| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Проблема делителей Карацубы и родственные задачи М. Р. Габдуллинa, С. В. Конягинa, В. В. Юделевичb a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9815e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ 2004 г. А. А. Карацуба на семинаре “Аналитическая теория чисел и приложения” поставил следующую задачу: найти асимптотику суммы при $x\to\infty$, где $\tau(n)=\sum_{d\mid n} 1$ – функция делителей, а суммирование ведется по простым числам, не превосходящим $x$. Данная задача является естественным “гибридом” следующих двух классических задач теории чисел.Первая из них (проблема делителей Титчмарша) заключается в нахождении асимптотики суммы Хорошо известно (см. [1]–[4]), что
$$
\begin{equation*}
D(x) \sim \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}x, \qquad x\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\zeta(s)$ обозначает дзета-функцию Римана. Вторая задача состоит в нахождении асимптотики суммы и была решена С. Рамануджаном в [5]: он показал, что
$$
\begin{equation}
T(x)=c_0\frac{x}{\sqrt{\log x}}\biggl( 1+O\biggl(\frac{1}{\sqrt{\log x}} \biggr)\biggr) ,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
c_0=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \prod_{p} \sqrt{p^2 - p} \log \frac{p}{p-1}= 0.5486\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Сумма $\Phi(x)$ изучалась ранее. В недавней работе [6] получена оценка
$$
\begin{equation*}
\Phi(x)\leqslant 4K\frac{x}{(\log x)^{3/2}}+O\biggl( \frac{x\log\log x}{(\log x)^{5/2}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
K=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\prod_{p}\sqrt{\frac{p}{p-1}}\biggl(p\log\frac{p}{p-1} -\frac{1}{p-1}\biggr)=0.2532\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что оценку $\Phi(x)\ll {x}/{(\log x)^{3/2}}$ можно получить из следствия 1.2 работы [7], а также действуя аналогично доказательству верхней оценки теоремы 1.2 ниже. Мы предполагаем, что справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\Phi(x) \sim K\frac{x}{(\log x)^{3/2}}, \qquad x\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
однако доказать это, по-видимому, трудно. В настоящей работе мы показываем, что упомянутая верхняя оценка для суммы $\Phi(x)$ является точной по порядку. Тем самым для $\Phi(x)$ найден порядок роста: что в первом приближении решает задачу, поставленную А. А. Карацубой.Наряду с $\Phi(x)$ мы рассматриваем сумму и доказываем следующую теорему.Обсудим основные идеи доказательств приведенных теорем. В сумме $\Phi(x)$ для каждого простого $p\leqslant x$ мы записываем число $p-1$ в виде $ab$, где число $a$ состоит из простых делителей, не превосходящих $z$, а число $b$ – из простых делителей, больших $z$; при этом $z=x^\varepsilon$ и $\varepsilon>0$ фиксировано. Тогда сумма $\Phi(x)$ перепишется в виде
$$
\begin{equation}
\Phi(x)=\sum_{\substack{a \leqslant x \\ p\mid a \ \Rightarrow\ p \leqslant z}} \frac{1}{\tau(a)} \sum_{\substack{b \leqslant (x-1)/a \\ p\mid b \ \Rightarrow\ p>z \\ ab +1\text{ простое}}} \frac{1}{\tau(b)},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
и так как $\tau(b)=O_\varepsilon(1)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\Phi(x)\gg_\varepsilon \sum_{a\leqslant x^\varepsilon} \frac{1}{\tau(a)} \sum_{\substack{b \leqslant (x-1)/a \\ p\mid b \ \Rightarrow\ p>x^\varepsilon \\ ab +1\text{ простое}}} 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Внутренняя сумма оценивается снизу с помощью решета Бруна–Хооли величиной порядка где вкладом величины $R(x;a)$ можно пренебречь. Отсюда получаем требуемый результат
$$
\begin{equation*}
