| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О слабой топологии на пространствах Адамара А. Бёрделлима Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin, Berlin, Germany
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9808e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНа любом метрическом пространстве можно ввести каноническую топологию, индуцируемую метрикой. Эта топология может быть описана в терминах обычной (сильной) сходимости последовательностей. Важным для задач анализа является изучение различных слабых сходимостей последовательностей в метрическом пространстве и по возможности нахождение топологий, в которых такие сходимости могут быть описаны. В настоящей работе рассматривается слабая сходимость, введенная Ю. Йостом в [12] для пространств Адамара. Нашей целью является нахождение наиболее естественной топологии, соответствующей такой сходимости. Для ограниченных множеств определение сходимости по Йосту, которую мы будем называть просто слабой сходимостью, совпадает с $\Delta$-сходимостью, которая была введена ранее в [16]. Вопрос о топологизуемости слабой сходимости для ограниченных последовательностей был решен ранее А. Лытчаком в работе [17], где он также дал ответ на один вопрос из [8], поставленный для $\Delta$-сходимости. Однако оставался нерешенным вопрос о построении топологии, характеризующей слабую сходимость для неограниченных последовательностей. Отсутствие требования ограниченности представляет собой одно из ключевых различий между общими пространствами Адамара и гильбертовыми пространствами в контексте нашей задачи изучения слабой сходимости, поскольку в гильбертовом случае классическая теорема Банаха–Штейнгауза влечет, что слабо сходящаяся последовательность необходимо ограничена. Интерес автора к этой проблематике был вызван одним вопросом М. Бачака (см. [8]). В своей кандидатской работе [3] автор настоящей работы предложил такую топологию $\tau_w$ для так называемых слабо собственных пространствах Адамара. Это свойство пространств Адамара, обеспечивающее определенную топологическую регулярность $\tau_w$-открытых множеств, имеет место для широкого класса пространств Адамара, включающих в себя гильбертовы пространства и локально компактные пространства Адамара. Однако согласно примеру из [17; § 4] не любое пространство Адамара является слабо собственным. Результаты о топологии $\tau_w$ могут также быть сформулированы в терминах направленностей (см. [19]). В настоящей работе приводятся основные результаты из работы [3]. Доказательства также следуют оригинальным рассуждениям из [3]. Работа организована следующим образом. В § 2 приводятся некоторые сведения из теории пространств Адамара. Определение слабой топологии $\tau_w$ дается в § 3, где мы также даем определение слабо собственных пространств Адамара. В этом параграфе мы также показываем, что в слабо собственном пространстве Адамара секвенциальная слабая сходимость и слабая сходимость совпадают (теорема 3.1); в частности, мы показываем, что слабо собственное пространство Адамара является хаусдорфовым в топологии $\tau_w$ (лемма 3.2). Также мы устанавливаем, что многие полезные утверждения о слабой топологии для гильбертовых пространств естественно переносятся на случай пространств Адамара. Например, мы показываем, что (геодезически) выпуклое множество замкнуто, если и только если оно слабо замкнуто (теорема 3.2). Помимо этого мы приводим некоторые результаты, не вошедшие в работу [19]. К примеру, мы показываем, что имеет место аналог известной леммы Мазура (теорема 3.3). Далее, в классе слабо собственных сепарабельных пространств Адамара мы показываем, что слабая компактность и секвенциальная слабая компактность совпадают при условии определенной регулярности метрической проекции на геодезические (теоремы 3.5 и 3.6). Этот результат является непосредственным аналогом известной теоремы Эберлейна–Шмульяна (см., например, [24], [2]) для пространств Адамара. Однако остается открытым вопрос, выполняется ли это условие регулярности для всех пространств Адамара. Отдельное внимание в работе уделяется локально компактным пространствам Адамара. Мы показываем, в частности, что в таких пространствах слабо сходящаяся последовательность (направленность) всегда ограничена (лемма 3.5). Мы также устанавливаем, что в таких пространствах слабая и сильная топологии совпадают (теорема 3.8). В следствии 3.5 показывается, что любое локально компактное пространство Адамара является слабо собственным. Далее мы показываем, что любое гильбертово пространство является слабо собственным и что топология $\tau_w$ на нем совпадает с обычной слабой топологией (предложение 3.5). В следствии 3.7 устанавливается, что декартово произведение локально компактного пространства Адамара и гильбертова пространства слабо собственно. В § 4 проводится сравнение вводимой нами топологии с другими известными слабыми топологиями; в частности, для топологии Какаванди соответствующий результат о сравнении дается в теореме 4.1. В заключительном п. 4.4 мы кратко останавливаемся на связи нашей топологии со слабой топологией, недавно введенной А. Лытчаком в [17]. § 2. Предварительные сведенияНа протяжении настоящей работы $(H,d)$ – пространство Адамара. Геодезическая с постоянной скоростью $\gamma\colon [0,1]\to H$ – это кривая, удовлетворяющая условию $d(\gamma(s), \gamma(t))=|s-t| \,d(\gamma(0), \gamma(1))$ при всех $s,t\in [0,1]$. Для $x\in H$ через $\Gamma_{x}(H)$ обозначим множество всех геодезических с постоянной скоростью $\gamma\colon [0,1]\to H$ таких, что $\gamma(0)=x$. Через $[x,y]$ обозначим геодезический сегмент, соединяющий точки $x$ и $y$ из $ H$. Далее, для $t\in[0,1]$ через $x_t=(1-t)x\oplus t y$ обозначим точку из сегмента $[x,y]$ такую, что $d(x_t,x)=td(x,y)$. Геодезический треугольник $\Delta(pqr)$, задаваемый тремя точками $p,q,r\in H$, состоит из трех геодезических сегментов $[p,q]$, $[q,r]$, $[r,p]$. Каждому геодезическому треугольнику $\Delta(pqr)$ сопоставляется треугольник сравнения $\Delta(\overline{p}\overline{q}\overline{r})$ из евклидовой плоскости $\mathbb{E}^2$ с вершинами $\overline{p},\overline{q},\overline{r}$, где $d(p,q)=\|\overline{p}-\overline{q}\|$, $d(q,r)=\|\overline{q}-\overline{r}\|$ и $d(p,r)=\|\overline{p}-\overline{r}\|$. Точка $\overline{x}\in[\overline p,\overline q]$ из $\mathbb E^2$ называется точкой сравнения для точки $x\in[p,q]$, если $d(p,x)=\|\overline p-\overline x\|$. При $x\in[p,q]$ и $y\in[p,r]$ пространство Адамара удовлетворяет неравенству треугольника для $\operatorname{CAT}(0)$-пространств: Пространство Адамара также называется полным $\operatorname{CAT}(0)$-пространством (см., например, [5], [6], [22]). Свойство неположительности кривизны, характеризующее $\operatorname{CAT}(0)$-пространства, является следствием неравенства (2.1). Именно в терминах этого неравенства метрические пространства ограниченной кривизны были определены в [1]. Позже такие пространства были популяризованы М. Громовым (см. [10], [11]).Нам также понадобится важное понятие угла. Внутренний угол треугольника $\Delta(\overline{p}\overline{q}\overline{r})$ при вершине $\overline{p}$ называется углом сравнения между $q$ и $r$ в вершине $p$ (обозначение: $\overline{\angle}_p(q,r)$. Далее, пусть $\gamma$ и $\eta$ – два геодезических сегмента, выходящих из одной и той же точки $p$, т.е. $\gamma(0)=\eta(0)=p$. Александровский угол $\angle_p(\gamma,\eta)\in[0,\pi]$ между сегментами $\gamma$ и $\eta$ в вершине $p$ определяется по формуле
$$
\begin{equation}
\angle_p(\gamma,\eta):=\limsup_{t,t'\to 0}\overline{\angle}_p(\gamma(t),\eta(t')).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В случае римановых многообразий александровский угол совпадает с обычным углом. Множество $C\subseteq H$ (геодезически) выпукло, если условие $x,y\in C$ влечет, что $[x,y]\subseteq C$. Через $\operatorname{co} C$ обозначим выпуклую оболочку множества $C$, т.е. наименьшее выпуклое множество из $H$, содержащее $C$. Положим $d(x,C)=\inf\{y\in C \colon d(x,y)\}$. Через $P_Cx:=\{y\in H \colon d(x,y)=d(x,C)\}$ обозначаем метрическую проекцию точки $x$ на множество $C$. В общем случае оператор метрической проекции $P_Cx$ многозначен (и может иметь пустые значения), однако если $C$ – замкнутое выпуклое множество, то множество $P_Cx$ одноточечно для любого $x\in H$. Отметим следующее неравенство (см. [7; теорема 2.1.12]):
$$
\begin{equation}
d(y,P_Cx)^2+d(x,P_Cx)^2\leqslant d(x,y)^2 \quad\text{для любого}\ \ y\in C.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Из неравенства (2.1) вытекает следующая характеризация $\operatorname{CAT}(0)$-пространств (и, следовательно, пространств Адамара):
$$
\begin{equation}
d(x_t,z)^2\leqslant(1-t)d(x,z)^2+td(y,z)^2-t(1-t)d(x,y)^2, \qquad x,y,z\in H,\quad t\in[0,1].
