| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Неравенство Бернштейна–Сегё для производной Рисса тригонометрических полиномов в пространствах А. О. Леонтьева Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9822e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Обозначения, постановка задачиЧерез $\mathscr{T}_n=\mathscr{T}_n(\mathbb C)$ обозначим множество тригонометрических полиномов
$$
\begin{equation}
f_n(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n( a_k\cos kt+b_k\sin kt) =\sum_{k=-n}^n c_k e^{ikt}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с комплексными коэффициентами. Для параметра $0\leqslant p\leqslant\infty$ введем на множестве $\mathscr{T}_n$ функционалы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|f_n\|_{p}= \biggl(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f_n(t)|^p\,dt\biggr)^{1/p}, \qquad 0<p<\infty, \\ \|f_n\|_{\infty}=\lim_{p\to+\infty}\|f_n\|_{p}=\|f_n\|_{C_{2\pi}}=\max\{|f_n(t)|\colon t\in \mathbb{R}\}, \\ \|f_n\|_{0}= \lim_{p\to+0}\|f_n\|_{p}=\exp\biggl({\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\ln |f_n(t)| \,dt}\biggr); \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
только при $1 \leqslant p\leqslant \infty$ эти функционалы являются нормами. В 1917 г. Г. Вейль (см. [1]) ввел понятие дробной производной периодической функции. На множестве $\mathscr{T}_n$ дробная производная, или производная Вейля вещественного порядка $\alpha\geqslant 0$, определяется соотношением
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D^\alpha f_n(t) &=\sum_{k=1}^n k^\alpha\biggl(a_k \cos \biggl(kt+\frac{\pi\alpha}{2}\biggr) +b_k \sin \biggl(kt+\frac{\pi\alpha}{2}\biggr)\biggr) \\ &=\sum_{k=-n}^n c_k |k|^\alpha e^{(i\pi\alpha/2)\operatorname{sign} k} e^{ikt}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для целых неотрицательных $\alpha$ производная Вейля совпадает с классической производной: $D^\alpha f_n =f_n^{(\alpha)}$. В случае $\alpha=0$ оператор $D^0$ отбрасывает свободный член полинома: $D^0 f_n(t)=f_n(t)-c_0$. Для производных Вейля выполняется полугрупповое свойство $D^\beta D^\alpha=D^{\alpha+\beta}$, $\alpha,\beta\geqslant 0$. Вместе с полиномом (1.1) будем рассматривать сопряженный ему полином
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}_n(t)=\sum_{k=1}^n (b_k\cos kt-a_k\sin kt) =i\sum_{k=-n}^n c_k (\operatorname{sign} k) e^{ikt};
\end{equation*}
\notag
$$
отметим, что такое определение сопряженного полинома, используемое нами вслед за [2], отличается от классического определения знаком (см., например, [3; т. 1, гл. 2, § 5]). Для вещественного $\theta$ рассмотрим оператор
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag D^\alpha_\theta f_n(t) &=f_n^{(\alpha)}(t)\cos\theta+\widetilde{f}_n^{(\alpha)}(t)\sin\theta \\ \notag &=\sum_{k=1}^n k^\alpha \biggl(a_k \cos\biggl(kt+\frac{\pi\alpha}{2}+\theta\biggr) +b_k\sin\biggl(kt+\frac{\pi\alpha}{2}+\theta\biggr)\biggr) \\ &=\sum_{k=-n}^n c_k |k|^\alpha e^{i(\pi\alpha/2+\theta) \operatorname{sign} k} e^{ikt}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
будем называть его оператором Вейля–Сегё. При $\theta=-\pi\alpha/2$ имеем оператор
$$
\begin{equation}
D^\alpha_{-\pi\alpha/2} f_n(t)=\sum_{k=1}^n k^\alpha(a_k \cos kt+ b_k \sin kt) =\sum_{k=-n}^n c_k |k|^\alpha e^{ikt},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
а при $\theta=\pi(1-\alpha)/2$ – оператор
$$
\begin{equation}
D^\alpha_{\pi(1-\alpha)/2} f_n(t)=\sum_{k=1}^n k^\alpha(b_k \cos kt -a_k \sin kt) =i\sum_{k=-n}^n c_k |k|^\alpha (\operatorname{sign} k) e^{ikt}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Оператор (1.3) называется производной Рисса. Информацию о нем можно найти в [4; гл. 5, § 25, п. 4]. Оператор (1.4) будем называть сопряженной производной Рисса, потому что $D^\alpha_{\pi(1-\alpha)/2} f_n$ есть сопряженный полином к $D^\alpha_{-\pi\alpha/2} f_n$ при любом $f_n\in\mathscr{T}_n$. В дальнейшем вместо $D^\alpha_{-\pi\alpha/2}$ и $D^\alpha_{\pi(1-\alpha)/2}$ будем писать $D^\alpha_R$ и $\widetilde{D}^\alpha_R$ соответственно. Важным свойством этих операторов является то, что производная Рисса превращает четный полином в четный, а сопряженная производная Рисса превращает четный в нечетный. Отметим, что $D^\alpha_R$ при четных $\alpha\in\mathbb N$ и $\widetilde{D}^\alpha_R$ при нечетных $\alpha\in\mathbb N$ превращаются в классическую производную порядка $\alpha$. С другой стороны, $D^\alpha_R$ при нечетных $\alpha\in\mathbb N$ и $\widetilde{D}^\alpha_R$ при четных $\alpha\in\mathbb N$ – это операторы сопряженной производной порядка $\alpha$. Кроме того, $D^0_R=D^0$, а $\widetilde{D}^0_R$ – оператор сопряжения. Оператор Вейля–Сегё (1.2) можно записать в другом виде через производные Рисса:
$$
\begin{equation}
D^\alpha_\theta f_n(t)=D^\alpha_R f_n(t)\cos\tau+\widetilde{D}^\alpha_R f_n(t) \sin\tau, \qquad \tau=\frac{\pi\alpha}{2}+\theta.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Нас интересует норма оператора (1.2) на множестве $\mathscr{T}_n$, т.е. наименьшая константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ в неравенстве
$$
\begin{equation}
