| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О задаче Зарембы для А. Г. Чечкинаab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9820e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВопрос о повышенной суммируемости градиента решений эллиптических уравнений является классическим и восходит к работе [1], в которой рассмотрен случай линейных дивергентных равномерно эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми коэффициентами на плоскости. Позже в многомерном случае для уравнений такого же вида повышенная суммируемость градиента решения задачи Дирихле в области с достаточно регулярной границей была установлена в [2]. После этой работы оценки повышенной суммируемости градиента решений принято называть оценками типа Мейерса. Оценка типа Мейерса решения задачи Дирихле в области с липшицевой границей для уравнения $p$-Лапласа с переменным показателем $p$, обладающим логарифмическим модулем непрерывности, впервые получена в [3]. Позже в работах [4] и [5] этот результат был усилен и распространен на системы эллиптических уравнений с переменным показателем суммируемости. Отметим, что в статье [3] стимулом изучения оценок Мейерса явилась задача о термисторе, дающая совместное описание потенциала электрического поля и температуры (см. [3], [6] и [7]). Такого же рода системы возникают и в гидромеханике квазиньютоновых жидкостей. Для уравнения Лапласа смешанная задача Зарембы, предложенная В. Виртингером, в трехмерной ограниченной области с гладкой границей и неоднородными условиями Дирихле и Неймана впервые рассмотрена в работе [8]. Классическая разрешимость задачи установлена методами теории потенциала в предположении, что граница открытого множества, на котором заданы данные Неймана, также обладает определенной гладкостью. Исследование свойств решений задачи Зарембы для эллиптических уравнений второго порядка с переменными регулярными коэффициентами восходит к работе [9]. В ней, в частности, установлено, что на стыке данных Дирихле и Неймана теряется гладкость решений. Для дивергентных равномерно эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми коэффициентами интегральные и поточечные оценки решений задачи Зарембы при достаточно общих предположениях о границе области даны в [10]. Вопрос об оценках повышенной суммируемости градиента решения задачи Зарембы практически не исследован. Нам известны только работа [11], в которой задача сформулирована для двумерной области и оператора $p$-Лапласа с довольно частным предположением на множество, где задано условие Дирихле (в работе использован подход из [12]), а также недавно вышедшие работы [13]–[15], в которых для линейных эллиптических уравнений второго порядка получена оценка Боярского–Мейерса решения задачи Зарембы в области с липшицевой границей и быстрой сменой краевых условий Дирихле и Неймана с повышенным показателем суммируемости, не зависящим от частоты смены краевых условий. В настоящей работе впервые рассматривается задача Зарембы для нелинейного уравнения $p$-Лапласа с наиболее общими условиями на носитель данных Дирихле. Некоторые результаты были анонсированы в работе [16]. Такого рода оценки важны в теории усреднения задач с быстрой сменой краевых условий, они позволяют более точно оценить скорость сходимости исходных решений к решению усредненной задачи (см. аналогичную задачу в области, перфорированной вдоль границы, в [17]). § 2. Постановка задачиВ настоящей работе исследуются интегральные свойства обобщенных решений неоднородного $p$-эллиптического уравнения, где $p>1$, задачи Зарембы в ограниченной строго липшицевой области $D\subset \mathbb{R}^n$, где $n>1$. Для постановки задачи Зарембы введем соболевское пространство функций $W^1_p(D,F)$. Здесь $F\subset \partial D$ – замкнутое множество, $W^1_p(D,F)$ – пополнение бесконечно дифференцируемых в замыкании $D$ функций, равных нулю в окрестности $F$, по норме пространства $W^1_p(D)$
$$
\begin{equation*}
\| u\|_{W^{1}_p(D,F)}=\biggl (\int_{D} |v|^p\,dx+\int_{D}|\nabla v|^p\,dx\biggr )^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Априори для функций $v\in W^1_p(D,F)$ предполагается выполненным неравенство типа Фридрихса
$$
\begin{equation}
\int_D |v|^p\,dx\leqslant C\int_D |\nabla v|^p\, dx,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
о выполнении которого будет сказано ниже (см. [18], а также [19]). Предположим, что матрица $A=(a_{ij})_{n\times n}$ с измеримыми компонентами является симметрической и равномерно положительно определенной, т.е. $a_{ij}=a_{ji}$ и
$$
\begin{equation}
\alpha^{-1}|\xi|^2\leqslant \sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)\xi_i\xi_j\leqslant\alpha |\xi|^2 \quad\text{для почти всех }\ x\in D\ \text{ и для всех }\ \xi\in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\alpha$ – положительная постоянная. Полагая $G=\partial D\setminus F$, рассмотрим задачу Зарембы для $p$-эллиптического уравнения вида
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathcal{L}_p u:=\operatorname{div} (|\nabla u|^{p-2}A\nabla u)= l&\text{в } D, \\ u=0 &\text{на } F, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \gamma }=0 &\text{на } G, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где ${\partial u}/{\partial \gamma}$ обозначает внешнюю конормальную производную функции $u$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial \gamma}:=\sum_{i,j=1}^na_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}\nu_i,
\end{equation*}
\notag
$$
$l$ является линейным функционалом в пространстве, сопряженном к $W^1_p(D,F)$, а $\nu$ – единичный вектор внешней нормали к границе области. Под решением задачи (2.3) понимается функция $u\in W^1_p(D,F)$, для которой выполнено интегральное тождество
$$
\begin{equation}
\int_D|\nabla u|^{p-2}A\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=-l(\varphi)
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
для всех пробных функций $\varphi\in W^1_p(D,F)$. В силу неравенства Фридрихса (2.1) пространство $W^1_p(D,F)$ можно снабдить нормой, в которой присутствует только градиент. Тогда каждому элементу из соболевского пространства можно поставить во взаимно однозначное изометрическое соответствие его градиент, т.е. элемент из $(L_p(D))^n$. Используя теорему Хана–Банаха (как, например, в рассуждениях из п. 1.1.14 монографии [18] о виде функционала в пространствах, сопряженных к соболевским), нетрудно показать, что функционал $l$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
