Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2023, том 214, номер 6, страницы 136–154
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9811
(Mi sm9811)
 

О мультипликативном процессе Чанг–Диакониса–Грэма

И. Д. Шкредов

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Список литературы:
Аннотация: Изучается ленивая цепь Маркова на $\mathbb {F}_p$, заданная формулой $X_{n+1}=X_n$ с вероятностью $1/2$ и в противном случае $X_{n+1}=f(X_n) \cdot \varepsilon_{n+1}$, где случайные величины $\varepsilon_n$ равномерно распределены на $\{\gamma, \gamma^{-1}\}$. Здесь $\gamma$ – первообразный корень и функция $f(x)=x/(x-1)$ или же $f(x)=\mathrm{ind} (x)$. Показано, что время перемешивания такой цепи $X_n$ есть $\exp(O(\log p \cdot \log \log \log p/ \log \log p))$. Также мы получаем приложение разработанной техники к одному аддитивно-комбинаторному вопросу о множествах Сидоновского типа.
Библиография: 34 названия.
Ключевые слова: цепи Маркова, процесс Чанг–Диакониса–Грэма, время перемешивания, геометрия инциденций, множества Сидона.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 19-11-00001
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 19-11-00001, https://rscf.ru/project/19-11-00001/.
Поступила в редакцию: 13.07.2022 и 09.11.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 6, Pages 878–895
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9811e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 11B13, 60B15, 60G50, 60J10; Secondary 05B10

§ 1. Введение

1.1.

Процесс Чанг–Диакониса–Грэма (см. [6]) – это случайное блуждание на $\mathbb {F}_p$ (в более общем случае на $\mathbb {Z}/n\mathbb {Z}$ для составного $n$), определенное как

$$ \begin{equation} X_{j+1}=a X_j+\varepsilon_{j+1} , \end{equation} \tag{1.1} $$
где $a\in \mathbb {F}_p^*$ – фиксированный остаток, а случайные величины $\varepsilon_j$ независимы и одинаково распределены (в оригинальной работе [6] величины $\varepsilon_j$ были распределены равномерно на $\{-1,0,1\}$ и $a$ было равно двойке). Это случайное блуждание активно изучалось, например, в работах [4], [6]–[10] и др. В нашей статье мы изучаем следующую характеристику $X_n$, которая называется временем перемешивания:
$$ \begin{equation*} t_{\mathrm{mix}}(\varepsilon) :=\inf \biggl\{n\colon \max_{A \subseteq \mathbb {F}_p} \biggl| \mathrm{P} (X_n \in A)-\frac{|A|}{p} \biggr| \leqslant \varepsilon\biggr\} . \end{equation*} \notag $$
Обычно задается конкретное значение параметра $\varepsilon$, например, $\varepsilon=1/4$ и далее мы будем говорить о $t_{\mathrm{mix}} :=t_{\mathrm{mix}} (1/4)$. Простое случайное блуждание на $\mathbb {F}_p$ имеет время перемешивания $t_{\mathrm{mix}}$ порядка $p^2$ (см. [16]), и, как было показано в [6] (см. также более позднюю работу [7]), время перемешивания процесса (1.1) не превосходит $O(\log p \cdot \log \log p)$. Таким образом процесс Чанг–Диакониса–Грэма дает пример явления ускорения, т.е. уменьшения времени сходимости. В [8] была рассмотрена более общая нелинейная версия процесса Чанг–Диакониса–Грэма, определенная как
$$ \begin{equation} X_{j+1}=f(X_j)+\varepsilon_{j+1} , \end{equation} \tag{1.2} $$
где $f$ – биекция на $\mathbb {F}_p$. В частности, было доказано, что для рациональных функций ограниченной степени (корректно определенных в полюсах, см. [8]) время перемешивания равно
$$ \begin{equation} t_{\mathrm{mix}}\biggl(\frac 14\biggr)=O(p^{1+\varepsilon}) \quad \forall\, \varepsilon>0. \end{equation} \tag{1.3} $$
Вероятно, для процесса (1.2) правильным ответом является $t_{\mathrm{mix}}=O(\log p)$, но такой результат было получен только для случая $f(x)=1/x$ при $x\neq 0$ и $f(0)= 0$, см. [9]. Доказательство основано на методе $\mathrm{SL}_2 (\mathbb {F}_p)$-действий из работы [3]. В [4] был задан вопрос о нахождении других явных примеров марковских цепей с малым временем перемешивания.

Наша работа посвящена мультипликативной форме процесса Чанг–Диакониса–Грэма. Мультипликативные варианты процесса рассматривались в [1], [11], [12], [15] и в других работах. Рассмотрим семейство функций

$$ \begin{equation} f^{\alpha, \beta}_*(x)=\frac{x}{\alpha x+\beta}, \end{equation} \tag{1.4} $$
где $\alpha, \beta \neq 0$. Большинство приведенных ниже результатов не зависят от $\alpha$, $\beta$. В таких случаях мы не будем их указывать. В теоремах 1 и 7 нужно, чтобы функция $f^{\alpha,\beta}_* (x)$ была биективна, поэтому полагаем $f^{\alpha,\beta}_* (-\beta/\alpha):=1/\alpha$. Так как теоремы 1 и 7 не зависят от выбора $(\alpha,\beta)$, то можно положить $\alpha=1$, $\beta=-1$ и $f_* (x) :=f^{1,-1}_* (x)$. Сформулируем частный случай нашего основного результата.

Теорема 1. Пусть $p$ – простое число и $\gamma \in \mathbb {F}_p^*$ – первообразный корень. Также пусть $\varepsilon_{j}$ – случайные величины, равномерно распределенные на $\{\gamma, \gamma^{-1}\}$. Рассмотрим ленивую цепь Маркова $0\neq X_0,X_1,\dots, X_n, \dots$,

$$ \begin{equation} X_{j+1}= \begin{cases} f_* (X_{j}) \cdot \varepsilon_{j+1} & \textit {с вероятностью } \dfrac12, \\ X_{j} & \textit {с вероятностью } \dfrac12 . \end{cases} \end{equation} \tag{1.5} $$
Тогда для любого $c>0$ и для любого $n=c \exp(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p)$ имеем
$$ \begin{equation*} \| P_n-U\| :=\max_{A \subseteq \mathbb {F}^*_p} \biggl| \mathrm{P} (X_n \in A)- \frac{|A|}{p-1} \biggr| \leqslant K e^{-Kc} , \end{equation*} \notag $$
где $K>0$ – абсолютная константа. То же верно и для $X_{j+1}=f_*(X_{j}) \cdot \varepsilon_{j+1}$, где $\varepsilon_j$ – случайные величины, равномерно распределенные на $\{1, \gamma^{-1}, \gamma\}$.

Другими словами, время перемешивания нашей цепи Маркова есть $n$, где $n$ задается задается формулой выше. Похожим методом мы получаем такую же оценку на время перемешивания для другой цепи с $f_* (x)=\mathrm{ind} (x)$ и для цепи вида (1.2) с $f(x)=\exp(x)$, см. теорему 9 и формулы (3.21), (3.22) ниже (функции $\mathrm{ind}$, $\mathrm{exp}$ определены в § 2). Также мы рассмотрели и иные цепи (которые могут быть даже более интересны, чем (1.5)), а именно

$$ \begin{equation} X_{j+1}= \begin{cases} \mathrm{ind} (X_{j}) \cdot \varepsilon_{j+1} & \text {с вероятностью } \dfrac12, \\ X_{j} & \text {с вероятностью }\dfrac12 \end{cases} \end{equation} \tag{1.6} $$
($X_0 \neq 0$) или как в (1.2) с $f(x)=\exp(x)$, т.е.
$$ \begin{equation} X_{j+1}= \begin{cases} \exp (X_{j})+\varepsilon_{j+1} & \text {с вероятностью }\dfrac12 \\ X_{j} & \text {с вероятностью } \dfrac12. \end{cases} \end{equation} \tag{1.7} $$
В качестве побочного результата мы получим, что в случае $f(x)=x^2$ и $p \equiv 3 \pmod 4$, где $p$ – достаточно большое простое число, время перемешивания (1.2) есть в действительности $O(p\log p)$, см. замечание 2. Еще раз обратим внимание на то, что ожидаемый порядок $t_{\mathrm{mix}}$ во всех этих проблемах есть, вероятно, $O(\log p)$, но это может оказаться трудным вопросом (особенно с учетом некоторых специальных конструкций в аффинной группе, которые показывают на наличие семейства так называемых “богатых” преобразований, имеющих в точности субэкспоненциальные нижние границы на число инциденций, см. [17; теорема 15]).

Наш подход не аналитический, как в [8], а использует методы из аддитивной комбинаторики и геометрии инцидентности. В частности, мы применяем результаты про рост в аффинной группе $\mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)$. Центральная часть нашей статьи имеет больше общего с работами [3], [27], чем с работой [8], но мы активно используем схему доказательства из последней статьи. С аддитивно-комбинаторной точки зрения основным новшеством является последовательность асимптотических формул для числа инциденций точек и прямых, которые были получены с помощью действия $\mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)$, см. начало § 3. Автор надеется, что эти формулы могут быть интересны сами по себе. Хорошо известно (см., например, [3], [17], [18], [22], [26]–[28], [30]), что геометрия инцидентности и феномен сумм-произведений иногда работают лучше, чем классические аналитические методы, и именно поэтому становится возможным преодолеть барьер квадратного корня, который соответствует естественной границе (1.3) (см. детали в теореме 8 и доказательствах теорем 7, 9).

Оказывается, что этот же метод применим к чисто аддитивно-комбинаторному вопросу о множествах Сидона. Множества Сидона – это классическая тема из комбинаторной теории чисел (см., например, обзор [19]). Напомним, что подмножество $S$ абелевой группы $\mathbf G$ с групповой операцией $*$ называется $g$-множеством Сидона, если для любого $z\neq 1$ уравнение $z=x*y^{-1}$, где $x, y\in S$, имеет не больше $g$ решений. Если $g=1$, тогда мы приходим к классическому определению множеств Сидона (см. [29]). Для произвольного множества $A\subseteq \mathbf G$, обозначим через $\mathsf{Sid}^*(A)$ размер максимального по мощности cидоновского подмножества множества $A$ и через $\mathsf{Sid}^*_K(A)$ размер максимального $K$-сидоновского множества. Известно [14] (см. также [24]), что для любого подмножества $A$ нашей абелевой группы $\mathbf G$ имеет место следующая оценка:

$$ \begin{equation*} \mathsf{Sid}^*(A) \gg \sqrt{|A|}. \end{equation*} \notag $$
Клурман и Похоацэ, как указано в [13], спрашивают о возможности улучшить последнюю границу, имея две различные операции на кольце $\mathbf G$. В [28] автор доказал такой результат.

