| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Узел как полный инвариант 3-диффеоморфизмов Морса–Смейла с четырьмя неподвижными точками О. В. Починкаa, Е. А. Талановаab, Д. Д. Шубинa a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Нижний Новгород b Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9814e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение и формулировка результатовНапомним, что диффеоморфизм $f\colon M^{n}\to M^{n}$, заданный на гладком замкнутом связном ориентируемом $n$-мерном многообразии ($n\geqslant 1$) $M^{n}$, называется диффеоморфизмом Морса–Смейла, если 1) его неблуждающее множество $\Omega_{f}$ состоит из конечного числа гиперболических орбит; 2) многообразия $W^{\mathrm s}_{p}$, $W^{\mathrm u}_{q}$ пересекаются трансверсально для любых неблуждающих точек $p$, $q$. Если $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$ – различные седловые периодические точки диффеоморфизма Морса–Смейла, для которых $W^{\mathrm s}_{\sigma_{1}}\cap W^{\mathrm u}_{\sigma_{2}}\neq\varnothing$, то пересечение $W^{\mathrm s}_{\sigma_{1}}\cap W^{\mathrm u}_{\sigma_{2}}$ называется гетероклиническим пересечением. При этом компоненты линейной связности размерности 1 называются гетероклиническими кривыми. В работе [1] получена полная топологическая классификация диффеоморфизмов Морса–Смейла на произвольных замкнутых 3-многообразиях. Однако, будучи рассчитанным на широкий класс потоков, описание инвариантов занимает основную часть классификации. В некоторых частных случаях инварианты зачастую находятся более естественным образом, без рассмотрения их как части общности. Так, в настоящей работе устанавливается, что для широкого класса 3-диффеоморфизмов, чье неблуждающее множество состоит в точности из четырех точек, полным инвариантом является класс эквивалентности узла Хопфа на многообразии $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Напомним, что узлом на многообразии $M^n$ называется гладкое вложение $\gamma\colon M^n\to M^n$ или образ этого вложения $L=\gamma(\mathbb S^1)$. Узлы $L$, $L'$ называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h\colon M^n\to M^n$ такой, что $h(L)=L'$. Через $[L]$ будем обозначать класс эквивалентности узла $L$. Узел $L\subset\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ называется узлом Хопфа, если гомоморфизм $i_{L*}$, индуцированный включением $i_{L}\colon L\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, является изоморфизмом групп $\pi_1(L)\cong\pi_1(\mathbb S^2\times\mathbb S^1)\cong\mathbb Z$. Любой хопфовский узел гомотопен стандартному хопфовскому узлу $L_0=\{x\}\times\mathbb S^1$ (см., например, [2], [3]), но не является эквивалентным ему в общем случае. Б. Мазур в [4] построил хопфовский узел $L_M$, не эквивалентный узлу $L_0$ (рис. 1). В работе [3] построены счетные семейства попарно неэквивалентных хопфовских узлов (рис. 2). Трехмерные диффеоморфизмы Морса–Смейла в точности с четырьмя неблуждающими точками делятся на два класса, в одном из которых диффеоморфизмы имеют в точности одну седловую точку, в другом – две. Для диффеоморфизмов первого класса в работе Хр. Бонатти и В. З. Гринеса [5] установлено, что их топологическая сопряженность полностью определяется эквивалентностью узлов Хопфа, являющихся проекцией одномерной седловой сепаратрисы. В силу результатов работ [6], [5] любой узел Хопфа может быть реализован диффеоморфизмом первого класса на 3-сфере. В настоящей работе рассмотрены диффеоморфизмы второго класса. Именно, рассмотрен класс $G$ сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса–Смейла $f$, заданных на замкнутом многообразии $M^3$ со следующими свойствами: – неблуждающее