l(\varphi)= -\sum_{i=1}^n\int_D f_i\varphi_{x_i}\,dx,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $f_i\in L_{p'}(D)$, $p'=p/(p-1)$. Поэтому в силу (2.4) для каждого конкретного функционала решение задачи (2.3) понимается в смысле интегрального соотношения
$$
\begin{equation}
\int_D|\nabla u|^{p-2}A\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=\int_D f\cdot\nabla\varphi\,dx
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
для всех пробных функций $\varphi\in W^1_p(D,F)$, в котором компоненты вектор-функции $f=(f_1,\dots,f_n)$ являются функциями из $L_{p'}(D)$. Отметим, что $p$-эллиптический оператор $\mathcal{L}_p$ действует из пространства $W^1_p(D,F)$ в сопряженное к нему пространство. Для того чтобы установить монотонность оператора в пространстве $W^1_p(D,F)$, достаточно показать монотонность формы
$$
\begin{equation*}
(|\xi|^{p-2}A\xi-|\zeta|^{p-2}A\zeta)\cdot (\xi-\zeta)>0 \quad \forall \,\xi,\zeta\in \mathbb{R}^n, \quad \xi\neq \zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточным условием монотонности этой формы является (см. [22], а также [21] для $p>2$)
$$
\begin{equation}
\max_{|\xi|=1}\frac{|A\xi|}{(A\xi, \xi)}<\frac{p}{|p-2|}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Условие (2.7) влечет монотонность $p$-эллиптического оператора $\mathcal{L}_p$. Замечание 1. Методом теории монотонных операторов показывается, что задача (2.3) однозначно разрешима в соболевском пространстве функций $W_p^1(D,F)$ (см., например, теорему 2.1 из [20; гл. 2, § 2]). Замечание 2. Условие (2.7), обеспечивающее монотонность оператора $\mathcal{L}_p$, требуется только для однозначной разрешимости задачи Зарембы. Все остальные рассуждения настоящей работы опираются только на положительную определенность матрицы $A$. Целью настоящей работы является решение вопроса о повышенной суммируемости градиента решений задачи (2.3) в предположении, что $f\in L_{p'+\delta}(D)$, где $\delta>0$. Установленный в настоящей работе результат позволяет улучшить ранее известные оценки решений задач с быстрой сменой типа краевых условий. Главную роль играет условие на структуру множества носителя данных Дирихле $F$. Для формулировки результата нам потребуется понятие емкости. Емкость $C_q(K)$ для компакта $K\subset \mathbb{R}^n$ при $1<q<n$ определяется равенством
$$
\begin{equation}
C_q(K)=\inf \biggl \{\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla\varphi|^q\,dx\colon \varphi\in C^\infty_0 (\mathbb{R}^n),\, \varphi\geqslant 1 \ \text{на}\ K\biggr \}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Величина показателя $q$ связана со значением показателя $p$ из (2.3), размерностью пространства $n$ и определяется следующим образом: если $p\in (1,n/(n-1)]$, то $q=(p+1)/2$, а если $p\in (n/(n-1),n]$, где $n>2$, то $q= np/(n+p)$. Заметим, что при $n=2$ второй интервал пропадает. Ниже $B^{x_0}_r$ обозначает открытый шар радиуса $r$ с центром в точке $x_0$. Сформулируем ограничение на множество $F$. A. Если $1<p\leqslant n$, то предполагается выполненным следующее условие: для произвольной точки $x_0\in F$ при $r\leqslant r_0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
C_q(F\cap \overline B^{\,x_0}_r)\geqslant c_0 r^{n-q},
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
в котором положительная постоянная $c_0$ не зависит от $x_0$ и $r$. B. Если $p>n$, то предполагается, что множество $F$ не пусто: $F\ne\varnothing$. В каждом из этих случаев выполнено неравенство Фридрихса (2.1). Поясним этот момент более детально, обозначив через $\mathcal{Q}_d$ открытый куб с длиной ребра $d$ и гранями, параллельными координатным осям, и предполагая, что липшицева область $D$ имеет диаметр $d$ и $D\subset \mathcal{Q}_d$. Нам потребуется понятие емкости $C_p(K,\mathcal{Q}_{2d})$ компакта $K\subset\overline {\mathcal{Q}}_d$ по отношению к кубу $\mathcal{Q}_{2d}$, которая определяется равенством
$$
\begin{equation*}
C_p(K,\mathcal{Q}_{2d})=\inf \biggl \{\int_{\mathcal{Q}_{2d}}|\nabla\varphi|^p\,dx\colon \varphi\in C^\infty_0 (\mathcal{Q}_{2d}),\, \varphi\geqslant 1 \ \text{на}\ K\biggr \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы в [18; п. 10.1.2] и комментария к результатам гл. 10 монографии [18] o справедливости доказываемых результатов для липшицевых областей (который приводится во введении к данной главе монографии), в частности, следует, что при $1<p\leqslant n$ для функций $v\in W^1_p(D,F)$ справедливо неравенство Мазьи
$$
\begin{equation}
\int_D |v|^p\,dx\leqslant \frac{C(n,p,D)d^n}{C_p(F,\mathcal{Q}_{2d})}\int_D |\nabla v|^p\,dx
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
с точной константой справа. Далее будем пользоваться условием (2.9) с показателем $1<q<p\leqslant n$. Сначала отметим, что в силу определения емкости $C_p(K,\mathcal{Q}_{2d})$ и неравенства Гёльдера выполнена оценка
$$
\begin{equation}
C_q(K,\mathcal{Q}_{2d})\leqslant |\mathcal{Q}_{2d}|^{(p-q)/{p}}C_p^{q/p}(K,\mathcal{Q}_{2d}),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
в которой $|\mathcal{Q}_{2d}|$ обозначает $n$-мерную меру куба $\mathcal{Q}_{2d}$. Теперь воспользуемся тем, что при $1<q<n$ (см. [23; предложение 4]) существует положительная постоянная $\gamma(n,q)\geqslant 1$ такая, что
$$
\begin{equation*}
C_q(K)\leqslant C_q(K,\mathcal{Q}_{2d})\leqslant \gamma C_q(K).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.11) в силу условия (2.9), в котором $1<q<n$, следует, что $C_p(F,\mathcal{Q}_{2d})>0$, и из (2.10) приходим к неравенству Фридрихса (2.1). Если же $p>n$, то нужно воспользоваться определением внутреннего (кубического) диаметра открытого множества (см. [18; конец п. 10.2]) и воспользоваться теоремой 1 из [18; п. 10.2.3], из которой вытекает (2.1). Пусть $\operatorname*{mes}_{n-1}(E)$ обозначает $(n-1)$-мерную меру Лебега множества $E\subset\partial D$. Заметим, что из условия
$$
\begin{equation}
\operatorname*{mes}_{n-1}(F\cap \overline B^{\,x_0}_r)\geqslant c_0r^{n-1}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
аналогичного (2.9) вытекает и само условие (2.9). Это следует из оценки предложения 4 из [18; п. 9.1].