\|D^\alpha_\theta f_n\|_p\leqslant B_n(\alpha,\theta)_p \|f_n\|_p, \qquad f_n\in \mathscr{T}_n.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Неравенства такого типа называются неравенствами Бернштейна–Сегё, при $\theta=0$ – неравенствами Бернштейна, при $\theta=\pi/2$ – неравенствами Сегё. Легко видеть, что константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ $\pi$-периодична по $\theta$, поэтому в дальнейшем будем рассматривать значения $\theta\in[0,\pi]$. Поскольку $D^\alpha_\theta$ есть оператор свертки, то для константы $B_n(\alpha,\theta)_p$ в (1.6) справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
B_n(\alpha,\theta)_p\leqslant B_n(\alpha,\theta)_\infty, \qquad 1\leqslant p\leqslant\infty,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$$
\begin{equation}
n^\alpha=B_n(\alpha,\theta)_2\leqslant B_n(\alpha,\theta)_p \leqslant B_n(\alpha,\theta)_0, \qquad 0\leqslant p\leqslant\infty.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Неравенство (1.7) известно, первое неравенство в (1.8) довольно очевидно, эту оценку снизу дает полином $e^{int}$. Последнее неравенство в (1.8) доказано В. В. Арестовым (см. [5]). Оно означает, что величина $B_n(\alpha,\theta)_p$ принимает наибольшее значение по $p\in[0,\infty]$ при $p=0$; в силу этого факта случай $p=0$ особенно важен в этой тематике. В настоящей статье будет для всех $n\in\mathbb N$ решен вопрос о том, при каких $\alpha$ константы $B_n(\alpha,R)_p$ и $\widetilde{B}_n(\alpha,R)_p$ в неравенствах
$$
\begin{equation}
\|D^\alpha_R f_n\|_p\leqslant B_n(\alpha,R)_p \|f_n\|_p,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{D}^\alpha_R f_n\|_p\leqslant \widetilde{B}_n(\alpha,R)_p \|f_n\|_p
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
будут равны $n^\alpha$ во всех $L_p$, $0\leqslant p\leqslant\infty$. В силу (1.8) он сводится к исследованию неравенств
$$
\begin{equation}
\|D^\alpha_R f_n\|_0\leqslant B_n(\alpha,R)_0 \|f_n\|_0,
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{D}^\alpha_R f_n\|_0\leqslant \widetilde{B}_n(\alpha,R)_0 \|f_n\|_0,
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
а точнее, к изучению вопроса о том, при каких условиях на $n$ и $\alpha$ константы $B_n(\alpha,R)_0$ и $\widetilde{B}_n(\alpha,R)_0$ равны $n^\alpha$. 1.2. ИсторияНеравенства вида (1.6) изучаются уже больше 90 лет. Историю их изучения можно найти в статьях [2], [6]–[12] и в некоторых монографиях (см., например, [13; гл. 3], [14; п. 8.1], [15; пп. 6.1.2, 6.1.7]). При $1\leqslant p\leqslant\infty$ и $\alpha\geqslant 1$ для любого $\theta\in[0,\pi]$ выполняется точное неравенство
$$
\begin{equation}
\bigl\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+ \widetilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\bigr\|_p \leqslant n^\alpha \|f_n\|_p,\qquad f_n \in \mathscr{T}_n,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
с классической константой $B_n(\alpha,\theta)_p=n^\alpha$. Неравенство (1.13) для производной первого порядка в равномерной норме было доказано благодаря усилиям С. Н. Бернштейна, М. Рисса, Г. Сегё. Для $\alpha\in\mathbb N$ и $p\geqslant 1$ оно было получено А. Зигмундом. Для вещественных $\alpha\geqslant 1$ и $p\geqslant 1$ неравенство (1.13) было установлено П. И. Лизоркиным при $\theta=0$ и А. И. Козко при всех $\theta\in[0,\pi]$. Более того, А. И. Козко (см. [16]) подробно исследовал условия на параметры $\alpha$ и $\theta$, достаточные для выполнения (1.13) с константой $n^\alpha$ во всех $L_p$, $1\leqslant p\leqslant\infty$. При $0<p<1$ уже неравенство Бернштейна (для производной первого порядка) было трудной задачей. Ее решил В. В. Арестов. Он создал (см. [6], [17]) новый метод решения экстремальных задач для алгебраических многочленов на единичной окружности и, как следствие, тригонометрических полиномов на периоде относительно норм, порожденных функциями $\varphi$ из введенного им класса $\Phi^+$, в том числе и в пространствах $L_p$, $0\leqslant p\leqslant\infty$. При помощи этого метода он доказал, что для всех $0\leqslant p\leqslant\infty$ во множестве тригонометрических полиномов $\mathscr{T}_n$ для целого неотрицательного $r$ выполняется точное неравенство Бернштейна
$$
\begin{equation}
\|f_n^{(r)}\|_p\leqslant n^r \|f_n\|_p, \qquad f_n \in \mathscr{T}_n.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
В 1994 г. В. В. Арестов (см. [2]) изучал неравенство Сегё для производной неотрицательного целого порядка $r$ сопряженных тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{f}_n^{(r)}\|_0\leqslant B_n\biggl(r,\frac\pi2\biggr)_0 \|f\|_0, \qquad f_n\in \mathscr{T}_n.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Он доказал, что при фиксированном целом неотрицательном $r$ константа в неравенстве Сегё имеет следующее поведение:
$$
\begin{equation}
B_n\biggl(r,\frac \pi2\biggr)_0=4^{n+o(n)} \quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Таким образом, поведение константы $B_n(r,\pi/2)_0$ существенно отличается от поведения константы $B_n(r,0)_0=n^r$ в неравенстве Бернштейна (1.14) для $r\in\mathbb N$ в $L_0$. В той же статье [2] В. В. Арестов поставил вопрос: какими должны быть параметры $r$ и $n$, чтобы неравенство (1.15) для производной сопряженного полинома выполнялось с классической константой $B_n(r,\pi/2)_0=n^r$? Он показал, что для этого достаточно, чтобы было верно неравенство $r\geqslant n\ln 2n$. В 1994 г. В. В. Арестов в результате экспериментов на ПК высказал следующую гипотезу относительно константы $B_n(r,\pi/2)_0$ в неравенстве (1.15). Гипотеза A. Для того чтобы неравенство Сегё (1.15) в $L_0$ для производной порядка $r\in \mathbb{N}$ сопряженного полинома порядка $n$ выполнялось с константой $n^r$, необходимо и