Теорема 2. Пусть $A\subseteq \mathbb {F}$ – произвольное множество, где $\mathbb {F}=\mathbb R$ или $\mathbb {F}=\mathbb {F}_p$ (в случае простого поля положим дополнительно, что $|A|<\sqrt{p}$). Тогда существуют абсолютные константы $c>0$, $K\geqslant 1$ такие, что

$$ \begin{equation} \max \{\mathsf{Sid}^{+}_K (A), \mathsf{Sid}_K^{\times}(A) \} \gg |A|^{1/2+c} . \end{equation} \tag{1.8} $$

Относительно верхних границ для (1.8) мы отсылаем заинтересованного читателя к работам [20] и [28]. Отметим что $\mathsf{Sid}_K^{\times}(A)=\mathsf{Sid}_K^{+}(\log (A))$ и $\mathsf{Sid}_K^{+}(A)=\mathsf{Sid}_K^{\times}(\exp (A))$ для $A\subset \mathbb R^+$. Таким образом, возможно переписать неравенство (1.8) в терминах только одной операции. Рассмотрим общий вопрос, который был сформулирован А. Уорреном во время конференции CANT’2021 (см. [34]).

Проблема 1. Пусть $f$, $g$ – некоторые “хорошие” (скажем, выпуклые или вогнутые) функции. Верно ли что для любого множества $A\subset \mathbb R^+$ выполняется

$$ \begin{equation*} \max \{\mathsf{Sid}^{+}_K (A), \mathsf{Sid}_K^{+}(f(A)) \} , \qquad \max \{\mathsf{Sid}^{\times}_K (A), \mathsf{Sid}_K^{\times}(g(A)) \} \gg |A|^{1/2+c} ? \end{equation*} \notag $$
Здесь $c>0$ и $K\geqslant 1$ – некоторые абсолютные константы. Что можно сказать для $K$, равной в точности единице? Какое оптимальное значение константы $c>0$?

В этой работе мы получаем положительный ответ на вопрос выше для $g(x)=x+1$ и $f(x)=\exp(x)$, где в случае $\mathbb {F}_p$ последняя функция определена как $\exp(x) :=g^x$ и $g$ есть фиксированный первообразный корень.

Теорема 3. Пусть $A\subseteq \mathbb {F}$ – произвольное множество, где $\mathbb {F}=\mathbb R$ или $\mathbb {F}=\mathbb {F}_p$ (в случае простого поля положим дополнительно, что $|A|<\sqrt{p}$). Тогда существуют абсолютные константы $c>0$, $K\geqslant 1$ такие, что

$$ \begin{equation} \max \{\mathsf{Sid}^{\times}_K (A), \mathsf{Sid}_K^{\times}(A+1) \} \gg |A|^{1/2+c} , \end{equation} \tag{1.9} $$
$$ \begin{equation} \max \{\mathsf{Sid}^{+}_K (A), \mathsf{Sid}_K^{+}(\exp(A)) \} \gg |A|^{1/2+c} . \end{equation} \tag{1.10} $$
С другой стороны, для любого целого $k\geqslant 1$ существует $A \subseteq \mathbb {F}$ такое, что
$$ \begin{equation} \max \{\mathsf{Sid}^{\times}_k (A), \mathsf{Sid}^{\times}_k (A+1) \} \ll k^{1/2} |A|^{3/4} . \end{equation} \tag{1.11} $$

Мы благодарим Джимми Хе за очень полезные дискуссии и ценные предложения. Также мы благодарим рецензента за многочисленные комментарии и аккуратную вычитку нашей статьи.

§ 2. Основные определения

Обозначим через $\mathbf G$ (абелеву) группу. Иногда мы указываем групповую операцию $+$ или $\times$ в рассматриваемых величинах (энергия, функция представления и т.п., см. ниже). Пусть $\mathbb {F}$ – это поле $\mathbb R$ или же $\mathbb {F}=\mathbb {F}_p=\mathbb {Z}/p\mathbb {Z}$ для простого $p$. Пусть $\mathbb {F}^*=\mathbb {F} \setminus \{0\}$.

Мы используем ту же заглавную букву для обозначения множества $A\subseteq \mathbb {F}$ и его характеристической функции $A\colon \mathbb {F} \to \{0,1 \}$, а в случае конечного $\mathbb {F}$ мы пишем $f_A (x) :=A(x)-|A|/|\mathbb {F}|$ для балансовой функции множества $A$. Для двух множеств $A,B\subset \mathbf G$ определим множество сумм $A$ и $B$ как

$$ \begin{equation*} A+B:=\{a+b\colon a\in{A},\,b\in{B}\}. \end{equation*} \notag $$
Подобным образом определим множество разностей и множествах старших сумм, например, $2A-A$ есть $A+A-A$. Обозначим через $\dotplus$ прямую сумму, т.е. $A\dotplus B=\{a+b \colon a\in{A},\,b\in{B}\}$ и $a+b=a'+b'$ влечет $a=a'$ и $b=b'$. Также мы используем обозначение $A \times B=\{(a,b)\colon a\in A,\, b\in B\} \subseteq \mathbf G \times \mathbf G$ для декартова произведения $A$ и $B$. Для абелевой группы $\mathbf G$ выполняется неравенство Плюннеке–Ружа (см., например, [32])
$$ \begin{equation} |nA-mA| \leqslant \biggl( \frac{|A+A|}{|A|} \biggr)^{n+m} |A| , \end{equation} \tag{2.1} $$
где $n$, $m$ – любые положительные целые. Мы используем обозначения для функций представлений $r_{A+B} (x)$ или $r_{A-B} (x)$ и т.п., которые равняются числу способов, которыми $x \in \mathbf G$ может быть выражено как сумма $a+b$ или $a-b$, где $a\in A$, $b\in B$, соответственно. Например, $|A|=r_{A-A} (0)$. Подобным образом, для функций $f_1,\dots,f_k\colon\mathbf G \to \mathbb{C}$ мы пишем $r_{f_1+\dots+f_k} (x)=\sum_{x_1+\dots+x_k=x} f_1(x_1) \dotsb f_k (x_k)$.

Для любых двух множеств $A,B \subseteq \mathbf G$ аддитивная энергия $A$ и $B$ определена как

$$ \begin{equation*} \mathsf{E} (A,B)=\mathsf{E}^{+} (A,B)=\bigl|\{(a_1,a_2,b_1,b_2) \in A\times A \times B \times B \colon a_1-b_1=a_2-b_2 \}\bigr| . \end{equation*} \notag $$
Если $A=B$, то мы пишем $\mathsf{E} (A)$ вместо $\mathsf{E} (A,A)$. В более общем случае для множеств $A_1,\dots, A_{2k}$, принадлежащих произвольной (некоммутативной) группе $\mathbf G$, и $k\geqslant 2$ определим энергию $\mathsf{T}_{k} (A_1,\dots, A_{2k})$ как
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\mathsf{T}_{k} (A_1,\dots, A_{2k}) = \bigl|\bigl\{(a_1, \dots, a_{2k}) \in A_1 \times \dots \times A_{2k} \colon \\ &\qquad\qquad a_1 a^{-1}_2 \dotsb a_{k-1} a^{-1}_k=a_{k+1} a^{-1}_{k+2} \dotsb a_{2k-1} a^{-1}_{2k} \bigr\}\bigr| \end{aligned} \end{equation} \tag{2.2} $$
для четных $k$ и для нечетных $k$ как
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\mathsf{T}_{k} (A_1,\dots, A_{2k}) =\bigl|\bigl\{(a_1, \dots, a_{2k}) \in A_1 \times \dots \times A_{2k} \colon \\ &\qquad\qquad a_1 a^{-1}_2 \dotsb a^{-1}_{k-1} a_k=a_{k+1} a^{-1}_{k+2} \dotsb a^{-1}_{2k-1} a_{2k} \bigr\}\bigr| . \end{aligned} \end{equation} \tag{2.3} $$
Аналогично, имея вещественные функции $f_1,\dots, f_{2k} \colon \mathbf G \to \mathbb{C}$ (например, $k$ четно), мы полагаем
$$ \begin{equation*} \mathsf{T}_{k} (f_1,\dots, f_{2k}) =\sum_{a_1 a^{-1}_2 \dotsb a_{k-1} a^{-1}_k=a_{k+1} a^{-1}_{k+2} \dotsb a_{2k-1} a^{-1}_{2k}} f_1(a_1) \dotsb f_{2k} (a_{2k}) . \end{equation*} \notag $$
Если мы хотим подчеркнуть групповую операцию $+$, то мы используем обозначение $\mathsf{T}^{+}_{k} (f_1,\dots, f_{2k})$, так что (пусть $k$ четно)
$$ \begin{equation*} \mathsf{T}^{+}_{k} (f_1,\dots, f_{2k}) =\sum_{a_1 -a_2+\dots+a_{k-1}-a_k=a_{k+1}-a_{k+2}+\dots+ a_{2k-1}-a_{2k}} f_1(a_1) \dotsb f_{2k} (a_{2k}) . \end{equation*} \notag $$
Мы пишем $\mathsf{T}_k (f)$ вместо $\mathsf{T}_{k} (f,\dots, f)$. В абелевом случае положим для $k\geqslant 2$
$$ \begin{equation} \mathsf{E}^{+}_k (A) :=\sum_{x\in \mathbf G} r^k_{A-A} (x)=\sum_{\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1} \in \mathbf G} |A\cap (A+\alpha_1) \cap \dots \cap (A+\alpha_{k-1})|^2 \end{equation} \tag{2.4} $$
(тождество выше может быть найдено, например, в [23]). Ясно, что $|A|^k \leqslant \mathsf{E}^{+}_k (A) \leqslant |A|^{k+1}$. Также мы пишем $\widehat{\mathsf{E}}^{+}_k (A)=\sum_x r^k_{A+A} (x)$.

Конечно, данные выше определения зависят от групповой операции, которая будет понятна из контекста. Например, используя умножение (скажем, в $\mathbb R$ или в $\mathbb {F}_p$), мы запишем $AB=\{ab \colon a\in A,\, b\in B\}$ для множества произведений множеств $A$ и $B$, далее $r_{AB} (x)=\sum_{ab=x} A(a)B(b)$ и т.п.