§ 3. Основной результатНапомним определение понятия липшицевой области $D$. Определение. Будем называть область $D$ липшицевой, если для каждой точки $x_0\in\partial D$ существует открытый куб $Q$ с центром в $x_0$, грани которого параллельны координатным осям, длина ребра не зависит от $x_0$ и в некоторой декартовой системе координат с началом в $x_0$ множество $Q\cap\partial D$ есть график липшицевой функции $x_n=g(x_1, \dots, x_{n-1})$ с постоянной Липшица, не зависящей от $x_0$. Длину ребра таких кубов будем считать равной $2R_0$, а постоянную Липшица соответствующих функций $g$ обозначим через $L$. При этом для определенности предполагаем, что множество $Q\cap D$ расположено выше графика функции $g$. Основной результат статьи состоит в следующем утверждении, в котором постоянная $r_0$ из условия (2.9) не превосходит константу $R_0$. Теорема. Если $f\in L_{p'+\delta_0}(D)$, где $\delta_0>0$, $p'=p/(p-1)$, то существует положительная постоянная $\delta(n,p,\delta_0)<\delta_0$ такая, что для решения задачи (2.3) справедлива оценка Доказательство.
Сначала оценка повышенной суммируемости градиента решения задачи (2.3) устанавливается в окрестности границы области $D$. Здесь используется техника локального распрямления границы $\partial D$.
На первом шаге рассмотрим локальную декартову систему координат с началом в $x_0$ такую, что часть границы $\partial D$, попадающая в куб $\mathcal{Q}_{2R_0}$, задается в этой системе координат уравнением $x_n=g(x')$, где $x'=(x_1,\dots,x_{n-1})$, а $g$ – липшицева функция с показателем Липшица $L$. Предполагается, что область $D_{R_0}=\mathcal{Q}_{2R_0}\,{\cap}\, D$ расположена на множестве тех точек, где $x_n>g(x')$. Перейдем в $\mathcal{Q}_{2R_0}$ к новой системе координат, совершив невырожденное преобразование переменных Ясно, что часть границы $\mathcal{Q}_{2R_0}\cap\partial D$ преобразуется в кусок гиперплоскости
$$
\begin{equation*}
P_{R_0}=\bigl\{y\colon |y_i|<R_0,\, i=1,\dots,n-1, \, y_n=0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На первом шаге покажем, что образ области $\mathcal{Q}_{2R_0}$ содержит куб
$$
\begin{equation}
K_{R_0}=\bigl\{y\colon |y_i|<(1+\sqrt{n-1}\, L)^{-1}R_0, \, i=1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Действительно, если $y\in \widetilde {\mathcal{Q}}_{2R_0}$ и $|y_i|<\delta R_0$ для некоторого $\delta\in (0,1)$ и $i=1,\dots,n-1$, то а поскольку функция $g$ липшицева и $g(0)=0$, то $|g(y')|\leqslant L|y'|<\sqrt{n-1}\, L\delta R_0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\bigl(-R_0(1-\sqrt{n-1}\, L\delta), R_0(1-\sqrt{n-1}\, L\delta)\bigr)\subset \bigl(-R_0-g(y'), R_0-g(y')\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая здесь $\delta$ из равенства $\delta=1-\sqrt{n-1}\, L\delta$, приходим к тому, что $K_{R_0}\subset \widetilde {\mathcal{Q}}_{2R_0}$.
На втором шаге в полукубе $K^+_{R_0}=K_{R_0}\cap \{y\colon y_n>0\}$, содержащемся в образе области $D\cap \mathcal{Q}_{2R_0}$, задача (2.3), за решением которой сохраним исходное обозначение, примет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathcal{L}_1 u:=\operatorname{div}_y \bigl(|\nabla_y u-u_{y_n}\nabla_y g|^{p-2}\widetilde A(y)\nabla_y u\bigr)=\widetilde l &\text{в}\ K^+_{R_0}, \\ u=0 &\text{на}\ \widetilde F_{R_0}, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \widetilde\gamma}=0 &\text{на} \ \widetilde G_{R_0}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Здесь матрица $\widetilde A(y)=(\widetilde a_{kl}(y))_{k,l=1}^n$ имеет следующие компоненты. Считаем, что $k,l=1,\dots,n-1$; тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde a_{kl}(y) &= a_{kl}(y',y_n+g(y')), \\ \widetilde a_{nl}(y) &=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial g(y')}{\partial y_i} a_{il}(y',y_n+g(y'))+a_{nl}(y',y_n+g(y')), \\ \widetilde a_{kn}(y) &=\sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial g(y')}{\partial y_j} a_{kj}(y',y_n+g(y'))+a_{kn}(y',y_n+g(y')), \\ \widetilde a_{nn}(y) &=\sum_{i,j=1}^{n-1}\frac{\partial g(y')}{\partial y_i}\,\frac{\partial g(y')}{\partial y_j} a_{ij}(y',y_n+g(y')) \\ &\qquad+\sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial g(y')}{\partial y_j} a_{nj}(y',y_n+g(y') \\ &\qquad+ \sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial g(y')}{\partial y_i} a_{in}(y',y_n+g(y'))+ a_{nn}(y',y_n+g(y')). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Легко видеть, что симметричная матрица $\widetilde A(y)$ равномерно положительно определена, удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\widetilde \alpha^{-1}|\xi|^2\leqslant \sum_{i,j=1}^n\widetilde a_{ij}(y)\xi_i\xi_j\leqslant\widetilde\alpha |\xi|^2 \quad \text{для почти всех } \ y\in K^+_{R_0}\ \text{ и для всех } \ \xi\in \mathbb{R}^n
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