\Phi(x) \gg_\varepsilon \frac{x}{(\log x)^2}\sum_{a\leqslant x^\varepsilon} \frac{1}{a\tau(a)}\gg_\varepsilon \frac{x}{(\log x)^{3/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что приведенные выше рассуждения не позволяют получить верхнюю оценку для $\Phi(x)$, поскольку оценка вклада в сумму (1.2) от $a>x^{1-\varepsilon}$ по сути равносильна исходной задаче. Аналогично выводится нижняя оценка суммы $F(x)$. Верхняя оценка для $F(x)$ следует из теоремы 1 работы [8]. Заметим, что эта же оценка получается из неравенства $\tau(n)\geqslant 2^{\omega(n)}$ (здесь $\omega(n)$ – число простых делителей $n$ без учета кратности) и оценки на количество чисел $n\leqslant x$ с заданным значением $\omega(n^2+1)$. Для полноты мы приводим необходимые рассуждения. Отметим, что методы, используемые в настоящей работе, можно применять и к другим функциям, родственным $\tau(n)$. Так, если $\tau_k(n)$ означает обобщенную функцию делителей, $\tau_k(n)=\sum_{n=d_1 d_2\dotsb d_k}1$, то можно доказать, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant x}\frac{1}{\tau_k(p-1)}\asymp_k x (\log x)^{1/k-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 2. ОбозначенияЧерез $\varphi(n)=\#\{k \leqslant n\colon (k,n)=1\}$ мы обозначаем функцию Эйлера, а через $P^{+}(n)$ и $P^{-}(n)$ – наибольший и наименьший простые делители числа $n>1$ соответственно; мы полагаем $P^+(1)=0$ и $P^-(1)=\infty$. Далее, $\pi(x)$ – количество простых чисел, не превосходящих $x$, а $\pi(x;q,a)$ – количество простых чисел, не превосходящих $x$ и принадлежащих прогрессии $a\ (\operatorname{mod}q)$; при этом $R(x;q,a)=\pi(x;q,a)-{\pi(x)}/{\varphi(q)}$. Запись $f(x)\ll g(x)$ или $f(x)=O(g(x))$ означает, что $|f(x)|\leqslant C g(x)$, где $C>0$ – абсолютная константа. Также мы пишем $f(x)\asymp g(x)$, если $f(x)\ll g(x)\ll f(x)$, и $f(x)\ll_k g(x)$, если хотим подчеркнуть, что константа $C$ зависит от $k$. Напомним теперь некоторые обозначения, принятые в методах решета. Пусть $\mathcal{A}$ – конечное подмножество натуральных чисел, $\mathcal{P}$ – конечное подмножество простых чисел. Положим $P=\prod _{p \in \mathcal{P}} p$ и $S(\mathcal{A}, \mathcal{P})=\#\{a \in \mathcal{A}\colon (a,P)=1 \}$. Пусть $\mathcal{A}_d=\#\{a \in \mathcal{A}\colon a \equiv 0 \ (\operatorname{mod}d)\}$; будем предполагать, что при $d \mid P$ имеет место равенство где $g(d)$ – мультипликативная функция такая, что $0<g(p)<1$ при $p \in \mathcal{P}$ и $g(p)=0$ при $p \not \in \mathcal{P}$.Далее, пусть множество $\mathcal{P}$ разбито на непересекающиеся подмножества $\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2, \dots, \mathcal{P}_t$ и $P_j=\prod _{p \in \mathcal{P}_j} p$. Пусть, наконец, $\{k_j\}_{r=1}^t$ – последовательность четных чисел. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, V_j=\prod _{p \in \mathcal{P}_r} (1-g(p)), \qquad L_j=\log V_j^{-1}, \qquad E=\sum _{j=1}^{t} \frac{e^{L_j} (L_j)^{k_j+1}}{(k_j+1)!}, \\ R=\sum _{\substack{d_j\mid P_j\\ \omega(d_j) \leqslant k_j}} |r_{d_1 \dotsb d_t}|, \qquad R'=\sum _{l=1}^t \sum _{\substack{d_j\mid P_j \\ \omega(d_j) \leqslant k_j,\, j \ne l \\ \omega(d_l)=k_l+1}} |r_{d_1 \dotsb d_t}|. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Вспомогательные утвержденияМы используем следующую версию решета Бруна–Хооли, принадлежащую К. Форду и Х. Халберстаму (см. [9]). Теорема 3.1. Пусть выполнено равенство (2.1). Тогда Доказательство см. в [9]. Лемма 3.2. Пусть $a \leqslant x^{1/40}$ четно и Замечание 3.3. Аналогичные верхние оценки без остатка $R_1$ могут быть получены просеиванием множества Доказательство леммы 3.2. Применим теорему 3.1 к множествам
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\biggl\{n \leqslant \frac{x-1}a\colon an + 1\text{ простое}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathcal{P}=\{p \leqslant z\}$, где $z=x^{1/40}$ (остальные параметры выберем позже). Тогда $F_a(x)=S(\mathcal{A}, \mathcal{P})$ и при $d\mid P=\prod_{p\leqslant z}p$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_d=\#\biggl\{k\leqslant \frac{x-1}{ad}\colon adk+1\text{ простое}\biggr\} =\pi(x; ad,1)=\frac{\pi(x)}{\varphi(ad)}+R(x; ad,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем каждое $d\mid P$ в виде $d=d_1d_2$, где $(d_1,a)=1$ и $d_2$ составлено из простых чисел, делящих $a$. Тогда, так как $\varphi(ad_2)=ad_2\prod_{p\mid a}(1-1/p)=d_2\varphi(a)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\varphi(ad)}=\frac{1}{\varphi(d_1)\varphi(ad_2)} =\frac{1}{\varphi(d_1)d_2\varphi(a)},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, равенство (2.1) выполнено при $X= {\pi(x)}/{\varphi(a)}$, мультипликативной функции $g$, определяемой на простых числах равенствами и Кроме того, справедливо порядковое равенство причем подразумеваемая постоянная абсолютна.