Обозначим через $\mathrm{ord} (x)$ мультипликативный порядок элемента $x\in \mathbb {F}^*_p$ и пусть $\mathrm{ind} (x)$ будет определено как $x=g^{\mathrm{ind} (x)}$, где $g$ – фиксированный первообразный корень $\mathbb {F}_p^*$. Удобно полагать, что функция $\mathrm{ind} (x)$ принимает значения от $1$ до $p-1$ и, таким образом, $\mathrm{ind} (x)$ определено на $\mathbb {F}_p^*$. Похожим образом мы обозначаем через $\exp(x) \colon \mathbb {F}^*_p \to \mathbb {F}_p^*$ функцию $\exp(x)=g^x$, где $x\in \mathbb {F}^*_p$. Пусть $\mathrm{Aff} (\mathbb {F})$ – группа преобразований $x\to ax+b$, где $a\in \mathbb {F}^*$, $b\in \mathbb {F}$. Иногда мы пишем $(a,b)\in \mathrm{Aff} (\mathbb {F})$ для отображения $x\to ax+b$.

Символы $\ll$ и $\gg$ – это обычные символы Виноградова. Когда константы в знаках зависят от параметра $M$, мы пишем $\ll_M$ и $\gg_M$. Все логарифмы в статье имеют основание $2$. Для множества $A$, $|A|>1$, мы пишем $a \lesssim b$ или $b \gtrsim a$, если $a=O(b \log^c |A|)$, где $c>0$ есть некоторая константа, которая может меняться от строчки к строчке. Обозначим через $[n]$ множество $\{1,2,\dots, n\}$.

Упомянем теперь несколько полезных результатов, к которым мы будем обращаться в тексте. Начнем с результата из [27].

Лемма 1. Пусть $f_1,\dots,f_{2k} \colon \mathbf G \to \mathbb{C}$ – произвольные функции. Тогда

$$ \begin{equation} \mathsf{T}^{2k}_{k} (f_1,\dots, f_{2k}) \leqslant \prod_{j=1}^{2k} \mathsf{T}_{k} (f_j). \end{equation} \tag{2.5} $$

Следующая лемма 2 о коллинеарный четверках в множестве $A\times A$ (т.е. число $4$-кортежей $\{(x_1,l(x_1)), \dots, (x_4,l(x_4))\}$, где $x_1, x_2, x_3, x_4 \in A$, $l\in \mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)$ и $l(x_1), l(x_2), l(x_3), l(x_4) \in A$) была доказана в [18; с. 604–607]. Обозначим через $\mathsf{Q}(A)$ число таких коллинеарных четверок и перепишем асимптотическую формулу для $\mathsf{Q}(A)$, см. [18; теорема 11, (2)]

$$ \begin{equation} \mathsf{Q}(A)=\frac{|A|^8}{p^2}+O(|A|^5 \log |A|) \end{equation} \tag{2.6} $$
в следующей удобной форме (2.7), которая может использоваться в дальнейших результатах. Наконец, отметим что аффинное преобразование $\mathbb {F}_p$ может быть отождествлено с прямой в $\mathbb {F}_p \times \mathbb {F}_p$ с помощью ее графика.

Лемма 2. Пусть $A\subseteq \mathbb {F}_p$ – произвольное множество и $f_A (x)=A(x)-|A|/p$. Тогда

$$ \begin{equation} \mathsf{Q} (f_A):=\sum_{l \in \mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)} \biggl| \sum_x f_A(x) f_A(lx) \biggr|^4 \ll |A|^5 \log |A| , \end{equation} \tag{2.7} $$
где суммирование по $l$ в последней формуле берется по всеми аффинным преобразованиям (прямым), имеющим не меньше двух точек в $A\times A$.

Нам понадобится [2; теорема A], которую мы повторим ниже в теореме 4. Лучшая зависимость $\delta'$ от $\delta$ в виде $\delta/(C_1 \log (C_2r/\delta))^k$, где $C_1,C_2>0$ – некоторые константы, может быть найдена в [26; теорема 46, следствие 47]. Также мы показали в [26], что в действительности условие $|A_j|\geqslant p^\delta$, $j\in [k]$, не требуется.

Теорема 4. Пусть $k\geqslant 2$, $A_1, \dots, A_k \subseteq \mathbb {F}_p$ – произвольные множества, $|A_j|\geqslant p^\delta$, $j\in [k]$. Положим, что $\prod_{j=1}^k |A_j| \geqslant p^{1+\delta}$. Тогда для любого $\lambda \neq 0$ выполняется

$$ \begin{equation*} \sum_{x_1\in A_1,\dots, x_k \in A_k} e^{2\pi i \lambda x_1 \dotsb x_k} \ll p^{-\delta'} |A_1|\dotsb |A_k| , \end{equation*} \notag $$
где $\delta' > (\delta/k)^{Ck}$ и $C>0$ есть абсолютная константа. В частности, для любого $l \geqslant 2$ и $A_1=\dots=A_k=A$ выполнено $\mathsf{T}^{+}_{l} (r_{f_A^k}) \leqslant |A|^{k(2l-1)} p^{-(2l-2)\delta'}$.

Вспомним, что по определению $r_{f_A^k} (x)=\sum_{x_1\dotsb x_k=x} f_A (x_1)\dotsb f_A (x_k)$, где $f_A (x)$ есть балансовая функция множества $A$. Отметим, что возможно оценить $\mathsf{T}^{+}_{l} (r_{f_A^k})$ непосредственно, как было сделано в [25; теорема 5] (также см. [17]), чтобы улучшить неравенство $\mathsf{T}^{+}_{l} (r_{f_A^k}) \leqslant |A|^{k(2l-1)} p^{-(2l-2)\delta'}$. Мы оставляем эти вычисления читателю, так как это усложнило бы доказательство, но улучшило бы оценку $t_{\mathrm{mix}}$ только на $\log \log \log p$. Тем не менее мы используем теорему 5, которая является упрощенной версией [25; теорема 5], в последней части статьи.

Теорема 5. Пусть $A,B\subseteq \mathbb {F}_p$ – произвольные множества, $|AB|\leqslant M|A|$, $k\geqslant 2$, и $|B| \gtrsim_k M^{2^{k+1}}$. Тогда

$$ \begin{equation} \mathsf{T}^{+}_{2^k} (A) \lesssim_k M^{2^{k+1}} \biggl( \frac{|A|^{2^{k+1}}}{p}+ |A|^{2^{k+1}-1} |B|^{-(k-1)/2} \biggr) . \end{equation} \tag{2.8} $$

§ 3. Инциденции и время перемешивания

Начнем с нового считающего результата об инциденциях. Пусть $\mathcal{P}, \mathcal{L} \subseteq \mathbb {F}_p \times \mathbb {F}_p$ – произвольные множество точек и множество прямых соответственно. Число инциденций между $\mathcal{P}$ и $\mathcal{L}$ есть

$$ \begin{equation} \mathcal{I} (\mathcal{P},\mathcal{L}) :=|\{(q,l)\in \mathcal{P} \times \mathcal{L}\colon q\in l\}| . \end{equation} \tag{3.1} $$
Как и ранее, мы пишем $f_{\mathcal L} (x)=\mathcal L(x)-{|\mathcal L|}/{|\mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)|}$ для балансовой функции множества прямых $\mathcal L$.

Предложение 1. Пусть $A,B \subseteq \mathbb {F}_p$ – произвольные множества и $\mathcal{L}$ – некоторое множество аффинных преобразований. Тогда для любого положительного целого $k$ выполнено

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag & \mathcal I (A\times B, \mathcal{L})-\frac{|A|\,|B|\,|\mathcal{L}|}{p} \\ &\qquad \ll \sqrt{|A|\,|B|\,|\mathcal L|}\, \max\Bigl\{ (\mathsf{T}_{2^k} (f_{\mathcal L}) |A| \log |A|)^{1/2^{k+2}}, \sqrt{|\mathcal{L}|} |A|^{-2^{-k}} \Bigr\} . \end{aligned} \end{equation} \tag{3.2} $$