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В завершение этого параграфа дадим ключевое определение слабой сходимости, введенное в [12]. Определение 2.1. Пусть $(x_n)\subseteq H$ и $x\in H$. Последовательность $x_n$ слабо сходится к $x$ (обозначение: $x_n\xrightarrow{w} x$), если $\lim_{n\to\infty}P_{\gamma}x_n=x$ для любой геодезической $\gamma\in\Gamma_x(H)$. Отметим, что это определение напрямую обобщается на случай направленностей. Также отметим, что близкое определение было позже введено и независимо изучено Е. Н. Сосовым в [23]. Замечание 2.1. Слабый предел единственен. Действительно, если $x_n\xrightarrow{w} x$ и $x_n\xrightarrow{w} y$, то $0\leqslant d(x,y)\leqslant d(P_{[x,y]}x_n,x)+d(P_{[x,y]}x_n,y)\to 0$ при $n\to\infty$, что влечет $x=y$. § 3. Определение слабой топологии3.1. Построение открытых множествМы будем придерживаться стандартной для топологии терминологии (см., например, [18], [15], [21]). Рассмотрим пространство Адамара $(H,d)$. Следуя [8], мы скажем, что множество $U\subset H$ слабо открыто, если для любого $x\in U$ найдутся $\varepsilon>0$ и конечное семейство геодезических $\gamma_1,\gamma_2,\dots, \gamma_n \in \Gamma_{x}(H)$ таких, что множество
$$
\begin{equation}
U_{x}(\varepsilon;\gamma_1,\dots, \gamma_n):=\{y\in H\colon d(x,P_{\gamma_i}y)<\varepsilon \ \forall\, i=1,2,\dots, n\}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
содержится в $U$. Здесь $P_{\gamma_i}y$ – проекция точки $y$ на геодезическую $\gamma_i$. Множество $U_x(\varepsilon;\gamma)$ (где $\gamma\in\Gamma_x(H)$ — заданный геодезический сегмент) называется элементарным множеством. Предложение 3.1. Набор всех слабо открытых множеств $U$ в совокупности с пустым множеством $\varnothing$ определяет топологию $\tau_w$ на $H$, называемую слабой топологией пространства $H$. Доказательство. Из определения ясно, что топология $\tau_w$ включает в себя всё пространство $H$ и пустое множество $\varnothing$. Пусть каждое из множеств $U_i$, $i\in I$, где $I$ – некоторое индексное множество, слабо открыто при всех $i\in I$. Пусть $x\in \bigcup_{i\in I}U_i$. Тогда $x\in U_j$ при некотором $j\in I$. Так как $U_j$ слабо открыто, то существуют $\varepsilon>0$ и $\gamma_1,\dots, \gamma_n\in\Gamma_x(H)$ такие, что $U_x(\varepsilon;\gamma_1,\dots, \gamma_n)\subseteq U_j\subseteq \bigcup_{i\in I}U_i$. Следовательно, объединение $\bigcup_{i\in I}U_i$ также слабо открыто. Теперь пусть $U_1$ и $U_2$ – слабо открытые множества, и пусть $x\in U_1\cap U_2$. Тогда найдутся $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ и геодезические сегменты $\gamma_1,\dots, \gamma_n,\eta_1,\dots, \eta_m\in\Gamma_x(H)$ такие, что $U_{x}(\varepsilon_1;\gamma_1,\dots, \gamma_n)\subseteq U_1$ и $U_{x}(\varepsilon_2;\eta_1,\dots, \eta_m)\subseteq U_2$. Пусть $\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$. Рассмотрим множество $U_x(\varepsilon; \gamma_1,\dots, \gamma_n,\eta_1,\dots, \eta_m)$. Имеем Это показывает, что $U_1\cap U_2$ слабо открыто. Предложение доказано. Следующий результат показывает, что любое подмножество $U$ пространства Адамара открыто в обычной метрической топологии. Лемма 3.1. Пусть $(H,d)$ – пространство Адамара. Тогда множество $U_{x}(\varepsilon;\gamma)$ открыто в метрической топологии при любых $x\in H$ и $\gamma\in\Gamma_x(H)$. Доказательство. Неравенство (2.3) показывает, что метрическая проекция $P_C$ на замкнутое выпуклое подмножеств $C$ пространства $H$ является нерастягивающей, т.е. $d(P_{C}x,P_Cy)\leqslant d(x,y)$ для всех $x,y\in H$. Отсюда следует, что проекция $P_{\gamma}$ также является нерастягивающей, т.е. $d(P_{\gamma}x,P_{\gamma}y)\leqslant d(x,y)$ при любых $x,y\in H $. Теперь рассмотрим $y\in U_{x}(\varepsilon;\gamma)$. Тогда если $s:=d(x,P_{\gamma}y)$, то $s<\varepsilon$. Следовательно, открытый геодезический шар $B(y,\varepsilon-s):=\{z\in H\colon d(x,y)<\varepsilon-s\}$ содержится в $U_{x}(\varepsilon;\gamma)$. Действительно, пусть $z\in B(y,\varepsilon-s)$. Тогда имеем что дает $z \in U_{x}(\varepsilon;\gamma)$. Лемма доказана. Следующее понятие играет центральную роль в настоящей работе. Определение 3.1. Мы говорим, что пространство Адамара слабо собственно, если любая точка $x\in H$ есть внутренняя точка любого элементарного множества $U_x(\varepsilon;\gamma)$ в слабой топологии $\tau_w$, т.е. если для любой точки $x\in H$ и любой геодезической $\gamma \in \Gamma_{x}(H)$ найдется множество $V\in \tau_w$ такое, что $x \in V\subseteq U_x(\varepsilon;\gamma)$. Отметим, что слабая собственность пространства не влечет слабую открытость элементарных множеств; однако пространство $H$ является слабо собственным, если все его элементарные множества слабо открыты. Если пространства $(H_1,d_1)$ и $(H_2,d_2)$ слабо собственны, то слабо собственным также является их произведение $(H_1\times H_2,d)$ с метрикой произведения $d^2=d_1^2+d_2^2$. Далее, несложно проверяется, что сходимость $x_n\to x$ влечет сходимость $x_n\xrightarrow{w} x$, поскольку если $\lim_{n\to \infty}d(x,x_n)=0$, то $d(x,P_{\gamma}x_n)=d(P_{\gamma}x,P_{\gamma}x_n)\leqslant d(x,x_n)$, что влечет $\lim_{n\to \infty}d(x,P_{\gamma}x_n)=0$ для всех $\gamma\in\Gamma_x(H)$. По определению последовательность $(x_n)\subseteq H$ секвенциально сходится в топологии $\tau_w$ к точке $x\in H$ (обозначение: $x_n\xrightarrow{\tau_w} x$), если любое слабо открытое множество $U$, содержащее $x$, содержит все точки $x_n$, за исключением конечного их числа. Теорема 3.1. Пусть $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset H$, $x\in H$. Тогда сходимость $x_n\xrightarrow{w} x$ влечет сходимость $x_n\xrightarrow{\tau_w} x$. При этом если пространство Адамара слабо собственно, то сходимость $x_n\xrightarrow{\tau_w} x$ влечет сходимость $x_n\xrightarrow{w} x$. Доказательство. Пусть $x_n\xrightarrow{w} x$. Тогда $\lim_{n\to \infty}d(x,P_{\gamma}x_n)=0$ для любого геодезического сегмента $\gamma\in \Gamma_x(H)$, или, эквивалентно, $x_n\in U_x(\varepsilon;\gamma)$ для всех достаточно больших $n$. Пусть $x\in U\in \tau_w$. Тогда существуют такие геодезические $\gamma_1,\dots, \gamma_n\in\Gamma_x(H)$ и $\varepsilon>0$, что $U_x(\varepsilon;\gamma_1,\dots, \gamma_n)\subseteq U$. Так как $x_n\in U_x(\varepsilon;\gamma_1,\dots, \gamma_n)$ для всех достаточно больших $n$, то $x_n\in U$ при всех достаточно больших $n$.
