| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Явный вид фундаментальных решений некоторых эллиптических уравнений и связанные с ними П. В. Парамоновab, К. Ю. Федоровскийab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9807e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ недавней работе М. Я. Мазалова [1] были получены критерии приближаемости типа Витушкина в задаче о равномерной аппроксимации функций решениями общих однородных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$. Указанные критерии дают ответы для обеих стандартных постановок рассматриваемой аппроксимационной задачи – для индивидуальных функций и для классов функций. Напомним, что они формулируются в терминах $B$- и $C$-емкостей, связанных с рассматриваемыми уравнениями в частных производных. Наша основная задача состоит в изучении геометрических и метрических свойств этих емкостей. Для гармонического случая эта задача хорошо известна и глубоко исследована в классических работах по теории потенциала в первой половине прошлого века (см., например, [2] и [3; гл. 2, § 3] и литературу в этих работах). Первые (стандартные) результаты для общего случая приведены в завершающем параграфе работы [4]. Существенным шагом в изучении указанных емкостей является получение явной формы для фундаментальных решений рассматриваемых уравнений. Несмотря на то, что для большого класса таких уравнений явные формулы были получены ранее (см., например, [5; п. 6.2]), общий случай, насколько это известно авторам, практически не отражен в литературе. Мы приводим свои доказательства (достаточно простые и краткие) нужных нам утверждений в § 2 и § 3. Основными результатами работы являются теорема 1 (явная формула для фундаментальных решений), ее следствие 2 о двусторонних оценках фундаментальных решений для большого класса уравнений (например, для всех рассматриваемых уравнений в размерностях $N=3$ и $N=4$), а также следствие 3 (двусторонние оценки соответствующих $B_+$- и $C_+$-емкостей, определяемых с помощью потенциалов положительных мер, через гармоническую емкость в той же размерности). Следовательно, основные метрические характеристики этих емкостей идентичны (как у гармонической емкости). Отметим однако, что проблема оценки сверху самих $B$- и $C$-емкостей через $B_+$- и $C_+$- емкости пока остается открытой. В § 4 получен ряд интегральных свойств рассматриваемых фундаментальных решений, которые представляются полезными для дальнейших исследований. БлагодарностиАвторы глубоко признательны рецензентам за их труд по ознакомлению с настоящей работой и ряд очень полезных замечаний. § 2. Эллиптические квадратичные формы в $\mathbb R^N$ с комплексными коэффициентамиПусть $N\geqslant2$ – фиксированное целое число, а $C$ – симметричная $(N\times N)$-матрица с комплексными элементами $c_{mn}=c_{nm}$, $1\leqslant m,n\leqslant N$. Пусть $Q$ – квадратичная форма в $\mathbb R^N$, определенная матрицей $C$, т.е. при $x=(x_1,\dots,x_N)^t \in\mathbb R^N$, где символ $(\cdot)^t$ обозначает операцию матричного транспонирования. В дальнейшем мы будем также использовать обозначение $Q_N$ вместо $Q$, чтобы подчеркнуть размерность $N$ пространства, в котором действует $Q$.Определение. Скажем, что квадратичная форма $Q_N$ является эллиптической, если $Q_N(x)\neq0$ при всех $x\in\mathbb R^N_*$. Здесь и всюду далее $\mathbb R^N_*=\mathbb R^N\setminus\{0\}$ и $\mathbb C^n_*=\mathbb C^n\setminus\{0\}$, $n\in\mathbb N$. Обсудим понятие эллиптичности квадратичной формы более подробно, так как это будет существенно для наших дальнейших конструкций. К сожалению, несмотря на серьезные усилия, авторам не удалось найти в литературе нужных ссылок. Например, в классической монографии Л. Хёрмандера (см. [5; п. 6.2]) при построении фундаментальных решений свойства соответствующих квадратичных форм, установленные в наших леммах 4 и 5 ниже, просто постулируются (т.е. требуются заранее) без каких либо обсуждений. Поэтому далее мы приводим доказательства всех нужных нам утверждений, тем более что они основаны на очень простых идеях. Начнем со случая $N=2$. Здесь определение эллиптичности можно переформулировать следующим образом. Квадратичная форма
$$
\begin{equation*}
Q_2((x_1,x_2)^t)=c_{11}x_1^2+2c_{12}x_1x_2+c_{22}x_2^2
\end{equation*}
\notag
$$
в $\mathbb R^2$ является эллиптической в том и только том случае, когда корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ соответствующего характеристического уравнения $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}=0$ не являются вещественными. При этом форма $Q_2$ называется сильно эллиптической, если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ лежат в разных полуплоскостях ${\mathbb C}_+ =\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}{z}>0\}$ и ${\mathbb C}_- =\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}{z}<0\}$ комплексной плоскости $\mathbb C$. В двумерном случае удобно понимать $Q_2$ как функцию комплексного переменного $z$, т.е. $Q_2(z)=Q_2((\operatorname{Re}{z},\operatorname{Im}{z})^t)$. Пусть $\mathbb T = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}$ – единичная окружность в $\mathbb C$ со стандартной параметризацией $\mathbb T=\{\varGamma_1(t)=e^{2\pi it}\colon t\in[0,1]\}$. Лемма 1. Пусть $Q_2$ – эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^2$. Тогда форма $Q_2$ является сильно эллиптической в том и только том случае, когда $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=0$. Последнее условие эквивалентно тому, что множество $Q_2(\mathbb T)$ лежит в некоторой (открытой) полуплоскости в $\mathbb C$, граница которой содержит начало координат. Доказательство. Предположим, что $\lambda_1\in\mathbb C_+$, а $\lambda_2\in\mathbb C_-$. Легко проверяется, что $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}(x_1-\lambda_1x_2)=-2\pi$ и $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}(x_1-\lambda_2x_2)=2\pi$. Так как $Q_2(z)=c_{11}(x_1-\lambda_1x_2)(x_1-\lambda_2x_2)$ при $z=x_1+ix_2$, то $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=0$. Обратно, если оба характеристических корня $\lambda_1$ и $\lambda_2$ лежат в $\mathbb C_+$ или в $\mathbb C_-$, то $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=\pm4\pi$. Таким образом, первое утверждение леммы доказано.