Выберем теперь разбиение $\mathcal{P}$ и числа $\{k_j\}_{j=1}^t$. Положим $z_j=z^{2^{1-j }}$ и где $t$ определяется из условия $z_{t+1} < 2 \leqslant z_t$. Пусть $k_j= b + 2(j-1)$, где $b \geqslant 2$ четное. Также положим
$$
\begin{equation*}
C=\prod_{p>2}\biggl(1+\frac{1}{p^2-2p}\biggr)\leqslant 1.52.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу [10; теорема 7, формулы (3.26), (3.27)] при любом $x>1$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{e^{-\gamma}}{\log x}\biggl(1-\frac{1}{\log^2x}\biggr) < \prod_{p\leqslant x}\biggl(1-\frac1p\biggr) < \frac{e^{-\gamma}}{\log x}\biggl(1+\frac{1}{2\log^2x}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\gamma$ – постоянная Эйлера. Отсюда следует, что при любом $z\geqslant \sqrt2$ верно неравенство
$$
\begin{equation}
\prod_{z<p\leqslant z^2}\biggl(1-\frac1p\biggr)^{-1}\leqslant 3;
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
действительно, при $z\geqslant 4$ данное неравенство следует из оценки (3.1), а при $\sqrt{2}\leqslant z<4$ проверяется непосредственно. Отсюда находим
$$
\begin{equation*}
V_j^{-1}=\prod_{z_{j+1} < p \leqslant z_j} (1 - g(p))^{-1} \leqslant C\prod_{z_{j+1}<p\leqslant z_j}\biggl(1-\frac1p\biggr)^{-1} \leqslant 3C\leqslant 5.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $L_j=\log V_j^{-1}\leqslant L=\log 5$ и
$$
\begin{equation*}
E=\sum_{j=1}^t \frac{e^{L_j} L_j^{k_j+1}}{(k_j+1)!} \leqslant e^L\sum_{j=1}^t\frac{L^{b+2j-1}}{(b+2j-1)!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим теперь сумму $R+R'$. Для числа $d$, отвечающего слагаемому в $R$, имеем $d=d_1 \dotsb d_t$, где $d_j \mid {P}_j$ и $\omega(d_j) \leqslant k_j=b+2(j-1)$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
d \leqslant z_1^{k_1} \dotsb z_t^{k_t} \leqslant z^{b+(b+2)/2+(b+4)/4+\dotsb}=z^{2b+4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $d$ отвечает слагаемому в $R'$, то аналогично имеем $d \leqslant z^{2b+4} z=z^{2b+5}$. Далее, так как числа $d$, участвующие в суммах $R$ и $R'$, различны и не превосходят $z^{2b+5}$, получаем Возьмем теперь $b=4$. Тогда $2b+5=13$,
$$
\begin{equation*}
E\leqslant 5\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(\log 5)^{2j+3}}{(2j+3)!} \leqslant 0.48, \qquad R+R' \leqslant \sum_{d \leqslant x^{13/40}} |R(x;ad,1)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.2 доказана. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}=\bigl\{ a \geqslant 1\colon a \mid n^2 + 1 \text{ для некоторого } n \geqslant 1 \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как известно, $a \in \mathcal{M}$ в том и только том случае, когда $4 \nmid a$ и $p \nmid a$ для любого $p \equiv 3\ (\operatorname{mod}4)$. Лемма 3.4. Пусть $2\leqslant a, z\leqslant x^{1/30}$, $a \in \mathcal{M}$ и $P^{+}(a)\leqslant z$. Положим Тогда Доказательство. Положим $\mathcal{A}=\{k\colon ak=n^2+1 \text{ для некоторого } n\leqslant x\}$ и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}= \begin{cases} \{p \leqslant z\colon p\equiv 1\ (\operatorname{mod}4)\} &\text{ в случае четного } a, \\ \{2\}\cup \{p \leqslant z\colon p\equiv 1\ (\operatorname{mod}4)\} &\text{ в случае нечетного } a. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $W_a(x,z)=S(\mathcal{A}, \mathcal{P})$. Запишем каждое $d\mid P=\prod_{p\in\mathcal{P}}p$ в виде $d=d_1d_2$, где $(d_1,a)=1$ и $d_2$ составлено из простых чисел, делящих $a$. Пусть одно из чисел, $d$ или $a$, четно. Тогда, используя китайскую теорему об остатках и тот факт, что сравнение $x^2+1\equiv0\ (\operatorname{mod}p)$ имеет два решения при $p\equiv 1\ (\operatorname{mod}4)$ и одно решение при $p=2$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A}_d &=\#\{n\leqslant x\colon n^2+1 \equiv 0 \ (\operatorname{mod}ad) \} \\ &= \frac{x2^{\omega(ad)-1}}{ad}+O(2^{\omega(ad)}) =\frac{x2^{\omega(a)+\omega(d_1)-1}}{ad_1d_2}+O(2^{\omega(ad)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $a$ и $d$ одновременно нечетны, то, рассуждая аналогично, получим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_d= \frac{x2^{\omega(a)+\omega(d_1)}}{ad_1d_2}+O(2^{\omega(ad)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в обоих случаях мы получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_d=\frac{x2^{\omega(a)+\omega(d_1)-\mathbb I(2\mid ad)}}{ad_1d_2}+O(2^{\omega(ad)}) =\frac{x2^{\omega(a)-\mathbb I(2\mid a)}}{a}\frac{2^{\omega(d_1)-\mathbb I(2\mid d_1)}}{d_1d_2}+O(\tau(ad)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb I(2\mid l)$ равно единице при четном $l$ и равно нулю при нечетном $l$. Таким образом, равенство (2.1) выполнено при $X= (x2^{\omega(a)-\mathbb I(2\mid a)})/a$, мультипликативной функции $g$, определяемой на нечетных простых числах из $\mathcal{P}$ равенствами
$$
\begin{equation*}
g(p)=\begin{cases} \dfrac{2}{p} &\text{при } p\nmid a, \\ \dfrac{1}{p} &\text{при } p\mid a \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
(а также $g(2)=1/2$ в случае нечетного $a$), и Как известно, справедливо порядковое равенство
$$
\begin{equation}
\prod _{\substack{p\leqslant x \\ p\equiv 1\, (\operatorname{mod}4)}}\biggl(1-\frac{1}{p} \biggr)\asymp \frac{1}{\sqrt{\log x}}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
(см. [11]). Отсюда в обоих случаях выбора $\mathcal{P}$ получаем причем подразумеваемая постоянная абсолютна.
Выберем теперь разбиение $\mathcal{P}$ и числа $\{k_j\}_{j=1}^t$. Вновь положим $z_j=z^{2^{1-j }}$ и где $t$ определяется из условия $z_{t+1} < 2 \leqslant z_t$, и ${k_j=b+2(j-1)}$, где $b \geqslant 2$ четное. Тогда из (3.2) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_j^{-1} &=\prod_{z_{j+1} < p \leqslant z_j} (1 - g(p))^{-1} \leqslant 2\prod_{z_{j+1}<p\leqslant z_j, \, p\neq2}\biggl(1-\frac2p\biggr)^{-1} \\ &=2\prod_{z_{j+1}<p\leqslant z_j, \, p\neq2}\biggl(1-\frac1p\biggr)^{-2}\frac{(1-1/p)^2}{1-2/p} \leqslant 18C\leqslant 28; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда получаем $L_j=\log V_j^{-1}\leqslant L=\log 28$ и
$$
\begin{equation*}
E=\sum_{j=1}^t \frac{e^{L_j} L_j^{k_j+1}}{(k_j+1)!} \leqslant e^L\sum_{j=1}^t\frac{L^{b+2j-1}}{(b+2j-1)!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $b=10$; тогда $E\leqslant 0.43$ и $2b+5=25$. Как и в доказательстве леммы 3.2, получаем
$$
\begin{equation*}
R+R' \leqslant \sum_{d \leqslant z^{2b+5}} |r_d|\ll \tau(a)\sum_{d\leqslant z^{25}}\tau(d)\ll x^{1/30}z^{25} \ll x^{26/30},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом главный член оценивается снизу как
$$
\begin{equation*}
X\prod_{p\in \mathcal{P}}(1-g(p)) \asymp\frac{x2^{\omega(a)}}{\varphi(a)\log z} \gg\frac{x^{1-1/30}}{\log x}.
