| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Теоремы типа Левинсона и проблемы Е. М. Дынькина А. М. Гайсин, Р. А. Гайсин Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9802e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ 1938 г. Н. Левинсон доказал следующую теорему (см. [1; гл. VIII, теорема XLIII]), представляющую собой “далеко идущее обобщение принципа максимума модуля для аналитических функций” (см. [2]). Теорема 1 (Н. Левинсон). Пусть $M(y)$ – положительная, монотонно убывающая в полуинтервале $(0,b]$ функция, $M(y)\uparrow\infty$ при $y\downarrow0$, $M(b)=e$. Пусть, далее, $F_M$ – семейство функций, аналитических в прямоугольнике и удовлетворяющих в $Q$ оценке $|F(z)|\leqslant M(|y|)$. Если то для любого $\delta>0$ существует постоянная $C$, зависящая только от $\delta$ и $M(y)$, такая, что для всех функций $f\in F_M$ в прямоугольнике справедлива оценка $|F(z)|\leqslant C$. Отметим, что независимо от Н. Левинсона, видимо, одновременно с ним, эту теорему в несколько иной форме доказал Н. Шёберг (см. [3]). Однако гораздо раньше Т. Карлеманом была получена (см. [4]) Теорема 2 (Т. Карлеман). Предположим, что $M(\varphi)$ – положительная на интервале $(0,2 \pi)$ функция такая, что $\ln M(\varphi)>1$ и интеграл сходится. Тогда всякая целая функция $f(z)$, удовлетворяющая неравенству есть постоянная: $f(z)\equiv \mathrm{const}$. Именно этот результат Т. Карлемана в дальнейшем был развит Н. Левинсоном и Н. Шёбергом, которые распространили его на самый общий случай. Однако отметим, что теорема Т. Карлемана верна без каких-либо дополнительных ограничений на мажоранту $M(\varphi)$. Позже Ф. Волф перенес теорему Левинсона–Шёберга на более широкий класс функций (см. [5]). В [2] предложено иное, более простое доказательство теоремы 1. Приведем одну из версий данной теоремы (см. [6], [7]). Теорема 3 (Я. Домар). Пусть $D=\{z=x+iy\colon -a<x<a,\ 0<y<b\}$, $M(y)$ – измеримая по Лебегу функция, $M(y)\geqslant e$ при $0<y<b$. Если сходится интеграл (1.1), то существует убывающая функция $m(\delta)$, зависящая только от $M(y)$ и конечная для $\delta>0$, такая, что если $f(z)$ аналитична в $D$ и то Следствие. Пусть $J=\{f\}$ – семейство аналитических в $D$ функций, удовлетворяющих условию (1.2). Если интеграл (1.1) сходится, то семейство функций $J$ является нормальным (т.е. относительно компактным). Как показано П. Кусисом, условие (1.1) для справедливости теоремы Н. Левинсона является и необходимым (см. [6]): если интеграл (1.1) расходится, то существует последовательность полиномов $P_n(z)$ таких, что: 1) $|P_n(z)|\leqslant K M(|y|)$, $K=\mathrm{const}$, $n\geqslant1$, для всех $z$ из прямоугольника 2) при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
P_n(z)\to F(z)= \begin{cases} 1,&\text{если }z\in Q\cap\mathbb{C}_{+}, \\ -1,&\text{если }z\in Q\cap\mathbb{C}_{-}; \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\mathbb{C}_{+}=\{z=x+iy\colon y>0\}$, $\mathbb{C}_{-}=\{z=x+iy\colon y<0\}$. Отметим, что при некоторых дополнительных ограничениях на поведение функции $M(y)$ аналогичное утверждение доказано Н. Левинсоном в [1]. А в [7] показано, что в теореме Н. Левинсона условие монотонности функции $M(y)$ можно заменить на измеримость этой функции по Лебегу. В [8] приводится следующая версия теоремы типа Левинсона (см. также [9]). Теорема 4 (Т. Карлеман, Н. Левинсон, Н. Шёберг, Ф. Волф, А. Бёрлинг, Я. Домар). Пусть $M\colon (0,1]\to [e,+\infty)$ – непрерывная убывающая функция, $f$ – функция, аналитическая в полосе Достаточная часть этого результата вытекает из теоремы Н. Левинсона. Действительно, полагая $a=b=1$ в теореме 1, достаточно рассмотреть семейство функций $\{f_{n}(z)\}$, $f_{n}(z)=f(z+n)$, $z\in Q$, $n\in\mathbb{Z}$. В [10] получено обобщение теоремы Н. Левинсона на случай, когда вместо вещественного отрезка $[-a,a]$ берется некоторая спрямляемая дуга $\gamma$, а именно дуга ограниченного наклона. Напомним определение (см. также [10]): любая дуга $\gamma$, заданная уравнением $y=g(x)$, $|x|<a$, и удовлетворяющая условию Липшица
$$
\begin{equation*}
\sup_{x_1\neq x_2} \biggl|\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}\biggr|=K_{\gamma}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
называется дугой ограниченного наклона. В [10] показано, что для любого $z=x+iy$, $|x|\leqslant a$, вне дуги $\gamma$ ограниченного наклона
$$
\begin{equation}
\frac{k}{2} |y-g(x)|\leqslant \rho(z)\leqslant |y-g(x)|,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\rho(z)=\min_{w\in\gamma}|z-w|$, $k=\min(1,K_{\gamma}^{-1})$. Сформулируем результат, полученный в [10]. Пусть $M=M(y)$ – функция из теоремы 1, $F_M$ – семейство аналитических в криволинейном четырехугольнике функций $f$, удовлетворяющих оценке
$$
\begin{equation*}
|f(z)|\leqslant M(\rho(z)), \qquad z\in\Pi\setminus\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – дуга, введенная выше. В [10] доказано, что если сходится интеграл (1.1), то для любого $\delta>0$ существует постоянная $C_M(\delta)$, зависящая только от $\delta$ и функции $M$, такая, что для всех функций $f\in F_M$ в области
$$
\begin{equation*}
\Pi_{\delta}=\{z=x+iy\colon |x|<a-\delta,\ |y-g(x)|<b\}
\end{equation*}
\notag
$$
справедлива оценка Основной момент доказательства этого результата – построение так называемой срезающей функции, аналитической в некоторой окрестности $G$ дуги $\gamma$ функции $F$ и такой, что отношение $f/F$ для всякой функции $f\in F_M$ аналитично в $G$ и непрерывно в $\overline{G}$ ($G$ – криволинейный прямоугольник с заостренными углами). Конструкция такой функции основана на теореме Альфорса об искажении при конформных отображениях. По существу используются и оценки (1.5) для расстояния $\rho(z)$. В настоящей статье речь пойдет о задачах, тесно связанных с теоремами типа Левинсона–Шёберга–Волфа и их применениями в теории аппроксимации1, в частности, о проблемах Е. М. Дынькина, поставленных им в 1970-х годах. Приведенный выше обзор результатов позволит, видимо, в будущем посмотреть на указанные проблемы с более общей точки зрения и обнаружить другие версии упомянутых задач Е. М. Дынькина. § 2. Проблема Е. М. Дынькина об эффективной оценке мажоранты ростаПусть $E$ – компакт в $\mathbb{R}$, $M$ – мажоранта из теоремы Н. Левинсона, для которой выполняется билогарифмическое условие (1.1). В [11] введена совокупность $F_{E}^{0}(M)$ функций $f$, определенных и аналитических вне $E$ и таких, что
$$
\begin{equation*}
|f(z)|\leqslant M(|{\operatorname{Im} z}|), \qquad z\in\mathbb{C}\setminus E.