Доказательство. Имеем
$$ \begin{equation} \mathcal I (A\times B, \mathcal{L})=\frac{|A|\,|B|\,|\mathcal{L}|}{p}+\sum_{x\in B} \sum_{l} f_{\mathcal L} (l) f_A (l x)=\frac{|A|\,|B|\,|\mathcal{L}|}{p}+\sigma . \end{equation} \tag{3.3} $$
Таким образом, мы можем использовать обе балансовые функции в (3.3) или можем выбрать только одну из них. Чтобы оценить величину остаточного члена $\sigma$, мы применяем неравенство Гёльдера несколько раз, как в [17], [22], и получаем (ниже мы используем обе балансовые функции)
$$ \begin{equation*} \sigma^2 \leqslant |B| \sum_{h} r_{f_{\mathcal{L}^{-1}} f_{\mathcal{L}} } (h) \sum_x f_A (x) f_A (h x) , \end{equation*} \notag $$
и далее
$$ \begin{equation} \sigma^{2^{k}} \leqslant |B|^{2^{k-1}} |A|^{2^{k-1}-1} \sum_{h} r_{(f_{\mathcal{L}^{-1}} f_{\mathcal{L}})^{2^{k-1}}} (h) \sum_x f_A (x) f_A (h x) . \end{equation} \tag{3.4} $$
Здесь группа $\mathbf G$ есть (некоммутативная) группа $\mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)$ и мы используем обозначение $r_f (x)$ для $f\colon \mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p) \to \mathbb{C}$ и $x\,{\in}\, \mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)$. Вспомним, что $r_{(f_{\mathcal{L}^{-1}} f_{\mathcal{L}})^{2^{k-1}}} (h)$ означает величину
$$ \begin{equation*} \sum_{x^{-1}_1 x'_1 \dotsb x^{-1}_{2^{k-1}} x'_{2^{k-1}}=h} f_{\mathcal{L}} (x_1) f_{\mathcal{L}} (x'_1) \dotsb f_{\mathcal{L}} (x_{2^{k-1}}) f_{\mathcal{L}} (x'_{2^{k-1}}) \end{equation*} \notag $$
в последней формуле. Разобьем сумму (3.4) на сумму $\sigma_1$, где суммирование берется над прямыми $h$ (другими словами, элементами $\mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)$), имеющими не менее двух точек в $A\times A$, и, обозначая оставшиеся элементы $\sigma_*$, предположим, что $\sigma_* \leqslant 2^{-1} \sigma$. Тогда применяя неравенство Гёльдера еще раз, мы получим
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \sigma^{2^{k+2}} &\ll |B|^{2^{k+1}} |A|^{2^{k+1}-4} \biggl(\sum_{h} |r^{4/3}_{(f_{\mathcal{L}^{-1}} f_{\mathcal{L}})^{2^{k-1}}} (h)| \biggr)^3 \mathsf{Q}(f_A) \\ &\ll 2^{2^{k+1}} |B|^{2^{k+1}} |A|^{2^{k+1}-4} \mathsf{T}_{2^k} (f_{\mathcal L}) |\mathcal{L}|^{2^{k+1}} \mathsf{Q}(f_A), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.5} $$
как и требовалось благодаря лемме 2. Осталось оценить $\sigma_*$. Имеем
$$ \begin{equation*} \sum_x f_A (x) f_A (h x)=\sum_x A (x) A (h x)-\frac{|A|^2}{p} , \end{equation*} \notag $$
как и
$$ \begin{equation*} r_{(f_{\mathcal{L}^{-1}} f_{\mathcal{L}})^{2^{k-1}}} (h) =r_{(\mathcal{L}^{-1} \mathcal{L})^{2^{k-1}}} (h)- \frac{|\mathcal L|^{2^k}}{p(p-1)} . \end{equation*} \notag $$
Конечно, произведение $(\mathcal{L}^{-1} \mathcal{L})^{2^{k-1}}$ означает произведение в $\mathrm{Aff} (\mathbb {F}_p)$. Обозначим через $\Omega$ множество прямых, имеющих не более одной точки в $A\times A$. Мы можем предположить, что $|A| \geqslant 2\sqrt{p}$, так как иначе мы получим
$$ \begin{equation} \sigma^{2^{k+2}}_* \ll 2^{2^{k+2}} |B|^{2^{k+1}} |A|^{2^{k+1}-4} |\mathcal{L}|^{2^{k+2}}, \end{equation} \tag{3.6} $$
и это соответствует второй от максимума величине в (3.2). Далее, из основного результата [33] (также, см. [26] или просто формулу (3.20) ниже), мы видим что $|\Omega|\ll p^3/|A|^2$. Возвращаясь к (3.3), (3.4), находим
$$ \begin{equation*} \sum_{h\in \Omega} r_{(f_{\mathcal{L}^{-1}} f_{\mathcal{L}})^{2^{k-1}}} (h) \sum_x f_A (x) f_A (h x) \ll 2^{2^k} |\mathcal L|^{2^k}+\frac{|\mathcal L|^{2^k} |A|^2 |\Omega|}{p^2(p-1)} \ll 2^{2^k} |\mathcal L|^{2^k} \end{equation*} \notag $$
и, таким образом, снова получаем (3.6). Предложение доказано.

Основное преимущество оценки (3.2) предложения 1 состоит в наличии асимптотической формулы для числа инциденций $\mathcal I (A\times B, \mathcal{L})$ (при этом множество $\mathcal{L}$ может быть небольшим), а не только верхних неравенств для $\mathcal I (\mathcal{P}, \mathcal{L})$, как в [30]. Асимптотическая формула для величины $\mathcal I (\mathcal{P}, \mathcal{L})$ была известна ранее для некоторых специальных случаев больших множеств (см. [33] или оценку (3.20) ниже) и для случая декартовых произведений, но больших множеств прямых (см. [26] и [30]).

В следующей лемме мы оцениваем энергию $\mathsf{T}_k (\mathcal{L})$ для конкретного семейства прямых, которые возникнут в доказательствах результатов нашей работы.

Лемма 3. Пусть $A,B \,{\subseteq}\, \mathbb {F}^*_p$ – произвольные множества и $\mathcal{L}\,{=}\,\{(a,b) \colon a\,{\in} A, b\in B\} \subseteq \mathrm{Aff}(\mathbb {F}_p)$. Тогда для любого $k\geqslant 2$ выполняется

$$ \begin{equation} \mathsf{T}_k (f_{\mathcal{L}}) \leqslant |A|^{2k-1} \mathsf{T}^{+}_k (f_B) . \end{equation} \tag{3.7} $$

Доказательство. Рассмотрим случай четного $k$, так как для нечетного $k$ рассуждения аналогичны. Имеем $\mathcal{L}^{-1}\mathcal{L}=\{(a/c, (b-d)/c) \colon a,c\in A,\, b,d\in B \}$. Рассматривая величину $\mathsf{T}_{2k} (f_{\mathcal{L}})$, мы приходим к двум уравнениям. Первое уравнение есть
$$ \begin{equation} \frac{a_1 \dotsb a_k}{c_1 \dotsb c_k} =\frac{a'_1 \dotsb a'_k}{c'_1 \dotsb c'_k} . \end{equation} \tag{3.8} $$
Если мы зафиксируем в этом уравнении все переменные $a_1, \dots, a_k, a'_1, \dots, a'_k, c_1, \dots, c_k, c'_1, \dots, c'_k\,{\in} A$, тогда число решений второго уравнения будет $\mathsf{T}^{+}_{2k} (\alpha_1 f_B, \dots, \alpha_{2k} f_B)$, где $\alpha_1,\dots, \alpha_{2k} \in \mathbb {F}_p^*$ – некоторые элементы $A$, зависящие от фиксированных переменных. Последняя величина не превосходит $\mathsf{T}^{+}_{2k} (f_B)$ по лемме 1. Возвращаясь к (3.8), мы получаем необходимое неравенство. Лемма доказана.

Теперь мы готовы получить наш первый основной результат.

Теорема 6. Пусть $A,B, X_1,Y_1,Z_1 \subseteq \mathbb {F}^*_p$ – произвольные множества, $A=X Y_1$, $B=X Y_2$, $|A|=|X|\,|Y_1|/K_*$ и $|B|=|X|\,|Y_2|/K_*$. Пусть $|Z| \geqslant p^\delta$ для данного $\delta \gg {\log \log \log p}/{\log \log p}$, $M\geqslant 2 \delta^{-1}$ и $|X Z^M|\leqslant K|X|$. Тогда для некоторой абсолютной константы $C>0$ выполнено

$$ \begin{equation} \bigl|\bigl\{(a,b)\in A \times B \colon a :=f_* (b) \bigr\}\bigr| -\frac{K^2 K_*^2 |A|\,|B|}{p} \ll K K_* \sqrt{|A|\,|B|} \cdot p^{-\delta^{C/\delta}} . \end{equation} \tag{3.9} $$

Доказательство. Пусть $\sigma$ – это величина из левой части (3.9) и $k\geqslant 2$ – некоторый параметр. Также пусть $Q_1=AZ^M$, $Q_2=BZ^M$. Тогда $r_{Q_1 Z^{-M}} (a)=|Z|^M$ и $r_{Q_2 Z^{-M}} (a)=|Z|^M$ для любого $a\in A$. Заметим, что $|Q_1|\leqslant |X Z^M|\,|Y_1| \leqslant K|X|\,|Y_1|=K K_* |A|$ и подобная оценка верна для $|Q_2|$.

Имеем

$$ \begin{equation*} |Z|^{2M} \sigma \leqslant \biggl|\biggl\{(q_1,q_2,z_1,z_2)\in Q_1\times Q_2 \times Z^{M} \times Z^M \colon \frac{q_1}{z_1} :=f_* \biggl(\frac{q_2}{z_2}\biggr) \biggr\}\biggr| , \end{equation*} \notag $$
где $z_1$, $z_2$ берутся с весами $r_{Z^M}(z_1), r_{Z^M}(z_2)$. Используя определение функции $f^{\alpha,\beta}_*$, мы приходим к уравнению
$$ \begin{equation} \frac{q_1}{z_1}=\frac{q_2}{\alpha q_2+\beta z_2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{z_1}{q_1}-\frac{\beta z_2}{q_2}=\alpha . \end{equation} \tag{3.10} $$
Последнее уравнение может быть проинтерпретировано как инциденции прямых и точек множества прямых $\mathcal{L}$, где любое $l\in \mathcal{L}$ имеет вид $l\colon z_1X-\beta z_2 Y=\alpha$, и множества точек $\mathcal{P}=Q^{-1}_1 \times Q^{-1}_2$. Применяя предложение 1, мы получаем, что для любого $k$
$$ \begin{equation*} \sigma-\frac{|Q_1|\,|Q_2|}{p} \ll |Z|^{-M} \sqrt{|Q_1|\,|Q_2|} \cdot \bigl(\mathsf{T}_{2^k} (f_{\mathcal{L}}) |Q_1|^4 p^{-2} \log pr)^{1/2^{k+2}} . \end{equation*} \notag $$
Используя наши оценки для размеров множеств $Q_1$, $Q_2$ и совмещая их с леммой 3 и теоремой 4, получаем
$$ \begin{equation*} \sigma-\frac{K^2 K^2_* |A|\,|B|}{p} \lesssim K K_* \sqrt{|A|\,|B|} \cdot(p^{2-\delta'(2^k-2)} \log p)^{1/2^{k+2}} . \end{equation*} \notag $$
Взяв $k$ такое, что $\delta' (2^k-2) \geqslant 3.1$, получим
$$ \begin{equation*} \sigma-\frac{K^2 K^2_* |A|\,|B|}{p} \ll K K_* \sqrt{|A|\,|B|} p^{-\delta'/100}. \end{equation*} \notag $$
Теорема доказана.

Замечание 1. Повторим, что если использовать улучшенную формулу для $\delta'$ (см. замечание перед теоремой 4) вида $\delta/(C_1 \log (C_2r/\delta))^k$, где $C_1,C_2>0$ – некоторые константы, то ограничение на $\delta$ в теореме 6 может быть ослаблено до $\delta \gg {\log \log \log \log p}/{\log \log p}$ и, более того, прямая оценка для $\mathsf{T}_{2^k}$ дала бы $\delta \gg {1}/{\log \log p}$. С другой стороны, это усложнило бы доказательство и лишь немного улучшило бы конечную оценку на $t_{\mathrm{mix}}$, поэтому оставляем провести данные вычисления заинтересованному читателю.

