n-1}\}$, $(\psi_1f_{n-1})[E_n]=\{ 0, 1!\,a_0, \dots, (n-1)!\,a_{n-2}\}$ и т.д., то в силу (18) и (19)
$$
\begin{equation*}
A_{E_n}^{H_n}=\begin{pmatrix} 0!\,a_0 & 1!\,a_1 & \dots & (n-1)!\,a_{n-1}\\ 0 & 1!\,a_0 & \dots & (n-1)!\,a_{n-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & (n-1)!\,a_{0} \end{pmatrix}, \quad A_{E_n}=\begin{pmatrix} 0! & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1! & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & (n-1)!\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, из определения постоянной $C_n:=(0!\,\dotsb (n-1)!)^2$ и определений (23) и (11) имеем равенства
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm c;H_n } =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & -\widetilde{A }_{E_n} \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n}^{H_n } \end{pmatrix} =C_n\det \begin{pmatrix} I_n & -I_n \\ A_{n}^{f} & \widetilde{A}_{n}^{f} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{68}
$$
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathrm s;H_n } =\det \begin{pmatrix} A_{E_n} & \widetilde{A }_{E_n}^{H_n } \\ A_{E_n}^{H_n } & \widetilde{A}_{E_n} \end{pmatrix} =C_n\det \begin{pmatrix} I_n & \widetilde{A}_{n}^{f} \\ A_{n}^{f} & I_n \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Воспользовавшись равенством (см., например, [3; § 5])
$$
\begin{equation*}
\det \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S\end{pmatrix}=\det (PS-RQ),
\end{equation*}
\notag
$$
где $P$, $Q$, $R$, $S$ – $(n\times n)$-матрицы такие, что $PR=RP$, из (68), (69) и определений (12) получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_{E_n}^{\mathrm c;H_n } =C_n\det (A_{n}^{f} + \widetilde{A}_{n}^{f})=C_nM_{n}^{\mathrm c;f}, \\ M_{E_n}^{\mathrm s;H_n } =C_n\det (I_n-A_{n}^{f} \widetilde{A}_{n}^{f})=C_nM_{n}^{\mathrm s;f}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающие с (34). Лемма 1 доказана. Доказательство утверждения 1. В обозначениях леммы 1 из (34) следует, что при $N=\infty$ с учетом (26)
$$
\begin{equation*}
M_{n}^{\zeta;f}>0, \quad n=1,2,\dots, \quad\Longleftrightarrow\quad M_{E_{n,\infty}}^{\zeta;H_{n,\infty}}\,{=}\,M_{E_n}^{\zeta;H_n}\,{=}\,C_nM_{n}^{\zeta;f}\,{>}\,0, \quad n\,{=}\,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по теореме 1 при $\zeta =\mathrm c,\mathrm s $, $N=\infty$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{n}^{\zeta;f}>0,\quad n=1,2,\dots, \quad\Longleftrightarrow\quad \{ M_{E_{n,\infty }}^{\zeta;H_{n,\infty }} \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_\infty \\ &\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\, F(z)\in\mathfrak B_\infty^\zeta, \quad F[E_n]=H_n=\{ 0!\,a_0,\dots,(n-1)!\,a_{n-1}\}, \quad n=1,2,\dots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $F[E_n]=\{ F(0),\dots,F^{(n-1)}(0)\}$, то последнее утверждение означает, что формальный степенной ряд $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ является рядом Тейлора функции $F(z)\in\mathfrak B_\infty^\zeta$ и, следовательно, критерий Каратеодори–Шура выполняется при $N=\infty$. Рассмотрим теперь случай $N\in\mathbb Z_+$. При $n\leqslant N+2$ имеем в силу (26) равенства $E_{n,N}=E_n$, $H_{n,N}=H_n$, а при $n> N+2$ в силу (28) с учетом того, что $\nu_n=n$, имеем равенства из которых, фиксируя $m=2n-N-3> n-1$ (т.е. полагая $\varphi_{E_n}^{H_n}(z)=f_{2n-N-3}(z)$), с учетом (30) и (33) получаем равенства
$$
\begin{equation*}
H_{n,N}=\varphi_{E_n}^{H_n}[E_{n,N}]=f_{2n-N-3}[E_{2n-N-2}] =H_{2n-N-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (34) следует, что
$$
\begin{equation*}
M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}= \begin{cases} M_{E_n}^{\zeta;H_n}=C_nM_{n}^{\zeta;f},&n\leqslant N+2, \\ M_{E_{2n-N-2}}^{\zeta;H_{2n-N-2}}=C_{2n-N-2}M_{2n-N-2}^{\zeta;f}, &n>N+2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому по теореме 1 получаем, что
$$
\begin{equation}
M_n^{\zeta;f } > 0 \quad \text{при }\ n=1,\dots,N, \qquad M_{N+1}^{\zeta;f } =M_{N+2}^{\zeta;f } = M_{N+4}^{\zeta;f } = M_{N+6}^{\zeta;f }=\dots = 0
\end{equation}
\tag{70}
$$
$$
\begin{equation}
\Longleftrightarrow\ \ \{ M_{E_{n,N}}^{\zeta;H_{n,N}}\}_{n=1}^\infty \in \mathscr M_N \ \ \Longleftrightarrow\ \ \exists\, F(z)\in\mathfrak B_N^\zeta, \quad F[E_n]=H_n, \quad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
F[E_n]=\{ F(0),\dots,F^{(n-1)}(0)\}, \qquad H_n=\{ 0!\,a_0,\dots,(n-1)!\,a_{n-1}\},
\end{equation*}
\notag
$$
то условия (70) являются необходимыми и достаточными условиями существования функции класса $\mathfrak B_N^\zeta$, ряд Тейлора которой совпадает с заданным степенным рядом $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$.