достаточно, чтобы было верно неравенство $r\geqslant 2n-2$. В 2014 г. В. В. Арестов и П. Ю. Глазырина (см. [10]) изучали неравенство Бернштейна–Сегё для вещественных $\alpha\geqslant 0$ и произвольных вещественных $\theta$. В этой более общей ситуации они исследовали вопрос об условиях на параметры $n$, $\alpha$ и $\theta$ того, что неравенство Бернштейна–Сегё в $L_0$ и, как следствие (в силу (1.8)), во всех $L_p$, $0<p\leqslant\infty$, выполняется с константой $n^\alpha$. Они доказали, что при любом $\theta\in[0,\pi]$ достаточным условием является $\alpha\geqslant n \ln 2n$. Обозначим через $A_n(\theta)$ множество таких $\alpha\geqslant 0$, что $B_n(\alpha,\theta)_0=n^\alpha$. В. В. Арестов и П. Ю. Глазырина высказали две гипотезы. Гипотеза 1. Если $\alpha\in\mathbb R$ и $\alpha\geqslant 2n\,{-}\,2$, то неравенство Бернштейна–Сегё в $L_0$ для производной порядка $\alpha$ полинома порядка $n$ выполняется с константой $n^\alpha$ при любом $\theta$. Гипотеза 2. При $\theta=0$ неравенство Бернштейна выполняется с константой $n^\alpha$ тогда и только тогда, когда $\alpha\in\mathbb N$ или $\alpha\geqslant 2n-2$, т.е. В. В. Арестов и П. Ю. Глазырина (см. [10]) обосновали эти две гипотезы для $n=2$. При каждом $\theta$ они описали множество $A_2(\theta)$. Они доказали, что $A_2(0)=\{1\}\cup[2,\infty)$ и при $\theta\in(0,\pi)$ $A_2(\theta)=[\alpha^*(\theta),\infty)$, где $\alpha^*(\theta)\in(1,2)$ является корнем некоторого уравнения. Н. В. Попов в тезисах нескольких докладов за 2017–2021 гг. (см. [18] и приведенную там библиографию) анонсировал, что при $ n\leqslant 10$ для $\theta=0$, т.е. в случае неравенства Бернштейна, выполняется гипотеза 2. В 2022 г. автором было доказано (см. [12]), что при любом $\theta\in[0,\pi]$ условие $\alpha\geqslant 2n-2$ достаточно для того, чтобы неравенство Бернштейна–Сегё выполнялось с классической константой $n^\alpha$, т.е. была подтверждена гипотеза 1 для всех $n\in\mathbb N$. 1.3. Формулировка основных результатовВ настоящей статье доказаны следующие утверждения для производной Рисса и сопряженной производной Рисса. Теорема 1. Неравенство (1.9) для производной Рисса выполняется с константой $B_n(\alpha,R)_p=n^\alpha$ при всех $0\leqslant p\leqslant\infty$ тогда и только тогда, когда Теорема 2. Неравенство (1.10) для сопряженной производной Рисса выполняется с константой $\widetilde{B}_n(\alpha,R)_p=n^\alpha$ при всех $0\leqslant p\leqslant\infty$ тогда и только тогда, когда Для $n\in\mathbb{N}$ обозначим через $\alpha^*_n$ наименьшее неотрицательное число такое, что при всех $\alpha\geqslant\alpha^*_n$ и всех $\theta\in[0,\pi]$ выполняется равенство $B_n(\alpha,\theta)_0=n^\alpha$. Результат автора [12], подтвердивший гипотезу 1, означает, что $\alpha^*_n\leqslant 2n-2$. Теорема 1 влечет, что $\alpha^*_n\geqslant 2n-2$. Следовательно, $\alpha^*_n=2n-2$. Ниже, в § 5, для каждого $0\leqslant p<\infty$ будет описано множество тригонометрических полиномов, для которых неравенства (1.9) и (1.10) для $\alpha$, заданных условиями (1.17) и (1.18) соответственно, обращаются в равенства. § 2. Метод2.1. Метод В. В. Арестова исследования экстремальных задачДля изучения неравенства Бернштейна–Сегё будем применять созданный В. В. Арестовым (см. [5], [6], [17]) метод исследования экстремальных задач для алгебраических многочленов на единичной окружности комплексной плоскости и, что то же самое в силу формулы для тригонометрических полиномов на периоде.Пусть $\mathscr{P}_m=\mathscr{P}_m(\mathbb C)$ – множество алгебраических многочленов степени не выше $m$ с комплексными коэффициентами. Если степень многочлена равна $s<m$, то удобно считать, что он имеет нуль кратности $m-s$ в бесконечно удаленной точке $z=\infty$. Ясно, что $P_m(e^{it})\in\mathscr{T}_m$. Для многочленов $P_m\in \mathscr{P}_m$ при $0\leqslant p\leqslant\infty$ условимся писать $\|P_m\|_{p}=\|P_m(e^{it})\|_p$, в частности,
$$
\begin{equation}
\|P_m\|_{0}=\|P_m(e^{it})\|_0=\exp\biggl({\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\ln |P_m(e^{it})|\, dt}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Для многочлена $P_m$ с отличным от нуля старшим коэффициентом $c_m\ne 0$ и нулями $\{z_j\}_{j=1}^m$ как следствие формулы Йенсена (см., например, [19; т. 1, отд. III, гл. 4, § 2, № 175]) для величины (2.2) справедливо представление Для многочленов $P_m$ и $\Lambda_m$ из $\mathscr{P}_m$, записанных в виде
$$
\begin{equation*}
P_m(z)=\sum_{k=0}^m C_m^k a_k z^k, \qquad \Lambda_m(z)=\sum_{k=0}^m C_m^k \lambda_k z^k,
\end{equation*}
\notag
$$
многочлен
$$
\begin{equation}
\Lambda_m P_m(z)=\sum_{k=0}^m C_m^k \lambda_k a_k z^k
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
называется композицией Сегё многочленов $\Lambda_m$ и $P_m$. Свойства композиции Сегё можно найти в [19; т. 2, отд. V, гл. 2] и [20; гл. 4]. При фиксированном $\Lambda_m$ композиция Сегё (2.4) является линейным оператором в $\mathscr{P}_m$. Многочлен обладает свойством, что для любого $\Lambda_m\in \mathscr{P}_m$ имеет место соотношение имея в виду это свойство, можно сказать, что $I_m$ играет роль “единицы” для операции композиции Сегё. В 1990 г. В. В. Арестов доказал (см. [5]) следующее утверждение. Теорема A (В. В. Арестов; см. [5]). Для произвольного многочлена $\Lambda_m\in\mathscr{P}_m$ и для любого $0\leqslant p\leqslant\infty$ справедливо неравенство 2.2. Переход к изучению (сопряженной) производной Рисса экстремального полиномаУбедимся, что операторы производной Рисса $D^\alpha_R$ и сопряженной производной Рисса $\widetilde{D}^\alpha_R$, определенные формулами (1.3) и (1.4) во множестве $\mathscr{T}_n$, с помощью формулы (2.1) можно представить в виде оператора композиции Сегё (см. формулу (2.4)) во множестве $\mathscr{P}_{2n}$ с некоторыми многочленами $\Lambda_{2n}^\alpha$ и $\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha$, а точнее,