Следствие 1. Пусть $g$ – первообразный корень и $I,J \subseteq \mathbb {F}^*_p$ суть две геометрические прогрессии с одинаковым знаменателем $g$ такие, что

$$ \begin{equation} \exp\biggl(\frac{C \log p \cdot \log \log \log p}{\log \log p}\biggr) \ll |I|=|J| \leqslant \frac p2 , \end{equation} \tag{3.11} $$
где $C>0$ – абсолютная константа. Тогда
$$ \begin{equation} \bigl|\bigl\{(a,b)\in I \times J \colon a :=f_* (b) \bigr\}\bigr| \leqslant (1-\kappa) |I|, \end{equation} \tag{3.12} $$
где $\kappa>0$ – это абсолютная константа.

Доказательство. Пусть $I=a\cdot \{1,g,\dots, g^n\}$, $J=b\cdot \{1,g,\dots, g^n\}$, где $n=|I|=|J|$. Применим теорему 6 с $A=I$, $B=J$, $Y_1=\{a\}$, $Y_2=\{b\}$, $X=\{1,g,\dots, g^n\}$, $K_*=1$ и $Z=\{1,g,\dots, g^m \}$, где мы определили величину $\delta$ как $m:=p^\delta$, и пусть
$$ \begin{equation} m\leqslant \frac{cn}r , \end{equation} \tag{3.13} $$
где $c=1/8$ и $M\geqslant 2/\delta$. Тогда $K=|XZ^M|/|X| \leqslant 1+2c$. По формуле (3.9) получаем
$$ \begin{equation*} \bigl|\bigl\{(a,b)\in I \times J \colon a :=f_* (b) \bigr\}\bigr| -\frac{(1+2c)^2 |I|\,|J|}{p} \ll |I| \cdot p^{-\delta^{C/\delta}} , \end{equation*} \notag $$
где $C>0$ – это абсолютная константа. Имеем ${(1+2c)^2 |I|\,|J|}/{p} \leqslant (25/32) |I|$, поскольку $n\leqslant p/2$. Вспоминая, что $M\sim 1/\delta$ и ${\log n}/{\log p} \gg {\log \log \log p}/{\log \log p}$, мы удовлетворим условию (3.13), выбирая $\delta \sim \log \log \log p/ \log \log p$ и получим оценку (3.12) благодаря нашему предположению (3.11). Следствие доказано.

Теперь можно доказать теорему 1, которую мы формулируем в немного более общем виде (опять можно ослабить условие (3.14) и верхнее ограничение на $n$). В наших рассуждениях мы используем некоторые части доказательства из [8].

Теорема 7. Пусть $p$ – простое число и $\gamma \in \mathbb {F}_p^*$ элемент порядке не менее

$$ \begin{equation} \exp\biggl(\Omega\biggl(\frac{\log p \cdot \log \log \log p}{\log \log p}\biggr)\biggr) . \end{equation} \tag{3.14} $$
Также пусть $\varepsilon_{j}$ – случайная величина, равномерно распределенная на $\{\gamma^{-1}, \gamma \}$. Рассмотрим ленивую марковскую цепь $0\neq X_0,X_1,\dots, X_n, \dots $, определенную как
$$ \begin{equation*} X_{j+1}=\begin{cases} f_* (X_{j}) \cdot \varepsilon_{j+1} & \textit {с вероятностью }\dfrac12, \\ X_{j} & \textit {с вероятностью }\dfrac12. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Тогда для произвольной $c>0$ и для любого $n=c \exp(\log p \cdot \log \log \log p/ \log \log p)$ выполняется
$$ \begin{equation*} \| P_n-U\| :=\max_{A \subseteq \mathbb {F}^*_p} \biggl| \mathrm{P} (X_n \in A)- \frac{|A|}{p-1} \biggr| \leqslant K e^{-Kc} , \end{equation*} \notag $$
где $K>0$ – абсолютная константа. То же выполняется для цепи $X_{j+1}=f_* (X_{j}) \cdot \varepsilon_{j+1}$, где $\varepsilon_j$ обозначает случайную величину, распределенную равномерно на $\{1, \gamma^{-1}, \gamma\}$.

Доказательство. Пусть $P$ – эргодическая цепь Маркова на $k$-регулярном ориентированном графе $G=G(V,E)$. Пусть $h(G)$ – константа Чигера
$$ \begin{equation} h(G)=\min_{|S| \leqslant |V|/2} \frac{e(S,S^c)}{k|S|} , \end{equation} \tag{3.15} $$
где $e(S,S^c)$ – число ребер между $S$ и дополнением $S$. Нам нужен результат из [5] (более компактная версия – [8; теорема 4.1]).

Теорема 8. Пусть $P$ – эргодическая цепь Маркова на графе $G=G(V,E)$. Рассмотрим ленивую цепь $X_0,X_1,\dots, X_n, \dots $ с матрицей переходов $(I+P)/2$, начиная с некоторого определенного $X_0$. Тогда для любого $c>0$ и любого $n=c h(G)^{-2} \log |V|$ имеем

$$ \begin{equation*} \max_{A\subseteq V} \biggl| \mathrm{P} (X_n \in A)-\frac{|A|}{|V|} \biggr| \leqslant e^{-Kc} , \end{equation*} \notag $$
где $K>0$ – абсолютная константа.

В нашем случае $G=G(V,E)$ с $V=\mathbb {F}_p^*$ и $x \to y$ тогда и только тогда, когда $y=f_*(x) \gamma^{\pm 1}$. Таким образом, наша задача состоит в оценке константы Чигера $G$. Берем любое $S$, $|S|\leqslant p/2$, и запишем $S$ как дизъюнктное объединение $S=\bigsqcup_{j\in J} G_j$, где $G_j$ – геометрические прогрессии с шагом $\gamma^2$. Здесь и далее мы используем факт, что группа $\mathbb {F}_p^*$ циклическая, изоморфна $\mathbb {Z}/(p-1)\mathbb {Z}$ и порождена фиксированным первообразным корнем $g$. Рассмотрим $z$, $z\gamma$, $z\gamma^2$, где $z\in S$ – правая конечная точка (если она существует) некоторого $G_j$. Тогда $z\gamma^2 \in S^c$ и $z,z\gamma^2$ смежны с $f^{-1}_* (z\gamma)$. Вершина $f^{-1}_* (z\gamma)$ принадлежит $S$ или $S^c$, но в любом из этих случаев мы имеем ребро между $S$ и $S^c$. Пусть $J=J_0 \bigsqcup J_1$, где для $j\in J_0$ множество $G_j$ не имеет правого конца и $J_1=J\setminus J_0$. Ясно, что $|J_0| \leqslant 2|S|/\mathrm{ord}(\gamma)$. По приведенным выше рассуждениям

$$ \begin{equation} \frac{|J_1|}{|S|} \geqslant \frac{|J|}{|S|}-\frac{2}{\mathrm{ord}(\gamma)} . \end{equation} \tag{3.16} $$
Мы хотим получить другую нижнюю оценку для $h(G)$, которая работает лучше в случае, когда $J$ мало. Положим $L=|S|/|J|$, и пусть $\omega \in (0,1)$ – некоторый малый параметр, который мы выберем позже. Имеем $\sum_{j\in J} |G_j|=|S|$ и, таким образом, $\sum_{j \colon |G_j|\geqslant \omega L} |G_j| \geqslant (1-\omega) |S|$. Разбивая $G_j$ на интервалы длины $L_\omega :=\omega L/2$, мы видим, что оставшаяся часть не более $2\omega |S|$. Таким образом, мы получили некоторые геометрические прогрессии $G'_i$, $i\in I$, имеющие длины $L_\omega$ и шаг $\gamma^2$ такие, что $\sum_{i\in I} |G'_i| \geqslant (1-2\omega) |S|$. Положим $S'=\bigsqcup_{i\in I} G'_j$, и пусть $\Omega=S\setminus S'$, $|\Omega| \leqslant 2\omega |S|$. Другими словами, мы имеем $S'=XY$, $|S'|=|X|\,|Y|\geqslant (1-2\omega)|S|$, где $X=[1,\gamma^2, \dots, \gamma^{2(L_\omega-1)}]$ и $Y$ – некоторое множество мультипликативных сдвигов. Ясно, что
$$ \begin{equation} \frac{e(S,S^c)}{|S|} \geqslant 1- \frac{e(S,S)}{|S|} \geqslant 1-8 \omega-\frac{e(S',S')}{|S|} . \end{equation} \tag{3.17} $$
Положим $Z=[1,\gamma^2, \dots, \gamma^{2(L'_\omega-1)}]$, где величина $\delta$ определена как $L'_\omega=[p^\delta]$, и пусть
$$ \begin{equation} m\leqslant \frac{cL_\omega}M , \end{equation} \tag{3.18} $$
где $c=1/8$ и $M\geqslant 2/\delta$. Тогда $|XZ^M|/|X| \leqslant 1+2c$. Также по предположению элемент $\gamma$ имеет порядок не менее $\exp(\Omega(\log p\,{\cdot} \log \log \log p/\log \log p))$. Используя теорему 6 с $K=1+2c$, $M\sim 1/\delta$ и принимая $\delta \geqslant {C \log \log \log p}/{\log \log p}$ для достаточно большой константы $C>0$, получим
$$ \begin{equation*} \frac{e(S',S')}{|S|}-\frac{25 |S'|}{16 p} \ll p^{-\delta^{O(1/\delta)}} \leqslant \frac{1}{32} . \end{equation*} \notag $$
Вспоминая, что $|S'|\leqslant |S| \leqslant p/2$, находим
$$ \begin{equation*} \frac{e(S',S')}{|S|} \leqslant \frac{25 |S'|}{16 p}+\frac{1}{32} \leqslant \frac{25}{32}+\frac{1}{32}=\frac{13}{16} . \end{equation*} \notag $$
Подставляя последнюю формулу в (3.17), выбирая достаточно большое $p$ и полагая, скажем, $\omega=2^{-8}$, имеем $h(G) \geqslant 1/32$. Необходимо проверить условие (3.18). Если условие не выполняется, то
$$ \begin{equation*} \frac{|S|}{|J|}=L \delta^{-1} \ll L_\omega \delta^{-1} \ll |Z| \leqslant p^\delta \sim \exp \biggl(O\biggl(\frac{\log p \cdot \log \log \log p}{\log \log p}\biggr)\biggr) , \end{equation*} \notag $$
и в этом случае $|J| \,{\gg}\, |S| \exp (-O(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p)))$. Но тогда по (3.16) и нашему предположение $\mathrm{ord}(\gamma)=\exp(\Omega(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p))$, и мы видим, что в любом случае $h(G) \gg \exp (-O(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p)))$. Сопоставляя последнюю оценку для константы Чигера и теорему 8, получаем
$$ \begin{equation*} n \leqslant \exp \biggl(O\biggl(\frac{\log p \cdot \log \log \log p}{\log \log p}\biggr)\biggr) . \end{equation*} \notag $$

Последняя часть теоремы 7 получается таким же методом, если добавить к нему рассуждения из [4] и [8; п. 4.3]. Нужно убедится, что биекция $f_* (f^{-1}_* (\cdot) \gamma)$: $\mathbb {F}_p^* \to \mathbb {F}_p^*$ имеет тот же вид, что и в (1.4) (конечно, учитывая, что, как обычно, $f_*(-\beta/\alpha)=1/\alpha$). Это можно проверить непосредственными вычислениями или использовать то, что $f_*$ соответствует стандартному действию нижнетреугольной матрицы из $\mathrm{GL}_2 (\mathbb {F}_p)$. Теорема 7 доказана.