Отметим, что достаточные условия (70) не содержат условий присутствующих в необходимых и достаточных условиях $\{ M_n^{\zeta;f } \}_{n=1}^\infty\in \mathscr M_N$ критерия Каратеодори–Шура.Необходимость условий $M_{N+3}^{\zeta;f } =M_{N+5}^{\zeta;f } =\dots =0$ следует из дополнения к теореме 1 и равенств (34). Таким образом, утверждение 1 доказано, и более того, показано, что при $N<\infty$ достаточные условия в критерии Каратеодори–Шура можно немного ослабить. Приступая к доказательству леммы 2, сформулируем и докажем лемму 6, являющуюся усиленным вариантом леммы 2. Лемма 6. Пусть $e_1,\dots,e_{2n}$ – попарно различные точки, $h_1,\dots,h_{2n}$ – произвольные комплексные числа. Тогда Доказательство. Так как при $n=1$ лемма 6 тривиальна, то далее будем считать, что $n\geqslant 2$. При $2\leqslant k\leqslant 2n$ и попарно различных натуральных $p_1,\dots,p_k$, не превосходящих $2n$, положим где $V_{z_1,\dots,z_k}$ – определитель Вандермонда точек $z_1,\dots,z_k$. Отметим, что $h_{p_1,\dots,p_k}$ не меняется при перестановках $(p_1,\dots,p_k)$, и покажем, что
При $k=2$ равенство (74) выполняется тривиальным образом, так как
$$
\begin{equation}
h_{p_1,p_2}:=\det\begin{pmatrix} e_{p_1}^0 & e_{p_2}^0\\ h_{p_1} & h_{p_2}\end{pmatrix}V^{-1}_{e_{p_1},e_{p_2}} =\frac{h_{p_2}-h_{p_1}}{e_{p_2}-e_{p_1}}.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Предположим, что равенство (74) выполняется при всех натуральных индексах от 2 до $k-1<2n$, и докажем его для индекса $k$. Вычитая при $j=k-1,\dots,2$ из $j$-й строки определителя в (73) его $(j-1)$-ю строку, умноженную на $e_{p_1}$, а затем вычитая из $k$-й строки его первую строку, умноженную на $h_{p_1}$, начнем цепочку равенств
$$
\begin{equation*}
h_{p_1,\dots,p_k}=\det\begin{pmatrix} e_{p_{1}}^0 & e_{p_{2}}^0 & \dots & e_{p_{k}}^0 \\ 0 & e_{p_{2}}^0(e_{p_2}- e_{p_1}) & \dots & e_{p_{k}}^0(e_{p_{k}}-e_{p_{1}})\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_{p_2}^{k-3}(e_{p_2}- e_{p_1}) & \dots & e_{p_{k}}^{k-3}(e_{p_{k}}-e_{p_{1}})\\ 0 & h_{p_2}-h_{p_1} & \dots & h_{p_{k}}-h_{p_1}\end{pmatrix}V^{-1}_{e_{p_1},\dots,e_{p_{k}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложим полученный определитель по первому столбцу, учтем равенства $h_{p_j}- h_{p_1}=h_{p_1,p_j}(e_{p_j}-e_{p_1})$ (см. (75)) и сократим с учетом формулы (49) для определителей Вандермонда множители $(e_{p_j}-e_{p_1})$, $j=2,\dots k$, получим
$$
\begin{equation*}
h_{p_1,\dots,p_k}=\det\begin{pmatrix} e_{p_2}^0 & \dots & e_{p_{k}}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_{p_2}^{k-3} & \dots & e_{p_{k}}^{k-3}\\ h_{p_1,p_2} & \dots & h_{p_1,p_{k}}\end{pmatrix}V^{-1}_{e_{p_2},\dots,e_{p_{k}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим далее аналогичным образом, учитывая индуктивное предположение для доказываемого равенства (74), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{p_1,\dots,p_k} &=\frac{\det \begin{pmatrix} e_{p_{k-1}}^0 & e_{p_{k}}^0\\ h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k-1}} & h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k}} \end{pmatrix}}{V_{e_{p_{k-1}},e_{p_{k}}}} \\ &=\frac{h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k}}-h_{p_1,\dots,p_{k-2},p_{k-1}}}{e_{p_{k}}-e_{p_{k-1}}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, равенство (74) доказано.