Пусть множество $H$ слабо собственно. Предположим, что $x_n\,{\xrightarrow{\tau_w}}\, x$, но $x_n\,{\overset{w}\nrightarrow}\, x$. Тогда существуют геодезическая $\gamma\in\Gamma_x(H)$ и $\varepsilon>0$ такие, что $x_n\notin U_x(\varepsilon;\gamma)$ для бесконечного набора чисел $n$. Так как по условию пространство слабо собственно, то найдется открытое множество $V\in\tau_w$, содержащее $x$ и такое, что $V\subseteq U_x(\varepsilon;\gamma)$. Следовательно, $x_n\notin V$ для бесконечного набора чисел $n$. Однако это противоречит сходимости $x_n\xrightarrow{\tau_w} x$. Теорема доказана. Из теоремы 3.1 следует, что сходимость $x_n\to x$ влечет сходимость $x_n\xrightarrow{\tau_w} x$. Доказательство. Пусть точки $x,y\in H$ различны, и пусть $\gamma, \widetilde \gamma\colon [0,1]\,{\to}\, H$ – геодезические, связывающие $x$ с $y$ и такие, что $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$ и $\widetilde \gamma(0)\,{=}\,y$, $\widetilde \gamma(1)=x$. Далее, пусть $l_{\gamma}:=d(x,y)$ и $\varepsilon\in (0,l_{\gamma})$. Отметим, что $l_{\gamma}=l_{\widetilde\gamma}$ и $P_{\gamma}z=P_{\widetilde\gamma}z$ для всех $z\in H$. Рассмотрим множества $U_x(\varepsilon; \gamma):=\{z\in H\colon d(x,P_{\gamma}z)<\varepsilon\}$ и $U_y(l_{\gamma}-\varepsilon; \widetilde\gamma):=\{z\in H\colon d(y,P_{\widetilde\gamma}z)<l_{\gamma}-\varepsilon\}$. Предположим, что пересечение $U_x(\varepsilon; \gamma)\cap U_y(l_{\gamma}-\varepsilon; \widetilde\gamma)$ содержит точку $z_0$. Тогда из неравенств $d(x,P_{\gamma}z_0)<\varepsilon$ и $d(y,P_{\widetilde\gamma}z_0)<l_{\gamma}-\varepsilon$ получаем, что $l_{\gamma}=d(x,y)\leqslant d(x,P_{\gamma}z_0)+d(y,P_{\gamma}z_0)= d(x,P_{\gamma}z_0)+d(y,P_{\widetilde\gamma}z_0)<l_{\gamma}$, что невозможно. Как следствие, пересечение $U_x(\varepsilon; \gamma)\cap U_y(l_{\gamma}-\varepsilon; \widetilde\gamma)$ пусто. Так как $(H,d)$ слабо собственно, то найдутся такие множества $V,W\in\tau_w$, что $x\in V\subseteq U_x(\varepsilon; \gamma)$ и $y\in W\subseteq U_y(l_{\gamma}-\varepsilon; \widetilde\gamma)$. Тогда $V\cap W\subseteq U_x(\varepsilon; \gamma)\cap U_y(l_{\gamma}-\varepsilon; \widetilde\gamma)=\varnothing$, что завершает доказательство. 3.2. Выпуклые множества и компактностьМы будем говорить, что множество $S\subseteq H$ слабо замкнуто, если оно $\tau_w$-замкнуто. Теорема 3.2. Пусть $(H,d)$ – пространство Адамара. Выпуклое множество $C\subseteq H$ сильно замкнуто, если и только если оно слабо замкнуто. Доказательство. Слабо замкнутое множество сильно замкнуто. Обратно, предположим, что $C$ – сильно замкнутое выпуклое множество. Покажем, что $C$ слабо замкнуто. Для этого достаточно показать, что $H\setminus C$ слабо открыто. Пусть $y\in H\setminus C$. Тогда метрическая проекция $P_Cy$ одноточечна. Пусть $\gamma\colon [0,1]\to H$ – геодезическая, связывающая точку $y$ c точкой $P_Cy$ и такая, что $\gamma(0)=y$ и $\gamma(1)=P_Cy$. Для $\varepsilon\in(0,l(\gamma))$, где $l(\gamma):=d(y,P_Cy)$ – длина геодезической $\gamma$, рассмотрим элементарное множество $U_y(\varepsilon;\gamma)$. Нам требуется только показать, что $U_y(\varepsilon;\gamma)\cap C=\varnothing$. Пусть $x\in C$, и пусть $z\in H$ – произвольная точка. Так как $C$ и $\gamma$ сильно замкнуты и выпуклы, то по неравенству (2.3) имеем $d(x,z)^2\geqslant d(x,P_{C}z)^2+d(P_Cz,z)^2$ и $d(x,P_Cy)^2\geqslant d(x,P_{\gamma}x)^2+d(P_{\gamma}x,P_Cy)^2$, где в первом неравенстве мы воспользовались тем, что точка $x$ лежит в выпуклом множестве $C$, а во втором неравенстве – тем, что точка $P_Cy$ лежит в выпуклом множестве $ \gamma$. Теперь пусть $z=P_\gamma x$ – проекция точки $x$ на $\gamma$. Так как $z \in \gamma$, то $P_C z= P_C y$ (см. [5]). Из предыдущих двух неравенств получаем, что $P_Cy = z= P_{\gamma}x$. Так как $d(y,P_{\gamma}x)=d(y,P_Cy)>\varepsilon$ для всех $x\in C$, то $U_y(\varepsilon;\gamma)\cap C=\varnothing$, т.е. $U_y(\varepsilon;\gamma)\in H\setminus C$, что завершает доказательство. Теорема 3.3 (лемма Мазура). Пусть $(x_n)\subseteq H$ – последовательность такая, что $x_n\xrightarrow{w} x$ при некотором $x\in H$. Тогда существуют такие функция $N\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ и последовательность $(y_n)\subseteq H$, что $y_n\to x$ и $y_n\in \operatorname{co}(\{x_1,x_{2},\dots, x_{N(n)}\})$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Доказательство. Ввиду теоремы 3.1 слабая сходимость $x_n\xrightarrow{w} x$ влечет, что точка $x$ лежит в слабом замыкании $\operatorname{wcl}\{x_1,x_2,\dots\}$ последовательности $\{x_1,x_2,\dots\}$. Далее, из включения $\{x_1, x_2,\dots\}\subseteq\operatorname{co}(\{x_1, x_2,\dots\})$ получаем, что $\operatorname{wcl}\{x_1,x_2,\dots\}\subseteq \operatorname{wcl}\operatorname{co}(\{x_1,x_2,\dots\})$. Как следствие, $x\in \operatorname{wcl}\operatorname{co}(\{x_1,x_2,\dots\})$. Сильное замыкание $\operatorname{cl}\operatorname{co}(\{x_1,x_2,\dots\})$ выпуклого множества $\operatorname{co}(\{x_1,x_2,\dots\})$ является замкнутым выпуклым множеством. Действительно, если множество $C$ (геодезически) выпукло, то таким же свойством обладает и множество $\operatorname{cl} C$. Для того чтобы это проверить, зафиксируем точки $u,v \in \operatorname{cl} C$ и рассмотрим последовательности $(u_n)$ и $(v_n)$ из $C$ такие, что $u_n \to u$ и $v_n\to v$. Пусть $\gamma$ – геодезическая, связывающая точку $u$ c $v$, и пусть $\gamma_n$ – геодезическая, связывающая $u_n$ c $v_n$. Используя характеризационное неравенство (2.4), получаем, что $d(\gamma(t),\gamma_n(t)) \to 0$ при $n\to \infty$. Это доказывает замкнутость множества $\operatorname{cl} C$, а значит, и множества $\operatorname{cl}\operatorname{co}(\{x_1,x_2,\dots\})$. По теореме 3.2 множество $\operatorname{cl}\operatorname{co}(\{x_1,x_2,\dots\})$ слабо замкнуто. Это влечет, что $x\in \operatorname{wcl}\operatorname{co}(\{x_1,x_2,\dots\}) \subseteq\operatorname{cl}\operatorname{co} (\{x_1,x_2,\dots\} )$. Поэтому найдется последовательность $(y_n)\,{\subseteq}\operatorname{co} (\{x_1,x_2,\dots\})$ такая, что $y_n\to x$. Далее, ясно, что $\operatorname{co} (\{x_1,x_2,\dots\})=\bigcup_{k\in\mathbb{N}} \operatorname{co}(\{x_1,x_{2},\dots, x_{k}\})$. Следовательно, $y_n\in \operatorname{co}(\{x_1,x_{2},\dots, x_{k(n)}\})$ при некотором $k(n)$. Теперь при любом $n$ требуемая функция определяется равенством $N(n):=k(n)$, что завершает доказательство. Теперь изучим свойства компактности относительно слабой сходимости и слабой топологии $\tau_w$. Множество $K\subseteq H$ называется секвенциально слабо компактным, если любая последовательность из $K$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. Аналогично, множество $K$ называется $\tau_w$-секвенциально компактным, если любая последовательность из $K$ имеет $\tau_w$-сходящуюся подпоследовательность. Секвенциальная слабая компактность влечет $\tau_w$-секвенциальную компактность, а в слабо собственном пространстве Адамара эти компактности эквивалентны. Множество $K$ называется слабо компактным, если любое $\tau_w$-открытое покрытие множества $K$ содержит конечное подпокрытие. Лемма 3.3 ( см. [7; предложение 3.1.2]). Любая ограниченная последовательность из пространства Адамара содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Лемма 3.4 ( см. [7; лемма 3.2.1]). Пусть $K\subseteq H$ – замкнутое выпуклое множество и $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset K$. Если $x_n\xrightarrow{w} x$, то $x\in K$. Следующий результат непосредственно вытекает из лемм 3.3 и 3.4. Теорема 3.4. Любое ограниченное замкнутое выпуклое множество $K$ в пространстве Адамара секвенциально слабо компактно, и, следовательно, $\tau_w$- секвенциально компактно. Теорема 3.5. Пусть $(H,d)$ сепарабельно. Тогда любое секвенциально слабо компактное множество $K \subset H$ слабо компактно. Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что $K\subseteq H$ секвенциально слабо компактно, но не слабо компактно. Тогда существует $\tau_w$-открытое покрытие $\{U_i\}_{i\in I}$ множества $K$, не имеющее конечного подпокрытия. По предположению пространство $(H,d)$ сепарабельно. Следовательно, оно линеделёфово, т.