множество диффеоморфизма $f\in G$ состоит в точности из четырех неподвижных точек $\omega_f,\sigma_f^{1},\sigma_f^{2},\alpha_f$ с размерностями неустойчивых многообразий $0,1,2,3$ соответственно; – множество $H_f=W^{\mathrm s}_{\sigma_f^{1}}\cap{W^{\mathrm u}_{\sigma_f^{2}}}$ непусто и линейно связно (следовательно, состоит из единственной некомпактной кривой)1. Исследование таких систем представляет интерес в первую очередь с фундаментальной точки зрения: изучается взаимосвязь топологии и динамики. Однако системы с гетероклиническими кривыми на $\mathbb R^3$ и $\mathbb S^3$ возникают во многих прикладных задачах, например, в модели Лотки–Вольтерра, которую, в частности, в [8] предлагалось использовать для моделирования когнитивных и эмоциональных функций мозга. Пусть $f\in G$. Обозначим через $\ell_f^1$, $\ell_f^2$ неустойчивые сепаратрисы точки $\sigma_f^{1}$. Тогда (см., например, [9]) замыкание $\operatorname{cl}(\ell_f^i)$, $i=1,2$, одномерной неустойчивой сепаратрисы точки $\sigma_f^{1}$ гомеоморфно простой компактной дуге и состоит из этой сепаратрисы и двух точек: седла $\sigma_f^{1}$ и стока $\omega_f$ (рис. 3). Пусть $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3$, $\|\mathbf x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ и $a\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ – диффеоморфизм, определенный формулой $a(\mathbf x)=\mathbf x/{2}$. Определим отображение $p\colon \mathbb R^3\setminus O\to\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ формулой
$$
\begin{equation*}
p(\mathbf x)=\biggl(\frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|}, \log_2(\|\mathbf x\|)\pmod 1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $V_{\omega_f}=W^{\mathrm s}_{\omega_f}\setminus\omega_f$. В силу гиперболичности стока $\omega_f$ существует диффеоморфизм $\psi_f\colon V_{\omega_f}\to\mathbb R^3\setminus O$, сопрягающий диффеоморфизмы $f$ и $a$. Положим $p_{\omega_f}=p\psi_f\colon V_{\omega_f}\to\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ и $L_f^{i}=p_{\omega_f}(\ell_f^i)$, $i=1,2$. Лемма 1.1. Для любого диффеоморфизма $f\in G$ множества $L_f^1$, $L_f^2$ являются эквивалентными узлами Хопфа в многообразии $\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$. Обозначим через $\mathcal L_f=[L_f^1]=[L_f^2]$ класс эквивалентности этих узлов. Теорема 1.1. Диффеоморфизмы $f,f'\in G$ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда $\mathcal L_f=\mathcal L_{f'}$. Таким образом, класс эквивалентности хопфовского узла является полным топологическим инвариантом для диффеоморфизмов класса Пикстона. Более того, имеет место следующая теорема реализации. Теорема 1.2. Для любого класса эквивалентности $\mathcal L$ хопфовских узлов существует диффеоморфизм $f_{\mathcal L}\colon \mathbb S^3\to\mathbb S^3\in G$ такой, что $\mathcal L_{f_{\mathcal L}}=\mathcal L$. Непосредственно из теорем 1.1, 1.2 следует, что объемлющим многообразием для диффеоморфизмов класса $G$ является 3-сфера $\mathbb S^3$ (независимое доказательство этого факта можно найти в работе [10]). § 2. Согласованная система окрестностейДля $t\in(0,1]$ положим $\mathcal N_{1}^t=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\colon x_1^2(x_2^2+x_3^2)< t\}$, $\mathcal N_{3}^t=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\colon (x_1^2+x_2^2)x_3^2< t\}$ и для $i\in\{1,3\}$ положим $\mathcal N^1_{i}=\mathcal N_{i}$. Определим в окрестности $\mathcal N_{1}$ пару трансверсальных слоений $\mathcal{F}^{\mathrm u}_1$, $\mathcal{F}^{\mathrm s}_{1}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{F}^{\mathrm u}_1=\bigcup_{(c_{2},c_3)\in Ox_2x_3}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{1}\colon (x_{2},x_3)=(c_{2},c_3)\}, \\ \mathcal{F}^{\mathrm s}_{1}=\bigcup_{c_1\in Ox_1}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{1} \colon x_1=c_1\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим в окрестности $\mathcal N_{3}$ пару трансверсальных слоений $\mathcal{F}^{\mathrm u}_2, \mathcal{F}^{\mathrm s}_{2}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{F}^{\mathrm u}_2=\bigcup_{c_3\in Ox_3}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{3} \colon x_3=c_3\}, \\ \mathcal{F}^{\mathrm s}_{2}=\bigcup_{(c_{1},c_2)\in Ox_1x_2}\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathcal N_{3} \colon (x_{1},x_2)=(c_{1},c_2)\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим диффеоморфизмы $a_i\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ формулами
$$
\begin{equation*}
a_1(\mathbf x)=\biggl(2x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{2}\biggr), \qquad a_3=a_1^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для $i\in\{1,3\}$ множество $\mathcal N_{i}^t$ является инвариантным относительно диффеоморфизма $a_i$, который переводит слои слоения $\mathcal{F}^{\mathrm u}_i$ ($\mathcal{F}^{\mathrm s}_{i}$) в слои этого же слоения. В силу результатов работы [1] седловая точка $\sigma_f^i$ диффеоморфизма $f\,{\in}\,G$ обладает линеаризующей окрестностью $N_f^{i}$, оснащенной гомеоморфизмом ${\mu}_{i}$: $N_{i}\to {\mathcal N}_{i}$, сопрягающим диффеоморфизм $f|_{N_f^i}$ c диффеоморфизмом $a_i|_{{\mathcal N}_{i}}$ и являющимся диффеоморфизмом на $N_i\setminus(W^{\mathrm s}_{\sigma_i\cup W^{\mathrm u}_{\sigma_i}})$. Слоения $\mathcal{F}^{\mathrm u}_{i}$, $\mathcal{F}^{\mathrm s}_{i}$ индуцируют посредством гомеоморфизма ${\mu}_{i}^{-1}$, $f$-инвариантные слоения ${F}^{\mathrm u}_{i}$, ${F}^{\mathrm s}_{i}$ на линеаризующей окрестности $N_{i}$. Для любой точки $x\in N_f^i$ будем обозначать через ${F}^{\mathrm u}_{i,x}$ (${F}^{\mathrm s}_{i,x}$) единственный слой слоения ${F}^{\mathrm u}_{i}$ (${F}^{\mathrm s}_{i}$), проходящий через точку $x$. Для диффеоморфизма $f\in G$ множество $H_f$ состоит из единственной гетероклинической кривой. Поэтому существует ее $f$-инвариантная окрестность $N_{H_f}\subset M^3$, оснащенная $f$-инвариантным $C^{1,1}$-слоением $F$, состоящим из двумерных дисков, трансверсальных $H_f$. Для любой точки $x\in N_{H_f}$ будем обозначать через ${F}_{x}$ единственный слой слоения ${F}$, проходящий через точку $x$. Набор $N_f$ линеаризующих окрестностей $N_f^1$, $N_f^2$ седловых точек диффеоморфизма $f$ назовем согласованной системой окрестностей, а слоения $F^{\mathrm s}_i$, $F^{\mathrm u}_i$, $i=1,2$, согласованными, если для любой точки $x\in(N_f^1\cap N_f^2\cap N_{H_f})$ и слоя $F_x$ слоения $F$, проходящего через точку $x$, выполняются условия (рис. 4)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {F}^{\mathrm s}_{1,x}\cap F_x={F}^{\mathrm s}_{2,x}\cap({N}_f^{1}\cap N_{H_f}), \\ {F}^{\mathrm u}_{2,x}\cap F_x={F}^{\mathrm u}_{1,x}\cap ({N}_f^{2}\cap N_{H_f}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2.1 (см. [1; теорема 1]). Для любого диффеоморфизма $f\in G$ существует согласованная система окрестностей. § 3. Эквивалентность узлов $L^1_f$, $L^2_f$В этом параграфе мы докажем лемму 1.1, именно, докажем, что для любого диффеоморфизма $f\in G$ множества $L_f^1$, $L_f^2$ являются эквивалентными узлами Хопфа. Доказательство леммы 1.1. В силу [3; лемма 2] узлы Хопфа эквивалентны тогда и только тогда, когда они изотопны. Поэтому для доказательства леммы достаточно построить изотопию между узлами $L_f^1$, $L_f^2$. Положим (рис. 5)