Докажем (71). Вычитая при $j=2,\dots,n,n+2,\dots,2n$ из $j$-й строки определителя (72) его $(j-1)$-ю строку, умноженную на $e_1$, а затем вычитая из $(n+1)$-й строки первую строку, умноженную на $h_1$, начнем цепочку равенств
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_{1}^0 & e_{2}^0 & \dots & e_{2n}^0\\ 0 & e_2^0(e_2-e_1) & \dots & e_{2n}^0(e_{2n}-e_1)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_2^{n-2}(e_{2}-e_1) & \dots & e_{2n}^{n-2}(e_{2n}-e_1) \\ 0 & h_{2}-h_{1} & \dots & h_{2n}-h_1\\ 0 & e_2^{0}h_2(e_{2}-e_1) &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}(e_{2n}-e_1)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_2^{n-2}h_2(e_{2}-e_1) &\dots & e_{2n}^{n-2}h_{2n}(e_{2n}-e_1)\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложим определитель по первому столбцу, учтем равенства $h_j-h_1=h_{j,1}(e_j- e_1)$ (см. (75)) и вынесем множители $e_j-e_1$, $j=2,\dots,2n$, за знак определителя, получим
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_2^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_2^{n-2} & \dots & e_{2n}^{n-2} \\ h_{2,1} & \dots & h_{2n,1}\\ e_2^{0}h_2 &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots \\ e_2^{n-2}h_2 &\dots & e_{2n}^{n-2}h_{2n}\end{pmatrix}\prod_{j=2}^{2n}(e_j-e_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Вычтем при $j=2,\dots,n-1,n+2,\dots,2n-1$ из $j$-й строки $(j-1)$-ю строку, умноженную на $e_2$, затем вычтем из $n$-й и $(n+1)$-й строк первую строку, умноженную соответственно на $h_{2,1}$ и $h_2$, и воспользуемся формулой (49),
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_{2}^0 & e_{3}^0 & \dots & e_{2n}^0 \\ 0 & e_3^0(e_3-e_2) & \dots & e_{2n}^0(e_{2n}-e_2)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_3^{n-3}(e_{3}-e_2) & \dots & e_{2n}^{n-3}(e_{2n}-e_2) \\ 0 & h_{3,1}-h_{2,1} & \dots & h_{2n,1}-h_{2,1}\\ 0 & h_{3}-h_{2} & \dots & h_{2n}-h_{2}\\ 0 & e_3^{0}h_3(e_{3}-e_2) &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}(e_{2n}-e_2)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & e_3^{n-3}h_3(e_{3}-e_2) &\dots & e_{2n}^{n-3}h_{2n}(e_{2n}-e_2)\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}} {V_{e_2,\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложим определитель по первому столбцу, при $j=3,\dots,2n$ вынесем множители $e_j-e_2$ из соответствующих столбцов за знак определителя и учтем (74), получим
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} e_3^0 & \dots & e_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ e_3^{n-3} & \dots & e_{2n}^{n-3} \\ h_{3,2,1} & \dots & h_{2n,2,1}\\ h_{3,2} & \dots & h_{2n,2}\\ e_3^{0}h_3 &\dots & e_{2n}^{0}h_{2n}\\ \dots & \dots & \dots \\ e_3^{n-3}h_3 &\dots & e_{2n}^{n-3}h_{2n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_3,\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (74), продолжим равенство аналогичным образом, получим
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\det\begin{pmatrix} h_{n+1,n,\dots,1} & \dots & h_{2n,n,\dots,1}\\ h_{n+1,n,\dots,2} & \dots & h_{2n,n,\dots,2}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычтем из первой строки полученного определителя его вторую строку, умноженную на $(e_2-e_1)^{-1}$, учтем равенства
$$
\begin{equation*}
h_{k,n,\dots,3,2,1}-\frac{h_{k,n,\dots,3,2}}{e_2-e_1}=-\frac{h_{k,n,\dots,3,1}}{e_2-e_1}, \qquad k=n+1,\dots,2n,
\end{equation*}
\notag
$$
и вынесем из первой строки множитель $-(e_2-e_1)^{-1}=-V_{e_1,e_2}^{-1}$ за знак определителя, получим
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\frac{(-1)}{V_{e_1,e_2}}\det\begin{pmatrix} h_{n+1,n,\dots,4,3,1} & \dots & h_{2n,n,\dots,4,3,1}\\ h_{n+1,n,\dots,4,3,2} & \dots & h_{2n,n,\dots,4,3,2}\\ h_{n+1,n,\dots,4,3} & \dots & h_{2n,n,\dots,4,3}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычтем из первой и второй строк определителя третью строку, умноженную соответственно на $(e_3-e_1)^{-1}$ и $(e_3-e_2)^{-1}$, учтем при $k=n+1,\dots,2n$ равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_{k,n,\dots,4,3,1}-\frac{h_{k,n,\dots,4,3}}{e_3-e_1}=-\frac{h_{k,n,\dots,4,1}}{e_3-e_1}, \\ h_{k,n,\dots,4,3,2}-\frac{h_{k,n,\dots,4,3}}{e_3-e_2}=-\frac{h_{k,n,\dots,4,2}}{e_3-e_2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и вынесем из первой и второй строк соответственно множители $-(e_3-e_1)^{-1}$ и $-(e_3-e_2)^{-1}$ за знак определителя, получим