с постоянной $\widetilde \alpha= \alpha(L+1)^2$, а вектор-функция $f$, участвующая в записи функционала (2.5), преобразуется в вектор-функцию $\widetilde f=(\widetilde f_1(y),\dots, \widetilde f_n(y))$, компоненты которой определяются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde f_i(y) &= f_i(y',y_n+g(y')) \quad \text{при }\ i=1,\dots,n-1, \\ \widetilde f_n(y) &=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial g(y')}{\partial y_i} f_i(y',y_n+g(y'))+f_n(y',y_n+g(y')). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Для того чтобы это проверить, достаточно в интегральном тождестве (2.6) перейти к новым переменным, учитывая, что якобиан такой замены равен единице, и воспользоваться липшицевостью функции $g$. Отсюда нетрудно видеть, что после этой замены получаем и положительную определенность матрицы, и явный вид функций в правой части преобразованного функционала $\widetilde l$. Множества $\widetilde F_{R_0}$ и $\widetilde G_{R_0}$ таковы, что $\widetilde F_{R_0}=\widetilde F\cap P_{R_0}\cap K_{R_0}$ и $\widetilde G_{R_0}=\widetilde G\cap P_{R_0}\cap K_{R_0}$, где $\widetilde F$, $\widetilde G$ – образы множеств $F\cap \mathcal{Q}_{2R_0}$ и $G\cap \mathcal{Q}_{2R_0}$ соответственно, а ${\partial u}/{\partial \widetilde\gamma}$ обозначает внешнюю конормальную производную функции $u$, порожденную матрицей $\widetilde A$ и связанную с оператором из (3.4). Отметим, что
$$
\begin{equation}
C_1(L)|\nabla_y u|\leqslant |\nabla_y u-u_{y_n}\nabla_y g|\leqslant C_2(L)|\nabla_y u|.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Действительно, оценка сверху очевидна, а нижняя оценка с положительной константой получается из следующих соображений. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^{n-1}\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_j}- \frac{\partial g}{\partial y_j}\frac{\partial u}{\partial y_n}\biggr)^2+\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_n}\biggr)^2 \\ &\qquad \geqslant \sum_{j=1}^{n-1}\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_j}\biggr)^2+\biggl(1+\sum_{j=1}^{n-1}\biggl(\frac{\partial g}{\partial y_j}\biggr)^2\biggr)\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_n}\biggr)^2-2\sum_{j=1}^{n-1} \biggl|\frac{\partial g}{\partial y_j}\frac{\partial u}{\partial y_j}\frac{\partial u}{\partial y_n}\biggr| \\ &\qquad \geqslant \sum_{j=1}^{n-1}\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_j}\biggr)^2+\biggl(1+\sum_{j=1}^{n-1}\biggl(\frac{\partial g}{\partial y_j}\biggr)^2\biggr)\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_n}\biggr)^2 \\ &\qquad\qquad- \frac1\varepsilon\sum_{j=1}^{n-1}\biggl(\frac{\partial g}{\partial y_j}\biggr)^2\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_n}\biggr)^2-\varepsilon \sum_{j=1}^{n-1}\biggl(\frac{\partial u}{\partial y_j}\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $\varepsilon=1/2$ и перенося слагаемые с коэффициентом $1/\varepsilon$ в левую часть, получаем искомое неравенство с положительной константой $C_1(L)$.
Продолжим функцию $u$, удовлетворяющую (3.4), четно относительно гиперплоскости $\{y\colon y_n=0\}$. Продолженная функция, за которой вновь сохраним предыдущее обозначение, удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathcal{L}_2 u=\operatorname{div}(|\widetilde{\nabla}u|^{p-2}B(y)\nabla u)=l_h &\text{в}\ K_{R_0}\setminus \widetilde F_{R_0}, \\ u=0 &\text{на}\ \widetilde F_{R_0}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Здесь $\widetilde{\nabla}u$ совпадает с $\nabla u-u_{y_n}\nabla g$ при $y_n>0$, а при $y_n<0$ совпадает с таким же выражением с учетом того, что частная производная $u_{y_n}$ продолжается нечетно. Положительно определенная матрица $B(y)=\{b_{ij}(y)\}$ такова, что $b_{jn}(y)=b_{nj}(y)$ при $j\ne n$ являются нечетными продолжениями $\widetilde a_{jn}(y)$ из (3.4), а все остальные элементы $b_{ij}(y)$ – четными продолжениями $\widetilde a_{ij}(y)$. Легко видеть, что матрица $B$ удовлетворяет условию эллиптичности
$$
\begin{equation}
\beta^{-1}|\xi|^2\leqslant \sum_{i,j=1}^n b_{ij}(y)\xi_i\xi_j\leqslant\beta |\xi|^2 \quad\text{для почти всех }\ y\in K_{R_0}\ \text{ и для всех } \ \xi\in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $\beta$ зависит от $\widetilde \alpha$. Компоненты вектор-функции $h=( h_1,\dots,h_n)$ в (3.9), участвующей в представлении функционала $l_h$, определятся равенствами так: ее компоненты $h_i(y)$ при $i=1,\dots,n-1$ – четные продолжения компонент $\widetilde f_i(y)$ из (3.4), а $h_n(y)$ – нечетное продолжение $\widetilde f_n(y)$. Отметим также, что
$$
\begin{equation}
C_1(L)|\nabla u|\leqslant |\widetilde{\nabla}u|\leqslant C_2(L)|\nabla u|, \qquad y\in K_{R_0}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Решением (3.9) является функция $u\in W^1_p(K_{R_0})$, для которой выполнено интегральное тождество (см. (2.6))
$$
\begin{equation}
\int_{K_{R_0}} |\widetilde{\nabla} u|^{p-2}B\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dy=\int_ {K_{R_0}}h\cdot\nabla\varphi\,dy
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
для всех пробных функций $\varphi\in W^1_2(K_{R_0},\widetilde F_{R_0})$, которые являются пополнением множества бесконечно дифференцируемых в замыкании $K_{R_0}$ функций, равных нулю в окрестности $\partial K_{R_0}$ и $\widetilde F_{R_0}$, по норме пространства $W^1_p(K_{R_0})$. Существование решения задачи (3.9) вытекает из сделанных выше преобразований (см. замечание 1).