Поскольку диффеоморфизм $f|_{W^{\mathrm u}_{\sigma_f^{2}}}$ топологически сопряжен с линейным растяжением, то пространство орбит $(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^{2}}\setminus\sigma_f^{2})/f$ гомеоморфно двумерному тору. Поскольку $W^{\mathrm u}_{\sigma_f^{2}}\cap V_{\omega_f}=W^{\mathrm u}_{\sigma_f^{2}}\setminus (H_f\cup \sigma_f^{2})$ и пространство орбит $H_f/f$ гомеоморфно окружности, то множество $C_f$ гомеоморфно двумерному кольцу. При этом гомоморфизм $i_{C_f*}$, индуцированный включением $i_{C_f}\colon C_f\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, является изоморфизмом групп $\pi_1(C_f)\cong\pi_1(\mathbb S^2\times\mathbb S^1)\cong\mathbb Z$. Положим Поскольку $N^1_f\cap V_{\omega_f}=N^1_f\setminus W^{\mathrm s}_{\sigma_f^{1}}$, то множество $U^1_f$ является дизъюнктным объединением двух заполненных торов $U^1_f=U^{1,1}_f\sqcup U^{1,2}_f$, являющихся трубчатыми окрестностями узлов $L^1_f$, $L^2_f$. Положим (рис. 6)
$$
\begin{equation*}
T^i_f=\partial U^{1,i}_f, \qquad S^i_f=T^i_f\cap C_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку множество $W^{\mathrm s}_{\sigma_f^{1}}\cap{W^{\mathrm u}_{\sigma_f^{2}}}$ состоит из единственной некомпактной $f$-инвариантной кривой, то множество $\partial N^{1}_{f}\cap{W^{\mathrm u}_{\sigma_f^{2}}}$ также состоит из двух некомпактных $f$-инвариантных кривых, проекцией которых в $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ являются кривые $S^1_f\sqcup S^2_f$ (рис. 6). Отсюда следует, что $S^1_f$, $S^2_f$ – изотопные хопфовские узлы в $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Таким образом, узлы $S^i_f$, $L^i_f$ являются образующими заполненного тора $U^{1,i}_f$. Тогда они ограничивают в нем двумерное кольцо и, следовательно, являются изотопными. Лемма доказана. § 4. Класс эквивалентности узла Хопфа как полный инвариант топологической сопряженности в классе $G$В этом параграфе мы докажем теорему 1.1: диффеоморфизмы $f,f'\in G$ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда $\mathcal L_f=\mathcal L_{f'}$. Доказательство теоремы 1.1. Необходимость. Пусть диффеоморфизмы $f,f'\in G$ топологически сопряжены посредством некоторого сопрягающего гомеоморфизма $h\colon M^3\to M^3$. Поскольку $h$ переводит инвариантные многообразия неподвижных точек диффеоморфизма $f$ в инвариантные многообразия диффеоморфизма $f'$ с сохранением устойчивости, то $h(W^{\mathrm s}_{\omega_f})= W^{\mathrm s}_{\omega_{f'}}$, $h(\ell^i_f)=\ell^i_{f'}$. Так как $hf=f'h$, то гомеоморфизм $h$ определяет гомеоморфизм $\widehat h\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ формулой Откуда следует, что $\widehat h(L^i_f)=L^i_{f'}$ и, следовательно, хопфовские узлы $L^i_f$, $L^i_{f'}$ эквивалентны.
Достаточность. Пусть $\mathcal L_f=\mathcal L_{f'}$. Тогда существует гомеоморфизм $\widehat h_0\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ такой, что $\widehat h_0(L^1_f)=L^1_{f'}$. Модифицируя гомеоморфизм $\widehat h_0$, по шагам построим гомеоморфизм $h\colon M^3\to M^3$, сопрягающий диффеоморфизмы $f$ и $f'$. Для этого мы будем использовать обозначения леммы 1.1 и § 2, которые будем снабжать штрихом для диффеоморфизма $f'$. Положим (рис. 7)
$$
\begin{equation*}