\end{equation*}
\notag
$$
В данной оценке $M$ – любая убывающая на $\mathbb{R}_{+}=(0,+\infty)$ функция, совпадающая с мажорантой из теоремы 1 на $(0,b]$. В дальнейшем будем считать, что $M(y)\downarrow0$ при $y\to +\infty$. Согласно теореме 1 множество $F_{E}^{0}(M)$ нормально, т.е. для всякого $\delta>0$
$$
\begin{equation*}
M^*(\delta)=\sup\{|f(z)|\colon f\in F_{E}^{0}(M),\ \rho(z,E)\geqslant\delta\}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\rho(z,E)=\inf_{\xi\in E}|z-\xi|$, $z\in\mathbb{C}$. Таким образом, $M^*$ – наименьшая функция, для которой
$$
\begin{equation*}
|f(z)|\leqslant M^*(\rho(z,E)), \qquad z\in\mathbb{C}\setminus E,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $f\in F_{E}^{0}(M)$. В [11] поставлена задача: получить “эффективную оценку для мажоранты $M^*$”. Предположим, что функция $M$ такая, что $\ln M(e^{-\sigma})$ – выпуклая функция от $\sigma$. Положим
$$
\begin{equation*}
M_n=\sup_{\delta>0} \frac{n!}{M(\delta) \delta^{n+1}}, \qquad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, как известно, класс Карлемана на отрезке $I=[0,1]$
$$
\begin{equation*}
C_{I}(M_n)=\{f\colon f\in C^{\infty}(I),\ \|f^{(n)}\|\leqslant c K_{f}^{n} M_n,\ n\geqslant0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|f\|=\max_{I} |f(x)|$, квазианалитичен тогда и только тогда, когда расходится интеграл (1.1) (см. [10], [12]). Через $C_{I}^{N}(M_n)$ далее будем обозначать нормированный класс – класс $C_{I}(M_n)$ с постоянными $c=1$, $K_{f}=1$. Следуя работе [11], введем также обозначение
$$
\begin{equation*}
P(\delta)=\sup\{|f(\delta)|\colon f\in C_{I}^{N}(M_n),\ f^{(n)}(0)=f^{(n)}(1)=0,\ n\geqslant0\}, \qquad 0<\delta\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Как утверждается в работе [12] (см. с. 61, п. 2.1, замечание), задача об эффективной оценке мажоранты “в форме $M^*\simeq P^{-1}$ с неизвестной величиной $P$ была установлена в [11]”. Здесь и далее запись $M^*\simeq P^{-1}$ означает, что
$$
\begin{equation}
A P^{-1}(a \delta)\leqslant M^*(\delta)\leqslant B P^{-1}(b \delta)
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
($0<a<b$, $0<A<B$ – некоторые постоянные). Отметим, что оценки (2.1) в [11] явно не выписаны, а доказана только нижняя оценка. Доказательство верхней оценки в тех же неравенствах в [11] не приведено. В настоящей статье будет показано, что оценки типа (2.1) на самом деле имеют место не для функции $M^*$, а для так называемого подправленного ассоциированного веса $H_0$ (см. теорему 9). В условиях теоремы 2.3 из [13], в которой получена точная асимптотическая оценка для $M^*$, будет показано, что если $M=H_0$, то $\ln M(\delta)=o(\ln M^*(\delta))$ при $\delta\to0$. Теперь более подробно остановимся на результатах работы [11]. Там рассматриваются только регулярные последовательности $\{M_n\}$, т.е. такие, что числа $m_n={M_n}/{n!}$ удовлетворяют условиям: 1) $m_n^{1/n}\to\infty$, $n\to\infty$; 2) $\displaystyle \sup_{n\geqslant0}\biggl(\dfrac{m_{n+1}}{m_n}\biggr)^{1/n}<\infty$; 3) $m_n^2\leqslant m_{n-1} m_{n+1}$, $n\geqslant1$. Класс Карлемана $C_{I}((n!)^{1+\alpha})$, $\alpha>0$, называется, как известно, классом Жевре. Этот класс будет регулярным, ибо числа $M_n=(n!)^{1+\alpha}$ удовлетворяют всем условиям 1)–3). Ассоциированным весом называется функция $H^*(r)=[h^*(r)]^{-1}$ (см. [11]), Ясно, что $h^*(r)\uparrow\infty$ при $r\to\infty$, $h^*(0+)=0$. Из свойства 2) определения регулярных последовательностей видно, что $h^*(r)\leqslant r h^*(qr)$ при некотором $q\,{>}\,1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
H^*(r)=\sup_{n\geqslant0} \frac{1}{m_n r^n}=\sup_{n\geqslant0} \frac{n!}{M_n r^n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, как известно (см. [12]),
$$
\begin{equation*}
M_n=\sup_{r>0} \frac{n!}{H^*(r) r^n}, \qquad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Класс $C_{I}(M_n)$ является квазианалитическим тогда и только тогда, когда выполняется любое из эквивалентных условий (см. [11]): 1) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{M_n}{M_{n+1}}=\infty$; 2) $\displaystyle\int_{0}^{1} \ln^{+}\ln H^*(t)\,dt=\infty$. Приведем результаты работы [13], в которой получено решение первой проблемы Е. М. Дынькина об оценке мажоранты $M^*$, где рассматривается квадрат Теорема Карлемана–Левинсона–Шёберга утверждает, что семейство аналитических в $S$ функций $F$ таких, что локально равномерно ограничено в $S$, если функция $M(x)$ не возрастает на $(0,1)$, и Как уже упоминалось, именно в такой форме эта теорема была доказана независимо Н. Левинсоном (в 1940 г.) и Н. Шёбергом (в 1938–1939 гг.). Однако ранее Т. Карлеман в 1926 г. получил эквивалентный результат (см. [13]). Ясно, что этот результат остается в силе и для аналитических в проколотом квадрате $S^*=S\setminus\{0\}$ функций $F$, удовлетворяющих оценке (2.2), если мажоранта $M$ подчинена условию (2.3).В [11], [12] Е. М. Дынькин поставил задачу: найти точное поведение мажоранты при $s\to0$. Здесь точная верхняя грань берется по всем аналитическим в $S^*$ функциям, мажоранта $M$ которых удовлетворяет условию (2.3). Отметим, что вначале Е. М. Дынькиным задача ставилась без каких-либо ограничений на множество особых точек функций $F$ (см. [11]). Позже в [12] эта задача была уточнена и сформулирована в терминах функции $M=H^*$ и объявлена “открытой проблемой, поставленной в [11]”.Верхняя оценка для $M^*$ может быть получена, если использовать один метод Домара из [7], [9] (см. [6]). Используя двойственность, В. Мацаев показал, что теорема Левинсона–Шёберга эквивалентна теореме Данжуа–Карлемана о квазианалитичности класса $C_{I}(M_n)$ (см. [14]). Позже этот факт был повторно открыт Е. М. Дынькиным в [15], а в работе [12] в терминах величины
$$
\begin{equation*}
J_M(s)=\sup\Bigl\{|g(s)|\colon \sup_{I}|g^{(n)}(t)|\leqslant M_n,\ g^{(n)}(0)=0,\ n\geqslant0\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
им же были получены двусторонние оценки для $M^*$, но они, как оказалось, не только не точны, но и не верны (более подробно обзор результатов и дискуссию см. в [13], [16]). Точные оценки для мажоранты $M^*$ иным способом были получены в [13]. Сформулируем этот результат. Пусть
$$
\begin{equation}
P_{\varphi}(s)=\sup_{y>0}\biggl[\frac{2y}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\varphi(t)\,dt}{t^2+y^2}-ys\biggr],