Ниже предполагается, что
$$
\begin{equation*}
y_0\in K_{R_0/2}\setminus\partial K_{R_0/2}, \quad \text{где }\ R\leqslant\frac{1}{2}\operatorname{dist}(y_0,\partial K_{R_0/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
и полагается
$$
\begin{equation*}
\,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{R}}f\, dx=\frac{1}{|\mathcal{Q}^{y_0}_R|}\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_R}f\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\mathcal{Q}^{y_0}_R|$ обозначает $n$-мерную меру куба $\mathcal{Q}^{y_0}_R$.
$\bullet$ Сначала рассмотрим случай, когда $\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}\subset K_{R_0}\setminus \widetilde F_{R_0} $, и выберем в интегральном тождестве (3.12) пробную функцию $\varphi=(u-\lambda)\eta^p$, где
$$
\begin{equation}
\lambda= \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}} u\,dy,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
а срезающая функция $\eta\in C_0^{\infty}(\mathcal{Q}^{y_0}_{3R})$ такова, что
$$
\begin{equation}
0<\eta\leqslant 1, \qquad \eta=1 \quad\text{в }\ \mathcal{Q}^{y_0}_{2R} \quad\text{и }\ |\nabla \eta|\leqslant \frac CR.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
На третьем шаге покажем, что решение $u$ задачи (3.9) удовлетворяет следующему неравенству:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^p\, dy\leqslant C(n, p,\alpha, L)\biggl (\frac{1}{R^p}\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|u-\lambda|^{p}\, dy+\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|h|^{p'}\, dy \biggr).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Действительно, выбирая в интегральном тождестве (3.12) пробную функцию $\varphi=(u-\lambda)\eta^p$, где $\eta$ определена в (3.14), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|\widetilde \nabla u|^{p-2}B\nabla u\cdot \nabla u\,\eta^p\,dy =-p \int_{\mathcal{}Q^{y_0}_{3R}}\eta^{p-1}(u-\lambda)|\widetilde \nabla u|^{p-2}B\nabla u\cdot\nabla\eta\, dy \\ &\qquad\qquad +\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}\eta^p h\cdot \nabla u \,dy +p \int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}\eta^{p-1}(u-\lambda) h\cdot \nabla \eta\, dy. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
C_1(L)\beta^{-1}|\nabla u|^{p-2}|\nabla u|^2\leqslant |\widetilde\nabla u|^{p-2}|B\nabla u\cdot\nabla u|\leqslant C_2(L)\beta |\nabla u|^{p-2}|\nabla u|^2
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (3.10) и (3.11)) и $0\leqslant \eta\leqslant 1$, в силу неравенства Юнга имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p|\eta^{p-1}|u-\lambda|\,|\widetilde\nabla u|^{p-2}B\nabla u\cdot\nabla \eta| &\leqslant C(\beta, L) p\eta^{p-1}|u-\lambda|\,|\nabla u|^{p-2}|\nabla u|\, |\nabla \eta| \\ &\leqslant \varepsilon_1 |\nabla u|^p\eta^p+C(\varepsilon_1,\beta)|u-\lambda|^p|\nabla \eta|^p, \\ |\eta^p h\cdot \nabla u| &\leqslant \varepsilon_2 |\nabla u|^p\eta^p+C(\varepsilon_2)|h|^{p'}, \\ p|\eta^{p-1}|u-\lambda|h \cdot \nabla \eta| &\leqslant \varepsilon_3|h|^{p'}+C(\varepsilon_3, p)|u-\lambda|^p|\nabla \eta|^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Выбирая соответствующим образом $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ и $\varepsilon_3$ с помощью равенства (3.16), неравенства (3.17) и эллиптичности оператора задачи (3.9), приходим к следующей оценке:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|\nabla u|^p\eta^p\,dx\leqslant C\biggl(\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|u-\lambda|^{p}|\nabla \eta|^{p}\,dx+\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}} |h|^{p'}\,dx\biggr).
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Окончательно (вспоминая, что $\eta=1$ в $\mathcal{Q}^{y_0}_{2R}$ и $|\nabla\eta|\leqslant C/R$) приходим к неравенству (3.15).
На четвертом шаге, исходя из (3.15) и неравенства Пуанкаре–Соболева
$$
\begin{equation*}
\biggl ( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|u-\lambda|^{p}\,dx\biggr )^{1/p}\leqslant C(n,p)R\biggl ( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|\nabla u|^q\,dx\biggr )^{1/q},
\end{equation*}
\notag
$$
где $q$ при $1<p\leqslant n$ имеет тот же смысл, что и в (2.8), а при $p>n$ полагается $q=(n+p)/2$), найдем
$$
\begin{equation}
\biggl( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^p\,dy\biggr )^{1/p}\leqslant C(n,p, \alpha,L)\biggl (\biggl ( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{4R}}|\nabla u|^q\,dy\biggr )^{1/q} +\biggl( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{4R}}|h|^{p'}\,dy\biggr )^{1/p}\biggr ).
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$\bullet$ Рассмотрим теперь случай, когда $\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}\cap \widetilde F_{R_0}\ne \varnothing$. Выбирая в интегральном тождестве (3.12) пробную функцию $\varphi=u\eta^p$ с той же срезающей функцией $\eta$, что и выше, придем к оценке (3.15) с $\lambda=0$, в силу которой
$$
\begin{equation}
\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^p\, dy\leqslant C(n, p, \alpha,L)\biggl (\frac{1}{R^p}\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|u|^{p}\, dy+\int_{\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}}|h|^{p'}\, dy \biggr).