U^2_f=p_{\omega_f}(N^2_f), \qquad U_f=U^1_f\cup U^2_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 1. Построим гомеоморфизм $\widehat h_1\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ такой, что $\widehat h(U_f)=U_{f'}$. Поскольку $\mathcal L_f=\mathcal L_{f'}$, то в силу леммы 1.1 $U_f$ является трубчатой окрестностью узла $L^1_f$. Пусть $\widetilde U_f\supset U_f$ – также трубчатая окрестность узла $L^1_f$. Положим $U=\widehat h_0^{-1}(U_{f'})$, $\widetilde U=\widehat h_0^{-1}(\widetilde U_{f'})$ и выберем трубчатую окрестность $V$ узла $L^1_f$ такую, что $V\subset \operatorname{int}(U_f\cap U)$ (рис. 8). Поскольку множества $\widetilde U_f\setminus \operatorname{int}U_f$ и $U_f\setminus \operatorname{int}V$ гомеоморфны $\mathbb T^2\times[0,1]$, то существует гомеоморфизм $\widehat\psi_f\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, тождественный вне $\widetilde U_f$ и такой, что $\widehat\psi_f(U_f)=V$. Аналогичным образом строится гомеоморфизм $\widehat\psi\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, тождественный вне $\widetilde U$ и такой, что $\widehat\psi(U)=V$ (рис. 8). Тогда искомый гомеоморфизм $\widehat h_1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat h_1=\widehat h_0\widehat\psi^{-1}\widehat\psi_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2. Построим гомеоморфизм $\widehat h_2\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, совпадающий с $\widehat h_1$ вне $\widehat U_f$ и такой, что $\widehat h(C_f)=C_{f'}$. Положим $H=\mu_1(H_f)$, $H'=\mu'_1(H_{f'})$. Тогда $H$, $H'$ – $a_1$-инвариантные кривые на плоскости $Ox_2x_3$. Тогда существует гомеоморфизм $\xi_s\colon Ox_2x_3\to Ox_2x_3$, коммутирующий с $a_1|_{Ox_2x_3}$ и такой, что $\xi_s(H)=H'$ (см., например, [9]). Определим гомеоморфизм $\xi\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ формулой (рис. 9) Выберем $\tau\in(0,1)$ так, что $\xi(\mathcal N^\tau_1)\subset \operatorname{int}\mathcal N_1$. Положим $N^\tau_1=\mu_1(\mathcal N^\tau_1)$ и $\xi_1=\mu'^{-1}_1\xi\mu_1|_{N^\tau_1}$. Из определения согласованной системы окрестностей следует, что $\xi_1(N^\tau_1\cap W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f})\subset W^{\mathrm u}_{\sigma^2_{f'}}$. Положим $N^\tau_3=\mu_3(\mathcal N^\tau_3)$, $U^{\tau}_1=p_{\omega_f}(N^\tau_1)$, $U^{\tau}_3=p_{\omega_f}(N^\tau_3)$, $U^\tau=U^\tau_1\cup U^\tau_3$, $U'^{\tau}_3=p_{\omega_{f'}}(N^\tau_3)$ и $\widehat\xi_1=p_{\omega_{f'}}\xi_1p_{\omega_f}^{-1}|_{U^\tau_1}$. Положим $U'^\tau_1=\widehat\xi_1(U^\tau_1)$, $U'^\tau=U'^\tau_1\cup U'^{\tau}_3$, $K=C_f\setminus \operatorname{int}U^\tau$, $K'=C_{f'}\setminus \operatorname{int},U^\tau_1$, $U_K=U^\tau\setminus U^\tau_1$, $U_{K'}=U'^\tau\setminus U'^\tau_1$ (рис. 10). Поскольку множества $K$, $K'$ гомеоморфны двумерным кольцам и множества $U_K$, $U_{K'}$ являются их трубчатыми окрестностями, то гомеоморфизм $\widehat\xi_1$ продолжается до гомеоморфизма $\widehat\xi\colon U^\tau\to U'^\tau$ такого, что $\widehat\xi(C_f)=C_{f'}$. Тогда гомеоморфизм $\widehat\psi_1=\widehat h_1^{-1}\widehat\xi$ обладает свойством $\widehat\psi_1(U^\tau)\subset \operatorname{int}U_f$ и гомеоморфизм $\widehat\xi_1|_{\partial U^\tau}$ гомотопен тождественному отображению. Поскольку множества $U_f\setminus \operatorname{int}U^\tau$ и $U_f\setminus \operatorname{int}\widehat\psi_1(U^\tau)$ гомеоморфны $\mathbb T^2\times[0,1]$, то гомеоморфизм $\widehat\psi_1$ продолжается до гомеоморфизма $\widehat\psi_1\colon \mathbb S^2\times\mathbb S^1\to\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, тождественного вне $U_f$. Тогда искомый гомеоморфизм $\widehat h_2$ имеет вид Шаг 3. Построим искомый гомеоморфизм $h$. Из построения гомеоморфизма $\widehat h_2$ следует, что существует его поднятие $h_2\colon V_{\omega_f}\to V_{\omega_{f'}}$, сопрягающее диффеоморфизмы $f|_{V_{\omega_f}}$, $f'|_{V_{\omega_{f'}}}$ и продолжающееся гомеоморфизмом $\xi_1$ на $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}$. Таким образом, мы построили сопрягающий гомеоморфизм всюду, кроме замыканий одномерных многообразий седловых точек. В силу [1; теорема 1] такой гомеоморфизм продолжается до искомого гомеоморфизма $h$. Теорема 