\end{equation*}
\notag
$$
В завершение применим теорему 3.1. Лемма 3.4 доказана. Утверждение следующей леммы – частный случай результата Ж. Тененбаума (см. [12]). Для полноты мы приводим доказательство нужного нам случая. Лемма 3.5. Пусть $R>0$ фиксировано. Тогда существуют положительные постоянные $A=A(R)$ и $B=B(R)$ такие, что для всех $1\leqslant k \leqslant R\log\log x$ Доказательство. Для $m\geqslant 2$ и $y\geqslant2$ определим “$y$-гладкую часть” числа $m$:
$$
\begin{equation*}
d(m,y)=\max\bigl\{d\mid m\colon P^+(d)\leqslant y\bigr \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $n\leqslant x$ представим число $n^2+1$ в виде произведения $ab$, где
$$
\begin{equation*}
a=a(n)=\max\bigl\{d(n^2+1,y)\colon d(n^2+1,y)\leqslant x^{1/30} \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и $b=b(n)=(n^2+1)/a$; при этом $(a,b)=1$. Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1 &=\bigl\{ n\leqslant x\colon a\leqslant x^{1/60},\, P^-(b)>x^{1/60},\, b>1\bigr\}, \\ A_2 &=\bigl\{ n\leqslant x\colon a\leqslant x^{1/60},\, P^-(b)\leqslant x^{1/60},\, b>1\bigr\}, \\ A_3 &=\bigl\{ n\leqslant x\colon x^{1/60}< a \leqslant x^{1/30},\, b>1 \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как количество тех $n\leqslant x$, для которых $b(n)=1$, не превосходит $x^{1/60}$, получаем где
Оценим сначала $N_1$. В этом случае $1\leqslant \omega(b)\leqslant 120$; применяя лемму 3.4, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag N_1 &\leqslant \sum_{l=k-120}^{k-1}\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/60}, \, a\in \mathcal{M} \\ \omega(a)=l }} W_a(x, x^{1/60}) \ll \sum_{l=k-120}^{k-1}\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/60}, \, a\in \mathcal{M} \\ \omega(a)=l }}\frac{x2^{\omega(a)}}{\varphi(a)\log x} \\ &\leqslant \frac{x}{\log x}\sum_{l=k-120}^{k-1}2^l\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/60}, \, a\in \mathcal{M} \\ \omega(a)=l }}\frac{1}{\varphi(a)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Логарифмируя обе части равенства (3.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\sum _{\substack{p\leqslant x \\ p\equiv 1\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{1}{p}= \frac{1}{2}\log\log x+O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что внутренняя сумма в последнем выражении в (3.5) при $l\geqslant 0$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{l!}\biggl(\sum_{p\leqslant x^{1/60},\, p\neq 3\, (\operatorname{mod}4)}\frac{1}{\varphi(p)}+\frac{1}{\varphi(p^2)}+\dotsb \biggr)^l \leqslant \frac{1}{l!}(0.5\log\log x+B_1)^l
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $B_1>0$. Поэтому
$$
\begin{equation}
N_1\ll \frac{x(\log\log x+B_1)^{k-1}}{(k-1)!\,\log x}\biggl(1+R+\dots+R^{120} \biggr).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Оценим $N_2$. Заметим, что если $p=P^-(b)$ входит в число $b$ в степени $r$, то по определению числа $a$ имеем $ap^r>x^{1/30}$. Поэтому для чисел $n\in A_2$ справедливо $p^r> x^{1/60}$, а так как к тому же $p\leqslant x^{1/60}$, то получим $r\geqslant 2$. Положим $\nu=\min\{u\geqslant 1\colon p^u>x^{1/60}\}$; тогда $2\leqslant \nu\leqslant r$ и $p^{\nu-1}\leqslant x^{1/60}$. Отсюда получаем $p^\nu\leqslant x^{1/60}p\leqslant x^{1/30}$. Тогда для каждого $n\in A_2$ число $n^2+1$ делится на число вида $p^\nu$, где $p$ простое, $\nu\geqslant 2$ и $x^{1/60}<p^\nu\leqslant x^{1/30}$. Отсюда для величины $N_2$ получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