Замечание 2. Рассмотрим ленивую марковскую цепь (1.2) с $f(x)=x^2$ и $p\equiv 3 \pmod 4$, $\varepsilon_i$ – независимые случайные величины, равномерно распределенные на $\pm \gamma$, $\gamma \in \mathbb {F}^*_p$ и $p$ – достаточно большое простое число. Используя те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 7, мы приходим к уравнениям $y+a=f(x+b)=x^2+2bx+b^2$, где $a$, $b$ принадлежат некоторой арифметической прогрессии $P$ и $x$, $y$ из дизъюнктного объединения $J$ арифметических прогрессий (детали доказательства могут быть найдены в [8]). Строго говоря, теперь стационарное распределение $\pi$ не равномерно и задается формулой

$$ \begin{equation*} \pi (\alpha)=(2p)^{-1} | \{\beta \in \mathbb {F}_p \colon \beta^2 \pm \gamma=\alpha\}| , \end{equation*} \notag $$
сходимость и, значит, $t_{\mathrm{mix}}$ определяются относительно $\pi (\cdot)$ и, более того, соответствующий граф уже будет нерегулярным, что приведет к изменению определения (3.15) (см. подробное обсуждение данных обстоятельств в [8; п. 2.1]). Тем не менее легко показать, что
$$ \begin{equation} t_{\mathrm{mix}}=O(p\log p). \end{equation} \tag{3.19} $$

Набросок доказательства (3.19). Как и в доказательстве теоремы 7, выберем $S$, $|S|\leqslant p/2$, определим граф $G=G(V,E)$, $x\to y$ тогда и только тогда, когда $y=x^2 \pm \gamma$, и далее определим множества и числа $G_j$, $J$, $L$, $S'=P+Y$, $|P| \gg L$, как ранее. Как было рассмотрено выше, мы получаем уравнение $y+a=x^2+2bx+b^2$, $a,b\in P$, $x,y\in S'$, и это уравнение может быть интерпретировано как вопрос об инциденциях множества прямых $\mathcal{L}$ вида $Y=2bX+ (b^2-a)$ и множества точек $\mathcal{P}=(y-x^2,x)$. Имеем $|\mathcal{L}|=|P|^2$ и $|\mathcal{P}|=|S'|^2$. Используя основной результат из [33] (также, см. [26]), получаем

$$ \begin{equation} \biggl| \mathcal{I} (\mathcal{P}, \mathcal{L})- \frac{|\mathcal{P}|\,|\mathcal{L}|}{p} \biggr| \leqslant \sqrt{|\mathcal{P}|\,|\mathcal{L}|p} . \end{equation} \tag{3.20} $$
По формуле (3.20) и вычислениям, как выше (см. подробности в [8; п. 4.2]), наш граф образует экспандер, если $|S|/J \sim |P| \gg \sqrt{p}$. Действительно, в этом случае
$$ \begin{equation*} \frac{e(S',S')}{|S|} \leqslant \frac{|S'|^2}{p|S|}+|P|^{-2} |S|^{-1} \sqrt{|\mathcal{P}|\,|\mathcal{L}|p} \leqslant \frac{1}{2}+\sqrt{p |P|^{-2}} \leqslant 1-c \end{equation*} \notag $$
для некоторого $c>0$. Наконец, если, наоборот, $J\gg |S|/\sqrt{p}$, тогда по формуле, аналогичной (3.16), получим $h(G) \gg 1/\sqrt{p}$. Таким образом, в силу теоремы 8 мы видим, что время перемешивания $O(p\log p)$, как и требовалось.

Метод доказательства теоремы 7 (см. также замечание 2) позволяет легко получить ленивые цепи Маркова на $\mathbb {F}^*_p$ с временем перемешивания $O(p\log p)$, например,

$$ \begin{equation} X_{j+1}=\begin{cases} \mathrm{ind} (X_{j}) \cdot \varepsilon_{j+1} & \text{с вероятностью }\dfrac12, \\ X_{j} & \text{с вероятностью }\dfrac12 \end{cases} \end{equation} \tag{3.21} $$
($X_0 \neq 0$) или, как в (1.2) с $f(x)=\exp(x)$, а именно,
$$ \begin{equation} X_{j+1}=\begin{cases} \exp (X_{j})+\varepsilon_{j+1} & \text{с вероятностью }\dfrac12, \\ X_{j} & \text{с вероятностью }\dfrac12 . \end{cases} \end{equation} \tag{3.22} $$
(как всегда $\varepsilon_i$ обозначают независимые случайные величины, распределенные равномерно на $\pm \gamma$, $\gamma \in \mathbb {F}^*_p$). Действительно, в первой цепи мы приходим к уравнению $ya=\mathrm{ind} (x)+\mathrm{ind} (b)$, а во второй к $y+b=\exp(x) \cdot \exp(a)$. Оба уравнения соответствуют инциденциям точек и прямых. Заметим еще раз, что наша функция $\mathrm{ind} (x)$ определена на $\mathbb {F}_p^*$, но не на $\mathbb {F}_p$ (опять, для аддитивной цепи Маркова можно доопределить функцию $\exp(x)$ как $\exp(0)=0$ и получить биекцию), но в действительности два значения $\exp(0)$, $\mathrm{ind}(0)$ привносят пренебрежимую величину ошибки в инциденции. В любом случае имеется намного более лучшая оценка для времени перемешивания двух цепей Маркова, приведенных выше.

Теорема 9. Пусть $p$ – достаточно большое простое число, $\gamma{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbb {F}^*_p$. Тогда время перемешивания цепи Маркова (3.22) есть $\exp(O(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p))$. Если дополнительно порядок $\gamma$ равен $\exp(\Omega(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p))$, то время перемешивания цепи Маркова (3.21) есть $\exp(O(\log p\cdot \log \log \log p/\log \log p))$.

Доказательство. Наши рассуждения следуют той же схеме, что и доказательства теоремы 6 и теоремы 7. В обоих случаях нужно оценить энергию $\mathsf{T}_{2^k}$ множества аффинных преобразований $L$ вида $x\to gx+s$, где коэффициенты $g\in \Gamma=a \cdot \{1, \gamma, \dots, \gamma^n\}$ и $s\in P$ принадлежат геометрической и арифметической прогрессиям размера $n=\sqrt{|L|}$ соответственно. В силу предложения 1 можно оценить требуемое число инциденций уравнения $y=gx+s$, $g\in \Gamma$, $s\in P$. Ниже мы можем предположить, что $P,\Gamma$ достаточно малы (но больше чем $\exp(\Omega(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p))$, конечно). Дальнейшее применение леммы 3 бесполезно, так как $\mathsf{T}^{+}_{2^k} (P)$ максимально. Тем не менее мы делаем дополнительный шаг, рассматривая множество $L^{-1}L$, и замечаем, что любой элемент $L^{-1}L$ имеет вид $x\to g_2/g_1 x+(s_2-s_1)/g_1$, где $g_1,g_2\in \Gamma$, $s_1,s_2 \in P$. Теперь в силу рассуждений из леммы 3 наша задача – получить оценку $|\Gamma|^{2^{k+1}-1} \mathsf{T}^{+}_{2^k} (f_{(P-P)/\Gamma})$. Запишем $W=Q/\Gamma$, где $Q=P-P$, и пусть $\overline{Q}=Q+Q$. Получим грубую нижнюю оценку $|W|$, а именно, $|W| \gg n^{3/2}$. Действительно, можно использовать неравенство
$$ \begin{equation*} \mathsf{E}^\times (P,\Gamma) \leqslant n^{-2} \bigl|\bigl\{(g_1,g_2,q_1,q_2,\overline{q}_1, \overline{q}_2) \in \Gamma^2\times Q^2 \times \overline{Q}^2 \colon (\overline{q}_1-q_1) g_1=(\overline{q}_2-q_2) g_2\bigr \}\bigr| \end{equation*} \notag $$
и, таким образом, для малых $P,\Gamma$ выполняется $\mathsf{E}^\times (P,\Gamma) \ll n^{5/2}$ в силу теоремы Руднева (см. [21]). Действительно, последняя оценка влечет $|W| \gg n^{3/2}$ в силу неравенства Коши–Шварца. Положим $X=\{1, \gamma, \dots, \gamma^m\}^{-1} \subset \Gamma^{-1}$ и $m=p^\delta$. Пусть
$$ \begin{equation} \frac{4}{\delta}\, m \leqslant c n^{1/2} \end{equation} \tag{3.23} $$
для достаточно малого $c>0$, и если это так, то мы видим, что для любого целого $M\leqslant 4/\delta$ выполняется
$$ \begin{equation*} |W X^M|=\biggl|\frac{Q}{\Gamma \cdot X^M}\biggr| \leqslant |W|+M n m=\frac{5|W|}4. \end{equation*} \notag $$
Применяя теорему 4 с $k\leqslant 4/\delta$, получим
$$ \begin{equation*} \mathsf{T}^{+}_{2^k}(f_{(P-P)/\Gamma}) \lesssim \log p \cdot (|P|^2 |\Gamma|)^{2^{k+1}} p^{-\delta'(2^k-2)}. \end{equation*} \notag $$
Опять, выбираем $k$ такое, что $\delta' (2^k-2) \gg 1$. Тогда, рассуждая, как в лемме 3, получим
$$ \begin{equation*} \mathsf{T}_{2^{k+1}} (f_L) \lesssim |\Gamma|^{2^{k+1}-1} 2^{2r} \log p \cdot (|P|^2 |\Gamma|)^{2^{k+1}} p^{-\delta'(2^k-2)} \ll |L|^{2^{k+2}} p^{-\delta'(2^k-2)}. \end{equation*} \notag $$
После этого мы применяем те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 7. Наконец, чтобы выполнить (3.23), выбираем $\delta \sim \log \log \log p/ \log \log p$ и вспоминаем наше условие $\exp(\Omega(\log p \cdot \log \log \log p/\log \log p))$. Теорема доказана.