Для доказательства второго утверждения заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_2(\mathbb T) &=\bigl\{Q_2(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\colon t\in[0,1]\bigr\} \\ &=\bigl\{c_{11}\cos^2(2\pi t)+2c_{12}\sin(2\pi t)\cos(2\pi t)+c_{22}\sin^2(2\pi t)\colon t\in[0,1]\bigr\} \\ &=\biggl\{\frac{c_{11}+c_{22}}{2}+\frac{c_{11}-c_{22}}{2}\cos(4\pi t)+c_{12}\sin(4\pi t) \colon t\in[0,1] \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $c_{11}=c_{22}$ или $c_{12}=\tau(c_{11}-c_{22})$ при некотором $\tau\in\mathbb R$ (обе эти ситуации могут иметь место в сильно эллиптическом случае), то последнее параметрическое выражение задает точки прямолинейного отрезка (который не содержит начало координат и проходится четыре раза). В других случаях это выражение задает дважды проходимый эллипс, который охватывает или не охватывает начало координат в случае не сильной эллиптичности или сильной эллиптичности соответственно. Это непосредственно вытекает из рассуждений, использованных в доказательстве первой части леммы.
Лемма доказана. Следствие 1. В случае не сильно эллиптической формы (и только в этом случае) выполнено $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=\pm4\pi$ и существуют две точки $x\in\mathbb R^2_*$ и $y\in\mathbb R^2_*$ такие, что $Q_2(x)=-Q_2(y)$. В качестве еще одного следствия леммы 1 заметим, что свойства эллиптичности и сильной эллиптичности квадратичных форм сохраняются при невырожденных линейных преобразованиях в $\mathbb R^2$. Пусть $\mathbb S^{N-1}=\{x\in\mathbb R^N\colon x_1^1+\dots+x_N^2=1\}$ – единичная сфера в $\mathbb R^N$. Так, $\mathbb T$ совпадает с $\mathbb S^1\subset\mathbb R^2$ как множество, но определение $\mathbb T$ содержит дополнительное требование о фиксированной ориентации (определенной параметризацией $\varGamma_1$). Лемма 2. Пусть $Q_2$ – эллиптическая квадратичная формы в $\mathbb R_2$, а $N\in\{3,4,\dots\}$. Для существования квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$ такой, что $Q_N((x_1,x_2,0,\dots,0)^t)=Q_2((x_1,x_2)^t)$, $(x_1,x_2)^t \in\mathbb R^2$, необходимо и достаточно, чтобы форма $Q_2$ была сильно эллиптической. Доказательство. Пусть $Q_2$ – сильно эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^2$, и пусть $V=\{tz\colon t\in\mathbb R_+:=(0, +\infty),\ z\in Q_2({\mathbb S^1})\}$. Возьмем произвольные $c_{nn}\in V$, $n\in\{3,\dots,N\}$. Тогда из леммы 1 непосредственно вытекает, что форма $Q_N$ в $\mathbb R^N$, определенная по формуле является эллиптической в $\mathbb R^N$.
Обратно, возьмем не сильно эллиптическую форму $Q_2$ в $\mathbb R^2$ и предположим, что она является ограничением на $\mathbb R^2$ некоторой эллиптической квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$, $N>2$. Пусть $\varGamma$ – это гомотопия на сфере $\mathbb S^{N-1}\subset\mathbb R^N$, которая переводит окружность $\varGamma_1\subset\mathbb R^2_{(x_1,x_2)^t}$ (см. выше) в некоторую точку $a\in\mathbb S^{N-1}$ (мы отождествляем $\varGamma_1$ с множеством $\{x\in \mathbb S^{N-1}\colon x_3=\dots =x_N=0\}$). Тогда композиция $Q_N\circ\varGamma$ является гомотопией в $\mathbb R^2_*$, которая переводит цикл $\varGamma_2=Q_N\circ\varGamma_1=Q_2\circ\varGamma_1$ в точку $Q_N(a)$. Но такая гомотопия не существует, так как $\Delta_{\varGamma_2}\operatorname{Arg}(z)=\Delta_{\varGamma_1}\operatorname{Arg}(Q_2)=\pm4\pi$ в силу следствия 1. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $Q_N$ – квадратичная форма в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$. Форма $Q_N$ является эллиптической, если и только если множество $Q_N(\mathbb S^{N-1})\subset\mathbb C_*$ лежит в некоторой открытой полуплоскости в $\mathbb C$, граница которой содержит начало координат. Последнее эквивалентно тому, что множество $V_N=Q_N(\mathbb R^N_*)$ – это замкнутый угол величины $\vartheta_{Q_N}<\pi$ в $\mathbb C_*$ с (выколотой) вершиной в начале координат. Доказательство. Пусть форма $Q_N$ является эллиптической. Достаточно показать, что не существует пары точек $x\in\mathbb R^N_*$ и $y\in\mathbb R^N_*$ таких, что $Q_N(x)= -Q_N(y)$. В самом деле, если (от противного) такие точки $x$ и $y$ существуют, то ограничение формы $Q_N$ на плоскость, проходящую через $x$, $y$ и через начало координат, не является сильно эллиптической формой в силу следствия 1, что противоречит утверждению леммы 2. Обратное очевидно.
Лемма доказана. Из леммы 3 вытекает, что для любой эллиптической квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, существуют число $\tau\in(0,1)$ и угол $\vartheta\in(-\pi,\pi]$ такие, что форма $Q(x)=e^{i\vartheta}Q_N(x)$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
|{\arg(Q(x))}|\leqslant \frac{\vartheta_{Q_N}}2 < \frac{\pi}2, \qquad \operatorname{Re}(Q(x))\geqslant \tau|Q(x)|\geqslant \tau^2|x|^2, \quad x\in \mathbb R^N_*.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В дальнейшем мы будет предполагать, что $Q_N$ – это эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^N$, заданная матрицей $C=A+iB$, где $A=\operatorname{Re}{C}$ и $B=\operatorname{Im}{C}$. Отметим, что условия, указанные в лемме 3, особенно просто проверяются для “диагональных” форм $Q_N(x)=\sum_{n=1}^N c_{nn}x_n^2$ (когда матрица $C$ диагональна). Различные условия диагонализуемости квадратичных форм можно найти в [6; п. 4.5]. Доказательство. Рассуждая “от противного” предположим, что $\det{C}\,{=}\,0$. Тогда найдется $z\in\mathbb C^N$, $z\neq 0$, такое, что $Cz=0$. Пусть $z=x+iy$. Условие $Cz=(A+iB)(x+iy)=0$ эквивалентно одновременному выполнению условий $Ax=By$ и $Ay=-Bx$, откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_N(x)&=x^t(A+iB)x=x^tBy-ix^tAy, \\ Q_N(y)&=y^t(A+iB)y=-y^tBx+iy^tAx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего ввиду симметричности матриц $A$ и $B$ получаем, что $Q_N(y)=-Q_N(x)$ (в частности, $x\neq 0$ и $y\neq 0$), что противоречит лемме 3.