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\frac{(-1)^{1+2}}{V_{e_1,e_2,e_3}}\det\begin{pmatrix} h_{n+1,n,\dots,5,4,1} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4,1}\\ h_{n+1,n,\dots,5,4,2} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4,2}\\ h_{n+1,n,\dots,5,4,3} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4,3}\\ h_{n+1,n,\dots,5,4} & \dots & h_{2n,n,\dots,5,4}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (74), продолжим равенство аналогичным образом:
$$
\begin{equation*}
\Delta_{e_1,\dots,e_{2n}}^{h_1,\dots,h_{2n}}=\frac{(-1)^{1+2+\dots +(n-1)}}{V_{e_1,\dots,e_n}}\det\begin{pmatrix} h_{n+1,1} & \dots & h_{2n,1}\\ h_{n+1,2} & \dots & h_{2n,2}\\ \dots & \dots & \dots \\ h_{n+1,n} & \dots & h_{2n,n}\end{pmatrix}\frac{V_{e_1,\dots,e_{2n}}}{V_{e_{n+1},\dots,e_{2n}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом равенств $h_{n+k,j}=(h_{n+k}-h_j)/(e_{n+k}-e_j)$, $k,j=1,\dots,n$, (см. (75)) и формулы (49) получаем требуемое равенство (71). Лемма 6 доказана. Доказательство леммы 2. В предположениях леммы 2 положим $e_{n+k}{=}\,\overline{e}_k$, $h_{n+k}=\overline{h}_k$, $k=1,\dots,n$. Так как $e_1,\dots,e_{n}$ – попарно различные точки, лежащие в $\mathbb H$, то $e_1,\dots,e_{2n}$ – попарно различные точки. Поэтому по лемме 6 имеет место равенство (71), которое с учетом определений (22), (72), (35) определителей $M_{E_n}^{H_n}$, $\Delta_{\{ e_{1},\dots,e_{n}, \overline{e}_{1},\dots,\overline{e}_{n}\}}^{\{ h_{1},\dots,h_{n},\overline{h}_1,\dots,\overline{h}_n\}}$ и постоянной $C_{E_n}$ влечет за собой равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}&=i^n\Delta_{\{ e_{1},\dots,e_{n}, \overline{e}_{1},\dots,\overline{e}_{n}\}}^{\{ h_{1},\dots,h_{n},\overline{h}_1,\dots,\overline{h}_n\} } =i^{n+(n-1)n}\det \biggl( \frac{\overline{h}_{k}-h_{j}}{\overline{e}_{k}-e_j} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}\prod_{j,k=1}^n(\overline{e}_{k}-e_j) \\ &=C_{E_n}\det \biggl( \frac{h_{j}-\overline{h}_{k}}{e_j-\overline{e}_{k}} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающее с равенством (36). Лемма 2 доказана. Доказательство утверждения 2. Пусть $\{ e_p\}_{p\in\mathcal P}$ и $\{ h_p\}_{p\in\mathcal P}$ – заданные множества точек, лежащие соответственно в $\mathbb H$ и $\mathbb C$. Из дополнения к теореме 1 при $\zeta =\mathrm n$ и леммы 2 следует, что при всех попарно различных $p_1,\dots,p_n$ из индексного множества $\mathcal P$, $E_n=\{ e_{p_1},\dots,e_{p_n}\}$, $H_n=\{ h_{p_1},\dots,h_{p_n}\}$ имеют место импликации
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(z)\in\mathfrak B^{\mathrm n },\quad f[E_n]=H_n \\ &\quad\Longrightarrow\quad M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}\geqslant 0 \quad\Longrightarrow\quad \det \biggl( \frac{h_{j}-\overline{h}_{k}}{e_j-\overline{e}_{k}} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}\geqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
доказывающие необходимость ненегативности всех форм (10) для существования функции Неванлинны $f(z)$, удовлетворяющей условиям $f(e_p)=h_p$, $p\in \mathcal P$.
Докажем, что в случае счетного индексного множества $\mathcal P$, т.е. в случае $\{ e_p\}_{p\in \mathcal P}=\{ e_1,e_2,\dots\}$ ненегативность всех форм (10) достаточна для существования функции Неванлинны $f(z)$, удовлетворяющей условиям $f(e_p)=h_p$, $p=1,2,\dots$ . Предположим сначала, что все формы (10) позитивны. В частности, при $n=1,2,\dots$ в этом случае имеют место строгие неравенства
$$
\begin{equation*}
\det\biggl( \frac{h_{j}-\overline{h}_{k}}{e_{j}-\overline{e}_{k}} \biggr)_{j,k=1,\dots,n}>0, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентные по лемме 2 строгим неравенствам
$$
\begin{equation*}
M_{E_n}^{\mathrm n;H_n} >0, \quad \text{где }\ E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, \quad H_n=\{ h_1,\dots,h_n\}, \quad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
из которых с учетом (26) по теореме 1 при $\zeta =\mathrm n$, $N=\infty$ следует существование функции $f(z)\in \mathfrak B_\infty^{\mathrm n}$, удовлетворяющей условиям $f(e_n)=h_n$, $n=1,2,\dots$ .
