| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Построение инвариантных норм Ляпунова планарных динамических систем А. М. Мусаева Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9821e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Устойчивость систем с переключениями. Постановка задачиЛинейной динамической системой с переключениями называется линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot {\boldsymbol{x}} (t)=A(t)\boldsymbol{x} (t),\quad t \geqslant 0, \\ \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где матрица $A(\cdot)$ является управляемым параметром, принимающим произвольные значения из заданного компактного множества матриц $\mathscr A$, называемого множеством управления. Функция управления, или закон переключений (switching law), – это произвольная измеримая функция $ A (\cdot)\colon{\mathbb R}_+ \to \mathscr A$. Линейные системы с переключениями имеют множество приложений в теории устойчивости, оптимальном управлении и т.д. Также они применяются в прикладных задачах робототехники, электроники, химии, инженерии; см., например, [1]–[4]. Одним из центральных вопросов является исследование максимального роста траекторий системы и ее устойчивости. Система называется асимптотически устойчивой, если все еe траектории стремятся к нулю при $t\to \infty$. Другие типы устойчивости мы рассматривать не будем, поэтому слово “асимптотически” будем опускать. Устойчивость системы может быть выражена в терминах показателя Ляпунова. Показателем Ляпунова $\sigma (\mathscr A)$ системы называется инфимум чисел $\alpha\in \mathbb R$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|{\boldsymbol x}(t)\| \leqslant C e^{\alpha t} \|{\boldsymbol x_0}\|, \qquad t \in [0, +\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см. [5]), что система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда $\sigma (\mathscr A) < 0$. В случае стационарной системы, когда множество управления $\mathscr A$ состоит из одной матрицы $A$, имеем $\sigma(\mathscr A)=\max\{\operatorname{Re} \lambda_k\}$ (где $\max\{\operatorname{Re} \lambda_k\}$ – максимальная спектральная абсцисса, а $\lambda_k$ – собственное значение матрицы $A$). Система устойчива, когда матрица $A$ гурвицева, т.е. когда все собственные значения лежат в левой полуплоскости. В литературе представлено множество методов исследования устойчивости систем с произвольным множеством управления $\mathscr A$, среди них – метод общей квадратичной функции Ляпунова (CQLF), который дает достаточные условия устойчивости (см. [1], [2]), методы кусочно линейной и кусочно квадратичной функции Ляпунова (см. [6], [3]), метод экстремального политопа (см. [7]). Одним из наиболее эффективных методов является метод инвариантных норм Ляпунова. Инвариантная норма Ляпунова обладает следующим характеристическим свойством:
$$
\begin{equation*}
\|{\boldsymbol x}(t)\| \leqslant e^{ \sigma t} \|{\boldsymbol x_0}\|
\end{equation*}
\notag
$$
для любой траектории ${\boldsymbol x}(t)$ с началом в $\boldsymbol x_0$, и при этом для любой точки ${\boldsymbol x_0}$ существует траектория $\widetilde {\boldsymbol x}(t)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde {\boldsymbol x}(0)= {\boldsymbol x_0}, \qquad \|\widetilde {\boldsymbol x}(t) \|= e^{\sigma t} \|{\boldsymbol x_0}\|, \quad\text{где }\ \sigma=\sigma(\mathscr A).
\end{equation*}
\notag
$$
Н. Е. Барабанов (см. [8]) доказал, что для любой неприводимой системы с выпуклым компактным множеством управления $\mathscr A$ инвариантная норма Ляпунова существует. Однако ее построение – чрезвычайно сложная задача (см. подробнее [7]). Решение задачи устойчивости для произвольного семейства матриц автоматически решает задачу вычисления показателя Ляпунова. Действительно, мы можем сравнить показатель Ляпунова с любым заданным числом и, следовательно, вычислить этот показатель методом деления пополам. Таким образом, задача состоит в вычислении показателя Ляпунова и построении (по возможности явном) инвариантной нормы Ляпунова. 1.2. Планарные системы. Обзор известных результатовСлучаю планарных систем ($d=2$) посвящена обширная литература. В [9] было показано существование CQLF у планарных систем с двумя матрицами. В [10] был построен пример системы, имеющей единственную нестрого выпуклую норму Ляпунова; подробнее о таких системах написано в [11]. В [12], [13] исследовались планарные системы с нижними границами на интервалы переключения (dwell-time). При некоторых условиях на систему автору удалось получить точный критерий устойчивости в терминах собственных значений. В [14] был сделан подробный анализ вариационного подхода к устойчивости систем с переключениями и его связи с методом алгебры Ли, а также разобрано множество планарных систем. Для систем с двумя матрицами можно найти показатель Ляпунова в явном виде (см. статьи [15]–[18] и обзор [4]). В [17] утверждалось (без ссылок), что общеизвестен случай, когда все матрицы диагональны, а также был представлен метод вычисления показателя Ляпунова с произвольной точностью для случая двух матриц $2 \times 2$. Метод предполагал рассмотрение множества случаев. В [16] этот способ был упрощен, при этом он содержал некоторые ошибки, которые в дальнейшем исправлялись, в частности, в [15]. Основным инструментом при вычислении показателя Ляпунова был поиск “наихудшей” траектории. Функции Ляпунова в [15]–[18] не исследовались. В [17] изучались двумерные системы со случайными переключениями. Для систем с дискретным временем показатель Ляпунова называется совместным спектральным радиусом. Заметим, что для дискретных $(2 \times 2)$-систем, как ни странно, ситуация гораздо сложнее, и для них нет способа явного построения инвариантной нормы и эффективного метода вычисления совместного спектрального радиуса (см. [19]–[28]). Как правило, любая дискретизация приводит к упрощению, но в данном случае наблюдается обратная ситуация: для дискретных систем не известно никакое явное построение нормы Ляпунова даже в двумерном случае. Более того, скорее всего такого алгоритма не существует. В литературе есть отрицательные результаты об алгоритмической сложности данной задачи (см. [22], [29]). 1.3. Основные результатыВ настоящей работе представлен метод построения инвариантной функции Ляпунова в явном виде для произвольной двумерной системы с переключениями, заданной конечным числом матриц. Поскольку устойчивость, а также норма Ляпунова, не меняются при взятии выпуклой оболочки множества управления $\mathscr A$, все результаты переносятся на системы, заданные произвольным многогранником в пространстве $(d \times d)$-матриц. Заметим, что в данной задаче случай произвольного конечного числа матриц не является прямым обобщением случая двух матриц и требует новых методов и отдельной теоретической базы. Предлагаемый нами подход основан на использовании инвариантной нормы Ляпунова и ее свойствах (вместо поиска “наихудшей” траектории, как в работах [4], [15]–[17], [28]). Далее мы приводим алгоритм построения инвариантной нормы Ляпунова для произвольного конечного семейства $(2 \times 2)$-матриц. Наличие инвариантной нормы позволяет находить точную асимптотику траекторий наибольшего роста, а также получать точные оценки сверху на $\|\boldsymbol{x}(t)\|$ при любом $t \in \mathbb{R}_+$. Одним из главных результатов работы является классификация инвариантных норм для всех плоских систем с конечным множеством управления. В частности, показано, что для систем общего положения такая норма единственна. Неединственность инвариантной нормы может возникать только при наличии в множестве управления минимум двух “доминирующих” матриц (определение 2). Однако и в этом случае инвариантные нормы допускают полную