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где весовая функция (логарифмический вес) удовлетворяет условиям: 1) $\varphi(t)\geqslant0$, $t\in\mathbb{R}_{+}=[0,+\infty)$; 2) $\varphi(t)\uparrow\infty$ при $t\to +\infty$, $\displaystyle\lim_{t\to\infty} \frac{\varphi(t)}{\ln t}=\infty$; 3) $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \frac{\varphi(t)}{t^2+1}\,dt<\infty$; 4) $\varphi(e^x)$ выпуклая по $x$ на $\mathbb{R}_{+}$. Иногда на функцию $\varphi$ накладывается дополнительное условие: 5) $\varphi(t)$ вогнутая на $\mathbb{R}_{+}$, причем Для логарифма мажоранты $M$ из условия (2.2) рассмотрим нижнее преобразование Лежандра Предположим, что для любого $N>0$ Тогда весовая функция $\varphi$ автоматически удовлетворяет условиям 1)–3), а также 5) (см. [13]). Если же функции $\ln M(e^{-s})$ и $\ln M(t)$ выпуклые, то и функция $\varphi(e^x)$ выпуклая по $x\in\mathbb{R}_{+}$ (т.е. выполняется условие 4)) (см. [13]).В [13] доказана Теорема 5. Пусть мажоранта $M$ удовлетворяет условиям (2.3), (2.5), а функции $\ln M(e^{-s})$ и $\ln M(t)$ выпуклые. Тогда при $s\to0$ где $P_{\varphi}$ – функция, заданная формулой (2.4), $\varphi$ – нижнее преобразование Лежандра функции $\ln M(t)$. § 3. Вторая проблема Е. М. Дынькина об оценке функции $J_M(s)$История обсуждаемой в данном параграфе проблемы восходит к работе Т. Банга [17]. Пусть $\{M_n\}_{n=0}^{\infty}$ – это произвольная положительная последовательность, $M_n^{1/n}\to \infty$ (она не обязательно регулярна). Тогда существует наибольшая логарифмически выпуклая миноранта $\{M_n^{c}\}_{n=0}^{\infty}$, т.е. такая, что: $M_n^{c}\leqslant M_n$, $n\geqslant0$; $(M_n^{c})^2\leqslant M_{n-1}^{c} M_{n+1}^{c}$, $n\geqslant1$. Последовательность $\{M_n^{c}\}$ называется выпуклой регуляризацией $\{M_n\}$ посредством логарифмов (см. [18]). Пусть $P=\{n_i\}$ – последовательность основных индексов, т.е. $M_{n_i}=M_{n_i}^{c}$, $i\geqslant1$. В [17] для каждой функции $f\in C^{\infty}(I)$ рассматривается величина
$$
\begin{equation}
B_{f}(x)=\inf_{p\in P} \biggl[\max\biggl(e^{-p}, \max_{0\leqslant n\leqslant p} \frac{|f^{(n)}(x)|}{e^n M_n^{c}}\biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Основной в [17] является следующая Теорема 6 (Т. Банг). Если $f\in C^{\infty}(I)$ и $\|f^{(n)}\|\leqslant M_n$, $n\geqslant0$, то из оценки при некотором $q\in\mathbb{N}$ следует, что Отметим, что в этой теореме $q$ не обязательно принадлежит множеству основных индексов $P$. Параметр $h$ выбирается так, чтобы сдвиг $x+h$ принадлежал $I$. Замечание. Если обозначить $L(x)=\ln B_{f}(x)$, то из теоремы Т. Банга следует, что: 1) $\displaystyle |L(x+h)-L(x)|\leqslant e \frac{M_{q}^{c}}{M_{q-1}^{c}} |h|$; 2) в точках, где существует производная $L'(x)$, верна оценка Теорема 6 была использована Т. Бангом для доказательства критерия квазианалитичности класса $C_{I}(M_n)$. Нас будет интересовать только достаточная часть этого критерия, поскольку из ее доказательства вытекает одна простая оценка для каждой функции $f$ из класса $C_{I}^{0}(M_n)=\{f\colon f\in C_{I}^{N}(M_n),\ f^{(n)}(0)=f^{(n)}(1)=0,\ n\geqslant0\}$ в окрестности точки $x=0$, которую в ряде работ некорректно переносят и на экстремальную функцию $J_M(M_n)$ (см. [12], [13]). Не претендуя на авторство, приведем краткое доказательство утверждения Т. Банга: если класс $C_{I}^{0}(M_n)$ не квазианалитичен, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{M_n^{c}}{M_{n+1}^{c}}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
По условию существует функция $f$ из класса $C_{I}^{0}(M_n)$, $f(x)\not\equiv0$. Следовательно, и $B_{f}(x)\not\equiv0$. Значит, существуют $p_1\in P$ и $x_1\in I$ такие, что $B_{f}(x_1)=e^{-p_1}$. Далее по индукции строится последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$: $x_n\downarrow0$, $B_{f}(x_j)=e^{-p_j}$, $p_1<p_2<\dots<p_n<\dotsb$, $p_j\in P$. Если положить $x=x_j$, $x+h=x_{j-1}$, то $h>0$. По теореме 6
$$
\begin{equation*}
B_{f}(x_{j-1})\leqslant B_{f}(x_j) \exp\biggl[e |x_j-x_{j-1}| \frac{M_{p_j}^{c}}{M_{p_j-1}^{c}}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
p_j-p_{j-1}\leqslant e |x_j-x_{j-1}| \frac{M_{p_j}^{c}}{M_{p_j-1}^{c}},
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
(p_j-p_{j-1}) \frac{M_{p_j-1}^{c}}{M_{p_j}^{c}}\leqslant e |x_j-x_{j-1}|.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Но левая часть последней оценки есть
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=p_{j-1}}^{p_j-1} \frac{M_n^{c}}{M_{n+1}^{c}},
\end{equation*}
\notag
$$
где все слагаемые равны между собой (их количество есть $p_j-p_{j-1}$). Это легко усматривается из геометрического смысла регуляризации последовательности $\{M_n\}$ посредством логарифмов (см. [18]). Так как то из (3.3) получаем, что
$$
\begin{equation}
\sum_{n=p_1}^{\infty} \frac{M_n^{c}}{M_{n+1}^{c}}\leqslant e x_1<\infty.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Утверждение доказано, но для нас представляет интерес само неравенство (3.4), поскольку из него Т. Банг получил важную оценку для функции $f$, а именно: если $x\in I$, причем
$$
\begin{equation*}
x<\frac{1}{e} \sum_{n=p_1}^{\infty} \frac{M_n^{c}}{M_{n+1}^{c}},
\end{equation*}
\notag
$$
то Следует заметить, что число $p_1$ зависит от конкретной функции $f$: чем меньше $\|f\|$, тем больше число $p_1=p_1(f)$. Пользуясь формулой Тейлора, Т. Банг получил также другое неравенство, из которого следует оценка
$$
\begin{equation}
J_M(x)\leqslant \inf_{n\geqslant0} \frac{M_n x^n}{n!}, \qquad x\in I.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Чтобы понять, в чем разница между оценками (3.5) и (3.6), рассмотрим пример. Возьмем последовательность чисел
$$
\begin{equation*}
M_n=n!\, [\ln (n+e)]^{(1+\beta)n},\qquad \beta>0,\quad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $f$ – функция из приведенного выше доказательства достаточной части теоремы 6, для нее верна оценка (3.5). Из (3.6) также имеем
$$
\begin{equation}
|f(x)|\leqslant \frac{1}{\sup_{n\geqslant0}(n!/(M_n x^n))}=\frac{1}{H_1(x)},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
H_1(x)\asymp \exp\exp \biggl[c_1 \biggl(\frac{1}{x}\biggr)^{1/(1+\beta)}\biggr], \qquad 0<x\leqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
$c_1$ – положительная постоянная, не зависящая от $f$ (пишем $H_1\asymp H_2$, если имеются $a_1>0$, $a_2>0$ такие, что $a_1 H_1(x)\leqslant H_2(x)\leqslant a_2 H_1(x)$). Учитывая быстрый рост функции $H_1(x)$ при $x\to0$, оценку (3.7) перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\ln\ln \frac{1}{|f(x)|}\geqslant c_2 \biggl(\frac{1}{x}\biggr)^{1/(1+\beta)},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $0<c_2<c_1$ и $c_2$ от $f$ также не зависит ($c_2$ зависит только от последовательности $\{M_n\}$). Неквазианалитичность класса $C_{I}^{N}(M_n)$ следует из условия Но условие неквазианалитичности контролирует и ассоциированный вес $H_1$, ибо а при $\beta=0$ интеграл (3.9) расходится, и класс $C_{I}^{N}(M_n)$ становится квазианалитическим, чего и следовало ожидать. Это наводит на мысль о том, что оценка (3.6) достаточно точна.Однако если пользоваться оценкой Т. Банга (3.5), то можно получить еще более точную оценку, но для фиксированной функции $f$ (см. [17]): существует $x_0=x_0(f)$ такое, что при всех $x$, $0<x<x_0(f)$, и некотором $c=c(f)>0$
$$
\begin{equation}
\ln\ln \frac{1}{|f(x)|}\geqslant c \biggl(\frac{1}{x}\biggr)^{1/\beta}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Возникает естественный вопрос: какая из оценок, (3.8) или (3.10), реально отражает поведение экстремальной функции $J_M(x)$? В [12] была сделана попытка дать ответ на этот вопрос (по этому поводу см. также [19]). Пусть $\{M_n\}$ – регулярная последовательность, а $H_{0}$ – подправленный ассоциированный вес, т.е. Тогда, как известно, Введем также функцию Тогда критерий неквазианалитичности класса $C_{I}^{N}(M_n)$ можно записать в виде где $h(t)=\ln H(t)$, а $d>0$ такое, что $h(d)=1$. Этот критерий равносилен сходимости интеграла Лебега–Стилтьеса
$$
\begin{equation}
-\int_{0}^{d} t \psi'(t)\,dt, \qquad \psi(t)=\ln h(t).