Рассмотрим теперь случай, когда среди ненегативных форм (10) имеются сингулярные формы. В этом случае найдется $N\in\mathbb Z_+$ такое, что все формы (10) порядка, не превосходящего $N$, позитивны (при $N=0$ это условие отсутствует), а все формы (10) порядков $N+1$ и $N+2$ ненегативны, причем по крайней мере одна из форм (10) порядка $N+1$ сингулярна. Следовательно, с учетом леммы 2 после соответствующей перенумерации индексного множества $\mathcal P$ будут выполняться условия
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}>0,\quad n=1,\dots,N,\qquad M_{E_{N+1}}^{\mathrm n;H_{N+1}}=0, \\ M_{\{ E_{N+1} \cup e_{N+p}\} }^{\mathrm n;\{ H_{N+1}\cup h_{N+p}\} }\geqslant 0, \qquad p=2,3,\dots \end{gathered}
\end{equation}
\tag{76}
$$
(при $N=0$ отсутствуют неравенства $M_{E_n}^{\mathrm n;H_n}>0$).
Покажем, что условия (76) влекут за собой более сильные условия
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{E_{n}}^{\mathrm n;H_{n}}>0,\qquad n=1,\dots,N, \\ M_{E_{N+1}}^{\mathrm n;H_{N+1}}=M_{E_{N+1} \cup \{ e_{N+p}\} }^{\mathrm n;H_{N+1} \cup \{ h_{N+p}\} }= 0,\qquad p=2,3,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{77}
$$
Так как точки $e_1,\dots,e_n$ попарно различны и $h_k\neq -i$, $k=1,2,\dots$ (в силу ненегативности форм (10) при $n=1$), то в силу следствия 2 из первых $N+1$ условий в (76) следует, что
$$
\begin{equation}
M_{D_n}^{\mathrm s;G_n}>0 \quad \text{при }\ n=1,\dots,N, \qquad M_{E_{N+1}}^{\mathrm s;G_{N+1}}=0,
\end{equation}
\tag{78}
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_n=t(E_n),\quad G_n=T(i^{-1}H_n),\quad t(z)=\frac{z-i}{z+i},\quad T(z)=\frac{1-z}{1+z}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [16; лемма 4] показано (без явной формулировки), что условия (78) влекут за собой неравенства
$$
\begin{equation*}
M_{D_{N+1}\cup \{ d\}}^{\mathrm s;G_{N+1}\cup \{ g\}}\leqslant 0 \quad\text{при любых }\ d\in\mathbb D\setminus D_{N+1}, \quad g\in\mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу следствия 2 это означает, что $M_{E_{N+1} \cup \{ e\} }^{\mathrm n;H_{N+1}\cup \{ h\} }\leqslant 0$ при любых $e\in\mathbb H\setminus E_{N+1}$ и $h\in\mathbb C$. В частности,
$$
\begin{equation*}
M_{E_{N+1} \cup \{ e_{N+p}\} }^{\mathrm n; H_{N+1}\cup \{ h_{N+p}\} }\leqslant 0 \quad\text{при всех }\ p=2,3,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует эквивалентность условий (76) и (77).
Так как попарная различность точек $e_1,e_2,\dots $ означает, в частности, что $\nu_n=1<N+2$ при всех $n=1,2,\dots$, то в силу (27) в качестве $(N+2)$-точечных множеств $E_{n,N}$ и $H_{n,N}$ при $n=N+3,N+4,\dots$ можно выбрать множества
$$
\begin{equation*}
E_{N+p,N}=E_{N+1} \cup \{ e_{N+p}\}, \quad H_{N+p,N}=H_{N+1} \cup \{ h_{N+p}\}, \qquad p=3,4,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому с учетом (26) условия (77) совпадают с условиями (31) при $\zeta =\mathrm n$, из которых по теореме 1 при $\zeta =\mathrm n$ следует существование и единственность функции Неванлинны $f(z)\in \mathfrak B_N^{\mathrm n}$, удовлетворяющей условиям $f(e_n)=h_n$, $n=1,2,\dots$ . Таким образом, утверждение 2 доказано. Доказательство леммы 3. Для удобства последующей записи при $\varepsilon >0$ положим
Для произвольных комплексных чисел $z_1,\dots,z_p$ введем следующее обозначение:
$$
\begin{equation*}
S^0_{z_{1},\dots,z_{p}}:= 1, \quad S^k_{z_{1},\dots,z_{p}}:=\sum z_1^{t_1}\dots z_p^{t_p}, \qquad p,k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где сумма берется по всем $(t_1,\dots,t_p)\in\mathbb Z_+^p$ таким, что $t_1+\dots +t_p=k$.