Лемма доказана. Заметим, что условие $N\geqslant3$ в лемме 4 является существенным, так как в $\mathbb R^2$ существует эллиптическая квадратичная форма $Q_2(x_1,x_2)=\frac14(x_1+ix_2)^2$ с матрицей для которой $\det{C_2}=0$.Лемма 5. Пусть $N\geqslant 3$, $Q_N$ и $C$ такие, как определено выше, и пусть $Q'_N$ – это квадратичная форма, определенная матрицей $C^{-1}$. Тогда форма $Q'_N$ также является эллиптической. Доказательство. Из леммы 4 следует, что $\det{C}\neq 0$. Рассуждая “от противного”, предположим, что найдется $a\in\mathbb R^N_*$ такое, что $a^tC^{-1}a=0$. Пусть $z=C^{-1}a$, так что $z\in\mathbb C^N_*$. Тогда $a=Cz$, а $0=a^tC^{-1}a=(Cz)^tz=z^tC^tz=z^tCz$, так как матрица $C$ является симметричной.
Как и ранее, положим $x=\operatorname{Re}{z}$, $y=\operatorname{Im}{z}$, $A=\operatorname{Re}{C}$ и $B=\operatorname{Im}{C}$. Так как $Cz=a$, то $\operatorname{Im}((A+iB)(x+iy))=0$, откуда вытекает, что $Bx=-Ay$. Далее, так как то выполнены два равенства: Из трех полученных равенств получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x^tBx&=(Bx)^tx=(-Ay)^tx=-y^tAx=-y^tBy, \\ y^tAy&=(Ay)^ty=(-Bx)^ty=-x^tBy=-x^tAx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда что противоречит лемме 3.
Лемма доказана. § 3. Эллиптические операторы второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами в $\mathbb R^N$Пусть $N\geqslant2$ – фиксированное целое число, а $Q$ – эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^N$, определенная (симметричной) матрицей $C$ с комплексными элементами $c_{mn}$, $1\leqslant m,n\leqslant N$. Эта форма определяет эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами
$$
\begin{equation*}
\mathcal L=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}\frac{\partial^2}{\partial x_m\,\partial x_n},
\end{equation*}
\notag
$$
который мы будет называть оператором, ассоциированным с $Q$. В свою очередь форма $Q$ называется символом оператора $\mathcal L$. Рассмотрим основные примеры. Первый из них – оператор Лапласа
$$
\begin{equation*}
\Delta_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} \quad\text{в }\ \mathbb R^N.
\end{equation*}
\notag
$$
Он ассоциирован с квадратичной формой $x_1^2+\dots+x_N^2$. Второй пример – оператор Бицадзе (квадрат оператора Коши–Римана) в $\mathbb R^2$, который определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
\frac14\biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}+i\frac{\partial}{\partial x_2}\biggr)^2=\frac{\partial^2}{\partial\overline{z}^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Его ассоциированная квадратичная форма $Q_2(x)=\frac14(x_1+ix_2)^2$ уже встречалась ранее. Как отмечалось выше, все эллиптические квадратичные формы в $\mathbb R^2$ делятся на два класса: класс сильно эллиптических форм и класс форм, не являющихся сильно эллиптическими. В соответствии с этой классификацией мы скажем, что эллиптический оператор $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ является сильно эллиптическим, если его символ является сильно эллиптической формой (и не сильно эллиптическим в противном случае). Так, оператор Лапласа $\Delta_2$ в $\mathbb R^2$ является сильно эллиптическим, а оператор Бицадзе нет. Таким образом, последний оператор не может быть “поднят” до некоторого эллиптического оператора в $\mathbb R^N$ для любого $N>2$. Заметим, что квадратичная форма, являющаяся символом оператора Бицадзе, определяется матрицей которая возникала в § 2 в качестве примера вырожденной матрицы эллиптической квадратичной формы.Заметим, что разделение эллиптических операторов второго порядка в $\mathbb R^2$ на классы сильно эллиптических и не сильно эллиптических операторов носит неформальный характер и обусловлено существенно разными свойствами этих операторов. Глубокое различие свойств сильно эллиптических и не сильно эллиптических операторов проявляется в задачах об описании множеств устранимых особенностей для решений соответствующих уравнений $\mathcal Lf=0$, в задачах об аппроксимации функций решениями таких уравнений, в условиях разрешимости и единственности решения классических краевых задач для этих уравнений. Примеры утверждений, подчеркивающих эту разницу, можно найти, в частности, в обзорной работе [7] или в недавней работе [8]. Лемма 2, установленная выше, также представляет собой интересный пример существенного различия между двумя обсуждаемыми классами операторов. В этом параграфе мы получим явные формулы для фундаментального решения произвольного эллиптического оператора второго порядка $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\,{\geqslant}\, 3$. Пусть $\mathcal L$ ассоциирован с квадратичной формой $Q$, определяемой матрицей $C$. Как было показано в лемме 4, эта матрица является невырожденной, т.е. $\det{C}\neq0$. Рассмотрим матрицу $D=C^{-1}$ и определим соответствующую квадратичную форму: В силу леммы 5 форма $\varLambda$ является эллиптической. Пусть $\vartheta_{\varLambda}$ – величина угла $\varLambda(\mathbb R^N_*)$, так что $\vartheta_{\varLambda}<\pi$.Пусть теперь $S(z)$ – это “главная” ветвь многозначной функции $\sqrt{z}$, определенная в $\{z\in\mathbb C\colon -\pi<\arg{z}<\pi\}$ так, что В силу леммы 3 найдется $\vartheta\in(-\pi,\pi]$ такое, что $|{\arg(e^{i\vartheta}\Lambda(x))}|\leqslant\vartheta_{\varLambda}/2<\pi/2$, откуда получаем $\operatorname{Re}(e^{i\vartheta}\Lambda(x))>0$ при всех $x\in\mathbb R^N_*$. Таким образом, функция является вещественно аналитической в $\mathbb R^N_*$, однородной порядка $1$ и, более того,
$$
\begin{equation}
|{\arg(\Psi(x))}|<\frac{\vartheta_{\varLambda}}4<\frac\pi4 \quad \forall\, x\in\mathbb R^N_*.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Предложение 1. Пусть $\mathcal L$, $Q$, $C$, $D$, $\varLambda$ и $\Psi$ такие, как определено выше, и пусть при $x\in\mathbb R^N_*$. Тогда $\mathcal L\varPhi(x)=0$ при всех $x\in\mathbb R^N_*$. Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что $\theta\,{=}\,0$. Пусть $p=(2-N)/2$, так что $\varPhi(x)=\varLambda(x)^p_*$, где $\varLambda(\cdot)$ определена в (3.1), а символ $*$ означает, что мы имеем дело с соответствующей главной ветвью $w^p_*= \exp(p\ln_*w)$ многозначной функции $w^p$ в ${\mathbb C}\setminus (-\infty,0]$ (здесь $\ln_*(w)=\ln|w|+i\arg{w}$ – главная ветвь многозначного логарифма в ${\mathbb C}\setminus (-\infty,0]$).