классификацию. Заметим, что в отличие от систем с дискретным временем, где вопрос единственности решен в любой размерности (см. [30]), для систем с непрерывным временем это до сих пор является открытой проблемой, решенной лишь для нескольких узких классов (см. [11]). Оказывается, для двумерных систем существует исчерпывающее решение вопроса единственности, мы формулируем его в § 10. Работа построена следующим образом: формулировка задач приведена в § 2; в § 3 даны основные определения и сформулированы вспомогательные факты; в § 4 доказана кусочная аналитичность, необходимая для алгоритма, который будет описан позже; в § 5 содержатся вспомогательные результаты; § 6 посвящен системам из двух матриц; отдельно исследуются системы с доминирующими матрицами, когда инвариантные нормы задаются многоугольниками (§ 7); в §§ 8–10 представлены основные результаты (алгоритм построения инвариантной нормы и вычисления показателя Ляпунова, теоремы о единственности и структуре инвариантных норм, а также классификация инвариантных норм); в § 11 представлена численная реализация алгоритма, описанного в предыдущих параграфах. Основной упор сделан на явное построение инвариантных норм и на их классификацию, поскольку именно инвариантная норма дает точные оценки на асимптотическое поведение траектории наибольшего роста. В статье используются следующие обозначения: векторы выделены жирным шрифтом ($\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$ и т.д.), $\langle\boldsymbol{x}\rangle=\{ \lambda \boldsymbol{x},\lambda \in \mathbb{R} \} $ – линейная оболочка вектора, все нормы $\| \cdot\|$ по умолчанию евклидовы. § 2. Постановка задачиСледующие свойства показателей Ляпунова общеизвестны. Лемма 1. Для любого $\alpha \in \mathbb{R}$ выполнено свойство сдвига, а именно где семейство $\mathscr A + \alpha I$ определяется как $\{A + \alpha I \mid A \in \mathscr A \}$, $I$ – единичная матрица. Действительно, если $\boldsymbol{x}(t)$ – траектория, порожденная законом переключения $A(t)$, то замена семейства матриц $\mathscr A$ на семейство матриц $\mathscr A+\alpha I$ дает траекторию $\boldsymbol{y}(t)=e^{\alpha t}\boldsymbol{x}(t)$. Лемма 2. Для любого $i$ выполнено свойство мажорирования, т.е. где $\mathscr A=\{A_1, A_2,\dots,A_N \}$ . В самом деле, $\sigma(A_i)$ является показателем роста траектории, соответствующей закону переключения $A(t) \equiv A_i$. Следовательно, эта траектория не превосходит траекторию максимального роста для семейства $\mathscr A$. Максимальный рост траектории системы по порядку равен $ C(t) e^{\sigma t}$, где $\sigma= \sigma (\mathscr A)$ – показатель Ляпунова, а $C(t)$ – функция, растущая медленнее экспоненциальной. Для системы общего положения $C(t)=\mathrm{const}$. Однако известны случаи, когда $C(t)$ имеет степенной рост. Даже в простом случае, когда $C(t)$ – константа, ее оценка сверху является сложной задачей. А явное решение этой задачи может быть дано с помощью так называемой инвариантной нормы Ляпунова. Определение 1. Инвариантной нормой семейства $(d \times d)$-матриц называется норма $\| \cdot \|$ в $\mathbb{R}^d $ такая, что для всех траекторий $ \boldsymbol{x}(t)$ выполнено неравенство и для любого $x_0 \in \mathbb{R}^d$ существует траектория $ \boldsymbol{x}(t)$, для которой Таким образом, при переходе к инвариантной норме константа $C$ становится равной 1. Следовательно, явное построение инвариантной нормы Ляпунова дает точную оценку максимального асимптотического роста траектории. Единичный шар $B$ инвариантной нормы будем называть инвариантным телом системы $\mathscr A$, а границу инвариантного тела и соответственно единичную сферу инвариантной нормы будем обозначать $S=\partial B$. Не любая система имеет инвариантную норму, для ее существования необходима неприводимость системы. Семейство матриц $\mathscr A$ называется неприводимым, если у матриц этого семейства нет общего собственного подпространства. Как было доказано Н. Е. Барабановым в 1989 г., любая неприводимая система имеет инвариантную норму. Теорема A (см. [8]). Неприводимое компактное семейство матриц имеет инвариантную норму. Инвариантное тело $B$ имеет следующее геометрическое описание. Будем говорить, что для произвольной точки $X \in \partial B$ данный вектор $\boldsymbol{y}$ направлен внутрь тела, если существует $ t_0 > 0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{y}(t)=X + t_0 \boldsymbol{y} \in \operatorname{int} B;
\end{equation*}
\notag
$$
вектор $\boldsymbol{y}$ касается тела $B$ в точке $X$, если он не направлен внутрь тела и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(X + t \boldsymbol{y}, B)=o(t) \quad\text{при }\ t \to +0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема B (см. [8]). Центрально-симметричное относительно нуля выпуклое тело $B \subset \mathbb{R}^d$ является инвариантным для семейства $\mathscr A$ тогда и только тогда, когда для любой точки $\boldsymbol{x} \in \partial B$ среди векторов $A \boldsymbol{x}$, $A \in \mathscr A$, хотя бы один является касательным к $B$, а остальные либо касательные, либо направлены внутрь тела. Инвариантную норму редко удается получить в явном виде, как правило, известно только, что она существует. Тем не менее мы покажем, что для двумерных систем инвариантная норма всегда вычисляется в явном виде и все такие нормы классифицируются. Определение 2. Матрица $A \in \mathscr A $ называется доминирующей в семействе $\mathscr A$, если $\sigma(A)=\sigma(\mathscr {A})$ и среди собственных значений матрицы $A$ есть $ \sigma(\mathscr {A})$. Для заданного семейства $(2 \times 2)$-матриц $\mathscr A=\{ A_1, A_2,\dots, A_N\}$ мы рассматриваем три задачи. Напомним, что мы имеем дело с неприводимым семейством матриц $\mathscr A$. Если $\mathscr A$ приводимо, то инвариантной нормы может не существовать, при этом задачи 1 и 2 решаются элементарно. В самом деле, если $\boldsymbol{v}$ – общий собственный вектор матриц $A_i$, то выберем произвольный вектор $\boldsymbol{u}$, не коллинеарный $\boldsymbol{v}$. В базисе $\{ \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \}$ матрицы семейства $\mathscr A$ имеют верхнетреугольную форму:
$$
\begin{equation*}
A_i= \begin{pmatrix} a_i & c_i \\ 0 & b_i \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\sigma(\mathscr A)=\max \sigma(A_i)=\max\{a_i,b_i\} .
\end{equation*}
\notag
$$
Из решения задачи 1 с помощью метода деления пополам получим решение задачи 2. Далее сдвигаем наше семейство $\mathscr A \longrightarrow \mathscr A- \sigma I$ и для нового семейства, у которого $\sigma(\mathscr A)=0$, решаем задачу 3. Построение инвариантной нормы всегда можно свести к случаю $\sigma=0$. В соответствие любому семейству матриц $\mathscr A$ ставим инвариантное тело нормированной системы
$$
\begin{equation*}