Отметим, что $S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p}$ не зависит от перестановок $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p$. При $m=0,1$ и $j=p+2,\dots,2n$, где $p=1,\dots,2n-2$, имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varepsilon_j^mS^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p,\varepsilon_j} -\varepsilon_{p+1}^mS^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1}} =\sum_{l=0}^kS^{k-l}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p}(\varepsilon_j^{l+m} -\varepsilon_{p+1}^{l+m}) \\ &\qquad=(\varepsilon_j-\varepsilon_{p+1})\sum_{l=1-m}^kS^{k-l}_{\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_p}S^{l+m-1}_{\varepsilon_{p+1},\varepsilon_j} =(\varepsilon_j-\varepsilon_{p+1})S^{k+m-1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p\varepsilon_{p+1},\varepsilon_j}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{80}
$$
Предполагая сначала, что точки $e_1,\dots,e_n$ попарно различны, заметим, что в этом случае (в обозначениях леммы 3)
$$
\begin{equation*}
f_{2n-2}[\varepsilon E_n]=\biggl\{ \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_1^{k+1},\dots,\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_n^{k+1}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом определения (24) матриц $A_{\varepsilon E_{n}}$ и $A_{\varepsilon E_{n}}^{f_{2n-2}[\varepsilon E_n]}$, вещественности коэффициентов $a_0,a_1,\dots$ и обозначений (79) имеет место цепочка равенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\det \begin{pmatrix} A_{\varepsilon E_{n}} & \overline{A}_{\varepsilon E_{n}} \\ A_{\varepsilon E_{n}}^{f_{2n-2}[\varepsilon E_n]} & \overline{A}_{\varepsilon E_{n}}^{f_{2n-2}[\varepsilon E_n]} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\det\begin{pmatrix} \varepsilon_1^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0 \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n-1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\\ \varepsilon_1^{0} \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_1^{k+1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{0} \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{2n}^{k+1} \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n-1} \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_1^{k+1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{2n}^{k+1} \end{pmatrix} \nonumber \\ &= \det \begin{pmatrix} \varepsilon_1^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n-1} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\\ \varepsilon_1^{n}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}\varepsilon_{1}^{k} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}\varepsilon_{2n}^{k}\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_1^{n}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{1}^{k} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}\varepsilon_{2n}^{k} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\det \begin{pmatrix} \varepsilon_2^0(\varepsilon_2-\varepsilon_1) & \dots & \varepsilon_{2n}^0(\varepsilon_{2n}-\varepsilon_1)\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-2}(\varepsilon_2-\varepsilon_1) & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}(\varepsilon_{2n}-\varepsilon_1) \\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1} (\varepsilon_2^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1} (\varepsilon_{2n}^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k} (\varepsilon_2^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k} (\varepsilon_{2n}^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1}) \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det \begin{pmatrix} \varepsilon_2^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-2} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}\\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_2} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_{2n}} \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_2^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-1}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_{2n}} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{3},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det \begin{pmatrix} \varepsilon_3^0 & \dots & \varepsilon_{2n}^0\\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_3^{n-3} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-3}\\ \varepsilon_3^{n-2}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_{2n}} \\ \dots & \dots & \dots \\ \varepsilon_3^{n-2}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3} & \dots & \varepsilon_{2n}^{n-2}\sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^{k}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_{2n}} \end{pmatrix} \nonumber \\ \nonumber &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det \begin{pmatrix} \sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}} & \dots & \sum_{k=0}^{n-1}a_{k+n-1}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}} \\ \dots & \dots & \dots \\ \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}} & \dots & \sum_{k=0}^{2n-2}a_{k}S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}} \end{pmatrix} \\ &=\frac{V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}}{V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}}}\det ( {\mathscr A}_n\times {\mathscr L}_{\varepsilon,n}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{81}
$$
где $(n\times (2n-1))$-матрица ${\mathscr A}_n$ и $((2n-1)\times n)$-матрица ${\mathscr L}_{\varepsilon,n}$ определяются соответственно равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathscr A}_n:=\begin{pmatrix} a_{n-1} & \dots & a_{2n-2} & 0 & \dots & 0\\ a_{n-2} & \dots & a_{2n-3} & a_{2n-2} & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{0} & \dots & a_{n-1} & a_{n} & \dots & a_{2n-2}\end{pmatrix}, \\ {\mathscr L}_{\varepsilon,n}:=\begin{pmatrix} S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}} & \dots & S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}}\\ \dots & \dots & \dots \\ S_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}}^{2n-2} & \dots & S_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{2n}}^{2n-2} \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Дадим пояснения к этой цепочке равенств. Во втором равенстве мы вычли из $(n+j)$-й строки определителя при $j=1,\dots,n-1$ линейные комбинации первых $n$ строк с соответствующими