§ 4. Комбинаторные применения

Применим разработанную технику к множествам Сидона, следуя схеме из [28]. Нам понадобятся лемма 3, лемма 7 и теорема 4.

Лемма 4. Пусть $A\subseteq \mathbf G$ – произвольное множество. Тогда для любого $k\geqslant 2$ имеем

$$ \begin{equation} \mathsf{Sid}_{3k-3} (A) \gg \biggl( \frac{|A|^{2k}}{\mathsf{E}_k (A)} \biggr)^{1/(2k-1)} , \qquad \mathsf{Sid}_{2k-2} (A) \gg \biggl( \frac{|A|^{2k}}{\widehat{\mathsf{E}}_k (A)} \biggr)^{1/(2k-1)} . \end{equation} \tag{4.1} $$

Лемма 5. Пусть $A\subseteq \mathbf G$ – произвольное множество, $A=B+C$ и $k\geqslant 1$ – целое число. Тогда

$$ \begin{equation*} \mathsf{Sid}_k (A) \leqslant \min \Bigl\{|C| \sqrt{k|B|}+|B|, |B| \sqrt{k|C|}+ |C| \Bigr\} . \end{equation*} \notag $$

Теорема 10. Пусть $A\subseteq \mathbf G$ – произвольное множество, $\delta, \varepsilon \in (0,1]$ – параметры, $\varepsilon \leqslant \delta$.

1) Тогда существует $k=k(\delta, \varepsilon)=\exp(O(\varepsilon^{-1} \log (1/\delta)))$ такое, что либо $\mathsf{E}_k (A) \leqslant |A|^{k+\delta}$, либо же найдутся $H\subseteq \mathbf G$, $|H| \gtrsim |A|^{\delta(1-\varepsilon)}$, $|H+H| \ll |A|^\varepsilon |H|$, и множество $Z\subseteq \mathbf G$, $|Z|\,|H| \ll |A|^{1+\varepsilon}$ с

$$ \begin{equation*} |(H\dotplus Z) \cap A| \gg |A|^{1-\varepsilon} . \end{equation*} \notag $$

2) Аналогично, либо найдутся множества $A'\subseteq A$, $|A'| \gg |A|^{1-\varepsilon}$, и $P\subseteq \mathbf G$, $|P| \gtrsim |A|^\delta$, такие, что для всех $x\in A'$ имеем $r_{A-P}(x) \gg |P|\,|A|^{-\varepsilon}$, либо же $\mathsf{E}_k (A) \leqslant |A|^{k+\delta}$ для $k \ll 1/\varepsilon$.

Для работы в вещественном случае нам потребуется известная теорема Семереди–Троттера (см. [31]).

Теорема 11. Пусть $\mathcal{P}$, $\mathcal{L}$ – произвольные конечные множества точек и прямых в $\mathbb R^2$. Тогда

$$ \begin{equation*} \mathcal{I} (\mathcal{P}, \mathcal{L}) \ll (|\mathcal{P}|\,|\mathcal{L}|)^{2/3}+|\mathcal{P}|+|\mathcal{L}| . \end{equation*} \notag $$

Теперь мы готовы доказать теорему 2. Возьмем любое $\delta<1/2$, например, $\delta=1/4$, и пусть $\varepsilon \leqslant \delta/4$ – некоторый параметр, который мы выберем позже. В силу леммы 4 мы видим, что неравенство $\mathsf{E}^{\times}_k (A) \leqslant |A|^{k+\delta}$ влечет

$$ \begin{equation} \mathsf{Sid}^{\times}_{3k-3} (A) \gg |A|^{1/2+ (1-2\delta)/(2(2k-1))}=|A|^{1/2+1/(4(2k-1))}, \end{equation} \tag{4.2} $$
и мы получаем требуемое. Здесь $k=k(\varepsilon)$. Иначе существует $H\subseteq \mathbb {F}$, $|H| \gtrsim |A|^{\delta(1-\varepsilon)} \geqslant |A|^{\delta/2}$, $|HH| \ll |A|^{\varepsilon} |H|$, и существует $Z\subseteq \mathbb {F}$, $|Z|\,|H| \ll |A|^{1+\varepsilon}$, с $|(HZ) \cap A| \gg |A|^{1-\varepsilon}$. Здесь произведение $H$ и $Z$ прямое, т.е. $h_1 z_1=h_2 z_2$ для $h_1,h_2 \in H$, $z_1,z_2 \in Z$ влечет $h_1=h_2$ и $z_1=z_2$. Положим $A_*=(HZ) \cap A$, $|A_*| \gg |A|^{1-\varepsilon}$, и мы хотим оценить $\mathsf{E}^{\times}_{l+1} (A_*+1)$ или же $\widehat{\mathsf{E}}_{l+1}^{\times} (A_*+1)$ для большого $l$. После этого, имея хорошую верхнюю оценку для $\mathsf{E}^{\times}_{l+1} (A_*+1)$ или $\widehat{\mathsf{E}}_{l+1}^{\times} (A_*\,{+}\,1)$, применим лемму 4 еще раз для нахождения большого мультипликативного подмножества Сидона в $A_*$.

Во-первых, заметим, что в силу (2.1) мы имеем

$$ \begin{equation*} |H A^{-1}_*| \leqslant |H H^{-1}|\,|Z| \ll |A|^{2\varepsilon} |H|\,|Z| \ll |A|^{1+3\varepsilon} . \end{equation*} \notag $$
Другими словами, множество $A^{-1}_*$ почти не растет после умножения на $H$. Пусть $Q=H A^{-1}_*$, $|Q| \ll |A|^{1+3\varepsilon}$, и также пусть $M=|A|^{\varepsilon}$. Во-вторых, фиксируем произвольное $\lambda \neq 0, 1$. Количество решений уравнения $a_1 / a_2=\lambda$, где $a_1,a_2 \in A_*+1$, не превосходит
$$ \begin{equation*} \sigma_\lambda :=|H|^{-2r} \biggl|\biggl\{h_1,h_2\in H,\, q_1,q_2\in Q \colon \frac{h_1/q_1+1}{h_2/q_2+1}=\lambda \biggr\}\biggr| . \end{equation*} \notag $$
Последнее уравнение имеет вид (3.10), а именно
$$ \begin{equation*} \frac{h_1}{q_1}-\frac{\lambda h_2}{q_2}=\lambda-1, \end{equation*} \notag $$
и оно может быть интерпретировано как вопрос о числе инциденций точек и прямых. Для каждого $\lambda \neq 0,1$ величина $\sigma_\lambda$ может быть оценена как
$$ \begin{equation} \sigma_\lambda \ll |H|^{-2} \cdot |Q|\,|H|^{2-\kappa} \ll |A|^{1+3\varepsilon} |H|^{-\kappa} \end{equation} \tag{4.3} $$
так же, как и в доказательстве теоремы 6 выше (в случае $\mathbb {F}=\mathbb R$ то же самое верно в силу теоремы 11). Здесь $\kappa=\kappa(\delta)>0$. Действительно, по нашему предположению $|A|<\sqrt{p}$, а также по теореме 5, предположению 1 и лемме 3 мы находим
$$ \begin{equation} \sigma_\lambda-\frac{|Q|^2}{p} \lesssim |Q|\,|H|^{-1/2} (|Q| \mathsf{T}^{+}_{2^r} (H))^{1/2^{r+2}} \lesssim |Q| \sqrt{M} \bigl( M^3 |A|\,|H|^{-(r+1)/2} \bigr)^{1/2^{r+2}}, \end{equation} \tag{4.4} $$
поскольку еще $|H| \gtrsim_r M^{2^{r+1}}$ и $|H|^{r+1} \ll p$. Здесь $r$ – некоторый параметр и мы выбираем $r\sim 1/\delta$ для выполнения второго условия. Для выполнения первого условия просто возьмем $\varepsilon {2^{r+1}} \ll \delta$ (другими словами, $\varepsilon \leqslant \exp(-\Omega(1/\delta))$) и получим требуемое, ибо $|H| \gg |A|^{\delta/2}$.

Далее, используя $|H| \gg |A|^{\delta/2}$, $|A_*| \gg |A|^{1-\varepsilon}$, оценку (4.3) и выбирая любое $\varepsilon \leqslant \delta \kappa/100$, получаем после вычислений, что $\sigma_\lambda \ll |A_*|^{1-\delta \kappa/4}$. Теперь, взяв достаточно большое $l \gg (\delta \kappa)^{-1}$, получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \widehat{\mathsf{E}}_{l+1}^{\times} (A_*) &=\sum_{\lambda} r^{l+1}_{A_* A_*} (\lambda) \ll |A_*|^{l+1}+(|A_*|^{1-\delta \kappa/2})^l |A_*|^2 \\ &\ll |A_*|^{l+1}+|A|^{l+2-\delta\kappa l/2} \ll |A_*|^{l+1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Применяя лемму 4 и выбирая $\varepsilon \ll l^{-1}$, мы видим, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathsf{Sid}^\times_{2l} (A) &\geqslant \mathsf{Sid}^\times_{2l} (A_*) \gg |A_*|^{(l+1)/(2l+1)} \gg|A|^{((1-\varepsilon)(l+1))/(2l+1)} \\ & =|A|^{1/2+(1-2\varepsilon(l+1))/(2(2l+1))} \gg |A|^{1/2+c} , \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $c=c(\delta) >0$ – абсолютная константа. Мы получили неравенство (1.8) теоремы 2.

Для получения оценки (1.10) мы используем те же рассуждения, что и выше, но теперь наш аналог величины $\sigma_\lambda$ – это $\exp(q_1) \exp(h_1)-\exp(q_2) \exp(h_2)=\lambda$, где $q_1,q_2 \in Q=A_*+H$, $h_1, h_2\in H$. Последнее уравнение может быть рассмотрено как вопрос об инциденциях множества прямых $x \exp(h_1)-y \exp(h_2)=\lambda$, $|\mathcal{L}|=|H|^2$ и соответствующего множества точек $\mathcal{P}$ размера $|Q|^2$. Тогда аналоги оценок (4.3), (4.4) верны и результат получен.