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Перейдем к оценке первого интеграла в правой части (3.20). Для этого заметим, что поскольку $\mathcal{Q}^{y_0}_{3R}\cap \widetilde F_{R_0}\ne \varnothing$, то найдется точка $z_0\in \mathcal{Q}^{y_0}_{3R}\cap \widetilde F_{R_0}$ такая, что $\overline {\mathcal{Q}}^{\,z_0}_{R}\subset \overline {\mathcal{Q}}^{\,y_0}_{4R}$. Обозначим через $z\in F\cap \mathcal{Q}_{2R_0}$ прообраз точки $z_0$ при преобразовании (3.2). Нетрудно видеть, что прообраз замкнутого куба $\overline {\mathcal{Q}}^{\,z_0}_{R}$ содержит замкнутый шар $\overline B^z_{cR}$, где $c=c(L,n)>0$. Если $1<p\leqslant n$ и выполнено условие (2.9), то справедливо неравенство Мазьи из теоремы в [18; п. 10.1.2]
$$
\begin{equation}
\biggl ( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{2R}}|u|^p\,dy\biggr )^{1/p}\leqslant C(n,p,c_0) R\biggl ( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{q}\,dy\biggr )^{1/q},
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
в котором постоянная $q$ имеет тот же смысл, что и в (2.8).
Если же $p>n$, то по условию B из § 2 множество $\widetilde F_{R_0}$ не пусто, и (3.21) имеет место с постоянной $C$, не зависящей от $c_0$. Для этого нужно воспользоваться определением внутреннего (кубического) диаметра открытого множества (см. [18; конец п. 10.2]) и воспользоваться теоремой 1 из [18; п. 10.2.3]. Таким образом, в силу (3.20) и (3.21) вновь приходим к (3.19). Далее нам потребуется обобщенная лемма Геринга (см. [24], а также [25; гл. VII]). Предположим, что $g(x)$, $f(x)$ – две неотрицательные функции, определенные в $\mathcal{Q}_6$, такие, что $g\in L_p(\mathcal{Q}_6)$, $p>1$, $f\in L_{p_0}(\mathcal{Q}_6)$, $p_0>p$. Лемма (обобщенная лемма Геринга). Предположим, что для каждой точки $x_0\in \mathcal{Q}_6\setminus \partial \mathcal{Q}_6$ и $R\leqslant \frac12 \operatorname{dist}(x_0,\partial \mathcal{Q}_6)$ выполнено неравенство Из приведенной оценки, справедливой для всех рассматриваемых кубов $\mathcal{Q}^{y_0}_{2R}$, и обобщенной леммы Геринга с учетом длины ребра куба $K_{R_0}$ (см. (3.3)) в предположении, что $h\in L_{p'+\delta_0}(K_{R_0})$, где $\delta_0>0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\| \nabla u\|_{L_{p+\delta}(K_{R_0/4})}\leqslant C \bigl (\| \nabla u\|_{L_{p}(K_{R_0/2})}+ \| |h|^{p'/p}\|_{L_{p+\delta}(K_{R_0/2})}\bigr )
\end{equation*}
\notag
$$
с положительной постоянной $\delta=\delta (n,p,\delta_0)$ и дополнительной зависимостью $C$ от $R_0$. В силу четности функции $u$ относительно гиперплоскости $\{y\colon y_n=0\}$ ее можно переписать в виде (см. (3.4))
$$
\begin{equation}
\| \nabla u\|_{L_{p+\delta}(K^+_{R_0/4})}\leqslant C \bigl (\| \nabla u\|_{L_{p}(K^+_{R_0/2})}+ \| |\widetilde f|^{{p'}/{p}} \|_{L_{p+\delta}(K^+_{R_0/2})}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Совершая здесь преобразование, обратное к (3.2), заметим что прообраз полукуба $K^+_{R_0/2}$ содержится в множестве $D_{R_0}$, а прообраз полукуба $K^+_{R_0/4}$ содержит множество $D_{\theta R_0}$, где $\theta=\theta(n,L)>0$. Учитывая еще соотношение (3.7), в силу (3.24) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\| \nabla u\|_{L_{p+\delta}(D_{\theta R_0})}\leqslant C \bigl (\| \nabla u\|_{L_{p}(D_{R_0})}+ \| |f|^{{p'}/{p}}\|_{L_{p+\delta}(D_{R_0})}\bigr ).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя здесь к декартовой системе координат с началом в точке $x_0\in\partial D$, из которой мы исходили с самого начала рассуждений, получим
$$
\begin{equation*}
\| \nabla u\|_{L_{p+\delta}(D\cap \mathcal{Q}^{x_0}_{\theta 2R_0})}\leqslant C \bigl (\| \nabla u\|_{L_{p}(D\cap \mathcal{Q}^{x_0}_{2R_0})}+ \| |f|^{{p'}/{p}}\|_{L_{p+\delta}(D\cap \mathcal{Q}^{x_0}_{2R_0})}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $x_0\in\partial D$ – произвольная граничная точка, а граница $\partial D$ компактна, то можно найти такое конечное покрытие $\partial D$, что замкнутое множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_{\theta_1 R_0}=\{x\in D\colon \operatorname{dist}(x,\partial D)\leqslant \theta_1 R_0\}, \qquad \theta_1=\theta_1(n,L)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
содержится в объединении множеств $D\cap \mathcal{Q}^{x_i}_{\theta 2R_0}$, где $x_i\in\partial D$. Поэтому, используя неравенство треугольника и суммируя неравенства
$$
\begin{equation*}
\| \nabla u\|_{L_{p+\delta}(D\cap \mathcal{Q}^{x_i}_{\theta 2R_0})}\leqslant C \bigl ( \| \nabla u\|_{L_{p}(D\cap \mathcal{Q}^{x_i}_{2R_0})}+ \| |f|^{p'/p}\|_{L_{p+\delta}(D\cap \mathcal{Q}^{x_i}_{2R_0})}\bigr ),
\end{equation*}
\notag
$$
придем к оценке
$$
\begin{equation*}
\| \nabla u\|_{L_{p+\delta}(\mathcal{D}_{\theta_1R_0})}\leqslant C \bigl (\| \nabla u\|_{L_{p}(D)}+ \| |f|^{p'/p}\|_{L_{p+\delta}(D)}\bigr ).