Так как $(w^p_*)'_w=(\exp(p\ln_*w))'_w=pw^p_*/w$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\varPhi(x)}{\partial x_m}=p \frac{\varPhi(x)}{\varLambda(x)}\, \frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\varPhi(x)}{\partial x_m\,\partial x_n}= p \frac{\varPhi(x)}{\varLambda(x)^2}\biggl( (p-1) \frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_n}+ \varLambda(x) \frac{\partial^2\varLambda(x)}{\partial x_m\partial x_n}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $1\leqslant m,n\leqslant N$.
Так как $p-1=-N/2$, то для доказательства равенства $\mathcal L\varPhi(x)=0$ при $x\in\mathbb R^N_*$ достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
R(x)=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}\biggl(-\frac{N}2\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_n}+ \varLambda(x) \frac{\partial^2\varLambda(x)}{\partial x_m\,\partial x_n}\biggr)=0
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
для всех $x\in\mathbb R^N_*$, где $c_{mn}$ – это (как и раньше) элементы матрицы $C$. Обозначая через $d_{mn}$ ($1\leqslant m,n\leqslant N$) элементы матрицы $D$ и учитывая ее симметричность, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}=2\sum_{j=1}^{N}d_{jm}x_j , \qquad \frac{\partial^2\varLambda(x)}{\partial x_m\,\partial x_n}=2d_{mn}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, легко видеть, что имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_n}= 4\sum_{j,k=1}^{N}d_{mj}d_{nk}x_jx_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Величина $R(x)$ из (3.4) теперь представляется в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
R(x)=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}\biggl(-2N\sum_{j,k=1}^{N}d_{mj}d_{nk}x_jx_k+ 2d_{mn}\sum_{j,k=1}^{N}d_{jk}x_jx_k\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим коэффициенты квадратичной формы $R(x)$ через $r_{jk}$, $1\leqslant j,k\leqslant N$, тогда (ввиду симметричности матрицы $D$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_{jk} &=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}(-2Nd_{mj}d_{nk}+2d_{mn}d_{jk}) \\ &=-2N(d_{j1},\dots,d_{jN})C(d_{1k},\dots,d_{Nk})^t+2d_{jk}\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}d_{mn}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что $(d_{j1},\dots,d_{jN})C(d_{1k},\dots,d_{Nk})^t$ – это элемент $d_{jk}$ матрицы $D=DCD$, а $\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}d_{mn}=N$, так как $DC=I$ (единичная матрица). Таким образом, $r_{jk}=-2Nd_{jk}+2Nd_{jk}=0$, что завершает доказательство.
Предложение 1 доказано. Теперь мы может получить явную формулу фундаментального решения для $\mathcal L$. Напомним, что распределение (обобщенная функция) $\varPhi_{\mathcal L}$ называется фундаментальным решением для $\mathcal L$, если $\mathcal L\varPhi_{\mathcal L}=\delta_0$, где $\delta_0$ – это дельта-функция Дирака с носителем в начале координат. Теорема 1. В обозначениях предложения 1 функция с некоторой подходящей константой $\alpha_{\mathcal L}\in\mathbb C_*$ является фундаментальным решением для $\mathcal L$. Доказательство непосредственно следует из предложения 1 и теоремы 3.2.3 работы1 [5]. Точное значение коэффициента $\alpha_{\mathcal L}$ можно определить из [5; теорема 6.2.1]. В частности, как хорошо известно, при $\mathcal L=\Delta_N$ (оператор Лапласа в $\mathbb R^N$) имеем $\varPhi_{\Delta}=\alpha_N |x|^{-N+2}$ с некоторой конкретной $\alpha_N<0$. Следующее утверждение непосредственно вытекает из (3.2) и (3.3). Следствие 2. Пусть $N=3$ или $N=4$. Тогда для любого рассматриваемого оператора $\mathcal L$ найдутся $\lambda=\lambda_{\mathcal L}\in(-\pi,\pi]$ и $A=A_{\mathcal L}\geqslant 1$ такие, что при всех $x\in\mathbb R^N_*$. Аналогичный результат имеет место и для операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant 5$, которые удовлетворяют дополнительному условию При этом непосредственно из (3.3) следует, что при $N\geqslant 3$ оценка
$$
\begin{equation*}
\frac1{A |x|^{N-2}} \leqslant |\varPhi_{\mathcal L}(x)|\leqslant\frac{A}{|x|^{N-2}}
\end{equation*}
\notag
$$
справедлива для всех рассматриваемых операторов ${\mathcal L}$.