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Как и в работе [19], через $\theta=\theta(y)$ обозначим функцию, обратную к Далее, при выполнении условия (3.12) существует функция $f\in C_{I}^{0}(M_n)$ такая, что (см. [10])
$$
\begin{equation}
|f(y)|\geqslant C_0(f) \exp\biggl[-h\biggl(\frac{1}{4} \theta(y)\biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Ранее Е. М. Дынькиным была доказана и оценка сверху, но при более жестких требованиях (см. [12]): если выполняется условие (3.12) и, кроме того, $t |\psi'(t)|\to \infty$ при $t\to0$, то для любой функции $f\in C_{I}^{0}(M_n)$ верна оценка где $c>0$ – некоторая постоянная. При тех же условиях Е. М. Дынькиным в [12] была получена и аналогичная оценка снизу типа (3.14) для некоторой функции $f\in C_{I}^{0}(M_n)$ при $y\to0$, но без постоянной $C_0(f)$. В результате объединения этих двух оценок сверху и снизу в [12] была получена следующая Теорема 7. Пусть $t |\psi'(t)|\to\infty$ при $t\to0$. Тогда верны утверждения: 1) если интеграл (3.12) расходится, то $J_M(x)\equiv0$; 2) если интеграл (3.12) сходится, то где $0<q_1<q_2<\infty$.Учитывая доказательство теоремы Т. Банга и комментарии к оценке (3.5), приведенные выше, можно сделать следующий вывод: в оценках (3.16) вместо $J_M(x)$ на самом деле должна быть конкретная функция $f$, построенная в [10], а постоянные $q_1$ и $q_2$ должны зависеть от этой функции: $q_1=q_1(f)$, $q_2=q_2(f)$. Это означает, что в [12] вторая проблема Е. М. Дынькина все же не решена, вопреки утверждению самого автора статьи (см. [12]). Для последовательности $M_n=n!\, [\ln (n+e)]^{(1+\beta)n}$, $\beta>0$, $n\geqslant0$, как легко видеть,
$$
\begin{equation*}
h(y)\asymp y^{-1/(1+\beta)}, \qquad \theta(y)\asymp y^{(1+\beta)/\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, если учесть сказанное, найдется функция $f\in C_{I}^{0}(M_n)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
c_{f} x^{-1/\beta}\leqslant \ln\ln \frac{1}{|f(x)|}\leqslant C_{f} x^{-1/\beta}, \qquad 0<x\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
В [13] приводится соответствующая оценка, где вместо ${1}/{|f(x)|}$ фигурирует величина $\delta_{\{M_n\}}(s)=\sup\{|g(s)|,\ g\in C_{I}^{0}(M_n)\}$, что неверно. Таким образом, хотя асимптотическая оценка (3.10) Т. Банга для каждой такой фиксированной функции $f$ лучше оценки (3.8), она не отражает истинное поведение величины $J_M(x)$. В [19] доказана Теорема 8. Пусть $\{M_n\}$ – регулярная последовательность. Если функция $H$, заданная формулой (3.11), удовлетворяет билогарифмическому условию (3.12), то экстремальная функция $J_M(x)$ удовлетворяет оценкам где $q_1$ – некоторая положительная постоянная, зависящая только от функции $H$ (т.е. от чисел $M_n$), а Сравним оценки (3.17) для $J_M(x)$ с оценками Е. М. Дынькина (3.16) для функции $f\in C_{I}^{0}(M_n)$, построенной в [10], [12] методом срезающей функции В. П. Гурария. Для этого естественно ограничиться рассмотрением случая, когда2 $t |\psi'(t)|\to\infty$ при $t\to0$. Тогда, пользуясь оценкой Е. М. Дынькина (3.15), имеем где $c>0$ – некоторая постоянная, а $\theta=\theta(y)$ – функция, введенная выше.Обозначим
$$
\begin{equation*}
a(y)=\ln \frac{1}{|f(y)|}, \qquad b(y)=h\biggl(\frac{y}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая (3.18), получаем
$$
\begin{equation*}
p(y)=\frac{a(y)}{b(y)}\geqslant \frac{1}{2} \,\frac{h(c \theta(y))}{h(y/2)}, \qquad 0<y\leqslant y_0<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку, как легко проверить, $\theta(y)=o(y)$ при $y\to0$ (это следует из того, что $t |\psi'(t)|\to\infty$ при $t\to0$), то, учитывая монотонность функции $h$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
p(y)\geqslant \frac{1}{2} \frac{h(x)}{h(2x)}, \qquad x=\frac{y}{4}, \quad 0<x\leqslant x_0<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\psi(t)=\ln h(t)$, $t |\psi'(t)|\to\infty$ при $t\to0$, то для всякого $A>0$
$$
\begin{equation*}
\ln p(y)\geqslant -\ln 2+\int_{x}^{2x} t |\psi'(t)| \,\frac{dt}{t}\geqslant -\ln 2+A \ln 2,
\end{equation*}
\notag
$$
если $0<x<x_1(A)$. Таким образом, при $y\to0$
$$
\begin{equation*}
\ln H\biggl(\frac{y}{2}\biggr)=o\biggl(\ln \frac{1}{|f(y)|}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что функция $f(y)$ стремится к нулю при $y\to0$ гораздо быстрее, чем $H^{-1}(y/2)$. Таким образом, истинное поведение величины $J_M(y)$ при $y\to0$ сравнимо с асимптотикой функции $H^{-1}(y)$, а не функции $|f(y)|$. Оценки типа (3.17) для $J_M(x)$ имеют важное значение в приложениях, например, в задачах, связанных с асимптотикой целых рядов Дирихле на вещественной оси (см. [20]). Перейдем к результатам статьи [13], относящимся к оценке экстремальной функции $J_M(y)$. Как утверждают авторы этой работы, ими получено там решение и второй проблемы Е. М. Дынькина. Пусть $\varphi(r)=\ln T(r)$, где $T(r)=\sup_{n\geqslant0}(r^n/M_n)$ – функция следа последовательности $\{M_n\}$, удовлетворяющая условию неквазианалитичности Как известно, функция $\varphi$ удовлетворяет условиям 1)–4) логарифмического веса (см. § 2).В [13; теорема 2.1] приводится следующий результат: если
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to\infty} \frac{t \varphi'(t+0)}{\displaystyle\biggl(t^3 \int_{t}^{\infty} \frac{\varphi(\tau)}{\tau^4}\,d\tau\biggr)^{2/3}}=\infty,
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
то при $x\to0$ где $P_{\varphi}(x)$ – функция, определенная формулой (2.4), а
$$
\begin{equation*}
\delta_{\{M_n\}}(x)=\sup\{|g(x)|\colon g\in C_{I}^{0}(M_n)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как видим, $\delta_{\{M_n\}}(x)\equiv J_M(x)$, но в [13] явно не требуются ни регулярность последовательности $\{M_n\}$, ни сходимость интеграла (3.12). Это обозначение экстремальной функции далее будем использовать в тех случаях, когда речь будет идти о результатах работы [13]. Если функция $\varphi(r)=\ln T(r)$ вогнутая на $\mathbb{R}_{+}$, причем $\varphi(r) \ln^{-3}(r)\uparrow\infty$ при $r\to\infty$, то, как показано в [13], для такой функции условие (3.20) будет выполнено, но “более слабое и удобное для проверки условие, заменяющее (3.20), авторам не известно” (см. [13]). Однако условие вогнутости самой функции $\ln T(r)$ слишком сужает класс последовательностей $\{M_n\}$. Обычно в подобных задачах естественно рассматривать наименьшую вогнутую мажоранту $\omega_{T}(r)$ функции $\ln T(r)$, предполагая, что она принадлежит классу сходимости, т.е. удовлетворяет условию (3.19). Действительно, где
$$
\begin{equation*}
m(y)=\sup_{r>0} (\varphi(r)-ry), \qquad \varphi(r)=\ln T(r),
\end{equation*}
\notag
$$
причем интеграл в данном случае также будет сходиться, как и интеграл (3.19) для функции $\omega_{T}(r)$ (см. [21]). Как видно из доказательства только что приведенного утверждения из [13], целесообразно отдельно рассмотреть два случая: когда сходится только интеграл (3.19) и когда сходится тот же интеграл для функции $\omega_{T}(r)$. Действительно, при обосновании асимптотического равенства (3.21) существенно используется лемма 2.1 из [13]: пусть $W$ – внешняя функция в верхней полуплоскости $\mathbb{C}_{+}$ с логарифмическим весом $\varphi(t)=\ln T(|t|)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\sqrt{2\pi} \rho_{1,W}(s)\leqslant \delta_{\{M_n\}}(s)\leqslant \frac{e}{\sqrt{2\pi}} s \rho_{\infty,W}(s),
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
где
$$
\begin{equation}
\rho_{p,W}(s)=\sup_{\|f\|_{H^{p}(W)}\leqslant1} |(F^{-1}f)(s)|,
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
а
$$
\begin{equation*}
(F^{-1}f)(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-isx}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
– обратное преобразование Фурье,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^{p}(W)=\{f\colon f\in H(\mathbb{C}_{+}),\ Wf\in H^{p}\}, \\ \|f\|_{H^{p}(W)}=\|Wf\|_{H^{p}},\qquad 1\leqslant p\leqslant \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $W(z)\neq0$ в $\mathbb{C}_{+}$, причем $W(z)=e^{u(z)+i v(z)}$, а
$$
\begin{equation*}
u(z)=\ln |W(z)|=\frac{\operatorname{Im} z}{\pi} \int_{\mathbb{R}} \frac{\varphi(t)\, dt}{|t-z|^2}, \qquad \operatorname{Im} z>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно также, что если $f\in H^{p}(W)$, $\|f\|_{H^{p}(W)}\leqslant1$, то (см. [22])
$$
\begin{equation}
|f(z)|\leqslant \frac{|W(z)|^{-1}}{(\pi \operatorname{Im} z)^{1/p}}, \qquad z\in\mathbb{C_{+}}.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
В [13; лемма 4.1] доказано: если функция $\varphi(r)=\ln T(r)$ принадлежит классу сходимости, то
$$
\begin{equation*}
\rho_{p,W}(s)\leqslant C \frac{\sqrt{P''_{\varphi}(s)}\, e^{-P_{\varphi}(s)}}{|P_{\varphi}(s)|^{1/p}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда выводится, что при $s\to0$
$$
\begin{equation}
\ln \rho_{p,W}(s)\leqslant -(1+o(1)) P_{\varphi}(s).