$$
\begin{equation}
D^\alpha_R f_n(t)=e^{-int}(\Lambda_{2n}^\alpha P_{2n})(e^{it}), \qquad f_n(t)=e^{-int}P_{2n}(e^{it}),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{D}^\alpha_R f_n(t)=e^{-int} (\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha P_{2n})(e^{it}), \qquad f_n(t)=e^{-int}P_{2n}(e^{it}).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Всюду далее будет использоваться обозначение
$$
\begin{equation}
Q_n^\alpha(z)=\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k} k^\alpha z^k.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Предложение 1. При $\alpha\geqslant 0$ производной Рисса $D^\alpha_R$ на множестве $\mathscr{T}_n$ по формуле (2.8) соответствует на множестве $\mathscr{P}_{2n}$ оператор композиции Сегё с многочленом Доказательство. Представим тригонометрический полином $f_n\,{\in}\mathscr{T}_n$ в виде Согласно формулам (1.3) и (1.4)
$$
\begin{equation*}
D^\alpha_R f_n(t)=\sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k} |k|^\alpha c_k e^{ikt}, \qquad \widetilde{D}^\alpha_R f_n(t)=\sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k} |k|^\alpha(\operatorname{sign} k) c_k e^{ikt}.
\end{equation*}
\notag
$$
По формуле (2.1) полиному $f_n$ соответствует алгебраический многочлен а полиномам $D^\alpha_R f_n$ и $\widetilde{D}^\alpha_R f_n$ – соответственно многочлены
$$
\begin{equation*}
R^\alpha_{2n}(z)= \sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k} |k|^\alpha c_k z^{n+k}, \qquad \widetilde{R}^\alpha_{2n}(z)= \sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k} |k|^\alpha (\operatorname{sign} k) c_k z^{n+k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формулы (2.4) видно, что
$$
\begin{equation*}
R^\alpha_{2n}=\Lambda_{2n}^\alpha P_{2n}, \qquad \widetilde{R}^\alpha_{2n}=\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha P_{2n},
\end{equation*}
\notag
$$
где многочлены $\Lambda_{2n}^\alpha$ и $\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha$ определены формулами (2.11) и (2.12).
Тем самым предложение 1 доказано. В силу неравенства (1.8) необходимо изучить неравенства (1.11) и (1.12):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|D^\alpha_R f_n\|_0\leqslant B_n(\alpha,R)_0 \|f_n\|_0, \qquad f_n\in\mathscr{T}_n, \\ \|\widetilde{D}^\alpha_R f_n\|_0\leqslant \widetilde{B}_n(\alpha,R)_0 \|f_n\|_0, \qquad f_n\in\mathscr{T}_n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу формул (2.8) и (2.7) имеем
$$
\begin{equation}
\|D^\alpha_R f_n\|_0=\|\Lambda^\alpha_{2n}P_{2n}\|_0 \leqslant\|\Lambda^\alpha_{2n}\|_0 \|P_{2n}\|_0 =\|\Lambda^\alpha_{2n}\|_0 \|f_n\|_0, \qquad P_{2n}(e^{it})=e^{int}f_n(t).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Неравенство (2.13) точное и обращается в равенство при которому по формуле (2.1) соответствует полином
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag h_n(t) &=e^{-int}I_{2n}(e^{it})=4^n\cos^{2n}\frac{t}{2}=2^n(1+\cos t)^n \\ &=\sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k} e^{ikt} =C_{2n}^n+2\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k} \cos kt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Отметим, что в силу (2.14) и (2.3) $\|h_n\|_0=\|I_{2n}\|_0=1$. Точная константа в неравенстве (2.13) в силу формул (2.6) и (2.15) равна
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \|\Lambda^\alpha_{2n}\|_0=\|\Lambda^\alpha_{2n}I_{2n}\|_0=\|D^\alpha_R h_n\|_0, \\ D^\alpha_R h_n(t)=2\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k}k^\alpha\cos kt. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Таким образом, полином (2.15) является экстремальным в неравенстве (2.13) при $p=0$. Аналогичные рассуждения можно провести для сопряженной производной Рисса. В этом случае мы придем к полиному
$$
\begin{equation}
\widetilde{D}^\alpha_R h_n(t)=2\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k}k^\alpha\sin kt.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Поэтому справедливо Предложение 2. Для точных констант в неравенствах (1.11), (1.12) выполняются равенства Старшие коэффициенты многочленов (2.11) и (2.12) равны $\lambda_{2n}=n^\alpha$. Поэтому в силу формулы Йенсена (2.3) равенство $\|\Lambda_{2n}^\alpha\|_0=n^\alpha$ (или равенство $\|\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha\|_0=n^\alpha$) выполняется тогда и только тогда, когда все $2n$ нулей многочлена (2.11) (или многочлена (2.12)) лежат в замкнутом единичном круге $|z|\leqslant 1$. Поскольку $\Lambda_{2n}^\alpha(z)=z^{2n}\overline{\Lambda_{2n}^\alpha(1/\overline{z})}$ и $\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha$ обладает тем же свойством, это возможно лишь тогда, когда все нули $\Lambda_{2n}^\alpha$ (или $\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha$) лежат на единичной окружности. Но это равносильно тому, что все $2n$ нулей полинома $D^\alpha_R h_n$ (или полинома $\widetilde{D}^\alpha_R h_n$) лежат на периоде. Таким образом, справедливо такое утверждение. Предложение 3. Для пары параметров $n$, $\alpha$ неравенство (1.11) для производной Рисса в $L_0$ выполняется с константой $n^\alpha$ в том и только том случае, если все $2n$ нулей полинома (2.16) лежат на периоде. Аналогичное утверждение справедливо для сопряженной производной Рисса и полинома (2.17). В силу (1.8) из предложения 3 вытекает Следствие. Неравенство (1.9) (или (1.10)) выполняется с константой $n^\alpha$ при всех $0\leqslant p\leqslant\infty$ тогда и только тогда, когда все нули полинома (2.16) (или полинома (2.17)) лежат на периоде. Таким образом, задача сводится к изучению расположения нулей полиномов (2.16) и (2.17) или, что то же самое в силу формулы (2.1), нулей многочленов (2.11) и (2.12). Для этого будет важно исследовать многочлены (2.10)