§ 4. $\mathcal L$-аналитические емкостиПусть $\mathcal L$ – однородный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, с постоянными комплексными коэффициентами. Пусть $\varPhi_{\mathcal L}(x)$ – его фундаментальное решение, определенное в (3.5). Введем два типа емкостей, связанных с оператором $\mathcal L$ и определяемых в терминах классов ограниченных функций (так называемые $\mathcal L$-$B$-емкости) и классов ограниченных непрерывных функций ($\mathcal L$-$C$-емкости). Емкости первого типа определяются так. Для ограниченного множества $E \neq \varnothing$ в $\mathbb R^N$ положим где $\langle T,\psi\rangle$ обозначает действие распределения $T$ на функцию $\psi\in C^{\infty}(\mathbb R^N)$ (при условии, что оно корректно определено), а супремум берется по всем комплекснозначным распределениям $T$ с компактным носителем $\operatorname{Supp}(T)\subset E$, удовлетворяющим условиям $\varPhi_{\mathcal L}*T\in L^\infty(\mathbb R^N)$ и $\|\varPhi_{\mathcal L}*T\|_{\infty}\leqslant 1$. Символ $*$ здесь обозначает операцию свертки, а $\|\cdot\|_{\infty}$ – норму в пространстве $L^{\infty}(\mathbb R^N)$. Через $\|f\|_E$ обозначается $\sup$-норма в пространстве $BC(E)$ непрерывных ограниченных функций на непустом множестве $E \subset \mathbb R^N$ (при $E=\mathbb R^N$ индекс $E$ опускается).Удобно ввести так называемый “метрический” (или “положительный”) аналог емкости $\gamma_{\mathcal L}$: где супремум берется по всем положительным борелевским мерам $\mu$ с компактным носителем $\operatorname{Supp}(\mu)\subset E$, удовлетворяющим условиям $\varPhi_{\mathcal L}*\mu\in L^\infty(\mathbb R^N)$ и $\|\varPhi_{\mathcal L}*\mu\|_{\infty}\leqslant1$.Второй тип емкостей (непрерывные версии $\gamma_{\mathcal L}$ и $\gamma_{\mathcal L}^+$) – это емкости $\alpha_{\mathcal L}$ и $\alpha_{\mathcal L}^+$, которые определяются аналогичным образом, но распределения $T$ в определении $\alpha_{\mathcal L}(E)$ и меры $\mu$ в определении $\alpha_{\mathcal L}^+(E)$ берутся с дополнительными условиями $\varPhi_{\mathcal L}*T \in C(\mathbb R^N)$ и $\varPhi_{\mathcal L}*\mu\in C(\mathbb R^N)$ соответственно. Более подробно конструкции емкостей, связанных с эллиптическими дифференциальными операторами и определяемых в терминах различных пространств функций в $\mathbb R^N$, можно найти, например, в работе [9]. В классическом (гармоническом) случае $\mathcal L=\Delta=\Delta_N$, $N\geqslant 3$, имеем
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\Delta}^+(E)=\alpha_{\Delta}(E)=\gamma_{\Delta}^+(E)=\gamma_{\Delta}(E).
\end{equation*}
\notag
$$
Ключевыми в этой цепочке являются равенства $\gamma_{\Delta}^+(E)=\gamma_{\Delta}(E)$ и $\alpha_{\Delta}^+(E)=\gamma_{\Delta}^+(E)$. Они получены в [9; теорема 3.1] и [2; лемма XII] соответственно. Заметим также, что гармонические емкости совпадают с соответствующими обобщенными трансфинитными диаметрами в $\mathbb R^N$. В частности, эти емкости являются счетно субаддитивными с константой $1$ (см. [3; гл. 2]). Из следствия 2, данных выше определений емкостей, а также из [4; замечания 1 и 2 и лемма 3.2] (приведенные здесь утверждения и доказательство естественно переносятся на все размерности $N\geqslant 3$) вытекают следующие оценки. Следствие 3. Пусть $N=3$ или $N=4$, а оператор $\mathcal L$ такой, как указано выше. Тогда существует $A=A_{\mathcal L}\geqslant 1$ такое, что для любого ограниченного множества $E\subset\mathbb R^N$. Аналогичный результат справедлив также для операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant5$, удовлетворяющих дополнительному условию (3.7). Естественно возникают следующие вопросы.
Все эти вопросы можно уточнить, переформулировав их так: для каких $N\,{\geqslant}\, 3$ и $\mathcal L$ выполнены те или иные указанные выше свойства сравнимости емкостей? Далее приведем ряд утверждений и гипотез, связанных с поставленными вопросами. Всюду в дальнейшем $N \geqslant 3$, а оператор $\mathcal L$ с фундаментальным решением $\varPhi=\varPhi_{\mathcal L}$ удовлетворяет условию (2.1) при $\vartheta=0$. Начнем со следующего утверждения, представляющего самостоятельный интерес. Теорема 2. В указанных условиях для любого $R>0$ имеем где $B_R=B(0,R)$, а $\sigma$ обозначает поверхностную меру Лебега на соответствующей сфере интегрирования. Доказательство. Так как функция $\varPhi$ однородна порядка $2-N$, то нетрудно установить следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\int_{\partial B_r}\varPhi(x)\,d\sigma_x = \frac{r}{R}\int_{\partial B_R}\varPhi(x)\,d\sigma_x, \qquad \int_{B_R}\varPhi(x)\,dx = \frac{R}{2}\int_{\partial B_R}\varPhi(x)\,d\sigma_x,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
поэтому достаточно проверить только второе неравенство в (4.3) при $R=1$. Нам потребуется одно хорошо известное свойство фундаментальных решений, которое можно найти, например, в [10; гл. 3, п. 3.5] (используется приведенная ниже формула (4.6) и теорема 6 в последней ссылке для оператора $T(f)=(\Delta\varPhi)*f$) и которое состоит в следующем:
$$
\begin{equation}
\Delta\varPhi=\Delta\varPhi_{\mathcal L}=\lambda_0\delta_0+\varPsi,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\delta_0$ – это дельта-функция Дирака с носителем в начале координат, $\lambda_0=\lambda_0(\mathcal L)\in\mathbb C$, а $\varPsi$ – некоторое ядро Кальдерона–Зигмунда в $\mathbb R^N$. Равенство (4.5) понимается в смысле теории обобщенных функций (распределений), а функция $\varPsi$ удовлетворяет следующим свойствам: $\varPsi\in C^\infty(\mathbb R^N_*)$, $\varPsi$ является однородной порядка $-N$ и выполнено равенство
Применим к обеим частям равенства (4.5) преобразование Фурье $T\mapsto\widetilde{T}$, действующее в пространстве ${\mathcal S}'$ обобщенных функций (распределений) $T$ умеренного роста. Сначала из условия $\mathcal L\varPhi=\delta_0$ находим $\widetilde{\mathcal L\varPhi}=(2\pi)^{-N/2}$, т.е. откуда получаем и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\widetilde{\Delta\varPhi}(y)=-|y|^2\widetilde{\varPhi}(y)=(2\pi)^{-N/2}\frac{|y|^2}{Q(y)}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
С другой стороны, из (4.5) находим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\Delta\varPhi}(y)=\lambda_0(2\pi)^{-N/2}+\widetilde{\varPsi}(y),
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где (снова учитывая (4.6)) функция $\widetilde{\varPsi}\in C^{\infty}(\mathbb R^N_*)$ однородна порядка $0$. Из определения преобразования Фурье на обобщенных функциях имеем $\langle\widetilde{\Psi},\varphi\rangle= \langle\Psi,\widetilde{\varphi}\rangle$. Подставляя здесь $\varphi(x)=\exp(-|x|^2/2)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^N}\widetilde{\varPsi}(y)\exp\biggl(-\frac{|y|^2}2\biggr)\,dy= \mathrm{v.p.}\int_{\mathbb R^N}\varPsi (x)\exp\biggl(-\frac{|x|^2}2\biggr)\,dx=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу упомянутой чуть выше однородности порядка $0$ функции $\widetilde{\varPsi}$ сразу следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\partial B_1}\widetilde{\varPsi}(y)\,d\sigma_y=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, из (4.6) и (4.7) получаем
$$
\begin{equation}
\lambda_0=\frac1{\sigma(\partial B_1)}\int_{\partial B_1}\frac{|y|^2}{Q(y)}\,d\sigma_y\neq0,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
поскольку $\operatorname{Re}(Q(y))>0$ при $y\in\mathbb R^N_*$ (что непосредственно вытекает из (2.1)).