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Таким образом, если учесть верхнюю оценку из (3.23), а также (3.26), то получаем утверждение (см. [13; теорема 2.1]): если сходится интеграл (3.19), то при $s\to0$
$$
\begin{equation}
\ln \delta_{\{M_n\}}(s)\leqslant -(1+o(1)) P_{\varphi}(s).
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Оценка снизу для $\ln \delta_{\{M_n\}}(s)$ получается из нижней оценки в (3.23) и соответствующей оценки для $\rho_{1,W}(s)$ снизу, но при дополнительном ограничении (3.20). Поскольку этот случай фактически сводится к сходимости билогарифмического интеграла (3.22) для функции $H(y)=\exp(m(y))$, или, что то же самое, для ассоциированного веса $H_0$, он в настоящей статье и будет рассмотрен. Здесь будет получено совершенно иное, чем в (3.21), соотношение, которое и даст ответ на вторую проблему Е. М. Дынькина. Что касается оценки (3.27), она неверна (см. § 5): ее доказательство, предложенное в [13], не только не корректно, но содержит существенный пробел. На самом деле асимптотическое неравенство (3.27) выполняется для любой фиксированной функции $g\in C_{I}^{0}(M_n)$, но в своей окрестности нуля, т.е. при $0<s\leqslant s_{0}(g)$, а не для экстремальной функции $\delta_{\{M_n\}}(s)$. Поэтому в [13] не получен ответ на данную проблему Е. М. Дынькина. § 4. Основной результат: решение второй проблемы Е. М. ДынькинаПусть $\{M_n\}$ – регулярная последовательность, $H_0$ – ассоциированный вес, введенный выше. Если сходится интеграл
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{d_0} \ln\ln H_{0}(t)\,dt<\infty, \qquad H_{0}(d_0)=e,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
то найдется функция $f\in C_{I}^{0}(M_n)$, $f(x)\not\equiv0$. Тогда, используя неравенство (3.6) и определение ассоциированного веса $H_0$, получим
$$
\begin{equation}
J_M(x)\leqslant \frac{1}{x H_{0}(x)}, \qquad x\in I.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Оценка сверху для $J_M(x)$ получена. Чтобы оценить $J_M(x)$ снизу, рассмотрим нормированное пространство $F_{I}(H_0)$ аналитических в области $\mathbb{C}\setminus I$ функций, удовлетворяющих оценке
$$
\begin{equation*}
|f(z)|\leqslant C_{f} H_{0}(\operatorname{dist}(z,I)), \qquad z\in\mathbb{C}\setminus I,
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{0}=\sup_{\operatorname{Im} z\neq0} \frac{|f(z)|}{H_{0}(|{\operatorname{Im} z}|)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $F_{I}^{0}(H_{0})$ обозначим единичный шар в $F_{I}(H_{0})$. Вместо $I$ можно рассматривать любое замкнутое множество $E\subset\mathbb{R}$ (см. [11]). Поэтому, полагая $E=\{0\}$, рассмотрим в пространстве $F_{\{0\}}(H_{0})$ линейный функционал $G$ такой, что $\langle G,f\rangle=f(\delta)$ при фиксированном $\delta\in (0,1]$. Тогда, очевидно, имеем $|\langle G,f\rangle|\leqslant C_{f} H_{0}(\delta)$. Так как интеграл (4.1) сходится, то по теореме Н. Левинсона множество функций $F_{\{0\}}^{0}$ является нормальным. Это означает, что если $C_{f}^{0}=\inf C_{f}$, то $\sup_{f\in F_{\{0\}}^{0}(H_{0})} C_{f}^{0}=C<\infty$. Значит, $\|G\|\leqslant C H_{0}(\delta)$ (положительная постоянная $C$ от $\delta$ не зависит). Далее, поскольку $F_{\{0\}}(H_{0})\subset F_{I}(H_{0})$, то по теореме Хана–Банаха функционал $G$ с сохранением нормы допускает продолжение на все пространство $F_{I}(H_{0})$. Обозначая этот функционал по-прежнему через $G$, рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\eta(t)=\biggl\langle G,\frac{1}{z-t}\biggr\rangle, \qquad t\in I.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\eta\in C^{\infty}(I)$, причем
$$
\begin{equation*}
|\eta^{(n)}(t)|=\biggl|\biggl\langle G,\frac{n!}{(z-t)^{n+1}}\biggr\rangle\biggr| \leqslant C H_{0}(\delta) \|n!\, (z-t)^{-n-1}\|=C H_{0}(\delta) M_n, \qquad n\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
где Заметим также, что
$$
\begin{equation*}
\eta^{(n)}(0)=\biggl\langle G,\frac{n!}{z^{n+1}}\biggr\rangle=\frac{n!}{\delta^{n+1}}, \qquad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем теперь функцию $g$, полагая $g(t)=1+\eta(t)(t-\delta)$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
g^{(n)}(t)=\eta^{(n)}(t)(t-\delta)+n \eta^{(n-1)}(t), \qquad n\geqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
то получаем: $g^{(n)}(0)=0$, $n\geqslant0$; $|g^{(n)}(t)|\leqslant C H_{0}(\delta) (M_n+n M_{n-1})$, $n\geqslant1$. Но последовательность $\{M_n\}$ логарифмически выпуклая, т.е. $M_n^2\leqslant M_{n-1} M_{n+1}$, $n\geqslant1$. Значит, последовательность $\{M_{n-1}/M_n\}$ невозрастающая. Тогда из сходимости ряда следует, что $n M_{n-1}=o(M_n)$ при $n\to\infty$. Так что Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sup_{I} |g^{(n)}(t)|\leqslant C (1+L) M_n H_{0}(\delta), \qquad \delta\in (0,1], \quad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, окончательно получаем, что: 1) $g^{(n)}(0)=0$, $n\geqslant0$; 2) $\|g^{(n)}\|\leqslant K H_{0}(\delta) M_n$, $n\geqslant0$, $K=(1+L)C$; 3) $g(\delta)=1$. Значит, функция принадлежит классу $C_{I}^{0}(M_n)$. Осталось заметить, что
$$
\begin{equation*}
J_M(\delta)\geqslant \frac{1}{K H_{0}(\delta)}, \qquad \delta\in (0,1], \quad K=(1+L)C.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученный результат сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема 9. Пусть $\{M_n\}$ – регулярная последовательность, $H_{0}$ – ассоциированный вес, понимаемый в следующем смысле: Таким образом, как видно из (4.3), при $x\to0$
$$
\begin{equation}
\ln J_M(x)=-\ln H_{0}(x)+O\biggl(\ln \frac{1}{x}\biggr)=-(1+o(1)) \ln H_{0}(x).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Оценки (4.3), в отличие от оценок типа (3.17), максимально точно описывают асимптотическое поведение экстремальной функции $J_M(x)$. Смысл теоремы в том, что функция $J_M(x)$ стремится к нулю при $x\to0$ гораздо медленнее, чем любая функция $f$ из класса $C_{I}^{0}(M_n)$ (см. выше). Отметим, что в теореме 9 нет никакой надобности опираться на теорему 5 из [13], дающую ответ на первую проблему Е. М. Дынькина, а именно на соотношение Как будет показано в § 5, при $x\to0$ функция $\ln H_{0}(x)$ имеет существенно более слабый рост, чем функция $P_{\varphi}(x)$: $\ln H_{0}(x)=o(P_{\varphi}(x))$, $x\to0$. Это означает, что верхняя оценка в (2.1), на которую опираются авторы ряда упомянутых выше работ, неверна. В ситуации, рассматриваемой в доказательстве теоремы 9, $M^*(x)=C H_{0}(x)$. § 5. О верхней оценке для $\delta_{\{M_n\}}(s)$Для функции $g\in C_{I}^{0}(M_n)$ ее преобразование Фурье
$$
\begin{equation*}
(Fg)(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{1} g(s) e^{isz}\,ds
\end{equation*}
\notag
$$
определяет некоторую функцию, аналитическую в верхней полуплоскости $\mathbb{C}_{+}$. Интегрируя $n$ раз по частям и используя равенства $g^{(n)}(0)=g^{(n)}(1)=0$, $n\geqslant0$, имеем
$$
\begin{equation*}
(Fg)(z)=\frac{(-1)^n}{(iz)^n \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{1} g^{(n)}(s) e^{isz}\,ds, \qquad z\in\mathbb{C}_{+}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
|(Fg)(z)|\leqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi} \operatorname{Im} z T(|z|)}, \qquad z\in\mathbb{C}_{+}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