\mathscr A - \sigma I=\{ A_1 - \sigma I, A_2 - \sigma I,\dots, A_N - \sigma I \}, \quad\text{где }\ \sigma=\sigma(\mathscr A).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы предъявим метод для того, чтобы подтвердить или опровергнуть неравенство $\sigma(\mathscr A)\leqslant 0$, после этого приближенное значение показателя Ляпунова можно найти стандартным бинарным поиском. Сначала рассмотрим семейство из двух матриц и построим инвариантную норму для этого случая. Затем перейдем к решению задач для произвольного конечного семейства. § 3. Основные понятия и определенияПостроение инвариантной нормы будет осуществляться геометрически с помощью нахождения еe единичной сферы в $\mathbb{R}^2$. В § 4 мы покажем, что единичная сфера является кусочно аналитической кривой. Нам понадобятся следующие обозначения. 1. Цветком $(\boldsymbol{a},\{ \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2,\dots, \boldsymbol{b}_n \})$ назовем фигуру в $\mathbb{R}^2$, составленную из ненулевого вектора $\boldsymbol{a}$ (стебля), выходящего из начала координат, и набора векторов $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2,\dots, \boldsymbol{b}_n$ (лепестков), отложенных от конца вектора $\boldsymbol{a}$. При этом предполагается, что ни один из лепестков не сонаправлен вектору $-\boldsymbol{a}$ (рис. 1). 2. Лепестки $\boldsymbol{b}_1$ и $\boldsymbol{b}_2$ лежат по разные стороны от стебля $\boldsymbol{a}$, если отрезок, соединяющий концы векторов $\boldsymbol{b}_1$ и $\boldsymbol{b}_2$, пересекает прямую $ \langle\boldsymbol{a}\rangle$. В противном случае лепестки $\boldsymbol{b}_1$ и $\boldsymbol{b}_2$ лежат по одну сторону от стебля $\boldsymbol{a}$ (рис. 2). Будем обозначать стебель $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OX}$, где точка $O$ – начало координат. 3. Центральный угол между лепестками $\boldsymbol{b}_1$ и $\boldsymbol{b}_2$, лежащими по разные стороны от стебля $\boldsymbol{a}$, – это тот из двух углов между векторами $\boldsymbol{b}_1$ и $\boldsymbol{b}_2$, выходящими из точки $X$, который содержит точку $O$. Заметим, что этот угол может быть больше $\pi$ (рис. 3). 4. Пусть дан цветок $(\boldsymbol{a},\{ \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2 \})$, в котором лепестки лежат по одну сторону от стебля $\boldsymbol{a}$. Скажем, что лепесток $\boldsymbol{b}_1$ выше лепестка $\boldsymbol{b}_2$, если угол между векторами $\boldsymbol{b}_1$ и $\boldsymbol{a}$ меньше угла между векторами $\boldsymbol{b}_2$ и $\boldsymbol{a}$ (рис. 4). 5. Зонтиком назовем цветок $(\boldsymbol{a},\{ \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2\})$ с двумя лепестками $\boldsymbol{b}_1$ и $\boldsymbol{b}_2$, лежащими по разные стороны от стебля $\boldsymbol{a}$ и образующими центральный угол меньше $\pi$. Рассмотрим систему с произвольным конечным семейством $(2 \times 2)$-матриц $\mathscr A=\{A_1,\dots,A_N\}$. Пусть система имеет инвариантное тело $B \subset \mathbb{R}^2$. 6. Зонтичное переключение – это зонтик, в котором касательные слева и справа к инвариантному телу различные. 7. Закон переключения $A(t)$ – это измеримая функция со множеством значений в $\mathscr A=\{ A_1,A_2,\dots,A_N\}$. Траектория, соответствующая закону переключения $A(t)$, является решением уравнения (1). 8. Матрица $A$ мажорирует матрицу $B$, если для любого вектора $\boldsymbol{x}$ в цветке $(\boldsymbol{x},\{ A\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{x} \})$ лепестки $A \boldsymbol{x}$ и $B \boldsymbol{x}$ лежат по одну сторону от стебля $\boldsymbol{x}$ и лепесток $A \boldsymbol{x}$ выше лепестка $B \boldsymbol{x}$. 9. Будем рассматривать такие $\boldsymbol{x}$, для которых существует $\lambda \in \mathbb{R} $, что выполняется $A_1 \boldsymbol{x}=\lambda A_2 \boldsymbol{x}$, т.е. $\lambda$ – корень уравнения $\operatorname{det}(A_1-\lambda A_2)=0$. Корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ назовем направляющими значениями для пары матриц $A_1$, $A_2$, а ядра – соответствующими направлениями. § 4. Аналитичность границы инвариантного телаВ этом параграфе докажем теорему о границе инвариантного тела. Затем в § 8, § 9 изложим алгоритм построения инвариантного тела, после чего в § 10 докажем теорему единственности. Теорема 1. Любое инвариантное тело системы (1) имеет кусочно аналитическую границу. Доказательство. В каждой точке $\boldsymbol{x}$ хотя бы один из векторов $A_i \boldsymbol{x}$, $i=1,\dots, N$, является касательным вектором к инвариантному телу (совпадает с касательной слева или справа в точке $\boldsymbol{x}$).
Точками первого типа назовем точки $\boldsymbol{x}$, где ровно один из векторов $A_i \boldsymbol{x}$, $i=1,\dots,N$, является касательным вектором к телу в точке $\boldsymbol{x}$. Множество всех таких точек обозначим через $M_1$. Остальные точки назовем точками второго типа и соответствующее множество обозначим через $M_2$. Заметим, что $M_1$ – открытое подмножество $\partial B$. Теперь покажем, что $M_2$ конечно. Пусть $\boldsymbol{x} \in M_2 $, тогда возможны два случая. $\bullet$ Хотя бы два вектора $A_i \boldsymbol{x}$, $A_j \boldsymbol{x}$, $i \neq j$, совпадают с касательной слева (справа), а значит, сами векторы коллинеарны, т.е. $\boldsymbol{x}$ является решением уравнения $A_i \boldsymbol{x}=\lambda A_j \boldsymbol{x}$, $i \neq j$, для некого $\lambda$. Всего таких точек конечное число, так как для их нахождения необходимо рассмотреть уравнения $A_i \boldsymbol{x}=\lambda A_j \boldsymbol{x}$, $i\neq j$, у каждого из которых не больше двух решений. Таких уравнений $C^2_N$. $\bullet$ Есть пара векторов $A_i \boldsymbol{x}$, $A_j \boldsymbol{x}$, $i \neq j$, таких, что $A_i \boldsymbol{x}$ совпадает с касательной слева, $A_j \boldsymbol{x}$, $i \neq j$, совпадает с касательной справа, а сами касательные слева и справа различны, т.е. имеется зонтичное переключение. Если для каждого из зонтичных переключений можно выбрать окрестность такую, что в ней больше нет других зонтичных переключений, то из компактности границы тела будет следовать то, что таких точек конечное число. Остается показать, что любое зонтичное переключение изолированно. В противном случае множество точек переключений имеет предельную точку $L$ (рис. 5). Пусть центральный угол между самыми высокими лепестками в точке $L$ равен $\pi >\alpha > 0$ (он не может равняться $\pi$, так как в этом случае $\sigma(\mathscr A)>0$ и инвариантного тела не существует). Так как в любой достаточно малой окрестности $L$ лежит бесконечно много зонтичных переключений и угол раствора меняется непрерывно, мы получаем, что сумма внешних углов данного инвариантного тела равна $\infty$. Как известно, сумма внешних углов выпуклого плоского множества не превышает $2 \pi$. Получили противоречие. Значит, $M_2$ – конечное множество. Вся граница тела разбивается на $M_1$ и $M_2$, где первое множество открыто, а второе конечно, т.е. вся граница тела разбивается на открытые дуги, каждая из которых задается кривой $x(t)$ – решением уравнения $\dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x} $, где $A \in \mathscr A$ – постоянная матрица. Теорема доказана. § 5. Вспомогательные результатыДоказав предложение о кусочной аналитичности, можно приступить к построению инвариантного тела. Граница тела состоит из конечного числа дуг, каждая из которых определяется уравнением $\dot{\boldsymbol{x}}=A \boldsymbol{x}$, где $A$ – какая-то матрица из $\mathscr A$. Задача построения сводится к поиску точек переключения. Все инвариантные тела могут быть построены таким образом. Построения выпуклого тела $B$ достаточно для вычисления инвариантной нормы. Она определяется функционалом Минковского. Здесь и далее будем предполагать, что набор не содержит нулевую матрицу и неприводим. Достаточным условием положительности $\sigma(\mathscr A)$ является существование бесконечно возрастающей траектории $\boldsymbol{x}(t)$. Следующая лемма дает более простое условие. Лемма 3. Пусть для некоторого вектора $\overrightarrow{OX}=\boldsymbol{x} \neq 0$ и пары матриц $A_1$, $A_2$ выполняется следующее: 1) лепестки $A_1 \boldsymbol{x}$ и $A_2 \boldsymbol{x}$ лежат по разные стороны от $\boldsymbol{x}$; 2) центральный угол между $A_1 \boldsymbol{x}$, $A_2 \boldsymbol{x}$ в точке $X$ не меньше $\pi$. Тогда $\sigma(\mathscr A) > 0$. Доказательство. Из условий леммы вытекает существование матрицы $A \in \operatorname{co}\{A_1,A_2\}$, для которой $\boldsymbol{x}$ – собственный вектор, соответствующий положительному собственному значению. Тогда траектория $\boldsymbol{x}(t)=e^{tA}\boldsymbol{x}_0$ бесконечно возрастает, следовательно, $\sigma(\mathscr A) > 0$.