Фиксируем теперь радиальную функцию $\varphi(x)=\varphi(|x|)\in C^{\infty}_0(B_1)$ такую, что $\varphi(0)\neq0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\Delta\varPhi,\varphi\rangle&=\int_{B_1}\varPhi(x)\Delta\varphi(x)\,dx =\langle\lambda_0\delta_0+\varPsi,\varphi\rangle \\ &=\lambda_0\varphi(0)+\int_{B_1}\varPsi(y)(\varphi(y)-\varphi(0))\,dy =\lambda_0\varphi(0)\neq0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\displaystyle\int_{B_1}\varPhi(x)\Delta\varphi(x)\,dx\neq0$. Теперь из радиальной симметричности функций $\varphi(x)=\varphi(r)$, $r=|x|$, и $\Delta\varphi(x)=\varphi''(r)+ ((N-1)/r)\varphi'(r)$, однородности функции $\varPhi$ и (4.4) получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{B_1}\varPhi(x)\Delta\varphi(x)\,dx= \int_{\partial B_1}\varPhi(x')\, d\sigma_{x'}\int_0^1r \biggl(\varphi''(r)+\frac{N-1}{r}\varphi'(r)\biggr)\,dr\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда сразу следует (4.3).
Теорема 2 доказана. Замечание. Утверждение теоремы 2 верно для любого сильно эллиптического оператора $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ и не верно ни для какого оператора $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$, не являющегося сильно эллиптическим. В самом деле, если оператор $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ является сильно эллиптическим, то его характеристические корни лежат в разных полуплоскостях относительно вещественной оси (см. выше), а если $\mathcal L$ не является сильно эллиптическим, то его характеристические корни лежат в одной такой полуплоскости. Из доказательства леммы 3.1 работы [11] вытекает, что в первом случае $\lambda_0\neq0$, где $\lambda_0$ определено в (4.8), а во втором случае $\lambda_0=0$. Далее доказательство завершается аналогично доказательству теоремы 2. Теорема 2 позволяет выдвинуть следующую гипотезу, которая представляется нам весьма правдоподобной по крайней мере для широкого класса операторов $\mathcal L$. Гипотеза 1. Пусть $N\geqslant5$. Тогда существует постоянная $A=A(N,\mathcal L)$ с условием $1\leqslant A<+\infty$ такая, что для любого ограниченного множества $E$, $E\neq\varnothing$, в $\mathbb R^N$ выполнено Для исследования этой гипотезы полезным представляется следующий результат “альтернативного” типа. Впрочем, не известно ни одного случая, когда бы имел место вариант (A1) указанной альтернативы. Предложение 2. Пусть $N\geqslant5$ и $\mathcal L$ – эллиптический оператор в $\mathbb R^N$ с фундаментальным решением $\varPhi=\varPhi_{\mathcal L}$. (A1) Пусть найдется $(N-2)$-мерное подпространство $\mathcal X$ в $\mathbb R^N$, для которого
$$
\begin{equation}
\int_{\partial B_1\cap {\mathcal X}}\varPhi(x)\,d\sigma_x=0.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Тогда гипотеза 1 неверна для оператора $\mathcal L$. Конкретно: для всякого ограниченного множества $E\subset {\mathcal X}$ выполнено $\gamma_{\Delta}(E)=0$, но для любого шара $B''\subset {\mathcal X}$ имеет место неравенство $\gamma_{\mathcal L}^+(B'')>0$. (A2) Пусть для $(N-2)$-мерного подпространства $\mathcal X$ в $\mathbb R^N$ выполнено неравенство Тогда для любого ограниченного множества $E\subset\mathcal X$, $E\neq\varnothing$, имеем $\gamma_{\mathcal L}^+(E)=0$. Доказательство. Докажем (A1). Без ограничения общности можно считать, что Пусть $y=(x_3,\dots,x_N)\in\mathbb R^{N-2}$. Тогда $\varPhi_{\Delta}(0,0,y)=C_N/|y|^{N-2}$, где $C_N<0$ – соответствующая постоянная. Пусть $E$ – произвольный непустой компакт в $\mathcal X$, а $\mu$ – неотрицательная мера на $E$ с условием $\displaystyle\int_{E}d\mu_y>0$. Для доказательства свойства $\gamma_{\Delta}(E)=0$ достаточно установить, что свертка $|y|^{2-N}\ast\mu$ не ограничена на $\mathbb R^{N-2}$. Действительно, носитель $\mathop{\mathrm{Supp}}{\mu}$ меры $\mu$ лежит в некотором замкнутом кубе $K_0$. Разделим $K_0$ на $2^{N-2}$ равных (замкнутых) кубов, боковые грани которых параллельны соответствующим граням куба $K_0$. Среди этих кубов найдется куб $K_1$ с условием $\mu(K_1)\geqslant2^{2-N}\mu(K_0)$. Продолжая этот процесс по индукции, мы построим последовательность вложенных замкнутых кубов $\{K_m\}$ с общей точкой $y_0$ таких, что $\mathop{\mathrm{diam}}(K_{m+1})=\mathop{\mathrm{diam}}(K_m)/2$ и $\mu_(K_{m+1})\geqslant2^{2-N}\mu(K_m)$ при $m\in\mathbb N$. Из существования такой последовательности непосредственно вытекает, что $(|y|^{2-N}\ast\mu)(y_0)=+\infty$, что и требовалось.