В [13] из (5.1) получено (см. [13; лемма 2.1]), что для любого $\tau>0$
$$
\begin{equation}
\|\sqrt{2\pi}\, \tau (Fg)(z+i\tau)\|_{H^{\infty}(W)}\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Рассмотрим теперь обратное преобразование Фурье
$$
\begin{equation*}
g(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} (Fg)(x) e^{-isx}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Коши для всякого $\tau>0$ можем его записать в виде
$$
\begin{equation*}
g(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\, \tau}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \bigl[\sqrt{2\pi}\, \tau (Fg)(x+i\tau) e^{-is(x+i\tau)}\bigr]\,dx\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так что для любой функции $g\in C_{I}^{0}(M_n)$
$$
\begin{equation*}
|g(s)|\leqslant \frac{e^{s\tau}}{\sqrt{2\pi}\, \tau}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggl|\int_{\mathbb{R}} \bigl[\sqrt{2\pi}\, \tau (Fg)(x+i\tau) e^{-isx}\bigr]\,dx\biggr|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
|g(s)|\leqslant \frac{e^{s\tau}}{\sqrt{2\pi}\, \tau} \rho_{\tau}(s),
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\rho_{\tau}(s)=\sup_{g\in C_{I}^{0}(M_n)} \biggl(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \biggl|\int_{\mathbb{R}} \bigl[\sqrt{2\pi}\, \tau (Fg)(x+i\tau) e^{-isx}\bigr]\,dx\biggr|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (5.3) получаем
$$
\begin{equation}
J_M(s)\leqslant \inf_{\tau>0} \biggl(\frac{e^{s\tau}}{\sqrt{2\pi}\, \tau} \rho_{\tau}(s)\biggr).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Однако в [13] вместо (5.4) получена совершенно другая оценка. Она основана на следующих рассуждениях. Поскольку, как видно из (5.2), $\rho_{\tau}(s)\leqslant \rho_{\infty,W}(s)$, а
$$
\begin{equation*}
\min_{\tau>0} \frac{e^{s\tau}}{\sqrt{2\pi}\, \tau}=\frac{e}{\sqrt{2\pi}} s
\end{equation*}
\notag
$$
(минимум достигается в точке $\tau={1}/{s}$), то на основании этого в [13] из (5.4) получена оценка
$$
\begin{equation}
J_M(s)\leqslant \frac{e}{\sqrt{2\pi}} s \rho_{\infty,W}(s),
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
т.е. верхняя оценка в (3.23) (см. [13; лемма 2.1]). Эти рассуждения некорректны, а оценка (5.5) неверна. Действительно, неравенство, предшествующее (5.3), можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
|g(s)|\leqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggl |\int_{\mathbb{R}} [e^{s\tau} (Fg)(x+i\tau) e^{-isx}\, dx]\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы получить оценку для $|g(s)|$ сверху через $\rho_{\infty,W}(s)$ (именно это и требуется для доказательства оценки (3.27) в [13]), учтем, что (5.2) верно, и выясним, при каком $\tau>0$ функция $e^{s\tau} (Fg)(z+i\tau)$ будет принадлежать единичному шару пространства $H^{\infty}(W)$ с центром в нуле. Пользуясь оценкой (5.1) и принципом максимума модуля, имеем
$$
\begin{equation*}
I_{\tau}=\|e^{s\tau} (Fg)(z+i\tau)\|_{H^{\infty}(W)} =e^{s\tau} \sup_{z\in \mathbb{C}_{+}} |(Fg)(z+i\tau) W(z)|\leqslant e^{s\tau} A\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_{\tau}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\, \tau} \sup_{x>0} \frac{T(x)}{T(|x+i\tau|)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $\ln(1/A_{\tau})=o(\tau)$ при $\tau\to\infty$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{A_{\tau}}=\sqrt{2\pi}\, \tau \inf_{x>0} \frac{T(|x+i\tau|)}{T(x)}\leqslant \sqrt{2\pi} M_0 \tau T(\tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку для функции $T(\tau)$ выполняется условие (3.19), то $\ln T(\tau)=o(\tau)$ при $\tau\to\infty$. Отсюда и все следует. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
I_{\tau}\leqslant \exp\biggl[\tau\biggl(s-\frac{1}{\tau} \ln \frac{1}{A_{\tau}}\biggr)\biggr]\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
если $0<s\leqslant ({1}/{\tau}) \ln ({1}/{A_{\tau}})$. На самом деле $I_{\tau}=e^{s\tau}B_{\tau}\leqslant 1$ для $s$ из большего полуинтервала $J_{\tau}(g)=(0,(1/\tau)\ln(1/B_{\tau})]$ длины $|J_{\tau}(g)|=o(1)$ при $\tau\to\infty$, если, например, $g(s) \geqslant 0$. Так что вместо (5.5) получаем: для любой функции $g\in C_{I}^{0}(M_n)$ при $s\to 0$ асимптотически В силу сказанного левую часть в (5.6) нельзя заменить на экстремальную функцию $J_M(s)$ (т.е. на $\delta_{\{M_n\}}(s)$). Однако к правой части можно применить лемму 4.1 из [13], согласно которой
$$
\begin{equation*}
\rho_{\infty,W}(s)\leqslant C \sqrt{P''_{\varphi}(s)}\, e^{-P_{\varphi}(s)}
\end{equation*}
\notag
$$
($C>0$ – некоторая постоянная), причем при $s\to0$ Далее из (5.6) получаем, что для функции $g\in C_{I}^{0}(M_n)$ верна асимптотическая оценка при $s\to0$. Как было доказано в теореме 9, для функции $J_M(s)$ оценки совершенно другие (см. (4.3)). Поэтому выясним, что же можно получить из оценки (5.4). Чтобы получить ответ на этот вопрос, обратимся к неравенствам (5.1), (5.3). Тогда будем иметь для всех $s>0$, $\tau>0$
$$
\begin{equation*}
J_M(s)\leqslant \frac{e^{s \tau}}{\sqrt{2\pi}\, \tau} \int_{\mathbb{R}}\frac{dx}{T(|x+i\tau|)}\leqslant \frac{e^{s \tau}}{\sqrt{2\pi}\, \tau T_{0}(\tau)} \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{|x+i\tau|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь учтено, что
$$
\begin{equation*}
T(|x+i\tau|)\geqslant \max_{n\geqslant2} \frac{|x+i\tau|^n}{M_n}\geqslant |x+i\tau|^2 T_{0}(\tau),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
T_{0}(\tau)=\max_{n\geqslant2} \frac{\tau^{n-2}}{M_n}, \qquad \tau>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
J_M(s)\leqslant \frac{e^{s \tau}}{\sqrt{2\pi}\, \tau T_{0}(\tau)} \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{x^2+\tau^2}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\, \frac{e^{s \tau}}{\tau^2 T_{0}(\tau)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\tau^2 T_{0}(\tau)=T(\tau)$ при $\tau\geqslant \tau_{0}$, то из последнего неравенства получаем, что
$$
\begin{equation*}
J_M(s)\leqslant \sqrt{\frac{\pi}{2}} \exp[-(\ln T(\tau)-s \tau)], \qquad \tau\geqslant \tau_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\tau_s$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\ln T(\tau_s)-s \tau_s=\sup_{\tau\geqslant\tau_0}(\ln T(\tau)-s \tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что при $0<s\leqslant s_0\leqslant1$
$$
\begin{equation*}
\sup_{\tau\geqslant \tau_0}(\ln T(\tau)-s \tau)=\sup_{\tau>0}(\ln T(\tau)-s \tau) \stackrel{\mathrm{def} }{=} m(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Так что при $0<s\leqslant s_0$ где $m(s)=\sup_{\tau>0} (\ln T(s)-s \tau)$. Если возьмем $\tau=1/s$, то, очевидно, $m(s)=\ln T(\tau_s)-s \tau_s\geqslant \ln T(1/s)-1$, и потому при $0<s\leqslant s_0$
$$
\begin{equation}
J_M(s)\leqslant \sqrt{\frac{\pi}{2}}\, e^{-m(s)}\leqslant e \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, T^{-1}\biggl(\frac{1}{s}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Как видно из (5.8), соответствующая оценка для $J_M(s)$ при $\tau=1/s$ не лучше оценки (5.7). Убедимся, что
$$
\begin{equation}
d_{0} s H_{0}(2s)\leqslant e^{m(s)}\leqslant d_{1} s H_{0}(s).