Лемма доказана. Заметно упрощает перебор случаев нижеприведенная теорема. Так, если хотя бы одна пара матриц имеет отрицательное направляющее значение, заключаем, что $\sigma(\mathscr A) > 0$. Теорема 2. Для любого семейства матриц $\mathscr A$ наличие хотя бы одного отрицательного направляющего значения гарантирует, что $\sigma(\mathscr A) > 0$. Доказательство. Пусть для двух матриц $A_1, A_2 \in \mathscr A$ направляющие значения $\lambda_1$, $\lambda_2$ такие, что $\lambda_1 > \lambda_2$ и $\lambda_2 < 0 $. А векторы $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{h}$ такие, что выполняется где $h=\| \boldsymbol{h} \|$ достаточно мало, а лепестки $\boldsymbol{h}$, $\boldsymbol{x}$ лежат по одну сторону от стебля $ A_2 \boldsymbol{x}$ в цветке $(A_2 \boldsymbol{x} , \{\boldsymbol{h}, \boldsymbol{x} \})$ (иначе можно вместо вектора $\boldsymbol{h}$ взять противоположный вектор $- \boldsymbol{h}$). Тогда в зависимости от знака $\lambda_1$ имеем три случая.
1) При $\lambda_1 > 0 $ (рис. 6) центральный угол между лепестками $A_1 (\boldsymbol{h}+\boldsymbol{x})$, $A_2(\boldsymbol{h}+\boldsymbol{x})$ в точке $X$ больше $\pi$ и, следовательно, то же верно и в точке $X + \boldsymbol{h}$ при малых $\boldsymbol{h}$. 2) При $\lambda_1=0 $ (рис. 7) лепестки $A_1 (\boldsymbol{h}+\boldsymbol{x})=A_1 \boldsymbol{x}$, $A_2 (\boldsymbol{h}+\boldsymbol{x})$ образуют центральный угол больше $\pi$. 3) $\lambda_1 < 0 $ (рис. 8). Пусть без ограничения общности
$$
\begin{equation*}
\frac{\|A_1 \boldsymbol{h} \|}{\|A_1 \boldsymbol{x}\|}\geqslant\frac{\|A_2 \boldsymbol{h}\| }{\|A_2 \boldsymbol{x}\|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем $\|A_1 \boldsymbol{h} \|\geqslant{\|A_2 \boldsymbol{h}\| \|A_1 \boldsymbol{x}\|}/{\|A_2 \boldsymbol{x}\|}$. Тогда из подобия треугольников вновь получим, что центральный угол между лепестками $A_1 (\boldsymbol{h}+\boldsymbol{x})$, $A_2(\boldsymbol{h}+\boldsymbol{x})$ больше $\pi$. Теорема доказана. Примечательно, что направляющий вектор со значениями $\lambda_1 > 0$ в общем положении всегда является точкой переключения. Теорема 3. Если $\sigma({A_1, A_2})=0$ и для пары матриц $A_1$, $A_2$, вектора $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$ и числа $\lambda >0$ выполняется $A_1 \boldsymbol{x}=\lambda A_2 \boldsymbol{x}$ и проекции векторов $A_1 ^2 \boldsymbol{x}$ и $A_2 ^2 \boldsymbol{x}$ на прямую $l$, перпендикулярную вектору $A_1 \boldsymbol{x}$, не совпадают, то в точке $\boldsymbol{x}$ происходит переключение. Доказательство. Разложим операторы $e^{t A_1}$ и $e^{t A_2}$ в ряд Тейлора в точке $t=0$:
Необходимо сравнить направления векторов главных частей приращений Разделив на $t$ и воспользовавшись равенством $A_1 \boldsymbol{x}= \lambda A_2 \boldsymbol{x}$, получаем, что надо сравнить направления векторов $A_1^2 \boldsymbol{x}$ и $\lambda A_2^2\boldsymbol{x}$.Для простоты введем систему координат с центром $O$ и осями $O\boldsymbol{x}_1$, $O\boldsymbol{x}_2$, сонаправленными векторам $A_2 \boldsymbol{x}$ и $O \boldsymbol{x}$ соответственно (рис. 9). В этой системе оси перпендикулярны. Обозначим $ \| A_i \boldsymbol{x} \|=h_i$, $i=1,2$ (тогда векторы $h_2 A_1 \boldsymbol{x}$ и $h_1 A_2 \boldsymbol{x}$ имеют равную длину) и спроецируем векторы $t h_2 A_1 ^2 \boldsymbol{x}/{2}$ и $t h_1 A_2 ^2 \boldsymbol{x}/{2}$ на ось $O\boldsymbol{x}_2$. Это значит, что при достаточно маленьких $t$ вектор, дающий меньшую проекцию, образует меньший угол с осью $O \boldsymbol{x}_2$ независимо от знака $t$, что соответствует переключению в точке $X$. Теорема доказана. Лемма 4. Для любого неприводимого семейства $\mathscr A$ матриц выполняются неравенства где $\|A\|=\sqrt{\max\{AA^\top\}}$. Доказательство. Рассмотрим норму $\boldsymbol{x}(t)$:
Продифференцируем это тождество, подставив равенство из системы (1):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dx}\|\boldsymbol{x}(t)\|^2 &=2(\dot{\boldsymbol{x}}(t),\boldsymbol{x}(t))= 2(A(t)\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}(t)) \\ &\leqslant 2 \|A(t)\|(\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}(t)) \leqslant 2 \max \{\| A\| \mid A \in \mathscr A\} \cdot \|\boldsymbol{x}(t)\|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\|\boldsymbol{x}(t)\|^2 \leqslant 2 \max \{\| A\| \mid A \in \mathscr A \} \cdot \|\boldsymbol{x}(t)\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем обе части неравенства:
$$
\begin{equation*}
\|\boldsymbol{x}(t)\|^2 \leqslant e^{2 t\cdot \max \{\| A\| \mid A \in \mathscr A\}}, \qquad \|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant e^{t\cdot \max \{\| A\| \mid A \in \mathscr A \}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней выкладки и определения показателя Ляпунова следует левое неравенство леммы. Правое неравенство следует из леммы 2.
Лемма доказана. § 6. Построение инвариантной нормы системы из двух матрицАлгоритм построения инвариантной нормы будет состоять из двух вложенных циклов. Внешний будет осуществлять деление пополам отрезка, в котором содержится показатель Ляпунова, а внутренний цикл будет осуществлять сравнение $\sigma(\mathscr A)$ с $0$. В случае, когда внутренний цикл выдает $\sigma(\mathscr A)=0$, он выдает и инвариантную норму. Выбор $\delta_0$ обеспечивает лемма 4. Алгоритм 1 (построение инвариантной нормы семейства $\mathscr A=\{ A_1,A_2\}$). Входные данные: неприводимое семейство $(2 \times 2)$-матриц $\mathscr A=\{ A_1,A_2\}$. Результат: $\sigma(\mathscr A)$, инвариантная норма семейства $\mathscr A$. Нулевая итерация: положим $\mathscr A^{(0)}=\mathscr A$, $\Delta_0=[-\delta_0 , \delta_0 ]$. ВНЕШНИЙ ЦИКЛ: $k$-я итерация: имеется семейство $\mathscr A^{(k-1)}$, $\Delta_k=[-\delta_k,\delta_k]$. Применяем к семейству $\mathscr A^{(k-1)}$ внутренний цикл. ВНУТРЕННИЙ ЦИКЛ:
Результат внутреннего цикла: знак числа $\sigma(\mathscr A^{(k)})$. Если $\sigma(\mathscr A^{(k)})=0$, то выдается инвариантная норма. Внешний цикл завершается, когда при каком-то $k$ внутренний цикл завершает работу с результатом $\sigma(\mathscr A^{(k)})=0$. КОНЕЦ Мы привели алгоритм, который одновременно вычисляет показатель Ляпунова семейства $\mathscr A$ и строит инвариантное тело этого семейства. В силу леммы 2 $\sigma(\mathscr A)\geqslant \max\{\sigma(A_1), \sigma(A_2) \}$. Поэтому будем предполагать, что В противном случае $\sigma(\mathscr A) > 0$ и шаг алгоритма уже сделан.Для нахождения инвариантной нормы и вычисления показателя Ляпунова с помощью алгоритма 1 осталось предъявить описание внутреннего цикла, который для заданного семейства $\mathscr A$ определяет знак показателя Ляпунова $\sigma(\mathscr A)$ и в случае $\sigma(\mathscr A)=0$ строит инвариантную норму. Описание внутреннего цикла предъявлено ниже и состоит из 10 случаев. 6.1. Обе матрицы $A_1$ и $A_2$ вырожденныеПоскольку одно из собственных значений матрицы $A_1$ равно 0, в силу леммы 2 получаем оценку $\sigma(\mathscr A) \geqslant \sigma(A_1) \geqslant 0 $. Требуется различать случаи $\sigma(\mathscr A) > 0 $ и $\sigma(\mathscr A)=0 $ и в последнем найти инвариантное тело. Рассмотрим ядра матриц $\operatorname{Ker} A_1$ и $\operatorname{Ker} A_2$. Поскольку матрицы ненулевые, их ядра одномерные. Обозначим $\ell_i=\operatorname{Im} A_i$. Проведем две различные прямые $\ell_1$ и $\ell_1 '$, симметричные относительно нуля. Через точку пересечения $\operatorname{Ker} A_1$ и $\ell_1$ проведем прямую $\ell_2$. Если точка пересечения $\operatorname{Ker} A_2$ и $\ell_2$ лежит внутри полосы между проведенными симметричными прямыми, то в силу предположения (5) построенный параллелограмм и есть инвариантное тело (рис. 10). Предложение 1. Если точка пересечения $\operatorname{Ker} A_2$ и $\operatorname{Im} A_2$ лежит внутри полосы и при этом точка пересечения $\operatorname{Ker} A_1$ и $\operatorname{Im} A_2$ лежит вне полосы (или на границе полосы), то $\sigma(\mathscr A)=0$ и параллелограмм является инвариантным телом. В противном случае $\sigma(\mathscr A)$. Доказательство. При заданных условиях существует траектория, уходящая на бесконечность, откуда следует, что $\sigma(\mathscr A) > 0 $. Процесс построения бесконечно возрастающей траектории изображен на рис. 11, где выбранная траектория отмечена штриховой линией. Начиная движение с точки на $\operatorname{Ker} A_1$ по матрице $A_2$ и переключаясь на ядрах, дойдем снова до точки на $\operatorname{Ker} A_1$, но при этом более удаленной от центра, чем начальная точка.