е. любое его открытое покрытие (в сильной топологии) имеет счетное подпокрытие (см., например, [18; теорема 6.7]). Так как $\{U_i\}_{i\in I}$ – открытое (в обычной метрической топологии) покрытие $H$, то найдется счетное подпокрытие $\{U_j\}_{j\in J}$. Пусть $V_n:=\bigcup_{j=1}^nU_{j}$. Тогда $W_n:=H\setminus V_n$ слабо замкнуто при всех $n$. Далее, семейство множеств $W_n$ вложено, т.е. $W_{n+1}\subseteq W_n$. Так как $V_n$ не покрывает $K$, то пересечение $W_n\cap K$ непусто для любого $n\in\mathbb{N}$. Пусть $x_n\in W_n\cap K$. Так как $K$ секвенциально слабо компактно, и, следовательно, $\tau_w$-секвенциально компактно, то последовательность $(x_n)$ содержит подпоследовательность $(x_{n_k})$, сходящуюся в топологии $\tau_w$ к некоторой точке $x^*\in K$. Пусть $\mathcal{U}_w(x^*)$ – набор слабо открытых множеств, содержащих точку $x^*$. Тогда для любого $U\in \mathcal{U}_w(x^*)$ и любого $n\in \mathbb{N}$ найдется такое число $m\geqslant n$, что $U\cap W_m\neq\varnothing$, и, в частности $U\cap W_n\neq\varnothing$. Это влечет, что $x^*\in\operatorname{wcl} W_n=W_n$. В силу произвольности $n$ имеем $x^*\in\bigcap_nW_n$. Как следствие, $x^*\in \bigcap_nW_n\cap K$. Таким образом, $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}W_n\cap K\neq\varnothing$, что ввиду включения $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}W_n\cap K\subsetneq K$ влечет равенство $K\supsetneq K\setminus( \bigcap_{n\in\mathbb{N}}W_n\cap K)=K\setminus\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(K\setminus V_n)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(K\cap V_n)=K$. Теорема доказана. Замечание 3.1. Отметим, что предыдущие рассуждения также применимы в более общем случае к топологии слабее метрической в любом сепарабельном метрическом пространстве. Предложение 3.2. Пусть $(H,d)$ – пространство Адамара, являющееся хаусдорфовым в топологии $\tau_w$, и пусть $K\subseteq H$ ограничено. Если $K$ слабо компактно, то $K$ секвенциально слабо компактно Доказательство. Пусть $(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq K$. Тогда последовательность $(x_n)$ ограничена. По лемме 3.3 она содержит подпоследовательность $(x_{n_k})$ такую, что $(x_{n_k})\xrightarrow{w} x$ при некотором $x\in H$. По теореме 3.1 $x_{n_k}\xrightarrow{\tau_w} x$. По условию топология $\tau_w$ хаусдорфова, поэтому множество $K$ слабо замкнуто. Как следствие, оно $\tau_w$-секвенциально замкнуто. Следовательно, $x\in K$. Предложение доказано. Следующий результат является непосредственным следствием теоремы 3.5 и предложения 3.2. Следствие 3.1. Пусть пространство $(H,d)$ сепарабельно и хаусдорфово относительно топологии $\tau_w$. Пусть множество $K\subseteq H$ ограничено. Тогда $K$ слабо компактно, если и только если оно секвенциально слабо компактно. Следствие 3.2. Любое ограниченное замкнутое выпуклое множество в сепарабельном пространстве Адамара слабо компактно. Вопрос 3.1. Существует ли неограниченное слабо компактное множество $K\subseteq H$, которое также секвенциально слабо компактно? Пример 3.1. Этот вопрос поставлен в связи с примером симплициального дерева, построенным Н. Моно в [20]. Это дерево состоит из счетного числа лучей, выходящих из одной вершины, длины которых конечны, но образуют монотонно возрастающую последовательность. Если $(V_{i})_{i\in I}$ – $\tau_w$-открытое покрытие этого дерева, то найдется номер $i\in I$ такой, что $V_i$ содержит элементарное множество, которое содержит общую вершину. По построению это элементарное множество покрывает почти всё пространство, за исключением некоторого луча, который покрывается конечным числом элементарных множеств. Поэтому исходное покрытие $(V_{i})_{i\in I}$ содержит конечное подпокрытие, т.е. рассматриваемое симплициальное дерево слабо компактно. Дополнительно это пространство дает пример неограниченной слабо сходящейся последовательности (см. обсуждение этого вопроса в § 3.1.1 диссертации [3]). Однако мы можем дать ответ на вопрос 3.1 при одном дополнительном ограничении. Нам потребуется предположение о регулярности. Пусть пространство $(H,d)$ сепарабельно и $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$ – всюду плотное множество в $H$. Мы будем говорить, что пространство $(H,d)$ имеет хорошую геодезическую структуру, если при любых таких $x\in H$ и последовательности $(x_k)_{k\in\mathbb N}$, что $\lim_kP_{[x,y_n]}x_k=x$ для всех $n\in\mathbb N$, равенство $\lim_kP_{\gamma}x_k=x$ имеет место для любой геодезической $\gamma\in \Gamma_x(H)$. Теорема 3.6. Пусть $(H,d)$ – сепарабельное слабо собственное пространство с хорошей геодезической структурой. Тогда любое слабо компактное множество в $H$ секвенциально слабо компактно. Доказательство. Пусть $(H,d)$ – слабо собственное пространство и $K\subseteq H$ слабо компактно. Пусть $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ – последовательность из $K$. Согласно теореме 3.15 из [3] последовательность $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ имеет слабую точку накопления $x\in K$. Поэтому по предложению 3.14 из [3] точка $x$ также является слабой предельной точкой. Так как $H$ сепарабельно, то оно содержит счетное всюду плотное множество $\{y_n\}$. Пусть $\gamma_n\colon [0,1]\to H$ – геодезическая, связывающая $x$ c $y_n$, $n\in\mathbb{N}$. Рассмотрим семейство множеств Так как пространство $(H,d)$ слабо собственно, то найдутся окрестности $U_{n,i}\in\tau_w$, содержащие точку $x$, такие, что $U_{n,i}\subseteq U_x(1/n;\gamma_i)$ для любого $i=1,2,\dots, n$ и любого $n\in\mathbb{N}$. Положим $U_n:=\bigcap_{i=1}^nU_{n,i}$. Тогда $U_n\subseteq V_n$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Так как $U_n$ – слабо открытое множество, содержащее $x$, то оно содержит по крайней мере одну точку $x_{k(n)}$. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что $x_n \in U_n$ при всех $n$. В частности, $x_n\in V_n$ при всех $n$. Так как множества $V_n$ вложены, то $x_m \in V_n$ при всех $m \geqslant n$, т.е. $\lim_mP_{\gamma_i}x_m=x$ при всех $i=1,2,\dots, n$, откуда $\lim_mP_{\gamma_n}x_m=x$ при всех $n\in\mathbb{N}$. Поскольку пространство $(H,d)$ имеет хорошую геодезическую структуру, то $\lim_mP_{\gamma}x_m\,{=}\,x$ при всех $\gamma\in\Gamma_x(H)$, что доказывает теорему. Следствие 3.3. В сепарабельном слабо собственном пространстве Адамара с хорошей геодезической структурой слабая компактность и секвенциальная слабая компактность совпадают. В связи со сказанным выше сформулируем следующий открытый вопрос. Вопрос 3.2. Верно ли, что любое сепарабельное пространство Адамара имеет хорошую геодезическую структуру? В следующем предложении дается условие, эквивалентное свойству хорошей геодезической структуры. Предложение 3.3. Пусть $(H,d)$ сепарабельно и множество $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}\subset H$ плотно в $H$. Тогда $(H,d)$ имеет хорошую геодезическую структуру, если и только если для любого элементарного множества $U_x(\varepsilon;\gamma)$ найдутся конечное семейство $\{y_{n(i)}\}_{i=1}^N\subset\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$ и число $\delta>0$ такие, что $\bigcap_{i=1}^NU_x(\delta;\gamma_i)\subseteq U_x(\varepsilon;\gamma)$, где $\gamma_i=[x,y_{n(i)}]$ при $i=1,2,\dots,N$. Доказательство. Пусть $(H,d)$ имеет хорошую геодезическую структуру. Предположим, что найдется такое элементарное множество $U_x(\varepsilon;\gamma)$, что равенство $\bigcap_{i=1}^NU_x(\delta;\gamma_i)\subseteq U_x(\varepsilon;\gamma)$ не имеет места ни при каком конечном семействе $\{y_{n(i)}\}_{i=1}^N\subset\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$ и ни при каком $\delta>0$. Пусть множества $V_n$ определены в (3.2). Можно построить последовательность $(x_n)_{n\in\mathbb N}\subset H\setminus U_x(\varepsilon;\gamma)$ такую, что $\lim_{n\to+\infty}P_{\gamma_k}x_n=x$ вдоль любого сегмента $\gamma_k=[x,y_k]$, $k\in\mathbb N$. Так как $H$ имеет хорошую геодезическую структуру, то $\lim_{n\to+\infty}P_{\gamma}x_n=x$, т.е. $x_n\in U_x(\varepsilon;\gamma)$ для всех достаточно больших $n\in\mathbb N$. Однако это невозможно.