Осталось доказать оценку (1.11) теоремы. Для любых множества $X_1,X_2,X_3$ рассмотрим множество $R[X_1,X_2,X_3]$

$$ \begin{equation*} R[X_1,X_2,X_3]=\biggl\{\frac{x_1-x_3}{x_2-x_3} \colon x_1,x_2,x_3 \in X,\, x_2 \neq x_3 \biggr\} . \end{equation*} \notag $$
Если $X_1=X_2=X_3=X$, то мы полагаем $R[X_1,X_2,X_3]=R[X]$. Можно проверить, что $1-R[X_1,X_2,X_3]=R[X_1,X_3,X_2]$. Для $\mathbb {F}=\mathbb R$ или $\mathbb {F}=\mathbb {F}_p$ возьмем $X=P$, $A=R[X]$, где $P=\{1,\dots, n \}$, $\overline{P}=\{-n, \dots, n \}$, и пусть $n<\sqrt{p}$ в случае $\mathbb {F}_p$. Тогда $A$ содержится в $\overline{P} / \overline{P} :=B \cdot C$ и в силу леммы 5 любое мультипликативное $k$-сидоновское подмножество $A$ имеет размер не более $O (\sqrt{k} |A|^{3/4})$, потому что, как можно проверить, $|A| \gg |P|^2$. Далее, $1-A=A$ и, таким образом, те же рассуждения применимы к множеству $1-A$. Осталось заметить, что $\mathsf{Sid}^\times (X)=\mathsf{Sid}^\times (-X)$ для любого множества $X$. Наконец, заметим, что существует альтернативный (но, возможно, немного более сложный) способ получить оценку (1.11). Действительно, рассмотрим $R[\Gamma]$, где $\Gamma\subseteq \mathbb {F}_p^*$, $|\Gamma|< \sqrt{p}$ – мультипликативная подгруппа (мы рассматриваем случай $\mathbb {F}=\mathbb {F}_p$). Можно заметить, что $R[\Gamma]=(\Gamma-1)/(\Gamma-1)$ и повторить те же рассуждения, что и выше.

Посвящается академику А. Н. Паршину.

Список литературы

1. C. Asci, “Generating uniform random vectors”, J. Theoret. Probab., 14:2 (2001), 333–356  crossref  mathscinet  zmath
2. J. Bourgain, “Multilinear exponential sums in prime fields under optimal entropy condition on the sources”, Geom. Funct. Anal., 18:5 (2009), 1477–1502  crossref  mathscinet  zmath
3. J. Bourgain, A. Gamburd, “Uniform expansion bounds for Cayley graphs of $\mathrm{SL}_2(\mathbb {F}_p)$”, Ann. of Math. (2), 167:2 (2008), 625–642  crossref  mathscinet  zmath
4. S. Chatterjee, P. Diaconis, “Speeding up Markov chains with deterministic jumps”, Probab. Theory Related Fields, 178:3-4 (2020), 1193–1214  crossref  mathscinet  zmath
5. Fan Chung, “Laplacians and the Cheeger inequality for directed graphs”, Ann. Comb., 9:1 (2005), 1–19  crossref  mathscinet  zmath
6. F. R. K. Chung, P. Diaconis, R. L. Graham, “Random walks arising in random number generation”, Ann. Probab., 15:3 (1987), 1148–1165  crossref  mathscinet  zmath
7. S. Eberhard, P. P. Varjú, “Mixing time of the Chung–Diaconis–Graham random process”, Probab. Theory Related Fields, 179:1-2 (2021), 317–344  crossref  mathscinet  zmath
8. J. He, “Markov chains on finite fields with deterministic jumps”, Electron. J. Probab., 27 (2022), 28, 17 pp.  crossref  mathscinet  zmath
9. J. He, Huy Tuan Pham, Max Wenqiang Xu, “Mixing time of fractional random walk on finite fields”, Electron. J. Probab., 27 (2022), 133, 15 pp.  crossref  mathscinet  zmath
10. M. Hildebrand, “A lower bound for the Chung–Diaconis–Graham random process”, Proc. Amer. Math. Soc., 137:4 (2009), 1479–1487  crossref  mathscinet  zmath
11. M. Hildebrand, “Random processes of the form $X_{n+1}=a_n X_n+b_n \pmod p$ where $b_n$ takes on a single value”, Random discrete structures (Minneapolis, MN, 1993), IMA Vol. Math. Appl., 76, Springer, New York, 1996, 153–174  crossref  mathscinet  zmath
12. M. Hildebrand, “Random processes of the form $X_{n+1}=a_n X_n+b_n \pmod p$”, Ann. Probab., 21:2 (1993), 710–720  crossref  mathscinet  zmath
13. C. Pohoata, Sidon sets and sum–product phenomena https://pohoatza.wordpress.com/2021/01/23/sidon-sets-and-sum-product-phenomena/
14. J. Komlós, M. Sulyok, E. Szemerédi, “Linear problems in combinatorial number theory”, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 26:1-2 (1975), 113–121  crossref  mathscinet  zmath
15. И. А. Круглов, “Случайные последовательности вида $X_{t+1}=a_t X_t+b_t \pmod n$ с зависимыми коэффициентами $a_t$$b_t$”, Дискрет. матем., 17:2 (2005), 49–55  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. A. Kruglov, “Random sequences of the form $X_{t+1}=a_t X_t+b_t$ modulo $n$ with dependent coefficients $a_t$$b_t$”, Discrete Math. Appl., 15:2 (2005), 145–151
16. D. A. Levin, Y. Peres, Markov chains and mixing times, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, xvi+447 pp.  crossref  mathscinet  zmath
17. B. Murphy, “Upper and lower bounds for rich lines in grids”, Amer. J. Math., 143:2 (2021), 577–611  crossref  mathscinet  zmath
18. B. Murphy, G. Petridis, O. Roche-Newton, M. Rudnev, I. D. Shkredov, “New results on sum–product type growth over fields”, Mathematika, 65:3 (2019), 588–642  crossref  mathscinet  zmath
19. K. O'Bryant, “A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences”, Electron. J. Combin., 2004, Dynamic Surveys, DS11, 39 pp.  crossref  mathscinet  zmath
20. O. Roche-Newton, A. Warren, “Additive and multiplicative Sidon sets”, Acta Math. Hungar., 165:2 (2021), 326–336  crossref  mathscinet  zmath
21. M. Rudnev, “On the number of incidences between points and planes in three dimensions”, Combinatorica, 38:1 (2018), 219–254  crossref  mathscinet  zmath
22. M. Rudnev, I. D. Shkredov, “On the growth rate in $\mathrm{SL}_2(\mathbb {F}_p)$, the affine group and sum–product type implications”, Mathematika, 68:3 (2022), 738–783  crossref  mathscinet
23. T. Schoen, I. D. Shkredov, “Higher moments of convolutions”, J. Number Theory, 133:5 (2013), 1693–1737  crossref  mathscinet  zmath
24. А. С. Семченков, “Максимальные подмножества без арифметических прогрессий в произвольных множествах”, Матем. заметки, 102:3 (2017), 436–444  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. S. Semchenkov, “Maximal subsets free of arithmetic progressions in arbitrary sets”, Math. Notes, 102:3 (2017), 396–402  crossref
25. I. D. Shkredov, “Some remarks on the asymmetric sum–product phenomenon”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 8:1 (2019), 15–41  crossref  mathscinet  zmath
26. И. Д. Шкредов, “Об асимптотических формулах в некоторых вопросах теории сумм произведений”, Тр. ММО, 79, № 2, МЦНМО, М., 2018, 271–334  mathnet  zmath; англ. пер.: I. D. Shkredov, “On asymptotic formulae in some sum–product questions”, Trans. Moscow Math. Soc., 2018 (2018), 231–281  crossref  mathscinet
27. I. D. Shkredov, “Modular hyperbolas and bilinear forms of Kloosterman sums”, J. Number Theory, 220 (2021), 182–211  crossref  mathscinet  zmath
28. I. D. Shkredov, “On an application of higher energies to Sidon sets”, Combinatorica, 2023, Publ. online  crossref
29. S. Sidon, “Ein Satz über trigonometrische Polynome und seine Anwendung in der Theorie der Fourier-Reihen”, Math. Ann., 106:1 (1932), 536–539  crossref  mathscinet  zmath
30. S. Stevens, F. de Zeeuw, “An improved point-line incidence bound over arbitrary fields”, Bull. Lond. Math. Soc., 49:5 (2017), 842–858  crossref  mathscinet  zmath
31. E. Szemerédi, W. T. Trotter, Jr., “Extremal problems in discrete geometry”, Combinatorica, 3:3-4 (1983), 381–392  crossref  mathscinet  zmath
32. T. Tao, Van H. Vu, Additive combinatorics, Cambridge Stud. Adv. Math., 105, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006, xviii+512 pp.  crossref  mathscinet  zmath
33. L. A. Vinh, “The Szemerédi–Trotter type theorem and the sum–product estimate in finite fields”, European J. Combin., 32:8 (2011), 1177–1181  crossref  mathscinet  zmath
34. A. Warren, Additive and multiplicative Sidon sets, Report at CANT–2021 http://www.theoryofnumbers.com/cant/CANT2021-abstracts.pdf

Образец цитирования: И. Д. Шкредов, “О мультипликативном процессе Чанг–Диакониса–Грэма”, Матем. сб., 214:6 (2023), 136–154; I. D. Shkredov, “On the multiplicative Chung-Diaconis-Graham process”, Sb. Math., 214:6 (2023), 878–895
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shk23}
\by И.~Д.~Шкредов
\paper О мультипликативном процессе Чанг--Диакониса--Грэма
\jour Матем. сб.
\yr 2023
\vol 214
\issue 6
\pages 136--154
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9811}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9811}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4670387}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1534.60097}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023SbMat.214..878S}
\transl
\by I.~D.~Shkredov
\paper On the multiplicative Chung-Diaconis-Graham process
\jour Sb. Math.
\yr 2023
\vol 214
\issue 6
\pages 878--895
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9811e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001109406900006}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85178168359}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9811
  • https://doi.org/10.4213/sm9811
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i6/p136
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:246
    PDF русской версии:15
    PDF английской версии:30
    HTML русской версии:81
    HTML английской версии:111
    Список литературы:23
    Первая страница:2
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024