Продолжим доказательство (A1). Пусть теперь $B''$ – произвольный шар в $\mathcal X=\mathbb R^{N-2}_y$. Далее через $B''(y_0,R)$ будем обозначать шар в $\mathbb R^{N-2}$ с центром в точке $y_0\in\mathbb R^{N-2}$ и радиусом $R>0$, а через $B''_R$ – шар $B''(0,R)$. Возьмем функцию $\varphi\in C^\infty_0(B'')$ с условиями $\varphi\geqslant0$ и $\displaystyle\int_{B''}\varphi(y)\,dy>0$. Определим меру $\mu$ так, что $d\mu_y=\varphi(y)\,dy$. Пусть $\varPhi$ – фундаментальное решение рассматриваемого дифференциального оператора. Положим $\varPhi_0(y)=\varPhi((0,0,y))$, так что Фиксируем произвольное $y^0\in\mathbb R^{N-2}$ и возьмем $R>0$ так, чтобы выполнялось $B''\subset B''(y^0,R)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl|(\varPhi_0\ast\mu)(y^0)\bigr| &=\biggl|\mathrm{v.p.}\int_{B''(y^0,R)}\varPhi_0(y^0-y)\varphi(y)\,dy\biggr| \\ &=\biggl|\int_{B''(y^0,R)}\varPhi_0(y^0-y)\bigl(\varphi(y)-\varphi(y^0)\bigr)\,dy\biggr| \\ &\leqslant A_1\int_0^R\frac1{\rho^{N-2}} \rho^{N-3} \rho\,d\rho\leqslant A_1R, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где оценка осуществляется интегрированием в сферических координатах, а $A_1=A_1(\varPhi,\varphi)\in(0,+\infty)$. Отсюда получаем, что $\|\varPhi_0\ast\mu\|_{\mathcal X}<+\infty$.
Фиксируем теперь произвольную точку $x^0\in\mathbb R^N\setminus\mathcal X$, для которой положим $x^0=(x^0_1,x^0_2,y^0)$. Положим также $\delta=\sqrt{(x^0_1)^2+(x^0_2)^2}$. Оценим $(\varPhi*\mu)(x^0)$. Пусть, как и выше, $B''\subset B''(y^0,R)$, и положим $V=B''(y^0,R)\setminus B''(y^0,\delta)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|(\varPhi\ast\mu)(x^0)-(\varPhi_0\ast\mu)(y^0)\bigr| \\ &\qquad\leqslant \int_{B''(y^0,\delta)}|\varPhi(x^0-y)|\,|\varphi(y)|\,dy +\biggl|\int_{B''(y^0,\delta)}\varPhi_0(y^0-y)(\varphi(y^0)-\varphi(y))\,dy\biggr| \\ &\qquad\qquad+\biggl|\int_{V}(\varPhi(x^0-y)-\varPhi(y^0-y))\varphi(y)\,dy\biggr| \\ &\qquad=I_1+I_2+I_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $I_1\leqslant A_1 (1/\delta^{N-2}) \delta^{N-2}\leqslant A_1$, а $I_2\leqslant A_1\delta$ (такая оценка проведена выше). Оценим $I_3$, пользуясь неравенством
$$
\begin{equation*}
|\varPhi(x^0-y)-\varPhi_0(y^0-y)|\leqslant A_2\delta\sup_{x\in[x^0,(0,0,y^0)]}|\nabla\varPhi(x-y)|\leqslant \frac{A_3\delta}{|y-y^0|^{N-1}},
\end{equation*}
\notag
$$
из которого непосредственно находим, что
$$
\begin{equation*}
I_3\leqslant\int_{\delta}^{R}\frac{A_3\delta}{\rho^{N-1}}\rho^{n-3}\,d\rho\leqslant A_4,
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_2$, $A_3$ и $A_4$ – положительные постоянные. Итак, $\|\varPhi_0\ast\mu\|_{\mathbb R^N}<+\infty$, откуда по определению $\gamma_{\mathcal L}^+(B'')>0$, и (A1) доказано.
Теперь установим (A2). Как и раньше, будем считать, что $\mathcal X=\{x\in\mathbb R^N$: $x_1= x_2=0\}$ и $y=(x_3,\dots,x_N)\in\mathcal X$. Пусть, от противного, найдется ограниченное множество $E\subset\mathcal X$ с условием $\gamma_{\mathcal L}^+(E)>0$. Тогда найдется неотрицательная мера $\mu$ с носителем $\mathop{\mathrm{Supp}}(\mu)\subset E$ такая, что $\displaystyle\int_{E}d\mu_y>0$ и $\|\varPhi_{\mathcal L}\ast\mu\|\leqslant1$. Обозначим $B''_1=B_1\cap\mathcal X$ и фиксируем функцию $\varphi_1\in C^\infty_0(B''_1)$ с условиями $\varphi_1(y)\geqslant0$ и $\displaystyle\int_{B''_1}\varphi_1(y)\,dy=1$. Наконец, при $\varepsilon>0$ положим $\varphi^\varepsilon(y)=\varepsilon^{2-N}\varphi_1(y/\varepsilon)$. Положим $\mu^\varepsilon=\varphi^\varepsilon\ast\mu$ (свертка рассматривается в $\mathcal X=\mathbb R^{N-2}$, а $\mu^\varepsilon$ понимается как мера). Тогда
$$
\begin{equation*}
\mu^\varepsilon\geqslant0, \qquad \int_{\mathcal X}d\mu^\varepsilon > 0 , \qquad \|\varPhi_{\mathcal L}\ast\mu^\varepsilon\|\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть $\psi^\varepsilon$ – плотность меры $\mu^\varepsilon$ относительно меры Лебега в $\mathcal X=\mathbb R^{N-2}$, т.е. $d\mu^\varepsilon_y=\psi^\varepsilon(y)\,dy$. Тогда $\psi^\varepsilon\in C^\infty_0(\mathcal X)$.