Теперь предположим, что для любого элементарного множества $U_x(\varepsilon;\gamma)$ найдутся конечное семейство $\{y_{n(i)}\}_{i=1}^N\subset\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$ и число $\delta>0$ такие, что $\bigcap_{i=1}^NU_x(\delta;\gamma_i)\subseteq U_x(\varepsilon;\gamma)$, где $\gamma_i=[x,y_{n(i)}]$ при $i=1,2,\dots,N$. Пусть $(x_n)_{n\in\mathbb N}\,{\subset}\, H$ – такая последовательность, что $P_{\gamma_k}x_n=x$ вдоль любого сегмента $\gamma_k=[x,y_k]$. Тогда $x_n\in \bigcap_{i=1}^NU_x(\delta;\gamma_i)$ при всех достаточно больших $n\in\mathbb N$, т.е. $x_n\in U_x(\varepsilon;\gamma)$ при всех достаточно больших $n\in\mathbb N$. Из произвольности $\varepsilon>0$ имеем $\lim_{n\to+\infty}P_{\gamma}x_n=x$. Предложение доказано. 3.3. Локально компактные пространстваТеперь перейдем к рассмотрению локально компактных пространств Адамара. Напомним, что топологическое пространство $(X,\tau)$ локально компактно, если для любой точки $x\in X$ найдутся открытое множество $U\in \tau$ и компактное множество $K$ такие, что $x\in U\subseteq K$. Теорема 3.7 (см. [13; предложение 4.3]). Для пространства Адамара $(H,d)$ следующие утверждения эквивалентны: – пространство $(H,d)$ локально компактно; – любое замкнутое ограниченное подмножество пространства $(H,d)$ компактно; – любая ограниченная последовательность из $(H,d)$ содержит сходящуюся подпоследовательность. Лемма 3.5. Пусть $(H,d)$ – локально компактное пространство Адамара и $(x_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal A}$ – направленность в $H$. Если $x_{\alpha}\xrightarrow{w} x$, то $(x_{\alpha})$ ограничена. Доказательство. Пусть $x_{\alpha}\xrightarrow{w} x$. Рассуждая от противного, предположим, что направленность $(x_{\alpha})$ неограничена. Тогда без ограничения общности мы можем считать, что $d(x_{\alpha},x) \geqslant R>0$ при всех $\alpha\in \mathcal{A}$. Рассмотрим замкнутый геодезический шар $C:=\mathbb{B}(x,R)$. Пусть $P_{C}x_{\alpha}$ – проекция точки $x_{\alpha}$ на $C$, где $\alpha\in \mathcal{A}$. По предположению пространство $(H,d)$ локально компактно. Теорема 3.7 влечет, что множество $C$ компактно; в частности, граница $\partial C$ компактна. Поэтому $(P_Cx_{\alpha})$ – направленность в компактном множестве $\partial C$. Согласно [15; § 5, теорема 2] можно найти поднаправленность $(P_Cx_{\beta})_{\beta\in\mathcal B}$, сходящуюся к некоторой точке $z\in\partial C$. Пусть $\gamma\colon [0,1]\to H$ – геодезический сегмент, связывающий $x$ и $z$. Ясно, что $\gamma\subset C$. Далее, для любого $\beta\in\mathcal B$ пусть $\gamma_{\beta}\colon [0,1]\to H$ – геодезический сегмент, связывающий $x$ с $P_Cx_{\beta}$. Пусть $P_{\gamma}x_{\beta}$ – проекция точки $x_{\beta}$ на геодезический сегмент $\gamma$. По неравенству треугольника $d(P_Cx_{\beta},z)\geqslant |d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})-d(x_{\beta},z)|$, откуда $\lim_{\beta}|d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})-d(x_{\beta},z)|=0$. Так как $C$ и $\gamma$ сильно замкнуты и выпуклы, то $d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})^2+d(P_Cx_{\beta},P_{\gamma}x_{\beta})^2\leqslant d(x_{\beta},P_{\gamma}x_{\beta})^2$ и $d(x_{\beta},P_{\gamma}x_{\beta})^2+d(P_{\gamma}x_{\beta},z)^2\leqslant d(x_{\beta},z)^2$, откуда $d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})\leqslant d(x_{\beta},P_{\gamma}x_{\beta})\leqslant d(x_{\beta},z)$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\lim_{\beta}|d(x_{\beta},P_{\gamma}x_{\beta})-d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})|=0.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
По предположению $x_{\alpha}\xrightarrow{w} x$ и, в частности, $x_{\beta}\xrightarrow{w} x$. Следовательно, имеет место сходимость $P_{\gamma}x_{\beta}\to x$. Рассмотрим геодезический сегмент $\eta_{\beta}\colon [0,1]\to H$, связывающий $x$ c $x_{\beta}$. Тогда существует точка $z_{\beta}\in\eta_{\beta}$ такая, что $z_{\beta}\in\partial C$ для любого $\beta\in\mathcal B$. Так как $z_{\beta}\in\partial C$, то $d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})\leqslant d(x_{\beta},z_{\beta})$, и, значит, $d(x_{\beta},x)=d(x_{\beta},z_{\beta})+d(z_{\beta},x)\geqslant d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})+R$ для любого $\beta\in\mathcal B$. Это в свою очередь влечет, что $|d(x_{\beta},x)-d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})|\geqslant R>0$. Используя неравенство треугольника, имеем $d(P_{\gamma}x_{\beta},x)\geqslant|d(x_{\beta},x)-d(x_{\beta}, P_{\gamma}x_{\beta})$ для любого $ \beta\in\mathcal B$. Следовательно, сходимость $\lim_{\beta}P_{\gamma}x_{\beta}=x$ влечет равенство $\lim_{\beta}|d(x_{\beta},x)-d(x_{\beta}, P_{\gamma}x_{\beta})|=0$. Далее, имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0<R &\leqslant |d(x_{\beta},x)-d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})| \\ &\leqslant |d(x_{\beta},x)-d(x_{\beta}, P_{\gamma}x_{\beta})|+|d(x_{\beta},P_{\gamma}x_{\beta}) -d(x_{\beta},P_Cx_{\beta})|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что с учетом (3.3) дает противоречие, поскольку предел правой части равен нулю. Лемма доказана. Следствие 3.4. Пусть $(H,d)$ – локально компактное пространство Адамара и $(x_{n})_{n\in\mathbb N}$ – последовательность из $H$. Тогда сходимость $x_{n}\xrightarrow{w} x$ влечет, что последовательность $(x_{n})$ ограничена. Доказательство. Любое слабо открытое множество является открытым. Обратно, пусть $U$ открыто. Предположим, что $U$ не слабо открыто. Тогда существует точка $x\in U$ такая, что для любого конечного набора геодезических сегментов $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n\in\Gamma_x(H)$ и любого $\varepsilon>0$ множество $\bigcap_{i=1}^nU_x(\varepsilon;\gamma_i)$ не лежит целиком в $U$. Пусть $\mathscr F$ – набор всех конечных подмножеств из $\Gamma_x(H)$. Мы говорим, что два множества $F_1,F_2\in\mathscr F$ эквивалентны, если $|F_1|=|F_2|$. Пусть $[F]$ – класс эквивалентности, и пусть $|[F]|=n_F$ – его мощность. Рассмотрим множества $V_F=\{y\in C \colon d(x,P_{\gamma}y)<1/n_F$, $\gamma\in F\}$. Согласно сказанному выше для любого $F\in\mathscr F$ найдется точка $x_F\in V_{F}\setminus U$. Положим $F_1\geqslant F_2$ при $F_1\subseteq F_2$. Тогда $(\mathscr F,\geqslant)$ – направленное множество. В частности, $(x_F)_{F\in\mathscr F}$ – направленность, которая по построению слабо сходится к $x$. По лемме 3.5 направленность $(x_F)_{F\in\mathscr F}$ ограничена, поэтому по теореме 3.7 (сильное) замыкание $\operatorname{cl}(\{x_{F}\}_{F\in\mathscr F})$ компактно в $H$. Теперь теорема 2 из книги [15; § 5] гарантирует существование поднаправленности $(x_{F'})_{F'\in\mathscr F'}$ направленности $(x_F)$, сходящейся к некоторому $y\in \operatorname{cl}(\{x_{F}\}_{F\in\mathscr F})$. В частности, $x_{F'}\xrightarrow{w} y$. По замечанию 2.1, примененному к направленностям, имеем $y=x$. Однако это равенство невозможно, поскольку по построению $x_{F'}\notin U$ для всех $F'\in\mathscr F'$. Теорема доказана. Доказательство. По теореме 3.8 элементарные множества $U_x(\varepsilon;\gamma)$ слабо открыты для любых $x\in H$, $\gamma\in\Gamma_x(H)$ и $\varepsilon>0$. В частности, $x$ – внутренняя точка в топологии $\tau_w$ для любого элементарного множества $U_x(\varepsilon;\gamma)$. 