$$
\begin{equation*}
Q_n^\alpha(z)=\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k} k^\alpha z^k,
\end{equation*}
\notag
$$
так как согласно формулам (2.11) и (2.12)
$$
\begin{equation}
D^\alpha_R h_n(t)=2\operatorname{Re} Q_n^\alpha(e^{it}), \qquad \widetilde{D}^\alpha_R h_n(t)=2\operatorname{Im} Q_n^\alpha(e^{it}).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
§ 3. Вспомогательные утвержденияФункция $g$ называется вполне монотонной на полуоси $(0,\infty)$, если она бесконечно дифференцируема и $(-1)^\nu g^{(\nu)}(x)\geqslant 0$ для всех $\nu=0,1,2,3,\dots$ и всех $x>0$. Согласно теореме Хаусдорфа–Бернштейна–Уиддера функция $g$ вполне монотонна тогда и только тогда, когда она представима в виде где $\mu$ – неотрицательная борелевская мера такая, что интеграл (3.1) сходится при любом $x>0$; при этом мера $\mu$ конечна тогда и только тогда, когда $g(0)<\infty$. Доказательство теоремы можно найти, например, в[21; гл. 5, § 5]. Примером вполне монотонной функций является функция $g(x)=1/{x^\beta}$, $\beta>0$; для этой функции имеет место представление
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{x^\beta} =\frac{1}{\Gamma(\beta)}\int_0^\infty e^{-tx} t^{\beta-1}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
которое следует из формулы для гамма-функции Следующее утверждение было доказано автором в работе [12]. Оно будет в дальнейшем играть важную роль, поэтому приведем здесь его полную формулировку. Лемма 1 (см. [12; лемма 1]). Пусть коэффициенты многочлена степени $n\in\mathbb N$ вещественные и для некоторого $a\in\mathbb N$ удовлетворяют $m$, $1\leqslant m\leqslant n-1$, условиям Здесь $g$ – вполне монотонная функция, являющаяся преобразованием Лапласа меры, носитель которой содержит не менее $n$ точек. Тогда многочлен $Q_n$ имеет не менее $m$ перемен знака на интервале $(-1,0)$. При $n\geqslant 1$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
S_n(\alpha)=\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} k^\alpha
\end{equation*}
\notag
$$
переменного $\alpha\geqslant 0$. Для этой функции справедливо следующее утверждение. Доказательство. Сначала докажем (3.3). Рассмотрим полином
$$
\begin{equation*}
h_n(t)=4^n \cos^{2n}\frac{t}{2}=\sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k} \cos kt.
\end{equation*}
\notag
$$
Для четных $r\in \mathbb{N}$ имеем Полином $h_n$ имеет $2n$-кратный нуль в точке $t=\pi$. Поэтому $h_n^{(2r)}(\pi)=0$ для $r=1,2,3,\dots,n-1$. Равенство (3.3) доказано.
Теперь докажем (3.4). Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\varphi_n(x)=\frac{C_{2n}^n}{2}+\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} e^{-k^2 x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что Для фиксированного $x>0$ воспользуемся функцией $\psi_x(y)=e^{-y^2/(4x)}/\sqrt{\pi x}$, $y\in(-\infty,\infty)$, преобразование Фурье которой есть ядро Гаусса–Вейерштрасса:
$$
\begin{equation*}
\widehat{\psi_x}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty \psi_x(y)e^{-iy\omega}\,dy= e^{-x\omega^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_n(x) &=\frac{1}{2}\sum_{k=-n}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} \widehat{\psi_x}(k) =\frac{1}{2}\sum_{k=-n}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k}\int_{-\infty}^\infty \psi_x(y)e^{-iky}\,dy \\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \psi_x(y) \biggl(\sum_{k=-n}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} e^{-iky}\biggr)\,dy =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \psi_x(y)h_n(\pi-y)\,dy>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым свойство (3.5) проверено.
Нас будет интересовать преобразование Меллина
$$
\begin{equation}
g_n(s)=(\mathcal{M}\varphi_n)(s)=\int_0^\infty x^{s-1}\varphi_n(x)\,dx
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
функции $\varphi_n$. Определим область, в которой интеграл в (3.6) задает аналитическую функцию. Для этого рассмотрим поведение $\varphi_n(x)$ при $x\to 0$ и $x\to\infty$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\varphi_n(0)=\frac{C_{2n}^n}{2}+\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} =\frac{1}{2}\sum_{k=-n}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k}=\frac{1}{2}(1-1)^{2n}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя равенства (3.3), заключаем, что $\varphi_n'(0)=\varphi_n''(0)=\dots= \varphi_n^{(n-1)}(0)=0$. Кроме того, $\lim_{x\to\infty}\varphi_n(x)=C_{2n}^n/2=\mathrm{const}>0$. Из этого вытекает, что при $-n<\sigma<0$ функция $x^{\sigma-1}\varphi_n(x)$ принадлежит $L(0,\infty)$. Отсюда следует, что функция (3.6) аналитична в полосе $-n<\operatorname{Re} s <0$; см., например, [22; теорема 1]).