Предложение доказано. 6.2. Хотя бы одна из матриц невырожденнаяНе ограничивая общность, считаем, что $ A_2$ невырожденная. Для определения знака показателя Ляпунова будем строить границу траектории из свойства экстремальности. Заметим, что переключаться с одной матрицы на другую в точке $X$ можно, только если векторы $A_1 \boldsymbol{x}$ и $A_2 \boldsymbol{x}$ сонаправлены, где $\boldsymbol{x}= \overrightarrow{OX}$. Действительно, если они лежат по одну сторону от вектора $\overrightarrow{OX}$ (рис. 12), то экстремальная траектория направлена вдоль самого высокого вектора из $A_1 \boldsymbol{x}, A_2 \boldsymbol{x}$. Если $A_1 \boldsymbol{x}, A_2 \boldsymbol{x} $ лежат по разные стороны от вектора $\overrightarrow{OX}$, то $X$ – вершина зонтика. Покажем, что этот случай невозможен. Лемма 5. Если $\sigma(\mathscr A)=0$ и экстремальная траектория проходит через вершину зонтика $\{ A_1, A_2 \}$, то в ней не может быть переключения. Доказательство. Рассмотрим зонтик $X$. В случае смены направления движения по границе тела через короткий промежуток времени траектория окажется внутри инвариантного тела, что противоречит выпуклости.
Лемма доказана. Итак, точек переключения нет среди вершин зонтиков, поскольку векторы $A_1 \boldsymbol{x}, A_2 \boldsymbol{x}$, направленные в разные стороны относительно $\boldsymbol{x}$, должны образовывать зонтик, а иначе $\sigma(\mathscr A) > 0 $ (теорема 2). Получаем Следствие 1. Если $\sigma(\mathscr A)=0$, то во всех точках переключения экстремальной траектории векторы $A_1 \boldsymbol{x}, A_2 \boldsymbol{x}$ сонаправлены. Будем рассматривать такие $\boldsymbol{x}$, для которых существует $\lambda \in \mathbb{R} $, что выполняется $A_1 \boldsymbol{x}=\lambda A_2 \boldsymbol{x}$, т.е. $\lambda$ – корень уравнения $\operatorname{det}(A_1-\lambda A_2)=0$. Корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ назовем направляющими значениями для пары матриц $A_1$, $A_2$. В зависимости от знака дискриминанта $D$ квадратного уравнения и знаков его корней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ получаем несколько случаев. 6.2.1. Случай $D < 0$Предложение 2. В случае, когда $D<0$, инвариантным телом для $\mathscr A$ является инвариантное тело одной из двух матриц. При $D<0$ нет направляющих значений и по следствию 1 нет точек переключения. Следствие 2. При $D<0$ имеем $\sigma(\mathscr A)=\max \{ \sigma(A_1), \sigma(A_2) \}$. Заметим, что обратное неверно. В случае $D>0$ также может выполняться равенство. 6.2.2. Случай $D=0$, $\lambda_1 > 0 $Как и в предыдущем случае, зонтичных переключений нет. Действительно, возможна только одна пара симметричных точек переключения. В то же время в силу симметрии на обеих полуплоскостях, разбитых соединяющей эти точки прямой, мажорирует одна и та же матрица. Таким образом, доказано Предложение 3. В случае, когда матрица $A_2$ невырожденная, $D=0$ и $\lambda_1 > 0 $, имеем $\sigma(\mathscr A)=\max\{\sigma(A_1), \sigma(A_2) \}$. 6.2.3. Случай $D=0$, $\lambda_1 < 0 $В силу теоремы 2 остается разобрать вариант пропорциональных матриц $A_1$, $A_2$. Но в таком случае $\sigma(A) \geqslant \max\{\sigma(A_1), \sigma(A_2)\}\,{\geqslant}\, 0 $, и последнее неравенство обращается в равенство только при $\sigma(A_1)\,{=} \sigma(A_2)= 0$. Действительно, инвариантное тело для любой из матриц является также инвариантным телом для $ \mathscr A$. Предложение 4. В случае $D=0$, $\lambda_1 < 0 $, если у обеих матриц показатель Ляпунова равен 0, то инвариантное тело любой из матриц является инвариантным телом для системы. 6.2.4. $A_2$ невырожденная, $ D=0$, $\lambda_1=0 $Поскольку $\lambda_1\,{=}\,0 $, имеем $\sigma(A_1)\,{=}\,0$, следовательно, $\sigma(\mathscr A) \geqslant 0$. Возьмем вектор $\boldsymbol{b}$, параллельный $ \ell_1$, тогда вектор $\boldsymbol{z}=A_2^{-1} \boldsymbol{b} $ лежит в ядре $\operatorname{Ker} A_1$; иначе получим противоречие с условием $D=0$. Рассмотрим траекторию, порожденную матрицей $-A_2$, выходящую из точки $\boldsymbol{x}$ и продолжающуюся до точки пересечения с прямой, соответствующей $\ell_1$. Центральный угол между $A_1 \boldsymbol{x}, A_2 \boldsymbol{x}$ в точке переключения не превосходит $\pi $, причем если точка пересечения не принадлежит $\operatorname{Ker} A_1$, то угол строго меньше $\pi$. В обоих случаях инвариантное тело получается из построенной половинки путем центрально-симметричного отражения (рис. 13). Покажем, что в данном случае экстремальная траектория соответствует стационарному закону переключения, т.е. порождена одной матрицей. Предложение 5. Переключения в экстремальных траекториях возможны только в направлениях, соответствующих положительным направляющим значениям. 6.2.5. $A_2$ невырожденная, $D > 0$, $\lambda_1 > 0 $, $\lambda_2<0 $В этом случае $\sigma(\mathscr A)>0$ (теорема 2). 6.2.6. $A_2$ невырожденная, $D > 0$, $\lambda_1 < 0 $, $\lambda_2<0 $В этом случае $\sigma(\mathscr A) > 0$ в силу теоремы 2. 6.2.7. $A_2$ невырожденная, $D > 0$, $\lambda_1 > 0 $, $\lambda_2 >0 $Как и в первых двух случаях, зонтичных переключений быть не может. В этом случае векторы направлены всегда в одну сторону относительно $x$, поэтому их всегда можно сравнить. Экстремальное управление находится однозначно. Действительно, на всех векторах, кроме $\boldsymbol d_1$, $\boldsymbol d_2$, определен высокий вектор, причем в дальнейшем мы покажем, что в точках, где векторы $A_1 \boldsymbol{x}$ и $A_2 \boldsymbol{x}$ параллельны, обязательно происходит переключение (рис. 14). 