N_2\leqslant\sum_{x^{1/60}<p^\nu\leqslant x^{1/30},\,\nu\geqslant 2}\biggl( \frac{2x}{p^\nu}+O(1)\biggr)\ll \sum_{x^{1/60}<p^\nu \leqslant x^{1/30},\,\nu\geqslant 2}\frac{x}{p^\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим теперь, что $p^{\nu} \geqslant \max\{p^2, x^{1/60}\}$, и поэтому $p^{\nu}\geqslant px^{1/120}$, откуда следует
$$
\begin{equation}
N_2\ll \sum_{p\leqslant x^{1/30}}\frac{x}{px^{1/120}} \ll x^{1-1/120}\log\log x.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Наконец, оценим $N_3$. Положим $q=P^+(a)$; тогда $P^-(b)\geqslant q+1$ и
$$
\begin{equation}
\omega(b)\leqslant \frac{\log (x^2+1)}{\log (q+1)}\leqslant \frac{2\log x}{\log q}=:\eta.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Тогда по лемме 3.4 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_3 &\leqslant \sum_{\substack{q\leqslant x^{1/30} \\ q\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\sum_{k-\eta\leqslant l\leqslant k-1}\sum_{\substack{x^{1/60}<a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}W_a(x,q) \nonumber \\ &\ll x\sum_{\substack{q\leqslant x^{1/30} \\ q\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{1}{\log q}\sum_{k-\eta\leqslant l\leqslant k-1}2^l\sum_{\substack{x^{1/60}<a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}\frac{1}{\varphi(a)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\delta=\frac{C}{\log q}, \quad\text{где }\ C=120\log(R+2)+60.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Обозначим через $N_3^{(1)}$ вклад от $q\leqslant e^{2C}$ в сумме выше, а через $N_3^{(2)}$ – вклад от оставшихся $q$. Пользуясь оценкой
$$
\begin{equation*}
\varphi(a)\gg\frac{a}{\log\log a}\gg\frac{x^{1/60}}{\log\log x},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
N_3^{(1)}\ll x^{59/60}\log\log x\sum_{q\leqslant e^{2C}}\sum_{1\leqslant l\leqslant \pi(q)}2^l\sum_{\substack{a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q}}1 \ll x^{59/60}(\log x)^{c_R},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $c_R>0$ зависит только от $R$. Далее, оценим величину $N_3^{(2)}$. При фиксированных $q$ и $l$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{q,l} &:=\sum_{\substack{x^{1/60}<a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}\frac{1}{\varphi(a)} \leqslant \sum_{\substack{a\leqslant x^{1/30} \\ P^+(a)=q, \, \omega(a)=l}}\biggl(\frac{a}{x^{1/60}}\biggr)^{\delta}\frac{1}{\varphi(a)} \\ &\leqslant x^{-\delta/60}\frac{1}{(l-1)!}\biggl(\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{p^{\delta}}{\varphi(p)} +\frac{p^{2\delta}}{\varphi(p^2)}+\dotsb \biggr)^{l-1}\biggl(\frac{q^{\delta}}{\varphi(q)} +\frac{q^{2\delta}}{\varphi(q^2)}+\dotsb\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим теперь, что
$$
\begin{equation*}