1.1 доказана. § 5. Реализация диффеоморфизмов класса $G$В динамике дикая дуга Артина–Фокса впервые встречается в статье Д. Пикстона [6], где он построил диффеоморфизм Морса–Смейла на 3-сфере с единственной седловой точкой, чьи инвариантные многообразия образуют дугу Артина–Фокса. В работе [5] приведена конструкция реализации произвольного узла хопфа в $\mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ диффеоморфизмом Морса–Смейла с единственной седловой точкой на 3-сфере (см. также [9], [11]). В настоящем параграфе аналогичная реализация приводится для диффеоморфизмов класса $G$. Пусть $L\subset \mathbb S^{2}\times\mathbb S^1$ – хопфовский узел и $U_L$ – его трубчатая окрестность. Тогда множество $\overline L=p^{-1}(L)$ является $a$-инвариантной дугой в $\mathbb R^3$ и $U_{\overline L}=p^{-1}(U_L)$ – ее $a$-инвариантная окрестность, диффеоморфная $\mathbb{D}^{2}\times\mathbb R^1$ (рис. 11). Определим на цилиндре $C=\{\mathbf x\in\mathbb R^3 \colon x_2^2+x_{3}^2\leqslant 4\}$ поток $g^t\colon C\to C$ формулой Тогда существует диффеоморфизм ${\zeta}\colon {U_L}\to C$, который сопрягает $a|_{U_L}$ и $g=g^1|_C$. Определим поток $\phi^t$ на $C$ формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot{x}_1 &= \begin{cases} 1-\dfrac{1}{9}(\|\mathbf x\|-4)^2, &\|\mathbf x\| \leqslant 4, \\ 1, &\|\mathbf x\| > 4, \end{cases} \\ \dot{x}_2 &=\begin{cases} \dfrac{x_2}{2}\biggl(\sin\biggl(\dfrac{\pi}{2}(\|\mathbf x\|-3) \biggr)-1\biggr), &2<\|\mathbf x\|\leqslant 4, \\ -x_2,&\|\mathbf x\|\leqslant 2, \\ 0, &\|\mathbf x\| > 4, \end{cases} \\ \dot{x}_3&= \begin{cases} -\dfrac{x_3}{2}\biggl(\sin\biggl(\dfrac{\pi}{2}(\|\mathbf x\|-3)\biggr)-1\biggr), &2<\|\mathbf x\|\leqslant 4, \\ x_3,&\|\mathbf x\|\leqslant 2, \\ 0, &\|\mathbf x\| > 4. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $\phi=\phi^1$ имеет два неподвижных гиперболических седла: седло $P_1(-1,0,0)$ с индексом Морса 1 и седло $P_2(1,0,0)$ с индексом Морса $2$ (рис. 12). Некомпактная гетероклиническая кривая $W^{\mathrm s}_{P_1}\cap W^{\mathrm u}_{P_2}$ совпадает с открытым интервалом $\bigl\{\mathbf x\in\mathbb R^3\colon |x_1|<1,\,x_2=x_3=0\bigr\}$. Заметим, что $\phi$ совпадает с диффеоморфизмом $g=g^1$ вне шара $\{\mathbf x\in C\colon \|\mathbf x\|\leqslant 4\}$. Определим диффеоморфизм $\overline f_L\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ таким образом, что $\overline{f}_{L}$ совпадает с $a$ вне ${U_{L}}$ и совпадает с ${\zeta}^{-1}\phi{\zeta}$ на ${U_{L}}$. Тогда $\overline f_{L}$ имеет в ${U_{L}}$ две неподвижные гиперболические точки: седло ${\zeta}^{-1}(P_1)$ и седло ${\zeta}^{-1}(P_2)$ (рис. 13). Обозначим через $N(0,0, 0, 1)$ северный полюс сферы $\mathbb S^3$ и обозначим через $\vartheta\colon \mathbb R^3\to(\mathbb{S}^3\setminus\{N\})$ стандартную стереографическую проекцию. По построению диффеоморфизм $\overline{f}_{L}$ совпадает с диффеоморфизмом $a$ в некоторой окрестности точки $O$ и вне некоторой окрестности этой точки, следовательно, он индуцирует на $\mathbb{S}^3$ диффеоморфизм Морса–Смейла
$$
\begin{equation*}
f_L(s)= \begin{cases} \vartheta(\overline f_{L}(\vartheta^{-1}(s))), &s\neq N; \\ N, &s=N. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно из построения следует, что неблуждающее множество диффеоморфизма $f_L$ состоит из четырех неподвижных гиперболических точек: стока $\omega$, двух седел $\sigma^1=\vartheta({\zeta}^{-1}(P_1))$, $\sigma^2=\vartheta({\zeta}^{-1}(P_2))$ и одного источника $\alpha$. Построенный диффеоморфизм принадлежит классу $G$ и $\mathcal L_{f_L}=[L]$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PocTalShu23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|