6.2.8. $A_2$ невырожденная, $D > 0$, $\lambda_1 > 0 $, $\lambda_2=0 $Для начала будем считать, что матрица $A_2$ не имеет действительных собственных значений. Покажем, что в этом случае $\sigma(\mathscr A)=0$, и построим инвариантное тело $B$. Рассмотрим прямые $MM'$, $AA'$, проходящие через точку $O$ и соответствующие направлениям векторов $\boldsymbol d_2 $, $\boldsymbol d_1$. Из точки $M$ по матрице $-A_2$ пустим траекторию уравнения $\dot{\boldsymbol{x}}=A \boldsymbol{x}$. Так как $\sigma(-A_2)=-\sigma(A_2)> 0$, то она пересечет прямую, параллельную $\ell_1$ и проходящую через точку $A'$, причем до пересечения c прямой $AA'$ в некоторой точке $C$. Центрально-симметрично отразив относительно $AA'$ дугу $MC$, получим инвариантное тело (рис. 15). Пусть теперь собственные значения матрицы $A_2$ – вещественные числа. Поскольку $ \operatorname{det} A_2 \neq 0$ и $\sigma(A_2) \leqslant 0$, собственные значения матрицы $A_2$ отрицательны. Соответствующие собственные векторы обозначим $\boldsymbol{u}_1$, $\boldsymbol{u}_2$. Векторы нормированы условием $\boldsymbol{u}_i \in \partial B$, $i=1,2$. Из теоремы 2 следует, что матрица $A_2$ доминирует до точки $M'$. Также отметим, что в векторах $\boldsymbol{u}_1$, $\boldsymbol{u}_2$ доминирует матрица $B_1$. Далее повторяем доказательство случая п. 6.2.7. 6.2.9. $A_2$ невырожденная, $D > 0$, $\lambda_1=0 $, $\lambda_2<0 $В силу теоремы 2 $\sigma(\mathscr A)\,{>}\, 0$. § 7. Семейства вырожденных матриц: инвариантные многоугольникиЕсли все матрицы семейства $\mathscr A$ вырождены и $\sigma (\mathscr A)=0$, то инвариантным телом будет многоугольник. Мы докажем это утверждение сразу для произвольного конечного множества $\mathscr A$. Начнем со следующей леммы. Лемма 6. Задано семейство матриц $\mathscr A=\{ A_1,A_2,\dots,A_N \}$, среди которых ненулевые $(2 \times 2)$-матрицы $A_{n+1},\dots,A_N$ являются вырожденными. Если $\sigma(\mathscr A)=0$, то для каждого $i>n$ среди точек касания инвариантного тела $B$ с $\operatorname{Im}\{A_i\}$ есть точка ядра $ \operatorname{Ker}{A_i}$. Доказательство. Допустим противное: существует $i>n$ такое, что $\ell_i$ пересекает $\operatorname{Im}\{A_i\}$ в точке ядра $\operatorname{Ker} {A_i}$. Тогда найдется точка $\boldsymbol{x}$ на границе инвариантного тела такая, что вектор $A_i\boldsymbol{x}$ не направлен внутрь тела (рис. 16). Это противоречит свойству инвариантного тела.
Лемма доказана. Пусть все матрицы в рассматриваемом семействе $\mathscr A=\{ A_1,A_2,\dots,A_N\}$ вырожденные. Каждая из матриц “включается” около своего ядра (лемма 6) и только там (в силу выпуклости инвариантного тела). Тогда, если все матрицы семейства $\mathscr A$ вырожденные, инвариантное тело является многоугольником. Вновь пользуясь леммой 6, заключаем, что для построения многоугольника достаточно знать для каждой матрицы $A_i$, на каком расстоянии между точкой $x_i$, лежащей на $\operatorname{Ker} A_i$, и точкой $O$ расположена прямая $\ell_i$. Длины отрезков, которые прямая $\ell_i$ высекает на прямых $\operatorname{Ker} A_{i-1}$ и $\operatorname{Ker} A_{i+1}$, обозначим $a_i x_i$ и $b_i x_i$ соответственно, где $a_i$, $b_i$ – коэффициенты (рис. 17). Для краткости будем использовать тот же символ $x_i$ для обозначения длины вектора $\boldsymbol{x}_i$. Рассмотрим систему
$$
\begin{equation}
\prod_{j=1}^N b_j \geqslant 1, \qquad \prod_{j=1}^N a_j\geqslant 1, \qquad b_i a_{i+1} \geqslant 1, \quad i=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Теорема 4. Если все матрицы семейства $\mathscr A=\{ A_1,A_2,\dots,A_N \}$ вырожденные, то $\sigma(\mathscr A)=0$ тогда и только тогда, когда система (1) имеет решение. В этом случае любое инвариантное тело системы (1) является симметричным $2N$-угольником со сторонами, параллельными $\ell_i$. Если система не имеет решения, то $\sigma(\mathscr A) > 0$. Доказательство. На длины $x_{i-1}$ и $x_{i+1}$ накладываются условия $x_{i-1} \leqslant a_i x_i$ и $x_{i+1} \leqslant b_i x_i$, которые записываются в виде системы следующим образом (считаем, что $x_{N+1}=x_{1}$):
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} a_i x_i \geqslant x_{i-1}, \\ b_i x_i \geqslant x_{i+1}, \end{cases} \quad i=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Сдвинем нумерацию во второй строке: Отсюда получаем
Положим $S_i={x_{i+1}}/{x_i}$. Тогда $S_1 S_2\dotsb S_N=1$. Ясно, что нахождение величин $S_1, S_2,\dots,S_N$ равносильно поиску набора значений $x_1,\dots,x_N$ с точностью до умножения на скаляр. Введем обозначения: $a_{N+1}=a_1$ и $b_{N+1}=b_1$. Лемма 7. Для существования решения системы (3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства: 1) $\prod_{j=1}^N b_j \geqslant 1$; 2) $\prod_{j=1}^N a_j \geqslant 1$; 3) $b_i a_{i+1} \geqslant 1$, $i=1,\dots,N$. Доказательство. Необходимость условия 3) следует из неравенств (8) Необходимость условий 1) и 2) следует из произведения неравенств (8) по всем $i=1,\dots,N$
Осталось показать достаточность условий 1)–3). Рассмотрим функцию $f(\alpha,x,y)=x^{\alpha}y^{1-\alpha}$. При $\alpha \in [0,1]$ и действительных $a,b > 0$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\min(x,y)\leqslant f(\alpha,x,y) \leqslant \max(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, зафиксируем значения $x$, $y$. Без ограничения общности предположим, что $x \leqslant y$. Тогда
$$
\begin{equation*}
f(\alpha,x,y)=x^{\alpha}y^{1-\alpha}=\biggl(\frac{x}{y}\biggr)^{\alpha} y .
\end{equation*}
\notag
$$
Так как ${x}/{y}\leqslant 1$, то выполняется
$$
\begin{equation*}
x=f(1,x,y) \leqslant f(\alpha,x,y) \leqslant f(0,x,y)=y
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\alpha \in [0,1]$.
В силу непрерывности по переменной $\alpha$ функция $f(\alpha,x,y)$ принимает все значения на отрезке $[x,y]$. Пусть
$$
\begin{equation*}
A=\prod_{j=1}^N a_j \geqslant 1, \qquad B=\prod_{j=1}^N b_j \geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
а $\alpha_0$ такое, что $f(\alpha_0,{1}/{A},B)=1 $. Тогда в качестве $S_i$ возьмем $f(\alpha_0,{1}/{a_{i+1}},b_i)$. Очевидно, что $S_i$ – решение системы (8).