Так как $\displaystyle\int_{\partial B''_1}\varPhi_{\mathcal L}(y)\,d\sigma_y\neq0$, то найдется число $\mu_0 \neq 0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\partial B''_1}\varPhi_{\mathcal L}\,d\sigma_y= \mu_0\int_{\partial B''_1}\varPhi_{\Delta}\,d\sigma_y.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть точка $y^0\in\mathcal X$ такова, что $\psi^\varepsilon(y^0)>0$, и пусть $\mathop{\mathrm{Supp}}(\psi^\varepsilon)\subset B''(y^0,R)=B''$ при некотором $R>0$. Тогда, с одной стороны (напомним, что $\varPhi_{\Delta}=\alpha_N |x|^{-N+2}$ с некоторой константой $\alpha_N<0$),
$$
\begin{equation*}
\int_{B''}\varPhi_{\Delta}(y-y^0) \psi^\varepsilon(y)\,dy=-\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а с другой стороны –
$$
\begin{equation*}
\biggl|\mathrm{v.p.}\int_{B''}\varPhi_{\mathcal L}(y-y^0) \psi^\varepsilon(y)\,dy\biggr|\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl|\mathrm{v.p.}\int_{B''}\bigl(\varPhi_{\mathcal L}(y-y^0)-\mu_0\varPhi_{\Delta}(y-y^0)\bigr) \psi^\varepsilon(y)\,dy\biggr| \\ &\qquad = \biggl|\int_{B''}\bigl(\varPhi_{\mathcal L}(y-y^0)-\mu_0\varPhi_{\Delta}(y-y^0) (\psi^\varepsilon(y) - \psi^\varepsilon(y^0))\,dy\biggr| \\ &\qquad \leqslant A_5\int_0^R\frac1{r^{N-2}} r r^{N-3}\,dr\leqslant A_5R<+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_5$ – положительная постоянная. Полученное противоречие завершает доказательство (A2).
Предложение 2 доказано. Приведем примеры ситуаций, в которых имеет место случай 2) предложения 2. Предложение 3. Пусть $N\geqslant5$, а символ $Q$ эллиптического оператора $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$ имеет вид где $c_{p+1}\not\in(-\infty,0]$ и $p\in\{1,\dots,N-1\}$, причем $q=N-p\leqslant p$. Пусть, как и раньше, $\mathcal X=\{x\in\mathbb R^N\colon x_1=x_2=0\}$. Тогда Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\varLambda(x)=x_1^2+\dots+x_p^2+\lambda(x_{p+1}^2+\dots+x_N^2), \quad\text{где }\ \lambda=c_{p+1}^{-1}\not\in(-\infty,0]
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь использованы обозначения, введенные в § 3). Тогда
$$
\begin{equation*}
\varPhi(x)=\varPhi_{\mathcal L}(x)=c(\varLambda(x))^{-m}_*=c\exp\bigl(-m\ln_*(\varLambda(x))\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c\neq0$, $m=(N-2)/2$, а $\ln_*$ обозначает главную ветвь многозначного логарифма. Далее предполагается, что $q\geqslant 2$ (более простой случай $q=1$ мы опустим). Пусть $y'=(x_3,\dots,x_p)$ и $y''=(x_{p+1},\dots,x_{N-1})$. В указанных обозначениях
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(\lambda) &:=\int_{\partial B''_1}\varPhi_{\mathcal L}(y)\,d\sigma_y \\ &= 2c\int_{|y'|\leqslant1}dy'\int_{|y''|\leqslant\sqrt{1-|y'|^2}} \frac{dy''}{\sqrt{1-|y'|^2-|y''|^2} \bigl(|y'|^2+\lambda(1-|y'|^2)\bigr)^m_*}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в последнем интеграле к сферическим координатам, получаем
$$
\begin{equation*}
I(\lambda)=c_1\int_{0}^{1}\rho^{p-3}\,d\rho\int_{0}^{\sqrt{1-\rho^2}} \frac{r^{q-2}\,dr}{\sqrt{1-\rho^2-r^2} (\rho^2+\lambda(1-\rho^2))^m_*},
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $c_1$ не равна нулю. Положим $a=\sqrt{1-\rho^2}$. Тогда (используя замену переменных $r=a\sin{t}$) получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{a}\frac{r^{q-2}\,dr}{\sqrt{a^2-r^2}}=c_2a^{q-2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_2>0$ – некоторая абсолютная постоянная. Таким образом, получаем (далее $c_3\neq0$ – подходящая постоянная)
$$
\begin{equation*}
I(\lambda)=c_3\int_{0}^{1}\frac{\rho^{p-3}(1-\rho^2)^{(q-2)/2}}{(\rho^2+\lambda(1-\rho^2))^m_*}\,d\rho= c_3\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^{p-3}t\cos^{q-1}t}{(\sin^2t+\lambda \cos^2t)^m_*}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где сделана замена $\rho=\sin{t}$. При этом последний интеграл равен $I(\lambda)$ и при $q=1$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
m=\frac{N-2}{2}=\frac{p+q}{2}=\frac{p-3}{2}+\frac{q-1}{2}+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Известен “табличный” интеграл (см. [12; формула 3.642, (1)])
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^{2\mu-1}t\cos^{2\nu-1}t\,dt}{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{\mu+\nu}}\,dt =\frac{1}{2a^{2\mu}b^{2\nu}}B(\mu,\nu),
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где $\operatorname{Re}\mu>0$, $\operatorname{Re}\nu>0$, $a>0$, $b>0$, а $B(\cdot,\cdot)$ – бета-функция Эйлера. Интеграл $I(\lambda)$ получается при $\mu=(p-2)/2$, $\nu=q/2$, $a=1$ и $b=\lambda^{1/2}_*$. При $\lambda > 0$ из (4.10) находим где $c_4\neq0$ – постоянная. Так как $I(\lambda)$ голоморфна при $\lambda\in\mathbb C\setminus(-\infty,0]$, то по теореме единственности $I(\lambda)=c_4/\lambda^{q/2}_*\neq0$ при всех указанных $\lambda$.
Предложение 3 доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ParFed23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|