\frac{q^{\delta}}{\varphi(q)}+\frac{q^{2\delta}}{\varphi(q^2)}+\dotsb \ll_R \frac1q \quad\text{при }\ q>e^{2C},
\end{equation*}
\notag
$$
а сумма по простым $p$ равна (так как $e^u= 1+O_K(u)$ при $0\leqslant u\leqslant K$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{p^\delta}{p}+O_R(1) \\ &\qquad=\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{1}{p}+ O_R\biggl(\delta\sum_{\substack{p<q \\ p\not{\equiv} 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{\log p}{p}+1\biggr)\leqslant 0.5\log\log x+B, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $B=B(R)>0$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag S_{q,l}\ll_R \frac{x^{-\delta/60}}{q(l-1)!}(0.5\log\log x+B)^{l-1}, \\ \begin{split} N_3^{(2)} &\ll_R x\sum_{\substack{e^{2C}<q\leqslant x^{1/30} \\ q\not\equiv 3\, (\operatorname{mod}4)}}\frac{x^{-\delta/60}}{q\log q}\sum_{k-\eta\leqslant l\leqslant k-1}\frac{2^l(0.5\log\log x+B)^{l-1}}{(l-1)!} \\ &\ll \frac{x(\log\log x+2B)^{k-1}}{(k-1)!}\sum_{q\leqslant x^{1/30}}\frac{x^{-\delta/60}}{q\log q}(1+R+\dots +R^{[\eta]}). \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Используя оценку и равенство которое следует из определений чисел $\eta$ и $\delta$, данных в (3.8) и (3.10), получаем, что сумма по простым $q$ в равенстве (3.12) не превзойдет
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(R+2) \sum_{q\leqslant x^{1/30}}\frac{(R+2)^{\eta}x^{-\delta/60}}{q\log q} \leqslant (R+2)\sum_{q\leqslant x^{1/2}}\frac{x^{-1/\log q}}{q\log q} \\ &\qquad\leqslant \frac{R+2}{\log x}\sum_{j\geqslant 1}\sum_{q\in (x^{2^{-(j+1)}}, \,x^{-2^j}]}\frac1q \,2^{j+1}\exp(-2^j) \ll_R \frac{1}{\log x}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученную оценку в (3.12), с учетом (3.11) находим
$$
\begin{equation}
N_3 \ll_R \frac{x(\log\log x+2B)^{k-1}}{(k-1)!\,\log x}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Собирая вместе (3.4), (3.6), (3.7) и (3.13), получаем требуемое. Лемма 3.5 доказана. § 4. Доказательство теоремы 1.1Положим $p-1=ab$, где $P^+(a)\leqslant x^{1/40}$ и $P^-(b)>x^{1/40}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\Phi(x)=\sum_{\substack{a \leqslant x \\ P^+(a) \leqslant x^{1/40}}} \frac{1}{\tau(a)} \sum_{\substack{b \leqslant (x-1)/a \\ P^-(b) > x^{{1}/{40}} \\ ab +1\text{ простое}}} \frac{1}{\tau(b)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $b=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dotsb p_s^{\alpha_s}$ – каноническое разложение числа $b$. Тогда
$$
\begin{equation*}
x^{ (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_s)/40} < b \leqslant x,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем $\alpha_1+\dots+\alpha_s < 40$ и
$$
\begin{equation*}
\tau(b)=(\alpha_1+1) \dotsb (\alpha_s+1) \leqslant 2^{\alpha_1+\dots+\alpha_s} < 2^{40}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\Phi(x) \geqslant 2^{-40} \sum_{\substack{a \leqslant x \\ P^+(a) \leqslant x^{1/40}}} \frac{1}{\tau(a)} \sum_{\substack{b \leqslant (x-1)/a \\ P^-(b) > x^{1/40} \\ ab +1\text{ простое}}} 1 \geqslant 2^{-40} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/40} \\ a \text{ четное}}} \frac{1}{\tau(a)}F_a(x) .