Лемма доказана. Решение, описанное в лемме 7, не учитывает случай, когда существует какое-то $a_i$ (или $b_i$), равное $\infty$ (прямые параллельны или не пересекаются в соответствующем секторе). Чтобы найти конструктивное решение такого неравенства, вместо $a_i=\infty$ возьмем такое достаточно большое $a_i$, чтобы все неравенства 1)–3) выполнялись. Нетрудно заметить, что найденное решение является решением и исходной задачи, где $a_i=\infty$. Теорема 4 доказана. Если система имеет решение, то любой инвариантный многоугольник системы (1) строится по приведенному алгоритму, и обратно, каждое решение порождает инвариантный многоугольник. § 8. Построение инвариантной нормы для произвольного числа матрицАлгоритм построения инвариантной нормы будет в точности повторять алгоритм для $N=2$, за исключением нескольких деталей. Выбор $\delta_0$ по-прежнему обеспечивается леммой 4. Алгоритм 2 (построение инвариантной нормы семейства $\mathscr A=\{ A_1,A_2, \dots, A_N \}$). Входные данные: неприводимое семейство $(2 \times 2)$-матриц $\mathscr A=\{ A_1,A_2, \dots,A_N \}$. Результат: $\sigma(\mathscr A)$, инвариантная норма семейства $\mathscr A$. Нулевая итерация: положим $\mathscr A^{(0)}=\mathscr A$, $\Delta_0=[-\delta_0 , \delta_0 ]$. ВНЕШНИЙ ЦИКЛ: $k$-я итерация: имеется семейство $\mathscr A^{(k-1)}$, $\Delta_k=[-\delta_k,\delta_k]$. Применяем к семейству $\mathscr A^{(k-1)}$ внутренний цикл. ВНУТРЕННИЙ ЦИКЛ:
Результат внутреннего цикла: знак числа $\sigma(\mathscr A^{(k)})$. Если $\sigma(\mathscr A^{(k)})=0$, то выдается инвариантная норма. Внешний цикл завершается, когда при каком-то $k$ внутренний цикл завершает работу с результатом $\sigma(\mathscr A^{(k)})=0$. КОНЕЦ Для нахождения инвариантной нормы и вычисления показателя Ляпунова с помощью алгоритма 2 осталось предъявить описание внутреннего цикла. Внутренний цикл, как и в алгоритме 1, определяет знак показателя Ляпунова $\sigma(\mathscr A)$ и в случае $\sigma(\mathscr A)=0$ строит инвариантную норму. В описании внутреннего цикла есть два случая. В первом случае знак $\sigma(\mathscr A)$ легко определяется из условий. Во втором случае для его определения нужно осуществить процесс построения инвариантной нормы. Начнем с первого случая. (Второй случай будет изложен в § 9.) Внутренний цикл (случай 1). Даны $\mathscr A=\{ A_1,A_2,\dots,A_N\}$. Если среди матриц $A_j$ есть вырожденные, то поставим их в конец списка: $A_1,A_2,\dots,A_n$ невырожденные, $A_{j}$, $j \geqslant n+1$, вырожденные, $n+m=N$. Как и в случае $N=2$, предполагаем, что $\sigma(A_j) \leqslant 0$, $j=1,\dots,N$, поскольку в противном случае $\sigma > 0$. Для каждой пары матриц $ \mathscr A$ найдем направляющие значения и возможные точки переключения. Отметим некоторые свойства. 1. Если среди $n+m$ матриц есть пара хотя бы с одним отрицательным направляющим значением, то в силу теоремы 2 $\sigma(\mathscr A)> 0$. 2. Если направляющие значения во всех парах $A_i$, $A_j$, $i \neq j $, положительны, то в каждом направляющем векторе можно однозначно определить наличие переключения и результат переключения (т.е. определить, на какую матрицу произошло переключение). Следовательно, экстремальная траектория строится однозначно. Таким образом, случай $n=N$, когда вырожденных матриц нет, повторяет п. 6.2.7. 3. Отдельный случай $n=0$. Учитывая данные свойства 1–3, можем считать, что все направляющие значения неотрицательны, причем среди них хотя бы одно положительное и хотя бы одно равное нулю. Последнее условие равносильно существованию вырожденной матрицы. 4. Будем считать, что в семействе $ \mathscr A=\{ A_1,A_2,\dots,A_N\}$ нет пропорциональных матриц. Отрицательный коэффициент подобия даст отрицательное направляющее значение, а значит, $\sigma(\mathscr A) > 0$ (теорема 2). В случае положительного коэффициента одну из матриц можно убрать из семейства без изменений (после сдвига эту матрицу придется вернуть). Случай зонтичного переключения (см. определение в конце § 3). При $N=2$ не допускается образование зонтичных переключений из-за того, что начальная точка только одна, а движение безостановочное. В случае $N \geqslant 3$ в каждой точке $\boldsymbol{x}$ рассматриваются наборы лепестков $A_i \boldsymbol{x}$ по одну и по другую сторону от стебля $\boldsymbol{x}$, в каждом наборе выделяется самый высокий вектор. Зонтичное переключение возможно при наличии вырожденных матриц. § 9. Внутренний цикл алгоритма 2: построение инвариантной нормы для $N$ матрицВнутренний цикл (случай $2$). Пусть $B_i$ – ядро вырожденной матрицы $A_i$. Без ограничения общности будем предполагать, что они расположены согласно нумерации матриц. Проведем две различные прямые, симметричные относительно центра и параллельные $\operatorname{Im} A_1$. Согласно лемме 6 инвариантная функция содержит по точке каждого из $B_1,B_2,\dots,B_m$. Значит, максимальная траектория должна содержать отрезок на $\operatorname{Im} A_1$ (возможно, вырожденный в точку). В точке переключения, соответствующей $A_1$ и $\overline{A^+}(t)$, траектория сойдет на режим $\overline{A^+}(t)$ и дойдет до $B_2$, если не пересеклась раннее с $B_2$. Если же пересечение с $B_2$ произошло раньше, то весь отрезок, соответствующий $\operatorname{Im} A_1$ между $B_1$ и $B_2$, содержится в максимальной траектории. Действительно, это значит, что на всем участке между ядрами мажорирует матрица $A_1$, а значит, и переключаться на $A^+$ не надо. В точке траектории, лежащей на $B_2$, имеем две возможности вхождения относительно $\operatorname{Im} A_2$: со стороны центра и по другую сторону. В первом случае переключаемся на матрицу $B_2$. Во втором случае получаем бесконечно возрастающую траекторию (рис. 18), что сразу дает $\sigma{(\mathscr A)} > 0 $. Аналогично, пройдем по отрицательному набору от $B_1$ до $B_m$. А теперь повторим шаги из алгоритма для $n$ вырожденных матриц, который описан в § 7. Для построения тела достаточно знать для каждой матрицы $A_i$, на каком расстоянии $x_i$ от $O$ по $B_i$ расположена точка инвариантного тела. Длины отрезков, которые объединение положительной и отрицательной траекторий высекает на прямых $ B_{i-1}$ и $B_{i+1}$, обозначим $a_i x_i$ и $b_i x_i$ соответственно (рис. 19). Получаем следующую систему:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} a_i x_i \geqslant x_{i-1}, \\ b_i x_i \geqslant x_{i+1}, \end{cases} \quad i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Сдвинем нумерацию во второй строке:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} a_{i+1} x_{i+1} \geqslant x_i, \\ b_i x_i \geqslant x_{i-1}, \end{cases} \quad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{a_{i+1}} \leqslant \frac{x_{i+1}}{x_i} \leqslant b_i, \qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Пусть $S_i={x_{i+1}}/{x_i}$. Тогда $S_1 S_2\dotsb S_n=1$. Найденные $S_1, S_2,\dots,S_n$ будут однозначно определять $x_1,\dots,x_n$. Лемма 8. Для существования решения системы (3) необходимо и достаточно, чтобы существовало решение системы Доказательство данного утверждения повторяет доказательство леммы 7. Следствие 3. В случае, когда в системе ровно одна доминирующая матрица, можно рассматривать $x_1$ и $x_2$ как длины расстояний от $O$ по $B_1$ и $-B_1$ соответственно. Тогда (11) равносильно тому, что $a_1, b_1 \geqslant 0$. Также можно провести процесс построения инвариантного тела Ляпунова аналогично п. 6.2.8. Таким образом, доказана Теорема 5. Если матрицы системы $\mathscr A$ удовлетворяют условиям (11), то $\sigma(\mathscr A)=0$ тогда и только тогда, когда система (6) имеет решение. В этом случае любое инвариантное тело системы (6) строится по предъявленному алгоритму 2. Если система не имеет решения, то $\sigma(\mathscr A) > 0$. Разобраны всевозможные случаи внутреннего цикла. В каждом из случаев за конечное время определяется знак $\sigma(\mathscr A)$ и в случае $\sigma(\mathscr A)=0$ строится инвариантное тело тоже