коэффициентами и переобозначили индексы суммирования. В третьем равенстве мы вычли из $(n+j)$-й строки определителя при $j=1,\dots,n$ его $n$-ю строку, умноженную на $\varepsilon_1\sum_{k=0}^{n-2+j}a_{k+n-j}\varepsilon_{1}^{k} $, затем вычли при $j=n,\dots,2$ из $j$-й строки $(j-1)$-ю строку, умноженную на $\varepsilon_1$, и разложили полученный определитель по первому столбцу (все элементы которого, за исключением единичного первого элемента, равны нулю). В четвертом равенстве мы учли равенство $\varepsilon_j^{k+1}-\varepsilon_1^{k+1} =(\varepsilon_j-\varepsilon_1)S_{\varepsilon_1,\varepsilon_j}^{k}$, вынесли при $j=2,\dots,2n$ множители $(\varepsilon_j-\varepsilon_1)$, стоящие в $(j-1)$-м столбце, за знак определителя и воспользовались формулой (49). В пятом равенстве мы вычли при $j=1,\dots,n$ из $(n-1+j)$-й строки определителя его $(n-1)$-ю строку, умноженную на $\varepsilon_{2}\sum_{k=0}^{n-2+j}a_{k+n-j}S_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}^{k} $, вычли при $j=n-1,\dots,2$ из $j$-й строки $(j-1)$-ю строку, умноженную на $\varepsilon_2$, разложили полученный определитель по первому столбцу и, учитывая равенство $\varepsilon_jS_{\varepsilon_1,\varepsilon_j}^{k}-\varepsilon_2S_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}^{k}=(\varepsilon_j-\varepsilon_2)S_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_j}^k$ (см. (80) при $m=1$, $p=1$, $j=3,\dots,2n$), вынесли множители $(\varepsilon_j-\varepsilon_2)$, $j=3,\dots,2n$, за знак определителя. Затем, повторяя вышеприведенные рассуждения с использованием (80) при $m=1$, $p=2,\dots,n-1$, $j=p+2,\dots,2n$, продолжили цепочку равенств.
Элементарными преобразованиями столбцов (которые обычно используются при вычислении определителей Вандермонда) преобразуем матрицу ${\mathscr L}_{\varepsilon,n}$ в матрицу $\widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}$ следующим образом. При $j=2,\dots,n$ вычтем из $j$-го столбца матрицы ${\mathscr L}_{\varepsilon,n}$ ее первый столбец и учтем равенства $S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+j}}-S^0_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}}=0$,
$$
\begin{equation*}
S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+j}}-S^k_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n,\varepsilon_{n+1}}=(\varepsilon_{n+j}-\varepsilon_{n+1})S_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1},\varepsilon_{n+j}}^{k-1}, \qquad k=1,2,\dots
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (80) при $m=0$, $p=n$, $j=n+2,\dots,2n$). Затем при $j=3,\dots,n$ вычтем из $j$-го столбца преобразованной матрицы ее второй столбец, умноженный на $(\varepsilon_{n+j}-\varepsilon_{n+1})/(\varepsilon_{n+2}-\varepsilon_{n+1})$, и учтем равенство (80) при $m=0$, $p=n+1$, $j=n+3,\dots,2n$. Продолжая действовать аналогичным образом, в результате получим матрицу
$$
\begin{equation*}
\widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}=\begin{pmatrix} S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & 0 & 0 & \dots & 0\\ S^{1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & {\mathscr V}_{n,2}S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+2}} & 0 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ S^{n-1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & {\mathscr V}_{n,2}S^{n-2}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+2}} & {\mathscr V}_{n,3}S^{n-3}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+3}} & \dots & {\mathscr V}_{n,n}S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ S^{2n-2}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+1}} & {\mathscr V}_{n,2}S^{2n-3}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+2}} & {\mathscr V}_{n,3}S^{2n-4}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+3}} & \dots & {\mathscr V}_{n,n}S^{n-1}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
{\mathscr V}_{n,j}:=\prod_{k=1}^{j-1}(\varepsilon_{n+j}-\varepsilon_{n+k}), \qquad j=2,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $S^{0}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+j}}=1$ и
$$
\begin{equation}
S^{k}_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n+j}}=\varepsilon^kS^{k}_{e_1,\dots,e_{n+j}}=O(\varepsilon^k) \quad \text{при }\ \varepsilon\to 0, \quad j=1,\dots,n, \quad k=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{82}
$$
то
$$
\begin{equation*}
\widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ O(\varepsilon ) & {\mathscr V}_{n,2} & 0 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ O(\varepsilon^{n-1}) & {\mathscr V}_{n,2}O(\varepsilon^{n-2}) & {\mathscr V}_{n,3}O(\varepsilon^{n-3}) & \dots & {\mathscr V}_{n,n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ O(\varepsilon^{2n-2}) & {\mathscr V}_{n,2}O(\varepsilon^{2n-3}) & {\mathscr V}_{n,3}O(\varepsilon^{2n-4}) & \dots & {\mathscr V}_{n,n}O(\varepsilon^{n-1}) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что после произведенных элементарных преобразований ${\mathscr L}_{\varepsilon,n}$ определитель матрицы ${\mathscr A}_n\times {\mathscr L}_{\varepsilon,n}$ не изменится и что в силу формулы(49) $\prod_{j=2}^n{\mathscr V}_{n,j}= V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}}$, из явного вида ${\mathscr A}_n$ и $\widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}$ получаем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\det ( {\mathscr A}_n\times {\mathscr L}_{\varepsilon,n})=\det ( {\mathscr A}_n\times \widetilde{{\mathscr L}}_{\varepsilon,n}) =\bigl(\det (a_{n-1+j-k})_{j,k=0,\dots,n-1} +O(\varepsilon ) \bigr)\prod_{j=2}^n{\mathscr V}_{n,j} \\ &\qquad =\bigl((-1)^{(n-1)n/2}\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} +O(\varepsilon )\bigr) V_{\varepsilon_{n+1},\dots,\varepsilon_{2n}} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{83}
$$
С целью рассмотрения ниже общего случая с наличием в $E_n$ кратных точек отметим здесь, что из первого появления $O(\varepsilon)$ в (82) и последующих выкладок видно, что величина $O(\varepsilon)$, фигурирующая в правой части равенства (83), по модулю не превосходит $C_1\varepsilon$, где зависящая от точек $e_1,\dots,e_n$ и коэффициентов $a_0,\dots,a_{2n-2}$ положительная постоянная $C_1=C_1(e_1,\dots,e_n;a_0,\dots,a_{2n-2})$ такова, что
$$
\begin{equation}
C_2=\sup_{\{ \delta_1\leqslant |e_1|/2,\dots,\delta_n\leqslant |e_n|/2\} }C_1(e_{1}+\delta_1,\dots,e_{n}+\delta_n;a_0,\dots,a_{2n-2})<\infty.