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
e^{m(s)}=\exp\Bigl[\sup_{r>0}(\ln T(r)-sr)\Bigr] =\exp\biggl[\sup_{r>0}\biggl(\sup_{n\geqslant0} \ln \frac{r^n}{M_n}-sr\biggr)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
e^{m(s)}=\exp\biggl[\sup_{n\geqslant0} \sup_{r>0}\biggl(\ln \frac{r^n}{M_n}-sr\biggr)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая $\alpha_n(r)=\ln({r^n}/{M_n})-sr$, имеем $\alpha'_n(r)=0$ в точке $r_0=n/s$. В этой точке $\alpha_n(r)$ достигает максимума
$$
\begin{equation*}
\alpha_n(r_0)=\ln \biggl[M_n^{-1} \biggl(\frac{n}{s}\biggr)^n\biggr]-n.
\end{equation*}
\notag
$$
Так что
$$
\begin{equation*}
e^{m(s)}=\sup_{n\geqslant0} \frac{n^n}{e^n M_n s^n}\leqslant s H_{0}(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы воспользовались формулой Стирлинга, из которой следует, что $n^n e^{-n}\leqslant n!$, $n\geqslant0$ (см. [23]). С другой стороны, так как $\sqrt{n}<2^{n+1}$, $n\geqslant0$, то аналогично получаем, что
$$
\begin{equation*}
e^{m(s)}=\sup_{n\geqslant0} \frac{n^n}{e^n M_n s^n}\geqslant s \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\, e^{1/12}} H_{0}(2s).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оценки (5.9) действительно имеют место с постоянными Следовательно, из (5.7), (5.9) получаем
$$
\begin{equation}
J_M(s)\leqslant \frac{1}{d_0}\, \sqrt{\frac{\pi}{2}}\, \frac{1}{s H_{0}(2s)}, \qquad 0<s\leqslant s_0.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Таким образом, методами оценок преобразований Фурье для $J_M(s)$ получили точно такую же оценку, как и правая часть в (3.17), но в терминах ассоциированного веса $H_{0}$ (что непринципиально). Отметим, что в [13] была сделана попытка установить, казалось бы, более точную асимптотическую оценку
$$
\begin{equation}
\ln J_M(s)\leqslant -(1+o(1)) P_{\varphi}(s), \qquad \varphi(r)=\ln T(r),
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
хотя напрашивалась именно оценка типа (5.10). Видимо, оценка (5.11) была получена авторами работы в [13] под влиянием работы Т. Банга [17]. В статье [13] получена также оценка типа (5.11) и снизу, но при дополнительном предположении (3.20). Но она, как мы увидим, существенно слабее соответствующей оценки из теоремы 9. Оценка типа (5.10) может быть получена и путем применения формулы Тейлора (см. выше). Но основную трудность в теореме 9 представляет оценка для $J_M(s)$ снизу через $H_{0}(s)$. Она получена нами в предположении (4.1), но и условие (3.20), которому было дано пояснение выше, по сути означает то же самое, что и сходимость билогарифмического интеграла (4.1). Из оценок (5.9) и (4.3) теоремы 9 следует, что
$$
\begin{equation}
\ln J_M(s)\geqslant -\ln K-\ln H_{0}(s)\geqslant -\ln K_0+\ln \frac{2}{s}-m\biggl(\frac{s}{2}\biggr), \qquad K_0=\frac{K}{d_0}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Но оценки (5.11) и (5.12) несовместимы, если, например, $m(s/2)=o(P_{\varphi}(s))$ при $s\to0$. Действительно, в противном случае из (5.11) и (5.12) при $s\to0$ имели бы
$$
\begin{equation}
(1+o(1)) P_{\varphi}(s)\leqslant \ln \frac{1}{J_M(s)}\leqslant (1+o(1)) m\biggl(\frac{s}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Однако по определению
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{\varphi}(s)=\sup_{y>0}(q(y)-sy), \qquad q(y)=\frac{2y}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\varphi(t)\, dt}{t^2+y^2}, \\ m(s)=\sup_{y>0}(\varphi(y)-sy), \qquad \varphi(y)=\ln T(y). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма. Предположим, что вес $\varphi(y)$ такой, что $\varphi(y) \asymp \psi(y)$, где $\psi$ – некоторая вогнутая на $\mathbb{R}_{+}$ функция, причем3 Тогда Отметим, что условие (5.14) леммы реализуется, например, для регулярной последовательности чисел $M_n=n!\,[\ln (n+e)]^{(1+\beta)n}$, $\beta>0$, $n\geqslant0$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\varphi(r)=\ln T(r) \asymp \frac{r}{[\ln (n+e)]^{1+\beta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство леммы. Пусть
$$
\begin{equation}
c_0 \psi(y)\leqslant \varphi(y)\leqslant c_1 \psi(y).
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Не умаляя общности, можем считать, что $M_0=1$. Тогда $\varphi(y)\equiv0$ в некоторой окрестности нуля. Поэтому функция $q(y)$ определена корректно, и для любого $A>1$ Отсюда получаем, что
Пусть $r=r(s)$ – корень уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi_{0}(y)}{y}=\frac{s}{2}, \qquad \psi_{0}(y)=c_1 \psi(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что тогда $r(s)\uparrow\infty$ при $s\downarrow0$ и
$$
\begin{equation*}
m\biggl(\frac{s}{2}\biggr)\leqslant\psi_{0}(r(s))-\frac{s}{2} r(s)\leqslant \psi_{0}(r(s)).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно также, что
$$
\begin{equation*}
P_{\varphi}(s)=\sup_{y>0}(q(y)-sy)\geqslant q(r(s))-2\psi_{0}(r(s)).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\frac{m(s/2)}{P_{\varphi}(s)}\leqslant \frac{\psi_{0}(r)}{q(r)-2\psi_{0}(r)}=\frac{1}{q(r)/\psi_{0}(r)-2},\qquad r=r(s).
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Однако согласно (5.15) и (5.16) при любом $A>1$
$$
\begin{equation*}
\frac{q(r)}{\psi_{0}(r)}\geqslant c_{0} c_{1}^{-1} \frac{2}{\pi}\, \frac{\psi(Ar)}{A \psi(r)}, \qquad r=r(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $A$ любое, то с учетом (5.14) и, как видно из (5.17), $m(s/2)=o(P_{\varphi}(s))$ при $s\to0$.