\end{equation*}
\notag
$$
Внутренняя оценка
$$
\begin{equation}
\| \nabla u\|_{L_{p+\delta}(D\setminus \mathcal{D}_{\theta_1 R_0})}\leqslant C \bigl (\| \nabla u\|_{L_{p}(D)}+ \| |f|^{p'/p}\|_{L_{p+\delta}(D)}\bigr )
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
не учитывает граничных условий и доказывается намного проще. Действительно, пусть $D_\varpi\subset D$ – строго внутренняя подобласть $D$, отстоящая от границы $\partial D$ на расстояние $\varpi$. Покроем замыкание $\overline{D_\varpi}$ конечным количеством кубов $\mathcal{Q}^i$, ребра которых параллельны координатным осям и длиной $\varpi/4$. Покроем так, что произвольный замкнутый концентрический к $\mathcal{Q}^i$ куб с удвоенной длиной ребра принадлежит области $D$. Далее, используем неравенство (см. (3.19))
$$
\begin{equation}
\biggl( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^i_{\varpi/2}}|\nabla u|^p\,dy\biggr )^{1/p}\leqslant C \biggl (\biggl ( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{i}_{\varpi}}|\nabla u|^q\,dy\biggr )^{1/q} +\biggl( \,\rlap{-}\kern-1.4mm \int _{\mathcal{Q}^{i}_{\varpi}}|f|^{p'}\,dy\biggr )^{1/p}\biggr ).
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Вновь используя неравенство треугольника и суммируя полученные оценки по $i$ при соответствующем выборе $\varpi$, приходим к внутренней оценке (3.25). В итоге, сочетая две последние оценки и пользуясь энергетическим неравенством или
$$
\begin{equation*}
\int_D|\nabla u|^p\,dx\leqslant C \biggl(\int_D |f|^{p'(1+\delta/ p)}\,dx\biggr)^{p/(p+\delta)}
\end{equation*}
\notag
$$
для первого слагаемого в правых частях этих оценок, приходим к (3.1).
Теорема доказана. § 4. Примеры множества $F$Пример 1. Рассмотрим множество $F$ нулевой $(n-1)$-мерной меры, которое удовлетворяет условию (2.9) (см. аналогичный пример в [15]). Для простоты рассматривается двумерная область. Для обоснования примера нам потребуется ввести несколько вспомогательных пространств. При $q\geqslant 1$ и $0<l\leqslant 1$ определим пространство $B^l_q$ как пополнение множества финитных бесконечно дифференцируемых функций $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ по норме
$$
\begin{equation*}
\biggl (\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\vert \varphi(x+y)-2\varphi(x)+\varphi(x-y)\vert ^q \vert y\vert ^{-n-ql}\,dx\,dy\biggr )^{1/q}+\| \varphi\|_{L_q(\mathbb{R}^n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем еще для $1<q<\infty$ и $l>0$ потенциальные пространства Риса $h^l_q$ и Бесселя $H^l_q$ как пополнение $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ по нормам
$$
\begin{equation*}
\| \varphi\|_{h^l_q}=\|(-\Delta)^{l/2}\varphi\|_{L_q(\mathbb{R}^n)}, \qquad \| \varphi\|_{H^l_q}=\|(-\Delta+1)^{l/2}\varphi\|_{L_q(\mathbb{R}^n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\Delta$ – оператор Лапласа и
$$
\begin{equation*}
(-\Delta)^{l/2}=F^{-1}|\xi|^l F, \qquad (-\Delta+1)^{l/2}=F^{-1}(1+|\xi|^2)^{l/2} F,
\end{equation*}
\notag
$$
где $F\varphi(\xi)$ – обратное преобразование Фурье,
$$
\begin{equation*}
F\varphi(\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{i x\cdot\xi}\varphi(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см. следствие 1 к теореме 1 из [18; гл. 10]), что
$$
\begin{equation}
C_1(n,q)\|(-\Delta)^{1/2}\varphi\|_{L_q(\mathbb{R}^n)}\leqslant \|\nabla \varphi\|_{L_q(\mathbb{R}^n)}\leqslant C_2(n,q)\|(-\Delta)^{1/2}\varphi\|_{L_q(\mathbb{R}^n)}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
для любой функции $\varphi\in C^\infty_0(\mathbb{R}^n)$. Для каждого функционального пространства $S^l_q=H^l_q$ либо $S^l_q=B^l_q$, либо $S^l_q=h^l_q$ определим емкость компакта $K\subset \mathbb{R}^n$, исходя из равенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(K,S^l_q)=\inf\{\| u\|^q_{S^l_q}\colon \varphi\in C^\infty_0(\mathbb{R}^n),\, \varphi\geqslant 1 \text{ на } K\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нас будет интересовать только случай, когда $0<l\leqslant 1$. Известны следующие соотношения между различными емкостями: (i) если $\operatorname{diam}(K)\leqslant 1$ и $ql<n$, то (см. [26])
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}(K,H^l_q)\thicksim \operatorname{cap}(K,h^l_q);
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
(ii) если $1<q<\infty$, то (см. [27; предложение 4.4.4])
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}(K,H^l_q)\thicksim \operatorname{cap}(K,B^l_q);
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
(iii) если $K\subset \mathbb{R}^n$ и $1<q<\infty$, то (см. [28])
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}(K,B^l_q(\mathbb{R}^n))\thicksim \operatorname{cap}(K,H^{l+1/q}_q(\mathbb{R}^{n+1})).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Из (4.2)–(4.4) вытекает, что если $K\subset \mathbb{R}^n$, $\operatorname{diam}(K)\leqslant 1$ и $ql<n$, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}(K,h^l_q(\mathbb{R}^{n+1}))\thicksim \operatorname{cap}(K,H^{l-1/q}_q(\mathbb{R}^{n})).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Перейдем к построению нужного нам примера на плоскости, предполагая в (4.5), что $n=1$, $l=1$ и $1<q<2$. В этом случае, если $K\subset \mathbb{R}$ и $\operatorname{diam}(K)\leqslant 1$, то будем иметь
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(K,h^1_q(\mathbb{R}^{2}))\thicksim \operatorname{cap}(K,H^{1-1/q}_q(\mathbb{R})).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в силу (4.1) имеет место эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(K,h^1_q(\mathbb{R}^{2}))\thicksim C_q(K),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_q(K)$ – определенная нами ранее емкость компакта $K$. Поэтому