Для дальнейшего будет важно, что Это вытекает из определения (3.6) функции $g_n$ и свойства (3.5).Отталкиваясь от функции (3.6), будем рассматривать функции $g_n^r(s)=(\mathcal{M}\varphi_n^{(r)})(s)$. Мы покажем, что при каждом $r=1,2,\dots,n$ функция $g_n^r(s)$ аналитична в полуплоскости $\operatorname{Re} s>-n+r$ и выражается через функцию (3.6) в полосе $-n+r<\operatorname{Re} s <r$. Для начала рассмотрим функцию $g_n^1$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_n^1(s) &=\int_0^\infty x^{s-1}\varphi_n'(x)\,dx =\int_0^\infty x^{s-1} \,d\varphi_n(x) \nonumber \\ &=x^{s-1}\varphi_n(x)\big|_0^\infty -(s-1)\int_0^\infty x^{s-2}\varphi_n(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
В силу того, что $\varphi_n'(x)$ ведет себя, как $O(x^{n-1})$ при $x\to 0$, и экспоненциально убывает при $x\to\infty$, интеграл слева в (3.8) существует и аналитичен при $-n+ 1<\operatorname{Re} s <\infty$. В полосе $-n+1<\operatorname{Re} s<1$ внеинтегральное слагаемое обращается в 0, а интеграл справа в (3.8) задает аналитическую функцию. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
g_n^1(s)=-(s-1) g_n(s-1), \qquad -n+1<\operatorname{Re} s<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что функции $g_n^r(s)$, $r=2,3,\dots,n$, аналитичны в полуплоскости $\operatorname{Re} s>-n+r$ и справедливы равенства
$$
\begin{equation}
g_n^r(s)=(-1)^r(s-r)(s-r+1)\cdots(s-1) g_n(s-r), \qquad -n+r<\operatorname{Re} s <r.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
В полуплоскости $\operatorname{Re} s>0$ функция $g_n^r$ может быть преобразована следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag g_n^r(s) &=\int_0^\infty x^{s-1} \varphi_n^{(r)}(x)\,dx =\int_0^\infty x^{s-1} \biggl(\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} k^{2r} (-1)^r e^{-k^2 x}\biggr)dx \\ &=(-1)^r\Gamma(s) \sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} k^{2r-2s}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Взяв $s\in(0,1)$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_n^r(s)=(-1)^r\Gamma(s) \sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} k^\alpha=(-1)^r\Gamma(s) S_n(\alpha), \\ \alpha=2r-2s=2r-\beta, \qquad \beta=2s\in(0,2). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при $0<\operatorname{Re} s<r$ функция $g_n^r(s)$ может быть задана как формулой (3.9), так и формулой (3.10). Исследуем знак $g_n^r(s)$ при $1\leqslant r\leqslant n$ и $s\in(0,1)$. Произведение $(s-r)(s-r+ 1)\dotsb(s-1)$ имеет знак $(-1)^r$. Функция $g_n(s-r)$ при таких $s$ положительна в силу (3.7). Равенство (3.4) доказано для $1\leqslant r\leqslant n$. Тем самым лемма 2 полностью доказана. Лемма 3. При $n\geqslant 2$ для $2n\,{-}\,4<\alpha<2n\,{-}\,2$ у многочленов $Q_n^\alpha$, определенных формулой (2.10): 1) все нули, кроме одного, лежат в открытом единичном круге; 2) еще есть вещественный нуль $x_0=x_0(n,\alpha)<-1$. Доказательство. Для доказательства утверждения 1) применим лемму 1 к многочлену $Q_n^\alpha$. Обозначим через $c_k$ коэффициенты многочлена $Q_n^\alpha$:
$$
\begin{equation*}
c_k =C_{2n}^{n+k}k^\alpha=C_{2n}^{n+k}k^{2n-4+\beta}, \qquad 0<\beta<2, \quad k=1,2,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем в этой лемме $a=2$ и вполне монотонную функцию $g(t)=1/t^\beta$. Нам нужно показать, что
$$
\begin{equation*}
S_\nu=\sum_{k=1}^n (-1)^k c_k g^{(2\nu)}(k)=0, \qquad \nu=0,1,\dots,n-3.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, в силу равенства (3.3) (см. лемму 2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\Gamma(\beta)}{\Gamma(\beta+2\nu)}S_\nu &=\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k}\frac{k^{2n-4+\beta}}{k^{2\nu+\beta}} \\ &=\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} k^{2(n-2-\nu)}=0, \qquad \nu=0,1,\dots,n-3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так что условия леммы 1 выполнены. Поэтому $n-2$ нулей многочлена $Q_n^\alpha$ лежат на $(-1,0)$. Еще один нуль многочлена $Q_n^\alpha$ равен $0$. Теперь нужно выяснить расположение оставшегося нуля.
Чтобы доказать утверждение 2) леммы, достаточно убедиться, что $Q_n^\alpha(-1)$ имеет подходящий знак: Нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation*}
Q_n^\alpha(-1)=\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} k^\alpha=S_n(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись равенством (3.4) леммы 2, получаем требуемое утверждение.
Тем самым лемма 3 доказана. Лемма 4. При $2n-4<\alpha<2n-2$ для полинома справедливы следующие утверждения: Доказательство. Поскольку
$$
\begin{equation*}
u_n(t)=2\operatorname{Re} Q_n^\alpha(e^{it})=2\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k} k^\alpha \cos kt,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
u_n(0)=2\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k} k^\alpha>0, \qquad u_n(\pi)=2\sum_{k=1}^n (-1)^k C_{2n}^{n+k} k^\alpha=2S_n(\alpha);
\end{equation*}
\notag
$$
как следствие утверждения (3.4) леммы 2 получаем $\operatorname{sign} u_n(\pi)=(-1)^{n-1}$.
Далее имеем
$$
\begin{equation*}
u_n''(t)=-2\sum_{k=1}^n C_{2n}^{n+k} k^{\alpha+2} \cos kt,
\end{equation*}
\notag
$$
и снова в силу (3.4) получаем $\operatorname{sign} u_n''(\pi)=(-1)^{n-1}$.