за конечное время. Таким образом, доказана Теорема 6. Для любого семейства матриц алгоритм 2 за конечное время определяет, какое из неравенств верно, $\sigma(\mathscr A) > 0$ или $\sigma(\mathscr A)\leqslant 0$. В случае $\sigma(\mathscr A)=0$ алгоритм строит инвариантную норму. На рис. 20 проиллюстрирована работа алгоритма 2. § 10. Классификация инвариантных норм ЛяпуноваПредставленный в § 8, § 9 алгоритм построения инвариантных норм Ляпунова фактически дает полную классификацию таких норм. Если в рассматриваемой системе присутствует хотя бы одна вырожденная матрица и $\sigma(\mathscr A)=0$, то инвариантная норма $\mathscr A$ не единственная. Единственность зависит от наличия доминирующих матриц. Напомним, что $A_i$ называется доминирующей, если $\sigma(A_i)= \sigma(\mathscr A) $ и $\sigma(\mathscr A)$ – собственное значение матрицы $A_i$. Напомним также, что семейство матриц $\mathscr A$ неприводимо. Теорема 7. Все инвариантные нормы неприводимого конечного семейства получаются с помощью алгоритма 2. Доказательство. Возьмем произвольную инвариантную норму. Пусть $G$ – ее единичная сфера. Согласно теореме 1 инвариантное тело имеет кусочно аналитическую границу. Следовательно, существует только конечное число точек переключения. Возьмем произвольную точку переключения $X_0$, лежащую на границе $G$. Начнем реализацию алгоритма 2. Если среди матриц $ \{ A_1,A_2,\dots,A_N \}$ нет вырожденной, то согласно алгоритму выбор матрицы $A(t)$ в любой точке $\boldsymbol{x}(t) \in \partial G$ однозначен. Следовательно, алгоритм 2 построит в точности тело $G$. Таким образом, теорема доказана, когда среди матриц семейства $\mathscr A$ нет вырожденных. Если в семействе $\mathscr A$ есть вырожденные матрицы, то для доказательства теоремы достаточно показать, что между двумя ядрами не может быть более одного зонтичного переключения. В противном случае существует два зонтичных переключения, между которыми нет ядер. Пустим из каждого из этих зонтичных переключений экстремальные траектории в обе стороны. Эти траектории содержат границу тела $G$, заключенную между этими зонтичными переключениями, при этом траектории должны встретиться в какой-то точке на границе. В этой точке снова будет зонтичное переключение. Таким образом, между любой парой зонтичных переключений, между которыми нет ядер, содержится еще хотя бы одно зонтичное переключение. Следовательно, переключений должно быть бесконечно много, что противоречит теореме 1, в которой было доказано, что зонтичных переключений может быть только конечное число. Итак, между двумя ядрами может быть не более одного зонтичного переключения. Для каждого зонтичного переключения однозначно строятся траектории в обоих направлениях до пересечений с ядрами. Обозначим через $x_i$ расстояния от начала координат до точек пересечения границы инвариантного тела $G$ с ядрами. Согласно лемме 8 все $x_i$ удовлетворяют системе неравенств (10). С другой стороны, для любых чисел $x_i$, удовлетворяющих системе (10), алгоритм строит соответствующее инвариантное тело, которое в данном случае будет совпадать с телом $G$.
Теорема доказана. Теперь переходим к вопросу единственности инвариантного тела для заданной системы $\mathscr A$. Единственность выполнена не всегда, как мы видели в п. 6.1: инвариантный параллелограмм был не единственным. В этом примере система состояла из двух доминирующих матриц. Оказывается, если система с произвольным числом матриц имеет не более одной доминирующей, то единственность имеет место. Полный ответ на вопрос о единственности дает следующая теорема. Теорема 8. Если система содержит не более одной доминирующей матрицы, то инвариантное тело единственное. Если система содержит по крайней мере две доминирующие матрицы, то для единственности инвариантного тела необходимо и достаточно выполнение хотя бы одного из трех следующих условий: 1) неравенство $\prod_{j=1}^n b_j \geqslant 1$ в лемме 8 обращается в равенство; 2) неравенство $\prod_{j=1}^n a_j \geqslant 1$ в лемме 8 обращается в равенство; 3) все неравенства $b_i a_{i+1} \geqslant 1$, $i=1,\dots,n$, в лемме 8 (возможно, кроме одного) обращаются в равенства. Доказательство. Считаем, что после соответствующего сдвига все доминирующие матрицы стали вырожденными. Пусть в системе нет доминирующих матриц. В этом случае построение инвариантного тела осуществляется в одном направлении обхода выбором самого высокого вектора $\boldsymbol x(t)$ в качестве касательной к телу. Отметим, что не может быть двух инвариантных тел одной системы, соответствующих двум разным направлениям (рис. 21). Действительно, в противном случае найдется точка $X$, в которой центральный угол между какими-то лепестками $A_i \boldsymbol{x}$ и $A_j \boldsymbol{x}$ больше $\pi$, а значит, $\sigma(\mathscr A) > 0$.
Таким образом, если нет доминирующих матриц, то инвариантное тело единственное. Если в системе есть доминирующие матрицы, то согласно лемме 8 каждое решение $x_i$, $i=1,\dots,n$, системы (11) порождает свое инвариантное тело. Случай, когда в системе ровно одна доминирующая матрица, можно свести к следствию 3, процесс построения инвариантной нормы, аналогичный п. 6.2.8, однозначно определяет траекторию. Если хотя бы одно из неравенств в п. 1) или п. 2) обращается в равенство, то система (11) имеет единственное решение $x_i$, $i=1,\dots,n$, с точностью до умножения на скаляр. Следовательно, инвариантное тело единственное. Действительно, пусть без ограничения общности $\prod_{j=1}^n b_j=1$. Перемножив все неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{1}{a_{i+1}} \leqslant \frac{x_{i+1}}{x_i} \leqslant b_i, \qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{12}
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\prod_{j=1}^n \frac{1}{a_j} \leqslant 1 \leqslant \prod_{j=1}^n b_j.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу $\prod_{j=1}^n b_j=1$ все неравенства (12) должны обращаться в равенства – получаем единственное решение системы. Пусть теперь все неравенства в п. 3) (возможно, кроме одного) обращаются в равенства. Тогда все $S_i={x_{i+1}}/{x_i}$ (возможно, кроме одного) определены однозначно. Последний $S_i$ будет тоже определен однозначно, так как все $S_i$ в произведении должны давать 1. Теорема 8 доказана. Замечание 1. В работе Я. Читура, М. Гайе и П. Масон [10] представлен пример системы из двух матриц, у которой имеется единственное инвариантное тело, и при этом оно не является строго выпуклым. Более подробно этот и другие примеры разобраны в работе Я. Мориса [11]. Алгоритм 2 дает целую серию подобных примеров. Замечание 2. Все построения инвариантных тел и вычисления показателей Ляпунова мы ведем в предположении, что у матриц нет общего собственного подпространства. В случае двух вырожденных матриц это означает, что обе матрицы имеют различные ядра. Но если имеется три и более матриц, то, вообще говоря, некоторые пары вырожденных матриц могут иметь общие ядра (рис. 22). В таком случае рассматриваем самые высокие лепестки, подходящие справа и слева к ядру, и их объединение называем образом новой вырожденной матрицы, которую будем рассматривать вместо изначальных. Заметим, что алгоритм 2 все так же работает. § 11. Численные результаты Примеры 1. Для системы из трех матриц $\mathscr A=\{A_1, A_2, A_3\}$ имеем Следующий пример взят из статьи [18]. Примеры 2. Из пяти матриц только четыре “принимают участие” в построении инвариантного тела, т.е. порождают дуги на его границе (рис. 24). Тело выглядит как эллипсоид, но на самом деле таковым не является, поскольку содержит 10 точек переключений. Система состоит из матриц БлагодарностиАвтор выражает признательность двум анонимным рецензентам за множество ценных замечаний и комментариев. Автор также выражает глубокую благодарность профессору В. Ю. Протасову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mus23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|