\end{equation}
\tag{84}
$$
Учитывая определение (22) величины $M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n;f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]}$ для левой части (81) и равенство (83) для правой части (81), перепишем равенство (81) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
i^{-n}M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n;f_{2n-2}[\varepsilon E_{n} ]}=i^{(n-1)n}V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}\bigl(\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} +O(\varepsilon)\bigr).
\end{equation}
\tag{85}
$$
Из обозначений (79), формулы (49) и определения (35) постоянной $C_{E_n}$ следует, что
$$
\begin{equation*}
V_{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n}}=\varepsilon^{n(2n-1)}V_{e_1,\dots,e_n,\overline{e}_1,\dots,\overline{e}_n} =\varepsilon^{n(2n-1)}i^{-n^2}C_{E_n}|V_{E_n}|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (85) совпадает с равенством
$$
\begin{equation}
M_{\varepsilon E_n}^{\mathrm n;f_{2n-2}[\varepsilon E_{n} ]}=\varepsilon^{n(2n-1)}C_{E_n}|V_{E_n}|^2\bigl(\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1}+O(\varepsilon)\bigr),
\end{equation}
\tag{86}
$$
эквивалентным равенству (38).
В общем случае при наличии кратных точек у множества $E_n$ введем в рассмотрение множества
$$
\begin{equation*}
E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}:=\{ e_1+\delta_1,\dots,e_n+\delta_n \}\,,\qquad \, \varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}=\{ \varepsilon (e_1+\delta_1),\dots,\varepsilon (e_1+\delta_1)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где сколь угодно малые $\delta_1,\dots,\delta_n$ таковы, что множества $E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}$ состоят из попарно различных точек, лежащих в $\mathbb H$. Учитывая (84), равенство (86) применительно к множествам $E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}$ может быть записано в виде неравенства
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{\varepsilon^{n(2n-1)}C_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2}-\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} \biggr|\leqslant C_2\varepsilon,
\end{equation}
\tag{87}
$$
где при достаточно малых $\delta_1,\dots,\delta_n$ постоянная $C_2<\infty$ не зависит от $\delta_1,\dots,\delta_n$.
Из равенства $|{\det A_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}}|^2=\varepsilon^{(n-1)n}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2$ (см. (24)) и определения (39) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{\varepsilon^{(n-1)n}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2} =\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{|{\det A_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}}|^2}= \breve {M}_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по лемме 4 с учетом (39) имеем равенство
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0}\frac{M_{\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}]}}{\varepsilon^{(n-1)n}|V_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}|^2}=\breve {M}_{\varepsilon E_{n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]}=\frac{M_{\varepsilon E_{n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]}}{|{\det A_{\varepsilon E_{n}}}|^2} .
\end{equation}
\tag{88}
$$
Кроме того, непосредственно из определения (35) следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta_1\to 0}\dots \lim_{\delta_n\to 0}C_{E_{n}^{\delta_1,\dots,\delta_n}}=C_{E_n}.
\end{equation}
\tag{89}
$$
Переходя в (87) к пределу при $\delta_k\to 0$, $k=1,\dots,n$, и учитывая (88) и (89), получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{M_{\varepsilon E_{n}}^{\mathrm n,f_{2n-2}[\varepsilon E_{n}]}}{\varepsilon^{n^2}C_{E_{n}}|{\det A_{\varepsilon E_{n}}}|^2}-\det (a_{j+k})_{j,k=0,\dots,n-1} \biggr|\leqslant C_2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует (37) в общем случае. Таким образом, лемма 3 доказана. Автор благодарит рецензента статьи за прочтение рукописи и сделанные ценные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bus23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|