Таким образом, получили противоречие с (5.13) и, тем самым, требуемое установлено. Лемма доказана. § 6. Применение основного результата: оценка расстояния от алгебраических полиномов до мнимых экспонент в весовом пространствеСледуя работе [13], через $C_{T}^{0}$ обозначим весовое пространство непрерывных на $\mathbb{R}$ функций $f$ таких, что с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{C_{T}^{0}}=\sup_{t\in\mathbb{R}} \frac{f(t)}{T(|t|)},
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $T(r)$ удовлетворяет условию (3.19). Через $X$ обозначим замыкание линейной оболочки алгебраических полиномов $\mathscr{P}$ в $C_{T}^{0}$: $X=\operatorname{Clos}_{C_{T}^{0}} \mathscr{P}$. В силу условия (3.19) полиномы не плотны в $C_{T}^{0}$: $\operatorname{Clos}_{C_{T}^{0}} \mathscr{P}\neq C_{T}^{0}$. Какие же функции из $C_{T}^{0}$ можно аппроксимировать полиномами в данном весовом пространстве? Как известно, предельная функция необходимо должна быть сужением на $\mathbb{R}$ некоторой целой функции минимального экспоненциального типа (см. [24; дополнения и задачи, пп. 12, 13]). В [13] обсуждается следующая задача: какова асимптотика величины
$$
\begin{equation*}
d_{T}(s)=\operatorname{dist}_{C_{T}^{0}}(X,e_{s})=\operatorname{dist}_{C_{T}^{0}}(\mathscr{P},e_{s}),\qquad e_{s}(t)=e^{ist},
\end{equation*}
\notag
$$
при $s\to0$? В [13] доказана теорема 2.2: если функция $\varphi(r)=\ln T(r)$ удовлетворяет условию (3.19), то Но эта теорема выводится из соотношения (3.21) с применением леммы 2.2 (см. [13]): пусть $W$ – внешняя функция в $\mathbb{C}_{+}$ с логарифмическим весом $\varphi(t)=\ln T(|t|)$ (в этом случае $|W(t)|=T(|t|)$, $t\in\mathbb{R}$, функция $W$ введена выше). Тогда
$$
\begin{equation}
\sqrt{2 \pi} \rho_{1,W}(s)\leqslant d_{T}(s)\leqslant \frac{e}{\sqrt{2 \pi}} s \rho_{\infty,W}(s).
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Однако оценки (6.2) основаны на лемме 2.1 из [13], которая, как было сказано, неверна. Поэтому выясним, какими должны быть истинные оценки для $d_{T}(s)$. Общий вид линейного непрерывного функционала в $C_{T}^{0}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mu^*(f)=\int_{\mathbb{R}} \frac{f(t)}{T(|t|)}\, d\mu(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu(t)$ – функция с ограниченным изменением на $\mathbb{R}$, причем Функция $\mu(t)$ порождает конечную комплексную меру $\mu$ на всей прямой. Согласно теореме Хана–Банаха
$$
\begin{equation*}
d_{T}(s)=\sup_{\substack{\mu^*\in \mathscr{P}^{\perp} \\ \|\mu^*\|_{T}\leqslant1}} |\mu^*(e_{s})|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{P}^{\perp}$ – аннулятор подпространства $\operatorname{Clos}_{C_{T}^{0}} \mathscr{P}$ (совокупность линейных непрерывных функционалов на $C_{T}^{0}$, равных нулю на $\operatorname{Clos}_{C_{T}^{0}} \mathscr{P}$). Так что
$$
\begin{equation}
d_{T}(s)=\sqrt{2 \pi} \sup_{\substack{\mu^*\in \mathscr{P}^{\perp}\\ \|\mu^*\|_{T}\leqslant1}} |(F \nu)(s)|,
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
где Очевидно, $F \nu$ (преобразование Фурье меры $\nu$) – функция из класса $C^{\infty}(\mathbb(R))$, причем
$$
\begin{equation*}
(F \nu)^{(n)}(0)=\frac{i^n}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} t^n\, d \mu(t)=0, \qquad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |(F \nu)^{(n)}(s)| &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \biggl|\int_{\mathbb{R}} \frac{(it)^n}{T(|t|)}\, d \mu(t)\biggr | \\ &\leqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi}} M_n^{c} \|\mu^*\|_{T}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi}} M_n \|\mu^*\|_{T}, \qquad n\geqslant0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
($\{M_n^{c}\}$ – регуляризация последовательности $\{M_n\}$ посредством логарифмов, $M_n^{c}\leqslant M_n$, $n\geqslant0$). Следовательно, учитывая (6.3), (6.4), а также верхнюю оценку в (4.3), получим4
$$
\begin{equation}
d_{T}(s)\leqslant J_M(s)\leqslant \frac{1}{s H_{0}(s)}, \qquad s\in I.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Следует отметить, что оценка (6.5) сверху для $d_{T}(s)$ получается при минимальном ограничении (3.19) на последовательность $\{M_n\}$ (она не обязательно является регулярной). Оценим теперь $d_{T}(s)$ снизу. Для любого функционала $\mu^*\in \mathscr{P}^{\perp}$ и для любого алгебраического полинома $\mathscr{P}$ имеем
$$
\begin{equation*}
(F \nu)(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} [e^{ist}-\mathscr{P}(t)] \,d \nu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $g$ – произвольная функция из $C_{I}^{0}(M_{n-2})$, $M_{-2}=M_{-1}=M_{0}$, $f(x)=(F^{-1}g)(x)$. Тогда $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$, $f(x)\equiv0$ при $x\leqslant0$, причем
$$
\begin{equation*}
|f(x)|\leqslant \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \begin{cases} M_{0}, &|x|\leqslant1, \\ \dfrac{1}{x^2 T(|x|)}, &|x|>1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $d \nu(t)=c f(t) \, dt$, где $c>0$ – нормирующий множитель (его выберем позже). Очевидно, $\mu^*\in \mathscr{P}^{\perp}$, где
$$
\begin{equation*}
\mu^*(\varphi)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(t)\, d\nu(t), \qquad d \nu(t)=\frac{d \mu(t)}{T(|t|)}, \quad \varphi\in C_{T}^{0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\|\mu^*\|_{T}=\int_{\mathbb{R}} |d \mu (t)|=c \int_{|t|\leqslant1} |f(t)| T(|t|)\, dt+c \int_{|t|>1} |f(t)| T(|t|) \,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation*}
\|\mu^*\|_{T}\leqslant \frac{2c}{\sqrt{2 \pi}}\, \frac{M_0}{M_0'}+\frac{2c}{\sqrt{2 \pi}}=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \biggl(\frac{M_{0}}{M_{0}'}+1\biggr) c.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
c=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\, \frac{M_{0}'}{M_{0}'+M_{0}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\mu^*\|_{T}\leqslant1, \qquad F \nu=cg, \quad g\in C_{I}^{0}(M_{n-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для любой функции $g\in C_{I}^{0}(M_{n-2})$
$$
\begin{equation}
c\sqrt{2 \pi}\, |g(s)|= \sqrt{2 \pi}\, |(F \nu)(s)|\leqslant \sup_{t\in\mathbb{R}} \biggl|\frac{e^{ist}-P(t)}{T(|t|)}\biggr|.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Поэтому из (6.6) сразу следует, что
$$
\begin{equation}
c \sqrt{2 \pi}\, J_M(s)\leqslant d_{T}(s), \qquad s\in I,
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
где $M'=\{M_{n-2}\}$, $M_{-2}=M_{-1}=M_{0}$. Теперь дополнительно предположим, что последовательность удовлетворяет условию регулярности в смысле Е. М. Дынькина, причем Тогда согласно теореме 9 где $H_{0}$ – ассоциированный вес, а положительная постоянная $K$ зависит только от функции $H_{0}$. Следовательно, учитывая (6.7), получаем, что
$$
\begin{equation}
\frac{c \sqrt{2 \pi}\, s^2}{K H_{0}(s)}\leqslant d_{T}(s), \qquad s\in I.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Таким образом, если учесть (6.5), (6.7) и (6.9), верна Теорема 10. Пусть регулярная последовательность $\{M_n\}$ удовлетворяет условию неквазианалитичности (6.8). Тогда верны оценки: 1) $c \sqrt{2 \pi}\, J_{M'}(s)\leqslant d_{T}(s)\leqslant J_M(s)$; 2) $\dfrac{c \sqrt{2 \pi}\, s^2}{K H_{0}(s)}\leqslant d_{T}(s)\leqslant \dfrac{1}{s H_{0}(s)}$, $s\in I$. Здесь $K$ – постоянная из теоремы 9, Итак, в условиях теоремы 10 при $s\to0$
$$
\begin{equation*}
\ln d_{T}(s)=-m_{0}(s)+O\biggl(\ln \frac{1}{s}\biggr), \qquad m_{0}(s)=\ln H_{0}(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем не менее в (6.1) фигурирует функция $P_{\varphi}(s)$, имеющая существенно более быстрый рост, нежели функция $m_{0}(s)$. Как мы видели, $m_{0}(s)=o(P_{\varphi}(s))$ при $s\to0$. БлагодарностиАвторы выражают благодарность участникам семинара “Комплексный и гармонический анализ” (ИМВЦ УФИЦ РАН) за обсуждение основных результатов работы. Авторы также признательны рецензентам за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GaiGai23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|