3.4. Другая слабая топологияКратко упомянем о другой топологии, имеющей некоторые отличия от $\tau_w$ (см. [3; замечание 3.28]). По лемме 3.1 элементарные множества $U_x(\varepsilon;\gamma)$ открыты в обычной метрической топологии. Поэтому набор множеств $\{U_x(\varepsilon;\gamma) \colon x\in H, \gamma\in\Gamma_x(H)\}$ в совокупности с $H$ образует предбазу топологии $\tau$, более слабой, чем метрическая топология. При этом $\tau$-сходимость влечет слабую сходимость (сходимость вдоль геодезических), поскольку если $x_n\xrightarrow{\tau} x$, то при любых $\gamma\in\Gamma_x(H)$ и $\varepsilon>0$ мы имеем $x_n\in U_x(\varepsilon;\gamma)$ для всех достаточно больших $n$, т.е. $\lim_{n\to \infty}d(x,P_{\gamma}x_n)=0$ при любой $\gamma\in\Gamma_x(H)$; как следствие, $x_n\xrightarrow{w} x$. В частности, имеет место включение $\tau_w\subseteq\tau$, которое превращается в равенство, если и только если элементарные множества $U_x(\varepsilon;\gamma)$ открыты в топологии $\tau_w$. Топология $\tau$ обладает рядом интересных свойств без дополнительных предположений о пространстве. Например, эта топология является хаусдорфовой, а любое замкнутое выпуклое множество $\tau$-замкнуто (эти утверждения доказываются так же, как для топологии $\tau_w$). Также отметим, что в локально компактном пространстве топология $\tau$ совпадает с метрической топологией. Более подробные сведения об этой топологии и ее связях с другими слабыми топологиями приведены в недавно вышедшей работе [19]. 3.5. Случай гильбертова пространстваПусть $H$ – гильбертово пространство $(\mathcal{H}, \|\cdot\|)$, снабженное стандартной нормой. Отметим, что для любого $x\in \mathcal{H}$ любому геодезическому сегменту $\gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})$ соответствует единственная прямая $l$, проходящая через $x$. Пусть $\gamma,\eta\in\Gamma_x(\mathcal{H})$. Мы говорим, что геодезический сегмент $\gamma$ эквивалентен геодезическому сегменту $\eta$ (обозначение: $\gamma\sim\eta$), если $\gamma$ и $\eta$ лежат на одной и той же прямой $l$. Пусть $[l]$ – класс эквивалентности всех геодезических сегментов $\gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})$, лежащих на прямой $l$. Мы хотим показать, что наше определение слабой сходимости вдоль геодезических совпадает с обычной слабой сходимостью в гильбертовых пространствах. Также будет показано, что гильбертово пространство является слабо собственным. Лемма 3.6. Последовательность $(x_n)\subset\mathcal{H}$ слабо сходится (вдоль геодезических) к точке $x\in\mathcal{H}$, если и только если $P_{l}x_n\to x$ при $n\uparrow+\infty$ для всех прямых $l$, содержащих $x$. Доказательство. Предположим, что $\lim_nP_lx_n=x$ для всех прямых $l$, содержащих $x$. Пусть $\gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})$, $\gamma\subset l$. Теперь все проекции $P_lx_n$, за исключением конечного числа, лежат в образе $\gamma$, т.е. $P_lx_n=P_{\gamma}x_n$ для всех достаточно больших $n$. Это означает, что $\lim_nP_{\gamma}x_n=\lim_nP_lx_n=x$. Так как это равенство имеет место для любой прямой $l$, содержащей $x$, и для любой $\gamma\in[l]$, то $\lim_nP_{\gamma}x_n=x$ для любого геодезического сегмента $\gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})$. Теперь рассмотрим $x_n\xrightarrow{w} x$. По определению $\lim_nP_{\gamma}x_n=x$ для всех $\gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})$. Каждая геодезическая $\gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})$ определяет единственную прямую $l$, содержащую $x$. Теперь аналогичное рассуждение показывает, что $\lim_nP_lx_n=x$ для всех прямых, содержащих $x$. Лемма доказана. Каждому набору $\{\phi_{\gamma}(x;\cdot)\}_{\gamma\in[l]}$ можно сопоставить функцию $\phi_{[l]}(x;\cdot)$ по формуле $ \phi_{[l]}(x;y):=\|x-P_{l}y\|$, $ y\in \mathcal{H}$. Пусть $\mathcal{H}^*$ – сопряженное пространство к гильбертову пространству $\mathcal{H}$, т.е. пространство всех ограниченных линейных непрерывных функционалов на $\mathcal H$. Последовательность $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \mathcal{H}$ называется слабо сходящейся (в обычном смысле) к $x\in\mathcal{H}$, если $\lim_nf(x_n)=f(x)$ для всех $f\in \mathcal{H}^*$. Предложение 3.4. В гильбертовом пространстве слабая сходимость (вдоль геодезических) совпадает с обычной слабой сходимостью. Доказательство. Пусть $x\in \mathcal{H}$. Положим $\mathcal{H}^*_x:=\{\phi_{\gamma}\mid \gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})\}$, где $\phi_{\gamma}(y):=\|x-P_{\gamma}y\|$, $y\in \mathcal{H}$. По лемме 3.6 $\lim_n\phi_{\gamma}(x;x_n)=0$ для всех $\gamma\in[l]$, если и только если $\lim_n\phi_{[l]}(x;x_n)=0$. Поэтому достаточно ограничится рассмотрением семейства функций $\{\phi_{[l]}(x;\cdot)\}_L$, где $L$ – множество всех прямых, содержащих $x$. Ясно, что $\{\phi_{[l]}(x;\cdot)\}_L=\mathcal{H}^*_x/\sim$. Проекции на прямые в гильбертовом пространстве соответствует операция взятия скалярного произведения c единичным вектором, параллельным соответствующей прямой. Как следствие, $\mathcal{H}^*$ совпадает с факторпространством $\mathcal{H}^*_x/\sim$. Предложение доказано. Предложение 3.5. В гильбертовом пространстве элементарные множества слабо открыты. Как следствие, гильбертово пространство слабо собственно и слабая топология на нем совпадает с топологией $\tau_w$. Доказательство. Пусть $x\in\mathcal{H}$. Рассмотрим элементарное множество $U_x(\varepsilon;\gamma)$ при некоторых $\varepsilon>0$ и $\gamma\in\Gamma_x(\mathcal{H})$. Пусть $l$ – единственная прямая, проходящая через $x$ и соответствующая геодезическому сегменту $\gamma$. Для $y\in U_x(\varepsilon;\gamma)$ определим $l':=l+(y-x)$. Прямая $l'$ параллельна прямой $l$. Пусть $\alpha$ – плоскость, порожденная прямыми $l$ и $l'$. Отметим, что при любом $z\in \mathcal{H}$ проекции $P_{\alpha}z, P_{l}z$ и $P_{l'}z$ коллинеарны, при этом