Лемма 4 доказана. § 4. Доказательство основных результатов4.1. Доказательство теоремы 1Докажем, что при $2n-4< \alpha< 2n- 2$ для производной Рисса выполняется неравенство $B_n(\alpha,R)_0>n^\alpha$. В силу формулы (2.20) $D^\alpha_R h_n(t)=2\operatorname{Re} Q_n^\alpha(e^{it})$. Обозначим этот полином через $u_n(t)= u_n^\alpha(t)$ и покажем, что у него не все нули лежат на периоде. В силу леммы 3 у многочлена $Q=Q_n^\alpha$ в единичном круге лежат ровно $n-1$ нулей и нет нулей на единичной окружности. Пусть точка $t$ пробегает от $-\pi$ до $\pi$, тогда полином $Q(e^{it})$ описывает кривую $Z(t)$. Согласно принципу аргумента эта кривая делает $n-1$ оборотов вокруг нуля, поэтому у полинома $u_n$, как минимум, $2n-2$ нулей лежат на периоде. По лемме 4
$$
\begin{equation}
u_n(0)>0, \qquad \operatorname{sign} u_n(\pi)=(-1)^{n-1}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Поэтому нули $u_n$ лежат на интервалах $(-\pi,0)$ и $(0,\pi)$. Поскольку полином $u_n$ четный, то на каждом из этих интервалов лежит одно и тоже число нулей $m\in\{n-1,n\}$. Пусть на интервале $(0,\pi)$ полином $u_n$ имеет $\ell$ различных нулей $0<t_1<\dots<t_\ell<\pi$ с кратностями $\kappa_1,\dots,\kappa_\ell$, $1\leqslant\ell\leqslant m$, $\kappa_1+\dots+\kappa_\ell=m$. Если нуль $t_1$ имеет четную кратность $\kappa_1$, то на интервале $(t_1,t_2)$ полином $u_n(t)$ имеет тот же знак, что и $u_n(0)$. Если же $\kappa_1$ нечетно, то на интервале $(t_1,t_2)$ полином $u_n(t)$ имеет знак, противоположный знаку $u_n(0)$. Таким образом, $\operatorname{sign} u_n(t)=(-1)^{\kappa_1} \operatorname{sign} u_n(0)$ при $t\in(t_1,t_2)$. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sign} u_n(t)=(-1)^{\kappa_1}\dotsb(-1)^{\kappa_j}\operatorname{sign} u_n(0), \qquad t\in(t_j,t_{j+1}), \quad j=1,\dots,\ell-1.
\end{equation*}
\notag
$$
При $t\in(t_\ell,\pi]$ имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{sign} u_n(t)=(-1)^{\kappa_1} \dotsb(-1)^{\kappa_\ell}\operatorname{sign} u_n(0)=(-1)^m \operatorname{sign} u_n(0), \qquad t\in(t_\ell,\pi].
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Но $m$ может быть равно либо $n-1$, либо $n$. Поэтому из (4.1) и (4.2) вытекает, что $m=n-1$. Так что у полинома $u_n$ ровно $2n-2$ нулей лежат на периоде. Пусть теперь $\alpha\in(2r,2r+2)$, $r=0,1,\dots,n-3$. Докажем, что у полинома $D^\alpha_R h_n$ не может быть $2n$ нулей на периоде. Если бы у полинома $D^\alpha_R h_n$ было $2n$ нулей, то у полинома $(D^\alpha_R h_n)^{(2n-4-2r)}=(-1)^{n-2-r} D^{2n-4+\alpha-2r}_R h_n$ было бы $2n$ нулей на периоде, а это не так в силу только что доказанного, так как $2n-4<2n-4+\alpha-2r<2n-2$. Теперь пусть $\alpha=0$. У полинома $D^0 h_n$ свободный член равен нулю, поэтому у него не менее двух нулей лежат на периоде. Но их не более двух, потому что его производная $(D^0 h_n(t))'=h_n'(t)$ положительна при $t\in(-\pi,0)$ и отрицательна при $t\in(0,\pi)$. Таким образом, при $\alpha\in[0,2)\cup(2,4)\cup(4,6)\cup\dots\cup(2n-4,2n-2)$ у полинома $D^\alpha_R h_n$ не больше $2n-2$ нулей на периоде. При всех оставшихся выполняется равенство В самом деле, для четных $\alpha\in\mathbb N$ производная Рисса с точностью до знака $(-1)^{\alpha/2}$ совпадает с классической производной порядка $\alpha$, и (4.3) следует из точного неравенства Бернштейна (1.14), доказанного В. В. Арестовым. Для $\alpha\geqslant 2n-2$ (4.3) вытекает из результата автора [12].Таким образом, доказано, что при $p=0$ для $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha\geqslant 0$ наилучшая константа (2.18) в неравенстве (1.11) имеет значение $B_n(\alpha,R)_0=n^\alpha$ в том и только том случае, если $\alpha$ удовлетворяет условию (1.17). Отсюда и из (1.8) вытекает теорема 1. 4.2. Доказательство теоремы 2Пусть $\alpha\in[0,1)\cup(1,3)\cup(3,5)\cup \dots\cup (2n- 5,2n-3)$. Докажем, что у полинома $\widetilde{D}^\alpha_R h_n$ не может быть $2n$ нулей на периоде. Если бы у полинома $\widetilde{D}^\alpha_R h_n$ было $2n$ нулей на периоде, то у полинома $(\widetilde{D}^\alpha_R h_n)'=D^{\alpha+1}_R h_n$ было бы $2n$ нулей на периоде, а это не так в силу доказанного в п. 4.1, поскольку $\alpha\,{+}\,1$ меньше $2n\,{-}\,2$ и не является натуральным четным числом. Таким образом, при $\alpha\in[0,1)\cup(1,3)\cup(3,5)\cup\dots\cup(2n-5,2n-3)$ у полинома $\widetilde{D}^\alpha_R h_n$ не больше $2n-2$ нулей на периоде. Покажем, что при выполняется равенствоДля нечетных $\alpha\in\mathbb N$ производная Рисса с точностью до знака $(-1)^{(\alpha-1)/2}$ совпадает с классической производной порядка $\alpha$, и (4.5) следует из (1.14). Для $\alpha\geqslant 2n-2$ (4.5) вытекает из [12]. Осталось разобрать случай $\alpha\in(2n-3,2n-2)$. Докажем, что при таких $\alpha$ у полинома $v_n=v_n^\alpha=\widetilde{D}^\alpha_R h_n$ все $2n$ нулей лежат на периоде. Ясно, что $v_n^\alpha=(u_n^{\alpha-1})'$, $\alpha\,{-}\,1\in(2n\,{-}\,4,2n\,{-}\,3)$. Полином $u_n^{\alpha-1}$ имеет $2n-2$ нулей $-\pi< \tau_1< \dots< \tau_{2n-2}<\pi$. Так что на отрезке $[\tau_1, \tau_{2n-2}]$ полином $v_n$ имеет $2n-3$ нулей и еще один нуль в точке $\pi$. Еще два нуля $v_n$ лежат на интервалах $(-\pi,\tau_1)$ и $(\tau_{2n-2},\pi)$ благодаря тому, что $u_n^{\alpha-1}(\pi)$ и $(u_n^{\alpha-1})''(\pi)$ в силу (3.12) оба положительны или оба отрицательны. Так что у полинома $v_n$ все $2n$ нулей лежат на периоде. Тем самым равенство (4.5) для значений (4.4) параметра $\alpha$ полностью доказано. Таким образом, доказано, что при $p=0$ для $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha\geqslant 0$ наилучшая константа (2.19) в неравенстве (1.12) имеет значение $\widetilde{B}_n(\alpha,R)_0=n^\alpha$ в том и только том случае, если $\alpha$ удовлетворяет условию (1.18). Отсюда и из (1.8) вытекает теорема 2. § 5. Экстремальные полиномыВ этом параграфе будут описаны множества экстремальных полиномов в неравенствах (1.9) и (1.10) для $\alpha$, заданных условиями (1.17) и (1.18) соответственно, при $0\leqslant p<\infty$. Для этого мы воспользуемся результатами работы В. В. Арестова [6], содержащими необходимые и достаточные условия того, что многочлен является экстремальным в неравенстве для оператора композиции Сегё при некоторых условиях на оператор. Следуя [6], обозначим через $\mathscr{P}_m^0,\mathscr{P}_m^\infty$ и $\mathscr{P}_m^1$ подмножества многочленов из $\mathscr{P}_m$ таких, что все их $m$ нулей лежат в круге $|z|\leqslant 1$, во множестве $|z|\geqslant 1$ и на окружности $|z|=1$ соответственно. Теорема B (В. В. Арестов; см. [6; теоремы 1, 2, 5]). Пусть $m\in\mathbb N$, $m\geqslant 2$, $\Lambda_m(z)=\sum_{k=0}^m C_m^k \gamma_k z^k\in\mathscr{P}_m^1$. Пусть, кроме того, многочлен степени $m-2$ тоже лежит в $\mathscr{P}_{m-2}^1$. Тогда для всех $0\leqslant p\leqslant\infty$ выполняется неравенство при $p=0$ оно обращается в равенство на многочленах $P_m\in\mathscr{P}_m^0\,{\cup}\,\mathscr{P}_m^\infty$ и только на них, а при $0<p<\infty$ оно обращается в равенство на многочленах $az^m+b$, $a,b\in\mathbb C$, и только на них. Поскольку для $\Lambda_m\in\mathscr{P}_m^1$ по формуле (2.3) справедливо равенство $\|\Lambda_m\|_0=|\gamma_m|$, где $\gamma_m$ – его старший коэффициент, то неравенство (5.1) содержится в теореме A. Теорема 3. Справедливы следующие утверждения. 1. При $p=0$ в неравенствах (1.11) и (1.12) для $\alpha$, заданных условиями (1.17) и (1.18) соответственно, экстремальными являются такие и только такие полиномы, которым по формуле (2.1) соответствуют многочлены $P_{2n}\in\mathscr{P}^0_{2n}\cup\mathscr{P}^\infty_{2n}$. 2. При каждом $p$, $ 0<p<\infty$, в неравенствах (1.9) и (1.10) для $\alpha$, заданных условиями (1.17) и (1.18) соответственно, экстремальными являются полиномы $c_{-n}e^{-int}+c_n e^{int}$, $c_{-n},c_n\in\mathbb C$, и только они. Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы хотим воспользоваться теоремой B. Проверим, что многочлены (2.11) и (2.12)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda_{2n}^\alpha(z)=\sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k}\lambda_k z^{n+k}, \qquad \lambda_k=|k|^\alpha, \\ \widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha(z)=\sum_{k=-n}^n C_{2n}^{n+k}\widetilde{\lambda}_k z^{n+k}, \qquad \widetilde{\lambda}_k=|k|^\alpha (\operatorname{sign} k), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\alpha$, заданных условиями (1.17) и (1.18) соответственно, обладают следующими свойствами:
Очевидно, что $(\Lambda_{2n}^\alpha)^\backprime=\Lambda_{2(n-1)}^\alpha$ и $\bigl(\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha\bigr)^\backprime=\widetilde{\Lambda}_{2(n-1)}^\alpha$. Если $\alpha\in\mathbb N$ четное, то производная Рисса порядка $\alpha$ с точностью до знака совпадает с классической производной: $D^\alpha_R f_n=\pm f_n^{(\alpha)}$, $f_n\in\mathscr{T}_n$. Поэтому для такого $\alpha$ при любом $m\in\mathbb N$ многочлен $\Lambda_{2m}^\alpha$ принадлежит $\mathscr{P}_{2m}^1$ (см. [6], [17]). Аналогично, при нечетных $\alpha\in\mathbb N$ многочлен $\widetilde{\Lambda}_{2m}^\alpha$ принадлежит $\mathscr{P}_{2m}^1$. Кроме того, в [12; лемма 3] доказано, что при любом $\alpha\geqslant 2n-2$ все нули полиномов $D^\alpha_R h_n$ и $\widetilde{D}^\alpha_R h_n$, а тем более полиномов $D^\alpha_R h_{n-1}$ и $\widetilde{D}^\alpha_R h_{n-1}$, лежат на периоде. Так что согласно формуле (2.1) многочлены $\Lambda_{2n}^\alpha$ и $\widetilde{\Lambda}_{2n}^\alpha$, а также $\Lambda_{2n-2}^\alpha$ и $\widetilde{\Lambda}_{2n-2}^\alpha$ принадлежат $\mathscr{P}_{2m}^1$. Тем самым свойства (5.2) и (5.3) доказаны. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Leo23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|