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 3.2 находим
$$
\begin{equation*}
\Phi(x) \geqslant \frac{c_2 \pi(x)}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/40} \\ a \text{ четное}}} \frac{1}{\tau(a)\varphi(a)}-R_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_2>0$ и
$$
\begin{equation*}
0\leqslant R_2 \leqslant \sum_{a\leqslant x^{1/40}}\sum_{d\leqslant x^{13/40}}|R(x;ad,1)| \leqslant \sum_{q\leqslant x^{7/20}}\tau(q)|R(x;q,1)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя оценку $|R(x;q,1)|\ll x/q$ и неравенство Коши–Буняковского, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_2 &\ll x^{1/2} \sum_{q \leqslant x^{0.35}} \frac{\tau(q)}{q^{1/2}} (|R(x; q, 1)|)^{1/2} \\ &\leqslant x^{1/2} \biggl(\sum_{q \leqslant x^{0.35}} \frac{\tau^2(q)}{q}\biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{q \leqslant x^{0.35}} |R(x; q, 1)|\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся оценкой
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant x}\frac{\tau^2(n)}{n} \asymp (\log x)^4,
\end{equation*}
\notag
$$
которая получается из $\sum_{n\leqslant x}\tau^2(n)\asymp x(\log x)^3$ (см. [13; гл. III, упражнение 7]) с помощью преобразования Абеля. Тогда из теоремы Бомбьери–Виноградова для произвольного $A>0$ находим
$$
\begin{equation*}
R_2 \ll_A x^{1/2}(\log x)^2 \frac{x^{1/2}}{(\log x)^{A/2}}= \frac{x}{(\log x)^{A/2-2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при $A=24$ получим Перейдем теперь к сумме
$$
\begin{equation*}
T_1=\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/40} \\ a \text{ четное}}} \frac{1}{\tau(a) \varphi(a)}=\sum_{l \leqslant 0.5x^{1/40}} \frac{1}{\tau(2l)\varphi(2l)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\tau(mn) \leqslant \tau(m)\tau(n)$ и $\varphi(n) \leqslant n$, то
$$
\begin{equation*}
T_1\gg \sum_{l \leqslant 0.5x^{1/40}} \frac{1}{\tau(l)l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношения (1.1) с помощью преобразования Абеля получаем Отсюда получим
$$
\begin{equation*}
\Phi(x)\gg \frac{\pi(x)}{(\log x)^{1/2}}-O\biggl( \frac{x}{(\log x)^{10}}\biggr)\gg \frac{x}{(\log x)^{3/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.1 доказана. § 5. Доказательство теоремы 1.2Сначала докажем нижнюю оценку. При любом $z\geqslant2$ имеем
$$
\begin{equation*}
F(x)=\sum_{n \leqslant x} \frac{1}{\tau(n^2+1)}=\sum_{\substack{ab=n^2 + 1,\,n \leqslant x\\ P^+(a) \leqslant z,\, P^-(b) > z}} \frac{1}{\tau(ab)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $z=x^{1/30}$; тогда $\tau(b) \leqslant 2^{60}$ и по лемме 3.4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x) &\geqslant 2^{-60} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{1}{\tau(a)} W_a(x, x^{1/30})\gg \frac{x}{\log x} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{2^{\omega(a)}}{\tau(a)\varphi(a)} \\ &\geqslant \frac{x}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M} \\ a\text{ бесквадратное}}}\frac{1}{a}= \frac{x}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{1}{a}\,\sum_{\delta^2\mid a}\mu(\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя порядок суммирования и используя равенство получаем
$$
\begin{equation}
F(x)\gg \frac{x}{\log x}\sum_{\substack{\delta \leqslant x^{1/60} \\ \delta \in \mathcal{M}}} \frac{\mu(\delta)}{\delta^2} \sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30}\delta^{-2} \\ a \in \mathcal{M} }} \frac{1}{a} \geqslant \biggl( 2-\frac{\pi^2}{6}\biggr)\frac{x}{\log x}\sum_{\substack{a \leqslant x^{1/30} \\ a \in \mathcal{M}}} \frac{1}{a}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Как известно (см. [14; § 183]), при $y\geqslant 2$ справедливо
$$
\begin{equation*}
\# \{a\leqslant y\colon p\mid a \ \Rightarrow\ p\equiv 1\ (\operatorname{mod} 4)\} \asymp \frac{y}{(\log y)^{1/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя преобразование Абеля, находим
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{a\leqslant y \\ p\mid a \ \Rightarrow\ p\equiv 1\, (\operatorname{mod} 4) }}\frac{1}{a}\asymp (\log y)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя полученное соотношение к (5.1), получаем что и требовалось. Теперь докажем оценку сверху. В силу леммы 3.5 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x)&\leqslant \sum_{n\leqslant x}\frac{1}{2^{\omega(n^2+1)}} \\ &=\sum_{k\leqslant 2\log\log x}\frac{\#\{n\leqslant x\colon \omega(n^2+1)=k\}}{2^k} + O\biggl(\sum_{k>2\log\log x}\frac{x}{2^k}\biggr) \\ &\ll \frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(0.5\log\log x+0.5B)^{k-1}}{(k-1)!} + O\biggl(\frac{x}{\log x}\biggr)\ll \frac{x}{(\log x)^{1/2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GabKonIud23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|