содержащая их прямая $l''$ перпендикулярна каждой из прямых $l$ и $l'$. Поскольку $y\in U_x(\varepsilon;\gamma)$, то для некоторых $\delta>0$ и геодезической $\gamma'\in\Gamma_y(\mathcal{H})$, лежащей в $[l']$, имеет место включение $U_y(\delta;\gamma')\subseteq U_x(\varepsilon;\gamma)$. Так как $\phi^{-1}_{[\ell]}([0,\varepsilon))=U_x(\varepsilon;[\ell])$ и поскольку соответствие между $\phi_{[\ell]}$ и элементами пространства $\mathcal H^*$ является биекций, то стандартная слабая топология на $\mathcal H$ совпадает топологией $\tau_w$. Предложение доказано. Следующий результат вытекает из следствия 3.5 и предложения 3.5. Следствие 3.7. Декартово произведение локально компактного пространства Адамара и гильбертова пространства слабо собственно. Замечание 3.2. Симплициальное дерево дает пример негильбертова слабо собственного пространства, не являющегося декартовым произведением локально компактного пространства и гильбертова пространства. § 4. Другие слабые топологииОтметим, что ранее предпринимались попытки нахождения слабых топологий, соответствующих различным понятиям слабой сходимости в пространствах Адамара. В результате таких попыток были получены некоторые перспективные топологии, которые мы сравним с нашей топологией. 4.1. Слабая топология КакавандиБ. А. Какаванди в [13] дал определение слабой топологии, основанное на следующем наблюдении. Если $(\mathcal{H},{\|\cdot\|})$ – гильбертово пространство со стандартной нормой $\|\cdot\|$, то последовательность $(x_n)$ сходится слабо к точке $x\in \mathcal{H}$, если и только если $\lim_{n\to \infty}\langle x_n,y\rangle=\langle x,y\rangle$ для всех $y\in \mathcal{H}$. Это эквивалентно тому, что $ \lim_{n\to \infty}\langle x_n-z,y-z\rangle=\langle x-z,y-z\rangle$ для всех $y,z\in \mathcal{H}$. Теперь тождество
$$
\begin{equation}
\langle x-z,y-w\rangle=\frac{1}{2}(|x-y|^2+|z-w|^2-|x-w|^2-|z-y|^2)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
дает возможность обобщения определения слабой сходимости на случай общих метрических пространств $(X,d)$. Для этой цели выразим правую часть (4.1) в терминах метрики $d(\cdot,\cdot)$. Следуя работе И. Д. Берга и И. Г. Николаева [4], рассмотрим декартово произведение $X\times X$, где $X$ – произвольное метрическое пространство. Любая пара $(x,y)\in X\times X$ определяет так называемый закрепленный вектор $\overrightarrow{xy}$. Точка $x$ называется началом вектора $\overrightarrow{xy}$, а точка $y$ – его концом. Вектор $\overrightarrow{0}_x=\overrightarrow{xx}$ называется нулевым закрепленным вектором. Длина закрепленного вектора $\overrightarrow{xy}$ полагается равной метрическому расстоянию $d(x,y)$. Далее, если $\overrightarrow{u}:=\overrightarrow{xy}$, то $-\overrightarrow{u}:=\overrightarrow{yx}$. Пусть
$$
\begin{equation}
\langle\overrightarrow{xz},\overrightarrow{yw}\rangle :=\frac{1}{2}(d(x,y)^2+d(z,w)^2-d(x,w)^2-d(z,y)^2).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Слабая сходимость Какаванди определяется следующим образом. Последовательность $(x_n)$ из пространства Адамара $(H,d)$ слабо сходится к точке $x\in H$, если и только если $\lim_{n\to \infty}\langle\overrightarrow{xx_n},\overrightarrow{xy}\rangle=0$ для всех $y\in H$. Эта слабая сходимость совпадает с обычной слабой сходимостью в гильбертовом пространстве. Однако сходимость Какаванди отлична от $\Delta$-сходимости (см. пример 4.7 в [13]). Естественная топология, соответствующая сходимости Какаванди, порождается множествами вида
$$
\begin{equation}
W(x,y;\varepsilon):=\{z\in H \mid |\langle\overrightarrow{xz},\overrightarrow{xy}\rangle|<\varepsilon\}, \qquad x,y\in H, \quad \varepsilon>0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Более точно, семейство множеств $\{W(x,y;\varepsilon) \mid x,y\in H,\varepsilon>0\}$ образует предбазу топологии Какаванди $\tau_K$. Отметим, что $x_n\xrightarrow{K} x$, $n\to\infty$, если и только если $x_n\xrightarrow{\tau_K} x$, $n\to\infty$, (см. [13; теорема 3.2]). Также отметим, что топология Какаванди является хаусдорфовой. Теорема 4.1. Пусть $(H,d)$ – пространство Адамара. Тогда имеют место следующие утверждения: (i) топология $\tau_w$ слабее, чем $\tau_K$; (ii) в локально компактных пространствах сходимость Какаванди и слабая сходимость совпадают. Доказательство. Докажем п. (i). Пусть $U\in\tau_w$ – слабо открыто и пусть $x\in U$. По построению топологии $\tau_w$ существует конечное число геодезических сегментов $\{\gamma_i\}_{i=1}^n$, начинающихся в $x$ и таких, что $\bigcap_{i=1}^nU_x(\delta;\gamma_i)\subset U$. Для простоты предположим, что $n=1$, т.е. $U_x(\delta;\gamma)\subset U$ для некоторого сегмента $\gamma$ с началом в $x$. Пусть точка $y\in\gamma$ такова, что $d(x,y)=\delta$ и $\varepsilon:=\delta^2$. Пусть $W(x,y;\varepsilon)$ – $\tau_K$-открытое множество, и пусть $z\in W(x,y;\varepsilon)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|\langle\overrightarrow{xz},\overrightarrow{xy}\rangle|= d(x,z)d(x,y)|\operatorname{co}s\theta|<\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta$ – угол сравнения в вершине $\overline{x}$ евклидова треугольника сравнения $ \Delta(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})$, определяемого длинами сторон треугольника $\Delta(x,y,z)$. Предположим, что $d(x,P_{\gamma}z)\geqslant \delta$. Не ограничивая общности, предположим, что $P_{\gamma}z=y$. Так как $\gamma$ – замкнутое выпуклое множество, то из свойства проекций мы получаем, что александровский угол $\angle_y([y,x],[y,z])$ в точке $y$ между геодезическими сегментами $[y,x]$ и $[y,z]$ ограничен снизу величиной $\pi/2$. Так как кривизна неположительна, то величина угла сравнения ${\angle}_{\overline{y}}([\overline{y},\overline{x}], [\overline{y},\overline{z}])$ не меньше чем $\pi/2$. Поэтому проекция $\overline{z}$ на прямую $\overline{\gamma}$, продолжающую сегмент $[\overline{x},\overline{y}]$, лежит вне этого сегмента, т.е. $|\overline{x}P_{\overline{\gamma}}\overline{z}|\geqslant |\overline{x}\overline{y}|=\delta$. С другой стороны, $|\overline{x}P_{\overline{\gamma}}\overline{z}|=|\overline{x}\overline{z}|\operatorname{co}s\theta=d(x,z)\operatorname{co}s\theta$, что дает
$$
\begin{equation*}
|\langle\overrightarrow{xz},\overrightarrow{xy}\rangle|= d(x,z)d(x,y)\operatorname{co}s\theta=|\overline{x}\overline{z}| \,|\overline{x}\overline{y}| \operatorname{co}s\theta=|\overline{x}P_{\overline{\gamma}}\overline{z}| \,|\overline{x}\overline{y}|\geqslant \delta^2=\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное противоречие доказывает утверждение (i). Утверждение (ii) вытекает из (i) и теоремы 3.8.