$$
\begin{equation}
C_q(K)\thicksim \operatorname{cap}(K,H^{1-1/q}_q(\mathbb{R})).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Пусть $\{l_j\}$ – убывающая последовательность положительных чисел такая, что $2l_{j+1}<l_j$, $j=1,2,\dots$, и $\Delta_1$ – замкнутый промежуток длиной $l_1\leqslant 1$, расположенный на оси $Ox_1$. Обозначим через $E_1$ множество, расположенное в $\Delta_1$ и равное объединению двух замкнутых отрезков промежутков $\Delta_2$ и $\Delta_3$ длиной $l_2$, примыкающих к концам промежутка $\Delta_1$ (т.е. мы выбросили из отрезка $\Delta_1$ интервал длиной $l_1\,{-}\,2l_2$ с центром в середине $\Delta_1$). Проделаем ту же операцию с промежутками $\Delta_2$ и $\Delta_3$ (роль $l_2$ переходит к $l_3$, т.е. выбрасываем срединные интервалы длиной $l_2\,{-}\,2l_3$). Получим четыре замкнутых промежутка длиной $l_3$, объединение которых обозначим через $E_2$. Продолжим процесс и в итоге положим $F=\bigcap_{j=1}^\infty E_j$. Из результатов работы [29] (см. также [30]) следует, что утверждения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \operatorname{cap}(F,H^{1-1/q}_q(\mathbb{R}))>0, \\ \sum_{j=1}^\infty 2^{{j}/(1-q)} l_j^{(2-q)/(1-q)}<\infty \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
равносильны. Таким образом, при выполнении условия (4.7) будем иметь, что Нас будет интересовать случай, когда $q=(p+1)/{2}$ и условие (4.7) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^\infty 4^{j/(1-p)}l_j^{(3-p)/(1-p)}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, если положить $l_j=a^{-j+1}$, где $a>2$, что влечет выполнение условия $2l_{l+1}<l_j$, придем к условию
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^\infty \biggl (\frac{1}{4}a^{3-p}\biggr)^{j/(p-1)} a^{(3-p)/(1-p)}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $1<p\leqslant 2$, то для сходимости этого ряда в качестве $a$ можно выбрать любое число из интервала $(2,4^{1/(3-p)})$. В итоге приходим к канторову множеству $F$, когда на каждом шаге из отрезка $\Delta_1=[0,1]$ выбрасываются интервалы длиной $(a-2)a^{-j}$, где $j=1,2,\dots$ . Как хорошо известно, одномерная мера Лебега $F$ равна нулю. Действительно, на $j$-м шаге “выбрасывается” $2^{j-1}$ интервалов длины $(a-2)a^{-j}$, т.е. сумма длин “выкинутых” интервалов равна
$$
\begin{equation*}
\frac{a-2}{2}\sum_{j=1}^\infty\biggl(\frac{2}{a}\biggr)^j=1.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $a=3$, приходим к классическому канторову множеству. При этом (см. (4.8)) Нам осталось показать, что для произвольной точки $x_0\in F$ при $r\leqslant r_0$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
C_{(p+1)/2}(F\cap \overline B^{x_0}_r)\geqslant c_0 r^{(3-p)/{2}},
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
в котором $B^{x_0}_r$ – открытый круг радиуса $r$ с центром в $x_0$, а положительная постоянная $c_0$ не зависит от $x_0$ и $r$. Для начала напомним определение емкости множества $F^{x_0}_r=F\cap \overline B^{x_0}_r$:
$$
\begin{equation}
C_{(p+1)/2}(F^{x_0}_r)=\inf \biggl \{\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla\varphi|^{(p+1)/{2}}\,dx\colon \varphi\in C^\infty_0 (\mathbb{R}^2),\, \varphi\geqslant 1 \ \text{на}\ F^{x_0}_r\biggr \}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Ясно, что множество $F^{x_0}_r$ является пересечением с множеством $F$ отрезка с центром в точке $x_0$ длиной $r$. Если $r\leqslant r_0\leqslant a^{-1}$, то найдется натуральное число $k_0$ такое, что $a^{-k_0-1}< r\leqslant a^{-k_0}$. Далее, поскольку $x_0\in F$, то по построению канторовского множества точка $x_0$ принадлежит отрезку $I_{k_0}$ длиной $a^{-k_0-2}$. Из выбора $a$ нетрудно видеть, что $I_{k_0}\cap F\subset F^{x_0}_r$, и в силу монотонности емкости
$$
\begin{equation}
C_{(p+1)/2}(F^{x_0}_r)\geqslant C_{(p+1)/2}(I_{k_0}\cap F ).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Совершая теперь в (4.11) преобразование гомотетии
$$
\begin{equation}
y=\frac{x-x_0}{r}+x_0, \quad \text{где }\ r=a^{-k_0-2},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
согласно (4.12) придем к неравенству
$$
\begin{equation}
C_{(p+1)/2}(F^{x_0}_r)\geqslant a^{-(k_0+2)(3-p)/2}C_{(p+1)/2}(\widetilde F_0) \geqslant a^{(p-3)/2}r^{(3-p)/{2}}C_{(p+1)/2}(\widetilde F_0),
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
в котором $\widetilde F_0$ обозначает образ множества $I_{k_0}\cap F$. Осталось заметить, что при гомотетии (4.13) множество $\widetilde F_0$ является сдвигом канторовского множества $F$ вдоль оси $Ox_1$. Поэтому в силу (4.9) и (4.12) справедливо требуемое соотношение (4.10) с постоянными $c_0=a^{(p-3)/2}$ и $r_0=1/a$. Пример 2. Этот пример (см. [13]), связанный с быстрой сменой однородных данных Дирихле и Неймана, имеет приложения в теории усреднения. Отрезок на оси абсцисс $I=[0,2]$ разделим на равные чередующиеся отрезки длины $\varepsilon$, которые обозначим через $\Delta_1^j$ и $\Delta_2^j$ соответственно, где $j=1,\dots, N$ и $\varepsilon={1}/{N}$. В этом случае $F$ означает объединение отрезков $\Delta_1^j$. В этом случае, как нетрудно видеть, условие (2.12) выполняется с постоянной $r_0\leqslant 1$. О задачах усреднения с частой сменой краевых условий см., например, [31]–[33] и литературу в монографии [33]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Che23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|