Теорема доказана. Полученная теорема показывает, что наша слабая топология $\tau_w$ слабее, чем топология Какаванди, вне зависимости от того, будет ли рассматриваемое пространство слабо собственным или нет. Чем сильнее топология, тем меньше можно ожидать результатов о компактности в этой топологии. И в самом деле, автору настоящей работы неизвестны результаты о компактности для ограниченных замкнутых выпуклых множеств в топологии Какаванди. Отметим, что [13; пример 4.7] показывает, что топология $\tau_K$ может быть строго сильнее, чем топология $\tau_w$. 4.2. Слабая топология МоноВ [20] Н. Моно ввел топологию на пространстве Адамара $(H,d)$, которую мы обозначим $\tau_{\mathrm{co}}$. Топология $\tau_{\mathrm{co}}$ является слабейшей топологией на $(H,d)$ относительно которой любое замкнутое выпуклое множество $\tau_{\mathrm{co}}$-замкнуто. Топология Моно была подробно изучена в работе М. Келля [14], который называл ее ковыпуклой топологией. Соотношения между рассматриваемыми выше топологиями описываются следующим результатом. Предложение 4.1. Имеют место следующие включения: $\tau_{\mathrm{co}}\subseteq\tau_w\subseteq\tau_K$. Если $(H,d)$ – гильбертово пространство, то все три топологии совпадают со стандартной слабой топологией. Доказательство. Пусть $(H,d)$ – пространство Адамара. По теореме 3.2 выпуклое множество $\tau_w$-замкнуто, если и только если оно замкнуто. Следовательно, $\tau_{\mathrm{co}}\subseteq \tau_w$. Последнее утверждение теоремы вытекает из того, что любое гильбертово пространство является слабо собственным, а также из того, что на любом гильбертовом пространстве топологии $\tau_{\mathrm{co}}$ и $\tau_K$ совпадают со обычной слабой топологией (см. [20; пример 18]). Предложение доказано. Хорошо известно, что если множество $K\subseteq H$ компактно, то сужения топологий $\tau_{\mathrm{co}}$ и $\tau_s$ (метрической топологии) на $K$ совпадают (см. [20; лемма 17]). Следовательно, по предложению 4.1 сужение любой из рассматриваемых трех слабых топологий на компактное подмножество $K$ пространства Адамара $H$ совпадает с сильной топологией. Важное свойство топологии Моно заключается в том, что любое замкнутое выпуклое ограниченное подмножество $\tau_{\mathrm{co}}$-компактно (см. [20; теорема 14]). Однако оказывается, что в общем случае пространство Адамара не является хаусдорфовым в топологии $\tau_{\mathrm{co}}$. Например, евклидов конус в бесконечномерном гильбертовом пространстве не является хаусдорфовым в топологии $\tau_{\mathrm{co}}$ (см. [14; пример 3.6]). 4.3. Геодезически монотонные операторыНепрерывный оператор $T\colon H\to H$ называется геодезически монотонным, если для любых точек $x_0,x_1\in H$ вещественнозначная функция $\varphi\colon [0,1]\to\mathbb{R}_+$, определяемая формулой $\varphi(\alpha;x_0, x_1):=d(Tx_0,Tx_{\alpha})$, монотонна по $\alpha$, где $x_{\alpha}:=(1-\alpha) x_0\oplus \alpha x_1$ – выпуклая комбинация точек $x_0$ и $x_1$ вдоль геодезической из $x_0$ to $x_1$. Следующая теорема дает достаточное условие $\tau_{\mathrm{co}}$-хаусдорфовости пространства Адамара. Теорема 4.2. Если проекция $P_{\gamma}$ на любой геодезический сегмент $\gamma$ геодезически монотонна, то пространство $(H,\tau_{\mathrm{co}})$ хаусдорфово. Доказательство. Пусть $x,y\in H$ – различные точки и $\gamma\colon [0,1]\to H$ – геодезическая такая, что $\gamma(0)=x$ и $\gamma(1)=y$. Пусть $l>0$ – длина геодезической $\gamma$. Для заданного $0<\varepsilon<l$ определим $C(x,\varepsilon):=\{z\in H \mid d(x,P_{\gamma}z)\leqslant \varepsilon\}$. Покажем, что $C(x,\varepsilon)$ – замкнутое выпуклое множество. Замкнутость множества $C(x,\varepsilon)$ очевидна, поскольку проекция $P_{\gamma}$ является нерастягивающей и, следовательно, непрерывной. Пусть $z_0,z_1\in C(x,\varepsilon)$ – различные точки. Определим $z_{\alpha}:=(1-\alpha) z_0\oplus \alpha z_1$ при $\alpha\in(0,1)$. По предположению $P_{\gamma}$ – геодезически монотонный оператор. Поэтому расстояние $d(P_{\gamma}z_{0},P_{\gamma}z_{\alpha})$ монотонно по $\alpha$. Это влечет, что $P_{\gamma}z_{\alpha}\in[P_{\gamma}z_0,P_{\gamma}z_1]$. Оценка $d(x,P_{\gamma}z_{\alpha})\leqslant\max\{d(x,P_{\gamma}z_0), d(x,P_{\gamma}z_1)\}\,{\leqslant}\,\varepsilon$ влечет, что $z_{\alpha}\in C(x,\varepsilon)$. По определению топологии $\tau_{\mathrm{co}}$ множество $C(x,\varepsilon)$ $\tau_{\mathrm{co}}$-замкнуто. Значит, $H\setminus C(x,\varepsilon)$ $\tau_{\mathrm{co}}$-открыто. По построению $y\in H\setminus C(x,\varepsilon)$. Аналогичное рассуждение показывает, что $C(y,\varepsilon):=\{z\in H\mid d(y,P_{\gamma}z)\leqslant l-\varepsilon\}$ $\tau_{\mathrm{co}}$-замкнуто. Поэтому множество $H\setminus C(y,\varepsilon)$ $\tau_{\mathrm{co}}$-открыто и содержит $x$. Из построения ясно, что $(H\setminus C(x,\varepsilon))\cap (H\setminus C(y,\varepsilon))=\varnothing$. Следовательно, пространство $(H,\tau_{\mathrm{co}})$ хаусдорфово. Теорема доказана. В случае общих пространства Адамара, если топология $\tau_{\mathrm{co}}$ не хаусдорфова, то пример 3.6 из работы [14] показывает, что проекция $P_{\gamma}$ не может быть геодезически монотонным оператором для всех $\gamma$. Это показывает отличие свойств проекций на геодезические сегменты в нашей ситуации от случая гильбертовых пространств, в которых проекция $P_{\gamma}$ всегда геодезически монотонна. Отметим, что, как видно из рис. 1, утверждение, противоположное теореме 4.2, неверно. Другое интересное следствие из показанного на рис. 1 примера касается так называемых нормальных конусов. Для заданного замкнутого выпуклого множества $C\subseteq H$ и $p\in C$ нормальный конус в точке $p\in C$ определяется формулой $N(p,C):=\{x\in H \colon \angle_p([x,p],[p,y])\geqslant\pi/2 \ \forall\, y\in C\}$. Конус $N(p,C)$ на рис. 1 не является выпуклым. Это опять показывает отличие случая пространств Адамара от случая гильбертовых пространств, в которых конус $N(p,C)$ всегда является замкнутым выпуклым множеством. Замечание 4.1. Геодезическая монотонность (метрической проекции на геодезические) также называется “(хорошим) $N$-свойством” (см. [9]). 4.4. ОбсуждениеВ связи с вопросом о слабой сходимости ограниченных последовательностей в $\operatorname{CAT}(0)$-пространствах в недавней работе [17] введена топология $\tau$ на $\operatorname{CAT}(0)$-пространстве $(X,d)$, определяемая следующим образом: множество $S\subseteq X$ $\tau$-замкнуто в $X$, если для любой ограниченной последовательности $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ из $S$ ее слабая сходимость к точке $x\in X$ влечет, что $x\in S$. По построению топология $\tau$ сильнее, чем топология $\tau_w$. Эта топология отличается от топологии $\tau_w$, поскольку $\tau$ характеризует сходимость только для ограниченных последовательностей (направленностей). Пример из [17; § 4] не является хаусдорфовым в топологии $\tau$, и, следовательно, не является хаусдорфовым в топологии $\tau_w$, поскольку топология $\tau_w$ является более слабой, чем $\tau$. Лемма 3.2 показывает, что этот пример пространства Адамара не является слабо собственным. Отметим, что позже в [19] были получены теоремы о сравнении и характеризации в терминах направленностей для рассматриваемых в настоящей работе топологий; также там были исследованы связи этих топологий со слабой топологией из работы [17]. БлагодарностьАвтор благодарит своих научных руководителей за их постоянную помощь, а также рецензента своей кандидатской работы за исправление некоторых неточностей. Автор также благодарен проф. И. Г. Николаеву за консультации по вопросам $\operatorname{CAT}(0)$-пространств. Отдельную благодарность автор выражает доктору Ф. Миллеру, который указал на избыточность предположения о слабой собственности в теореме 3.2. Автор выражает признательность анонимному рецензенту за полезные замечания. Также автор выражает благодарность А. Р. Алимову за перевод статьи на русский язык.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bеr23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|